多項式の有理根に関する定理。有理数、定義、例

等。これは一般的な教育的な性質のものであり、高等数学のコース全体を学習する上で非常に重要です。今日は「学校」の方程式を繰り返しますが、「学校」の方程式だけではなく、さまざまなヴィシュマト問題のどこにでも見られる方程式を繰り返します。いつものように、物語は応用的な方法で語られます。定義や分類には焦点を当てませんが、それを解決した私の個人的な経験を共有します。この情報は主に初心者を対象としていますが、上級の読者にも興味深い点がたくさんあるでしょう。そしてもちろん、高校を超えた新しい内容も登場します。

それで方程式は…。多くの人はこの言葉を震えながら覚えています。価値のあるルートを持つ「洗練された」方程式とは何ですか... ...そんなことは忘れてください! そうすれば、この種の最も無害な「代表者」に出会うからです。あるいは、何十もの解法を含む退屈な三角方程式。正直に言うと、私自身はあまり好きではなかったのですが… 慌てないで！ – その後、ほとんどの場合「タンポポ」が 1 ～ 2 ステップで明らかな解決策を待っています。確かに「ごぼう」はしがみつきますが、ここでは客観的になる必要があります。

奇妙なことに、高等数学では、次のような非常に原始的な方程式を扱うことがはるかに一般的です。線形方程式

この方程式を解くことは何を意味するのでしょうか? これは、それを真の等価にするような「x」(ルート) の値を見つけることを意味します。符号を変えて「3」を右に投げてみましょう。

「2」を右側にドロップします (または、同じこと - 両辺を乗算します) :

確認するために、獲得したトロフィーを元の方程式に代入してみましょう。

正しい等価性が得られます。これは、見つかった値が実際にこの方程式の根であることを意味します。または、彼らも言うように、この方程式を満たします。

ルートは小数として書くこともできることに注意してください。
そして、この悪いスタイルに固執しないようにしてください。特に最初のレッスンでは、その理由を何度も繰り返しました。 高等代数.

ちなみに、この方程式は「アラビア語」でも解くことができます。

そして最も興味深いのは、この録音が完全に合法であるということです。ただし、教師ではない場合は、独創性が罰せられるため、これを行わない方が良いです =)

そして今、少しについて

グラフィカルな解決法

方程式には次のような形式があり、その根は次のとおりです。 「X」座標 交点 一次関数グラフ一次関数のグラフで (x軸):

この例は非常に初歩的であるため、ここでこれ以上分析することはないようですが、そこからもう 1 つの予期せぬニュアンスを「絞り出す」ことができます。同じ方程式を次の形式で提示し、関数のグラフを作成してみましょう。

その中で、 2 つの概念を混同しないでください: 方程式は方程式であり、関数– これは関数です! 機能 助けるだけ方程式の根を求めます。そのうちの 2 つ、3 つ、4 つ、または無限に多くなる場合もあります。この意味で最も近い例は、よく知られているものです。 二次方程式、解決アルゴリズムは別の段落で説明されています。 「熱い」学校の公式。そしてこれは偶然ではありません！二次方程式を解いて知識があれば ピタゴラスの定理そうすると、「高等数学の半分はすでにあなたのポケットに入っている」と言う人もいるかもしれません =) もちろん誇張ですが、真実からそれほど遠くありません。

したがって、怠惰にならずに、以下を使用して二次方程式を解いてみましょう。 標準アルゴリズム:

、これは方程式には 2 つの異なる点があることを意味します。有効根：

見つかった両方の値が実際にこの方程式を満たしていることを確認するのは簡単です。

解決アルゴリズムを突然忘れてしまい、手元に手段や助けがない場合はどうすればよいでしょうか? この状況は、たとえばテストや試験中に発生する可能性があります。グラフィカルな手法を採用しています！方法は 2 つあります。 ポイントごとに構築する放物線、それによって軸と交差する場所を見つけます (少しでも交差するなら)。しかし、もっとずるいことをしたほうが良いでしょう。式を形にして想像し、より単純な関数のグラフを描きます。 「X」座標それらの交差点がはっきりと見えます。

直線が放物線に接していることが判明した場合、方程式には 2 つの一致する (複数の) 根があることになります。直線が放物線と交わらないことが判明した場合、実際の根は存在しません。

もちろん、これを行うには、ビルドできる必要があります 初等関数のグラフ、しかし一方で、これらのスキルは小学生でも行うことができます。

繰り返しますが、方程式は方程式であり、関数は関数です。 助けただけ方程式を解いてください！

ところで、ここでもう 1 つ覚えておくとよいでしょう。 方程式のすべての係数にゼロ以外の数値を乗算しても、その根は変わりません。.

たとえば、次の方程式は同じ根を持っています。簡単な「証明」として、括弧内の定数を取り出します。
そして痛みを伴わずに取り除きます (両方の部分を「マイナス 2」で割ります):

しかし！関数を考慮すると、ここで定数を取り除くことはできません。乗数を括弧から取り出すことのみが許可されます。 .

多くの人は、グラフィカルな解決法を「品位のないもの」と考えて過小評価しており、中にはこの可能性を完全に忘れている人さえいます。そして、これは根本的に間違っています。グラフをプロットするだけで状況が救われる場合があるからです。

別の例: 最も単純な三角方程式の根を覚えていないとします。一般的な公式は学校の教科書や初等数学のすべての参考書に載っていますが、皆さんは入手できません。ただし、方程式を解くことが重要です (別名「2」)。出口はあるよ！ – 関数のグラフを作成します。

その後、それらの交点の「X」座標を冷静に書き留めます。

無限に多くのルートがあり、代数ではそれらの凝縮された表記が受け入れられます。
、どこ ( – 整数のセット) .

そして、「消える」のではなく、1 つの変数を使用して不等式を解くためのグラフィカルな方法について少し説明します。原理は同じです。したがって、たとえば、不等式の解は任意の「x」になります。正弦波はほぼ完全に直線の下にあります。不等式の解は、正弦波の部分が直線の厳密に上に位置する一連の間隔です。 (x軸):

または、要するに:

しかし、不等式に対する多くの解決策は次のとおりです。空の正弦波の点は直線の上にないためです。

何かわからないことはありますか？～についての教訓を急いで勉強してください セットそして 関数グラフ!

ウォームアップしましょう:

演習 1

次の三角方程式をグラフィカルに解きます。

答えはレッスンの最後に

ご覧のとおり、精密科学を勉強するのに、公式や参考書を詰め込む必要はまったくありません。さらに、これは根本的に欠陥のあるアプローチです。

レッスンの最初にすでに安心させたように、高等数学の標準コースで複雑な三角方程式を解く必要があることはほとんどありません。原則として、すべての複雑さはのような方程式で終わります。その解は、最も単純な方程式から生じる 2 つの根のグループと、。後者の解決についてはあまり心配しないでください。本を調べるか、インターネットで見つけてください =)

グラフィカルな解決方法は、それほど簡単ではないケースにも役立ちます。たとえば、次の「ラグタグ」方程式を考えてみましょう。

解決策の見通しは...まったく似ていませんが、次の形式の方程式を想像するだけで済みます。 関数グラフそしてすべてが信じられないほど単純になるでしょう。記事の真ん中に絵があります 微小関数 (次のタブで開きます).

同じグラフィック手法を使用すると、方程式にはすでに 2 つの根があり、そのうちの 1 つはゼロに等しく、もう 1 つは明らかに次のとおりであることがわかります。 不合理なセグメントに属します。このルートは次のように近似的に計算できます。 接線法。ちなみに、問題によっては、根を見つける必要がない場合もありますが、根を見つけてください。 そもそもそれらは存在するのでしょうか？。ここでも、図が役に立ちます。グラフが交差しない場合、根は存在しません。

整数係数を持つ多項式の有理根。
ホーナー方式

そして今、中世に目を向けて、古典代数学の独特の雰囲気を感じてみてください。内容をよりよく理解するために、少なくとも少し読むことをお勧めします 複素数.

彼らは最高です。多項式。

私たちの関心の対象は、次の形式の最も一般的な多項式です。全体係数自然数をこう呼ぶ 多項式の次数, 数値 - 最高次数の係数 (または単に最も高い係数)、係数は 無料会員.

この多項式をで簡単に表します。

多項式の根方程式の根を呼び出す

私は鉄の論理が大好きです =)

たとえば、記事の最初に移動してください。

1 次および 2 次の多項式の根を求めるのに問題はありませんが、値が大きくなるにつれて、この作業はますます難しくなります。その一方で、すべてがもっと面白いです！これがまさにレッスンの 2 番目の部分で取り上げられる内容です。

まず、文字通り理論画面の半分です。

1) 当然の結果によると 代数学の基本定理、次数多項式は正確に 複雑なルーツ。一部のルート (またはすべて) が特に影響を受ける可能性があります。有効。また、実ルートの中には同一（複数）のルートが存在する場合があります。 (最低2個、最大個数).

ある複素数が多項式の根である場合、共役その数は必然的にこの多項式の根でもあります (共役複素根の形式は ).

最も単純な例は二次方程式で、これは 8 年に初めて登場しました。 （のように）クラス、そして私たちが最終的にそのトピックを「終えた」 複素数。思い出してもらいたいのですが、二次方程式には 2 つの異なる実根、複数の根、または共役複素根があります。

2) から ベズーの定理つまり、数値が方程式の根である場合、対応する多項式は因数分解できるということになります。
, ここで、は次数の多項式です。

もう一度、古い例を示します。は方程式の根なので、 then です。その後、有名な「学校」の拡張を取得するのは難しくありません。

ベズーの定理の当然の結果には、非常に実用的な価値があります。3 次方程式の根がわかっていれば、それを次の形式で表すことができます。二次方程式から残りの根を見つけるのは簡単です。 4次の方程式の根が分かれば、左辺を積などに展開することが可能です。

そして、ここで 2 つの質問があります。

質問 1。このルートを見つけるにはどうすればよいでしょうか? まず第一に、その性質を定義しましょう。高等数学の多くの問題では、次のことを見つける必要があります。 合理的な、特に全体多項式の根、そしてこれに関して、さらに主にそれらに興味を持っていきます。 ...とても美味しくて、ふわふわしていて、つい探したくなってしまいます！ =)

まず気になるのは選考方法です。たとえば、方程式を考えてみましょう。ここでの落とし穴は、自由項にあります。これがゼロに等しい場合は、すべてがうまくいきます。括弧内の「x」を取り出すと、根自体が表面に「抜け落ちます」。

しかし、自由項は「3」に等しいため、「ルート」であると主張する方程式にさまざまな数値を代入し始めます。まず第一に、単一の値の置換はそれ自体を示唆しています。置き換えてみましょう:

受け取った 正しくないしたがって、単位は「適合しませんでした」。さて、それでは次のように置き換えてみましょう。

受け取った真実平等！つまり、値はこの方程式の根です。

3次多項式の根を求めるには、次のような解析手法があります。 (いわゆるカルダノ公式)、しかし今は少し異なるタスクに興味があります。

- は多項式の根であるため、多項式は次の形式で表すことができ、次のようになります。 2番目の質問：「弟」を見つけるには？

最も単純な代数的考察は、これを行うにはで割る必要があることを示唆しています。多項式を多項式で割るにはどうすればよいですか? 普通の数字を分ける流派のメソッド「列」！この方法については、レッスンの最初の例で詳しく説明しました。 複雑な制限、そして今度は別のメソッドを見ていきます。 ホーナー方式.

まず「最高の」多項式を書きます みんなとともに 、ゼロ係数を含む:
その後、これらの係数を (厳密に順序どおりに) テーブルの一番上の行に入力します。

ルートを左側に書きます。

「赤い」番号であれば、ホーナーの計画も機能することをすぐに予約します。ないは多項式の根です。ただし、物事を急がないようにしましょう。

上記から主要な係数を削除します。

下のセルを埋めるプロセスは、刺繍を彷彿とさせます。「マイナス 1」は、後続のステップに浸透する一種の「針」です。「繰り下がった」数値に (-1) を掛けて、一番上のセルの数値を積に加算します。

見つかった値に「赤い針」を掛けて、次の方程式係数を積に加えます。

そして最後に、結果の値が「ニードル」と上の係数を使用して再度「処理」されます。

最後のセルのゼロは、多項式が次のように分割されることを示します。跡形もなく (そうあるべきです)一方、展開係数は表の最下行から直接「削除」されます。

したがって、方程式から等価な方程式に移行し、残りの 2 つの根ですべてが明確になりました。 (この場合、共役複素根が得られます).

ちなみに、この方程式はグラフで解くこともできます。 "稲妻" グラフが X 軸と交差していることを確認します。 () 時点で。または、同じ「狡猾な」トリック - の形式で方程式を書き直し、基本グラフを描画し、それらの交点の「X」座標を検出します。

ちなみに、3 次の関数多項式のグラフは少なくとも 1 回は軸と交差します。これは、対応する方程式が次のようになることを意味します。 少なくとも 1つ有効根。この事実は、奇数次の多項式関数に当てはまります。

そしてここでも触れておきたいのですが、 大事なポイントこれは用語に関するものです: 多項式そして 多項式関数 – それは同じではありません！しかし実際には、たとえば「多項式のグラフ」について話すことがよくありますが、もちろんこれは怠慢です。

ただし、ホーナーの計画に戻りましょう。最近述べたように、このスキームは他の番号でも機能しますが、番号がないが方程式の根である場合、ゼロ以外の加算 (剰余) が式に表示されます。

Horner のスキームに従って「失敗」値を「実行」してみましょう。この場合、同じテーブルを使用すると便利です。左側に新しい「針」を書き、先頭の係数を上から移動します。 (左の緑の矢印)そして出発します:

確認するために、括弧を開いて類似の用語を提示してみましょう。
、わかりました。

剰余 (「6」) がにおける多項式の値であることが簡単にわかります。そして実際、それはどのようなものですか:
、そしてさらに素晴らしいのは、次のようになります。

上記の計算から、ホーナーのスキームでは多項式を因数分解するだけでなく、根の「文明的な」選択も実行できることが容易に理解できます。計算アルゴリズムを自分で小さなタスクに統合することをお勧めします。

タスク 2

ホーナーのスキームを使用して、方程式の整数根を見つけ、対応する多項式を因数分解します。

言い換えれば、ここでは、最後の列にゼロの余りが「描画」されるまで、数値 1、-1、2、-2、... を順番にチェックする必要があります。これは、この線の「針」が多項式の根であることを意味します。

計算を 1 つの表にまとめておくと便利です。詳細な解決策と答えはレッスンの最後にあります。

根を選択する方法は、比較的単純な場合には適していますが、多項式の係数や次数が大きい場合、処理に時間がかかることがあります。それとも、同じリスト 1、-1、2、-2 にいくつかの値があり、考慮する意味がないのでしょうか。さらに、根は分数であることが判明する可能性があり、完全に非科学的な突っつきにつながる可能性があります。

幸いなことに、有理根の「候補」値の検索を大幅に削減できる 2 つの強力な定理があります。

定理1考えてみましょう還元不可能な分数、ここで。数値が方程式の根である場合、自由項はで除算され、主要な係数はで除算されます。

特に、先頭の係数がの場合、この有理根は整数になります。

そして、次のようなおいしい詳細を使って定理を活用し始めます。

方程式に戻りましょう。その主要な係数はであるため、仮想の有理根は整数のみにすることができ、自由項は必然的に剰余なしでこれらの根に分割されなければなりません。そして、「3」は 1、-1、3、-3 にしか分割できません。つまり、「ルート候補」は 4 つだけです。そして、によると、 定理1他の有理数は、原則としてこの方程式の根にはなりません。

この方程式にはもう少し「候補」があります。自由期間は 1、-1、2、-2、4、-4 に分割されます。

数字 1、-1 は、考えられるルートのリストの「通常」であることに注意してください。 (定理の明らかな結果)優先テストに最適な選択肢です。

より意味のある例に移りましょう。

問題 3

解決: 先頭の係数がであるため、仮想の有理根は整数のみにすることができ、それらは必ず自由項の約数でなければなりません。「マイナス 40」は次のペアの数字に分けられます。
– 合計 16 人の「候補者」。

ここで、すぐに魅力的な考えが浮かび上がります。すべてのネガティブな根、またはすべてのポジティブな根を取り除くことは可能でしょうか? 場合によっては可能です！ 2 つの記号を定式化します。

1) もし全て多項式の係数が負でない場合、またはすべてが正でない場合、その根は正であってはなりません。残念ながら、これは私たちのケースではありません (式が与えられた場合、はい、多項式の値を代入する場合、多項式の値は厳密に正です。つまり、すべての正の数が代入されます)。 (非合理的なものも)を方程式の根にすることはできません。

2) 奇数乗の係数が負ではなく、すべての偶数乗の係数が負でない場合 （無料会員含む）が負の場合、多項式は負の根を持つことができません。または「ミラー」: 奇数乗の係数は正ではなく、すべての偶数乗については正になります。

これが私たちのケースです！もう少し詳しく見てみると、負の「X」を方程式に代入すると、左側が厳密に負になることがわかります。これは、負の根が消えることを意味します。

したがって、研究対象の数字は 8 つ残っています。

ホーナーのスキームに従って、それらを順番に「充電」します。あなたはすでに暗算をマスターしていると思います。

「2つ」を試すとき、幸運が私たちを待っていました。したがって、考慮している方程式の根はであり、

方程式を研究することが残っています。これは判別式を使用することで簡単に実行できますが、同じスキームを使用して指標テストを実行します。まず、無料期間は 20 に等しいことに注意してください。これは、つまり、 定理1数字の 8 と 40 はルート候補のリストから除外され、値は研究用に残されます。 (ホーナーのスキームに従って 1 人が除外されました).

新しいテーブルの一番上の行に三項式の係数を書き込みます。同じ「二つ」で確認を始める。なぜ？また、根は倍数になる可能性があるため、次のようにしてください: - この方程式には 10 個の同一の根があります。しかし、気を散らさないようにしましょう。

そしてもちろん、ここで私は、根が合理的であることを知っていて、少し嘘をついていました。結局のところ、それらが非合理的または複雑な場合、残りのすべての数値のチェックが失敗することになります。したがって、実際には、判別式に従ってください。

答え: 有理根: 2、4、5

私たちが分析した問題では、次の理由から幸運でした。a) 負の値はすぐに消え、b) ルートを非常に早く見つけました (理論的にはリスト全体を確認できました)。

しかし、実際には状況はさらに悪化しています。「The Last Hero」と呼ばれるエキサイティングなゲームをぜひご覧ください。

問題4

方程式の有理根を求めます

解決：による 定理1仮想有理根の分子は条件を満たさなければなりません (「12 をエルで割る」と読みます)、分母は条件に対応します。これに基づいて、2 つのリストが得られます。

"リストエル":
そして「リストを作成」: (幸いなことに、ここでの数字は自然なものです).

次に、考えられるすべてのルートのリストを作成しましょう。まず、「el list」をで割ります。同じ数字が得られることは明らかです。便宜上、それらを表にまとめてみましょう。

多くの端数が削減され、その結果、すでに「ヒーローリスト」に含まれている値が得られます。「初心者」のみを追加します。

同様に、同じ「リスト」を次のように分割します。

そしてついに

したがって、ゲームの参加者のチームが完成します。

残念ながら、この問題の多項式は「正」または「負」の基準を満たしていないため、上部または下部の行を破棄することはできません。すべての数字を処理する必要があります。

ご気分はいかがですか？さあ、頭を上げてください – 比喩的に「殺人定理」と呼ぶことができる別の定理があります…。 ...もちろん「候補者」です =)

ただし、最初にホーナーの図を少なくとも 1 つスクロールする必要があります。全体数字。伝統的に、1つを取り上げましょう。一番上の行には多項式の係数を書きます。すべては通常どおりです。

4 は明らかにゼロではないため、その値は問題の多項式の根ではありません。しかし、彼女は私たちを大いに助けてくれるでしょう。

定理2一部の人にとっては一般的に多項式の値がゼロ以外の場合: 、その有理根 (そうであれば)条件を満たす

私たちの場合、したがって、考えられるすべてのルートが条件を満たさなければなりません (これを条件 No.1 と呼びます)。この4人が多くの「候補者」の「キラー」となる。デモとして、いくつかのチェックを見ていきます。

「候補」を確認してみましょう。これを行うには、それを分数の形式で人為的に表してみましょう。そこから、が明らかにわかります。テストの差を計算してみましょう: 。 4 は「マイナス 2」で割られます: 。これは、考えられるルートがテストに合格したことを意味します。

値を確認してみましょう。ここでのテストの違いは次のとおりです。。もちろん、したがって 2 番目の「主題」もリストに残ります。

この多項式には整数の係数があります。整数がこの多項式の根である場合、それは数値 16 の約数です。したがって、特定の多項式の根が整数である場合、これらは数値 ±1 のみになります。 ±2; ±4; ±8; ±16。直接検証することで、数値 2 がこの多項式、つまり x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x) の根であると確信しています。ここで、Q (x) は次の多項式です。第二級。したがって、多項式は因数に分解され、そのうちの 1 つは (x – 2) です。多項式 Q (x) のタイプを見つけるには、いわゆるホーナースキームを使用します。この方法の主な利点は、表記がコンパクトであることと、多項式を二項式にすばやく分割できることです。実際、ホーナーのスキームはグループ化方法を記録する別の形式ですが、後者とは異なり、完全に非視覚的です。ここでは答え（因数分解）がそれ自体で得られますが、それを得るプロセスは見えません。私たちはホーナーの計画を厳密に実証するつもりはありませんが、それがどのように機能するかを示すだけです。

	1	−5	−2	16
2	1	−3	−8	0

2 × (n + 2) という長方形のテーブル (n は多項式の次数) (図を参照) では、多項式の係数が上の行に 1 行に書き込まれます (左上隅は空白のままです)。左下隅に数値を書き込みます - 多項式の根 (または、二項式 (x - x 0) で割る場合は数値 x 0)。この例では、これは数値 2 です。次に、全体表の最下行は以下のルールに従って記入されます。

上のセルの数値が一番下の行の 2 番目のセル、つまり 1 に「移動」されます。その後、これが行われます。方程式の根 (数値 2) に最後に書き込まれた数値 (1) が掛けられ、その結果に次の空きセルの上の一番上の行にある数値が加算されます。この例では次のようになります。

結果を -2 の下のフリーセルに書き込みます。次に同じことを行います。
除算の結果得られる多項式の次数は、常に元の多項式の次数より 1 減ります。それで：

無理数- これ実数、これは有理数ではありません。つまり、分数として表すことができません。ここで、は整数です。無理数は、無限の非周期小数として表すことができます。

一連の無理数は、通常、陰影のない太字のラテン大文字で示されます。したがって: 、つまり無理数がたくさんあります実数と有理数のセットの差。

無理数の存在について、より正確には単位長の線分と通約不可能な線分は、古代の数学者にはすでに知られていました。たとえば、彼らは、数の無理数に相当する、正方形の対角線と辺の非通約性を知っていました。

プロパティ

任意の実数は無限小数として書くことができますが、無理数のみが非周期無限小数として書くことができます。
無理数は、下位クラスに最大数を持たず、上位クラスに最小数を持たない有理数のセットにおけるデデキントカットを定義します。
すべての実超越数は無理数です。
すべての無理数は代数的または超越的です。
一連の無理数は数直線上のどこにでも密集しています。つまり、任意の 2 つの数の間に無理数が存在します。
無理数の集合上の順序は、実超越数の集合上の順序と同型です。
無理数の集合は不可算であり、2 番目のカテゴリの集合です。

例

無理数
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

不合理なものは次のとおりです。

不合理性の証明の例

2 の根

逆を仮定してみましょう。これは有理数です。つまり、既約分数の形式で表されます。ここで、は整数、は自然数です。想定される等式を二乗してみましょう。

したがって、偶数は偶数であり、です。全体がそこにあるようにしましょう。それから

したがって、even は偶数とを意味します。とが偶数であることがわかり、これは分数の既約性に矛盾します。これは、元の仮定が間違っており、無理数であることを意味します。

数値 3 の二進対数

逆を仮定してみます。これは有理数です。つまり、分数として表されます。ここで、とは整数です。であるため、とは正の値を選択できます。それから

しかし、偶数と奇数。矛盾が生じます。

e

話

無理数の概念は、紀元前 7 世紀にマナバ (紀元前 750 年頃 - 紀元前 690 年頃) が 2 や 61 などの一部の自然数の平方根を明示的に表現できないことを発見したとき、インドの数学者によって暗黙のうちに採用されました。。

無理数の存在の最初の証明は、通常、五芒星の辺の長さを研究することによってこの証明を発見したピタゴラス学派のメタポントスのヒッパソス (紀元前 500 年頃) によるものとされています。ピタゴラス派の時代には、十分に小さく分割できない単一の長さの単位が存在し、それが任意のセグメントに整数回入ると信じられていました。しかし、ヒッパサスは、長さの存在を仮定すると矛盾が生じるため、長さの単一の単位は存在しないと主張した。彼は、直角二等辺三角形の斜辺に整数の単位セグメントが含まれる場合、この数は偶数と奇数の両方でなければならないことを示しました。証明は次のようになりました。

直角二等辺三角形の脚の長さに対する斜辺の長さの比は、次のように表すことができます。ある:b、どこあるそして b可能な限り小さいものを選択します。
ピタゴラスの定理によれば、次のようになります。ある平方 = 2 b².
なぜならある- 平、ある偶数である必要があります (奇数の 2 乗は奇数になるため)。
なぜならある:b還元不可能な b奇妙でなければなりません。
なぜならあるさえ、私たちは表しますある = 2y.
それからある平方 = 4 y平方 = 2 b².
b平方 = 2 y² したがって、 b- その時でさえ b平。
ただし、次のことが証明されています b奇数。矛盾。

ギリシャの数学者はこの比を「桁違いの量」と呼んだ アロゴス（言葉では言い表せない）しかし、伝説によると、彼らはヒッパソスに対して正当な敬意を払っていませんでした。ヒッパソスが航海中にこの発見をし、「宇宙のすべての存在は整数とその比率に還元できるという教義を否定する宇宙の要素を創造したとして」他のピタゴラス派によって船外に投げ込まれたという伝説がある。ヒッパソスの発見は、ピタゴラス数学に深刻な問題を引き起こし、数字と幾何学的オブジェクトは一つであり、分離できないという根本的な仮定を破壊しました。

すでに述べたように、多項式の理論における最も重要な問題の 1 つは、その根を見つける問題です。この問題を解決するには、選択方法を使用できます。ランダムに数値を取得し、それが特定の多項式の根であるかどうかを確認します。

この場合、すぐに根に「ぶつかる」か、見つからない可能性があります。結局のところ、数字は無限にあるため、すべての数字を確認することは不可能です。

たとえば、検索範囲を狭めることができて、たとえば、探しているルートが 30 個の指定された番号の中にあることがわかる場合は、別の問題になります。そして、30 の数字についてはチェックを行うことができます。これまで述べてきたことと関連して、この声明は重要かつ興味深いと思われます。

既約分数 l/m (l、m は整数) が整数係数を持つ多項式 f (x) の根である場合、この多項式の先頭の係数は m で除算され、自由項は 1 で除算されます。

実際、 f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0 (an、an-1、...、a1、a0 は整数) の場合、f (l/ m) =0、つまり、an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0。

この等式の両辺に mn を掛けてみましょう。 anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0 が得られます。

これは次のことを意味します:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1)。

整数 anln は m で割り切れることがわかります。しかし、l/m は既約分数です。数値 l と m は互いに素であり、整数の割り算理論からわかるように、数値 ln と m も互いに素です。したがって、anln は m で割り切れ、m は ln と互いに素です。つまり、an は m で割り切れます。

証明されたトピックにより、整数係数を持つ多項式の有理根の検索範囲を大幅に狭めることができます。これを具体的な例で説明してみましょう。多項式 f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 の有理根を求めてみましょう。定理によれば、この多項式の有理根は、l/m 形式の既約分数の中にあります。ここで、l は自由項 a0=8 の約数、m は主要係数 a4=6 の約数です。さらに、分数 l/m が負の場合、分子には「-」記号が割り当てられます。たとえば、- (1/3) = (-1) /3 となります。したがって、l は数字 8 の約数であり、m は数字 6 の正の約数であると言えます。

数字 8 の約数は ±1、±2、±4、±8 であり、数字 6 の正の約数は 1、2、3、6 であるため、問題の多項式の有理根はこれらの数字の中にあります。 ±1、±1/2、±1/3、±1/6、±2、±2/3、±4、±4/3、±8、±8/3。既約分数だけを書き出したことを思い出してください。

したがって、ルートの「候補」という数字が 20 個あります。残っているのは、それらをそれぞれチェックして、本当にルーツであるものを選択することだけです。ただし、繰り返しますが、かなり多くのチェックを行う必要があります。しかし、次の定理はこの作業を単純化します。

既約分数 l/m が整数係数をもつ多項式 f (x) の根である場合、f (k) は、l-km ≧ 0 の条件で任意の整数 k に対して l-km で割り切れます。

この定理を証明するには、f (x) を x-k で割った余りを求めます。 fを取得します （バツ） = （Xのk） s （バツ） +f (k)。 f (x) は整数係数を持つ多項式であるため、多項式 s (x) も整数であり、f (k) は整数です。 s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0 とします。すると f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0) となります。この等式に x=l/m を入れてみましょう。 f (l/m) =0 と考えると、次のようになります。

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) 。

最後の等式の両辺に mn を掛けてみましょう。

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1)。

したがって、整数 mnf (k) は l-km で割り切れます。しかし、l と m が互いに素であるため、mn と l-km も互いに素であり、これは f (k) が l-km で割り切れることを意味します。定理は証明されました。

ここで例に戻り、証明された定理を使用して、有理根の検索範囲をさらに絞り込みます。この定理を k=1 および k=-1 に適用してみましょう。つまり、既約分数 l/m が多項式 f (x) の根である場合、f (1) / (l-m)、および f (-1) / (l+m) になります。この場合、 f (1) = -5 および f (-1) = -15 であることが簡単にわかります。同時に±1は考慮から除外したことに注意してください。

したがって、多項式の有理根は、±1/2、±1/3、±1/6、±2、±2/3、±4、±4/3、±8、±8 の数値の中から求める必要があります。 /3.

l/m=1/2と考えてください。次に、l-m=-1 および f (1) =-5 をこの数値で割ります。さらに、l+m=3 および f (1) =-15 も 3 で割り切れます。これは、端数 1/2 が根の「候補」に残ることを意味します。

ここで、lm=- (1/2) = (-1) /2 とします。この場合、l-m=-3 および f (1) =-5 は - 3 で割り切れません。これは、分数 - 1/2 がこの多項式の根になり得ないことを意味し、これ以上の検討から除外します。上で書いた各分数を確認して、必要な根が 1/2、±2/3、2、-4 の中にあることを確認してみましょう。

したがって、かなり単純な手法を使用して、検討中の多項式の有理根の検索範囲を大幅に狭めることができました。さて、残りの数値を確認するには、ホーナーのスキームを使用します。

表10

g (x) を x-2/3 で割ったときの剰余は - 80/9 に等しいことがわかりました。つまり、2/3 は多項式 g (x) の根ではなく、したがって f (x) でもありません。

次に、- 2/3 が多項式 g (x) の根であり、g (x) = (3x+2) (x2+2x-4) であることが簡単にわかります。すると f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4) となります。多項式 x2+2x-4 についてさらに検証を行うことができます。これは、もちろん g (x) の場合よりも簡単で、f (x) の場合はさらに簡単です。その結果、数値 2 と - 4 は根ではないことがわかります。

したがって、多項式 f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 には 2 つの有理根、1/2 と - 2/3 があります。

上で説明した方法では、整数係数を持つ多項式の有理根のみを見つけることが可能であることを思い出してください。一方、多項式には無理数根が存在する場合もあります。したがって、たとえば、この例で考慮されている多項式にはさらに 2 つの根があります: - 1±v5 (これらは多項式 x2+2x-4 の根です)。そして、一般に、多項式には有理根がまったく存在しない可能性があります。

では、いくつかのヒントを紹介しましょう。

上記で証明された定理の 2 番目を使用して多項式 f (x) の根の「候補」をテストする場合、通常、後者は k=±1 の場合に使用されます。言い換えれば、l/m が「候補」根である場合、f (1) と f (-1) がそれぞれ l-m と l+m で割り切れるかどうかを確認します。しかし、たとえば f (1) = 0、つまり 1 が根であり、f (1) が任意の数で割り切れる場合があり、チェックが無意味になります。この場合、f (x) を x-1 で割る必要があります。つまり、 f(x) = (x-1)s(x) を取得し、多項式 s(x) をテストします。同時に、多項式 f (x) - x1=1 の 1 つの根がすでに見つかっていることを忘れてはなりません。有理根に関する第 2 定理を使用した後に残った根の「候補」をチェックするときに、ホーナーのスキームを使用して、たとえば l/m が根であることが判明した場合、その多重度を求める必要があります。それがたとえば k に等しい場合は、f (x) = (x-l/m) ks (x) となり、s (x) に対してさらにテストを行うことができるため、計算が削減されます。

したがって、整数係数を持つ多項式の有理根を見つける方法を学びました。これを行うことで、有理係数を持つ多項式の無理数根を見つけることができるようになったことがわかります。実際、たとえば多項式 f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2 がある場合、係数を公分母にして括弧の外に置きます。 f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48) を取得します。多項式 f (x) の根が括弧内の多項式の根と一致し、その係数が整数であることは明らかです。たとえば、sin100 が無理数であることを証明してみましょう。よく知られている式 sin3?=3sin?-4sin3? を使用してみましょう。したがって、sin300=3sin100-4sin3100となります。 sin300=0.5と考えて単純な変換を実行すると、8sin3100-6sin100+1=0が得られます。したがって、sin100 は多項式 f (x) =8x3-6x+1 の根です。この多項式の有理根を探すと、存在しないことがわかります。これは、ルート sin100 が有理数ではないことを意味します。 sin100 は無理数です。

変数 x の多項式は、anxn+an-1 xn-1+ の形式の式です。。。 +a 1 x+a 0。n は自然数です。 an、an-1、. 。。、a 1、a 0 - この多項式の係数と呼ばれる任意の数値。式 anxn、an-1 xn-1、. 。。、a 1 x、a 0 は多項式の項と呼ばれ、0 は自由項です。 an は xn の係数、an-1 は xn-1 の係数などです。すべての係数がゼロに等しい多項式はゼロと呼ばれます。たとえば、多項式 0 x2+0 x+0 はゼロです。多項式の表記から、多項式が複数の要素で構成されていることは明らかです。これが、「多項式」という用語 (多くの項) の由来です。多項式は多項式と呼ばれることもあります。この用語は、ギリシャ語の πολι (多く) と νομχ (メンバー) に由来しています。

1 つの変数 x の多項式は次のように表されます。 f (x)、g (x)、h (x) など。たとえば、上記の多項式の最初の多項式を f (x) と表すと、次のように書くことができます。 f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. 多項式 h(x) は、f(x)、g を除算する場合、多項式 f(x) と g(x) の最大公約数と呼ばれます。 (x) とそれらの共通の分周器のそれぞれ。 2. 次数 n の体 P からの係数を持つ多項式 f(x) は、そのような n より小さい次数の多項式 h(x)、g(x) О P[x] が存在する場合、体 P 上で還元可能であると言われます。 f(x) = h( x)g(x) です。

多項式 f (x) =anxn+an-1 xn-1+ があるとします。。。 +a 1 x+a 0 かつ an≠ 0 の場合、数値 n は多項式 f (x) の次数と呼ばれ (または、f (x) - n 次とも呼ばれます)、st と書きます。 f(x)=n。この場合、an は主係数と呼ばれ、anxn はこの多項式の主項です。たとえば、f (x) =5 x 4 -2 x+3 の場合、art. f (x) =4、先行係数 - 5、先行項 - 5 x4。多項式の次数は、その係数のゼロ以外の最大数です。ゼロ次の多項式はゼロ以外の数です。、ゼロ多項式には次数がありません。多項式 f (x) =a。ここで、a はゼロ以外の数で、次数は 0 です。他の多項式の次数は変数 x の最大の指数に等しく、その係数は 0 に等しい。

多項式の等価性。 2 つの多項式 f (x) と g (x) は、変数 x と自由項の同じべき乗の係数が等しい (対応する係数が等しい) 場合、等しいとみなされます。 f(x)=g(x)。たとえば、多項式 f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 と g(x) =2 x 23 x+1 は等しくなく、最初の多項式の x3 の係数は 1 に等しく、 2 番目は 0 です (一般に受け入れられている規則によれば、次のように書くことができます: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1。この場合: f (x) ≠g (x)。多項式x の係数が異なるため、h (x) =2 x 2 -3 x+5、s (x) =2 x 2+3 x+5 は等しくありません。

しかし、多項式 f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 と g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 は、a = 3、a b の場合にのみ等しくなります。 = -2。多項式 f (x) =anxn+an-1 xn-1+ が与えられるとします。。。 +a 1 x+a 0 と何らかの数値 c。数 f (c) =ancn+an-1 cn-1+。。。 +a 1 c+a 0 は、x=c における多項式 f (x) の値と呼ばれます。したがって、f (c) を求めるには、x の代わりに c を多項式に代入し、必要な計算を実行する必要があります。たとえば、f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5 の場合、f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3 となります。多項式は、変数 x の異なる値に対して異なる値を取ることができます。 f (c) = 0 の場合、数値 c は多項式 f (x) の根と呼ばれます。

「多項式 f (x) はゼロに等しい (または、多項式 f (x) はゼロである)」と「多項式 f (x) の値はゼロである」という 2 つのステートメントの違いに注目してみましょう。 ) x = c ではゼロに等しい。」たとえば、多項式 f (x) =x 2 -1 はゼロに等しくなく、ゼロ以外の係数を持ち、x=1 での値はゼロです。 f (x) ≠ 0、および f (1) =0。多項式の等価性の概念と多項式の値の間には密接な関係があります。 2 つの等しい多項式 f (x) と g (x) が与えられた場合、それらの対応する係数は等しくなります。これは、各数値 c に対して f (c) = g (c) を意味します。

多項式の演算多項式は、括弧を開き、同様の項をもたらす通常の規則を使用して加算、減算、乗算できます。結果は再び多項式になります。これらの演算には既知の特性があります: f (x) +g (x) =g (x) +f (x)、f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x)、f (x) (g (x) + h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x)。

2 つの多項式 f(x) =anxn+an-1 xn-1+ が与えられるとします。。。 +a 1 x+a 0、an≠ 0、および g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+。。。 +b 1 x+bm≠ 0. Art. であることは明らかです。 f(x)=n、およびアート。 g(x)=m。これら 2 つの多項式を乗算すると、f(x) g(x)=anbmxm+n+ という形式の多項式が得られます。。。 +a 0 b 0。an≠ 0 および bn≠ 0 なので、anbm≠ 0、つまり st になります。 (f(x)g(x))=m+n。ここから重要な記述が続きます。

2 つの非ゼロ多項式の積の次数は、因子の次数の合計に等しくなります。 (f (x) g (x)) = 芸術。 f(x)+st. g(x)。 2 つの非ゼロ多項式の積の主項 (係数) は、因子の主項 (係数) の積に等しくなります。 2 つの多項式の積の自由項は、因子の自由項の積に等しい。多項式 f (x)、g (x)、および f (x) ±g (x) のべき乗は、次の関係によって関連付けられます。 (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x)、st. g (x))。

多項式 f (x) と g (x) の重ね合わせと呼ばれます。 f (g (x)) で示される多項式。多項式 f (x) で x の代わりに多項式 g (x) を代入すると得られます。たとえば、f(x)=x 2+2 x-1 かつ g(x) =2 x+3 の場合、f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) となります。 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14、g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3 = 2 x 2 + 4 x + 1。 f (g (x)) ≠g (f (x))、つまり、多項式 f (x)、g (x) の重ね合わせと、多項式 g (x)、f ( x) は異なります。したがって、重ね合わせ演算には可換性の性質がありません。

、剰余のある除算アルゴリズム任意の f(x)、g(x) に対して、f(x)=g(x)q(x)+ となる q(x) (商) と r(x) (剰余) が存在します。 r(x) と次数 r(x)

多項式の約数多項式 f(x) の約数は、f(x)=g(x)q(x) となる多項式 g(x) です。 2 つの多項式の最大公約数多項式 f(x) と g(x) の最大公約数は、他の公約数で割り切れる公約数 d(x) です。

多項式 f(x) と g(x) の最大公約数を求めるユークリッドアルゴリズム (逐次除算アルゴリズム) 次に、 f(x) と g(x) の最大公約数を求めます。

分数を減らす解決策: ユークリッドアルゴリズムを使用してこれらの多項式の gcd を求めます 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 したがって、多項式 (– x2 – 3 x – 2) は分子の gcd であり、与えられた分数の分母。分母をこの多項式で割った結果は既知です。

分子を割った結果を求めてみましょう。 x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 したがって、答えは次のようになります。

ホーナーのスキーム多項式 f(x) を非ゼロ多項式 g(x) で剰余で割ることは、f(x) を f(x)=g(x) s(x)+r(x) の形式で表すことを意味します。ここで、s (x ) と r(x) は多項式であり、r(x)=0 または st のいずれかです。処方箋）

この関係の左側と右側の多項式は等しい、つまり、対応する係数が等しいことを意味します。まず括弧を開いて、この等式の右側に類似の用語を持ってくることによって、それらを等価にしてみましょう。 a= bn-1、a-1 = bn-2 - cbn-1、a-2 = bn-3 - cbn-2、a 2 = b 1 - cb 2、a 1 = b 0 - cb 1 が得られます。、a 0 = r - cb 0。不完全な商、つまりその係数と剰余を見つける必要があることを思い出してください。得られた等式からそれらを表現してみましょう： bn-1 = an、b n-2 = cbn-1 + an-1、b n-3 = cbn-2 + a n-2、b 1 = cb 2 + a 2 、b 0 = cb 1 +a 1、r = cb 0 + a 0。部分商 s (x) と剰余 r の係数を計算するために使用できる式が見つかりました。この場合、計算は次の表の形式で示されます。それはホーナー方式と呼ばれます。

表 1. 係数 f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 係数 s (x) 剰余この表の最初の行に、多項式 f (x) のすべての係数を続けて書き込み、最初のセルを空けておきます。 2 行目の最初のセルに数値 c を書き込みます。この行の残りのセルは、不完全商 s (x) と剰余 r の係数を 1 つずつ計算することによって埋められます。 2 番目のセルに係数 bn-1 を書き込みます。これは、確立したように、an に等しいです。

後続の各セルの係数は、次のルールに従って計算されます。数値 c に前のセルの数値が乗算され、入力されているセルの上の数値が結果に加算されます。たとえば 5 番目のセルを記憶するには、つまりそのセルの係数を見つけるには、c に 4 番目のセルの数値を掛け、その結果に 5 番目のセルの上の数値を加算する必要があります。たとえば、ホーナーのスキームを使用して、多項式 f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 を x-2 で割って余りを求めてみましょう。この図の最初の行に記入するときは、多項式の係数がゼロであることを忘れてはなりません。したがって、係数 f (x) は 3、0、- 5、3、- 1 の数値になります。また、不完全商の次数は多項式 f (x) の次数より 1 つ少ないことも覚えておく必要があります。

したがって、ホーナーのスキームに従って除算を実行します。表 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 部分商 s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 が得られます。残りはr=33です。同時に多項式の値 f (2) =33 を計算したことに注意してください。同じ多項式 f (x) を x+2 で割った余りを考えてみましょう。この場合、c=-2。表 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 結果として、 f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 。

多項式の根 c1、c2、…、cm を多項式 f (x) の異なる根とします。次に、f (x) は x-c1 で除算されます。つまり、f (x) = (x-c 1) s 1 (x) となります。この等式に x=c2 を入れてみましょう。 f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) が得られ、f (c 2) =0 となり、(c2 -c1) s 1 (c 2) =0 となります。しかし、с2≠с1、つまり с2 -с1≠ 0、つまり s 1 (c 2) =0 です。したがって、c2 は多項式 s 1 (x) の根です。したがって、s 1 (x) は x-c2 で割り切れます。つまり、s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x) となります。 s 1 (x) の結果の式を等式 f (x) = (x-c 1) s 1 (x) に代入してみましょう。 f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x) となります。 f (c 3) =0、c3≠c1、c3≠c2 という事実を考慮して、最後の等式に x=c3 を置くと、c3 が多項式 s 2 (x) の根であることがわかります。これは、s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x)、そして f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) などを意味します。残りの根 c4, c5, ..., cm を計算すると、最終的に f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) が得られます。つまり、以下の式が証明されます。

с1、с2、…、сm が多項式 f (x) の異なる根である場合、f (x) は f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ）。ここから重要な結果が得られます。 c1、c2、...、cm が多項式 f(x) の異なる根である場合、f(x) は多項式 (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) で除算されます。非ゼロ多項式 f (x) の異なる根の数は、その次数を超えません。実際、f(x) に根がない場合、定理が正しいことは明らかです。 f(x) ≥ 0。ここで、f(x) に m 個の根 с1、с2、…、сm があり、それらはすべて異なるものとします。次に、今証明されたことにより、f (x) は (x-c1) (x -c2)…(x-cm) に分割されます。この場合、Art. f(x)≧st。 ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m、つまりアート。 f(x)≥m、m は問題の多項式の根の数です。しかし、ゼロ多項式は、任意の x の値が 0 に等しいため、無限に多くの根を持ちます。特に、この理由から、特定の次数は規定されていません。次のステートメントは、証明された定理から得られます。

多項式 f(x) が n を超える次数の多項式ではなく、n を超える根を持つ場合、f(x) はゼロ多項式になります。実際、このステートメントの条件から、f (x) はゼロ多項式、または art であることがわかります。 f (x) ≤ n。多項式 f (x) がゼロではないと仮定すると、Art. f (x) ≤ n の場合、f (x) の根は最大でも n 個になります。私たちは矛盾に行き着きます。これは、f(x) がゼロ以外の多項式であることを意味します。 f (x) と g (x) を次数が最大 n の非ゼロ多項式とする。これらの多項式が変数 x の n+1 個の値に対して同じ値を取る場合、f (x) =g (x) となります。

これを証明するには、多項式 h (x) =f (x) - g (x) を考えてみましょう。 h (x) = 0 または st のいずれかであることは明らかです。 h (x) ≤ n、つまり h (x) は n より大きい次数の多項式ではありません。ここで、数値 c が f (c) = g (c) となるものとします。 h (c) = f (c) - g (c) = 0、つまり c は多項式 h (x) の根です。したがって、多項式 h (x) には n+1 個の根があり、今証明したように h (x) =0、つまり f (x) =g (x) となります。 f (x) と g (x) が変数 x のすべての値に対して同じ値を取る場合、これらの多項式は等しい

多項式の複数の根数値 c が多項式 f (x) の根である場合、この多項式は x-c で割り切れることが知られています。 f (x) が多項式 x-c の累乗、つまり (x-c) k、k>1 で割り切れる場合もあります。この場合、c を多重根と呼びます。定義をより明確に定式化しましょう。多項式が (x - c) k、k>1 (k は自然数) で割り切れるが割り切れない場合、数値 c は多項式 f (x) の多重度 k の根 (k 倍根) と呼ばれます。 (x - c) k+ 1 によって。 k=1 の場合、c は単純根と呼ばれ、k>1 の場合、多項式 f (x) の倍根と呼ばれます。

多項式 f(x) が f(x)=(x-c)mg(x) として表される場合、m は自然数であり、g(x) が割り切れる場合に限り、(x-c) m+1 で割り切れます。 X-Sで。実際、g(x) が x-c で割り切れる場合、つまり g(x)=(x-c)s(x) の場合、f(x)=(x-c) m+1 s(x) となり、これは f(x) を意味します。 ) は (x-c) m+1 で割り切れます。逆に、f(x) が (x-c) m+1 で割り切れる場合は、f(x)=(x-c) m+1 s(x) となります。次に、(x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) となり、(x-c)m による縮小後、g(x)=(x-c)s(x) が得られます。したがって、g(x) は x-c で割り切れます。

たとえば、数値 2 が多項式 f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 の根であるかどうかを調べ、そうであれば、その多重度を求めてみましょう。最初の質問に答えるために、ホーナー回路を使用して f (x) が x-2 で割り切れるかどうかを確認してみましょう。表 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 ご覧のとおり、f(x) を x-2 で割ったときの余りは 0 に等しくなります。 x-2で割ります。これは、2 がこの多項式の根であることを意味します。さらに、f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12) が得られました。ここで、f(x) が (x-2) 2 上にあるかどうかを調べてみましょう。これは、先ほど証明したように、多項式 g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x の割り算に依存します。 x-2で-12。

ホーナーのスキームを再度使用してみましょう。表 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 g(x) は x-2 で割り切れ、g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6)。したがって、f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6) となります。したがって、f(x) は (x-2)2 で割り切れます。次に、f(x) が (x-2)3 で割り切れるかどうかを調べる必要があります。これを行うには、h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 が x-2 で割り切れるかどうかを確認してみましょう: 表 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 h(x ) は x-2 で割り切れます。つまり、f(x) は (x-2) 3 で割られ、f(x)=(x-2)3(x 2+x-3) となります。

次に、同様に f(x) が (x-2)4 で割り切れるかどうか、つまり s(x)=x 2+x-3 が x-2 で割り切れるかどうかを確認します。表 7. 2 1 1 1 3 -3 3 s(x) を x-2 で割ったときの余りは 3 に等しいことがわかります。つまり、s(x) は x-2 で割り切れません。これは、f(x) が (x-2)4 で割り切れないことを意味します。つまり、f(x) は (x-2)3 で割り切れますが、(x-2)4 で割り切れません。したがって、数値 2 は、多項式 f(x) の多重度 3 の根です。

通常、ルートの多重性のチェックは 1 つのテーブルで実行されます。この例では、このテーブルは次のようになります。表 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 つまり、多項式 f (x) を x-2 で除算するホーナーのスキームに従って、2 行目で多項式 g (x) の係数を取得します。次に、この 2 番目の行を新しいホーナーシステムの最初の行とみなして、g (x) を x-2 などで除算します。ゼロ以外の剰余が得られるまで計算を続けます。この場合、根の多重度は得られるゼロ残基の数に等しい。最後の非ゼロの剰余を含む行には、f (x) を (x-2) 3 で割ったときの商の係数も含まれます。

ここで、ルートの多重性をチェックするために提案されたスキームを使用して、次の問題を解決します。 a と b について、多項式 f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 は倍数 2 の根として数値 - 2 を持ちますか? ルート - 2 の多重度は 2 に等しいはずなので、提案されたスキームに従って x+2 で除算すると、0 の余りが 2 回得られ、3 回目ではゼロとは異なる余りが得られるはずです。表 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

したがって、数値 - 2 は、次の場合に限り、元の多項式の多重度 2 の根になります。

多項式の有理根既約分数 l/m (l、m は整数) が整数係数を持つ多項式 f (x) の根である場合、この多項式の先頭の係数は m で除算され、自由項は次のようになります。実際、f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0 の場合、an≠ 0 で、an、an-1、...、an が 1 で除算されます。。。、a 1 、a 0 が整数の場合、f(l/m) =0、つまり、an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+ となります。。。 +a 1 l/m+a 0=0。この等式の両辺に mn を掛けてみましょう。 anln+an-1 ln-1 m+ が得られます。。。 +a 1 ln-1+a 0 mn=0。これは、anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 ln-2 -a 0 mn-1) を意味します。

整数 anln は m で割り切れることがわかります。しかし、l/m は既約分数です。つまり、数値 l と m は互いに素であり、整数の割り算理論から知られているように、数値 ln と m も互いに素です。したがって、anln は m で割り切れ、m は ln と互いに素です。つまり、an は m で割り切れます。多項式 f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8 の有理根を求めてみましょう。定理によれば、この多項式の有理根は、l/m 形式の既約分数の中にあります。ここで、l は自由項 a 0=8 の約数、m は主要係数 a 4=6 の約数です。。さらに、分数 l/m が負の場合、分子には「-」記号が割り当てられます。たとえば、- (1/3) = (-1) /3 となります。したがって、l は数字 8 の約数であり、m は数字 6 の正の約数であると言えます。

数字 8 の約数は ± 1、± 2、± 4、± 8 であり、数字 6 の正の約数は 1、2、3、6 であるため、問題の多項式の有理根はこれらの数字の中にあります。 ±1、±1/2、±1/3、±1/6、±2/3、±4、±4/3、±8/3。既約分数だけを書き出したことを思い出してください。したがって、ルートの「候補」という数字が 20 個あります。残っているのは、それらをそれぞれチェックして、本当にルーツであるものを選択することだけです。次の定理はこの作業を単純化します。既約分数 l/m が整数係数をもつ多項式 f (x) の根である場合、l-km≠ 0 の条件で、f (k) は任意の整数 k に対して l-km で割り切れます。

この定理を証明するには、f(x) を x-k で割った余りを求めます。 f(x)=(x-k)s(x)+f(k) が得られます。 f(x) は整数係数を持つ多項式であるため、多項式 s(x) も整数であり、f(k) は整数です。 s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0 とします。その場合、f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+…) +b 1 x+b 0)。この等式に 1 x=l/m を入れてみましょう。 f(l/m)=0 と考えると、 f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- となります。 2+…+b 1(l/m)+b 0)。最後の等式の両辺に mn を掛けてみましょう: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) 。したがって、整数 mnf (k) は l-km で割り切れます。しかし、l と m が互いに素であるため、mn と l-km も互いに素であり、これは f(k) が l-km で割り切れることを意味します。定理は証明されました。

例に戻って、証明された定理を使用して、有理根の検索範囲をさらに絞り込みます。この定理を k=1 および k=-1 に適用してみましょう。つまり、既約分数 l/m が多項式 f(x) の根である場合、f(1)/(l-m)、および f(-1) になります。 /(l +m)。この場合、f(1)=-5 および f(-1)= -15 であることが簡単にわかります。同時に ± 1 は考慮から除外したので、多項式の有理根は ± 1/2、± 1/3、± 1/6、± 2、± 2/3、 ±4/3、±8/3。 l/m=1/2と考えてください。次に、l-m=-1 および f (1) =-5 をこの数値で割ります。さらに、l+m=3 および f (1) =-15 も 3 で割り切れます。これは、端数 1/2 が根の「候補」に残ることを意味します。

ここで、lm=-(1/2)=(-1)/2 とします。この場合、l-m=-3 および f (1) =-5 は -3 で割り切れません。これは、分数 -1/2 がこの多項式の根になり得ないことを意味し、これ以上の検討から除外します。上で書いた各分数をチェックして、必要な根が数値 1/2、± 2/3、2、-4 の中にあることを確認してみましょう。このように、かなり単純な手法を使用して、有理数の検索範囲を大幅に狭めることができました。問題の多項式の根。さて、残りの数値を確認するために、ホーナーのスキームを使用します: 表 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

1/2 が多項式 f(x) の根であり、f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) であることがわかります。 (3×3+8×2-8×-8)。多項式 f (x) の他のすべての根が多項式 g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 の根と一致することは明らかです。これは、根の「候補」をさらに検証する必要があることを意味します。この多項式に対して実行できます。表 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 g(x) を x-2/3 で割ったときの余りは - 80/9 に等しいことがわかりました。つまり、2/3 は多項式 g(x) の根ではないため、f(x) でもありません。次に、- 2/3 が多項式 g(x) の根であり、g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4) であることがわかります。

次に、f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4) となります。多項式 x 2+2 x-4 に対してさらに検証を実行できます。これは、もちろん g (x) の場合、または f (x) の場合よりも簡単です。その結果、数値 2 と - 4 は根ではないことがわかります。したがって、多項式 f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 には 2 つの有理根、1/2 と - 2/3 があります。この方法では、整数係数を持つ多項式の有理根のみを見つけることができます。一方、多項式には無理数根が存在する場合もあります。したがって、たとえば、この例で考慮されている多項式にはさらに 2 つの根があります: - 1±√ 5 (これらは多項式 x2+2 x-4 の根です)。多項式は有理根をまったく持たない可能性があります。

上記で証明された 2 番目の定理を使用して多項式 f(x) の「候補」根をテストする場合、通常、後者は k = ± 1 の場合に使用されます。つまり、l/m が「候補」根である場合、 f( 1) と f (-1) がそれぞれ l-m と l+m であるかどうかを確認します。しかし、たとえば f(1) =0、つまり 1 が根で、f(1) が任意の数で割り切れる場合があり、チェックが無意味になります。この場合、f(x) を x-1 で割る必要があります。つまり、f(x)=(x-1)s(x) を取得し、多項式 s(x) をテストする必要があります。同時に、多項式 f(x)-x 1=1 の 1 つの根がすでに見つかっていることを忘れてはなりません。ホーナーのスキームを使用して、有理根に関する第 2 定理を使用した後に残っている根の「候補」をチェックすると、たとえば l/m が根であることがわかり、その多重度が求められるはずです。それが例えば k に等しい場合、f(x)=(x-l/m) ks (x) となり、s(x) に対してさらにテストを行うことができるため、計算が削減されます。

解決。変数 y=2 x を置き換えたら、最高次数の 1 に等しい係数を持つ多項式に進みます。これを行うには、まず式に 4 を掛けます。結果の関数に整数根がある場合、それらは自由項の約数に含まれます。書いてみましょう：± 1、± 2、± 3、± 4、± 5、± 6、± 10、± 12、± 15 ±、± 20、± 30、± 60

これらの点における関数 g(y) の値を、ゼロに達するまで順番に計算してみましょう。つまり、y=-5 はルートであり、したがって元の関数のルートになります。多項式を列（コーナー）を使用して二項式で割ってみましょう

結果として得られる 2 次三項式を因数分解する方が簡単であるため、残りの約数のチェックを続けることはお勧めできません。

省略された乗算公式とニュートンの二項を使用して多項式を因数分解する多項式の出現により、それを因数分解する方法が示唆される場合があります。たとえば、単純な変換後、ニュートンの二項係数のパスカルの三角形から係数が直線に並びます。例。多項式を因数分解します。

解決。式を次の形式に変換しましょう。括弧内の合計の係数のシーケンスは、これが次のことを明確に示しています。したがって、二乗差の公式を適用します。 2 番目の括弧内の式には実根がありません。最初の括弧にもう一度二乗差の公式を適用します

多項式の係数を根を通して表す Vieta 式。これらの公式は、多項式の根を求める正確さをチェックしたり、指定された根に基づいて多項式を構成したりするのに使用すると便利です。定式化が多項式の根である場合、係数は根の対称多項式の形式で表されます。

言い換えれば、ak は k 根の可能なすべての積の合計に等しいということです。先頭の係数が多項式の場合、Vieta の公式を適用するには、最初にすべての係数を 0 で除算する必要があります。この場合、Vieta の公式は、先頭の係数に対するすべての係数の比の式を与えます。 Vieta の最後の公式から、多項式の根が整数の場合、それらはその自由項 (これも整数) の約数であることがわかります。証明は、a 0 = 1 を考慮して、多項式を根で展開することによって得られる等価性を考慮して実行されます。係数を x の同じべき乗で等しくすると、Vieta の公式が得られます。

方程式 x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 を解きます。 y = x 3 とすると、元の方程式は y 2 – 5 y + 4 = 0 の形になり、これを解くと Y 1 = 1 が得られます。 Y 2 = 4。したがって、元の方程式は一連の方程式と等価です: x 3 = 1 または x 3 = 4、つまり X 1 = 1 または X 2 = 答え: 1;

ベズーの定理の定義 1. f(c)=0 の場合、要素は多項式の根と呼ばれます。ベズーの定理。多項式 Pn(x) を二項 (x-a) で割った余りは、x = a におけるこの多項式の値に等しくなります。証拠。除算アルゴリズムにより、f(x)=(xc)q(x)+r(x)、ここで、r(x)=0、または、したがって。したがって、 f(x)=(x-c)q(x)+r、したがって f(c)=(c-c)q(c)+r=r、したがって f(x)=(xc)q(x) +f (c)。

系 1: 多項式 Pn (x) を二項 ax+b で割った余りは、x = -b/a、つまり R=Pn (-b/a) におけるこの多項式の値に等しくなります。系 2: 数値 a が多項式 P (x) の根である場合、この多項式は剰余なしで (x-a) で割り切れます。系 3: 多項式 P(x) がペアごとに異なる根 a 1 、a 2 、...、an を持つ場合、剰余なしで積 (x-a 1) ... (x-an) で除算されます。系 4: n 次の多項式には、最大 n 個の異なる根があります。系 5: 任意の多項式 P(x) と数値 a について、差 (P(x)-P(a)) は剰余のない二項式 (x-a) で割り切れます。系 6: 数 a は、P(x) が剰余なしで (x-a) で割り切れる場合に限り、少なくとも次数の多項式 P(x) の根です。