なぜファームの定理を証明できないのでしょうか? 暴露します！ フェルマーの最終定理は証明された? 志村さんと谷山の作品

数学的思考を知っている人はほとんどいないので、私は最大の科学的発見であるフェルマーの最終定理の初歩的な証明について、最もわかりやすい学校言語で話します。

証明は特定の場合 (素数 n>2 の場合) で見つかり、合成 n を持つすべての場合 (および n=4 の場合) に簡単に帰着できます。

したがって、方程式 A^n=C^n-B^n には整数の解がないことを証明する必要があります。 (ここで ^ 記号は度を意味します。)

証明は、単純な基数 n を使用する数体系で実行されます。 この場合、各九九において、最後の桁は繰り返されません。 通常の 10 進法では状況が異なります。 たとえば、数値 2 に 1 と 6 の両方を掛けると、両方の積 (2 と 12) は同じ数値 (2) になります。 そして、たとえば、数字の 2 の 7 進法では、最後の桁がすべて異なります: 0x2=...0、1x2=...2、2x2=...4、3x2=...6、4x2 =...1、5x2=...3、6x2=...5、最後の数字のセットは 0、2、4、6、1、3、5。

この性質のおかげで、ゼロで終わらない数値 A について (フェルマーの等式では、数値 A、B、C の公約数で等号を割った後の数値 A、まあ、B の最後の桁は次のようになります)ゼロに等しくない)、数値 Ag が 000...001 のような任意の長い末尾を持つように係数 g を選択できます。 これは、フェルマーの等式ですべての基数 A、B、C に乗算する数値 g です。 同時に、単一の終わりを十分に長くします。つまり、数値 U=A+B-C の末尾のゼロの数 (k) より 2 桁長くします。

数値 U はゼロではありません - それ以外の場合は C \u003d A + B および A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

実際、これがフェルマーの平等性に関する簡単で最後の研究のための準備全体です。 私たちがまだしなければならない唯一のことは、フェルマーの等式の右辺 - C ^ n-B ^ n - を学校展開式を使用して書き換えます: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P、または aP。 さらに、数値 A、B、C の (k + 2) 桁の末尾の桁のみを使用して演算 (乗算と加算) を行うため、それらの先頭部分を無視して単純に破棄できます (事実が 1 つだけ残る)記憶では、フェルマーの等式の左辺は POWER です)。

他に言及する価値がある唯一のことは、数値 a と P の最後の桁です。フェルマーの元の等式では、数値 P は数値 1 で終わります。これは、参考書に記載されているフェルマーの小定理の公式に従うものです。 そして、フェルマーの等式に数値 g ^ n を掛けた後、数値 P に数値 g の n-1 乗を掛けます。フェルマーの小定理によれば、これも数値 1 で終わります。等価である場合、数値 P は 1 で終わります。そして、A が 1 で終わる場合、A^n も 1 で終わり、したがって数値 a も 1 で終わります。

したがって、開始状況は次のとおりです。数値 A、a、P の最後の桁 A"、a"、P" は数値 1 で終わります。

さて、その後、好ましくは「ミル」と呼ばれる、甘くて魅力的な操作が始まります。後続の数字「」、「」など、数字aを考慮して、それらが次の数字であることをもっぱら「簡単に」計算します。ゼロに等しい! 私が「簡単」という言葉を引用符で囲んだのは、人類がこの「簡単」への鍵を 350 年間見つけられなかったからである! そしてその鍵は実際に予想外に、そして唖然とするほど原始的なものであることが判明した: 数値 P は P として表されなければならない= q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) この合計の 2 番目の項に注意を払う価値はありません。結局のところ、さらなる証明では (k + 2) 番目以降の数値をすべて破棄しました。 (これにより、分析が大幅に簡素化されます)! したがって、先頭部分の数値を破棄した後、フェルマーの等式は次の形式になります: ...1=aq^(n-1)、ここで、a と q は数値ではなく、数字の末尾 a と q! (読みにくいため、新しい表記法は導入しません)。

最後の哲学的疑問が残ります。なぜ数値 P は P=q^(n-1)+Qn^(k+2) として表せるのでしょうか? 答えは簡単です。末尾に 1 が付く整数 P は、この形式で同一に表現できるからです。 (他にもさまざまな方法で考えることができますが、その必要はありません。) 実際、P=1 の場合、答えは明らかです: P=1^(n-1)。 P=hn+1 の場合、数値 q=(n-h)n+1 は、方程式 [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 を 2 値で解くことで簡単に検証できます。エンディング。 などです (ただし、必要なのは P=1+Qn^t の形式の数値表現だけであるため、これ以上の計算は必要ありません)。

うふふふ！ さて、哲学は終わりました。ニュートンの二項公式をもう一度覚えない限り、2 級のレベルの計算に進んでください。

そこで、数値 a"" (数値 a=a""n+1 の場合) を導入し、それを使用して数値 q"" (数値 q=q""n+1 の場合) を計算しましょう。
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1)、または...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ]、したがって、q""=a""。

そして、フェルマーの等式の右辺は次のように書き換えることができます。
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2)、ここで数値 D の値には興味がありません。

そして今、私たちは決定的な結論に達しました。 数値 a "" n + 1 は、数値 A の 2 桁の末尾であり、したがって、単純な補題に従って、次数 A ^ n の 3 番目の桁を一意に決定します。 さらに、ニュートンの二項式の展開から
(a "" n + 1) ^ n、展開の各項 (天候によって変更できない最初の項を除く) が SIMPLE 因数 n (数値の底!) で結合されているとすると、次のようになります。この 3 番目の数字が "" に等しいことを明確にしてください。 しかし、フェルマーの等式に g ^ n を乗算することで、数値 A の最後の 1 の前の k + 1 桁を 0 に変えました。 したがって、「」 \u003d 0 !!!

このようにして、サイクルを完了しました。a"" を導入することで、q""=a""、そして最終的に a""=0 であることがわかりました。

さて、完全に同様の計算と後続の k 桁を実行した後、最終的な等価性が得られるということは残ります。数値 a の (k + 2) 桁の末尾、つまり C-B は、数値 A と同様に、次のようになります。しかし、C-A-B の (k+2) 番目の桁はゼロに等しくなりますが、ゼロではありません。

実際、ここにすべての証拠があります。 それを理解するために、高等教育を受ける必要はなく、さらにはプロの数学者である必要もありません。 しかし、専門家は黙っています...

読める完全な証明のテキストはここにあります。

レビュー

こんにちは、ビクター。 あなたの履歴書が気に入りました。 「死ぬ前に死なせるな」というのは、もちろん素晴らしいと思います。 『散文』でフェルマーの定理と出会ったとき、正直に言って、私は愕然としました。 彼女はここに属していますか? 科学サイト、ポピュラーサイエンスサイト、ティーポットサイトがあります。 そうでない場合は、文学作品をありがとう。
敬具、アーニャ。

親愛なるアーニャ、かなり厳しい検閲にもかかわらず、散文ではあらゆることについて書くことができます。 フェルマーの定理では、状況は次のようになります。大規模な数学フォーラムは、フェルマティストを遠回しに、無礼に扱い、全体として、フェルマティストをできる限り最善の方法で扱います。 しかし、ロシア語、英語、フランス語の小さなフォーラムで、私は証明の最後のバージョンを提示しました。 まだ誰も反論を提出していないし、きっと誰も反論もしないだろう（証拠は注意深くチェックされている）。 土曜日に定理についての哲学的なメモを出版する予定です。
散文には退屈な表現はほとんどなく、付き合っていないとすぐに飽きてしまいます。
私の作品はほぼすべて散文で表現されているので、校正刷りもここに載せておきます。
また後で、

フェルマーの最終定理について聞いたことがない人は世界中でそれほど多くはありません。おそらくこれは、これほど広く知られ、本当の伝説になっている唯一の数学の問題です。 これは多くの本や映画で言及されていますが、ほぼすべての言及の主な文脈は、定理の証明が不可能であるということです。

そう、この定理は非常に有名で、ある意味アマチュア数学者やプロの数学者に崇拝される「アイドル」となっているが、その証明が発見されたこと、そしてそれが1995年に起こったことを知る人はほとんどいない。 しかし、まず最初に。

したがって、1637 年にフランスの天才数学者ピエール フェルマーによって定式化されたフェルマーの最終定理 (フェルマーの最終定理とも呼ばれます) は、本質的に非常に単純であり、中等教育を受けた人であれば誰でも理解できます。 式 a の n 乗 + b の n 乗 \u003d c の n 乗には、n> 2 の自然な (つまり、非分数の) 解が存在しないと言われています。 すべてが単純で明確であるように見えます。しかし、最高の数学者と普通のアマチュアは、3世紀半以上にわたって解決策を求めて戦い続けました。

なぜ彼女はそんなに有名なのでしょうか？ さあ、調べてみましょう...

証明されている、証明されていない、そしてまだ証明されていない定理はほとんどありませんか? 問題は、フェルマーの最終定理が、定式化の単純さと証明の複雑さとの間の最大のコントラストであるということです。 フェルマーの最終定理は信じられないほど難しい課題ですが、その定式化は中学校 5 年生を持っている人であれば誰でも理解できますが、証明はすべてのプロの数学者でさえも程遠いものです。 物理学でも、化学でも、生物学でも、同じ数学でも、これほど単純に定式化されながらも、これほど長い間未解決のままだった問題はひとつもありません。 2. それは何で構成されていますか?

ピタゴラスパンツから始めましょう 一見すると、言葉遣いはとてもシンプルです。 私たちが子供の頃から知っているように、「ピタゴラスのズボンはどの面でも等しい」です。 この問題が非常に単純に見えるのは、誰もが知っている数学的記述であるピタゴラスの定理に基づいているためです。つまり、どの直角三角形でも、斜辺に作られる正方形は、脚に作られる正方形の和に等しいということです。

紀元前5世紀。 ピタゴラスはピタゴラス同胞団を設立しました。 ピタゴラス学派は、とりわけ、方程式 x²+y²=z² を満たす整数の 3 倍体を研究しました。 彼らは、ピタゴラス トリプルが無限に存在することを証明し、それらを見つけるための一般式を取得しました。 おそらくトリプル以上の学位を探そうとしたのでしょう。 これではうまくいかないと確信したピタゴラス派は無駄な試みを放棄した。 友愛会のメンバーは数学者というよりも哲学者や美学者でした。

つまり、等式 x² + y² = z² を完全に満たす一連の数値を選択するのは簡単です。

3、4、5から始めて、確かに小学生は9 + 16 = 25を理解します。

または、5、12、13: 25 + 144 = 169。素晴らしいですね。

そうですね、そうではないことが分かりました。 ここからがトリックの始まりです。 何かの存在ではなく、逆に不在を証明するのは難しいため、単純さは明らかです。 解決策があることを証明する必要がある場合、単にその解決策を提示することができますし、そうすべきです。

存在しないことを証明することはさらに困難です。たとえば、誰かが「これこれの方程式には解がありません」と言います。 彼を水たまりに入れますか？ 簡単です: バン - そしてこれが解決策です! （解決策を教えてください）。 そしてそれだけで、相手は敗北します。 欠席を証明するにはどうすればいいですか？

「そのような解決策は見つかりませんでした」と言うのでしょうか？ それともよく検索できなかったのでしょうか？ そして、それらが非常に大きいだけで、超強力なコンピューターですらまだ十分な強度を持たない場合はどうなるでしょうか? これが難しいことなのです。

これを視覚的に表すと、次のように示すことができます。適切なサイズの 2 つの正方形を取り出し、それらを単位正方形に分解すると、この単位正方形の束から 3 番目の正方形が得られます (図 2)。


そして、同じことを 3 次元でもやってみましょう (図 3) - それはうまくいきません。 十分なキューブがないか、余分なキューブが残っています:

しかし、17世紀の数学者、フランス人のピエール・ド・フェルマーは、一般方程式x n + y n \u003d z nを熱心に研究しました。 そして最後に、彼は「n>2 の整数解は存在しない」と結論付けました。 フェルマーの証明は回復不能に失われます。 原稿が燃えている！ 残っているのは、ディオファントスの算術での彼の発言だけです。「私はこの命題の本当に驚くべき証明を見つけましたが、ここでの余白は狭すぎてそれを収めることができません。」

実は、証明のない定理のことを仮説といいます。 しかし、フェルマーは決して間違ったことをしないという評判があります。 たとえ彼が発言の証拠を残さなかったとしても、その後それが確認された。 さらに、フェルマーは n=4 についての理論を証明しました。 したがって、フランスの数学者の仮説はフェルマーの最終定理として歴史に名を残しました。

フェルマーの後、レオンハルト・オイラーのような偉大な頭脳が証拠の探索に取り組みました (1770 年に彼は n = 3 の解を提案しました)。

エイドリアン ルジャンドルとヨハン ディリクレ (これらの科学者は 1825 年に共同で n = 5 の証明を発見)、ガブリエル ラメ (n = 7 の証明を発見) およびその他多くの研究者がいます。 前世紀の 80 年代半ばまでに、科学の世界がフェルマーの最終定理の最終的な解決に向かって進んでいることが明らかになりましたが、数学者たちが、次の証明を見つけるという 3 世紀にわたる物語を理解し、信じるようになったのは 1993 年になってからです。フェルマーの最終定理はほぼ終わりに近づきました。

フェルマーの定理を素数 n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... についてのみ証明すれば十分であることを示すのは簡単です。複合 n については、証明は依然として有効です。 しかし、素数は無数にあります...

1825 年に、ソフィー ジェルマンの方法を使用して、女性数学者ディリクレとルジャンドルが n=5 の定理を独立に証明しました。 1839 年、フランス人のガブリエル ラメは、同じ方法を使用して n=7 の定理の真実性を示しました。 徐々に、この定理は 100 未満のほぼすべての n について証明されました。

最後に、ドイツの数学者エルンスト・クンマーは、19 世紀の数学の方法では定理を一般形式で証明できないことを素晴らしい研究で示しました。 フェルマーの定理の証明に対して 1847 年に設立されたフランス科学アカデミーの賞は、割り当てられなかった。

1907年、ドイツの裕福な実業家パウル・ヴォルフスケルは報われない愛のた​​めに自ら命を絶つことを決意した。 本物のドイツ人のように、彼は自殺の日時を、まさに真夜中に設定した。 最後の日、彼は遺書を作り、友人や親戚に手紙を書きました。 営業は午前0時前に終了しました。 ポールは数学に興味があったと言わざるを得ません。 何もすることがなかったので、彼は図書館に行き、クマーの有名な論文を読み始めました。 彼は突然、クンマーが自分の推論に間違いを犯したように思えた。 ヴォルフシェール氏は鉛筆を手に、記事のこの部分を分析し始めた。 真夜中が過ぎ、朝が来た。 証明の穴が埋まりました。 そして自殺の理由そのものが、今となってはまったくばかげているように思えた。 パウロは別れの手紙を破り、遺書を書き直した。

彼は間もなく自然死した。 相続人たちはかなり驚いた。10万マルク（現在の100万ポンド以上）がゲッティンゲン王立科学協会の口座に送金され、同年同協会はヴォルフスケル賞のコンテストを発表した。 100,000 マークはフェルマーの定理の証明者に依存していました。 定理の反駁に対しては一銭も支払われるはずはなかった...

ほとんどのプロの数学者は、フェルマーの最終定理の証明の探求は失われた大義であると考え、そのような無駄な練習に時間を浪費することを断固として拒否しました。 しかしアマチュアは栄光に浮かれてはしゃぐ。 発表から数週間後、雪崩のように「証拠」がゲッティンゲン大学を襲った。 E.M. ランドー教授は、送られてきた証拠を分析するのが任務で、学生たちに次のようなカードを配りました。

親愛なる（たち）。 。 。 。 。 。 。 。

フェルマーの最終定理の証明とともに原稿を送っていただきありがとうございます。 最初のエラーはページ ... の行 ... にあります。 そのため、証明全体がその有効性を失います。
E.M. ランドー教授

1963 年、ポール コーエンはゲーデルの発見を利用して、ヒルベルトの 23 の問題のうちの 1 つである連続体仮説が解けないことを証明しました。 フェルマーの最終定理も解けなかったら?! しかし、大定理の真の熱狂者たちはまったく失望しませんでした。 コンピュータの出現は予期せず数学者に新しい証明方法を与えました。 第二次世界大戦後、プログラマーと数学者のグループは、n の最大 500、次に最大 1,000、そしてその後最大 10,000 のすべての値に対してフェルマーの最終定理を証明しました。

80年代に、サミュエル・ワグスタッフはその上限を25,000に引き上げ、90年代には数学者たちはフェルマーの最終定理が400万までのnのすべての値に当てはまると主張しました。 しかし、無限から一兆を引いても小さくなりません。 数学者は統計に納得していません。 大定理を証明するということは、無限に向かうすべての n についてそれを証明することを意味しました。

1954 年、二人の若い日本人数学者の友人がモジュラー形式の研究を始めました。 これらの形式は、それぞれ独自の一連の数値を生成します。 偶然にも、谷山はこれらの系列を楕円方程式によって生成された系列と比較しました。 一致しました！ しかし、モジュラー形式は幾何学的オブジェクトですが、楕円方程式は代数的です。 このような異なるオブジェクト間には接続が見つかりませんでした。

それにもかかわらず、注意深くテストした後、友人たちは仮説を立てました。すべての楕円方程式には双子、つまりモジュラー形式があり、その逆も同様です。 この仮説が数学全体の傾向の基礎となったが、谷山・志村仮説が証明されるまでは、いつ建物全体が崩壊してもおかしくなかった。

1984 年に、ゲルハルト フライは、フェルマー方程式の解が存在する場合、楕円方程式に含めることができることを示しました。 2 年後、ケン リベット教授は、この仮想方程式がモジュラー世界では対応するものがないことを証明しました。 以来、フェルマーの最終定理は谷山・志村仮説と密接に結びついています。 任意の楕円曲線がモジュラーであることを証明したので、フェルマーの方程式の解をもつ楕円方程式は存在せず、フェルマーの最終定理はすぐに証明されると結論付けます。 しかし、30年間にわたって谷山・志村仮説を証明することはできず、成功の望みはますます薄れていました。

1963 年、彼がまだ 10 歳だったとき、アンドリュー ワイルズはすでに数学に魅了されていました。 彼は大定理について知ったとき、それから逸脱することはできないことに気づきました。 学生、学生、大学院生として、彼はこの任務に向けて準備を整えてきました。

ケン・リベットの発見を知ったワイルズは、谷山・志村予想の証明に全力を注いだ。 彼は完全に孤立して秘密裏に働くことを決意した。 「フェルマーの最終定理に関連するすべてのことに興味がありすぎることがわかりました...あまりにも多くの視聴者が意図的に目標の達成を妨害しています。」 7年間の努力が実り、ワイルズはついに谷山・志村予想の証明を完成させた。

1993 年、英国の数学者アンドリュー ワイルズはフェルマーの最終定理の証明を世界に発表しました (ワイルズはケンブリッジのサー アイザック ニュートン研究所での会議でセンセーショナルな報告書を読み上げました)。その作業は 7 年以上続きました。

マスコミでの誇大宣伝が続く一方で、証拠を検証するための真剣な作業が始まりました。 証明が厳密で正確であるとみなされるには、各証拠を慎重に調査する必要があります。 ワイルズは、査読者の承認を得られることを願いながら、査読者のフィードバックを待つ多忙な夏を過ごした。 8月末、専門家らは判決の根拠が不十分であることを発見した。

一般的には正しいのですが、この決定には重大な誤りが含まれていることが判明しました。 ワイルズは諦めず、数論の有名な専門家であるリチャード・テイラーの助けを求め、すでに 1994 年に定理の修正と補足を行った証明を発表しました。 最も驚くべきことは、この研究が数学雑誌『Annals of Mathematics』で 130 (!) ものページを占めたことです。 しかし、物語はそこで終わったわけではありません。最後の点が指摘されたのは翌年の 1995 年であり、このとき、数学的な観点から最終的かつ「理想的な」バージョンの証明が発表されました。

「...彼女の誕生日のお祝いディナーが始まってから30分後、私はナディアに完全な証拠の原稿を渡しました」（アンドリュー・ウェールズ）。 数学者は奇妙な人たちだと言いましたか?

今回は証拠に疑いの余地はありませんでした。 2 つの論文が最も慎重な分析を受け、1995 年 5 月に『Annals of Mathematics』に掲載されました。

あれから長い時間が経ちましたが、フェルマーの最終定理が解けないという意見は依然として社会にあります。 しかし、発見された証明について知っている人でさえ、この方向に取り組み続けています。大定理が 130 ページの解決策を必要とすることに満足している人はほとんどいません。

したがって、現在、非常に多くの数学者（プロの科学者ではなく、ほとんどがアマチュア）の力が単純で簡潔な証明を求めて投入されていますが、この道はおそらくどこにもつながりません...

ソース

したがって、フランスの天才数学者ピエール・フェルマーによって 1637 年に定式化されたフェルマーの最終定理 (フェルマーの最終定理とも呼ばれます) は、その本質が非常に単純であり、中等教育を受けた人であれば誰でも理解できるものです。 式 a の n 乗 + b の n 乗 \u003d c の n 乗には、n> 2 の自然な (つまり、非分数の) 解が存在しないと言われています。 すべてが単純で明確であるように見えます。しかし、最高の数学者と普通のアマチュアは、3世紀半以上にわたって解決策を求めて戦い続けました。

科学とテクノロジーのニュース

UDC 51:37;517.958

AV コノフコ博​​士

ロシア国家消防庁EMERCOMアカデミー 偉大な定理ファームが証明されました。 か否か？

数世紀にわたって、n>2 の場合の式 xn+yn=zn が有理数、したがって整数では解けないことを証明することができませんでした。 この問題は、同時に専門的に数学に従事していたフランスの弁護士ピエール・フェルマーの著作の下で生まれました。 彼女の解決策は、アメリカの数学教師アンドリュー ワイルズによるものとされています。 この認定は 1993 年から 1995 年まで続きました。

偉大なフェルマの定理が証明されました。それともそうではありませんか?

フェルマーの最終定理証明の劇的な歴史が考察されています。ほぼ 400 年かかりました。ピエール フェルマーはほとんど書いていません。彼は圧縮されたスタイルで書きました。その上、彼は研究結果を出版していませんでした。方程式 xn+yn=zn は集合では解けないという記述n>2 の場合の有理数と整数についてのフェルマーの解説は、彼がこのステートメントを証明する確かに注目すべきものであると発見したというものでした。 この証明は子孫には及ばなかった。 後に、このステートメントはフェルマーの最終定理と呼ばれるようになりました。世界最高の数学者たちがこの定理をめぐって決裂しましたが、結果は得られませんでした。70 年代に、パリ科学アカデミー会員のフランス人数学者アンドレ ヴェイユが、この解決への新しいアプローチを確立しました。1993 年 6 月 23 日、ケンブリッジの数論会議で、プリンストン大学の数学者アンドリュー・ホワイルズは、フェルマーの最終定理の証明が得られたと発表しました。 しかし、勝利するには早かった。

1621 年、フランスの作家で数学者のクロード・ガスパール・バシュ・ド・メジリアックは、ディオファントスによるギリシャ語の論文『算術』をラテン語訳と注釈付きで出版しました。 豪華で、異常に余白の広い『算術』は、20歳のフェルマーの手に渡り、長年にわたって彼の参考書となった。 彼はその欄外に、数の性質について発見した事実を含む 48 のコメントを残しました。 ここで、算術の端っこで、フェルマーの大定理が定式化されました。「立方体を 2 つの立方体に分解したり、双平方根を 2 つの双平方体に分解したり、一般に 2 より大きい累乗を 2 つの累乗に分解したりすることは不可能です。同じ指数; 私はこれの本当に素晴らしい証明を見つけましたが、スペース不足のためこれらのフィールドには収まりません。 ちなみに、ラテン語ではこうなります。 「Cubum autem in dues cubos, autato-quadratum in dues quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum Ultraquadratum Potestatem in duas ejusdem nominis fas est divere;」 キュジュス・レイは、奇跡的な正気のデモを行っています。 ハンク・マージン・エクスグイタス・ノン・カペレット。

フランスの偉大な数学者ピエール フェルマー (1601-1665) は、面積と体積を決定する方法を開発し、接線と極値の新しい方法を作成しました。 彼はデカルトとともに解析幾何学の創始者となり、パスカルとともに確率論の起源に立ち、微分の一般則を与え、べき乗関数の積分則を一般論として証明した無限小法の分野で活躍しました。 ... しかし、最も重要なことは、この名前が、これまで数学に衝撃を与えた最も神秘的で劇的な物語の 1 つである、フェルマーの最終定理の証明の物語に関連付けられているということです。 この定理は簡単なステートメントの形式で表現されます。つまり、n>2 の場合の方程式 xn + yn = zn は有理数では解けず、したがって整数でも解けません。 ちなみに、n = 3の場合については、中央アジアの数学者アル・コジャンディが10世紀にこの定理の証明を試みたが、証明は保存されていない。

南フランス出身のピエール・フェルマーは、法律の学位を取得し、1631 年からトゥールーズ市の議会 (つまり最高裁判所) の顧問を務めました。 国会議事堂の中で一日仕事をした後、彼は数学を始め、すぐにまったく異なる世界に飛び込みました。 お金、名声、世間の知名度、これらすべては彼にとって重要ではありませんでした。 科学は彼にとって決して収入にはならず、工芸品にもならず、常に少数の人にしか理解できない、刺激的な頭のゲームに過ぎませんでした。 彼は彼らと文通を続けた。

フェルマーは、私たちの通常の意味での科学論文を書いたことはありません。 そして、友人との文通には常に何らかの挑戦、さらには一種の挑発が含まれており、決して問題とその解決策の学術的なプレゼンテーションではありません。 したがって、彼の手紙の多くは後に「挑戦状」として知られるようになりました。

おそらくそれが、彼が数論に関する特別なエッセイを書くという意図を実現できなかった理由です。 そしてその間、それは彼の最も好きな数学の分野でした。 フェルマーが手紙の中で最もインスピレーションを受けた一文を捧げたのは彼女へのことでした。 「算術には、整数理論という独自の分野がある。この理論はユークリッドによってほんの少し触れられただけで、彼の信奉者によって十分に発展しなかった（ディオファントスの著作に含まれていない限り）」と彼は書いた。時間の荒廃によって奪われている）したがって、算術はそれを発展させ、更新しなければならない。」

なぜフェルマー自身は時の荒廃を恐れなかったのでしょうか？ 彼は書く量は少なく、常に非常に簡潔でした。 しかし、最も重要なことは、彼が自分の作品を出版しなかったことです。 彼の生涯の間、それらは写本の形でのみ流通しました。 したがって、整数論に関するフェルマーの結果が断片的な形で私たちに伝えられたことは驚くべきことではありません。 しかし、ブルガーコフの考えはおそらく正しかった。偉大な原稿は燃えないのだ! フェルマーの作品は残りました。 それらは彼の友人たちへの手紙に残されていた：リヨンの数学教師ジャック・ド・ビリー、造幣局職員ベルナール・フレニッケル・ド・ベッシー、マルセニス、デカルト、ブレーズ・パスカル...ディオファントスの『算術』は、フェルマーの死後、彼の発言とともに欄外に残された。 、1670年に長男サミュエルによって出版された『ディオファントス』の新版にバスシェのコメントとともに記載された。 証拠自体が保存されていないだけです。

フェルマーは死の2年前に友人のカルカヴィに遺言状を送り、その手紙は「数の科学における新たな結果の概要」というタイトルで数学の歴史に名を残した。 この手紙の中で、フェルマーは、n = 4 の場合について有名な主張を証明しました。しかし、おそらく彼が興味を持ったのは、主張そのものではなく、フェルマー自身が無限または不定降下と呼んだ、彼によって発見された証明方法でした。

原稿は燃えません。 しかし、サミュエルの献身的な努力がなければ、サミュエルは父の死後、すべての数学的スケッチと小さな論文を収集し、1679 年に「その他の数学著作」というタイトルで出版しました。そしてたくさんの再発見。 しかし、この偉大な数学者が提起した問題は、出版後も 70 年以上眠ったままでした。 そしてこれは驚くべきことではありません。 P. フェルマーの数論的結果は、印刷物として出版された形で、深刻な問題の形で専門家たちの前に現れましたが、同時代人にとって必ずしも明確であるとは言えず、証拠もほとんどなく、それらの間の内部論理的つながりの兆候もありませんでした。 おそらく、フェルマー自身がなぜ数論に関する本を出版するつもりがなかったのかという疑問に対する答えは、一貫したよく考えられた理論が存在しないところにあるのかもしれません。 70 年後、L. オイラーはこれらの作品に興味を持つようになり、これはまさに彼らの第 2 の誕生でした...

数学は、あたかも意図的に証明を省略したかのように、結果を提示するフェルマーの独特の方法に多大な犠牲を払ってきました。 しかし、フェルマーがすでにこの定理またはその定理を証明したと主張した場合、後でこの定理は必ず証明されたことになります。 しかし、この大定理には問題がありました。

謎は常に想像力を刺激します。 大陸全体がモナ・リザの神秘的な微笑みによって征服されました。 相対性理論は、時空のつながりの謎を解く鍵として、今世紀で最も人気のある物理理論になりました。 そして、これほど人気のある数学問題は他にはなかったと言っても過言ではありません __93

国民保護の科学的および教育的問題

それはフェルマーの定理です。 それを証明しようとする試みは、数学の広範な分野である代数的数理論の創設につながりましたが、(悲しいことに!) 定理自体は証明されないままでした。 1908年、ドイツの数学者ヴォルフスケルは、フェルマーの定理を証明できた者に10万マルクを遺贈した。 当時としてはかなりの金額でした！ 一瞬にして有名になるだけでなく、驚くほどお金持ちになることも可能でした。 したがって、ドイツから遠く離れたロシアの小学生さえも、この偉大な定理を証明しようと競い合ったのも不思議ではない。 プロの数学者について何を言えるでしょうか。 しかし...無駄だった！ 第一次世界大戦後、貨幣の価値が下がり、疑似証拠を伴う手紙の流れは枯渇し始めたが、もちろん完全に止まったわけではない。 有名なドイツの数学者エドムント・ランダウは、フェルマーの定理の証明の著者に配布するために、「ページに誤りがあります...、行に...誤りがあります。」という印刷用紙を用意したと言われています。 (間違いを見つけるのは助教授に任されていました。) この定理の証明に関連した好奇心や逸話は非常に多く、それらを集めて一冊の本を作ることができました。 最後の逸話は、2000年1月に撮影され国内のテレビ画面に流されたA・マリニナ刑事の「偶然」に似ている。 その中で、私たちの同胞は偉大な先人たち全員が証明できなかった定理を証明し、そのことでノーベル賞を主張しています。 ご存知のとおり、ダイナマイトの発明者は遺言で数学者を無視したため、証明の著者は 1936 年に数学者自身によって承認された最高の国際賞であるフィールズ金メダルを請求することしかできませんでした。

傑出したロシアの数学者A.Yaの古典的な作品の中で。 フェルマーの大定理に熱心なキンチンは、この問題の歴史に関する情報を提供し、フェルマーが彼の定理を証明する際に使用できる方法に注目しています。 n = 4 の場合の証明と、その他の重要な結果の簡単なレビューを示します。

しかし、この探偵小説が書かれた時点、さらには映画化された時点では、定理の一般的な証明はすでに発見されていました。 1993 年 6 月 23 日、ケンブリッジで開催された数論に関する会議で、プリンストン大学の数学者アンドリュー ワイルズは、フェルマーの最終定理の証明が得られたと発表しました。 しかし、フェルマー自身が「約束した」ほどではありません。 アンドリュー・ワイルズがたどった道は、決して初等数学の方法に基づいたものではありませんでした。 彼はいわゆる楕円曲線の理論に従事していました。

楕円曲線を理解するには、3次方程式で与えられる平面曲線を考慮する必要があります。

Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)

このような曲線はすべて 2 つのクラスに分類されます。 最初のクラスには、尖点 (尖点 (0; 0) を持つ半立方放物線 y2 = a2-X など)、自己交点 (デカルト シート x3 + y3-3axy = 0 など) を持つ曲線が含まれます。点 (0; 0))、および多項式 Ax, y) が次の形式で表される曲線

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

ここで、^(x, y) と ^(x, y) はより小さい次数の多項式です。 このクラスの曲線は、3 次の縮退曲線と呼ばれます。 2 番目のクラスの曲線は、非縮退曲線によって形成されます。 それらを楕円形と呼びます。 これらには、たとえば、Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0) が含まれます。 多項式 (1) の係数が有理数の場合、楕円曲線はいわゆる正準形式に変換できます。

y2 = x3 + ax + b。 (2)

1955 年、日本の数学者谷山由美 (1927-1958) は、楕円曲線理論の枠組みの中で、フェルマーの定理の証明への道を開く予想を定式化することに成功しました。 しかしその後、谷山も同僚もこれを疑うことはなかった。 ほぼ 20 年間、この仮説は深刻な注目を集めることはなく、1970 年代半ばになって初めて普及しました。 谷山の予想によれば、任意の楕円

有理係数を持つ曲線はモジュラーです。 しかし、これまでのところ、この仮説の定式化は、注意深く読者にほとんど何も伝えていません。 したがって、いくつかの定義が必要です。

各楕円曲線は、重要な数値特性、つまりその判別式に関連付けることができます。 正準形式 (2) で与えられる曲線の場合、判別式 A は次の式で決定されます。

A \u003d - (4a + 27b2)。

E を式 (2) で与えられる楕円曲線とします。ここで、a と b は整数です。

素数 p について、次の比較を考えます。

y2 = x3 + ax + b(mod p)、(3)

ここで、a と b は整数 a と b を p で割った余りで、np はこの合同式の解の数を示します。 数値 pr は、整数の形式 (2) の方程式の可解性の問題を研究するのに非常に役立ちます。ある pr がゼロに等しい場合、方程式 (2) には整数の解がありません。 ただし、pr という数値を計算できるのは、非常にまれな場合に限られます。 (同時に、p-n| であることが知られています。< 2Vp (теоремаХассе)).

楕円曲線 (2) の判別式 A を分割する素数 p を考えてみましょう。 このような p に対して、多項式 x3 + ax + b は次の 2 つの方法のいずれかで記述できることが証明できます。

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p)、

ここで、a、ß、y は p で割った後の剰余です。 曲線の判別式を分割するすべての素数 p について、示された 2 つの可能性のうちの最初の可能性が実現される場合、楕円曲線は半安定であると言われます。

判別式を分割する素数は、いわゆる楕円曲線導体に組み合わせることができます。 E が半安定曲線の場合、その導体 N は次の式で求められます。

ここで、A を除算するすべての素数 p > 5 について、指数 eP は 1 に等しくなります。指数 82 と 83 は特別なアルゴリズムを使用して計算されます。

本質的に、証明の本質を理解するために必要なのはこれだけです。 しかし、谷山の予想にはモジュール性という難しく、そして私たちの場合には重要な概念が含まれています。 そこで、楕円曲線のことは一旦忘れて、上半平面で与えられる複素引数 z の解析関数 f (つまり、べき級数で表現できる関数) を考えてみましょう。

上複素半平面をＨで表す。 Nを自然数、kを整数とします。 レベル N の重み k のモジュール放物線形式は、上半平面で定義され、次の関係を満たす解析関数 f(z) です。

f = (cz + d)kf (z) (5)

ae - bc = 1 であり、c が N で割り切れるような任意の整数 a、b、c、d について。さらに、次のように仮定されます。

lim f (r + it) = 0、

ここで、r は有理数であり、

レベル N の重み k のモジュールカスプ形式の空間は Sk(N) で表されます。 有限の次元を持つことがわかります。

以下では、重み 2 のモジュラー カスプ形式に特に興味を持ちます。小さい N の場合、空間の次元 S2(N) を表 1 に示します。 1. 特に、

空間寸法 S2(N)

表1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

条件 (5) から、各形式 f ∈ S2(N) に対して % + 1) = が成り立ちます。 したがって、f は周期関数です。 このような関数は次のように表すことができます。

係数が次の関係を満たす整数である場合、S2(N) のモジュラー カスプ形式 A^) を適切と呼びます。

a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 は、数値 N を除算しない単純な p の場合です。 (8)

(ap) N を割る素数 p の場合。

atp = at an if (m, n) = 1。

ここで、フェルマーの定理の証明において重要な役割を果たす定義を定式化します。 有理係数と導体 N をもつ楕円曲線は、そのような固有形式が存在する場合、モジュラーと呼ばれます。

f(z) = ^anq" g S2(N)、

ほぼすべての素数 p に対して ap = p - pr となります。 ここで、np は比較 (3) の解の数です。

このような曲線が少なくとも 1 つ存在することを信じるのは困難です。 リストされた厳格な制限 (5) および (8) を満たす関数 A(r) が存在し、それが系列 (7) に拡張され、その係数が実質的に計算不可能な数値 Pr に関連付けられることを想像するのは非常に困難です。はかなり難しいです。 しかし、谷山の大胆な仮説は決してそれらの存在の事実に疑問を投げかけるものではなく、時間の経過とともに蓄積された経験的資料はその正当性を見事に裏付けました。 谷山の仮説は、20 年間ほぼ完全に忘れ去られていたが、パリ科学アカデミー会員であるフランスの数学者、アンドレ ヴェイユの研究によって第二の風を受けました。

1906 年に生まれた A. ワイルは、やがて N. ブルバキという偽名で活動する数学者グループの創設者の 1 人になりました。 1958 年以来、A. ワイルはプリンストン高等研究所の教授を務めています。 そして、抽象代数幾何学への彼の​​関心の出現も同じ時期に属します。 70 年代には、楕円関数と谷山予想に目を向けました。 楕円関数に特化したモノグラフは、ここロシアで翻訳されました。 情熱を持っているのは彼だけではありません。 1985 年、ドイツの数学者ゲルハルト・フライは、フェルマーの定理が偽である場合、つまり、「 + bn = c」 (n > 3) となるような整数 a、b、c の 3 倍が存在する場合、楕円曲線は次のようになると示唆しました。

y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)

モジュール化することはできませんが、これは谷山の予想と矛盾します。 フレイ自身はこの命題を証明できませんでしたが、すぐにアメリカの数学者ケネス・リベットによって証明が得られました。 言い換えれば、リベットはフェルマーの定理が谷山の予想の結果であることを示した。

彼は次の定理を定式化して証明しました。

定理 1 (リベット)。 E を判別式を持つ有理係数を持つ楕円曲線とします。

そして指揮者

E がモジュール式であると仮定して、次のようにします。

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

は、対応するレベル固有形式 N です。素数 £ を固定し、

p: eP \u003d 1; - "8 p

すると放物線状になります

/(r) = 2 dnqn e N)

an - dn の差がすべて 1 について I で割り切れる整数係数を使用します。< п<ад.

この定理がある指数について証明されれば、n の倍数であるすべての指数についても証明されることは明らかです。すべての整数 n > 2 は 4 または奇数の素数で割り切れるため、次の範囲に限定できます。指数が 4 または奇数の素数の場合。 n = 4 の場合、フェルマーの定理の初歩的な証明は、最初にフェルマー自身によって、次にオイラーによって得られました。 したがって、方程式を検討するだけで十分です

a1 + b1 = c1、(12)

ここで、指数 I は奇数の素数です。

フェルマーの定理は簡単な計算で得られます (2)。

定理 2. 半安定楕円曲線に関する谷山の予想は、フェルマーの最終定理を意味します。

証拠。 フェルマーの定理が偽であると仮定し、対応する反例を考えます (上記と同様、ここでは I は奇数の素数です)。 定理 1 を楕円曲線に適用してみましょう

y2 = x (x - ae) (x - c1)。

簡単な計算により、この曲線の導体は次の式で与えられることがわかります。

式 (11) と (13) を比較すると、N = 2 であることがわかります。したがって、定理 1 より、放物線形が成り立ちます。

スペース82(2)に横たわっています。 しかし、関係式 (6) により、この空間はゼロになります。 したがって、すべての n について dn = 0 であると同時に、a^ = 1 であるため、差 ar - dl = 1 は I で割り切れず、矛盾に達します。 したがって、定理は証明されます。

この定理は、フェルマーの最終定理の証明への鍵を提供しました。 しかし、仮説自体はまだ証明されていません。

1993 年 6 月 23 日に、(8) の形の曲線を含む半安定楕円曲線に関する谷山の予想の証明を発表した後、アンドリュー ワイルズは急ぎました。 数学者が勝利を祝うのは時期尚早でした。

暖かな夏はすぐに終わり、雨の秋が残され、冬がやって来ました。 ワイルズは証明の最終版を書き直しましたが、細心の注意を払う同僚たちは彼の仕事の不正確さをますます発見しました。 そして、1993 年 12 月初旬、ワイルズの原稿が印刷される数日前に、彼の証拠に重大な欠陥が再び見つかりました。 そしてワイルズは、1日か2日ではもう何も修正できないことに気づきました。 これには大規模な見直しが必要でした。 作品の出版は延期せざるを得ませんでした。 ワイルズはテイラーに助けを求めた。 「バグへの取り組み」には 1 年以上かかりました。 ワイルズがテイラーと共同で書いた谷山予想の証明の最終版は、1995 年の夏まで登場しなかった。

英雄A・マリニナとは異なり、ワイルズはノーベル賞を受賞しなかったが、それでも、何らかの賞で注目されるべきだった。 それだけですか？ 当時のワイルズはすでに50代であり、フィールズの金メダル授与は厳密に40歳までであり、創作活動のピークはまだ過ぎていない。 そして彼らはワイルズに特別賞、フィールズ委員会の銀章を設けることを決定した。 このバッジは、ベルリンで開催された次の数学会議で彼に贈られました。

多かれ少なかれフェルマーの最終定理に取って代わられる可能性が高いすべての問題の中で、ボールの最密充填の問題が最も大きな可能性を持っています。 ボールの最密充填の問題は、オレンジのピラミッドを最も経済的に積み重ねる方法の問題として定式化できます。 若い数学者はこの問題をヨハネス ケプラーから受け継ぎました。 この問題は、ケプラーが「六角形の雪片について」という短いエッセイを書いた 1611 年に生まれました。 ケプラーは物質の粒子の配置と自己組織化に興味を持っていたため、別の問題、つまり最小の体積を占める粒子の最密充填について議論するようになりました。 粒子が球の形であると仮定すると、粒子が空間内にどのように配置されても、粒子間には必然的に隙間が残ることが明らかであり、問​​題は隙間の体積を最小限に抑えることです。 たとえば、この研究では、そのような形状は四面体であり、その内部の座標軸が基本直交角を決定するのは 90 度ではなく 109 度 28 インチであると述べられています (ただし証明されていません)。この問題は素粒子にとって非常に重要です。物理学、結晶学、および自然科学のその他のセクション。

文学

1. ヴェイユ A. アイゼンシュタインとクロネッカーによる楕円関数。 - M.、1978年。

2.ソロヴィヨフYu.P. 谷山予想とフェルマーの最終定理 // ソロス教育ジャーナル。 - No. 2。 - 1998。 - S. 78-95。

3. シン・S・フェルマーの最終定理。 358 年にわたり、世界中の最も優れた人々の心を占めてきたミステリーの物語 / Per. 英語から。 ユア ダニロバ。 モスクワ: MTsNMO。 2000. - 260 p.

4. ミルモビッチ E.G.、ウサチェヴァ T.V. 四元数の代数と 3 次元回転 // Present Journal No. 1(1)、2008. - P. 75-80。