レッスンのトピック：「2つの円の相互配置。平面上の2つの円の相互配置2つの円の相互配置

円は、原点から中心までのベクトルとこの円の半径によって与えられます。

半径RaとRb、および半径ベクトル（中心に向かうベクトル）aとbを持つ円AとBを考えます。さらに、OaとObが彼らの中心です。一般性を失うことなく、Ra>Rbと仮定します。

次に、次の条件が満たされます。

タスク1：重要な貴族の邸宅

2つの円の交点

AとBが2点で交差するとします。これらの交点を見つけましょう。

これを行うには、aから点Pまでのベクトル。これは、円A上にあり、OaOb上にあります。これを行うには、2つの中心間のベクトルとなるベクトルb --aを取得し、正規化し（同方向の単位ベクトルに置き換え）、Raを乗算する必要があります。結果のベクトルはpとして示されます。この構成を図で見ることができます。 6

米。 6.ベクトルa、b、pおよびそれらが存在する場所。

i1とi2を、aから2つの円の交点I1とI2までのベクトルとして表します。 i1とi2はpから回転することで得られることが明らかになります。なぜなら三角形OaI1ObとOaI2Ob（半径と中心間の距離）のすべての辺がわかっているので、この角度fiを取得できます。ベクトルpを一方向に回すと、I1が得られ、他のI2では得られます。

余弦定理によれば、それは次のようになります。

pをfiだけ回転させると、どちらの方向に回転するかに応じて、i1またはi2が得られます。次に、ベクトルi1またはi2をaに追加して、交点を取得する必要があります

この方法は、一方の円の中心がもう一方の円の内側にある場合でも機能します。しかし、正確には、ベクトルpをaからbの方向に設定する必要があります。これは、私たちが行ったことです。別の円に基づいてpを作成すると、何も起こりません。

結論として、すべてに1つの事実を言及する必要があります。円が接触している場合、Pが接触点であることを確認するのは簡単です（これは内部と外部の両方の接触に当てはまります）。
ここで視覚化を見ることができます（クリックして実行）。

タスク2：交点

この方法は機能していますが、回転角の代わりに、その余弦を計算し、それを介して正弦を計算し、ベクトルを回転させるときにそれらを使用できます。これにより、計算が大幅に簡素化され、三角関数からのコードが節約されます。

クラス7G、Z

レッスンのテーマ：「2つの円の相対位置」
目的：2つの円の相互配置の考えられるケースを知ること。問題を解決するために知識を適用します。

目的：教育：生徒が2つの円の位置の考えられるケースの視覚的表現を作成および統合するのを支援するために、生徒は次のことができるようになります。

円の相互配置、それらの半径、およびそれらの中心間の距離の間の接続を確立します。

幾何学的なデザインを分析し、精神的に修正し、

面積測定の想像力を開発します。

学生は理論的知識を問題解決に応用することができます。

レッスンの種類：資料の新しい知識を紹介し、統合するレッスン。

設備：レッスンのプレゼンテーション。各生徒用のコンパス、定規、鉛筆、教科書。

チュートリアル：。「ジオメトリグレード7」、アルマトイ「アタムラ」2012

授業中。

時間を整理します。宿題をチェックしています。

3.基礎知識の実現。

円、円、半径、直径、弦、点から直線までの距離の定義を繰り返します。

1）1）直線と円の位置のどのような場合を知っていますか？

2）接線と呼ばれる線は何ですか？

3）割線と呼ばれる線は何ですか？

4）弦に垂直な直径についての定理？

5）円の半径に対して接線はどのように通過しますか？

6）表に（カードに）記入します。

教師の指導の下で生徒は問題を解決し、分析します。

1）直線aは、中心がOの円の接線です。点Aは直線a上にあります。接線とセグメントOAの間の角度は300です。半径が2.5 mの場合、セグメントOAの長さを求めます。。

2）次の場合に、線と円の相対位置を決定します。

1. R = 16cm、d = 12cm 2. R = 5cm、d = 4.2cm 3. R = 7.2cm、d = 3.7cm 4. R = 8cm、d = 1.2cm 5. R = 5 cm、d = 50mm

a）線と円には共通点がありません。

b）線は円に接しています。

c）線が円と交差します。

dは円の中心から直線までの距離、Rは円の半径です。

3）円の直径が10.3cmで、円の中心から線までの距離が4.15cmの場合、線と円の相対位置について何が言えるか。 2 dm; 103 mm; 5.15 cm、1 dm 3 cm

4）中心がOで点がAの円があるとします。円の半径が7 cmで、セグメントOAの長さが次の場合の点Aはどこにありますか。a）4 cm; b）10 cm; c）70mm。

4.生徒と一緒に、レッスンのトピックを見つけ、レッスンの目的を策定します。

5.新素材の紹介。

グループでの実践的な作業。

3つの円を作成します。円ごとに、1）2つの円が交差しないように、2）2つの円が接触するように、3）2つの円が交差するように、もう1つの円を作成します。各円の半径と円の中心間の距離を見つけ、結果を比較します。結論は何でしょうか？
2）2つの円が相互に配置されている場合の要約とノートへの書き込み。

平面上の2つの円の相互配置。

円には共通点がありません（交差しません）。（R1とR2は円の半径です）

R1+R2の場合< d,

d-円の中心間の距離。

c）円には2つの共通点があります。（交差）。

R1 + R2> dの場合、

質問。 2つの円に3つの共通点を持たせることはできますか？

6.調査した資料の統合。

データまたはステートメントの誤りを見つけて、あなたの意見の理由を挙げて訂正してください。
a）2つの円が接触しています。それらの半径はR=8cmおよびr=2 cmであり、中心間の距離はd=6です。
B）2つの円には、少なくとも2つの共通点があります。
C）R = 4、r = 3、d=5。円には共通点がありません。
D）R \ u003d 8、r \ u003d 6、d \u003d4.小さい方の円は大きい方の円の内側にあります。
E）一方が他方の内側になるように2つの円を配置することはできません。

7.レッスンの結果。レッスンで何を学びましたか？どのようなルールが確立されていますか？

2つの円をどのように見つけることができますか？円にはいつ共通点が1つありますか？ 2つの円の共通点は何と呼ばれていますか？あなたはどんなタッチを知っていますか？円はいつ交差しますか？同心円と呼ばれる円は何ですか？

レッスントピック： " 平面上の2つの円の相互配置。

目標 :

教育 - 2つの円の相対位置に関する新しい知識を習得し、テストの準備をします

教育 - 計算スキルの開発、論理的および構造的思考の開発; 合理的な解決策を見つけ、最終結果を達成するためのスキルの形成。認知活動と創造的思考の発達.

教育 – 学生の責任の形成、一貫性; 認知的および美的資質の発達; 学生の情報文化の形成。

矯正 - 空間的思考、記憶、手の運動能力を発達させます。

レッスンタイプ：新しい教材の研究、統合。

レッスンの種類：混合レッスン。

教授法：口頭、視覚的、実用的。

研究の形態：集合。

教育手段：ボード

クラス中：

1.組織段階

-あいさつ;

-レッスンの準備ができているかどうかを確認します。

2. 基本的な知識の更新。
前のレッスンで取り上げたトピックは何ですか？

円方程式の概観？

口頭で行う：

ブリッツポール

3.新素材の紹介。

あなたはどう思いますか、そして私たちが今日どのような数字を検討するのか…。 2つある場合はどうなりますか？

それらはどのように見つけることができますか？

子供たちは自分の手（隣人）で円を見つける方法を示します（ 体育）

さて、今日は何を考えるべきだと思いますか??今日は、2つの円の相対的な位置を考慮する必要があります。そして、場所に応じて中心間の距離を調べます。

レッスントピック：« 2つの円の相互配置。問題解決。»

1.同心円

2.交差しない円

3.エクスターナルタッチ

4.交差する円

5. 内部タッチ

結論を出しましょう

4.スキルと能力の形成

データまたはステートメントの誤りを見つけて、あなたの意見の理由を挙げて訂正してください。

a）2つの円が接触しています。それらの半径はR=8cmおよびr=2 cmであり、中心間の距離はd=6です。
B）2つの円には、少なくとも2つの共通点があります。

C）R = 4、r = 3、d=5。円には共通点がありません。

D）R \ u003d 8、r \ u003d 6、d \u003d4.小さい方の円は大きい方の円の内側にあります。

E）一方が他方の内側になるように2つの円を配置することはできません。

5.スキルと能力の統合。

円は外部に接触します。小さい方の円の半径は3cm、大きい方の円の半径は5cmです。中心間の距離はどれくらいですか？

解決策：3 + 5 = 8（cm）

円は内部で接触します。小さい方の円の半径は3cmです。大きい方の円の半径は5cmです。円の中心間の距離はどれくらいですか？

解決策：5-3 = 2（cm）

円は内部で接触します。円の中心間の距離は2.5cmです。円の半径はどれくらいですか？

回答：（5.5cmと3cm）、（6.5cmと4cm）など。

理解を確認する

1）2つの円をどのように見つけることができますか？

2）円にはいつ共通点が1つありますか？

3）2つの円の共通点は何と呼ばれていますか？

4）あなたはどんなタッチを知っていますか？

5）円はいつ交差しますか？

6）同心円と呼ばれる円は何ですか？

トピックに関する追加のタスク：ベクトル。コーディネート方法'（時間がある場合）

1）E（4; 12）、F（-4; -10）、G（-2; 6）、H（4; -2）検索：

a）ベクトルEF、GHの座標

b）ベクトルFGの長さ

c）点Oの座標-EFの中央

点Wの座標-中点GH

d）直径FGの円方程式

e）直線FHの方程式

6.宿題

＆96＃1000。これらの方程式のどれが円の方程式です。中心と半径を見つける

7.レッスンのまとめ（3分）

（クラスと個々の生徒の仕事の定性的評価を与えます）。

8.反省の段階（2分）

（絵の助けを借りて、生徒の感情状態、活動、教師やクラスメートとの相互作用についての考察を開始します）

ロシア連邦教育科学省

市立予算教育機関

ノボシビルスク市「体育館第4号」

セクション：数学

リサーチ

このトピックにおいて：

2つの接触円の特性

10年生：

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

ズバレフ・エフゲニー・ウラジミロビッチ

スーパーバイザー：

L.L. バリノバ

数学の先生

最高の資格カテゴリー

§1。はじめに………..…………………………。……………………………………………………3

§1.12つの円の相互配置………………………………………...………3

§2プロパティとその証明………………………………………..…………….....…。…4

§2.1プロパティ1………………...……………………………………..…………………...…。…4

§2.2プロパティ2……………………………………………………………………………...…………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

§2.3プロパティ3……………………………………………………..…………………...…………6

§2.4プロパティ4……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………。

§2.5プロパティ5…………………………………..……………………………………...………8

§2.6プロパティ6……………………………………………………………………………………………9

§3つのタスク…………………………………………………..…………………...……………..…11

参考文献…………………………………………………………………。………….13

§ 1。序章

2つの接円に関連する多くの問題は、後で提示されるプロパティのいくつかを知ることによって、より簡潔かつ簡単に解決できます。

2つの円の相互配置

まず、2つの円の相互配置の可能性について説明します。 4つの異なるケースがあります。

1.円は交差してはいけません。

2.クロス。

3.外側の一点をタッチします。

4.内側の一点をタッチします。

§2。 プロパティとその証明

プロパティの証明に直接進みましょう。

§2.1プロパティ1

円との接線の交点間のセグメントは互いに等しく、これらの円の2つの幾何平均半径に等しくなります。

証拠 1. O 1A1およびO2V1-接触点に引かれた半径。

2. O1A1┴A1V1、O2V1┴A1V1→O1A1║O2V 1.（段落1による）

▲O1O2 D-長方形、なぜなら O2D┴O2V1
O 1 O 2 \ u003d R + r、O 2 D \ u003d R-r

ピタゴラスの定理によるА1В1=2√Rr

（O 1 D 2 =（R + r）2-（R-r）2 = R 2 + 2Rr + r2-R 2 + 2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr）

A 2 B 2 =2√Rr（同様に証明）

1）円との接線の交点に半径を描きます。

2）これらの半径は、接線に垂直で、互いに平行になります。

3）小さい方の円の中心から大きい方の円の半径に垂線を落とします。

4）結果として得られる直角三角形の斜辺は、円の半径の合計に等しくなります。脚はそれらの差に等しい。

5）ピタゴラスの定理により、望ましい関係が得られます。

§2.2プロパティ2

円の接点と交差し、それらのいずれにも存在しない線の交点。接線は、接点で囲まれた外部接線のセグメントを部分に二等分します。各部分は、これらの円の半径の幾何学的平均。

証拠 1.MS= MA 1（接線のセグメントとして）

2.MS = MV 1（接線のセグメントとして）

3.A 1 M \ u003d MV 1 \u003d√Rr、A 2 N \ u003d NB 2 \u003d√Rr（段落1および2による） )

証明で使用されるステートメント ある点からある円に引かれた接線のセグメントは等しい。このプロパティは、指定された両方の円に使用されます。

§2.3プロパティ3

外部接線の間に囲まれた内部接線のセグメントの長さは、接触点間の外部接線のセグメントの長さに等しく、これらの円の2つの幾何平均半径に等しくなります。

証拠この結論は、前のプロパティから得られます。

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B1=2√Rr

§2.4プロパティ4

接円の中心と、接点に描かれた半径の間の接セグメントの中点によって形成される三角形は長方形です。その脚の比率は、これらの円の半径の根の商に等しくなります。

証拠 1.MO1は角度A1MCの二等分線であり、MO2は角度B1MCの二等分線です。ある角度で内接する円の中心は、その角度の二等分線上にあります。

2.段落1によると、РО1МS+РСМО2= 0.5（РА1МС+РСМВ1）= 0.5p = p / 2

3.РО1MO2-ストレート。 MS-三角形の高さO1MO 2、なぜなら接線MNは、接触点に引かれた半径に垂直です→三角形О1МСとMO2Сは類似しています。

4.O 1 M / MO 2 \ u003d O 1 C / MS \ u003d r/√Rr\u003d√r/R（類似性による）

証明で使用されるステートメント 1）ある角度で内接する円の中心は、その角度の二等分線上にあります。三角形の脚は、角度の二等分線です。

2）このようにして形成された角度が等しいという事実を使用して、私たちが探している角度が直角であることがわかります。この三角形は確かに直角三角形であると結論付けます。

3）高さ（接線が接触点で描かれた半径に垂直であるため）が直角三角形を分割する三角形の類似性を証明し、類似性によって目的の比率を取得します。

§2.5プロパティ5

円同士の接触点と円と接線の交点によって形成される三角形は直角三角形です。その脚の比率は、これらの円の半径の根の商に等しくなります。

証拠

▲А1МСと▲СМВ1は二等辺三角形→РМА1С=РМСА1=α、РМВ1С=РМСВ1=β。

2α+2β+РА1MS+РСМВ1=2p→2α+2β=2p-（РА1МS+РСМВ1）= 2p-p = p、α+β= p / 2

しかし、RA 1 SV1=α+β→RA1SV1-直接→РВ1CO2=РSV1О2=p/2-β=α

▲A1MSと▲CO2B1は類似しています→A1C / SV 1 = MS / O 2 B1=√Rr/R=√r/R

証明で使用されるステートメント 1）二等辺三角形であるという事実を使用して、三角形の角度の合計をペイントします。二等辺三角形は、接線分の等式に関するプロパティを使用して証明されます。

2）角度の合計をこのように描いたところ、検討中の三角形には直角があるため、長方形であることがわかります。ステートメントの最初の部分が証明されます。

3）三角形の類似性（正当化する場合は、2つの角度での類似性の符号を使用）により、直角三角形の脚の比率を求めます。

§2.6プロパティ6

円と接線の交点によって形成される四辺形は、円を内接できる台形です。

証拠 1.▲A1RA2と▲B1RV2は二等辺三角形であるため、接線のセグメントとしてのA1P \ u003dRA2とB1P \ u003dPB2→▲A1RA2と▲B1PB2は類似しています。

2.A 1 A 2║B 1 B 2、なぜなら割線A1B1の交点で形成される対応する角度は等しい。

MN-プロパティ2による中央線→A1A 2 + B 1 B 2 =2MN=4√Rr

A 1 B 1 + A 2 B2\u003d2√Rr+2√Rr\u003d4√Rr\u003dA 1 A 2 + B 1B2→台形のA2A 1 B 1B2の合計底辺は辺の合計に等しく、これは内接円が存在するための必要十分条件です。

証明で使用されるステートメント 1）接線分のプロパティをもう一度使用してみましょう。その助けを借りて、接線と接点の交点によって形成される二等辺三角形を証明します。

2）これから、これらの三角形の類似性とそれらの底辺の平行性が続きます。これに基づいて、この四辺形は台形であると結論付けます。

3）先に証明した（2）の性質によれば、台形の正中線が見つかります。これは、円の2つの幾何平均半径に等しくなります。結果として得られる台形では、底辺の合計は辺の合計に等しく、これは内接円が存在するための必要十分条件です。

§3。タスク

実用的な例を使用して、上記のプロパティを使用して問題の解決をどのように簡略化できるかを検討してください。

タスク1

三角形ABCでは、辺AC =15cmです。三角形には円が内接しています。 2番目の円は、最初の円と辺ABおよびBCに接しています。点Fは辺ABで選択され、点Mは辺BCで選択されるため、セグメントFMは円の共通の接線になります。 FMが4cmで、点Mが一方の円の中心からもう一方の円の中心から2倍離れている場合、三角形BFMと四辺形AFMCの面積の比率を求めます。

与えられた： FM共通接線AC=15cm FM = 4cm O 2 M = 2O 1 M

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