ビデオレッスン「サークル。 コンパスと定規を備えた構造

円は閉じた曲線であり、その各点は中心と呼ばれる1つの点Oから同じ距離にあります。

円上の任意の点とその中心を結ぶ直線は、 半径 R。

円の2点を結んでその中心Oを通る線ABはと呼ばれます 直径 D。

円の部分は呼ばれます アーク.

円上の2点を結ぶラインCDはと呼ばれます コード.

円と共通点が1つしかない線MNを 正接.

コードCDと円弧で囲まれた円の部分はと呼ばれます セグメント.

2つの半径と円弧で囲まれた円の部分はと呼ばれます セクタ.

円の中心で交差する2本の相互に垂直な水平線と垂直線は 円軸.

KOAの2つの半径によって形成される角度はと呼ばれます 中央コーナー.

二 相互に垂直な半径角度を900にし、円の1/4を制限します。

水平軸と垂直軸で円を描き、それを4つの等しい部分に分割します。 45 0のコンパスまたは正方形で描かれた、2本の相互に垂直な線は、円を8つの等しい部分に分割します。

円を3と6の等しい部分に分割します（3の倍数×3）

円を3、6、およびそれらの倍数に分割するために、指定された半径と対応する軸の円を描画します。 分割は、水平軸または垂直軸と円の交点から開始できます。 指定された円の半径は6回連続して延期されます。 次に、得られた円上の点を直線で連続して接続し、正六角形を形成します。 1つを介して点を接続すると、正三角形が得られ、円が3つの等しい部分に分割されます。

正五角形の作成は次のように実行されます。 円の直径に等しい2つの相互に垂直な円の軸を描画します。 円弧R1を使用して、水平直径の右半分を半分に分割します。 半径R2のこのセグメントの中央にある取得された点「a」から、点「b」で水平直径と交差するまで円の円弧を描きます。 点「1」からの半径R3は、指定された円（点5）との交点に円の弧を描き、正五角形の辺を取得します。 「b-O」距離は、正十角形の側面を示します。

円をN番目の同一部分に分割する（N辺の正多角形を作成する）

以下のように実行されます。 円の水平軸と垂直軸を相互に垂直に描きます。 円の頂点「1」から、縦軸に対して任意の角度で直線を描きます。 その上に、任意の長さの等しいセグメントを確保します。その数は、指定された円を分割するパーツの数に等しくなります。たとえば、9です。最後のセグメントの端を垂直直径の下限に接続します。 。 得られた線分と平行に、セグメントの端から垂直直径との交点まで線を引き、与えられた円の垂直直径を与えられた数の部分に分割します。 円の直径に等しい半径で、垂直軸の下の点から、円の水平軸の続きと交差するまで円弧MNを描画します。 点MとNから、円と交差するまで、垂直直径の偶数（または奇数）の分割点を通る光線を描画します。 結果として得られる円のセグメントは、目的のセグメントになります。 ポイント1、2、…。 9円を9（N）の等しい部分に分割します。

特定の表現や名前の意味を説明する文は、 意味。 たとえば、角度、隣接する角度、二等辺三角形などの定義については、すでに説明しました。別の幾何学的図形である円の定義を示しましょう。

意味

この点はと呼ばれます サークルセンター、および中心と円の任意の点を接続するセグメントは 円の半径（図77）。 円の定義から、すべての半径が同じ長さであるということになります。

米。 77

円上の2点を結ぶ線分は、その弦と呼ばれます。 円の中心を通る弦はそのと呼ばれます 直径.

図78では、セグメントABとEFは円の弦であり、セグメントCDは円の直径です。 明らかに、円の直径はその半径の2倍です。 円の中心は、任意の直径の中点です。

米。 78

円上の任意の2点は、それを2つの部分に分割します。 これらの各部分は、円弧と呼ばれます。 図79では、ALBとAMBは、点AとBで囲まれた円弧です。

米。 79

図面に円を描くには、 方位磁針（図80）。

米。 80

地面に円を描くには、ロープを使用します（図81）。

米。 81

平面の円で囲まれた部分を円と呼びます（図82）。

米。 82

コンパスと定規を備えた構造

すでに幾何学的な構造を扱ってきました。直線を描き、与えられたものと等しいセグメントを取っておき、角度、三角形、その他の図を描きました。 同時に、スケール定規、コンパス、分度器、描画正方形を使用しました。

多くの建設は、目盛りを分割せずにコンパスと直定規だけを使用して行うことができることがわかりました。 したがって、ジオメトリでは、これらの構築タスクは特別に区別され、これら2つのツールのみを使用して解決されます。

それらで何ができるでしょうか？ 定規では、任意の線を引くことができ、2つの与えられた点を通る線を作成できることは明らかです。 コンパスを使用すると、任意の半径の円、および特定の点を中心とし、特定のセグメントに等しい半径の円を描くことができます。 これらの簡単な操作を実行することで、多くの興味深い建物の問題を解決できます。

与えられた角度に等しい角度を構築します。
与えられた点を通して、与えられた線に垂直な線を引きます。
このセグメントを半分と他のタスクに分割します。

簡単なタスクから始めましょう。

タスク

与えられた光線の最初から、与えられたものと等しいセグメントを取っておきます。

決断

問題の状態で与えられた図を描いてみましょう：光線OSとセグメントAB（図83、a）。 次に、コンパスを使用して、中心がOの半径ABの円を作成します（図83、b）。 この円は、ある点Dで光線OSと交差します。セグメントODは必須です。

米。 83

構築タスクの例

与えられた角度に等しい角度を構築する

タスク

与えられた光線とは別に、与えられたものに等しい角度を設定します。

決断

頂点Aと光線OMとのこの角度を図84に示します。角度Aに等しい角度を作成して、その辺の1つが光線OMと一致するようにする必要があります。

米。 84

与えられた角度の頂点Aを中心として任意の半径の円を描きましょう。 この円は、点BとCでコーナーの側面と交差します（図85、a）。 次に、与えられた光線OMの始点を中心として、同じ半径の円を描きます。 点Dでビームと交差します（図85、b）。 その後、半径がBCに等しい中心Dを持つ円を作成します。 中心がOとDの円は2点で交差します。 これらの点の1つを文字Eで示します。角度MOEが必要な角度であることを証明しましょう。

米。 85

三角形ABCとODEを考えてみましょう。 セグメントABとACは、中心がAの円の半径であり、セグメントODとOEは、中心がOの円の半径です（図85、bを参照）。 構造上、これらの円は等しい半径を持っているので、AB = OD、AC=OEです。 また、構造上、BC=DEです。

したがって、3つの側面でΔABC=ΔODEです。 したがって、∠DOE=∠BAC、つまり、構築された角度MOEは指定された角度Aに等しくなります。

コンパスの代わりにロープを使用すれば、同じ建設を地上で行うことができます。

二等分線の構築

タスク

与えられた角度の二等分線を作成します。

決断

この角度BACを図86に示します。頂点Aを中心とする任意の半径の円を描きましょう。これは、点BとCで角度の側面と交差します。

米。 86

次に、点BとCを中心とする同じ半径BCの2つの円を描画します（これらの円の一部のみが図に示されています）。 それらは2点で交差し、そのうちの少なくとも1つはコーナーの内側にあります。 それを文字Eで表します。光線AEが与えられた角度BACの二等分線であることを証明しましょう。

三角形のACEとABEを考えてみましょう。 それらは3つの側面で等しい。 確かに、AEは一般的な側面です。 ACとABは、同じ円の半径と同じです。 CE=構造によるBE。

三角形ACEとABEが等しいことから、∠CAE=∠BAE、つまり光線AEは与えられた角度BACの二等分線になります。

コメント

コンパスと直定規を使用して、特定の角度を2つの等しい角度に分割できますか？ それが可能であることは明らかです-このためには、この角度の二等分線を描く必要があります。

この角度は、4つの等しい角度に分割することもできます。 これを行うには、それを半分に分割してから、各半分をもう一度半分に分割する必要があります。

コンパスと直定規を使用して、特定の角度を3つの等しい角度に分割することは可能ですか？ このタスクは、 角の三等分問題、何世紀にもわたって数学者の注目を集めてきました。 そのような構造が任意の角度で不可能であることが証明されたのは19世紀になってからでした。

垂線の構築

タスク

線とその上の点が与えられます。 与えられた点を通り、与えられた線に垂直な線を作成します。

決断

この線に属する与えられた線aと与えられた点Mを図87に示します。

米。 87

点Mから発する直線aの光線上で、等しいセグメントMAとMBを確保します。 次に、半径ABの中心AとBを持つ2つの円を作成します。 それらは、PとQの2点で交差します。

点Mとこれらの点の1つ、たとえば線MP（図87を参照）を通る線を引き、この線が目的の線であること、つまり、与えられた線aに垂直であることを証明しましょう。 。

実際、二等辺三角形PABのPMの中央値は高度でもあるため、PM⊥aです。

セグメントの中央の建設

タスク

このセグメントの中点を作成します。

決断

ABを与えられたセグメントとします。 半径ABの中心AとBを持つ2つの円を作成します。 それらは点PとQで交差します。線PQを描きます。 この線とセグメントABの交点の点Oは、セグメントABの目的の中点です。

実際、三角形APQとBPQは3つの辺で等しいので、∠1=∠2です（図89）。

米。 89

したがって、セグメントROは二等辺三角形ARVの二等分線であり、したがって中央値、つまり点OはセグメントABの中点です。

タスク

143.図90に示されているセグメントのどれが次のとおりです。a）円の弦。 b）円の直径; c）円の半径？

米。 90

144.セグメントABとCDは円の直径です。 次のことを証明します。a）コードBDとACが等しい。 b）コードADとBCは等しい。 c）∠BAD=∠BCD。

145.セグメントMKは、中心がOの円の直径であり、MRとRKはこの円の等しい弦です。 ∠POMを検索します。

146.セグメントABとCDは、中心がOの円の直径です。CB= 13 cm、AB = 16 cmであることがわかっている場合は、三角形AODの周囲を見つけます。

147.点AとBは、角度AOBが正しい角度になるように、中心Oの円上にマークされています。 セグメントBCは円の直径です。 コードABとACが等しいことを証明します。

148. 2つの点AとBが直線上にあります。ビームBAの続きで、BC \u003d2ABとなるようにセグメントBCを取っておきます。

149.線分a、その上にない点B、および線分PQが与えられます。 BM = PQとなるように、線a上に点Mを作成します。 問題には常に解決策がありますか？

150.円、その上にない点A、およびセグメントPQが与えられます。 AM = PQとなるように、円上に点Mを作成します。 問題には常に解決策がありますか？

151.鋭角BACと光線XYが与えられます。 ∠YXZ=2∠BACとなるように角度YXZを作成します。

152.鈍角AOBが与えられます。 角度XOAとXOBが鈍角になるように光線OXを作成します。

153.線aと点Mがその上にない場合。 点Mを通り、線aに垂直な線を作成します。

決断

与えられた点Mを中心とし、与えられた直線aと2つの点で交差する円を作成してみましょう。これを文字AとBで示します（図91）。 次に、中心AとBが点Mを通過する2つの円を作成します。これらの円は、点Mと、文字Nで表すもう1つの点で交差します。線MNを描画して、この線が目的であることを証明しましょう。 1つ、つまり直線aに垂直です。

米。 91

実際、三角形AMNとBMNは3つの辺で等しいので、∠1=∠2です。 したがって、線分MC（Cは線aとMNの交点）は二等辺三角形AMBの二等分線であり、したがって高さです。 したがって、MN⊥AB、つまりMN⊥a。

154.三角形ABCが与えられます。 構成：a）二等分線AK; b）VM中央値; c）三角形の高さCH。 155.コンパスと定規を使用して、次の角度を作成します。a）45°。 b）22°30"。

タスクへの回答

152.指示。 まず、角度AOBの二等分線を作成します。

§1サークル。 基本概念

数学では、特定の名前や表現の意味を説明する文があります。 このような文は定義と呼ばれます。

円の概念を定義しましょう。 円は、特定の点から特定の距離にある平面のすべての点で構成される幾何学的図形です。

この点を点Oと呼びましょう。これを円の中心と呼びます。

中心と円の任意の点を結ぶ線分は、円の半径と呼ばれます。 そのようなセグメントはたくさんあります。たとえば、OA、OB、OSなどです。 それらはすべて同じ長さになります。

円上の2点を結ぶ線分を弦と呼びます。 MNは円の弦です。

円の中心を通る弦は直径と呼ばれます。 ABは円の直径です。 直径は2つの半径で構成されます。つまり、直径の長さは半径の2倍です。 円の中心は、任意の直径の中点です。

円上の任意の2点は、それを2つの部分に分割します。 これらの部分は円弧と呼ばれます。

ANBとAMBは円弧です。

円で囲まれた平面の部分は、円と呼ばれます。

コンパスは、図面に円を描くために使用されます。 円は地面に描くこともできます。 これを行うには、ロープを使用するだけです。 ロープの一方の端を地面に打ち込まれたペグに取り付け、もう一方の端で円を描きます。

§2コンパスと定規を使用した構造

ジオメトリでは、スケール分割なしでコンパスと定規のみを使用して多くの構築を実行できます。

定規だけを使用して、任意の線、および特定の点を通過する任意の線、または2つの特定の点を通過する線を描画できます。

コンパスを使用すると、任意の半径の円を描くことができます。また、特定の点を中心とし、特定のセグメントに等しい半径の円を描くこともできます。

別々に、これらのツールのそれぞれは最も単純な構造を作ることを可能にします、しかしこれらの2つのツールの助けを借りて、あなたはすでにより複雑な操作を実行することができます、例えば、

次のような建物の問題を解決します

与えられた角度に等しい角度を構築し、

与えられた辺で三角形を作成し、

セグメントを半分に分割します

指定された点を通り、指定された線に垂直な線を描画します。

タスクを考えてみましょう。

タスク：最初から特定の光線で、特定のセグメントと等しいセグメントを確保します。

光線OSとセグメントABが与えられます。 セグメントABに等しいセグメントODを構築する必要があります。

コンパスを使用して、点Oを中心とするセグメントABの長さに等しい半径の円を作成します。この円は、ある点Dで特定の光線OSと交差します。セグメントODは目的のセグメントです。

使用済み文献のリスト：

1. ジオメトリ。 7〜9年生：教科書。 一般教育向け 組織/L.S. アタナシアン、V.F。 ブツゾフ、S.B。 カドムツェフ他-M。：教育、2013年。-383p.:病気。
2. Gavrilova N.F. ジオメトリグレード7でのPourochnyeの開発。 -M .:「WAKO」、2004年。-288秒。 -（学校の先生を助けるために）。
3. Belitskaya O.V. ジオメトリ。 中学1年生。 パート1。 テスト。 -サラトフ：ライシーアム、2014年。-64ページ。

木材部品の製造または加工では、場合によっては、それらの幾何学的中心がどこにあるかを決定する必要があります。 パーツが正方形または長方形の形状である場合、これを行うのは難しくありません。 対角線で反対側の角を接続するだけで十分です。対角線は、同時に図の中央で正確に交差します。
円の形をした製品の場合、角がなく、したがって対角線がないため、このソリューションは機能しません。 この場合、他の原則に基づく他のアプローチが必要です。

そしてそれらは存在し、多くのバリエーションがあります。 それらのいくつかは非常に複雑でいくつかのツールを必要とし、他は実装が簡単で、実装のためにデバイスのセット全体を必要としません。
次に、通常の定規と鉛筆だけで円の中心を見つける最も簡単な方法の1つを見ていきます。

円の中心を見つけるシーケンス：