確率変数の分布に関するコーシーの法則。コーシャ分布

コーシー分布は確率変数の記述とモデル化にとって非常に魅力的であるように思われます。しかし、実際にはそうではありません。コーシー分布の特性は、ガウス分布、ラプラス分布、その他の指数分布の特性とは大きく異なります。

実際のところ、コーシー分布は極めて平坦に近いのです。確率密度が x -> +oo の場合、分布は非常に平坦であると言われることを思い出してください。

コーシー分布の場合、それを定義する積分が発散するため、分布の最初の初期モーメント、つまり数学的期待値さえ存在しません。この場合、分布には中央値と最頻値の両方があり、パラメータ a に等しくなります。

もちろん、この分布の分散 (第 2 中心モーメント) も無限大に等しくなります。実際には、これは、データ量が増加するにつれて、コーシー分布からのサンプルの分散推定値が際限なく増加することを意味します。

上記のことから、有限の数学的期待値と有限の分散によって特徴付けられるランダム過程のコーシー分布による近似は正しくないことがわかります。

したがって、3 つのパラメータに応じて対称的な分布が得られました。これを利用して、緩やかな傾きを持つ確率変数を含む確率変数のサンプルを記述することができます。ただし、この分布には、コーシー分布を議論するときに考慮された欠点があります。つまり、数学的期待値は a > 1 に対してのみ存在し、分散は OS > 2 に対してのみ有限であり、一般に k 次分布の有限モーメントが存在します。 a > k の場合。

図 14.1 では、平均と分散が無限である有名なコーシー分布からの 8,000 個のサンプルを使用しています。コーシー分布については、以下でさらに詳しく説明します。ここで使用される系列は、平均を減算し、サンプルの標準偏差で割ることによって「正規化」されました。したがって、すべての単位は標準偏差で表されます。比較のために、同様の方法で正規化された 8,000 個のガウス確率変数を使用します。次の 2 つのステップは、これらの値に正規化されているため、常に最終的に平均 0 と標準偏差 1 になることを理解することが重要です。収束とは、時系列が急速に安定した値に向かうことを意味します。

これら 2 つのよく知られた分布、コーシー分布と正規分布には、多くの用途があります。これらは、確率密度関数を明示的に導出できる安定分布ファミリーの唯一の 2 つのメンバーでもあります。他のすべての分数の場合は、通常は数値的手段によって推定する必要があります。これらの方法の 1 つについては、この章の後のセクションで説明します。

第 14 章では、アメリカ株式市場の系列標準偏差と平均を調べ、それをコーシー分布から得られた時系列と比較しました。これは、時系列に対する無限の分散と平均の影響を確認するために行いました。シリアル標準偏差は、一度に加算したときの時系列の標準偏差です。

コーシー分布とガウス分布の F 分位数の加重平均を取得して、Z から u(o,F) への最初の近似を行います。

表 A3.2 は、表 A3.1 の結果を分位数に変換したものです。 a = 1.0 の観測値の 99% を説明する F 値を調べるには、F 列を左の 0.99 まで下に移動し、その横の u = 31.82 まで移動します。コーシー分布では、99 パーセントの確率をカバーするには、平均値から 31.82 個の観測値が必要です。対照的に、通常の場合は、u=3.29 で 99 パーセントのレベルに達します。これは、標準的な通常の場合 (3.29 秒ではなく 2.326 標準偏差) とは異なります。

P(> (nm)1/2Г(n/2) n n = 1 の場合、対応する分布はコーシー分布と呼ばれます。

広い意味で系列が定常であるとしても、必ずしも厳密に定常であるとは限りません。同時に、厳密に定常な系列は、単に数学的な期待値や分散がない可能性があるため、広い意味では定常ではない可能性があります。 (後者に関しては、コーシー分布からのランダムなサンプルが例として挙げられます。) さらに、上記の 3 つの条件が満たされる場合に、たとえば E(X) が t に依存する状況も考えられます。

同時に、一般的なケースでは、たとえいくつかの確率変数 X、. ..、X は相互に独立しており、同じ分布を持っていますが、これはそれらがホワイトノイズプロセスを形成することを意味するものではありません。確率変数 Xt には、単純に数学的な期待値や分散が存在しない可能性があります (例としてコーシー分布を再度指摘できます)。

2 つ以上の要素、たとえば労働力や物質的資産が、商品の生産やサービスの提供のプロセス、さらにはその後の現金受領の形成に関与している場合、要素間で後者を論理的に配分することは一般に不可能であるように思われます。使用できる資産は純限界収益と一致すると想定されていましたが、民間の限界収益の額は、製品の販売とサービスの提供による純収益の合計よりも高くなる可能性があります。

このような長い裾の分布、特にパレートデータの場合、フランスの数学者 Levy (1937) が一般化密度関数を定式化しました。正規分布とコーシー分布は特殊なケースです。レヴィは中心極限定理の一般化バージョンを使用しました。これらの分布は、大規模な自然現象に対応しますが、異常で一見手に負えない問題があるため、あまり注目されていません。それらの特異な特性により不人気が続いていますが、それらの他の特性は資本市場からの結果に非常に近いため、それらを調査する必要があります。さらに、安定したレヴィ分布は乱流と l/f ノイズの統計的特性を記述するのに役立つことがわかっており、これらはフラクタルでもあります。

図 14.2(a) は、これら 2 つの系列の系列標準偏差を示しています。シリアル標準偏差は、シリアル平均と同様に、観測値が一度に 1 つずつ追加されるときの標準偏差の計算です。この場合、違いはさらに顕著です。ランダムな ejad はすぐに標準偏差 1 に収束します。対照的に、コーシー分布は決して収束しません。その代わりに、いくつかの大きな断続的なジャンプと、正規化された値 1 からの大きな偏差が特徴です。

これは、無限の分散と平均を持つことが知られているコーシー分布の特性関数の対数です。この場合、8 は分布の中央値となり、c は 7 四分位範囲になります。

Holt と Row (1973) は、a = 0.25 ～ 2.00、P が -1.00 ～ +1.00 に等しい確率密度関数を発見しました (どちらも 0.25 刻み)。彼らが使用した方法論は、コーシー分布や正規分布などの既知の分布と、Zolotarev (1964/1966) の研究による積分表現の間で補間されました。前者用に用意されたテーブル

第 14 章で説明したように、安定分布の明示的な式は正規分布とコーシー分布の特殊な場合にのみ存在します。しかし、Bergstrom (1952) は、Fame and Roll がアルファの多くの値の密度を近似するために使用した級数拡張を開発しました。 > 1.0 の場合、Bergstrom の結果を使用して次の収束系列を導き出すことができます。

フリー百科事典ウィキペディアからの資料

コーシー分布

確率密度緑色の曲線は標準のコーシー分布に対応します
分布関数色は上の表の通りです
指定	$\mathrm(C)(x_0,\gamma)$
オプション	$x_0$ - シフト係数 $\ガンマ > 0$ - スケール係数
キャリア	$x \in (-\infty; +\infty)$
確率密度	$\frac(1)(\pi\gamma\,\left)$
分布関数	$\frac(1)(\pi) \mathrm(arctg)\left(\frac(x-x_0)(\gamma)\right)+\frac(1)(2)$
期待値	存在しない
中央値	$x_0$
ファッション	$x_0$
分散	$+\infty$
非対称係数	存在しない
尖度係数	存在しない
微分エントロピー	$\ln(4\,\pi\,\gamma)$
モーメントの生成関数	決まっていない
特徴的な機能	$\exp(x_0\,i\,t-\ガンマ\,$

意味

確率変数の分布を考えてみましょう

バツ

密度で与えられる

f_X(x)

、次の形式になります。

$f_X(x) = \frac(1)(\pi\gamma \left) = ( 1 \over \pi ) \left[ ( \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 ) \right]$ ,

$x_0 \in \mathbb(R)$ - シフトパラメータ;
$\ガンマ > 0$ - スケールパラメータ。

すると彼らはこう言います $バツ$ コーシー分布があり、次のように書かれています $X \sim \mathrm(C)(x_0,\gamma)$ 。もし $x_0 = 0$ そして $\ガンマ = 1$ 、そのような分布は呼び出されます標準コーシー分布。

分布関数

F^(-1)_X(x) = x_0 + \gamma\,\mathrm(tg)\,\left[\pi\,\left(x-(1 \over 2)\right)\right]。

これにより、逆変換手法を使用してコーシー分布からサンプルを生成できるようになります。

瞬間

\int\limits_(-\infty)^(\infty)\!x^(\alpha)f_X(x)\, dx

定義されていない $\alpha \geqslant 1$ 、数学的な期待値もありません (ただし、主値の意味での 1 次モーメントの積分は次と等しいです)。 $\lim\limits_(c \rightarrow \infty) \int\limits_(-c)^(c) x \cdot ( 1 \over \pi ) \left[ ( \gamma \over (x - x_0)^2 + \ガンマ^2 ) \right]\, dx = x_0$ )、この分布の分散も高次モーメントも決定されません。数学的な期待値は定義されていないが、分散は無限であると言われることがあります。

その他のプロパティ

コーシー分布は無限に割り切れます。
コーシー分布は安定しています。特に、標準コーシー分布からの標本の標本平均自体は標準コーシー分布を持ちます。 $X_1,\ldots, X_n \sim \mathrm(C)(0,1)$ 、それ

\overline(X) = \frac(1)(n) \sum\limits_(i=1)^n X_i \sim \mathrm(C)(0,1)

他のディストリビューションとの関係

もし $U\sim U$ 、それ

x_0 + \gamma\,\mathrm(tg)\,\left[\pi\left(U-(1 \over 2)\right)\right] \sim \mathrm(C)(x_0,\gamma)

もし $X_1、X_2$ は次のような独立した正規確率変数です。 $X_i \sim \mathrm(N)(0,1),\; i=1.2$ 、それ

\frac(X_1)(X_2) \sim \mathrm(C)(0,1)

標準の Cauchy 分布は Student 分布の特殊なケースです。

\mathrm(C)(0,1) \equiv \mathrm(t)(1)

実践問題での登場

コーシー分布は、直線と縦軸の間の角度が区間 (−π) 上で一様分布している場合、縦軸上の点で固定された直線の x 軸上で切り取られたセグメントの長さを特徴付けます。 ; π) (つまり、直線の方向は平面上で等方性です)。
物理学では、コーシー分布 (ローレンツ形式とも呼ばれます) は、均一に広がったスペクトル線のプロファイルを表します。
コーシー分布は、共振周波数付近の線形振動システムの振幅周波数特性を表します。

	P確率分布
	一次元	多次元
離散：	ベルヌーイ \| 二項 \| 幾何学的 \| 超幾何学 \| 対数 \| 負の二項 \| ポアソン \| 個別のユニフォーム	多項式
絶対的に継続的:	ベータ \| ワイブル \| ガンマ \| 超指数関数 \| ゴンペルツ分布 \| コルモゴロフ \| コーシー\| ラプラス \| 対数正規 \| ノーマル (ガウス) \| 物流 \| 中上 \| パレート \| ピアソン \| \| 指数 \| 分散ガンマ	多変量正規 \| コピュラ

記事「コーシー分布」についてレビューを書く

コーシー分布を特徴付ける抜粋

ロストフは馬に拍車を与え、下士官フェドチェンカとさらに二人の軽騎兵に声をかけ、後を追うよう命じ、叫び声が続く方へ小走りで丘を下りた。ロストフにとって、これまで誰も入ったことのないこの神秘的で危険な霧の遠くへ、三人の軽騎兵を連れて一人で旅するのは、恐ろしくもあり、また楽しかった。バグラチオンは川より先に行かないようにと山から彼に叫んだが、ロストフはその言葉を聞いていないかのようなふりをして、立ち止まることなくどんどん遠くへ馬を走らせ、常にだまされ、藪を木や甌穴と間違えた。人々のために、そして常に彼の欺瞞を説明しています。山を小走りで下りていると、彼はもはや私たちの砲火も敵の砲火も見えませんでしたが、フランス軍の叫び声がより大きく、よりはっきりと聞こえました。くぼみの中で、目の前に川のようなものが見えましたが、そこに到達すると、自分が通ってきた道に気づきました。道路に出た後、彼は馬を引き止め、道に沿って走るか、道路を横切り、黒い野原を登っていくか決めかねていた。霧で明るくなった道は人も見えやすくて安全でした。「ついて来い」と彼は言い、道路を渡り、夕方からフランス軍のピケットが駐屯していた場所へと山を駆け上がった。
- 閣下、こちらです！ -軽騎兵の一人が後ろから言いました。
そして、ロストフが霧の中で突然何かが黒くなるのを見る前に、光が点滅し、発砲音がカチッと鳴り、まるで何かについて文句を言っているかのように、弾丸が霧の中で高く鳴り響き、聞こえないところで飛んでいきました。もう一方の銃は発砲しませんでしたが、棚の上でライトが点滅しました。ロストフは馬の向きを変えて駆け戻った。さらに4発の銃声が異なる間隔で鳴り響き、銃弾が霧のどこかで異なる音色で響き渡った。ロストフは、撮影時と同じように陽気な馬を手綱を取り、散歩に出かけた。「じゃあ、またまたね！」何か陽気な声が彼の心に響きわたった。しかし、それ以上のシュートはなかった。
バグラチオンに近づいたところで、ロストフは再び馬をギャロップに乗せ、バイザーに手を当てながら馬で近づいた。
ドルゴルコフは依然として、フランス軍は撤退し、我々を欺くために火を放っただけだという自分の意見を主張した。
– これは何を証明しますか? -ロストフが車で彼らに近づきながら、彼は言いました。「彼らは撤退してピケットを離れることもできたはずだ。
「どうやら、まだ全員が出発したわけではないようです、王子」とバグラチオンが言った。 – 明日の朝まで、明日にはすべてがわかります。
「山にはピケットがあります、閣下、夕方と同じ場所にまだあります」ロストフは前かがみになり、バイザーに手を握りながら、旅のせいで面白がった笑みを抑えられずに報告した。そして最も重要なのは銃弾の音です。
「わかりました、わかりました」とバグラチオンは言った、「ありがとうございます、お巡りさん。」
「閣下、お伺いさせてください」ロストフが言った。
- どうしたの？
「明日、私たちの飛行隊は予備役に割り当てられます。私を第一飛行隊に配属してもらいましょう。
- あなたの姓は何ですか?
- ロストフ伯爵。
- ああ、いいね。秩序ある者として私と一緒にいてください。
– イリヤ・アンドライヒの息子ですか？ -ドルゴルコフは言った。
しかし、ロストフは彼に答えなかった。
- ですから、私は願っています、閣下。
- 注文します。
「おそらく明日、彼らは君主に何らかの命令を送るだろう」と彼は考えた。 - 神の祝福"。

敵軍内で悲鳴と銃声が起こったのは、ナポレオンの命令が軍隊内で読み上げられている間に、皇帝自身が馬に乗って野営地の周りを走っていたからだ。兵士たちは皇帝を見て、わらの束に火をつけ、「万歳、皇帝！」と叫びながら追いかけた。ナポレオンの命令は次のとおりだった。
"兵隊！ロシア軍はオーストリアのウルム軍に復讐するために出陣します。これらは、あなたがゴラブルンで敗北し、それ以来絶えずこの場所まで追いかけてきたのと同じ大隊です。私たちが陣取っている陣地は強力で、彼らが私の右側面を狙って動いている間に、私の側面をさらすことになるでしょう！兵隊！私自身があなたの大隊を指揮します。あなたがいつもの勇気で敵の隊列に無秩序と混乱をもたらすなら、私は火から遠く離れます。しかし、たとえ1分でも勝利が疑わしい場合、皇帝が敵の最初の一撃にさらされるのを見ることになるでしょう。なぜなら、特にフランス歩兵の名誉がかかっている日には、勝利に疑いの余地はないからです。国家の名誉のために必要なことが危機に瀕している。

コーシー分布、密度を持つ確率変数 X の確率分布

ここで - ∞< μ < ∞ и λ>0 - パラメータ。コーシー分布は単峰性であり、この分布の最頻値と中央値である点 x = μ に対して対称です [図 a と b は、密度 p(x; λ, μ) と対応する分布関数 F (x ; λ, μ) μ =1,5 および λ = 1 の場合]。コーシー分布の数学的期待は存在しません。コーシー分布の特性関数は e iμt - λ|t| に等しくなります。、 - ∞< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

独立確率変数 X 1,...,X n が同じコーシー分布を持つ場合、任意の n = 1,2, ... に対するそれらの算術平均 (X 1 + ... + X n)/n は同じ分布になります。 ; この事実は S. ポワソン (1830 年) によって証明されました。コーシー分布は安定分布です。標準正規分布を持つ独立確率変数 X と Y の比 X/Y は、パラメーター 0 と 1 のコーシー分布を持ちます。区間 [-π 上で一様分布を持つ、確率変数 Z の正接正接 Z の分布です。 /2、π/2] には、パラメータ 0 および 1 のコーシー分布もあります。コーシー分布は、O. Cauchy (1853) によって検討されました。

物理百科事典

コーシーの分布

密度による確率分布

と分配関数

シフトパラメータ、>0 - スケールパラメータ。 1853 年に O. Cauchy によってレビューされました。 特徴的な機能 K.r. 経験値に等しい ; 秩序の瞬間 R 1は存在しないので、 大数の法則 K.rさんのために実行されない[場合バツ 1 ..., Xnが同じ K.r. を持つ独立した確率変数である場合、 n -1 (X 1 + ... + X n) は同じ K.r.] を持ちます。家族 K. b. 線形変換の下で閉じられる: 確率変数の場合バツ分布 (*) がある場合、 aX+b K.rもあります。パラメータ、を使用します。 K.r.- 持続可能な流通指数1、点対称 x=. K.r. たとえば、次のような関係があります X/Y平均値がゼロの独立正規分布確率変数、および関数、ここで確率変数は Z均等に分布している。 K. r の多次元類似体も考慮されます。

点灯:フェラー V.、確率理論とその応用の紹介、翻訳。英語、第 2 巻、M.、1984 年より。

- 物理的な因果関係が予測可能な領域の境界である表面。冒頭の未来の現象。ある空間のような三次元面上に与えられたデータ…
物理百科事典
- 差分に対する解決策を見つける問題。序盤は満足できるレベル。条件。 1823 年から 1824 年にかけて O. コーシーによって検討されました。
物理百科事典
- 積分 f-la、f の特徴を含まない閉じた輪郭の内側にある点における解析関数 f の値を、この輪郭上の値を通じて表します。
物理百科事典
- ...
民族誌用語
- 配布頻度を参照してください...
医学用語
- オーギュスタン・ルイ、男爵、フランスの数学者、複素解析の創始者。オイラーのアイデアを発展させて、彼は数学的計算の多くの概念を形式化しました...
科学技術事典
- フランスの有名な数学者。彼の最初の教師であり教育者は、情熱的なラテン主義者で熱心なカトリック教徒の父親でした。オーガスティン K. は 13 歳で中央学校に配属されました。
ブロックハウスとユーフロンの百科事典
- オーギュスタン・ルイ、フランスの数学者、パリ科学アカデミー会員。パリのエコール・ポリテクニックと橋と道路学校を卒業。 1810年から1813年にかけて、彼はシェルブールで技師として働きました。
- 微分方程式理論の主要な問題の 1 つで、最初に O. Cauchy によって体系的に研究されました。解決策を見つけることから成ります...
ソビエト大百科事典
- フォームの積分...
ソビエト大百科事典
- 有限和の不等式。次の形式になります。 ...
ソビエト大百科事典
- 特殊なタイプの確率変数の確率分布。 O. コーシーによって紹介されました。密度 p = 0... によって特徴付けられます。
ソビエト大百科事典
- オーギュスタン・ルイ、フランスの数学者。関数理論の創始者の一人。微分方程式の理論、数理物理学、数論、幾何学などに取り組んでいます。
現代の百科事典
- リーマン方程式 - 複素変数の解析関数の実数部と虚数部を接続する、1 次の偏導関数を含む微分方程式...
- 微分方程式理論の主要な問題の 1 つ。それは、いわゆるものを満たすような方程式の解を見つけることにあります。初期条件...
大百科事典
- 名詞、同義語の数: 1 靴...
同義語辞典

著書「キャシーディストリビューション」

分布

『遠い過去の記憶と反省』という本より著者ボリブルク・アンドレイ・アンドレーヴィッチ

配布大学院を卒業するかなり前に、私は将来の職業を決め、大学の数学教師になることを決めました。私は次の 2 つの理由から、意図的にどの研究機関にも働きたくありませんでした。

37. コーシャとチャクラ

プラナヤマという本から。ヨガの秘密への道著者リスベット・アンドレ・ヴァン

37. コーシャとチャクラ純粋に生理的な境界をはるかに超えたプラーナヤーマの意味をあらゆる次元で深く理解するには、インド哲学の基本原則を知る必要があります。しかし、私はあえて西洋の読者にここで会うことはないことを保証します。

協会の会員の分布。資材の配布

『超社会への道』という本より著者ジノヴィエフ・アレクサンダー・アレクサンドロヴィッチ

協会の会員の分布。物質的富の分配現代の大社会では、何百万もの人々が何らかの社会的地位を占めています。これらのポジションに就く人材を訓練するための壮大なシステムが開発されました - 使い終わった人材に代わって

5. マクスウェル分布（気体分子の速度分布）とボルツマン

医学物理学の本より著者ポドコルツィナ・ヴェラ・アレクサンドロヴナ

5. マクスウェル分布（気体分子の速度分布）とボルツマン分布マクスウェル分布 - 平衡状態では、気体のパラメータ（圧力、体積、温度）は変化しませんが、微小状態 - 分子の相対的な配置、その

コーシー

百科事典 (K) より著者ブロックハウス F.A.

TSBの著者

コーシー分布

TSB

コーシーの定理

著者による大ソビエト百科事典 (KO) より TSB

オーギュスティン・コーシー

デュラン・アントニオ著

オーギュスティン・コーシー 19 世紀前半に、無限小解析のための明確な基盤がついに形成されました。この問題の解決策は Cauchy によって開始され、Weierstrass によって完成されました。ベルナール・ボルツァーノは、連続関数に関する研究でも多大な貢献をしました。

オイラー、コーシーと数学の美的価値

限界の中の真実 [無限微解析] という本よりデュラン・アントニオ著

オイラー、コーシーと数学の美的価値多くの人の意見に反して、美学は数学にとって異質なものであるだけでなく、この章のタイトルでもある重要な部分を形成しているため、美的原理について話す価値はあります。 - 「飼い慣らされた無限小動物」 - は次のことを示します。

確率変数の分布に関するコーシーの法則。 コーシャ分布

意味