数学的モデルを作成する。数学モデルの実際アルゴリズムを使用する数学モデルの種類

数学モデリング

1. 数理モデリングとは何ですか?

20世紀半ばから。数学的手法とコンピューターは、人間の活動のさまざまな分野で広く使用され始めました。「数理経済学」、「数理化学」、「数理言語学」などの新しい学問が登場し、関連する物体や現象の数理モデルとそのモデルを研究する方法が研究されています。

数学モデルは、現実世界のあらゆるクラスの現象またはオブジェクトを数学の言語で近似的に記述したものです。モデリングの主な目的は、これらのオブジェクトを調査し、将来の観測結果を予測することです。しかし、モデリングは私たちの周囲の世界を理解し、それを制御することを可能にする方法でもあります。

何らかの理由で本格的な実験が不可能または困難な場合には、数学的モデリングとそれに伴うコンピューター実験が不可欠です。たとえば、「もし…だったらどうなるか」を確認するために歴史の中で自然実験を設定することは不可能です。また、何らかの宇宙論の正しさを確認することも不可能です。ペストなどの病気の蔓延を実験したり、その結果を研究するために核爆発を実行したりすることは可能ですが、合理的である可能性は低いです。ただし、研究対象の現象の数学的モデルを最初に構築することで、これらすべてをコンピュータ上で行うことができます。

2. 数学的モデリングの主な段階

1) モデルの構築。この段階では、自然現象、設計、経済計画、生産プロセスなど、何らかの「非数学的」オブジェクトが指定されます。この場合、原則として、状況を明確に説明することは困難です。まず、現象の主な特徴とそれらの間の質的レベルでのつながりを特定します。次に、見つかった定性的な依存関係が数学の言語で定式化され、数学的モデルが構築されます。これはモデリングの最も難しい段階です。

2) モデルが導く数学的問題の解決。この段階では、コンピュータ上で問題を解決するためのアルゴリズムと数値的手法の開発に多くの注意が払われ、これを利用することで、必要な精度と許容可能な時間内で結果を見つけることができます。

3) 数学モデルから得られた結果の解釈。数学の言語でモデルから導出された結果は、その分野で受け入れられている言語で解釈されます。

4) モデルの妥当性をチェックする。この段階では、実験結果がモデルの理論的結果と一定の精度内で一致するかどうかが判断されます。

5) モデルの修正。この段階では、現実により適したモデルになるようモデルが複雑になるか、実用的に受け入れられる解決策を達成するために単純化されます。

3. 機種の分類

モデルはさまざまな基準に従って分類できます。たとえば、解決される問題の性質に応じて、モデルは機能モデルと構造モデルに分類できます。最初のケースでは、現象またはオブジェクトを特徴付けるすべての量が定量的に表現されます。さらに、それらの一部は独立変数として考慮され、その他はこれらの量の関数として考慮されます。数学モデルは通常、考慮中の量間の定量的な関係を確立するさまざまなタイプ (微分、代数など) の方程式系です。 2 番目のケースでは、モデルは個々の部品で構成され、それらの間に特定の接続がある複雑なオブジェクトの構造を特徴付けます。通常、これらのつながりは定量化できません。このようなモデルを構築するには、グラフ理論を使用すると便利です。グラフは、平面または空間上の一連の点 (頂点) を表す数学的オブジェクトであり、その一部は線 (エッジ) で接続されています。

初期データと結果の性質に基づいて、予測モデルは決定論的モデルと確率統計的モデルに分類できます。最初のタイプのモデルは、明確で明確な予測を行います。 2 番目のタイプのモデルは統計情報に基づいており、それらの助けを借りて得られる予測は本質的に確率的です。

4. 数理モデルの例

1) 発射体の動きに関する問題。

次の力学問題を考えてみましょう。

発射体は、初速度 v 0 = 30 m/s で、表面に対して角度 a = 45°で地球から発射されます。その移動の軌跡と、この軌跡の始点と終点の間の距離 S を見つける必要があります。

次に、学校の物理学の授業で知られているように、発射体の運動は次の公式で記述されます。

ここで、t は時間、g = 10 m/s 2 は重力加速度です。これらの公式は、問題の数学的モデルを提供します。最初の方程式から t から x までを表し、それを 2 番目の方程式に代入すると、発射体の軌道の方程式が得られます。

この曲線 (放物線) は、x 1 = 0 (軌道の始まり) と 2 つの点で x 軸と交差します。（発射体が落ちた場所）。 v0 と a の指定された値を結果の式に代入すると、次のようになります。

答え: y = x – 90x 2、S = 90 m。

このモデルを構築するとき、多くの仮定が使用されたことに注意してください。たとえば、地球は平らであり、空気と地球の回転は発射体の動きに影響を及ぼさないと仮定されています。

2) 最小表面積のタンクの問題。

閉じた円筒の形状をした、体積 V = 30 m 3 のブリキ製タンクの高さ h 0 と半径 r 0 を見つける必要があります。このとき、その表面積 S は最小になります (この場合、最小値は最小になります)。生産には一定量の錫が使用されます）。

高さ h、半径 r の円柱の体積と表面積を求める次の式を書いてみましょう。

V = p r 2 h、S = 2p r(r + h)。

最初の式から h から r および V までを表現し、得られた式を 2 番目の式に代入すると、次のようになります。

したがって、数学的な観点から見ると、問題は関数 S(r) が最小値に達する r の値を決定することになります。導関数が適用される r 0 の値を見つけてみましょう。

ゼロになります: 引数 r が点 r 0 を通過すると、関数 S(r) の 2 階導関数の符号がマイナスからプラスに変わることが確認できます。したがって、点 r0 で関数 S(r) は最小値になります。対応する値は h 0 = 2r 0 です。指定された値 V を r 0 と h 0 の式に代入すると、目的の半径が得られます。そして高さ

3) 輸送の問題。

市内には小麦粉倉庫が 2 つとパン屋が 2 つあります。毎日、第1倉庫から50トンの小麦粉が、第2倉庫から70トンが工場に輸送され、第1倉庫には40トン、第2倉庫には80トンが輸送される。

で表しましょうある ij は、1 トンの小麦粉を i 番目の倉庫から j 番目の工場まで輸送するコストです (i, j = 1.2)。させて

ある 11 = 1.2 ルーブル、ある 12 = 1.6 ルーブル、ある 21 = 0.8 摩擦、ある 22 = 1 回の摩擦。

コストを最小限に抑えるためには、輸送をどのように計画すればよいでしょうか?

この問題を数学的に定式化してみましょう。最初の倉庫から最初と二番目の工場に輸送しなければならない小麦粉の量を x 1 と x 2 で表し、2 番目の倉庫から第一と二番目の工場に輸送する必要がある小麦粉の量をそれぞれ x 3 と x 4 で表します。それから：

x 1 + x 2 = 50、x 3 + x 4 = 70、x 1 + x 3 = 40、x 2 + x 4 = 80。 (1)

すべての交通費の合計は次の式で決まります。

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4。

数学的な観点から見ると、問題は、与えられた条件をすべて満たし、関数 f の最小値を与える 4 つの数値 x 1、x 2、x 3、x 4 を見つけることです。未知数を排除して、xi (i = 1, 2, 3, 4) の連立方程式 (1) を解いてみましょう。それはわかります

x 1 = x 4 – 30、x 2 = 80 – x 4、x 3 = 70 – x 4、(2)

x 4 は一意に決定できません。 x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4) なので、式 (2) から 30Ј x 4 Ј 70 となります。 x 1、x 2、x 3 の式を f の式に代入すると、次のようになります。

f = 148 – 0.2x 4.

この関数の最小値は、x 4 の可能な最大値、つまり x 4 = 70 で達成されることが簡単にわかります。他の未知数の対応する値は、式 (2) によって決定されます。 40、× 2 = 10、× 3 = 0。

4) 放射性崩壊の問題。

放射性物質の初期の原子数を N(0)、時刻 t における崩壊していない原子の数を N(t) とします。これらの原子の数の変化率 N"(t) は N(t) に比例することが実験的に確立されています。つまり、N"(t)=–l N(t)、l >0 は特定の物質の放射能定数。学校の数学解析コースでは、この微分方程式の解は N(t) = N(0)e –l t の形式であることが示されています。初期原子の数が半分になる時間 T は半減期と呼ばれ、物質の放射能の重要な特性です。 T を決定するには、次の式を入力する必要があります。それからたとえば、ラドンの場合、l = 2.084 · 10 –6 であるため、T = 3.15 日になります。

5) 巡回セールスマン問題。

都市 A 1 に住む巡回セールスマンは、都市 A 2、A 3、および A 4 をそれぞれ 1 回ずつ訪問し、その後 A 1 に戻る必要があります。すべての都市は道路によってペアで接続されていることが知られており、都市 A i と A j (i, j = 1, 2, 3, 4) 間の道路の長さ b ij は次のとおりです。

b 12 = 30、b 14 = 20、b 23 = 50、b 24 = 40、b 13 = 70、b 34 = 60。

対応するパスの長さが最小になる都市を訪問する順序を決定する必要があります。

各都市を平面上の点として描き、対応するラベル Ai (i = 1、2、3、4) でマークしましょう。これらの点を直線で結びましょう。これらの点は都市間の道路を表します。それぞれの「道路」について、その長さをキロメートル単位で示します（図2）。結果はグラフです。これは、平面上の特定の点のセット (頂点と呼ばれます) と、これらの点を接続する特定の線のセット (エッジと呼ばれます) で構成される数学的オブジェクトです。さらに、このグラフにはラベルが付けられています。これは、その頂点とエッジに番号 (エッジ) または記号 (頂点) などのラベルが割り当てられているためです。グラフ上のサイクルは、一連の頂点 V 1 、V 2 、...、V k 、V 1 であり、頂点 V 1 、...、V k は異なり、頂点の任意のペア V i 、V i+1 (i = 1, ..., k – 1) と V 1、V k のペアはエッジで接続されています。したがって、検討中の問題は、すべてのエッジの重みの合計が最小となる 4 つの頂点すべてを通過するグラフ上のサイクルを見つけることです。 4 つの頂点を通過し、A 1 から始まるさまざまなサイクルをすべて検索してみましょう。

1) A 1、A 4、A 3、A 2、A 1;
２）Ａ１、Ａ３、Ａ２、Ａ４、Ａ１；
3) A 1、A 3、A 4、A 2、A 1。

ここで、これらのサイクルの長さ (km 単位) を求めてみましょう: L 1 = 160、L 2 = 180、L 3 = 200。したがって、最短の長さのルートが最初になります。

グラフ内に n 個の頂点があり、すべての頂点がエッジによってペアで接続されている場合 (このようなグラフは完全と呼ばれます)、すべての頂点を通過するサイクルの数はであることに注意してください。したがって、この場合、サイクルはちょうど 3 つあります。

6) 物質の構造と性質の間の関連性を見つける問題。

通常のアルカンと呼ばれるいくつかの化合物を見てみましょう。それらは、n 個の炭素原子と n + 2 個の水素原子 (n = 1、2 ...) で構成され、n = 3 の場合、図 3 に示すように相互に接続されています。これらの化合物の沸点の実験値を調べてみましょう。

y e (3) = – 42°、y e (4) = 0°、y e (5) = 28°、y e (6) = 69°。

これらの化合物の沸点と数nの間のおおよその関係を見つける必要があります。この依存関係が次のような形式であると仮定します。

よ」ある n+b、

どこある, b - 決定される定数。見つけるにはあるそして b この式に n = 3、4、5、6 と対応する沸点の値を順番に代入します。我々は持っています：

– 42 » 3 ある+ b、0 » 4 ある+ b、28 » 5 ある+ b、69 » 6 ある+ b.

最良のものを決定するにはある b さまざまな方法があります。最も単純なものを使用してみましょう。 b を使って表現しましょうあるこれらの方程式から:

b » – 42 – 3 ある、b " – 4 ある、b » 28 – 5 ある、b » 69 – 6 ある.

これらの値の算術平均を目的の b として取得します。つまり、 b » 16 – 4.5 とします。ある。この b の値を元の方程式系に代入して、計算してみます。ある、私たちは得ますある次の値: ある» 37、ある» 28、ある» 28、ある" 36. 必要なものとして取りましょうあるこれらの数値の平均値、つまり次のようにしましょう。ある" 34. したがって、必要な方程式は次の形式になります。

y » 34n – 139.

元の 4 つの化合物に関するモデルの精度を確認してみましょう。結果の式を使用して沸点を計算します。

y р (3) = – 37°、y р (4) = – 3 °、y р (5) = 31 °、y р (6) = 65 °。

したがって、これらの化合物のこの特性を計算する際の誤差は 5° を超えません。得られた式を使用して、元のセットには含まれていない n = 7 の化合物の沸点を計算します。この式に n = 7 を代入します: y р (7) = 99°。結果は非常に正確でした。沸点の実験値 y e (7) = 98°であることが知られています。

7) 電気回路の信頼性を判断する問題。

ここでは確率モデルの例を見ていきます。まず、実験の繰り返し中に観察されるランダムな現象のパターンを研究する数学的学問である確率論からの情報をいくつか紹介します。ランダムなイベント A を、ある実験の起こり得る結果と呼ぶことにします。イベント A 1 、...、A k は、それらのうちの 1 つが実験の結果として必然的に発生する場合、完全なグループを形成します。 1 つのエクスペリエンスで同時に発生できないイベントは、互換性がないと呼ばれます。実験を n 回繰り返す間にイベント A が m 回発生するとします。イベント A の頻度は数値 W = です。明らかに、W の値は、一連の n 回の実験が実行されるまで正確に予測できません。ただし、ランダムイベントの性質上、実際には次のような効果が観察されることがあります。実験の数が増加するにつれて、値は実質的にランダムではなくなり、確率と呼ばれる何らかの非乱数 P(A) 付近で安定します。イベント A。不可能なイベント (実験では決して起こらない) の場合は P(A)=0、信頼できるイベント (経験では必ず発生する) の場合は P(A)=1。イベント A 1 、...、A k が互換性のないイベントの完全なグループを形成する場合、P(A 1)+...+P(A k)=1 となります。

たとえば、サイコロを投げて、出た目の数 X を観察する実験を行うと、次のランダムイベント A i = (X = i)、i = 1、...、6 を導入できます。互換性のない等確率のイベントの完全なグループを形成するため、P(A i) = (i = 1, ..., 6) となります。

イベント A と B の合計はイベント A + B であり、イベントの少なくとも 1 つが経験の中で発生するという事実から構成されます。イベント A と B の積はイベント AB であり、これらのイベントの同時発生で構成されます。独立したイベント A と B の場合、次の式が当てはまります。

P(AB) = P(A) P(B)、P(A + B) = P(A) + P(B)。

8) 次のことを考えてみましょう。 タスク。 3 つの要素が電気回路に直列に接続され、互いに独立して動作すると仮定します。 1 番目、2 番目、および 3 番目の要素の故障確率は、それぞれ P1 = 0.1、P2 = 0.15、P3 = 0.2 に等しくなります。回路に電流が流れない確率が 0.4 以下であれば、回路は信頼できるとみなします。特定の回路が信頼できるかどうかを判断する必要があります。

要素は直列に接続されているため、少なくとも 1 つの要素が故障した場合、回路には電流が流れなくなります (イベント A)。 i 番目の要素が動作するイベントを A i とします (i = 1, 2, 3)。この場合、P(A1) = 0.9、P(A2) = 0.85、P(A3) = 0.8 となります。明らかに、A 1 A 2 A 3 は 3 つの要素すべてが同時に機能するイベントです。

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612。

P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1、つまり P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

結論として、数学的モデル (機能的および構造的、決定論的および確率的を含む) の与えられた例は本質的に例示的なものであり、明らかに、自然科学および人文科学で生じるさまざまな数学的モデルを網羅するものではないことに注意します。

数学モデルとは何ですか?

数学的モデルの概念。

数学的モデルは非常に単純な概念です。そしてとても重要です。数学と実生活をつなぐのは数理モデルです。

簡単な言葉で、 数学的モデルは、あらゆる状況を数学的に記述したものです。それだけです。モデルは原始的な場合もあれば、非常に複雑な場合もあります。どのような状況であっても、それがモデルです。）

いずれにしても（繰り返しますが、 どれでも！）何かを数えたり計算したりする必要がある場合 - 私たちは数学的モデリングに取り組んでいます。たとえ私たちがそれを疑っていなくても。）

P = 2 CB + 3 CM

このエントリは、購入コストの数学的モデルになります。このモデルでは、パッケージの色、賞味期限、レジ係の丁寧さなどは考慮されていません。だからこそ彼女は モデル、実際の購入ではありません。しかし、経費、つまり 私たちの必要なもの-必ずわかります。もちろんモデルが正しければですが。

数学的モデルが何であるかを想像することは役に立ちますが、それだけでは十分ではありません。最も重要なことは、これらのモデルを構築できることです。

問題の数学的モデルの作成 (構築)。

数学的モデルを作成するとは、問題の状況を数学的な形式に変換することを意味します。それらの。単語を方程式、公式、不等式などに変換します。さらに、この数学がソーステキストに厳密に対応するように変換します。そうしないと、未知の問題の数学的モデルができてしまいます。)

より具体的に言うと、必要なのは

世の中には無数のタスクが存在します。したがって、数学的モデルを作成するための明確な段階的な指示を提供します。 どれでもタスクは不可能です。

ただし、注意しなければならない主なポイントが 3 つあります。

1. 奇妙なことに、どの問題にもテキストが含まれています。) このテキストには、原則として、 明示的でオープンな情報。数字、値など

2. 何らかの問題がある場合は、 隠された情報。追加の知識が頭に入っていることを前提としたテキストです。彼らなしではどうしようもありません。さらに、数学的な情報は単純な単語の背後に隠れていることが多く、注意をすり抜けてしまいます。

3. いかなるタスクも与えられなければならない 相互にデータを接続すること。この関係は、プレーンテキスト (何かと何かが等しい) で表すことも、単純な単語の後ろに隠すこともできます。しかし、単純明快な事実は見落とされがちです。また、モデルはいかなる方法でもコンパイルされていません。

すぐに言っておきますが、これら 3 つのポイントを適用するには、問題を何度も (そして慎重に) 読む必要があります。いつものこと。

そして今 - 例。

簡単な問題から始めましょう:

ペトロヴィッチさんは釣りから戻り、自分の獲物を誇らしげに家族にプレゼントした。詳しく調べてみると、8匹の魚は北の海から来ており、全魚の20％は南の海から来ており、ペトロヴィッチが釣りをしていた地元の川からは一匹も来ていないことが判明した。ペトロヴィッチは海産物店で何匹の魚を買いましたか?

これらすべての単語をある種の方程式に変換する必要があります。これを行うには、繰り返しますが、次のことが必要です。 問題内のすべてのデータ間の数学的関係を確立します。

どこから始めれば？まず、タスクからすべてのデータを抽出しましょう。順番に始めましょう:

最初の点に注目してみましょう。

ここにいるのはどれですか？ 明示的な数学的な情報？ 8匹で20%。多くはありませんが、それほど多くは必要ありません。）

2番目の点に注目してみましょう。

探しています 隠れた情報。ここです。これらは次の言葉です。 「全魚の20％「ここでは、パーセンテージとは何か、そしてその計算方法を理解する必要があります。そうでなければ、問題は解決できません。これはまさに、頭の中に入れておくべき追加情報です。

もあります 数学的まったく目に見えない情報。これ タスクの質問: "いったい何匹の魚を買ったんだろう…」これも数字です。そしてそれがなければモデルは形成されません。したがって、この数字を文字で表しましょう "バツ"。 x が何に等しいかはまだわかりませんが、この指定は非常に役立ちます。 X について何をとるべきか、そしてそれをどのように処理するかについての詳細は、「数学の問題を解決するにはどうすればよいですか?」のレッスンに書かれています。すぐに書き留めてみましょう:

x 個 - 魚の合計数。

私たちの問題では、南方の魚がパーセンテージで与えられます。それらを断片に変換する必要があります。何のために？じゃあ何で どれでもモデルの問題を作成しなければならない 同じ種類の量で。断片 - つまり、すべてがバラバラです。たとえば、時間と分が与えられた場合、すべてを 1 つのもの (時間のみ、または分のみ) に変換します。それが何であろうと関係ありません。重要なことは、 すべての値は同じ型でした。

情報公開の話に戻りましょう。パーセンテージが何であるかを知らない人は決してそれを明らかにしないでしょう...しかし、知っている人はすぐに、ここでのパーセンテージは魚の総数に基づいていると言うでしょう。そして私たちはこの数字を知りません。何もうまくいきません！

魚の総数を（バラバラに）表記するのは当然のことです。 "バツ"指定された。南方の魚の数を数えるのは無理だけど、書き留めることはできるでしょうか？このような：

0.2 × 個 - 南の海からの魚の数。

これで、タスクからすべての情報がダウンロードされました。明らかなものと隠されたものの両方。

3番目の点に注目してみましょう。

探しています 数学的関係タスクデータ間。この関係は非常に単純であるため、多くの人はそれに気づきません...これはよく起こります。ここでは、収集したデータを山に書き留めて、何が何であるかを確認すると便利です。

私たちには何があるでしょうか？食べる 8個北方の魚、 0.2×個- 南国の魚と ×魚- 合計金額。このデータを何らかの方法でリンクすることは可能でしょうか? はい、簡単です！魚の総数 等しい南と北を合わせたもの！まあ、誰が考えただろう...) そこで、それを書き留めます。

x = 8 + 0.2x

これが方程式です 私たちの問題の数学的モデル。

この問題では注意してください 何も折り畳むように求められることはありません。南の魚と北の魚を合計すれば総数が得られると頭から理解したのは私たち自身でした。そのことはあまりにも明白なので気づかれない。しかし、この証拠がなければ、数学的モデルを作成することはできません。このような。

これで、数学の能力を最大限に活用してこの方程式を解くことができます)。まさにこれが、数学モデルが作成された理由です。この一次方程式を解くと答えが得られます。

答え： x=10

別の問題の数学的モデルを作成してみましょう。

彼らはペトロヴィッチに「たくさんお金を持っていますか？」と尋ねました。ペトロヴィッチは泣き始めて答えた、「はい、少しだけです。もし私が全お金の半分を使い、残りの半分を使ったら、私に残るのは一袋だけです...」ペトロヴィッチはどれくらいのお金を持っていますか？ ?

繰り返しますが、ポイントごとに作業します。

1. 私たちは明確な情報を求めています。すぐには見つからないでしょう！明示的な情報は、 1つお財布。他にもいくつかの部分があります...まあ、それについては 2 番目の段落で検討します。

2. 隠された情報を探しています。これらは半分です。何？あまり明確ではありません。私たちはさらに先を目指しています。もう 1 つ質問があります。 「ペトロヴィッチはどれくらいのお金を持っていますか？」金額を文字で表しましょう "バツ":

バツ- すべてのお金

そしてもう一度問題を読みます。ペトロヴィッチはすでにそれを知っていますバツお金。ここで半分が活躍します！次のように書き留めます。

0.5倍- 全額の半分。

残りも半分になります。 0.5倍。そして、半分の半分は次のように書くことができます。

0.5 0.5 x = 0.25x- 残りの半分。

これで、隠されていた情報がすべて明らかになり、記録されました。

3. 記録されたデータ間のつながりを探します。ここでは、ペトロヴィッチの苦しみを読んで、それを数学的に書き留めることができます):

お金の半分を使ったら...

この過程を記録してみましょう。すべてのお金 - バツ。半分 - 0.5倍。費やすことは奪うことです。フレーズは録音に変わります。

×～0.5×

はい、残り半分です…

余りのもう半分を引いてみましょう。

x - 0.5 x - 0.25x

そうなるとお金は一袋しか残らないのですが…

そしてここで私たちは平等を発見しました！すべての差し引きの後、お金の入った袋が 1 つ残ります。

x - 0.5 x - 0.25x = 1

これが数学モデルです。これも一次方程式であり、これを解くと次の結果が得られます。

検討のための質問。 4つとは何ですか？ルーブル、ドル、人民元？そして、私たちの数学モデルではお金はどの単位で書かれているのでしょうか? バッグに！つまり4つ バッグペトロヴィッチからのお金。同じく元気です。）

もちろん、タスクは初歩的なものです。これは特に、数学的モデルの作成の本質を捉えるためです。一部のタスクにはさらに多くのデータが含まれる場合があり、迷子になりやすい場合があります。いわゆるこれはよく起こります。コンピテンシータスク。単語と数字の山から数学的内容を抽出する方法を例とともに示します。

もう一つメモ。古典的な学校の問題 (プールを埋めるパイプ、どこかに浮かぶボートなど) では、原則としてすべてのデータが非常に慎重に選択されます。次の 2 つのルールがあります。
- 問題を解決するのに十分な情報が問題に含まれている、
- 問題に不要な情報はありません。

これがヒントです。数理モデルに未使用の値が残っている場合は、エラーがないかどうかを考えてください。十分なデータがない場合は、すべての隠された情報が識別および記録されていない可能性があります。

能力関連やその他の生活上の課題では、これらのルールは厳密に守られていません。全く分からない。しかし、そのような問題も解決できます。もちろん、古典的なもので練習している場合に限ります。）

このサイトが気に入ったら...

ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。即時検証によるテスト。興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

ソヴェトフとヤコブレフの教科書によると、「モデル（緯度係数 - 尺度）は、元のオブジェクトの代替オブジェクトであり、元のオブジェクトのいくつかの特性の研究を保証します。」 (p. 6) 「モデルオブジェクトを使用して、元のオブジェクトの最も重要なプロパティに関する情報を取得するために、あるオブジェクトを別のオブジェクトに置き換えることをモデリングと呼びます。」 (p. 6) 「数学的モデリングによって、私たちは、与えられた現実のオブジェクトと、数学モデルと呼ばれる特定の数学的オブジェクトとの対応関係を確立するプロセスと、このモデルの研究を理解して、現実のオブジェクトの特性を取得することができます。」検討中のオブジェクト。数学的モデルの種類は、実際の物体の性質とその物体を研究するタスク、そしてこの問題を解決するために必要な信頼性と精度の両方によって決まります。」

最後に、数学モデルの最も簡潔な定義は次のとおりです。 「アイデアを表現する方程式。"

モデルの分類

モデルの正式な分類

モデルの正式な分類は、使用される数学ツールの分類に基づいています。多くの場合、二項対立の形で構築されます。たとえば、よく使われる二分法セットの 1 つは次のとおりです。

等々。構築された各モデルは、線形または非線形、決定論的または確率論的です。当然、混合タイプも可能です。(パラメータに関して) 1 つの点に集中し、別の点に分散するなどです。

オブジェクトの表現方法による分類

正式な分類に加えて、モデルはオブジェクトを表現する方法も異なります。

構造モデルまたは機能モデル

構造モデルは、オブジェクトを、独自の構造と機能メカニズムを備えたシステムとして表します。機能モデルはそのような表現を使用せず、外部から認識されたオブジェクトの動作 (機能) のみを反映します。極端な表現では「ブラックボックス」モデルとも呼ばれ、複数のタイプを組み合わせたモデルもあり、「グレーボックス」モデルと呼ばれることもあります。

コンテンツと形式モデル

数学的モデリングのプロセスを説明しているほとんどすべての著者は、最初に特別な理想的な構造が構築されることを示しています。 コンテンツモデル。ここには確立された用語はなく、他の著者はこれを理想的なオブジェクトと呼んでいます 概念モデル , 投機的モデルまたは プレモデル。この場合、最終的な数学的構築は次のように呼ばれます。 正式なモデルまたは、単に与えられた意味のあるモデル (プレモデル) を形式化した結果として得られる数学的モデル。意味のあるモデルの構築は、力学と同様に、既製の理想化のセットを使用して行うことができます。理想的なバネ、剛体、理想的な振り子、弾性媒体などが、有意義なモデリングのための既製の構造要素を提供します。しかし、完全に完成した形式化された理論が存在しない知識分野 (物理学、生物学、経済学、社会学、心理学、その他ほとんどの分野の最先端) では、意味のあるモデルの作成は劇的に困難になります。

モデルの内容分類

科学における仮説は、一度で完全に証明できるものではありません。リチャード・ファインマンはこれを非常に明確に定式化しました。

「理論を反証する機会は常にありますが、それが正しいことを証明することは決してできないことに注意してください。成功する仮説を提案し、それがどこにつながるかを計算し、その結果すべてが実験的に確認されたことが判明したと仮定しましょう。これはあなたの理論が正しいということですか？いや、それは単にあなたが反論できなかったということです。」

最初のタイプのモデルが構築された場合、これはそれが一時的に真実であると認識され、他の問題に集中できることを意味します。ただし、これは研究のポイントにはならず、一時的な停止にすぎません。最初のタイプのモデルのステータスは一時的なものにすぎません。

タイプ 2: 現象論的モデル (私たちはあたかものように振る舞う…)

現象論的モデルには、現象を説明するためのメカニズムが含まれています。しかし、このメカニズムは十分に説得力がないか、入手可能なデータによって十分に確認できないか、既存の理論やオブジェクトに関する蓄積された知識とうまく適合しません。したがって、現象論的モデルは一時的な解決策としての地位を持っています。その答えはいまだ不明であり、「真のメカニズム」の探求は続けられなければならないと考えられています。パイエルスには、第二の種類として、素粒子の熱量モデルやクォークモデルなどが挙げられる。

研究におけるモデルの役割は時間の経過とともに変化する可能性があり、新しいデータや理論によって現象論的モデルが確認され、仮説の地位に昇格することも考えられます。同様に、新しい知識は、最初のタイプのモデル仮説と徐々に衝突する可能性があり、それらは 2 番目のタイプに変換される可能性があります。したがって、クォークモデルは徐々に仮説のカテゴリーに移行しつつあります。物理学における原子主義は一時的な解決策として生まれましたが、歴史の流れとともにそれが最初のタイプになりました。しかし、エーテルモデルはタイプ 1 からタイプ 2 に移行し、現在は科学の外にあります。

単純化という考え方は、モデルを構築するときに非常によく使われます。しかし、簡素化にはさまざまな形があります。 Peierls は、モデリングにおける 3 つのタイプの単純化を特定しています。

タイプ 3: 近似 (私たちは何か非常に大きいか非常に小さいものを考慮します)

研究対象のシステムを記述する方程式を構築できたとしても、それはコンピューターの助けを借りても解けるという意味ではありません。この場合の一般的な手法は、近似 (タイプ 3 モデル) の使用です。その中で 線形応答モデル。方程式は線形方程式に置き換えられます。標準的な例はオームの法則です。

ここでタイプ 8 が登場します。これは、生物学的システムの数学モデルで広く普及しています。

タイプ 8: 機能のデモンストレーション (重要なことは、可能性の内部一貫性を示すことです)

これらは架空の存在を使った思考実験でもあり、次のことを示しています。 想定される現象基本原則と一致しており、内部的にも一貫しています。これが、隠れた矛盾を明らかにするタイプ 7 のモデルとの主な違いです。

これらの実験の中で最も有名なものの 1 つは、ロバチェフスキーの幾何学です (ロバチェフスキーはそれを「想像上の幾何学」と呼びました)。別の例は、化学振動や生物学振動、自己波などの形式的な運動モデルの大量生産です。アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスは、量子力学の矛盾を実証するためのタイプ 7 モデルとして考えられました。まったく計画外の方法で、それは最終的にタイプ 8 モデルになり、情報の量子テレポーテーションの可能性を実証しました。

例

一端に取り付けられたバネと質量の塊で構成される機械システムを考えてみましょう。 メートルスプリングの自由端に取り付けられます。荷重はバネ軸の方向にのみ移動できると仮定します (たとえば、移動はロッドに沿って発生します)。このシステムの数学モデルを構築してみましょう。システムの状態を距離で表現しますバツ荷重の中心から平衡位置までの距離。を使用してばねと荷重の相互作用を説明しましょう。 フックの法則 (F = − kバツ ) 次に、ニュートンの第 2 法則を使用して、それを微分方程式の形式で表します。

ここで、は次の導関数を意味しますバツ時間までに: 。

結果として得られる方程式は、考慮されている物理システムの数学的モデルを表します。このモデルは「調和発振器」と呼ばれます。

正式な分類によれば、このモデルは線形、決定論的、動的、集中的、連続的です。その構築の過程で、私たちは多くの仮定（外力がないこと、摩擦がないこと、偏差が小さいことなど）を立てましたが、実際には満たされない可能性があります。

現実との関係では、これはほとんどの場合タイプ 4 モデルです。 単純化(「明確にするために一部の詳細は省略します」)。いくつかの重要な普遍的な機能 (たとえば、散逸) が省略されているためです。ある程度の近似を行うと (たとえば、負荷の平衡からの偏差が小さく、摩擦が低く、あまり長い時間をかけず、他の特定の条件に従う場合)、そのようなモデルは実際の機械システムを非常によく記述します。動作への影響は無視できます。ただし、これらの要素のいくつかを考慮することでモデルを改良することができます。これにより、より広い (ただし、やはり限定された) 適用範囲を備えた新しいモデルが誕生します。

ただし、モデルを改良すると、数学的研究の複雑さが大幅に増加し、モデルが実質的に役に立たなくなる可能性があります。多くの場合、より単純なモデルの方が、より複雑なモデルよりも実際のシステムをより適切かつより深く調査できます (形式的には「より正確な」)。

調和振動子モデルを物理学からかけ離れた対象に適用すると、その実質的な状況は異なる可能性があります。たとえば、このモデルを生物学的集団に適用する場合、タイプ 6 に分類される可能性が高くなります。類推(「一部の機能のみを考慮しましょう」)。

ハードモデルとソフトモデル

調和発振器は、いわゆる「ハード」モデルの一例です。これは、実際の物理システムを強力に理想化した結果として得られます。その適用可能性の問題を解決するには、私たちが無視してきた要因がどれほど重要であるかを理解する必要があります。言い換えれば、「ハード」モデルのわずかな摂動によって得られる「ソフト」モデルを研究する必要があるということです。たとえば、次の式で求めることができます。

ここでは、摩擦力や、バネの剛性係数の伸びの程度への依存性、つまり小さなパラメーターを考慮できる関数をいくつか示します。明示的な関数形式 f現時点では興味がありません。ソフトモデルの動作がハードモデルの動作と根本的に異なっていないことが証明されれば (摂動因子の明示的な種類に関係なく、十分に小さければ)、問題はハードモデルの研究に帰着します。それ以外の場合、剛体モデルの研究から得られた結果を適用するには、追加の研究が必要になります。たとえば、調和振動子の方程式の解は、の形式の関数、つまり一定の振幅の振動です。このことから、実際の発振器は一定の振幅で無限に発振するということになりますか? いいえ、任意に小さい摩擦を持つシステム (実際のシステムには常に存在します) を考慮すると、減衰振動が発生するためです。システムの動作は質的に変化しました。

システムが小さな外乱下でも定性的な動作を維持する場合、そのシステムは構造的に安定していると言われます。調和振動子は、構造的に不安定な (非ラフな) システムの一例です。ただし、このモデルは、限られた期間にわたるプロセスを研究するために使用できます。

モデルの多様性

最も重要な数学モデルには通常、重要な特性があります。 多用途性: 根本的に異なる現実の現象を、同じ数学モデルで説明できます。たとえば、調和振動子は、ばねにかかる負荷の挙動だけでなく、振り子の小さな振動、液体のレベルの変動など、まったく異なる性質を持つ他の振動プロセスも記述します。 Uの形をした血管、または振動回路内の電流の強さの変化。したがって、1 つの数学モデルを研究することによって、それによって記述される現象のクラス全体を直ちに研究することができます。ルートヴィヒ・フォン・ベルタランフィが「システムの一般理論」を作成するきっかけとなったのは、科学知識のさまざまな部分の数学モデルによって表現された法則のこの同型性です。

数学的モデリングの直接問題と逆問題

数学的モデリングに関連する問題は数多くあります。まず、モデル化されたオブジェクトの基本的な図を考え出し、この科学の理想化の枠組みの中でそれを再現する必要があります。したがって、鉄道車両は、さまざまな材料からなるプレートとより複雑な車体のシステムに変わります。各材料は、その標準的な機械的理想化 (密度、弾性率、標準強度特性) として指定され、その後方程式が作成され、途中で一部の詳細は重要ではないとして破棄され、計算が行われ、測定値と比較され、モデルが改良されます。ただし、数学的モデリング技術を開発するには、このプロセスを主要なコンポーネントに分解することが役立ちます。

従来、数学モデルに関連する問題には、直接問題と逆問題の 2 つの主なクラスがあります。

直接タスク: モデルの構造とそのすべてのパラメータは既知であると考えられます。主なタスクは、モデルの研究を実施して、オブジェクトに関する有用な知識を抽出することです。橋はどのくらいの静荷重に耐えられますか? 動的な負荷（たとえば、兵士の中隊の行進や異なる速度での列車の通過など）に飛行機がどのように反応するか、飛行機がどのように音速の壁を乗り越えるか、ばたばたしてバラバラになるかどうか -これらは直接的な問題の典型的な例です。適切な直接的な問題を設定する（適切な質問をする）には、特別なスキルが必要です。適切な質問が行われない場合、橋の動作に関する適切なモデルが構築されていたとしても、橋が崩壊する可能性があります。それで、1879年にイギリスでテイ川にかかる金属製の橋が崩壊しました。その設計者たちは橋の模型を作り、積載物の作用に対して20倍の安全係数を持つように計算しましたが、常に風のことを忘れていました。そういったところで吹いています。そして1年半後には崩壊してしまいました。

最も単純なケース (たとえば、1 つの発振器方程式) では、直接的な問題は非常に単純であり、この方程式の陽的な解に帰着します。

逆問題: 多くの可能なモデルが知られていますが、オブジェクトに関する追加データに基づいて特定のモデルを選択する必要があります。ほとんどの場合、モデルの構造はわかっており、いくつかの未知のパラメーターを決定する必要があります。追加情報には、追加の経験的データやオブジェクトの要件が含まれる場合があります ( 設計上の問題）。逆問題を解くプロセスに関係なく、追加のデータが到着する可能性があります ( 受動的観察）または解決策中に特別に計画された実験の結果である（ 積極的な監視).

利用可能なデータを最大限に活用して逆問題を見事に解決した最初の例の 1 つは、観察された減衰振動から摩擦力を再構築するために I. Newton によって構築された方法でした。

追加の例

どこバツ s- 出生率が死亡率によって正確に補償される「均衡」人口規模。このようなモデルの個体群サイズは平衡値に向かう傾向があります。バツ sであり、この動作は構造的に安定しています。

この系はウサギとキツネの数が一定のときに平衡状態になります。この状態から逸脱すると、調和振動子の変動と同様に、ウサギやキツネの数に変動が生じます。調和振動子の場合と同様、この動作は構造的に安定していません。モデルの小さな変更 (たとえば、ウサギが必要とする限られたリソースを考慮する) が、動作の質的な変化につながる可能性があります。たとえば、平衡状態が安定し、数値の変動がなくなる可能性があります。逆の状況も可能で、平衡位置からのわずかな逸脱が、いずれかの種の完全な絶滅に至るまでの壊滅的な結果につながります。 Volterra-Lotka モデルは、これらのシナリオのどれが実現しているのかという質問には答えていません。ここでは追加の研究が必要です。

ノート

「現実の数学的表現」（ブリタニカ百科事典）
ノビック I.B., サイバネティックモデリングの哲学的問題について。 M.、知識、1964 年。
ソベトフ B. Ya.、ヤコブレフ S. A.、システムのモデリング: Proc. 大学向け - 第 3 版、改訂。そして追加の - M.: 高いです。学校、2001年。 - 343ページ。 ISBN 5-06-003860-2
サマルスキー A.A.、ミハイロフ A.P.数学モデリング。アイデア。方法。例。。 - 第 2 版、改訂 - M.: Fizmatlit、2001. - ISBN 5-9221-0120-X
ムイシュキス A.D., 数理モデル理論の要素。 - 第 3 版、改訂版。 - M.: KomKniga、2007. - 192、ISBN 978-5-484-00953-4
ウィクショナリー: 数学モデル
崖メモ
マルチスケール現象に対するモデル削減と粗視化アプローチ、Springer、Complexity シリーズ、ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク、2006 年。XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
「理論は、どのような種類の数学的装置 (線形か非線形か) と、どのような種類の線形数学モデルか非線形数学モデルを使用するかに応じて、線形か非線形とみなされます。 ...後者を否定するわけではありません。現代の物理学者は、このような重要な存在の定義を非線形として再作成する必要がある場合、おそらく異なる行動をとり、2つの相反するもののうちより重要で広く普及しているものとして非線形を優先し、線形性を「非線形性」と定義するでしょう。非線形性。」 ダニロフ・ユウ, 非線形力学について講義します。初歩的な紹介。シリーズ「シナジェティクス：過去から未来へ」。エディション 2。 - M.: URSS、2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
「有限数の常微分方程式によってモデル化された力学系は、集中系または点系と呼ばれます。それらは有限次元の位相空間を使用して記述され、有限数の自由度によって特徴付けられます。異なる条件下の同じシステムは、集中しているか分散していると見なすことができます。分散システムの数学モデルは、偏微分方程式、積分方程式、または常遅延方程式です。分散システムの自由度の数は無限であり、その状態を決定するには無限の数のデータが必要です。」 アニシチェンコ VS.、ダイナミックシステム、ソロス教育ジャーナル、1997 年、第 11 号、p. 77-84。
「システム S で研究されているプロセスの性質に応じて、すべてのタイプのモデリングは、決定論的と確率的、静的と動的、離散的、連続的、および離散連続的なものに分類できます。決定論的モデリングは決定論的プロセス、つまりランダムな影響が存在しないと想定されるプロセスを反映します。確率モデリングは、確率的なプロセスとイベントを表します。 ... 静的モデリングは任意の時点でのオブジェクトの動作を記述するのに役立ち、動的モデリングは時間の経過に伴うオブジェクトの動作を反映します。離散モデリングは、それぞれ離散であると想定されるプロセスを記述するために使用され、連続モデリングはシステムに連続プロセスを反映することを可能にし、離散-連続モデリングは、離散プロセスと連続プロセスの両方の存在を強調したい場合に使用されます。」 ソベトフ B. Ya.、ヤコブレフ S. A.、システムのモデリング: Proc. 大学向け - 第 3 版、改訂。そして追加の - M.: 高いです。学校、2001年。 - 343ページ。 ISBN 5-06-003860-2
通常、数学的モデルは、モデル化されたオブジェクトの構造 (デバイス)、研究目的に不可欠なこのオブジェクトのコンポーネントの特性と関係を反映します。このようなモデルは構造と呼ばれます。モデルがオブジェクトがどのように機能するか、たとえば外部の影響にどのように反応するかだけを反映している場合、そのモデルは機能的、または比喩的にブラックボックスと呼ばれます。組み合わせたモデルも可能です。 ムイシュキス A.D., 数理モデル理論の要素。 - 第 3 版、改訂版。 - M.: KomKniga、2007. - 192、ISBN 978-5-484-00953-4
「数学的モデルの構築または選択における明白ですが最も重要な初期段階は、非公式な議論に基づいて、モデル化されるオブジェクトについて可能な限り明確な画像を取得し、その意味のあるモデルを改良することです。この段階では時間と労力を惜しんではなりません。研究全体の成功はそれに大きくかかっています。数学的問題を解決するために費やした多大な労力が、問題のこの側面への注意が不十分なために効果がなかったり、無駄になったりしたことは一度や二度ではありません。」 ムイシュキス A.D., 数理モデル理論の要素。 - 第 3 版、改訂版。 - M.: KomKniga、2007. - 192、ISBN 978-5-484-00953-4、p. 35.
« システムの概念モデルの説明。システムモデルを構築するこのサブステージでは、次のことが行われます。 a) 概念モデル M は抽象的な用語と概念で記述されます。 b) モデルの説明は標準的な数学的スキームを使用して行われます。 c) 仮説と仮定が最終的に受け入れられる。 d) モデルを構築する際に実際のプロセスを近似するための手順の選択は正当化されます。」 ソベトフ B. Ya.、ヤコブレフ S. A.、システムのモデリング: Proc. 大学向け - 第 3 版、改訂。そして追加の - M.: 高いです。学校、2001年。 - 343ページ。 ISBN 5-06-003860-2、p. 93.
Blekhman I. I.、Myshkis A. D.、Panovko N. G., 応用数学：主題、論理、アプローチの特徴。力学からの例付き: 教科書。 - 第 3 版、改訂版。そして追加の - M.: URSS、2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3、第 2 章。

講義１．

モデリングの方法論的基礎

システムモデリングの問題の現状

モデリングとシミュレーションの概念

モデリング研究対象のオブジェクト (オリジナル) を、従来の画像、説明、またはその他のオブジェクトと置き換えるものと考えることができます。 モデル特定の仮定と許容可能なエラーの枠組み内で、元の動作に近い動作を提供します。モデリングは通常、オブジェクトそのものではなく、モデルを研究することによって元のオブジェクトの特性を理解することを目的として実行されます。もちろん、モデリングは、オリジナルそのものを作成するよりも簡単な場合、または何らかの理由でオリジナルをまったく作成しないほうが良い場合に正当化されます。

下 モデルは物理的または抽象的なオブジェクトとして理解され、その特性はある意味で研究対象のオブジェクトの特性に似ています。この場合、モデルの要件は解決される問題と利用可能な手段によって決まります。モデルにはいくつかの一般的な要件があります。

2) 完全性 - 受信者に必要な情報をすべて提供する

オブジェクトについて。

3) 柔軟性 - すべてにおいて異なる状況を再現する能力

条件およびパラメータの変更範囲。

4) 開発の複雑さは既存のシステムにとって許容できるものでなければなりません。

時間もソフトウェアも。

モデリングオブジェクトのモデルを構築し、そのモデルを調べることでそのプロパティを研究するプロセスです。

したがって、モデリングには 2 つの主要な段階が含まれます。

1) モデルの開発。

2) モデルの研究と結論の導き出し。

同時に、各段階で異なるタスクが解決され、

本質的に異なる方法と手段。

実際には、さまざまなモデリング手法が使用されます。実装方法に応じて、すべてのモデルは物理モデルと数学モデルの 2 つの大きなクラスに分類できます。

数学モデリング通常、数学的モデルを使用してプロセスや現象を研究する手段として考えられています。

下 物理モデリング研究対象のプロセスをその物理的性質を維持しながら再現する場合、または研究対象のプロセスに類似した別の物理現象を使用する場合、物理モデル上で物体や現象を研究することを指します。その中で 物理モデル原則として、特定の状況で重要なオリジナルの物理的特性を実際に具体化することを想定しています。たとえば、新しい航空機を設計する場合、同じ空力特性を持つモックアップが作成されます。開発を計画するとき、建築家はその要素の空間配置を反映したモデルを作成します。この点で、物理モデリングとも呼ばれます。 プロトタイピング.

半減期モデリングモデルに実際の機器を含めた複合体のモデリングに関する制御可能なシステムの研究です。閉じたモデルには、実際の機器に加えて、影響と干渉のシミュレータ、十分に正確な数学的記述が不明な外部環境とプロセスの数学モデルが含まれます。複雑なプロセスをモデル化する回路に実際の機器または実際のシステムを組み込むことにより、先験的な不確実性を軽減し、正確な数学的記述が存在しないプロセスを探索することが可能になります。半自然モデリングを使用し、実際の装置に固有の小さな時定数と直線性を考慮して研究が実行されます。実機を使用してモデルを検討する場合、この概念が使用されます。 動的シミュレーション、複雑なシステムや現象を研究する場合 - 進化的な, 模倣そして サイバネティックモデリング.

明らかに、モデリングの本当の利点は、次の 2 つの条件が満たされた場合にのみ得られます。

1) モデルはプロパティの正しい (適切な) 表示を提供します。

研究中の操作の観点から重要なオリジナル。

2) このモデルにより、上記の固有の問題を解決できます。

実物の研究を行っています。

2. 数理モデリングの基本概念

数学的手法を用いた実践的な問題の解決は、問題の定式化（数理モデルの開発）、結果として得られる数理モデルを研究するための方法の選択、得られた数学的結果の分析という一貫した手順で実行されます。問題の数学的定式化は通常、幾何学的な画像、関数、連立方程式などの形で表現されます。オブジェクト (現象) の記述は、連続または離散、決定論的または確率論的およびその他の数学的形式を使用して表現できます。

数理モデリングの理論本格的なテストを実施することなく、数学的記述とモデリングによって、周囲の世界のさまざまな現象の発生パターンやシステムやデバイスの動作を確実に特定します。この場合、数学の規定と法則が使用され、シミュレーションされた現象、システム、またはデバイスを理想化されたレベルで記述します。

数学モデル (MM)システム (または操作) を何らかの抽象言語で形式的に記述したもので、たとえば、一連の数学的関係またはアルゴリズム図の形で表されます。つまり、システムまたはデバイスの本格的なテスト中に得られる実際の動作に十分近いレベルでシステムまたはデバイスの動作のシミュレーションを提供するような数学的記述です。

どの MM も、現実にある程度近似した実際のオブジェクト、現象、またはプロセスを記述します。 MM のタイプは、実際のオブジェクトの性質と研究の目的の両方によって異なります。

数学モデリング社会的、経済的、生物学的、物理的な現象、物体、システム、さまざまな装置を理解することは、自然を理解し、さまざまなシステムや装置を設計するための最も重要な手段の 1 つです。原子力技術、航空および航空宇宙システムの開発、大気および海洋現象、気象などの予測においてモデリングが効果的に使用されている例が知られています。

ただし、このような本格的なモデリング領域では、多くの場合、モデリングとそのデバッグ用のデータを準備するためにスーパーコンピューターと、大規模な科学者チームによる何年もの作業が必要になります。ただし、この場合、複雑なシステムや装置の数学的モデリングは、研究と試験の費用を節約するだけでなく、環境災害を排除することもできます。たとえば、数学的モデリングを優先して核兵器や熱核兵器の実験を放棄することができます。そのため、現在では、例えば機械学、電気工学、電子工学、無線工学、その他多くの科学技術分野の、より単純な問題を解決するレベルでの数学的モデリングが行われています。最新の PC で実行できます。また、一般化モデルを使用すると、通信システムやネットワーク、レーダーや無線ナビゲーションシステムなど、かなり複雑なシステムをシミュレートすることが可能になります。

数理モデリングの目的数学的手法を使用した実際のプロセス (自然またはテクノロジーにおける) の分析です。さらに、これには、MM プロセスの形式化を研究する必要があります。モデルには、実際のシステムの動作と同様の動作をする変数を含む数式を使用できます。モデルには、確率を考慮したランダム性の要素が含まれる場合があります。たとえば、理論ゲームのように、2 人以上の「プレイヤー」が可能なアクション。または、オペレーティングシステムの相互接続された部分の実変数を表す場合もあります。

システムの特性を研究するための数学的モデリングは、分析、シミュレーション、および組み合わせに分類できます。次に、MM はシミュレーションと分析に分類されます。

分析モデリング

のために 分析モデリングシステムの機能プロセスが特定の関数関係 (代数、微分、積分方程式) の形式で記述されるのが特徴です。分析モデルは、次の方法を使用して研究できます。

1) 分析的。システムの特性に対する明示的な依存関係を一般的な形式で取得しようとする場合。

2) 数値的。一般形式では方程式の解を見つけることができず、特定の初期データに対して解が求められる場合。

3) 定性的。溶液が存在しない場合、その特性の一部が見つかります。

分析モデルは、比較的単純なシステムに対してのみ取得できます。複雑なシステムの場合、大きな数学的問題が頻繁に発生します。分析手法を適用するために、元のモデルを大幅に単純化します。ただし、単純化されたモデルを使用した研究では、示唆的な結果しか得られません。分析モデルは、入力変数と出力変数およびパラメーター間の関係を数学的に正確に反映します。ただし、その構造はオブジェクトの内部構造を反映しません。

分析モデリング中、その結果は分析式の形式で表示されます。たとえば接続することで、 R.C.- 定電圧源への回路 E(R, Cそして E- このモデルのコンポーネント)、電圧の時間依存性の解析式を作成できます。 あなた(t) コンデンサー上 C:

この線形微分方程式 (DE) は、この単純な線形回路の解析モデルです。初期条件におけるその解析解 あなた(0) = 0、コンデンサが放電したことを意味します Cモデリングの開始時に、必要な依存関係を式の形式で見つけることができます。

あなた(t) = E(1− 元p(- t/RC)). (2)

ただし、この最も単純な例であっても、DE (1) を解決したり、適用するには一定の努力が必要です。 コンピュータ数学システム(SCM) シンボリック計算 – コンピューター代数システム。このまったく自明なケースでは、線形モデル化の問題を解決します。 R.C.-circuit は、かなり一般的な形式の解析式 (2) を与えます。これは、あらゆるコンポーネントの定格に対する回路の動作を説明するのに適しています。 R, Cそして E、コンデンサの指数関数的な充電を表します。 C抵抗器を通して R定電圧源からの E.

もちろん、解析モデリング中に解析解を見つけることは、単純な線形回路、システム、デバイスの一般的な理論パターンを特定するのに非常に有益であることがわかりますが、モデルへの影響がより複雑になり、次数や数が増加するにつれて、その複雑さは急激に増加します。モデル化されたオブジェクトを記述する状態方程式が増加します。 2 次または 3 次のオブジェクトをモデル化すると、多かれ少なかれ目に見える結果が得られますが、より高次の次数になると、分析式が非常に煩雑で複雑になり、理解するのが難しくなります。たとえば、単純な電子アンプであっても、多くの場合、数十のコンポーネントが含まれています。ただし、現代の SCM の多く (たとえば、記号数学のシステム) メイプル、マセマティカまたは環境 MATLAB、複雑な分析モデリングの問題の解決を大幅に自動化できます。

モデリングのタイプの 1 つは、 数値モデリング、これは、オイラー法やルンゲ・クッタ法などの適切な数値的手法によって、システムまたはデバイスの動作に関する必要な定量的データを取得することにあります。実際には、数値的手法を使用して非線形システムおよびデバイスをモデリングすることは、個々の専用線形回路、システム、またはデバイスの解析モデリングよりもはるかに効果的であることが判明しています。たとえば、DE (1) またはより複雑なケースの DE システムを解く場合、解析形式での解は得られませんが、数値シミュレーションデータを使用すると、シミュレートされたシステムやデバイスの動作に関するかなり完全なデータを取得できます。この動作を説明する依存関係のグラフを構築します。

シミュレーションモデリング

で模倣 10 およびモデリング、モデルを実装するアルゴリズムは、時間の経過とともにシステムが機能するプロセスを再現します。プロセスを構成する基本的な現象がシミュレーションされ、その論理構造とイベントのシーケンスが長期にわたって維持されます。

解析モデルと比較したシミュレーションモデルの主な利点は、より複雑な問題を解決できることです。

シミュレーションモデルを使用すると、離散要素または連続要素の存在、非線形特性、ランダムな影響などを簡単に考慮できるため、この方法は複雑なシステムの設計段階で広く使用されています。シミュレーションモデリングを実装する主な手段はコンピューターであり、システムと信号のデジタルモデリングが可能になります。

この点で、「」という言葉を定義しましょう。 コンピュータモデリング」という言葉が文献で使用されることが増えています。仮定してみましょう コンピュータモデリングコンピュータ技術を使った数理モデリングです。したがって、コンピューターモデリングテクノロジには、次のアクションの実行が含まれます。

1) モデリングの目的を決定する。

2) 概念モデルの開発。

3) モデルの形式化。

4) モデルのソフトウェア実装。

5) モデル実験の計画。

6) 実験計画の実施。

7) モデリング結果の分析と解釈。

で シミュレーションモデリング使用される MM は、システムパラメーターの値と外部環境のさまざまな組み合わせに対して、研究対象のシステムの機能のアルゴリズム (「ロジック」) を時間の経過とともに再現します。

最も単純な解析モデルの例は、直線等速運動の方程式です。シミュレーションモデルを使用してこのようなプロセスを研究する場合、時間の経過とともに移動する経路の変化を観察する必要があることは明らかです。場合によっては、解析モデリングの方が望ましい場合もあれば、シミュレーション (または両方の組み合わせ) の方が望ましい場合もあります。適切な選択をするには、2 つの質問に答える必要があります。

モデリングの目的は何ですか?

モデル化された現象はどのクラスに分類できますか?

これらの質問に対する答えは両方とも、モデリングの最初の 2 段階で得られます。

シミュレーションモデルは、特性だけでなく構造もモデル化されたオブジェクトに対応します。この場合、モデル上で得られたプロセスとオブジェクトで発生するプロセスの間には、明確かつ明白な対応関係があります。シミュレーションの欠点は、良好な精度を得るために問題を解決するのに長い時間がかかることです。

確率システムの動作のシミュレーションモデリングの結果は、確率変数または確率プロセスの実現です。したがって、システムの特性を見つけるには、複数回の繰り返しとその後のデータ処理が必要です。この場合、ほとんどの場合、ある種のシミュレーションが使用されます。 統計的

モデリング(またはモンテカルロ法)、つまりモデル内のランダムな要因、イベント、数量、プロセス、フィールドの再現。

統計モデリングの結果に基づいて、管理対象システムの機能と効率を特徴付ける一般的および具体的な確率的品質基準の推定値が決定されます。統計モデリングは、科学技術のさまざまな分野における科学的問題や応用問題を解決するために広く使用されています。統計モデリング手法は、複雑な動的システムの研究に広く使用されており、その機能と効率を評価します。

統計モデリングの最終段階は、得られた結果の数学的処理に基づいています。ここでは、数学的統計の方法が使用されます（パラメトリック推定およびノンパラメトリック推定、仮説検定）。パラメトリック推定量の例としては、パフォーマンス測定のサンプル平均があります。ノンパラメトリック手法の中でも広く普及している ヒストグラム法.

検討されたスキームは、システムの繰り返しの統計テストと独立確率変数の統計方法に基づいています。このスキームは、実際には必ずしも自然であり、コストの点で最適であるとは限りません。システムのテスト時間の短縮は、より正確な評価方法を使用することで実現できます。数学的統計から知られているように、有効な推定値は、特定のサンプルサイズに対して最大の精度を持ちます。最適フィルタリングと最尤法は、そのような推定値を取得するための一般的な方法を提供します。統計モデリング問題では、出力プロセスを分析するためだけでなく、ランダムプロセスの処理実装も必要です。

入力ランダムな影響の特性を制御することも非常に重要です。制御は、生成されたプロセスの分布が指定された分布に準拠しているかどうかを確認することで構成されます。この問題は多くの場合次のように定式化されます。 仮説検証問題.

複雑な制御システムのコンピュータモデリングにおける一般的な傾向は、モデリング時間を短縮し、リアルタイムで研究を実施したいという要望です。計算アルゴリズムを再帰的な形式で表すと便利で、現在の情報を受信した速度で実装できるようになります。

モデリングにおけるシステムアプローチの原則

システム理論の基本原理

システム理論の基本原理は、動的システムとその機能要素の研究中に生まれました。システムは、所定のタスクを達成するために連携して動作する相互接続された要素のグループとして理解されます。システムを分析することで、特定のタスクを実行するための最も現実的な方法を決定し、規定された要件を最大限に満たすことが保証されます。

システム理論の基礎となる要素は仮説によって生み出されるのではなく、実験によって発見されます。システムの構築を開始するには、技術プロセスの一般的な特性を把握する必要があります。プロセスまたはその理論的記述が満たさなければならない数学的に定式化された基準を作成する原則に関しても、同じことが当てはまります。モデリングは、科学研究と実験の最も重要な方法の 1 つです。

オブジェクトのモデルを構築する場合、システムアプローチが使用されます。これは、オブジェクトを特定の環境で動作するシステムとみなすことに基づく、複雑な問題を解決するための方法論です。体系的なアプローチには、オブジェクトの完全性を明らかにし、その内部構造と外部環境とのつながりを特定して研究することが含まれます。この場合、オブジェクトは現実世界の一部として提示され、モデルの構築の問題に関連して分離および研究されます。さらに、システムアプローチでは、設計目標が検討の基礎となり、オブジェクトが環境との関係で考慮される場合、一般的なものから具体的なものへの一貫した移行が伴います。

複雑なオブジェクトは、次の要件を満たすオブジェクトの一部であるサブシステムに分割できます。

1) サブシステムは、オブジェクトの機能的に独立した部分です。他のサブシステムと接続され、情報やエネルギーを交換します。

２）各サブシステムに対して、システム全体の特性と一致しない機能または特性を定義することができる。

3) 各サブシステムは、要素レベルまでさらに分割することができます。

この場合、要素は下位レベルのサブシステムとして理解され、それをさらに分割することは、解決される問題の観点からは不適切です。

したがって、システムは、作成、研究、または改善を目的とした、サブシステム、要素、および接続のセットの形式でオブジェクトを表現したものとして定義できます。この場合、主要なサブシステムとそれらの間の接続を含むシステムを拡大して表現したものをマクロ構造と呼び、システムの内部構造を要素レベルにまで詳細に開示したものをミクロ構造と呼びます。

通常、システムに加えて、問題のオブジェクトを含むより高いレベルのシステムであるスーパーシステムがあり、システムの機能はスーパーシステムを通じてのみ決定できます。

システムの効率に大きな影響を与えるが、システムやそのスーパーシステムの一部ではない外界の一連のオブジェクトとしての環境の概念を強調する必要があります。

モデルを構築するためのシステムアプローチに関連して、システムとその環境 (環境) の関係を記述するインフラストラクチャの概念が使用されます。この場合、重要なオブジェクトの特性の特定、説明、研究が行われます。特定のタスクの枠組み内でのことはオブジェクトの層化と呼ばれ、オブジェクトの任意のモデルはその層化された記述となります。

システムアプローチの場合、システムの構造を決定することが重要です。システムの要素間の相互作用を反映した一連の接続。これを行うために、まずモデリングへの構造的および機能的アプローチを検討します。

構造的なアプローチにより、システムの選択された要素の構成とそれらの間の接続が明らかになります。一連の要素と接続により、システムの構造を判断できます。構造の最も一般的な記述はトポロジカルな記述です。これにより、グラフを使用してシステムのコンポーネントとその接続を確認できます。個々の機能を考慮した場合の機能の説明、つまりシステムの動作のアルゴリズムは、あまり一般的ではありません。この場合、システムが実行する機能を定義する機能的なアプローチが実装されます。

システムアプローチに基づいて、マクロ設計とマイクロ設計という 2 つの主要な設計段階を区別した場合のモデル開発のシーケンスを提案できます。

マクロ設計の段階では、外部環境のモデルが構築され、リソースと制限が特定され、適切性を評価するためのシステムモデルと基準が選択されます。

微細設計段階は、選択した特定のモデルのタイプに大きく依存します。一般に、これには情報、数学、技術、およびソフトウェアモデリングシステムの作成が含まれます。この段階では、作成されたモデルの主な技術的特性が確立され、その作業に必要な時間と、モデルの指定された品質を得るために必要なリソースのコストが見積もられます。

モデルの種類に関係なく、モデルを構築するときは、体系的なアプローチのいくつかの原則に従う必要があります。

1) モデル作成の段階を通じて一貫して進行する。

2) 情報、リソース、信頼性、その他の特性の調整。

3) モデル構築の異なるレベル間の正しい関係。

4) モデル設計の個々の段階の整合性。

この記事では、数学モデルの例を紹介します。さらに、モデルの作成段階に注目し、数理モデリングに関連するいくつかの問題を分析します。

もう 1 つの疑問は、経済学の数学モデルです。その例については、後で定義を見ていきます。「モデル」という概念自体から会話を開始し、その分類を簡単に検討してから、主要な質問に進むことを提案します。

「モデル」という概念

「モデル」という言葉をよく聞きます。それは何ですか？この用語には多くの定義がありますが、ここではそのうちの 3 つだけを紹介します。

このオブジェクトのオリジナルのいくつかのプロパティや特性などを反映して、情報を受け取って保存するために作成された特定のオブジェクト (この特定のオブジェクトは、さまざまな形式で表現できます:精神的、記号を使用した説明など)。
モデルは、特定の状況、生活、経営を表現することも意味します。
モデルはオブジェクトの縮小コピーである場合があります (モデルは構造と関係を反映しているため、より詳細な調査と分析のために作成されます)。

これまで述べてきたことをすべて踏まえると、小さな結論を導き出すことができます。つまり、このモデルを使用すると、複雑なシステムやオブジェクトを詳細に研究できるようになります。

すべてのモデルは、次のようなさまざまな特性に従って分類できます。

使用分野別（教育、実験、科学技術、ゲーム、シミュレーション）。
ダイナミクス（静的および動的）による。
知識の分野別（物理、化学、地理、歴史、社会学、経済、数学）。
プレゼンテーション方法（資料および情報）による。

情報モデルは、象徴的モデルと言語的モデルに分けられます。そして象徴的なものは、コンピューターと非コンピューターのものです。次に、数学モデルの例の詳細な考察に移りましょう。

数学モデル

ご想像のとおり、数学モデルは、特別な数学記号を使用してオブジェクトまたは現象のあらゆる特徴を反映します。周囲の世界のパターンを独自の言語でモデル化するには、数学が必要です。

数学的モデリングの手法は、この科学の出現とともに、はるか昔、数千年前に誕生しました。しかし、このモデリング手法の発展のきっかけは、コンピュータ（電子コンピュータ）の出現でした。

それでは分類に移りましょう。いくつかの兆候に従って実行することもできます。それらを以下の表に示します。

最新の分類はモデリングの一般的なパターンと作成されるモデルの目標を反映しているため、ここで立ち止まって、この分類を詳しく見てみることを提案します。

記述モデル

この章では、記述的な数学モデルについてさらに詳しく説明することを提案します。すべてを明確にするために、例を示します。

このタイプが記述的であるという事実から始めましょう。これは、私たちが単に計算と予測を行うだけで、イベントの結果に決して影響を与えることができないという事実によるものです。

記述的な数学モデルの顕著な例は、太陽系の広がりに侵入した彗星の飛行経路、速度、地球からの距離の計算です。得られたすべての結果は危険を警告するだけであるため、このモデルは記述的です。残念ながら、私たちはイベントの結果に影響を与えることはできません。しかし、得られた計算に基づいて、地球上の生命を維持するためにあらゆる措置を講じることは可能です。

最適化モデル

ここで、さまざまな現在の状況として役立つ可能性のある経済モデルと数学モデルについて少し説明します。この場合、特定の条件下で正しい答えを見つけるのに役立つモデルについて話しています。確かにいくつかのパラメーターがあります。それを完全に明確にするために、農業部門の例を見てみましょう。

うちには穀倉がありますが、穀物はすぐに傷んでしまいます。この場合、適切な温度条件を選択し、保管プロセスを最適化する必要があります。

したがって、「最適化モデル」の概念を定義できます。数学的な意味では、これは方程式系 (線形および非線形の両方) であり、その解は特定の経済状況における最適な解を見つけるのに役立ちます。数学的モデル (最適化) の例を見てきましたが、さらに付け加えておきたいのは、このタイプは極端な問題の部類に属しており、経済システムの機能を説明するのに役立ちます。

もう 1 つのニュアンスに注意してください。モデルは異なる性質を持つ可能性があります (以下の表を参照)。

多基準モデル

ここで、多基準最適化の数学モデルについて少しお話しましょう。これまでに、1 つの基準に従ってプロセスを最適化するための数学的モデルの例を示しましたが、基準が多数ある場合はどうなるでしょうか?

多基準のタスクの顕著な例は、大人数のグループに対して適切で健康的であると同時に経済的な栄養を組織することです。このような作業は、軍隊、学校の食堂、サマーキャンプ、病院などで頻繁に行われます。

この任務において私たちに与えられる基準は何でしょうか?

栄養は健康でなければなりません。
食費は最小限にする必要があります。

ご覧のとおり、これらの目標はまったく一致しません。これは、問題を解決するときに、2 つの基準の間でバランスの取れた最適な解決策を探す必要があることを意味します。

ゲームモデル

ゲームモデルについて語るときには「ゲーム理論」の概念を理解する必要があります。簡単に言えば、これらのモデルは実際の紛争の数学的モデルを反映しています。実際の紛争とは異なり、ゲームの数学モデルには独自の特定のルールがあることを理解する必要があります。

ここで、ゲームモデルとは何かを理解するのに役立つ、ゲーム理論からの最小限の情報を提供します。そのため、モデルには必然的にパーティ (2 人以上) が含まれており、これらのパーティは通常プレイヤーと呼ばれます。

すべてのモデルには特定の特徴があります。

ゲームモデルはペアにすることも、複数にすることもできます。主体が 2 つある場合、競合はペアになります。主体が 2 つ以上ある場合、競合は複数になります。敵対的なゲームを区別することもでき、ゼロサムゲームとも呼ばれます。これは、参加者の一方の利益が他方の損失と等しいモデルです。

シミュレーションモデル

このセクションでは、シミュレーションの数学モデルに注目します。タスクの例は次のとおりです。

微生物個体群動態のモデル。
分子運動のモデルなど。

この場合、実際のプロセスに可能な限り近いモデルについて話しています。概して、それらは自然界の何らかの現象を模倣します。たとえば最初のケースでは、1 つのコロニー内のアリの数の動態をシミュレートできます。同時に、各個人の運命を観察することもできます。この場合、数学的な説明はほとんど使用されず、記述された条件が存在することが多くなります。

5日後、メスは卵を産みます。
20日後にアリは死ぬ、というように続きます。

したがって、これらは大規模なシステムを記述するために使用されます。数学的結論は、取得された統計データの処理です。

要件

このタイプのモデルには、以下の表に示す要件を含むいくつかの要件があることを理解しておくことが非常に重要です。

多用途性	このプロパティを使用すると、類似したオブジェクトのグループを記述するときに同じモデルを使用できます。普遍的な数学モデルは、研究対象のオブジェクトの物理的性質から完全に独立していることに注意することが重要です。
適切性	ここで、この特性により実際のプロセスを可能な限り正確に再現できることを理解することが重要です。運用タスクでは、数学的モデリングのこの特性が非常に重要です。モデルの例としては、ガスシステムの使用を最適化するプロセスが挙げられます。この場合、計算された指標と実際の指標が比較され、その結果、コンパイルされたモデルの正確性がチェックされます。
正確さ	この要件は、数学モデルを計算するときに取得する値と実際のオブジェクトの入力パラメーターが一致することを意味します。
経済的	あらゆる数学モデルの費用対効果の要件は、実装コストによって特徴付けられます。モデルを手動で操作する場合は、この数学モデルを使用して 1 つの問題を解決するのにどれくらいの時間がかかるかを計算する必要があります。コンピューター支援設計について話している場合、時間とコンピューターのメモリコストの指標が計算されます。

モデリング段階

数学的モデリングは通常、合計で 4 つの段階に分かれています。

モデルの各部分を接続する法則の定式化。
数学の問題の勉強。
実際の結果と理論上の結果が一致するかどうかを判断します。
モデルの分析と最新化。

経済的および数学的モデル

このセクションでは、次のようなタスクの例を簡単に説明します。

最大の生産利益を保証する肉製品生産のための生産プログラムの形成。
家具工場で生産されるテーブルや椅子の最適な数量を計算することで組織の利益を最大化するなど。

経済数学モデルは経済の抽象化を示し、数学用語と記号を使用して表現されます。

コンピュータの数学モデル

コンピューターの数学モデルの例は次のとおりです。

フローチャート、図、表などを使用して水圧の問題を説明します。
固体力学の問題など。

コンピューターモデルは、オブジェクトまたはシステムのイメージであり、次の形式で表現されます。

テーブル。
ブロック図。
図表;
グラフィックなど。

さらに、このモデルはシステムの構造と相互接続を反映しています。

経済的および数学的モデルの構築

経済数学モデルとは何かについてはすでに説明しました。問題を解決する例を今から検討します。生産プログラムを分析して、品揃えの変更による利益増加のための余力を特定する必要があります。

私たちはこの問題を十分に検討するつもりはなく、経済的および数学的モデルを構築するだけです。私たちの仕事の基準は利益の最大化です。この場合、関数の形式は А=р1*х1+р2*х2... となり、最大値に向かう傾向になります。このモデルでは、p はユニットあたりの利益、x は生産されたユニット数です。次に構築したモデルを元に計算を行ってまとめる必要があります。

単純な数学モデルの構築例

タスク。漁師は次の獲物を持って帰ってきました。

8匹の魚 - 北海の住民。
漁獲量の20％は南海の住民です。
地元の川からは一匹の魚も見つかりませんでした。

彼はその店で何匹の魚を買いましたか。

したがって、この問題の数学的モデルを構築する例は次のようになります。魚の総数を x で示します。この条件に従うと、0.2x は南緯に生息する魚の数です。ここで、入手可能な情報をすべて組み合わせて、問題の数学的モデル x=0.2x+8 を取得します。方程式を解くと、主要な質問に対する答えが得られます。つまり、彼は店で魚を 10 匹買いました。

数学的モデルを作成する。 数学モデルの実際 アルゴリズムを使用する数学モデルの種類