円を描くときの移動速度。 一定のモジュロ速度で円を描くように体を動かす

このレッスンでは、曲線運動、つまり円を描く物体の均一な運動について考察します。 線形速度とは何か、体が円を描くときの求心加速度を学びます。 また、回転運動を特徴付ける量（自転周期、回転数、角速度）を紹介し、これらの量を相互に結び付けます。

円を描くように均一に動くことで、体は同じ角度で同じ時間回転することがわかります（図6を参照）。

米。 6.均一な円運動

つまり、瞬間速度のモジュールは変更されません。

この速度はと呼ばれます 線形.

速度の係数は変化しませんが、速度の方向は連続的に変化します。 ポイントでの速度ベクトルを考慮してください Aと B（図7を参照）。 それらは異なる方向に向けられているため、等しくありません。 ポイントでの速度から差し引かれる場合 Bポイント速度 A、ベクトルを取得します。

米。 7.速度ベクトル

速度の変化（）とこの変化が発生した時間（）の比率が加速度です。

したがって、曲線運動は加速されます.

図7で得られた速度三角形を考えると、点が非常に接近して配置されています。 Aと B互いに、速度ベクトル間の角度（α）はゼロに近くなります。

この三角形は二等辺三角形であることが知られているため、速度のモジュールは等しい（均一な運動）：

したがって、この三角形の底辺の両方の角度は、次の値に無期限に近くなります。

これは、ベクトルに沿って方向付けられる加速度が実際には接線に垂直であることを意味します。 接線に垂直な円の線は半径であることが知られているので、 加速度は、半径に沿って円の中心に向けられます。 この加速は求心性と呼ばれます。

図8は、前述の速度の三角形と二等辺三角形を示しています（2つの辺は円の半径です）。 これらの三角形は、相互に垂直な線によって形成される角度が等しいため、類似しています（ベクトルのように、半径は接線に垂直です）。

米。 8.求心加速度式の導出の図

線分 AB move（）です。 均一な円運動を検討しているので、次のようになります。

結果の式を次のように置き換えます AB三角形の相似式に：

「線形速度」、「加速度」、「座標」の概念は、湾曲した軌道に沿った動きを説明するのに十分ではありません。 したがって、回転運動を特徴付ける量を導入する必要があります。

1. 自転周期（T ) 1回転の時間と呼ばれます。 秒単位のSI単位で測定されます。

期間の例：地球は24時間でその軸の周りを回転し（）、1年で太陽の周りを回転します（）。

期間の計算式：

ここで、は合計回転時間です。 -回転数。

2. 回転数（n ) -体が単位時間あたりに行う回転数。 これは、SI単位で秒単位で測定されます。

頻度を見つけるための式：

ここで、は合計回転時間です。 -回転数

頻度と周期は反比例します。

3. 角速度 （) 体が回転した角度の変化と、この回転が起こった時間との比率と呼ばれます。 これは、ラジアンを秒で割ったSI単位で測定されます。

角速度を求める式：

角度の変化はどこにありますか。 ターンが発生するのにかかった時間です。

与えられた軌道に沿った粒子運動の重要な特定のケースは円運動です。 円上の粒子の位置（図46）は、開始点Aからの距離ではなく、円の中心Oから粒子までの半径と、描かれた半径とのなす角度を指定することで指定できます。開始点Aまで。

軌道に沿った移動速度とともに、次のように定義されます。

角度の変化率を特徴付ける角速度を導入すると便利です

軌道に沿った移動速度は、線形速度とも呼ばれます。 線形速度と角速度の関係を確立しましょう。 角度をなす弧の長さは、が円の半径であり、角度はラジアンで測定されます。 したがって、角速度ωは、次の関係によって線速度にも関係します。

米。 46.角度は円上の点の位置を設定します

円に沿って移動するとき、および任意の曲線運動中の加速度には、一般に2つの要素があります。円に接線方向に向けられて速度値の変化速度を特徴付ける接線方向と、円の中心に向けられて特徴づけられる法線です。速度の方向への変化の速度。

この場合（円運動）求心加速度と呼ばれる加速度の法線成分の値は、一般式（3）§8で与えられます。ここで、線形速度は、式（3）を使用して角速度で表すことができます。 ）：：

ここで、円の半径は、もちろん、軌道のすべての点で同じです。

円を描くように均一に動く場合、値が一定の場合、（3）からわかるように角速度ωも一定になります。 この場合、周期周波数と呼ばれることもあります。

期間と頻度。と一緒に、円に沿った均一な動きを特徴づけるには、1回転が行われる時間として定義される回転周期Tと、周波数-周期Tの逆数を使用すると便利です。単位時間あたりの回転数：

角速度の定義（2）から、量間の関係に従います

この関係により、求心加速度の式（4）を次の形式でも記述できます。

角速度ωはラジアン/秒で測定され、周波​​数は回転/秒で測定されることに注意してください。 との寸法は、これらの量が数値的要因によってのみ異なるため、同じです。

仕事

環状道路沿い。 おもちゃの鉄道のレールはラジアスリングを形成します（図47）。 トレーラーはそれらに沿って移動し、ほぼレールのリングの内側にあるポイントの周りを一定の角速度で回転するロッドによって押されます。 トレーラーが動くと、トレーラーの速度はどのように変化しますか？

米。 47.環状道路に沿って運転するときの角速度を見つけるため

解決。 ある方向のロッドが形成する角度は、線形法則に従って時間とともに変化します。 角度を測定する方向として、点を通る円の直径をとると便利です（図47）。 点Oは円の中心です。 明らかに、円上のトレーラーの位置を決定する中心角は、同じ弧に基づく円周角の2倍です。したがって、レールに沿って移動するときのトレーラーからの角速度は、ロッドが回転する角速度の2倍です。

したがって、トレーラーからの角速度は一定であることがわかりました。 これは、トレーラーがレールに沿って均等に移動することを意味します。 その線速度は一定で、

このように円を描くように均一に動くトレーラーの加速度は、常に中心Oに向けられ、そのモジュールは次の式で与えられます（4）。

式（4）を見てください。 どのように理解する必要がありますか：加速度はまだ比例していますか、それとも反比例ですか？

円に沿った不均一な動きで、角速度がその意味を保持しているが、その意味を失っている理由を説明してください。

ベクトルとしての角速度。場合によっては、角速度をベクトルと見なすと便利です。その係数は、円が存在する平面に垂直な一定の方向です。 このようなベクトルを使用して、（3）と同様の式を書くことができます。これは、円を描いて移動する粒子の速度ベクトルを表します。

米。 48.角速度ベクトル

原点を円の中心Oに配置します。 次に、粒子が移動すると、その半径ベクトルは角速度ωでのみ回転し、その係数は常に円の半径に等しくなります（図48）。 円に接線方向に向けられた速度ベクトルは、角速度ベクトルωと粒子の半径ベクトルのベクトル積として表すことができることがわかります。

ベクトル積。定義上、2つのベクトルの外積は、乗算されたベクトルが存在する平面に垂直なベクトルです。 ベクトル積の方向の選択は、次の規則に従って行われます。 最初の乗数は、まるでレンチのハンドルであるかのように、精神的に2番目の乗数に向けられます。 ベクトル積は、右ねじが動くのと同じ方向に向けられます。

ベクトル積の因子が交換されると、方向が反対に変わります。これは、ベクトル積が非可換であることを意味します。

図から 48ベクトルcoがこの図に示されているように正確に方向付けられている場合、式（8）はベクトルの正しい方向を与えることがわかります。 したがって、角速度ベクトルの方向は、粒子が円周を移動するのと同じ方向に頭が回転する右ねじのねじの移動方向と一致するという規則を定式化できます。

定義により、外積のモジュールは、乗算されたベクトルのモジュールとそれらの間の角度aの正弦の積に等しくなります。

式（8）では、乗算されたベクトルwとは互いに垂直であるため、式（3）に従う必要があります。

2つの平行ベクトルの外積について何が言えますか？

時計の針の角速度ベクトルの方向は何ですか？ これらのベクトルは分針と時針でどのように異なりますか？

均一な円運動最も簡単な例です。 たとえば、時計の針の端が円に沿って文字盤に沿って移動します。 円の中の体の速度はと呼ばれます 回線速度.

円に沿った物体の均一な動きでは、物体の速度のモジュールは時間の経過とともに変化しません。つまり、v = constであり、この場合、速度ベクトルの方向のみが変化します（a r = 0）。方向の速度ベクトルの変化は、と呼ばれる値によって特徴付けられます 求心加速度（）anまたはCA。 各ポイントで、求心加速度ベクトルは半径に沿った円の中心に向けられます。

求心加速度のモジュールは次のようになります

CS \ u003d v 2 / R

ここで、vは線速度、Rは円の半径です。

米。 1.22。 円を描く体の動き。

円を描く体の動きを説明するときは、 半径回転角度は、円の中心からその瞬間に移動体が存在する点までの半径が時間tで回転する角度φです。 回転角はラジアンで測定されます。 円の2つの半径の間の角度に等しく、その間の弧の長さは円の半径に等しくなります（図1.23）。 つまり、l = Rの場合、

1ラジアン=l/ R

なぜなら 周に等しい

l=2πR

360o\u003d2πR/R\u003d2πラジアン。

その結果

1ラジアン \u003d57.2958約\u003d57約18'

角速度円内の体の均一な動きは値ωであり、この回転が行われる時間間隔に対する半径φの回転角の比率に等しくなります。

ω=φ/t

角速度の単位はラジアン/秒[rad/s]です。 線形速度係数は、時間間隔tに対する移動距離lの比率によって決定されます。

v = l / t

回線速度円に沿った均一な動きで、円上の特定の点に接線方向に向けられます。 点が移動するとき、点が横切る円弧の長さlは、次の式によって回転角φに関連付けられます。

l=Rφ

ここで、Rは円の半径です。

次に、点の均一な動きの場合、線形速度と角速度は次の関係によって関連付けられます。

v = l /t=Rφ/t=Rωまたはv=Rω

米。 1.23。 ラジアン。

循環期間-これは、体（点）が円周を1回転する時間Tです。 循環の頻度-これは循環期間の逆数です-単位時間あたりの回転数（1秒あたり）。 循環の頻度は文字nで示されます。

n = 1 / T

ある期間、点の回転角φは2πラジアンであるため、2π=ωTとなります。

T=2π/ω

つまり、角速度は

ω=2π/T=2πn

求心加速度周期Tと回転数nで表すことができます。

a CS =（4π2R）/ T2=4π2Rn2

線速度は均一に方向を変えるため、円に沿った動きは均一とは言えず、均一に加速されます。

角速度

円上の点を選択してください 1 。 半径を作成しましょう。 単位時間の間、ポイントはポイントに移動します 2 。 この場合、半径は角度を表します。 角速度は、単位時間あたりの半径の回転角に数値的に等しくなります。

期間と頻度

自転周期 T体が1回転するのにかかる時間です。

RPMは、1秒あたりの回転数です。

頻度と期間は関係によって関連しています

角速度との関係

回線速度

円の各点は、ある速度で移動します。 この速度は線形と呼ばれます。 線形速度ベクトルの方向は、常に円の接線と一致します。たとえば、グラインダーの下からの火花が動き、瞬間的な速度の方向を繰り返します。

1回転する円上の点、費やされる時間を考えてみましょう-これは期間です T。ポイントが克服するパスは、円の円周です。

求心加速度

円に沿って移動する場合、加速度ベクトルは常に速度ベクトルに垂直であり、円の中心に向けられます。

前の式を使用して、次の関係を導き出すことができます

円の中心から出ている同じ直線上にある点（たとえば、これらはホイールスポーク上にある点である可能性があります）は、同じ角速度、周期、および周波数を持ちます。 つまり、同じように回転しますが、線形速度が異なります。 ポイントが中心から離れるほど、移動が速くなります。

速度の合成則は、回転運動にも有効です。 物体または基準座標系の動きが均一でない場合、法則は瞬間速度に適用されます。 たとえば、回転するカルーセルの端に沿って歩く人の速度は、カルーセルの端の線形回転速度と人の速度のベクトル和に等しくなります。

地球は2つの主要な回転運動に参加しています：毎日（その軸の周り）と軌道（太陽の周り）。 太陽の周りの地球の自転の期間は1年または365日です。 地球はその軸を中心に西から東に回転します。この回転の期間は1日または24時間です。 緯度は、赤道の平面と、地球の中心からその表面上の点までの方向との間の角度です。

ニュートンの第2法則によれば、加速の原因は力です。 移動体が求心性の加速を経験する場合、この加速を引き起こす力の性質は異なる可能性があります。 たとえば、物体がそれに結び付けられたロープ上で円を描くように動く場合、作用力は弾性力です。

ディスク上にある物体がディスクと一緒にその軸を中心に回転する場合、そのような力は摩擦力です。 力が作用しなくなると、体は直線的に動き続けます

AからBへの円上の点の動きを考えてみましょう。線速度は次のようになります。

それでは、地球に接続された固定システムに移りましょう。 ある慣性座標系から別の慣性座標系に移動するときに加速度が変化しないため、点Aの合計加速度は絶対値と方向の両方で同じままになります。 静止している観測者の観点からは、点Aの軌道はもはや円ではなく、より複雑な曲線（サイクロイド）であり、それに沿って点は不均一に移動します。

円運動は、体の曲線運動の最も単純なケースです。 物体が変位ベクトルとともに特定の点の周りを移動する場合、ラジアンで測定される角変位Δφ（円の中心に対する回転角）を導入すると便利です。

角変位がわかれば、物体が通過した円弧（経路）の長さを計算することができます。

∆ l = R ∆φ

回転角が小さい場合は、∆l≈∆sです。

言われたことを説明しましょう：

角速度

曲線運動では、角速度ωの概念、つまり回転角の変化率が導入されます。

意味。 角速度

軌道の所与の点での角速度は、それが発生した時間間隔Δtに対する角変位Δφの比率の限界です。 ∆t→0。

ω=∆φ∆ t、∆t→0。

角速度の測定単位は、ラジアン/秒（r a d s）です。

円を描くときの体の角速度と線速度の間には関係があります。 角速度を求める式：

円を描くように均一に動くと、速度vとωは変化しません。 線形速度ベクトルの方向のみが変更されます。

この場合、体の円に沿った均一な動きは、円の半径に沿ってその中心に向けられた求心力または通常の加速度の影響を受けます。

a n = ∆ v→∆ t、∆t→0

求心加速度モジュールは、次の式で計算できます。

a n = v 2R=ω2R

これらの関係を証明しましょう。

ベクトルv→が短時間Δtでどのように変化するかを考えてみましょう。 ∆v→=vB→-vA→。

点AとBでは、速度ベクトルは円に対して接線方向に向けられますが、両方の点での速度モジュールは同じです。

加速の定義による：

a→=∆ v→∆ t、∆t→0

写真を見てみましょう：

三角形のOABとBCDは似ています。 このことから、O A A B = B CCDとなります。

角度∆φの値が小さい場合、距離A B = ∆ s≈v・∆t。 上記で検討した同様の三角形のOA\u003dRおよびCD\ u003d ∆ vを考慮すると、次のようになります。

R v ∆ t = v ∆ vまたは∆ v ∆ t = v 2 R

∆φ→0の場合、ベクトルの方向∆v→=vB→--vA→は円の中心に向かう方向に近づきます。 ∆ t→0と仮定すると、次のようになります。

a→=an→=∆ v→∆ t; ∆t→0; an→=v2R。

円に沿った均一な動きにより、加速モジュールは一定のままであり、ベクトルの方向は、円の中心への方向を維持しながら、時間とともに変化します。 これが、この加速度が求心力と呼ばれる理由です。ベクトルはいつでも円の中心に向けられます。

ベクトル形式での求心加速度の記録は次のとおりです。

an→=--ω2R→。

ここで、R→は、原点を中心とする円上の点の半径ベクトルです。

一般的なケースでは、円に沿って移動するときの加速度は、法線と接線の2つの要素で構成されます。

体が円に沿って不均一に動く場合を考えてみましょう。 接線（接線）加速度の概念を紹介しましょう。 その方向は物体の線速度の方向と一致し、円の各点で接線方向に向けられます。

aτ=∆ vτ∆ t; ∆t→0

ここで、∆vτ\ u003d v 2-v 1は、区間∆tでの速度モジュールの変化です。

完全な加速度の方向は、法線加速度と接線加速度のベクトル和によって決まります。

平面内の円運動は、xとyの2つの座標を使用して記述できます。 各瞬間で、体の速度は成分vxとvyに分解できます。

運動が均一である場合、値vxとvy、および対応する座標は、周期T=2πRv=2πωの調和法則に従って時間とともに変化します

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