投影地理のタイプ。 地図投影分類

日にち： 24.10.2015

地図投影-平面上で地球（楕円体）を表す数学的な方法。

にとって 平面への球面の投影使用する 補助面.

一目で補助地図投影面は次のように分割されます。

円筒形1（補助面はシリンダーの側面です）、 テーパー2（円錐の側面）、 方位角3（平面、これは絵と呼ばれます）。

また区別する多円錐図

疑似円筒形条件付き

およびその他の予測。

オリエンテーション補助図の場合、投影は次のように分割されます。

• 正常（円柱または円錐の軸が地球モデルの軸と一致し、空の平面がそれに垂直である場合）;
• 横（円柱または円錐の軸が地球モデルの軸に垂直であり、空の平面またはそれに平行である）;
• 斜めここで、補助図の軸は、極と赤道の間の中間位置にあります。

地図作成の歪み-これは、地球の表面にあるオブジェクトの幾何学的特性（線の長さ、角度、形状、および領域）に違反しており、それらがマップに表示されている場合です。

マップの縮尺が小さいほど、歪みが大きくなります。 大縮尺の地図では、歪みはごくわずかです。

マップには4つのタイプの歪みがあります。 長さ, 正方形, コーナーと フォームオブジェクト。 各投影には独自の歪みがあります。

歪みの性質により、地図投影法は次のように分類されます。

• 等角オブジェクトの角度と形状を保存しますが、長さと面積を歪めます。

• 同等、領域は保存されますが、オブジェクトの角度と形状は大幅に変更されます。

• 任意、長さ、面積、角度の歪みがありますが、それらはマップ上に均等に分散されています。 それらの中で、リボプロジェクション投影は特に際立っており、緯線または子午線に沿った長さの歪みはありません。

歪みのない線と点-平面上に球面を設計する場合、補助面（円柱、円錐、または画面）が 接線ボールに。

規模カードに記載されている、 歪みがゼロの線と点にのみ保存されます..。 彼はメインと呼ばれています。

マップの他のすべての部分では、縮尺はメインの縮尺とは異なり、部分的と呼ばれます。 それを決定するには、特別な計算が必要です。

マップ上の歪みの性質と大きさを判断するには、マップと地球儀の次数グリッドを比較する必要があります。

地球上ですべての緯線 互いに同じ距離にあります、 全て 子午線は等しい緯線と直角に交差します。 したがって、隣接する緯線間の次数グリッドのすべてのセルは同じサイズと形状を持ち、子午線間のセルは極から赤道に向かって拡大および増加します。

歪みの大きさを判断するために、歪みの楕円も分析されます。これは、地図と同じ縮尺の地球儀に描かれた円の特定の投影における歪みの結果として形成される楕円体です。

正角図法歪み楕円はサイズが円形で、ドットと歪みゼロの線からの距離とともに大きさが大きくなります。

等面積投影歪み楕円は、同じ面積の楕円の形をしています（一方の軸の長さが長くなり、もう一方の軸の長さが短くなります）。

等距離図法歪み楕円は、1つの軸と同じ長さの楕円の形をしています。

地図上の歪みの主な兆候

1. 緯線間の距離が同じである場合、これは子午線に沿った距離（子午線に沿って等距離）が歪んでいないことを示します。
2. マップ上の緯線の半径が地球上の緯線の半径と一致する場合、距離は緯線に沿って歪むことはありません。
3. 赤道で子午線と緯線によって作成されたセルが正方形であり、それらの対角線が直角に交差している場合、領域は歪められません。
4. 子午線に沿った長さが歪んでいない場合、緯線に沿った長さは歪んでいます。
   
5. 緯線に沿った長さが歪んでいない場合、子午線に沿った長さは歪んでいます。

地図投影法の主なグループにおける歪みの性質

地図投影-これは、実際の幾何学的に複雑な地球の表面からの移行方法です。

圧縮や張力などの変形なしに、平面上で球面を展開することは不可能です。 これは、すべてのマップに何らかの歪みがあることを意味します。 領域の長さ、角度、形状の歪みを区別します。 大縮尺の地図（を参照）では、歪みはほとんど感知できない場合がありますが、小規模の地図では非常に大きくなる可能性があります。 地図投影法は、歪みの性質とサイズに応じて異なるプロパティを持っています。 それらの中で区別されます：

正角図法..。 小さな物体の角度や形を歪ませることなく保持しますが、物体の長さや面積は急激に変形します。 このような投影法で編集された地図を使用して船の航路をプロットするのは便利ですが、面積を測定することは不可能です。

等面積投影。それらは領域を歪めませんが、角度と形状はそれらの中で非常に歪んでいます。 正積図法のマップは、州のサイズを決定するのに便利です。
等距離。 それらは一方向に一定の長さのスケールを持っています。 角度とその中の領域の歪みはバランスが取れています。

任意の予測..。 それらには、歪みと角度、および任意の比率の領域があります。
投影は、歪みの性質とサイズだけでなく、ジオイドからマップ平面に移動するときに使用されるサーフェスのタイプも異なります。 それらの中で区別されます：

円筒形ジオイドから設計する場合は、円柱の表面に移動します。 円筒図法は、で最も頻繁に使用されます。 赤道と中緯度での歪みが最も少なくなります。 この投影法は、世界地図を作成するために最もよく使用されます。

コニカル..。 これらの投影法は、旧ソ連の地図を作成するために最も頻繁に選択されました。 47°の円錐図法による歪みが最小です。 この州の主要な経済圏は示された緯線の間に位置し、カードの最大負荷がここに集中していたため、これは非常に便利です。 一方、円錐形の投影では、高緯度にある領域と水域は大きく歪んでいます。

方位角投影..。 これは、設計が平面上で実行される場合の一種の地図投影です。 このタイプの投影は、地図または地球の他の領域を作成するために使用されます。

地図作成による投影の結果、特定の座標を持つ地球上の各ポイントは、マップ上の1つのポイントにのみ対応します。

円筒形、円錐形、地図作成法の投影法に加えて、条件付き投影法の大きなクラスがあり、その構造では、幾何学的な類似物ではなく、目的のタイプの数式のみを使用します。

歪みの性質により 投影は、等角、等面積、および任意に分割されます。

等角（また コンフォーマル）予測 微小な図形の角度と形状を保持する..。 各ポイントの長さのスケールは、すべての方向で一定であり（子午線に沿った隣接する緯線間の距離が定期的に増加することで保証されます）、ポイントの位置のみに依存します。 歪み楕円は、さまざまな半径の円として表されます。

正角図法の各点について、次の依存関係が当てはまります。

/ L i= a = b = m = n; a>= 0°; 0 = 90°; k = 1と a 0 = 0°（または±90°）。

そのような予測 方向を決定するのに特に便利特定の方位角にルートを配置します（たとえば、ナビゲーションの問題を解決する場合）。

同等（また 同等）予測 エリアを歪めないでください..。 これらの予測では 歪み楕円領域は..。 歪み楕円の一方の軸に沿った長さスケールの増加は、もう一方の軸に沿った長さスケールの減少によって補償されます。これにより、子午線に沿った隣接する平行線間の距離が自然に減少し、その結果、強い歪みが発生します。形の。

そのような 投影は、領域の測定に便利ですオブジェクト（たとえば、一部の経済地図や形態計測地図には不可欠です）。

数学的地図作成の理論では、次のことが証明されています いいえ、等角で等しい射影はあり得ません..。 一般に、コーナーの歪みが大きいほど、エリアの歪みは小さくなり、その逆も同様です。

任意予測 角度と面積の両方を歪める..。 それらを構築するとき、彼らはそれぞれの特定のケースに最も好ましい歪み分布を見つけようと努力し、いわば妥協点に到達します。 このグループの予測 コーナーやエリアの過度の歪みが同様に望ましくない場合に使用されます..。 それらの特性により、任意の投影 等角と等式の間にある..。 それらの中には 等距離（また 等距離）投影。すべての点で、主な方向の1つでのスケールは一定であり、主な方向と同じです。

補助幾何学的表面のタイプによる地図投影の分類 .

補助幾何学的表面のタイプによって、投影は、円筒形、方位角、および円錐形で区別されます。

円筒形楕円体の表面からの子午線と平行線のネットワークが接線（または割線）円柱の側面に転送され、次に円柱が母線に沿って切断され、平面に拡張される投影と呼ばれます（図6 ）。

図6。 通常の円筒図法

タッチラインには歪みがなく、タッチラインの近くでは歪みが最小限に抑えられます。 円柱が割線である場合、2つの接線があります。これは2つのLNIを意味します。 LNI間の歪みは最小限です。

地球楕円体の軸に対する円柱の向きに応じて、投影は区別されます。

-通常、円柱の軸が地球の楕円体の短軸と一致する場合。 この場合の経絡は等距離の平行直線であり、緯線はそれらに垂直な直線です。

-円柱軸が赤道面にある場合、横方向。 グリッドビュー：中央の子午線と赤道は相互に垂直な直線であり、残りの子午線と緯線は曲線です（図c）。

-円柱の軸が楕円体の軸と鋭角をなす場合、斜め。 斜め円筒図法では、子午線と緯線は曲線です。

方位角子午線と緯線のネットワークが楕円体の表面から接線（または割面）平面に移動する投影と呼ばれます（図7）。

米。 7.通常の方位角投影

地球楕円体の平面の接点（または断面線）の近くの画像は、ほとんど歪んでいません。 接点は歪みゼロの点です。

地球楕円体の表面上の平面の接点の位置に応じて、方位図法は区別されます。

-平面が極の1つで地球に接触する場合、通常または極。 グリッドビュー：子午線-極から放射状に発散する直線、緯線-極を中心とする同心円（図7）。

-平面が赤道の点の1つで楕円体に接触する場合、横方向または赤道。 グリッドビュー：中央の子午線と赤道は相互に垂直な直線であり、残りの子午線と緯線は曲線です（場合によっては、緯線は直線で表されます。

– 平面が極と赤道の間の任意の点で楕円体に接触するときの斜めまたは水平。 斜投影では、接触点が配置されている中央の子午線のみが直線であり、他の子午線と緯線は曲線です。

コニカル楕円体の表面からの子午線と緯線のネットワークが接線（または割線）円錐の側面に転送される投影と呼ばれます（図8）。

米。 8.通常の円錐図法

歪みは、LNIの歪みがゼロの線である、地球楕円体の円錐の断面の接線または2本の線に沿ってほとんど知覚できません。 円筒図法と同様に、円錐図法は次のように分割されます。

-通常、円錐の軸が地球の楕円体の短軸と一致する場合。 これらの投影の経絡は円錐の上部から伸びる直線で表され、緯線は同心円の弧で表されます。

-円錐の軸が赤道面にある場合、横方向。 グリッドビュー：中央子午線と緯線は相互に垂直な直線であり、他の子午線と緯線は曲線です。

-円錐の軸が楕円体の軸と鋭角をなす場合、斜め。 斜め円錐図法では、子午線と緯線は曲線です。

通常の円筒図法、方位図法、円錐図法では、地図作成グリッドは直交しています。子午線と緯線は直角に交差します。これは、これらの図法の重要な診断機能の1つです。

円筒形、方位角、および円錐形の投影を取得するときに、幾何学的方法（平面への補助面の線形設計）を使用する場合、そのような投影法は、それぞれ遠近法-円筒形、遠近法-方位角（通常の遠近法）、および遠近法-円錐と呼ばれます。

ポリコニカル楕円体の表面からの子午線と緯線のネットワークがいくつかの円錐の側面に転送され、それぞれが母線に沿って切断され、平面に展開される投影と呼ばれます。 多円錐図法では、緯線は偏心円の弧で表され、中央の子午線は直線であり、他のすべての子午線は中央の子午線に対して対称な曲線です。

条件付き補助的な幾何学的表面の使用に頼らないように構築する場合、投影と呼ばれます。 子午線と緯線のネットワークは、事前に決定された条件に従って構築されます。 条件付き予測の中で、区別することができます 疑似円筒形, 疑似方位角と 疑似円錐 元の円筒形、方位角、円錐形の投影からの平行線を保持する投影。 これらの予測では 中央の子午線は直線で、残りの子午線は曲線です。.

条件付きに予測には次のものも含まれます 多面体投影 、これは、地球の楕円体に接する、または交差する表面に多面体を投影することによって取得されます。 各面は等脚台形です（あまり頻繁ではありません-六角形、正方形、ひし形）。 さまざまな多面的な投影があります マルチレーンプロジェクション 、およびストライプは、子午線と緯線の両方に沿ってカットできます。 このような投影は、各エッジまたはバンド内の歪みが非常に少ないという点で有利であるため、常にマルチシートマップに使用されます。 多面体投影の主な欠点は ギャップなしで共通のフレームに沿ってマップシートのブロックを組み合わせることが不可能である。

テリトリーカバレッジユニットは実用的な価値があります。 沿って 領土範囲地図製作の投影法は 世界、半球、大陸、海の地図、個々の州とその一部の地図。この原則によると 地図投影法の定義表が作成されました。さらに、 近々それらを記述する微分方程式の形式に基づいて、地図投影法の遺伝的分類を開発する試みがなされています。 これらの分類は、考えられるすべての多くの予測をカバーしていますが、 子午線と緯線のグリッドの表示とは関係ありません。

地図投影-地球の表面の画像を作成する方法。まず、平面上の子午線と緯線のグリッド（座標グリッド）を作成します。 各投影では、座標グリッドの表示が異なり、歪みの性質も異なります。 予測には一定の違いがあるため、それらを分類する必要があります。 すべての地図投影法は通常、次の2つの基準に従って分類されます。

歪みの性質により;

子午線と緯線の通常のグリッドの出現によって。

歪みの性質により、投影は次のグループに分けられます。

1. コンフォーマル（快適 ) -地図上の微小な図形が地球の表面上の対応する図形に類似している投影。 これらの投影法は、方向と角度を最も簡単に決定できるため、航空航法で広く使用されています。 さらに、小さなエリアのランドマークの構成は歪みなしで送信されます。これは、視覚的な方向を維持するために不可欠です。

2. 等面積（等価）-地図と地表の面積の比率が維持される投影。 これらの予測は、小規模な調査地理マップに適用されています。

3. 等距離-子午線と緯線に沿った距離が歪みなしで表示される投影。 これらの投影は、参照マップを作成するために使用されます。

4. 任意-上記のプロパティのいずれも持たないプロジェクション。 これらの投影法は、角度、長さ、および面積に実質的に小さな歪みがあり、無視できるため、航空航法で広く使用されています。

子午線と緯線の通常の座標グリッドのタイプによって、射影は次のように分割されます。 円錐図法、多円錐図法、円筒図法、方位角法.

地図作成グリッドの構築は、円錐、円柱、または平面などの補助的な幾何学的図形への地球の表面の投影の結果として表すことができます（図2.2）。

米。 2.2。 建設ジオメトリの配置

地球の自転軸に対する補助的な幾何学的図形の位置に応じて、3つのタイプの投影があります（図2.2）。

1. 普通-補助図形の軸が地球の自転軸と一致する投影。

2. トランスバース-補助図形の軸が地球の自転軸に垂直である投影、つまり 赤道面と一致します。

3. 斜め-補助図形の軸が地球の自転軸と斜めの角度をなす投影。

円錐図法。すべての円錐図法からの航空航法の問題を解決するために、接線または割線円錐上に構築された通常の円錐図法が使用されます。

接錐上の通常の等角円錐図法。この投影法で編集されたマップでは、子午線は極に収束する直線の形をしています（図2.3）。 緯線は同心円の弧であり、その間の距離は緯線からの距離とともに増加します。 この投影法では、縮尺1：2,000,000、1：2,500,000、1：4,000,000、および1：5,000,000の地図が航空用に公開されています。

米。 2.3。 接錐上の通常の等角円錐図法

割線円錐上の通常の等角円錐図法。この投影法で編集されたマップでは、子午線は直線の収束線で描かれ、緯線は円弧で描かれています（図2.4）。 この投影法では、縮尺1：2,000,000および1：2,500,000の地図が航空用に公開されています。

米。 2.4。 上の通常の等角円錐図法

割線コーン

多円錐図法。多円錐図法は航空業界では実用的ではありませんが、ほとんどの航空図が公開されている国際的な予測の基礎となっています。

修正された多円錐（国際）投影。 1909年、ロンドンで、国際委員会が1：1,000,000の縮尺で地図の修正多円錐図法を開発しました。これは国際と名付けられました。 この投影の経絡は極に収束する直線の形をしており、緯線は同心円の弧です（図2.5）。

米。 2.5。 修正された多円錐図法

マップシートは緯度4°、経度6°を占めています。 現在、この予測は最も普及しており、ほとんどの航空図は1：1,000,000、1：2,000,000、および1：4,000,000のスケールで公開されています。

円筒図法。航空航法における円筒図法から、アプリケーションが見つかりました 通常、横と 斜投影.

通常の共形円筒図法。この投影法は、1569年にオランダの地図製作者メルカトル図法によって提案されました。 この投影法で編集された地図では、子午線は直線のように見え、互いに平行で、経度の差に比例した距離で間隔が空けられています（図2.6）。 緯線は、子午線に垂直な直線です。 緯線間の距離は、緯度が高くなるにつれて大きくなります。 通常の等角円筒図法では、海図が発行されます。

米。 2.6。 通常の等角円筒図法

等角横円筒図法。この投影法は、ドイツの数学者ガウスによって提案されました。 射影は数学の法則に従って作成されます。 長さの歪みを減らすために、地球の表面は60のゾーンにカットされます。 そのような各ゾーンは経度で6°を占めます。 図から 2.7各ゾーンの中央子午線と赤道は、相互に垂直な直線で描かれていることがわかります。 他のすべての子午線と緯線は、小さな曲率の曲線で表されます。 等角円筒図法では、縮尺1：500,000、1：200,000、1：100,000以上の地図が作成されました。

米。 2.7。 等角横円筒図法

斜めの共形円筒図法。この投影法では、地球の自転軸に対する円柱の傾斜は、その側面がルートの軸に接触するように選択されます（図2.8）。 検討中の投影の子午線と緯線は曲線です。 この投影法の地図では、ルートの中心線から500〜600 kmのストリップで、長さの歪みは0.5％を超えません。 斜めの等角円筒図法では、スケール1：1,000,000、1：2,000,000、および1：4,000,000のマップが発行され、別々の長いルートのフライトをサポートします。

米。 2.8。 斜めの等角円筒図法

方位図法。すべての方位角投影の中で、中央および立体投影の極投影は、主に航空目的で使用されます。

中央極投影。この投影法で編集された地図では、子午線は直線のように見え、経度の差に等しい角度で極から分岐しています（図2.9）。 緯線は同心円であり、その間の距離は極からの距離とともに増加します。 この投影法では、北極と南極の地図は以前に1：2,000,000と1：5,000,000の縮尺で公開されていました。

米。 2.10。 ステレオ投影極投影

立体投影では、北極と南極の地図が1：2,000,000と1：4,000,000の縮尺で公開されます。

地球の物理的な表面から平面（地図上）への表示への移行では、2つの操作が実行されます。地球の楕円体の表面に複雑なレリーフを備えた地球の表面の設計です。測地学的および天文学的測定、およびカートグラフィック投影の1つを使用した平面上の楕円体の表面の画像によって確立されます。
地図投影法は、平面上に楕円体の表面を表示する特定の方法です。
平面上での地球の表面の表示は、さまざまな方法で行われます。 最も単純なものは 視点 ..。 その本質は、地球モデルの表面（球体、楕円体）から円柱または円錐の表面に画像を投影し、続いて平面に回転（円筒形、円錐形）するか、球形の画像を平面に直接投影する（方位角）ことにあります。 ）。
地図投影法が空間特性をどのように変化させるかを理解する簡単な方法の1つは、地球を通過して投影面と呼ばれる面に光が投影されることを視覚化することです。
地球の表面が透明で、地図作成グリッドが適用されていると想像してください。 地球の周りに一枚の紙を包みます。 地球の中心にある光源は、紙にグリッドシャドウを投影します。 これで、紙を広げて平らに置くことができます。 平らな紙の表面のグリッドの形状は、地球の表面のグリッドの形状とは大きく異なります（図5.1）。

米。 5.1。 円筒面に投影された地理座標系の地図作成グリッド

地図投影法により、地図グリッドが歪んでいます。 ポールにあるオブジェクトが押し出されます。
遠近法で構築するために、数学の法則を使用する必要はありません。 最新の地図作成では、地図作成グリッドが生成することに注意してください 分析 （数学的に）方法で。 その本質は、地図作成グリッドのノードポイント（子午線と緯線の交点）の位置を計算することにあります。 計算は、節点の地理的緯度と地理的経度を関連付ける連立方程式の解に基づいて実行されます（ φ, λ ）長方形の座標（ x、y）表面に。 この依存関係は、次の形式の2つの方程式で表すことができます。

地図投影方程式と呼ばれます。 彼らはあなたが長方形の座標を計算することを可能にします x、y地理座標でプロットされたポイント φ と λ ..。 可能な機能依存性の数、したがって予測は無制限です。 各ポイントが必要なだけです φ , λ 楕円体は、一意に対応する点によって平面上に描かれました x、y画像が連続するようにします。

5.2。 歪み

平面上で回転楕円体を拡張することは、スイカの皮を平らにすることよりも簡単ではありません。 平面に切り替えると、原則として、線の角度、面積、形状、長さが歪むため、特定の目的のために、面積などの1つのタイプの歪みを大幅に減らす投影を作成できます。 地図作成の歪みは、平面上に表示されたときに、地表の領域とその上にあるオブジェクトの幾何学的特性に違反します。 .
あらゆる種類の歪みは密接に関連しています。 それらは、あるタイプの歪みの減少がすぐに別のタイプの歪みの増加につながるような関係にあります。 エリアの歪みが減少すると、コーナーの歪みが増加します。 米。 5.2は、3次元オブジェクトを圧縮して、平らな面に配置できるようにする方法を示しています。

米。 5.2。 投影面への球面の設計

歪みは、マップごとにサイズが異なる可能性があります。大規模ではほとんど感知できませんが、小規模では非常に大きくなる可能性があります。
19世紀半ば、フランスの科学者ニコラスオーガストティソに歪みの一般理論が与えられました。 彼の仕事では、彼は特別なものを使用することを提案しました マップ上の任意のポイントでの微小な楕円であり、地球の楕円体または球の表面上の対応するポイントでの微小な円を表す歪み楕円。 楕円は、歪みがゼロのポイントで円になります。 楕円の再形成は、角度と距離の歪みの程度、およびサイズ（領域の歪みの程度）を反映しています。

米。 5.3。 地図上の楕円（ a）および地球上の対応する円（ b)

マップ上の歪み楕円は、その中心を通過する子午線に対して異なる位置をとることができます。 マップ上の歪み楕円の方向は、通常、次のように決定されます。 その準主軸の方位角 ..。 歪み楕円の中心を通る子午線の北方向とその最も近い準主軸との間の角度は、 歪み楕円の方向角。 図では。 5.3、 aこの角度は文字で示されます A 0 、および地球上の対応する角度 α 0 （図5.3、 b).
地図上および地球上の任意の方向の方位角は、常に子午線の北方向から時計回りに測定され、0〜360°の値を持つことができます。
任意の方向（ わかった）地図上または地球上（ O 0 に 0 ）は、指定された方向の方位角（ A- 地図にある、 α -地球上）または子午線の北方向に最も近い半主軸とこの方向の間の角度（ v- 地図にある、 u-地球上で）。

5.2.1。 長さの歪み

長さの歪み-基本的な歪み。 残りの歪みは論理的にそれに続きます。 長さの歪みは、フラットな画像の縮尺の不一致を意味します。これは、点ごとに、さらには方向によっては同じ点でも縮尺が変化することで現れます。
これは、マップ上に2種類の縮尺があることを意味します。

• メジャースケール （M）;
• プライベートスケール .

メインスケール マップは、地球の特定のサイズへの地球の一般的な縮小の程度を呼び出し、そこから地球の表面が平面に転送されます。 それは、セグメントが地球から地球に移されるときのセグメントの長さの減少について判断することを可能にします。 主な縮尺は地図の南の境界線の下に記録されますが、これは地図上のどこかで測定されたセグメントが地表の距離に対応することを意味するものではありません。
マップ上の特定の方向の特定のポイントでのスケールは、 民間 ..。 これは、マップ上の微小セグメントの比率として定義されます dl に 楕円体の表面の対応するセグメントに dl Z ..。 メインスケールに対するプライベートスケールの比率。 μ 、長さの歪みを特徴付ける

(5.3)

メインスケールからのプライベートスケールの偏差を評価するには、コンセプトを使用します アップスケーリング (と）関係によって定義されます

(5.4)

式（5.4）から、次のようになります。

• で と= 1つの部分スケールはメインスケールに等しい（ µ = M）、つまり、マップ上の特定のポイントで特定の方向に長さの歪みがありません。
• で と>メインスケールよりも1つ大きいスケール（ μ> M);
• で と < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

たとえば、マップのメインスケールが1の場合、スケールの増加は1,000,000です。 と 1.2に等しい場合、 µ = 1.2 / 1,000,000 = 1/833 333、つまり、地図上の1センチメートルは約8.3に相当します km地面に。 プライベートスケールはメインスケールよりも大きくなります（分数が大きくなります）。
地球の表面を平面で描く場合、プライベートスケールは、メインスケールよりも数値的に大きくなったり小さくなったりします。 メインスケールを1に等しい場合（ M= 1）の場合、部分スケールは数値的に1より大きくまたは小さくなります。 この場合 縮尺の増加に数値的に等しい部分的な縮尺によって、地球上の対応する微小セグメントに対する、特定の方向のマップ上の特定のポイントでの無限に小さいセグメントの比率を理解する必要があります。

(5.5)

プライベートスケール偏差 (µ )1つから長さの歪みを決定します この方向の地図上の特定のポイントで（ V):

V = µ-1 (5.6)

長さの歪みは、多くの場合、1に対するパーセンテージ、つまりメインスケールとして表され、 相対的な長さの歪み :

q = 100（μ-1）= V×100(5.7)

たとえば、 µ = 1.2長さの歪み V= + 0.2または相対的な長さの歪み V= + 20％。 これは、長さ1のセグメントが CM、地球上で撮影されたものは、長さ1.2のセグメントで地図上に表示されます CM.
隣接する緯線間の子午線セグメントのサイズを比較することにより、マップ上の長さの歪みの存在を判断すると便利です。 それらがどこでも等しい場合、そのような等しいものがなければ、子午線に沿った長さの歪みはありません（図5.5セグメント） ABと CD）、線の長さの歪みがあります。

米。 5.4。 地図作成の歪みを示す東半球の地図の一部

マップに0ºの赤道と60ºの緯度の平行線の両方が表示されるような広い領域が表示されている場合、平行線に沿った長さの歪みがあるかどうかをマップから判断することは難しくありません。 これを行うには、隣接する子午線間で緯度60°の赤道と平行セグメントの長さを比較するだけで十分です。 緯度60°の平行線は赤道の2分の1であることが知られています。 マップ上に示されたセグメントの比率が同じである場合、緯線に沿った長さの歪みはありません。 それ以外の場合は、利用可能です。
特定のポイント（歪み楕円の半主軸）での長さの歪みの最大の指標は、ラテン文字で示されます a、および最小（歪み楕円の半短軸）は b..。 最大および最小の長さの歪み率が作用する相互に垂直な方向、 主な方向と呼ばれる .
すべてのプライベートスケールのマップでさまざまな歪みを評価するために最も重要なのは、子午線に沿った方向と緯線に沿った方向の2つの方向の部分的なスケールです。 プライベートスケール 子午線に沿って 文字で示すのが通例です m 、およびプライベートスケール 並行して - 手紙 n。
比較的小さな地域（ウクライナなど）の小規模な地図の範囲内では、地図に示されている縮尺からの長さの縮尺の偏差は小さいです。 この場合、長さの測定誤差は測定長さの2〜2.5％を超えないため、学校の地図を操作する場合は無視できます。 概算測定用の一部のマップには、説明テキストが付いた測定スケールが付属しています。
に 海図 、メルカトル図法に組み込まれ、等角航路が直線で描かれているため、特別な線形スケールは与えられていません。 その役割は、緯度で1フィートごとに分割された子午線であるマップの東側と西側のフレームによって果たされます。
航海では、距離は通常海里で測定されます。 海里 -これは、緯度1フィートの子午線弧の平均の長さです。 1852が含まれています m. したがって、海図のフレームは、実際には1海里に等しいセグメントに分割されます。 子午線の分単位でマップ上の2点間の距離を直線で決定すると、等角航路に沿った海里での実際の距離が取得されます。

図5.5。 海図で距離を測定します。

5.2.2。 コーナー歪み

コーナーの歪みは、論理的に長さの歪みから生じます。 マップ上の方向と楕円体の表面上の対応する方向との間の角度の差は、マップ上の角度の歪みの特性と見なされます。
コーナー歪み率 地図作成グリッドの線の間で、90°からの偏差の値を取り、ギリシャ文字で示します ε （イプシロン）。
ε=Ө-90°、 (5.8)
どこで Ө （シータ）-子午線と平行線の間のマップ上で測定された角度。

図5.4は、角度が Ө は115°に等しいため、ε= 25°です。
子午線と平行線の交点の角度がマップ上でまっすぐなままであるポイントでは、他の方向間の角度をマップ上で変更できます。これは、任意のポイントで角度の歪みの大きさが変化に伴って変化する可能性があるためです。方向。
角度ω（オメガ）の歪みの一般的な指標として、特定のポイントでの角度の最大の歪みが取得されます。これは、マップと地球楕円体（ボール）の表面での値の差に等しくなります。 知られているとき xインジケーター aと bマグニチュード ω 式によって決定されます：

(5.9)

5.2.3。 エリアの歪み

面積の歪みは、論理的には長さの歪みから生じます。 楕円体上の元の領域からの歪み楕円の領域の偏差は、領域の歪みの特性と見なされます。
このタイプの歪みを識別する簡単な方法は、同じ名前の緯線で囲まれた地図作成グリッドのセルの面積を比較することです。セルの面積が等しい場合、歪みはありません。 これは、特に半球マップ（図4.4）の場合で、影付きのセルの形状は異なりますが、面積は同じです。
エリア歪み率 (R）は、マップ上の特定の場所での最大および最小の長さの歪みインジケーターの積として計算されます
p = a×b (5.10)
マップ上の特定のポイントでの主な方向は、地図作成グリッドの線と一致する場合がありますが、一致しない場合があります。 次に、インジケーター aと bよく知られているによると mと n次の式で計算されます。

(5.11)
(5.12)

方程式の歪み係数 Rこの場合、彼らは仕事によって認識します：

どこ ε （イプシロン）-9からの地図作成グリッドの交差角度の偏差 0°.

5.2.4。 形状の歪み

歪んだ形マップ上のオブジェクトが占めるサイトまたは領域の形状が、地球の水平面での形状とは異なるという事実にあります。 マップ上のこのタイプの歪みの存在は、同じ緯度にある地図作成グリッドのセルの形状を比較することで確認できます。同じ場合、歪みはありません。 図5.4では、形状が異なる2つの影付きのセルは、このタイプの歪みの存在を示しています。 また、分析した地図と地球上の幅と長さの比率によって、特定のオブジェクト（本土、島、海）の形状の歪みを特定することもできます。
形状歪み指数（k） 最大の差に依存します（ a）および最小（ b）マップの特定の場所での長さの歪みの指標であり、次の式で表されます。

(5.14)

調査するとき、および地図投影法を選択するときは、 isoles- 等しい歪みの線。 それらは、歪みの量を示すために破線としてマッピングできます。

米。 5.6。 最も歪んだ角度のアイソール

5.3。 歪みの性質による投影の分類

さまざまな目的のために、さまざまな性質の投影が作成されます。 投影の歪みの性質は、投影に特定の歪みがないことによって決まります。 （角度、長さ、面積）。 これに応じて、すべての地図投影法は、歪みの性質によって4つのグループに分けられます。
-コンフォーマル（コンフォーマル）;
-等距離（等距離）;
-等しい（同等）;
-任意。

5.3.1。 正角図法

等角方向と角度が歪みなく表示される投影と呼ばれます。 正角図法で測定された角度は、地表の対応する角度と同じです。 これらの投影の微小円は常に円のままです。
正角図法では、すべての方向の任意の点で長さのスケールが同じであるため、微小図形の形状の歪みや角度の歪みはありません（図5.7、B）。 正角図法のこの一般的な特性は、式ω= 0°で表されます。 しかし、マップ上の領域全体を占める実際の（最終的な）地理的オブジェクトの形状は歪んでいます（図5.8、a）。 正角図法は、特に大きな領域の歪みを示します（歪みの楕円によって明確に示されています）。

米。 5.7。 等面積投影法の歪み楕円--- A、コンフォーマル- B、任意- V、子午線に沿って等距離を含む- G平行して等距離- D。図は45°の角度歪みを示しています。

これらの投影法は、特定の方位角に沿った方向とルート方向を決定するために使用されるため、地形図やナビゲーションマップで常に使用されます。 正角図法の欠点は、領域が大きく歪んでいることです（図5.7、a）。

米。 5.8。 円筒図法の歪み：
a-共形; b-等距離; c-等しい

5.6.2。 等距離図法

等距離投影法は、主な方向の1つの長さの縮尺が保持される（変更されないままの）投影法と呼ばれます（図5.7、D。図5.7、D）。これらは主に小規模な参照マップおよびマップを作成するために使用されます。星空の。

5.6.3。 等面積投影

同等面積の歪みがない、つまり、地図上で測定された図形の面積が地球の表面上の同じ図形の面積に等しい投影と呼ばれます。 正積図法では、面積の縮尺はどこでも同じ大きさです。 等面積投影のこの特性は、次の式で表すことができます。

これらの投影の同じサイズの必然的な結果は、それらの角度と形状の強い歪みであり、これは歪みの楕円によってよく説明されます（図5.7、A）。

5.6.4。 任意の予測

任意に長さ、角度、面積に歪みがある投影が含まれます。 任意の投影法を使用する必要性は、いくつかの問題を解決するときに、1つのマップ上で角度、長さ、および面積を測定する必要があるという事実によって説明されます。 ただし、等角、等距離、等角を同時に投影することはできません。 平面上の地球の表面の画像化された領域が減少すると、画像の歪みも減少するとすでに言われています。 地表の小さな領域を任意の投影で表示する場合、角度、長さ、および領域の歪みの大きさは重要ではなく、多くの問題を解決する場合、それらは無視できます。

5.4。 通常のグリッドによる投影の分類

地図作成の実践では、それらの構築に使用できる補助的な幾何学的表面のタイプによる投影の分類が広く行われています。 この観点から、投影は区別されます。 円筒形シリンダーの側面が補助面として機能する場合。 テーパー補助面が円錐の側面である場合。 方位角施工面が平面（画面）の場合。
地球儀が投影されるサーフェスは、地球儀に接することも、交差することもできます。 それらはさまざまな方法で方向付けることができます。
円柱と円錐の軸が地球の極軸と整列し、画像が投影された空の平面が極の点に接線方向に配置された構造の投影は、通常と呼ばれます。
これらの投影の幾何学的構造は非常に明確です。

5.4.1。 円筒図法

推論を簡単にするために、楕円体の代わりにボールを使用します。 赤道に沿って接する円柱でボールを囲みます（図5.9、a）。

米。 5.9。 正積円筒図法での地図作成グリッドの作成

子午線PA、PB、PV、...の平面を続けて、これらの平面と円柱の側面との交点を子午線のイメージとして取りましょう。 母線aAaに沿って円柱の側面を切断した場合 1 平面上で回転させると、子午線は平行な等距離の直線aAaで描かれます。 1 、bbb 1 、bbw 1 ... ABC赤道に垂直。
緯線の画像はさまざまな方法で取得できます。 それらの1つは、円柱の表面との交点に平行な平面が続くことです。これにより、子午線に垂直な平行な直線の2番目のファミリがスイープで提供されます。
結果として得られる円筒図法（図5.9、b）は次のようになります。 同等、球形ベルトAGEDの側面は2πRh（hは平面AGとEDの間の距離）に等しいため、スキャンでのこのベルトの画像の領域に対応します。 メインスケールは赤道に沿って維持されます。 平行に沿った部分的なスケールは増加し、子午線に沿って赤道からの距離とともに減少します。
緯線の位置を決定する別の方法は、子午線の長さの保存、つまり、すべての子午線に沿ったメインスケールの保存に基づいています。 この場合、円筒図法は次のようになります。 子午線に沿って等距離（図5.8、b）。
にとって 等角円筒図法では、どの時点でも、すべての方向でスケールの一貫性が必要です。これには、対応する緯度での緯線に沿ったスケールの増加に応じて、赤道からの距離に応じて子午線に沿ってスケールを増加させる必要があります（図を参照）。 5.8、a）。
多くの場合、接線の円柱の代わりに、球と2本の緯線で交差する円柱が使用され（図5.10）、それに沿ってスイープ中にメインスケールが保持されます。 この場合、セクションの緯線間のすべての緯線に沿った部分的な縮尺は小さくなり、他の緯線では、メインの縮尺よりも大きくなります。

米。 5.10。 ボールを2本の緯線で切断するシリンダー

5.4.2。 円錐図法

円錐図法を構築するために、平行なABVGに沿ってボールに接する円錐でボールを囲みます（図5.11、a）。

米。 5.11。 正距円錐図法での地図作成グリッドの作成

前の構造と同様に、子午線PA、PB、PV、...の平面を継続し、子午線のイメージとして円錐の側面との交差を取得します。 平面上で円錐の側面を広げた後（図5.11、b）、子午線は点Tから放射状の直線TA、TB、TB、...として描かれます。それらの間の角度に注意してください（収束子午線の）は、経度の差に比例します（ただし等しくはありません）。 メインスケールは、ABC接線（半径TAの円の円弧）の平行に沿って保持されます。
同心円の弧で表される他の緯線の位置は、特定の条件から決定できます。そのうちの1つは、子午線に沿ってメインスケールを維持し（AE = Ae）、円錐等距離図法になります。

5.4.3。 方位角の投影

方位図法を構築するために、極点Pでボールに接する平面を使用します（図5.12）。 子午線の平面と接平面の交点は、子午線Pa、Pe、Pv、...のイメージを直線の形で提供し、その間の角度は経度の差に等しくなります。 同心円である緯線は、さまざまな方法で決定できます。たとえば、極から対応する緯線PA = Paまでの子午線の整流された円弧に等しい半径で描画されます。 そのような予測は 等距離 の上 経絡そしてそれらに沿ってメインスケールを保持します。

米。 5.12。 方位角投影での地図作成グリッドの作成

方位図法の特殊なケースは次のとおりです。 有望な 幾何学的遠近法の法則に従って構築された投影。 これらの投影では、地球の表面上の各ポイントは、1つのポイントから放射される光線に沿って空の平面に転送されます と視点と呼ばれます。 地球の中心に対する視点の位置に応じて、投影は次のように分割されます。

• 中央 -視点は地球の中心と一致します。
• ステレオグラフィック -視点は、地球の表面の、空の平面が地球の表面に接する点と正反対の点にあります。
• 外部の -視点は地球から外されています。
• 正書法 -視点は無限大に持ち出されます。つまり、設計は平行光線によって実行されます。

米。 5.13。 透視投影の種類：a-中央;
b-立体図; в-外部; d-正書法。

5.4.4。 条件付き予測

条件付き投影は、単純な幾何学的類似体が見つからない投影です。 それらは、任意の条件、たとえば、目的のタイプの地理グリッド、マップ上の歪みの1つまたは別の分布、特定のタイプのグリッドなど、または複数のソース投影に基づいて構築されます。
もつ 疑似円筒形 投影赤道と緯線は互いに平行な直線であり（円筒図法に関連しています）、子午線は平均直線子午線に対して対称な曲線です（図5.14）。

米。 5.14。 疑似円筒投影での地図作成グリッドの表示。

もつ 疑似円錐 平行投影-同心円の弧、および子午線-平均直線子午線に対して対称な曲線（図5.15）。

米。 5.15。 疑似円錐図法の1つにある地図作成グリッド

メッシュイン 多円錐図法 地球の度グリッドのセクションを表面に投影することで表すことができます いくつかの接錐とそれに続く円錐の表面に形成されたストライプの平面へのスイープ。 この設計の一般的な原理を図5.16に示します。

米。 5.16。 多円錐図法を構築する原理：
a-コーンの位置。 b-ストライプ; c-スキャン

手紙 S 図はコーンの上部を示しています。 地球表面の緯度断面は、対応する円錐の接線の平行線に隣接して、各円錐に投影されます。
多円錐図法での地図作成グリッドの外観については、子午線が曲線の形をしており（真ん中の直線を除く）、緯線が偏心円の弧であることが特徴です。
世界地図の作成に使用される多円錐図法では、赤道領域は接線円柱に投影されます。したがって、結果のグリッドでは、赤道は中央子午線に垂直な直線の形になります。
コーンをスキャンした後、これらの領域の画像が平面上のストライプの形で取得されます。 ストライプは、マップの中央子午線に沿って接触します。 メッシュは、ストレッチによってストライプ間のギャップを取り除いた後、最終的な外観になります（図5.17）。

米。 5.17。 多円錐図法の1つにある地図作成グリッド

多面体投影 -多面体を表面に投影することによって得られる投影（図5.18）、ボールの接線または割線（楕円体）。 ほとんどの場合、各面は等脚台形ですが、他のオプションも可能です（たとえば、六角形、正方形、ひし形）。 さまざまな多面的な マルチレーンプロジェクション、 さらに、ストライプは子午線と緯線の両方に沿って「カット」できます。 このような投影は、各エッジまたはバンド内の歪みが非常に少ないという点で有利であるため、常にマルチシートマップに使用されます。 地形と測量地形は、多面的な投影でのみ作成され、各シートのフレームは、子午線と緯線の線で構成される台形です。 これには「見返​​り」が必要です。マップシートのブロックは、ギャップのない一般的なフレームに従って組み合わせることができません。

米。 5.18。 多面的な投影スキームとマップタイルの配置

最近では、地図投影法を取得するために補助面が使用されていないことに注意してください。 シリンダーにボールを入れたり、コーンを置いたりする人は誰もいません。 これらは、投影の幾何学的本質を理解することを可能にする単なる幾何学的アナロジーです。 予測の検索は分析的に実行されます。 コンピューターモデリングを使用すると、指定したパラメーターを使用して任意の投影をすばやく計算できます。自動プロッターは、対応する子午線と緯線のグリッド、および必要に応じてアイソコルマップを簡単に描画できます。
地域に適したプロジェクションを選択できる特別なプロジェクションアトラスがあります。 最近、投影の電子アトラスが作成されました。これにより、適切なメッシュを簡単に見つけて、そのプロパティをすぐに評価し、必要に応じて、インタラクティブモードで特定の変更または変換を実行できます。

5.5。 補助マップ表面の方向に依存する投影の分類

通常の投影 -投影面が極点で地球に接触するか、円柱の軸（円錐）が地球の自転軸と一致します（図5.19）。

米。 5.19。 通常の（前方）予測

横メルカトル図法。 -投影面が任意の点で赤道に接触するか、円柱（円錐）の軸が赤道面と一致します（図5.20）。

米。 5.20。 横メルカトル図法。

斜投影 -投影面は任意の点で地球に接触します（図5.21）。

米。 5.21。 斜投影

斜めおよび横方向の投影のうち、斜めおよび横方向の円筒形、方位角（遠近法）および疑似方位角の投影が最も頻繁に使用されます。 横方向の方位角は、半球のマップ、斜めの方位角、つまり丸みを帯びた形状の領域に使用されます。 大陸地図は、多くの場合、横方向および斜め方向の方位図法で作成されます。 Gauss-Kruger横メルカトル図法は、州の地形図に使用されます。

5.6。 プロジェクトの選択

投影法の選択は、次のようにグループ化できる多くの要因に影響されます。

• マップされた領域の地理的特徴、地球上のその位置、サイズおよび構成。
• マップの目的、縮尺、テーマ、消費者の意図する範囲。
• マップを使用する条件と方法、マップを使用して解決されるタスク、測定結果の精度の要件。
• 投影自体の特徴-長さ、面積、角度の歪みの大きさ、および領域全体でのそれらの分布、子午線と緯線の形状、それらの対称性、極のイメージ、最短距離の線の曲率。

要因の最初の3つのグループは最初に設定され、4番目はそれらに依存します。 ナビゲーション用のマップを作成する場合は、等角円筒メルカトル図法を使用する必要があります。 南極大陸がマッピングされている場合、それはほぼ確実に通常の（極）方位角投影などであると見なされます。
これらの要因の重要性は異なる可能性があります。1つのケースでは、可視性が最初に配置され（たとえば、壁の学校の地図の場合）、もう1つのケースでは、マップの使用の特殊性（ナビゲーション）、3番目のケースでは地球上の領域の位置（極域）。 任意の組み合わせが可能であるため、-および異なるバージョンの投影。 さらに、選択肢は非常に大きいです。 それにもかかわらず、いくつかの好ましい、最も伝統的な予測を示すことができます。
世界地図 通常、円筒形、疑似円筒形、およびポリコニカルの突起で構成されます。 歪みを減らすためにカッティングシリンダーがよく使用され、海では不連続な形で疑似円筒形の投影が行われることがあります。
半球マップ 常に方位図法でプロットします。 西半球と東半球の場合、横方向（赤道）、北半球と南半球の場合は通常（極）、その他の場合（たとえば、大陸半球と海洋半球の場合）は斜めの方位図法を採用するのが自然です。
大陸地図 ヨーロッパ、アジア、北アメリカ、南アメリカ、オーストラリア、オセアニアは、ほとんどの場合、正距方位図法で構築され、アフリカでは横方向の投影法を採用し、南極大陸では通常の方位図法で構築されます。
各国の地図 、行政区域、州、州は、斜めの等角および等面積の円錐または方位図法で実行されますが、領域の構成と地球上のその位置に大きく依存します。 小さな領域の場合、投影を選択する問題はその関連性を失います。小さな領域の領域の歪みはほとんど感知できないことを念頭に置いて、さまざまな正角図法を使用できます。
地形図 ウクライナは、ガウスの横円筒図法、および米国と他の多くの西側諸国で作成されています-メルカトル図法（UTMと略されます）の普遍的な横円筒図法です。 どちらの予測も、プロパティが似ています。 本質的に、両方ともマルチキャビティです。
航海および航空図 は常にメルカトル図法の円筒図法でのみ提供され、海と海の主題図は最も多様で、時には非常に複雑な図法で作成されます。 たとえば、大西洋と北極海の共同表示には、楕円形のアイソールを使用した特殊な投影が使用され、世界の大洋全体の画像には、大陸に切れ目がある均等な投影が使用されます。
いずれにせよ、特に主題図の投影を選択するときは、通常、マップの歪みは中央で最小であり、端に向かって急速に増加することに注意する必要があります。 さらに、地図の縮尺が小さく、空間範囲が広いほど、投影を選択する際の「数学的な」要素に注意を払う必要があります。その逆も同様です。小さな領域や大きな縮尺の場合は、「地理的な」要素です。より重要になります。

5.7。 投影認識

マップが描かれている射影を認識することは、その名前を確立し、1つまたは別の種、クラスに属することを決定することを意味します。 これは、投影のプロパティ、歪みの性質、分布、および大きさを知るために必要です-要するに、マップの使用方法を知るために、それから何が期待できるかを知るためです。
一度にいくつかの通常の投影 子午線と緯線のタイプによって認識されます。 たとえば、通常の円筒形、疑似円筒形、円錐形、方位角図法の投影は簡単に認識できます。 しかし、経験豊富な地図製作者でさえ、多くの任意の投影をすぐには認識しません。いずれかの方向で等角、等面積、または等距離を明らかにするには、マップ上で特別な測定が必要になります。 これには特別な手法があります。まず、フレームの形状（長方形、円、楕円）を確立し、極がどのように描かれるかを決定し、次に子午線に沿った隣接する緯線間の距離、隣接するグリッドセルの領域、子午線と緯線の交差角度、それらの曲率の性質など。
特別なものがあります 投影定義テーブル 世界、半球、大陸、海の地図。 グリッド上で必要な測定を行った後、そのような表で投影の名前を見つけることができます。 これにより、そのプロパティのアイデアが得られ、このマップの定量的決定の可能性を評価し、修正を行うためのアイソレを備えた適切なマップを選択することができます。

ビデオ
歪みの性質による投影の種類

自制心に関する質問：

1. マップの数学的基礎を構成する要素は何ですか？
2. 地理地図の縮尺とは何ですか？
3. マップのメインスケールとは何ですか？
4. マップのプライベートスケールとは何ですか？
5. 地理地図上のメインスケールからプライベートスケールが逸脱する理由は何ですか？
6. 海図上のポイント間の距離を測定するにはどうすればよいですか？
7. 歪み楕円とは何ですか？また、それは何に使用されますか？
8. 歪み楕円から最大および最小のスケールをどのように決定できますか？
9. 地球楕円体の表面を平面に移す方法は何ですか、その本質は何ですか？
10. 地図投影とは何ですか？
11. 歪みの性質に応じて、投影はどのように分類されますか？
12. どの投影が等角と呼ばれますか、これらの投影で歪み楕円をどのように表現するのですか？
13. どの投影が等距離と呼ばれますか、これらの投影で歪み楕円をどのように表現するのですか？
14. 正積図法と呼ばれる投影法は何ですか？これらの投影法で歪み楕円をどのように表現するのですか？
15. どのような予測が任意と呼ばれますか？