複素関数 x x の導関数。 複雑な導関数

複素関数の導関数の公式を使用して導関数を計算する例が示されています。

以下も参照してください。 複素関数の導関数の公式の証明

基本的な公式

ここでは、次の関数の導関数を計算する例を示します。
; ; ; ; .

関数が次の形式の複素関数として表現できる場合:
,
次に、その微分値は次の式で求められます。
.
以下の例では、この式を次のように記述します。
.
どこ 。
ここで、微分記号の下にある添字 または は、微分が実行される変数を示します。

通常、導関数の表では、変数 x からの関数の導関数が与えられます。 ただし、x は仮パラメータです。 変数 x は他の変数に置き換えることができます。 したがって、関数を変数から微分するときは、導関数の表で変数 x を変数 u に変更するだけです。

簡単な例

例1

複素関数の導関数を求める
.

与えられた関数を同等の形式で書いてみましょう。
.
導関数の表には次のことがわかります。
;
.

複素関数の導関数の公式によれば、次のようになります。
.
ここ 。

例 2

導関数を求めます
.

導関数の符号と導関数の表から定数 5 を取り出します。
.

.
ここ 。

例 3

導関数を求めます
.

定数を取り出します -1 導関数の符号について、導関数の表から次のことがわかります。
;
導関数の表から次のことがわかります。
.

複素関数の導関数に公式を適用します。
.
ここ 。

より複雑な例

より複雑な例では、複雑な関数を微分するためのルールを数回適用します。 この場合、端から導関数を計算します。 つまり、関数をそのコンポーネント部分に分割し、次を使用して最も単純な部分の導関数を見つけます。 デリバティブの表。 私たちも使っています 合計を微分するための規則、積と分数。 次に、置換を行って、複素関数の導関数の公式を適用します。

例 4

導関数を求めます
.

式の最も単純な部分を選択し、その導関数を求めてみましょう。 。

.
ここでは次の表記を使用しました
.

得られた結果を使用して、元の関数の次の部分の導関数を見つけます。 合計を微分するためのルールを適用します。
.

もう一度、複素関数の微分の法則を適用します。

.
ここ 。

例5

関数の導関数を求めます
.

式の最も単純な部分を選択し、導関数の表からその導関数を見つけてみましょう。 。

複素関数の微分の法則を適用します。
.
ここ
.

得られた結果を使用して次の部分を微分してみましょう。
.
ここ
.

次の部分を区別してみましょう。

.
ここ
.

ここで、目的の関数の導関数を見つけます。

.
ここ
.

複合型の関数は、必ずしも複合関数の定義に適合するとは限りません。 y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 という形式の関数がある場合、y = sin 2 x とは異なり、それは複素数であると見なすことはできません。

この記事では、複素関数の概念とその識別について説明します。 結論として解決策の例を示しながら、導関数を求める公式を使ってみましょう。 導関数テーブルと微分ルールを使用すると、導関数を見つける時間が大幅に短縮されます。

基本的な定義

複合関数とは、引数も関数である関数です。

これは f (g (x)) のように表されます。 関数 g (x) は引数 f (g (x)) と見なされます。

定義 2

関数 f があり、それが余接関数である場合、 g(x) = ln x は自然対数関数です。 複素関数 f (g (x)) は arctg(lnx) として記述されることがわかります。 または、関数 f (4 乗関数) では、 g (x) = x 2 + 2 x - 3 が有理関数全体とみなされるため、 f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 。

明らかに、g(x) は複素数になる可能性があります。 例 y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 から、g の値が分数の立方根を持つことが明らかです。 この式は、y = f (f 1 (f 2 (x))) として表すことができます。 f が正弦関数、f 1 が平方根の下にある関数であることがわかります。f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 は分数の有理関数です。

定義 3

入れ子の次数は任意の自然数によって決定され、 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) として記述されます。

定義 4

関数合成の概念は、問題の条件に応じて入れ子になった関数の数を指します。 解決するには、次の形式の複素関数の導関数を求める公式を使用します。

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

例

y = (2 x + 1) 2 の形式の複素関数の導関数を求めます。

解決

この条件は、f が二乗関数であり、g(x) = 2 x + 1 が線形関数であるとみなされることを示しています。

複素関数の微分公式を適用して次のように書いてみましょう。

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f 「 (g (x)) g 」 (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

関数の元の形式を簡略化して導関数を見つける必要があります。 我々が得る：

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

ここからはそれです

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2・×2－1＋4・1・×1－1＝8×＋4

結果は同じでした。

このタイプの問題を解くときは、f および g (x) の形式の関数がどこに配置されるかを理解することが重要です。

例 2

y = sin 2 x および y = sin x 2 の形式の複素関数の導関数を見つける必要があります。

解決

最初の関数表記は、f が二乗関数、g(x) が正弦関数であることを示しています。 それならわかります

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

2 番目のエントリは、f が正弦関数であり、g(x) = x 2 がべき関数を表すことを示しています。 したがって、複素関数の積は次のように書くことができます。

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

導関数 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) の式は、 y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · 。 。 。 fn "(x)

例 3

関数 y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) の導関数を求めます。

解決

この例は、関数を記述して位置を決定することの難しさを示しています。 次に、 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) は、 f 、 f 1 、 f 2 、 f 3 、 f 4 (x) が正弦関数、つまり次の関数であることを示します。 3 度まで、対数と底 e を使用した関数、逆正接および線形関数。

複素関数を定義する式から、次のことがわかります。

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

探す必要があるものは手に入ります

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) を導関数の表に従って正弦の導関数として、次に f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 。
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) をべき乗関数の導関数として計算すると、 f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arc t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) 。
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) を対数微分すると、 f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) となります。
4. f 3 " (f 4 (x)) を逆正接の微分として計算すると、 f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 となります。
5. 導関数 f 4 (x) = 2 x を求める場合は、指数が 1 に等しいべき関数の導関数の公式を使用して導関数の符号から 2 を削除し、f 4 " (x) = (2 x) を求めます。 「 = 2 x 」 = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 。

中間結果を結合してそれを取得します

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 arc t g (2 x)) 3 ln 2 arc t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arc t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

このような機能の分析は、入れ子人形を彷彿とさせます。 微分ルールは、導関数テーブルを使用して常に明示的に適用できるわけではありません。 多くの場合、複素関数の導関数を求めるには公式を使用する必要があります。

複雑な外観と複雑な機能の間にはいくつかの違いがあります。 これを明確に区別できると、デリバティブを見つけるのが特に簡単になります。

例 4

そういった例を挙げることも検討する必要がある。 y = t g 2 x + 3 t g x + 1 の形式の関数がある場合、それは g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 の形式の複素関数と考えることができます。 。 明らかに、複素導関数には次の式を使用する必要があります。

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 )・1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 という形式の関数は、t g x 2、3 t g x、および 1 の合計を持つため、複素関数とみなされません。 ただし、 t g x 2 は複素関数とみなされるため、g (x) = x 2 および f の形式のべき乗関数 (正接関数) が得られます。 これを行うには、金額で区別します。 それはわかります

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3コス2×

複素関数 (t g x 2) の導関数を求めてみましょう。」:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x が得られます。

複合型の関数は複合関数に含めることができ、複合関数自体を複合型の関数のコンポーネントにすることもできます。

例5

たとえば、y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) という形式の複素関数を考えてみましょう。

この関数は y = f (g (x)) として表すことができます。ここで、f の値は底 3 の対数の関数であり、g (x) は h (x) = という形式の 2 つの関数の合計と見なされます。 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 および k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) 。 明らかに、y = f (h (x) + k (x)) です。

関数 h(x) について考えてみましょう。 これは、l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 と m (x) = e x 2 + 3 3 の比率です。

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) は 2 つの関数 n (x) = x 2 + 7 と p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) 、ここで、 p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) は数値係数 3 を持つ複素関数、p 1 は 3 乗関数です。コサイン関数で p 2、一次関数で p 3 (x) = 2 x + 1 となります。

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) は 2 つの関数 q (x) = e x 2 と r (x) = 3 3 の合計であることがわかりました。ここで、q (x) = q 1 (q 2 (x)) は複素関数、q 1 は指数関数、q 2 (x) = x 2 はべき乗関数です。

これは、 h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) を示します。 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) の形式の式に移ると、関数が複素数 s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) と有理整数 t (x) = x 2 + 1。s 1 は二乗関数、s 2 (x) = ln x は次の対数です。ベース e.

したがって、式は k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) の形式になります。

それならわかります

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

関数の構造に基づいて、微分するときに式を簡略化するにはどのような公式を使用する必要があるかが明らかになりました。 このような問題とその解決策の概念に慣れるには、関数を微分する、つまり関数の導関数を見つけるという点に目を向ける必要があります。

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もし g(バツ） そして f(あなた) – それぞれの引数の点における微分可能な関数 バツそして あなた= g(バツ), その場合、複素関数は次の点でも微分可能です バツそして次の式で求められます

微分問題を解くときの典型的な間違いは、単純な関数を複雑な関数に微分するためのルールを機械的に変換することです。 この間違いを避ける方法を学びましょう。

例2。関数の導関数を求める

間違った解決策:括弧内の各項の自然対数を計算し、導関数の合計を求めます。

正しい解決策:もう一度、どこに「リンゴ」があり、どこに「ひき肉」があるかを決定します。 ここで、括弧内の式の自然対数は「リンゴ」、つまり中間引数に対する関数です。 あなた、括弧内の表現は「ひき肉」、つまり中間引数です。 あなた独立変数による バツ.

次に (導関数表の式 14 を使用)

現実の問題の多くでは、対数を使用した式はやや複雑になる場合があります。だからこそ、教訓が得られます。

例 3.関数の導関数を求める

間違った解決策:

正しい解決策。もう一度、どこに「リンゴ」があり、どこに「ミンスミート」があるかを特定します。 ここで、括弧内の式（導関数表の式7）の余弦は「リンゴ」で、これのみに影響するモード1で作成し、括弧内の式（次数の導関数は3番）デリバティブの表では) が「ひき肉」である場合、これのみに影響するモード 2 で調理されます。 そしていつものように、2 つの導関数を積記号で結び付けます。 結果：

複素対数関数の微分はテストでよく出題されるため、「対数関数の微分」のレッスンを受講することを強くお勧めします。

最初の例は複雑な関数に関するもので、独立変数の中間引数は単純な関数でした。 しかし、実際のタスクでは、中間引数自体が複素関数であるか、そのような関数が含まれている場合、複素関数の導関数を見つけることが必要になることがよくあります。 このような場合はどうすればよいでしょうか? テーブルと微分規則を使用して、そのような関数の導関数を見つけます。 中間引数の導関数が見つかったら、それを式内の適切な場所に単純に代入します。 以下に、これがどのように行われるかを示す 2 つの例を示します。

さらに、次のことを知っておくと役立ちます。 複雑な関数が 3 つの関数の連鎖として表現できる場合

その場合、その導関数は、これらの各関数の導関数の積として求められます。

宿題の多くは、新しいウィンドウでガイドを開く必要があるかもしれません。 力と根を持つアクションそして 分数を使った演算 .

例4.関数の導関数を求める

複素関数の微分規則を適用しますが、導関数の結果の積には独立変数に関する中間引数があることを忘れません。 バツ変化しません:

積の 2 番目の要素を準備し、合計を微分するためのルールを適用します。

第 2 項は根なので、

したがって、和である中間引数には項の 1 つとして複素関数が含まれていることがわかりました。べき乗は複素関数であり、べき乗されているものは独立した関数に関する中間引数です。変数 バツ.

したがって、複素関数を微分するための規則を再度適用します。

最初の因子の次数を根に変換します。2 番目の因子を微分するときは、定数の導関数がゼロに等しいことを忘れないでください。

これで、問題ステートメントで必要な複素関数の導関数を計算するために必要な中間引数の導関数を見つけることができます。 y:

例5。関数の導関数を求める

まず、合計を微分するためのルールを使用します。

2 つの複素関数の導関数の合計を取得しました。 最初のものを見つけてみましょう:

ここで、サインのべき乗は複素関数であり、サイン自体は独立変数の中間引数です。 バツ。 したがって、途中で複素関数の微分の法則を使用します。 括弧内の係数を取り出す :

次に、関数の導関数の第 2 項を求めます。 y:

ここでコサインのべき乗は複雑な関数です f、コサイン自体は独立変数の中間引数です。 バツ。 複素関数を微分するための規則をもう一度使用してみましょう。

結果は必要な導関数です。

いくつかの複雑な関数の導関数の表

複素関数の場合、複素関数の微分規則に基づいて、単純関数の導関数の公式は異なる形式になります。

1. 複素累乗関数の導関数。 あなた バツ
2. 式の根の導関数
3. 指数関数の導関数
4. 指数関数の特殊な場合
5. 任意の正の底を持つ対数関数の導関数 あ
6. 複素対数関数の導関数。 あなた– 引数の微分可能関数 バツ
7. サインの微分
8. コサインの導関数
9. 接線の導関数
10. コタンジェントの導関数
11. 逆正弦の導関数
12. 逆余弦の導関数
13. 逆正接の導関数
14. 逆余接の導関数

とても覚えやすいです。

さて、そこまではやめて、すぐに逆関数について考えてみましょう。 指数関数の逆関数はどれですか? 対数：

私たちの場合、基数は次の数値です。

このような対数 (つまり、底を持つ対数) は「自然対数」と呼ばれ、私たちはそれに特別な表記法を使用します。つまり、代わりに次のように書きます。

それは何と等しいですか? もちろん、 。

自然対数の微分も非常に簡単です。

例:

1. 関数の導関数を求めます。
2. 関数の導関数は何ですか?

答え: 指数関数と自然対数は、導関数の観点から見ると独特の単純な関数です。 他の基数を使用する指数関数および対数関数には、異なる導関数が与えられます。これについては、微分の規則を検討した後で分析します。

微分の法則

何のルール？ また新学期ですか?!

差別化導関数を見つけるプロセスです。

それだけです。 このプロセスを一言で言えば何と言えますか? 微分ではありません...数学者は、関数の同じ増分を微分と呼びます。 この用語は、ラテン語の Differentia (差異) に由来しています。 ここ。

これらすべてのルールを導出する場合、たとえば、and などの 2 つの関数を使用します。 増分を求める式も必要になります。

ルールは全部で5つあります。

定数は微分符号から取り出されます。

- 何らかの定数 (定数) の場合。

明らかに、このルールは次の違いにも当てはまります。

それを証明しましょう。 それはそのまま、あるいはもっとシンプルにしましょう。

例。

関数の導関数を求めます。

1. ある時点で。
2. ある時点で。
3. ある時点で。
4. という時点で。

解決策:

1. (導関数は線形関数なので、すべての点で同じです、覚えていますか?);

製品の派生品

ここでもすべてが似ています。新しい関数を導入し、その増分を見つけてみましょう。

派生語:

例:

1. 関数の導関数を求めます。
2. ある点における関数の導関数を求めます。

解決策:

指数関数の導関数

これで、指数だけでなく、指数関数の導関数を求める方法を学ぶのに十分な知識が得られました (指数が何であるかはもう忘れましたか?)。

それで、ある数字はどこにありますか。

関数の導関数はすでにわかっているので、関数を新しいベースに還元してみます。

これを行うには、次の単純なルールを使用します。 それから：

まあ、うまくいきました。 ここで導関数を見つけてみましょう。この関数は複雑であることを忘れないでください。

起こりました？

ここで、自分自身を確認してください。

この式は、指数の導関数に非常によく似ていることが判明しました。つまり、そのままでは同じままですが、因数だけが表示されます。これは単なる数値であり、変数ではありません。

例:
関数の導関数を求めます。

答え:

これは、電卓なしでは計算できない数値にすぎません。つまり、より単純な形式で書き留めることはできません。 したがって、回答ではこの形式のままにします。

ここでは 2 つの関数の商なので、対応する微分規則を適用することに注意してください。

この例では、次の 2 つの関数の積です。

対数関数の導関数

ここでも同様です。自然対数の導関数はすでに知っています。

したがって、底が異なる任意の対数を求めるには、次のようにします。

この対数を底まで減らす必要があります。 対数の底を変更するにはどうすればよいですか? この公式を覚えていただければ幸いです。

ここでのみ、代わりに次のように書きます。

分母は単なる定数 (変数のない定数) です。 導関数は非常に簡単に得られます。

指数関数と対数関数の導関数は統一国家試験ではほとんど出題されませんが、知っておくと不必要ではありません。

複素関数の導関数。

「複素関数」とは何ですか? いいえ、これは対数でも逆正接でもありません。 これらの関数は理解するのが難しい場合があります (ただし、対数が難しいと感じる場合は、「対数」のトピックを読んでください。大丈夫です)。ただし、数学的な観点から見ると、「複雑」という言葉は「難しい」という意味ではありません。

小さなベルトコンベアを想像してください。2 人が座って、いくつかの物体を使って何らかの動作を行っています。 たとえば、1 つ目は板チョコをラッパーで包み、2 つ目はリボンで結びます。 その結果、チョコレートバーを包み、リボンで結んだ複合オブジェクトが得られます。 チョコレートバーを食べるには、逆の手順を逆の順序で行う必要があります。

同様の数学パイプラインを作成してみましょう。まず数値のコサインを求め、次に結果の数値を 2 乗します。 それで、私たちに数字（チョコレート）が与えられ、私はその余弦（ラッパー）を見つけ、そしてあなたは私が得たものを二乗します（それをリボンで結びます）。 どうしたの？ 関数。 これは複雑な関数の例です。値を見つけるために、変数を使用して最初のアクションを直接実行し、次に最初のアクションの結果を使用して 2 番目のアクションを実行します。

言い換えると、 複合関数とは、引数が別の関数である関数です。: .

私たちの例では、 .

同じ手順を逆の順序で簡単に実行できます。最初に二乗し、次に結果の数値のコサインを探します。 ほとんどの場合、結果が異なることは容易に推測できます。 複雑な関数の重要な特徴: アクションの順序が変わると、関数も変わります。

2 番目の例: (同じこと)。 。

最後に行うアクションは次のように呼ばれます 「外部」関数、および最初に実行されるアクション - それに応じて 「内部」関数(これらは非公式の名前であり、簡単な言葉で内容を説明するためにのみ使用しています)。

どの関数が外部でどの関数が内部であるかを自分で判断してみてください。

答え:内部関数と外部関数を分離することは、変数を変更することと非常に似ています。たとえば、関数内で

1. 最初にどのアクションを実行しますか? まず、サインを計算してから、それを 3 乗します。 これは、それが内部関数ではあるが外部関数であることを意味します。
   そして、本来の機能はそれらの構成です: 。
2. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。
3. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。
4. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。
5. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。

変数を変更して関数を取得します。

さて、今度はチョコレートバーを抽出して派生品を探します。 この手順は常に逆になります。最初に外側の関数の導関数を探し、次にその結果に内側の関数の導関数を乗算します。 元の例に関連すると、次のようになります。

もう一つの例：

それでは、最後に公式ルールを策定しましょう。

複素関数の導関数を求めるアルゴリズム:

単純そうに思えますよね？

例で確認してみましょう:

解決策:

1) 内部: ;

外部の： ;

2) 内部: ;

(今は切ろうとしないでください。コサインの下からは何も出てきません、覚えていますか?)

3) 内部: ;

外部の： ;

これが 3 レベルの複雑な関数であることはすぐにわかります。結局のところ、これ自体はすでに複雑な関数であり、そこからルートも抽出します。つまり、3 番目のアクション (チョコレートをラッパーに入れる) を実行します。ブリーフケースにはリボンが付いています）。 しかし、心配する必要はありません。この関数は通常と同じ順序で、つまり最後から「アンパック」します。

つまり、最初にルートを微分し、次にコサインを微分し、次に括弧内の式のみを微分します。 そして、それをすべて掛け算します。

このような場合、アクションに番号を付けると便利です。 つまり、私たちが知っていることを想像してみましょう。 この式の値を計算するアクションをどの順序で実行しますか? 例を見てみましょう:

アクションの実行が遅くなるほど、対応する機能はより「外部」になります。 一連のアクションは以前と同じです。

ここでのネストは通常​​ 4 レベルです。 行動方針を決めましょう。

1. 過激な表現。 。

2. ルート。 。

3. 正弦波。 。

4. 正方形。 。

5. すべてをまとめると:

派生語。 主な内容について簡単に説明します

関数の導関数- 引数の増分が無限小である場合の、関数の増分と引数の増分との比率:

基本的な導関数:

微分の法則:

定数は微分符号から取り出されます。

合計の導関数:

製品の派生製品:

商の導関数:

複素関数の導関数:

複素関数の導関数を求めるアルゴリズム:

1. 「内部」関数を定義し、その導関数を求めます。
2. 「外部」関数を定義し、その導関数を求めます。
3. 1 番目と 2 番目の点の結果を掛け合わせます。

「古い」教科書では、これは「チェーン」ルールとも呼ばれます。 それで、もし y = f (u)、および u = φ (x）、 あれは

y = f (φ(x))

complex - 複合関数 (関数の合成)

どこ で計算した後、 u = φ (x)。

ここでは、同じ関数から「異なる」構成を取得しましたが、微分の結果は当然「混合」の順序に依存することが判明したことに注意してください。

連鎖則は、当然のことながら、3 つ以上の関数の構成にも拡張されます。 この場合、派生関数を構成する「チェーン」には 3 つ以上の「リンク」が存在します。 これは乗算との類似です。導関数のテーブルが「あります」。 「そこ」 - 九九。 「with us」は連鎖ルール、「there」は「列」乗算ルールです。 このような「複雑な」導関数を計算する場合、もちろん補助引数 (u¸v など) は導入されませんが、構成に含まれる関数の数と順序を自分で確認した上で、対応するリンクが「張られ」ます。示された順序で。

。 ここでは、「y」の値を取得するために「x」を使用して 5 つの演算が実行されます。つまり、5 つの関数の構成があります。 次に逆の順序で電源を入れます。 (◆) 2 ; 三角関数の sin(); 鎮静する。 () 3、最後に対数 ln.()。 それが理由です

次の例では、「一石二鳥」になります。複素関数の微分を練習し、初等関数の導関数の表に追加します。 それで：

4. べき乗関数 - y = x α - よく知られている「基本対数恒等式」 - b=e ln b - x α = x α ln x の形式でそれを書き直すと、次の式が得られます。

5. 任意の指数関数の場合、同じ手法を使用して、

6. 任意の対数関数の場合、新しい底への遷移に関するよく知られた公式を使用して、一貫して次の値を取得します。

.

7. タンジェント (コタンジェント) を微分するには、商を微分するためのルールを使用します。

逆三角関数の導関数を取得するには、2 つの相互に逆関数の導関数によって満たされる関係、つまり、次の関係によって関連付けられた関数 φ (x) と f (x) を使用します。

これが比率です

相互逆関数のこの式から

そして
,

最後に、これらと、同様に簡単に取得できる他の派生関数を次の表にまとめます。