べき乗、ルール、例。 学位とその性質

少し計算してみましょう。 2を2で掛けるといくらになるかまだ覚えていますか?

忘れた人がいると4つになります。 誰もが九九を覚えていて知っているようですが、Yandex への「九九」、さらには「九九のダウンロード」(!) などの膨大な数のリクエストを発見しました。 私がこれらの表をすべて掲載しているのは、このカテゴリのユーザーだけでなく、すでに平方や累乗に興味があるより上級のユーザーのためにもです。 健康のためにダウンロードすることもできます。 それで：

九九

(1 ～ 20 の整数)

正方形のテーブル

(1 ～ 100 の整数)

度数表

(1 ～ 10 の整数)

1 の乗:

2 の乗:

3 の乗:

4 の乗:

5 乗:

6 の乗:

7の乗:

7 10 = 282475249

8の乗:

8 10 = 1073741824

9の乗:

9 10 = 3486784401

10 の乗:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

数値と度数を入力し、= を押します。

度数表

次数のプロパティ - 2 つの部分

代数の主な次数をコンパクトな形で表したもの (写真、印刷に便利)。数字の上、次数の横にあります。

数値の累乗についての会話を続けると、累乗の値を求める方法を理解するのが論理的です。 このプロセスはと呼ばれます べき乗。 この記事では、べき乗がどのように実行されるかを学び、自然指数、整数指数、有理指数、無理数指数など、考えられるすべての指数について触れます。 そして伝統に従って、数値をさまざまなべき乗する例に対する解決策を詳細に検討します。

ページナビゲーション。

「べき乗」とはどういう意味ですか?

まず、べき乗と呼ばれるものについて説明します。 関連する定義は次のとおりです。

意味。

べき乗- これは数値のべき乗の値を求めることです。

したがって、指数 r を使用して数値 a のべき乗の値を求めることと、数値 a を r 乗することは同じことです。 たとえば、タスクが「(0.5) 5 乗の値を計算する」である場合、「数値 0.5 の 5 乗を計算する」と再定式化できます。

これで、べき乗を実行するルールに直接進むことができます。

数値の自然べき乗

実際には、に基づく等価性は通常、 の形式で適用されます。 つまり、数値 a を分数乗 m/n に累乗する場合、まず数値 a の n 乗根が計算され、その後、結果が整数乗 m に累乗されます。

分数累乗の例に対する解決策を見てみましょう。

例。

次数の値を計算します。

解決。

2 つの解決策を示します。

最初の方法。 小数指数を使用した次数の定義による。 根号の下の次数の値を計算し、立方根を抽出します。 .

2番目の方法。 小数指数を使用した次数の定義と根の特性に基づくと、次の等式が成り立ちます。 。 今度はルートを抽出します 、最後に整数乗します。 .

明らかに、分数乗で得られた結果は一致します。

答え：

小数部の指数は小数または帯分数として記述できることに注意してください。この場合、対応する通常の分数に置き換えてからべき乗する必要があります。

例。

(44.89) 2.5 を計算します。

解決。

指数を普通の分数の形式で書きましょう (必要に応じて、記事を参照してください)。 。 次に、分数乗を実行します。

答え：

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

また、数値の有理べき乗はかなり労働集約的なプロセスであり (特に分数指数の分子と分母に十分に大きな数値が含まれている場合)、通常はコンピューター技術を使用して実行されます。

この点の結論として、数値ゼロの分数乗について詳しく見てみましょう。 次の形式のゼロの分数乗に次の意味を与えました。 、0 の m/n 乗では定義されません。 したがって、たとえば、ゼロの正の小数乗はゼロになります。 。 また、負の分数乗のゼロは意味を持ちません。たとえば、式 0 -4.3 は意味を持ちません。

不合理な力を高める

無理数指数を使用して数値のべき乗の値を求めることが必要になる場合があります。 この場合、実用上は、通常、特定の符号に対して正確な次数の値を取得すれば十分です。 この値を手動で無理数乗するには膨大な量の面倒な計算が必要となるため、実際にはこの値は電子コンピュータを使用して計算されることにすぐに注意してください。 ただし、アクションの本質については一般的な用語で説明します。

無理指数を使用して数値 a の累乗の近似値を取得するには、指数を 10 進近似して、累乗の値を計算します。 この値は、無理指数による数値 a の累乗の近似値です。 最初に数値の小数近似をより正確に行うほど、最終的に得られる次数の値もより正確になります。

例として、2 のべき乗の近似値 1.174367... を計算してみましょう。 次の無理数指数の 10 進近似を考えてみましょう。 ここで、2 の有理乗 1.17 を計算すると (このプロセスの本質は前の段落で説明しました)、2 1.17 ≈ 2.250116 が得られます。 したがって、 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 。 たとえば、無理数指数をより正確に 10 進近似すると、元の指数のより正確な値が得られます。 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

参考文献。

• Vilenkin N.Ya.、Zhokhov V.I.、Chesnokov A.S.、Shvartsburd S.I. ５年生の算数の教科書です。 教育機関。
• Makarychev Yu.N.、Mindyuk N.G.、Neshkov K.I.、Suvorova S.B. 代数: 7 年生の教科書。 教育機関。
• Makarychev Yu.N.、Mindyuk N.G.、Neshkov K.I.、Suvorova S.B. 代数: 8 年生の教科書。 教育機関。
• Makarychev Yu.N.、Mindyuk N.G.、Neshkov K.I.、Suvorova S.B. 代数: 9 年生の教科書。 教育機関。
• コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の始まり: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
• グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。

なぜ学位が必要なのでしょうか?

どこで必要になりますか?

時間をかけてそれらを研究する必要があるのはなぜでしょうか。

学位についてすべてを知りたい場合は、この記事を読んでください。

そしてもちろん、学位の知識があれば、統一州試験の合格に近づくことができます。

そして憧れの大学入学へ！

行こう... (行こう!)

最初のレベル

べき乗は、加算、減算、乗算、除算と同じ数学演算です。

ここで、非常に簡単な例を使用して、すべてを人間の言語で説明します。 気をつけて。 例は初歩的なものですが、重要なことを説明しています。

加算から始めましょう。

ここでは説明することは何もありません。 あなたはもうすべてを知っています。私たちは 8 人です。 誰もがコーラを2本持っています。 コーラはどのくらいありますか？ そうです、16本です。

今度は掛け算です。

コーラを使用した同じ例を別の方法で記述することもできます。 数学者は狡猾で怠け者です。 彼らはまずいくつかのパターンに気づき、それをより速く「数える」方法を見つけます。 私たちの場合、8 人がそれぞれ同じ数のコーラのボトルを持っていることに気づき、掛け算と呼ばれる手法を思いつきました。 同意します、それはより簡単で速いと考えられています。

したがって、より速く、より簡単に、そして間違いなく数を数えるためには、次のことを覚えておく必要があります。 九九。 もちろん、すべてをより遅く、より難しく、間違いを伴うこともできます。 しかし…

こちらが九九です。 繰り返す。

そしてもう一つ、より美しいものがあります。

怠惰な数学者は他にどんな賢い数え方のトリックを思いついたでしょうか? 右 - 数値のべき乗.

数値のべき乗

数値を 5 回掛ける必要がある場合、数学者はその数値を 5 乗する必要があると言います。 例えば、 。 数学者は、2 の 5 乗が…であることを覚えています。 そして、彼らはそのような問題を頭の中で、より速く、より簡単に、そして間違いなく解決します。

あなたがしなければならないのは、 数の累乗表で色で強調表示されている部分を覚えておいてください。 信じてください、これであなたの人生はずっと楽になります。

ところで、なぜ二級というのでしょうか？ 四角数字と 3 番目の - 立方体? それはどういう意味ですか？ とても良い質問です。 これで正方形と立方体の両方ができました。

実際の例 #1

数値の 2 乗または 2 乗から始めましょう。

1 メートル×1 メートルの正方形のプールを想像してください。 プールはあなたのダーチャにあります。 暑いので本当に泳ぎたいです。 しかし…プールには底がありません！ プールの底をタイルで覆う必要があります。 タイルは何枚必要ですか? これを判断するには、プールの底面積を知る必要があります。

指を指して、プールの底がメートルごとの立方体で構成されていることを簡単に計算できます。 1 メートル×1 メートルのタイルがある場合、ピースが必要になります。 それは簡単です...しかし、そのようなタイルをどこで見たことがありますか？ タイルはおそらく cm ごとにあり、その後「指で数える」という拷問を受けることになります。 次に、乗算する必要があります。 したがって、プールの底の片側にタイル (ピース) を取り付け、もう一方の側にもタイルを取り付けます。 を掛けるとタイルが得られます ()。

プールの底の面積を求めるために、同じ数値を単純に乗算することに気づきましたか? それはどういう意味ですか？ 同じ数値を掛けるので、「べき乗」テクニックを使用できます。 (もちろん、数値が 2 つしかない場合でも、それらを掛けるか累乗する必要があります。しかし、数値が多数ある場合は、累乗する方がはるかに簡単で、計算エラーも少なくなります) . 統一国家試験の場合、これは非常に重要です）。
したがって、30 の 2 乗は () になります。 あるいは、30 の 2 乗になるとも言えます。 言い換えれば、数値の 2 乗は常に平方として表すことができます。 逆も同様で、正方形が表示される場合、それは常にある数値の 2 乗です。 正方形は数値の 2 乗のイメージです。

実際の例 #2

ここにあなたのためのタスクがあります: 数字の 2 乗を使用して、チェス盤上にマス目が何個あるか数えてください... マスの片側と反対側も同様です。 それらの数を計算するには、8 × 8 を掛ける必要があります。または...チェス盤が 1 辺のある正方形であることに気付いた場合は、8 を平方することができます。 細胞が得られます。 （） それで？

実際の例 #3

次に、数値の 3 乗または 3 乗です。 同じプールです。 しかし今度は、このプールにどれだけの水を注ぐ必要があるかを調べる必要があります。 体積を計算する必要があります。 (ところで、体積と液体は立方メートルで測定されます。予想外ですよね?) プールを描きます。底の大きさは 1 メートル、深さは 1 メートルです。1 メートル×1 メートルの立方体が何個できるかを数えてみてください。あなたのプールにフィットします。

指を指して数えるだけ！ １、２、３、４…２２、２３…何個取れましたか？ 失われていませんか？ 指で数えるのは難しいですか？ となることによって！ 数学者の例を見てみましょう。 彼らは怠け者なので、プールの体積を計算するには、長さ、幅、高さをそれぞれ乗算する必要があることに気づきました。 私たちの場合、プールの体積は立方体と同じになります...簡単ですよね?

これも単純化したら、数学者がどれほど怠け者で狡猾になるか想像してみてください。 すべてを 1 つのアクションにまとめました。 彼らは、長さ、幅、高さが等しいことに気づき、同じ数がそれ自体で乗算されることに気づきました...これは何を意味しますか? つまり、学位を活用できるということです。 つまり、かつて指で数えたことが 1 回のアクションで行われます。つまり、3 の 3 乗は等しいということです。 次のように書かれています。

残っているのは 度表を覚えておいてください。 もちろん、あなたが数学者のように怠け者で狡猾である場合は別ですが。 一生懸命に働き、間違いを犯すのが好きな場合は、指で数え続けることができます。

さて、学位というものは、あなたに問題を引き起こすためではなく、人生の問題を解決するためにやめる者や狡猾な人々によって発明されたものであることを最終的に納得していただくために、人生の例をさらにいくつか挙げておきます。

実際の例 #4

あなたは100万ルーブルを持っています。 毎年の初めに、100 万稼ぐごとに、さらに 100 万を稼ぎます。 つまり、100 万ごとに、毎年の初めに 2 倍になります。 何年後にはどのくらいのお金を持っていますか？ もしあなたが今座って「指で数を数えている」としたら、あなたは非常に勤勉な人ですが、愚かな人です。 しかし、あなたは賢いので、おそらく数秒以内に答えられるでしょう。 それで、最初の年 - 2×2... 2年目 - 3年目でさらに2が起こった... やめて！ 数値がそれ自身の倍になっていることに気づきました。 つまり、2 の 5 乗は 100 万です。 ここで、競争があり、最も速く数えることができる人がこれらの数百万を獲得できると想像してください...数字の力を覚えておく価値はあると思いませんか?

実際の例 #5

あなたは100万持っています。 毎年の初めに、100 万稼ぐごとに、さらに 2 を稼ぎます。 すごいですね？ 100万ごとに3倍になります。 1年でどれくらいのお金が手に入りますか？ 数えてみましょう。 最初の年 - を掛けて、その結果をもう 1 つ掛けます。すでにすべてを理解しているので、もう退屈です。3 を掛けるとそれ自体が 1 回になります。 したがって、4 乗すると 100 万に相当します。 3 の 4 乗は or であることを覚えておく必要があります。

数値を累乗すると、生活がずっと楽になることがわかりました。 学位を使って何ができるのか、学位について知っておくべきことは何なのかをさらに見てみましょう。

用語と概念...混乱しないように

そこで、まず概念を定義しましょう。 どう思いますか、 指数とは何ですか? それは非常に単純です - それは数のべき乗の「頂点」にある数です。 科学的ではありませんが、明確で覚えやすいです...

さて、同時に、何ですか そのような程度の基礎? さらに単純なことですが、これはその下の基部にある数字です。

これが目安となる図です。

さて、一般的に、一般化してよりよく覚えておくために... 基底「 」と指数「 」を持つ学位は「程度」と読み、次のように書きます。

自然指数を使用した数値のべき乗

おそらくすでにお気づきかと思いますが、指数は自然数であるためです。 はい、でもそれは何ですか 自然数? 初級！ 自然数とは、物を列挙するときに数を数えるときに使用される数です。1、2、3... 物を数えるとき、「マイナス 5」、「マイナス 6」、「マイナス 7」とは言いません。 また、「3 分の 1」や「ゼロ・ポイント 5」とも言いません。 これらは自然数ではありません。 これらは何の数字だと思いますか?

「マイナス 5」、「マイナス 6」、「マイナス 7」などの数字は、 整数。一般に、整数には、すべての自然数、自然数の反対の数 (つまり、マイナス記号を付けた数)、および数値が含まれます。 ゼロというのはわかりやすいですね、何もない状態です。 負の (「マイナス」) 数値は何を意味しますか? しかし、これらは主に借金を示すために発明されました。携帯電話にルーブルの残高がある場合、これはオペレーターにルーブルの借金があることを意味します。

すべての分数は有理数です。 彼らはどのようにして生まれたと思いますか? とてもシンプルです。 数千年前、私たちの祖先は、長さ、重さ、面積などを測定するための自然数が欠けていることを発見しました。 そして彼らは思いついた 有理数…面白いですね。

無理数もあります。 これらの数字は何ですか? 簡単に言えば、無限小数です。 たとえば、円の円周を直径で割ると無理数が得られます。

まとめ：

指数が自然数 (つまり、整数で正) である次数の概念を定義しましょう。

1. 任意の数値の 1 乗はそれ自体と等しくなります。
2. 数値を 2 乗するということは、それ自体を乗算することを意味します。
3. 数値を 3 乗するとは、その数値を 3 回掛けることを意味します。

意味。数値を自然乗するということは、その数値をそれ自体で乗算することを意味します。
.

度数の性質

これらの特性はどこから来たのでしょうか? 今からお見せします。

見てみましょう：それは何ですか そして ?

A優先:

乗数は合計でいくつありますか?

それは非常に単純です。係数に乗数を追加すると、その結果が乗数になります。

しかし、定義上、これは指数を伴う数値のべき乗、つまり であり、これを証明する必要があります。

例：表現を簡略化します。

解決：

例：表現を簡略化します。

解決：私たちのルールでは次のことに注意することが重要です。 必然的に同じ理由があるはずです！
したがって、パワーとベースを組み合わせますが、それは別個の要素のままです。

力の積だけに！

いかなる状況であっても、そのようなことを書くことはできません。

2.それだけです 数値の乗

前のプロパティと同様に、次の度の定義に移りましょう。

式はそれ自体を 2 回乗算することがわかります。つまり、定義によれば、これは数値の 3 乗です。

本質的に、これは「指標を括弧から外す」と呼ぶことができます。 しかし、これを完全に実行することは決してできません。

省略された乗算の公式を思い出してみましょう。何度書きたかったでしょうか?

しかし、結局のところ、これは真実ではありません。

マイナスベースの電力

ここまでは、指数がどうあるべきかについてのみ説明してきました。

しかし、何を基礎とすべきでしょうか？

のべき乗で ナチュラルインジケーター根拠はあるかもしれない いずれかの番号。 実際、正、負、偶数を問わず、あらゆる数値を掛け合わせることができます。

どの記号 ("" または "") が正負の数値を持つのか考えてみましょう。

たとえば、その数値は正ですか、負ですか? あ？ ? 最初のものでは、すべてが明らかです。正の数をどれだけ掛け合わせても、結果は正になります。

しかし、否定的なものはもう少し興味深いものです。 「マイナスにはマイナスをプラスする」という6年生の簡単なルールを覚えています。 つまり、または。 しかし、乗算すると機能します。

次の式がどのような符号を持つかを自分で判断してください。

あなたは管理しましたか？

答えは次のとおりです。最初の 4 つの例で、すべてが明らかだと思いますか? 基数と指数を調べて、適切なルールを適用するだけです。

例 5) では、すべてが見かけほど恐ろしいものではありません。結局のところ、基数が何に等しいかは問題ではありません。次数は偶数であり、結果は常にプラスになることを意味します。

ただし、ベースがゼロの場合は除きます。 ベースは平等じゃないですよね？ 明らかに違います、なぜなら（なぜなら）。

例 6) はもうそれほど単純ではありません。

実践すべき6つの例

ソリューションの分析 6 つの例

全体私たちは自然数、その反対語 (つまり " " 記号を付けたもの) を数値と呼びます。

正の整数、自然と変わらない場合は、すべてが前のセクションとまったく同じように見えます。

次に、新しいケースを見てみましょう。 に等しいインジケーターから始めましょう。

任意の数値のゼロ乗は 1 に等しい:

いつものように、なぜそうなるのかを自問してみましょう。

ある程度ベースで考えてみましょう。 たとえば、次のように乗算します。

そこで、その数値を乗算すると、同じ結果が得られました - 。 何も変化しないようにするにはどの数値を掛ければよいでしょうか? そうです、オン。 手段。

任意の数値でも同じことができます。

ルールを繰り返しましょう:

任意の数値のゼロ乗は 1 に等しくなります。

しかし、多くのルールには例外があります。 そしてここにもそれがあります - これは（ベースとしての）数字です。

一方で、それはどの程度であっても等しくなければなりません。ゼロをいくら掛けてもゼロになるのは明らかです。 しかし一方で、他の数値のゼロ乗と同様に、等しくなければなりません。 では、これはどこまで真実なのでしょうか？ 数学者たちは関与しないことを決定し、ゼロのゼロ乗を拒否しました。 つまり、ゼロで割るだけでなく、ゼロ乗することもできなくなります。

次へ移りましょう。 整数には自然数や数値のほかに負の数も含まれます。 負の累乗とは何かを理解するために、前回と同じように、通常の数値に同じ数値を乗算して負の累乗をしてみましょう。

ここからは、探しているものを簡単に表現できます。

次に、結果のルールを任意の程度に拡張してみましょう。

そこで、ルールを策定しましょう。

負の累乗を持つ数値は、正の累乗を持つ同じ数値の逆数です。 しかし同時に ベースを null にすることはできません。(割ることができないため)。

要約しましょう:

独立したソリューションのタスク:

さて、いつものように、独立したソリューションの例:

独立した解決策のための問題の分析:

数字が恐ろしいのはわかっていますが、統一州試験では何事にも備えなければなりません。 これらの例題を解くか、解けなかった場合は解答を分析すれば、試験で簡単に対処できるようになります。

指数として「適切」な数値の範囲をどんどん広げていきましょう。

では、考えてみましょう 有理数。どのような数が有理数と呼ばれますか?

答え: 分数で表現できるすべてのもの、および は整数です。

それが何なのかを理解するには 「小数次数」、分数を考えてみましょう。

方程式の両辺をべき乗してみましょう。

ここでルールを思い出してみましょう 「程度から程度」:

取得するには何乗する必要がありますか?

この公式は 2 次根の定義です。

思い出してください: 数値の 3 乗根 () は、べき乗すると等しい数値です。

つまり、乗根は次の乗の逆演算です。

ということが分かりました。 明らかに、この特殊なケースは次のように拡張できます。

ここで分子を追加します。これは何ですか? 答えは、力対力の法則を使用すると簡単に得られます。

しかし、基数はどんな数字でもいいのでしょうか? 結局のところ、すべての数値からルートを抽出することはできません。

なし！

規則を思い出してください。偶数乗した数値は正の数です。 つまり、負の数から根さえ抽出することは不可能です。

これは、そのような数値を偶数の分母で分数乗することができない、つまり、式が意味をなさないことを意味します。

表現についてはどうでしょうか？

しかし、ここで問題が発生します。

数値は、たとえば または など、他の約分可能な分数の形式で表すことができます。

そして、それは存在するようで存在しないことがわかりますが、これらは同じ番号の 2 つの異なるレコードにすぎません。

または別の例: 一度、それを書き留めることができます。 しかし、インジケーターを別の方法で記述すると、再び問題が発生します (つまり、まったく異なる結果が得られます!)。

このような矛盾を避けるために、次のように考えます。 小数指数を含む正の基底指数のみ.

したがって、次の場合:

• - 自然数;
• - 整数;

例:

有理指数は、ルートを使用して式を変換する場合に非常に役立ちます。次に例を示します。

実践するための 5 つの例

トレーニング用の 5 つの例の分析

さて、ここからが最も難しい部分です。 さあ、それを理解しましょう 無理指数を伴う次数.

ここでの次数のすべてのルールとプロパティは、例外を除いて、有理指数を使用した次数の場合とまったく同じです。

結局のところ、定義上、無理数は分数として表すことができない数であり、 と は整数です (つまり、無理数は有理数を除くすべての実数です)。

自然指数、整数指数、有理指数を使って学位を勉強するとき、そのたびに私たちは特定の「イメージ」、「類推」、またはより馴染みのある用語での説明を作成しました。

たとえば、自然指数を伴う次数は、それ自体を数回乗算した数値です。

...数値の0乗- これは、いわば、一度だけ掛け合わせた数字です。つまり、まだ掛け始めていません。つまり、数字自体がまだ現れてさえいないことを意味します。したがって、結果は特定の「空白の数字」にすぎません。 、つまり数値です。

...負の整数次数- あたかも「逆のプロセス」が起こったかのようです。つまり、数値がそれ自身で乗算されるのではなく、除算されるのです。

ちなみに、科学では複素数の指数を伴う学位がよく使用されます。つまり、指数は実数ではありません。

しかし、学校ではそのような難しいことは考えません。研究所ではこれらの新しい概念を理解する機会があります。

あなたが必ず行く場所へ！ (そのような例を解決できるようになったら:))

例えば：

自分で決めてください:

ソリューションの分析:

1. べき乗を累乗するための通常のルールから始めましょう。

上級レベル

学位の決定

度は次の形式の式です: 。ここで:

• — 学位ベース。
• - 指数。

自然指標による度数 (n = 1、2、3、...)

数値の自然乗 n は、その数値をそれ自体で乗算することを意味します。

整数の指数を伴う次数 (0、±1、±2、...)

指数が 正の整数番号：

工事 ゼロ度まで:

この式は不定です。なぜなら、一方では任意の次数はこれであり、他方では、次次までの任意の数はこれであるからです。

指数が 負の整数番号：

(割ることができないため)。

ゼロについてもう一度言います。この場合、式は定義されていません。 もしそうなら。

例:

有理指数によるべき乗

• - 自然数;
• - 整数;

例:

度数の性質

問題を解決しやすくするために、これらのプロパティがどこから来たのかを理解してみましょう。 それらを証明しましょう。

見てみましょう: とは何ですか?

A優先:

したがって、この式の右側では次の積が得られます。

しかし、定義上、これは指数を伴う数値の累乗です。つまり、次のようになります。

Q.E.D.

例 ：表現を簡略化します。

解決 : .

例 ：表現を簡略化します。

解決 : 私たちのルールでは次の点に注意することが重要です。 必然的に同じ理由があるはずです。 したがって、パワーとベースを組み合わせますが、それは別個の要素のままです。

もう 1 つの重要な注意点: このルール - べき乗の積のみ!

いかなる状況であっても、そのようなことを書くことはできません。

前のプロパティと同様に、次の度の定義に移りましょう。

この作業を次のように再グループ化してみましょう。

式はそれ自体を 2 回乗算することがわかります。つまり、定義によれば、これは数値の 3 乗です。

本質的に、これは「指標を括弧から外す」と呼ぶことができます。 しかし、これを完全に行うことは決してできません。

省略された乗算の公式を思い出してみましょう。何度書きたかったでしょうか? しかし、結局のところ、これは真実ではありません。

マイナスベースのパワー。

ここまでは、どうあるべきかを議論しただけです 索引度。 しかし、何を基礎とすべきでしょうか？ のべき乗で 自然 インジケータ 根拠はあるかもしれない いずれかの番号 .

実際、正、負、偶数を問わず、あらゆる数値を掛け合わせることができます。 どの記号 ("" または "") が正負の数値を持つのか考えてみましょう。

たとえば、その数値は正ですか、負ですか? あ？ ?

最初のものでは、すべてが明らかです。正の数をどれだけ掛け合わせても、結果は正になります。

しかし、否定的なものはもう少し興味深いものです。 「マイナスにはマイナスをプラスする」という6年生の簡単なルールを覚えています。 つまり、または。 しかし、() を掛けると - が得られます。

以下同様に無限に繰り返され、後続の乗算ごとに符号が変化します。 次のような簡単なルールを定式化できます。

1. 平度、-数値 ポジティブ.
2. 負の数を次のように切り上げます 奇数度、-数値 ネガティブ.
3. 正の数は、どの程度であっても正の数です。
4. ゼロの累乗はゼロに等しい。

次の式がどのような符号を持つかを自分で判断してください。

あなたは管理しましたか？ 答えは次のとおりです。

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

最初の 4 つの例で、すべてが明確になったと思いますか? 基数と指数を調べて、適切なルールを適用するだけです。

例 5) では、すべてが見かけほど恐ろしいものではありません。結局のところ、基数が何に等しいかは問題ではありません。次数は偶数であり、結果は常にプラスになることを意味します。 ただし、ベースがゼロの場合は除きます。 ベースは平等じゃないですよね？ 明らかに違います、なぜなら（なぜなら）。

例 6) は、それほど単純ではなくなりました。 ここで、どちらが少ないかを調べる必要があります: それとも? これを思い出せば、ベースがゼロ未満であることは明らかです。 つまり、ルール 2: 結果は負になります。

そして再び度数の定義を使用します。

すべてはいつもどおりです。度の定義を書き留めて、それらを互いに分割し、それらをペアに分割すると、次のようになります。

最後のルールを確認する前に、いくつかの例を解いてみましょう。

式を計算します。

ソリューション :

例に戻りましょう:

そして再び式は次のようになります。

最後のルールは次のとおりです。

それをどうやって証明するのでしょうか？ もちろん、いつものように、程度の概念を拡張して単純化してみましょう。

さて、括弧を開けてみましょう。 文字は全部で何文字ありますか？ 乗数による倍 - これを見て何を思い出しますか? これは操作の定義にすぎません。 乗算：そこには乗算器しかありませんでした。 つまり、定義上、これは指数を伴う数値のべき乗です。

例：

無理指数を伴う次数

平均レベルの次数の情報に加えて、無理指数を使用して次数を分析します。 ここでの次数のすべての規則と特性は、例外を除いて、有理指数を使用した次数の場合とまったく同じです。結局のところ、定義上、無理数は分数として表すことができない数であり、ここで と は整数です (つまり、 、無理数は有理数を除くすべての実数です）。

自然指数、整数指数、有理指数を使って学位を勉強するとき、そのたびに私たちは特定の「イメージ」、「類推」、またはより馴染みのある用語での説明を作成しました。 たとえば、自然指数を伴う次数は、それ自体を数回乗算した数値です。 ゼロ乗の数は、いわば、それ自体を 1 回乗算した数です。つまり、まだ乗算を開始していません。つまり、数自体がまだ出現していないことを意味します。したがって、結果は一定のものにすぎません。 「空白の数字」、つまり数字。 整数の負の指数を伴う次数 - あたかも「逆のプロセス」が起こったかのようです。つまり、数値がそれ自身で乗算されるのではなく、除算されるのです。

無理指数を伴う次数を想像するのは非常に困難です (4 次元空間を想像するのが難しいのと同じように)。 これはむしろ、数学者が次数の概念を数値空間全体に拡張するために作成した純粋に数学的なオブジェクトです。

ちなみに、科学では複素数の指数を伴う学位がよく使用されます。つまり、指数は実数ではありません。 しかし、学校ではそのような難しいことは考えません。研究所ではこれらの新しい概念を理解する機会があります。

では、無理数指数が現れた場合はどうすればよいでしょうか? 私たちはそれを取り除くために全力を尽くしています!:)

例えば：

自分で決めてください:

答え:

このセクションの概要と基本公式

程度形式の式と呼ばれます: 、ここで:

整数の指数を伴う次数

指数が自然数 (つまり、整数で正) である次数。

有理指数によるべき乗

度。その指数は負の小数です。

無理指数を伴う次数

指数が無限小数またはルートである度。

度数の性質

度数の特徴。

• 負の数を次のように切り上げます 平度、-数値 ポジティブ.
• 負の数を次のように切り上げます 奇数度、-数値 ネガティブ.
• 正の数は、どの程度であっても正の数です。
• ゼロはどんな累乗にも等しい。
• 任意の数値のゼロ乗は等しい。

今、あなたは言葉を持っています...

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次数プロパティを使用した経験について教えてください。

おそらく質問があるかもしれません。 または提案。

コメントに書いてください。

そして試験も頑張ってください！

さて、この話題は終わりました。 これらの行を読んでいる場合、それはあなたがとてもクールであることを意味します。

なぜなら、独力で何かを習得できる人はわずか5％だからです。 最後まで読んでいただければ、あなたもこの 5% に入っています！

さて、最も重要なことです。

あなたはこのトピックに関する理論を理解しました。 そして、繰り返しますが、これは…これはまさにスーパーです！ あなたはすでに大多数の同僚よりも優れています。

問題は、これでは十分ではないかもしれないということです...

何のために？

統一州試験に合格したこと、低予算で大学に入学したこと、そして最も重要なことに、生涯にわたって。

何も説得できないけど、一つだけ言っておきます…

良い教育を受けた人は、受けていない人よりもはるかに多くの収入を得ています。 これは統計です。

しかし、これが主要なことではありません。

重要なことは、彼らがより幸せになるということです（そのような研究があります）。 おそらく、より多くのチャンスが彼らの前に開かれ、人生が明るくなったからでしょうか？ わかりません...

でも自分で考えてみてください...

統一国家試験で他の人より確実に優れ、最終的には幸せになるためには何が必要ですか?

このトピックに関する問題を解決して、手を獲得してください。

試験中に理論は問われません。

必要になるだろう 時間をかけて問題を解決する.

そして、それらを（たくさん！）解決していない場合は、間違いなくどこかで愚かな間違いを犯すか、単に時間がないでしょう。

それはスポーツと同じで、確実に勝つためには何度も繰り返す必要があります。

どこにいてもコレクションを見つけられ、 必ず解決策と詳細な分析を伴うそして決めて決めて決めて！

私たちのタスク (オプション) を使用することもできます。もちろん、それをお勧めします。

私たちのタスクをより上手に使用できるようにするには、現在読んでいる YouClever 教科書の寿命を延ばすことに協力する必要があります。

どうやって？ 次の 2 つのオプションがあります。

1. この記事のすべての隠されたタスクのロックを解除します -
2. 教科書の 99 記事すべてにあるすべての隠されたタスクへのアクセスのロックを解除します - 教科書を購入 - 899 RUR

はい、教科書にはそのような記事が 99 個あり、すべてのタスクにアクセスし、その中のすべての隠しテキストをすぐに開くことができます。

すべての非表示タスクへのアクセスは、サイトの存続期間中提供されます。

結論は...

私たちの仕事が気に入らない場合は、他の仕事を見つけてください。 理論だけにとどまらないでください。

「わかる」と「解ける」は全く別のスキルです。 両方必要です。

問題を見つけて解決しましょう！

累乗表には、1 から 10 までの正の自然数の値が含まれます。

エントリ 3 5 は「3 の 5 乗」と読みます。 この表記では、数値 3 はべき乗の底と呼ばれ、数値 5 は指数と呼ばれ、式 3 5 はべき乗と呼ばれます。

度数表をダウンロードするには、サムネイル画像をクリックしてください。

学位計算機

あらゆる数値をオンラインで累乗するのに役立つ累乗計算ツールをぜひお試しください。

電卓の使い方は非常に簡単です。べき乗したい数値を入力し、その数値のべき乗を入力して、「計算」ボタンをクリックします。

私たちのオンライン学位計算ツールは正と負の両方の累乗を行うことができることは注目に値します。 ルートを抽出するために、サイトには別の計算機があります。

数値をべき乗する方法。

例を挙げて累乗のプロセスを見てみましょう。 数字の 5 を 3 乗する必要があるとします。 数学の言語では、5 が基数、3 が指数 (または単に次数) です。 そして、これは次のように簡単に書くことができます。

べき乗

そして、値を見つけるには、数値 5 を 3 回掛ける必要があります。

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

したがって、数値 7 の 5 乗の値を求めたい場合は、数値 7 を 5 回掛ける必要があります (つまり、7 x 7 x 7 x 7 x 7)。もう 1 つは、数値を上げる必要がある場合です。マイナスの力に。

マイナス累乗する方法。

負の累乗を行う場合は、次の単純なルールを使用する必要があります。

マイナス累乗する方法

すべては非常に単純です。負のべき乗を行うときは、1 をマイナス記号のない累乗、つまり正の累乗で割る必要があります。 したがって、値を見つけるには

代数における 1 から 25 までの自然数の累乗表

さまざまな数学の演習を解くとき、主に 1 から 10 までの数値をべき乗する必要があることがよくあります。そして、これらの値をすばやく見つけるために、代数の累乗表を作成しました。このページで公開します。

まず、1 から 6 までの数字を見てみましょう。ここでの結果はそれほど大きくありません。すべての結果は通常の電卓で確認できます。

• 1 と 2 の 1 の 10 乗

度数表

累乗表は、10 以内の自然数を 2 より大きい累乗する必要がある場合に不可欠なツールです。 テーブルを開いて、必要な度数のベースの反対側の、必要な度数を含む列の数字を見つけるだけで十分です。これが例の答えになります。 便利な表に加えて、ページの下部には自然数の 10 乗までの例が掲載されています。 必要な数値のべき乗を含む必要な列を選択すると、すべてのべき乗が昇順に配置されているため、解を簡単かつ簡単に見つけることができます。

重要なニュアンス！ 数値のゼロ乗は 1 に等しいため、表にはゼロ乗は示されていません: a 0 =1

九九、平方、累乗

少し計算してみましょう。 2を2で掛けるといくらになるかまだ覚えていますか?

忘れた人がいると4つになります。 誰もが九九を覚えていて知っているようですが、Yandex への「九九」、さらには「九九のダウンロード」(!) などの膨大な数のリクエストを発見しました。 私がこれらの表をすべて掲載しているのは、このカテゴリのユーザーだけでなく、すでに平方や累乗に興味があるより上級のユーザーのためにもです。 健康のためにダウンロードすることもできます。 それで：

2 度までの 10 + 2 度までの 11 + 2 度までの 12 + 2 度までの 13 + 2 度までの 14/365

カテゴリからのその他の質問

決めるのを手伝ってください）

こちらもお読みください

解: 3x(2乗)-48= 3(Xの2乗)(xの2乗)-16)=(X-4)(X+4)

5) スリーポイントファイブ。 6) 1000分の9.27。 2) 数値を普通分数の形式で書き留めます: 1)0.3。 2)0.516。 3)0.88。 4)0.01。 5)0.402。 5)0.038。 6)0.609。 7)0.91.8)0.5.9)0.171.10)0.815.11)0.27.12)0.081.13)0.803

2 のマイナス 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 乗は何ですか?

2 のマイナス 1 乗は何ですか?

2のマイナス2乗は何ですか?

2 のマイナス 3 乗は何ですか?

2のマイナス4乗って何ですか?

2のマイナス5乗は何ですか?

2のマイナス6乗とは何ですか?

2のマイナス7乗って何ですか?

2のマイナス8乗は何ですか?

2のマイナス9乗とは何ですか?

2のマイナス10乗は何ですか?

n ^(-a) の負の累乗は、次の形式 1/n^a で表すことができます。

2 の -1 乗 = 1/2、小数で表すと 0.5。

2 の乗 - 2 = 1/4、つまり 0.25。

2 の -3 乗 = 1/8、つまり 0.125。

2 の -4 乗 = 1/16、つまり 0.0625。

2 の -5 乗 = 1/32、つまり 0.03125。

2 の乗 - 6 = 1/64、つまり 0.015625。

2 の乗 - 7 = 1/128、つまり 0。

2 の -8 乗 = 1/256、つまり 0。

2 の -9 乗 = 1/512、つまり 0。

2 の乗 - 10 = 1/1024、つまり 0。

他の数値の同様の計算はここで見つけることができます: 3、4、5、6、7、8、9

数の負のべき乗は、一見すると、代数学の難しいテーマです。

実際、すべては非常に単純です。代数式 (上記を参照) を使用して、数値「2」の数学的計算を実行します。「a」の代わりに数値「2」を、「n」の代わりに数値を代入します。数字の力。 電卓を使用すると、計算時間を大幅に短縮できます。

残念ながら、このサイトのテキスト エディタでは、分数や負の累乗に数学記号を使用することはできません。 大文字の英数字の情報に限定しましょう。

これらは、最終的に得られた単純な数値ステップです。

数値の負のべき乗とは、その数値がべき乗に書かれている回数だけ乗算され、その結果の数値で 1 が割られることを意味します。 2 人の場合:

• (-1) 次は 1/2=0.5 です。
• (-2) 次は 1/(2 2)=0.25 です。
• (-3) 次は 1/(2 2 2)=0.125 です。
• (-4) 次は 1/(2 2 2 2)=0.0625 です。
• (-5) 次は 1/(2 2 2 2 2)=0.03125 です。
• (-6) 次は 1/(2 2 2 2 2 2)=0.015625 です。
• (-7) 次は 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0.078125 です。
• (-8) 次は 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0、;
• (-9) 次は 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0、;
• (-10) 乗は 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0、です。

基本的に、前の各値を単純に 2 で割ります。

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

2 次は、計算中に得られた数値をそれ自体で乗算することを意味します。

ロシア語: 春をテーマにした15のフレーズ

早春、晩春、春の紅葉、春の日差し、春の日、春が来た、春の鳥、冷たい春、春の草、春の風、春の雨、春の服、春のブーツ、春は赤い、春の旅。

質問: 5*4 の 2 乗 - (33 の 2 乗: 11) の 2 乗: 81 行動で答えを言う

5*4 の 2 乗 - (33 の 2 乗: 11) の 2 乗: 81 行動で答えを言う

答え:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 2 乗は、次の数を意味します。計算中にそれ自体が乗算されることが判明しました。

10 の -2 乗はどれくらいですか。

1. 10 の -2 乗は 1/10 の 2 乗と同じで、10 を 2 乗すると 1/100、つまり 0.01 になります。

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) 暗いと言うのですか？ ..へー（『砂漠の白い太陽』より）