45 による除算の余り。
簡単な例を見てみましょう。
15:5=3
この例では、自然数 15 を除算しました。 完全に余りなしで 3 まで。
自然数は完全に割り切れない場合があります。 たとえば、次の問題を考えてみましょう。
クローゼットにはおもちゃが16個ありました。 そのグループには5人の子供たちがいた。 各子供たちは同じ数のおもちゃを受け取りました。 それぞれの子供はおもちゃを何個持っていますか?
解決：
列を使用して数値 16 を 5 で割ると、次のようになります。
16 を 5 で割ることはできないことはわかっています。 5 で割り切れる最も近い小さい数は、15 余り 1 です。 数字の 15 は 5⋅3 と書くことができます。 結果は (16 – 被除数、5 – 除数、3 – 不完全商、1 – 剰余)。 得た 式 余りによる除算何ができるか 解決策を確認する.
ある=
b⋅
c+
d
ある – 分割可能、
b - ディバイダー、
c – 不完全商、
d - 残り。
答え: 各子供は 3 つのおもちゃを持ち、残りのおもちゃは 1 つです。
除算の残り
剰余は常に除数より小さくなければなりません。
除算中に剰余がゼロの場合、これは被除数が除算されたことを意味します。 完全にまたは、除数に余りを付けないでください。
除算中に余りが除数より大きい場合、これは見つかった数値が最大ではないことを意味します。 配当を除算する数値の方が大きく、余りは除数よりも小さくなります。
トピック「余りのある割り算」に関する質問:
余りが除数より大きくなることはありますか?
答え: いいえ。
余りは約数と等しくなりますか?
答え: いいえ。
不完全な商、除数、余りを使用して被除数を求めるにはどうすればよいですか?
回答: 部分商、除数、剰余の値を式に代入し、被除数を求めます。 式：
a=b⋅c+d
例 #1:
剰余による除算を実行し、以下を確認します: a) 258:7 b) 1873:8
解決：
a) 列ごとに分割します。 
258 – 配当、
7 – ディバイダー、
36 – 不完全商、
6 – 残り。 余りは約6より小さい<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) 列ごとに分割します。 
1873 – 分割可能、
8 – 除数、
234 – 不完全商、
1 – 残り。 余りは約数 1 より小さい<8.
これを式に代入して、例が正しく解けたかどうかを確認してみましょう。
8⋅234+1=1872+1=1873
例2:
自然数を割ったときの余りは何ですか: a) 3 b) 8?
答え：
a) 剰余は除数より小さいため、3 未満です。この場合、剰余は 0、1、または 2 になります。
b) 剰余は除数より小さいため、8 未満です。この場合、剰余は 0、1、2、3、4、5、6、または 7 になります。
例 #3:
自然数を割ったときに得られる最大の余りは何ですか: a) 9 b) 15?
答え：
a) 余りは約数より小さいので、9 より小さいですが、最大の余りを示す必要があります。 つまり、約数に最も近い数値です。 これは8番です。
b) 剰余は約数より小さいため、15 未満です。ただし、最大の剰余を示す必要があります。 つまり、約数に最も近い数値です。 この数は 14 です。
例 #4:
配当を求めます: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)
解決：
a) 次の式を使用して解きます。
a=b⋅c+d
(a – 被除数、b – 除数、c – 部分商、d – 剰余。)
a:6=3(残り4)
(a – 被除数、6 – 除数、3 – 部分商、4 – 余り。) 数値を式に代入してみましょう。
a=6⋅3+4=22
答え: a=22
b) 次の式を使用して解きます。
a=b⋅c+d
(a – 被除数、b – 除数、c – 部分商、d – 剰余。)
s:24=4(残り11)
(c – 被除数、24 – 除数、4 – 部分商、11 – 余り。) 数値を式に代入してみましょう。
с=24⋅4+11=107
答え: c=107
タスク：
ワイヤー4m。 13cmくらいに切る必要があります。 そのような作品は何個あるでしょうか？
解決：
まず、メートルをセンチメートルに変換する必要があります。
4メートル=400センチメートル。
列で割ることも、頭の中で次のように分割することもできます。
400:13=30(残り10)
確認しよう：
13⋅30+10=390+10=400
答え: 30 個入り、ワイヤーは 10 cm 残ります。
この記事では、 整数の余りによる除算。 整数を余りで割るという一般原理から始めて、余りで整数の割り切れる定理を定式化して証明し、被除数、約数、不完全商と余りの関係をたどってみましょう。 次に、整数を余りで割るルールの概要を説明し、例を解く際のこれらのルールの適用を検討します。 この後、整数を余りで割った結果を確認する方法を学びます。
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整数の剰余による除算に関する一般的な理解
整数の余りのある割り算を、自然数の余りのある割り算の一般化として考えます。 これは、自然数が整数の構成要素であるという事実によるものです。
説明で使用される用語と名称から始めましょう。
自然数の余りによる除算と同様に、2 つの整数 a と b (b はゼロではありません) の余りによる除算の結果が 2 つの整数 c と d であると仮定します。 数字aとbは呼ばれます 割り切れるそして ディバイダーしたがって、数値 d – 残り a を b で割ることにより、整数 c が呼び出されます。 不完全なプライベート(または単に プライベート、余りがゼロの場合）。
剰余は非負の整数であり、その値は b を超えないと仮定することに同意しましょう (3 つ以上の整数の比較について話したときに、同様の不等式の連鎖に遭遇しました)。
数値 c が不完全商で、数値 d が整数 a を整数 b で割った余りである場合、この事実を a:b=c (余り d) という形式の等式として簡単に記述します。
整数 a を整数 b で割ったとき、余りがゼロになる可能性があることに注意してください。 この場合、a は b で割り切れると言います。 跡形もなく（または 完全に）。 したがって、剰余なしの整数の除算は、剰余ありの整数の除算の特殊なケースです。
また、ゼロを整数で割るときは、常に剰余なしの除算を扱っていることにも注意してください。この場合、商はゼロに等しくなります(ゼロを整数で除算する理論のセクションを参照)。また、剰余はゼロになります。もゼロになります。
用語と表記法が決まりました。今度は整数を余りで割る意味を理解しましょう。
負の整数 a を正の整数 b で割ることにも意味を与えることができます。 これを行うには、負の整数を負債とみなします。 この状況を想像してみましょう。 物品を構成する債務は、b 人が平等に拠出して返済しなければなりません。 この場合の不完全商 c の絶対値によって各人の借金の額が決まり、余り d は借金を返済した後に残るアイテムの数を示します。 例を挙げてみましょう。 2 人が 7 個のリンゴを借りているとします。 それぞれが 4 個のリンゴを借りていると仮定すると、借金を支払った後は 1 個のリンゴが残ります。 この状況は、等式 (-7):2=-4 (残り 1) に対応します。
任意の整数 a の余りを負の整数で割ることには何の意味も与えませんが、それが存在する権利は留保します。
整数の剰余で割り切れる定理
自然数を余りで割る話をしたとき、被除数a、約数b、部分商c、余りdがa=b・c+dという等式の関係があることがわかりました。 整数 a、b、c、d には同じ関係があります。 この接続は次のようにして確認されます 剰余のある可分性定理.
定理。
任意の整数 a は、整数とゼロ以外の数値 b を使用して、a=b・q+r の形式で一意に表すことができます。ここで、q と r は整数であり、 です。
証拠。
まず、a=b・q+r が表せる可能性を証明します。
整数 a と b が a が b で割り切れるような場合、定義により、a=b・q となるような整数 q が存在します。 この場合、ｒ＝０においてａ＝ｂ・ｑ＋ｒが成り立つ。
ここで、b が正の整数であると仮定します。 積 b・q が数値 a を超えず、積 b・(q+1) がすでに a より大きくなるように、整数 q を選択しましょう。 つまり、不等式 b q が成り立つように q をとります。 負の b に対して a=b・q+r を表す可能性を証明することはまだ残っています。 この場合の数 b の法は正の数であるため、q 1 が何らかの整数であり、r が条件を満たす整数であるという表現が存在します。 次に、q=−q 1 とすると、負の b に必要な表現 a=b・q+r が得られます。 一意性の証明に移りましょう。 a=b・q+r、q および r は整数 および という表現に加えて、別の表現 a=b・q 1 +r 1 があるとします。ここで、q 1 および r 1 は整数であり、q 1 ≠です。 q と 。 最初の等式の左辺と右辺からそれぞれ 2 番目の等式の左辺と右辺を減算すると、0=b・(q−q 1)+r−r 1 が得られます。これは、等式 r− と等価です。 ｒ １ ＝ｂ・（ｑ １ −ｑ）。 次に、形式の等価性 条件からそう結論付けることができます。 q と q 1 は整数であり、q≠q 1 であるため、次のように結論付けられます。 等式 a=b・c+d により、除数 b、部分商 c、および剰余 d が既知であれば、未知の被除数 a を求めることができます。 例を見てみましょう。 例。 整数 -21 で割ったとき、結果が不完全な商 5 と余り 12 になる場合、被除数の値はいくらになりますか? 解決。 除数 b=-21、部分商 c=5、剰余 d=12 がわかっている場合、被除数 a を計算する必要があります。 等式 a=b・c+d に目を向けると、a=(−21)・5+12 が得られます。 観察すると、まず、符号の異なる整数を乗算するルールに従って整数 −21 と 5 を乗算し、その後、符号の異なる整数の加算を実行します: (−21)·5+12=-105+12=-93 。 答え： −93
.
被除数、除数、部分商、剰余の間の関係は、b=(a−d):c、c=(a−d):b、d=a−b・c の形式の等式によっても表されます。 これらの等式を使用すると、除数、部分商、剰余をそれぞれ計算できます。 被除数、除数、部分商がわかっている場合、整数 a を整数 b で割ったとき、式 d=a−b・c を使用して余りを求めることがよくあります。 さらなる質問を避けるために、剰余を計算する例を見てみましょう。 例。 部分商が -7 に等しいことがわかっている場合、整数 -19 を整数 3 で割ったときの余りを求めます。 解決。 除算の余りを計算するには、d=a−b・c の形式の式を使用します。 この条件から、必要なデータはすべて a=−19、b=3、c=−7 となります。 d=a−b・c=−19−3・(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 となります（次のルールを使用して差−19−(−21)を計算しました）負の整数を減算します)。 答え： 何度も述べたように、正の整数は自然数です。 したがって、正の整数の余りによる除算は、自然数の余りによる除算のすべての規則に従って実行されます。 自然数の余りを使った割り算を簡単に実行できることは非常に重要です。これは、正の整数の割り算だけでなく、任意の整数の余りを使った割り算のすべてのルールの基礎でもあるからです。 私たちの観点からは、列の除算を実行するのが最も便利です。この方法を使用すると、不完全な商 (または単純な商) と剰余の両方を取得できます。 正の整数の余りによる除算の例を見てみましょう。 例。 14,671 を 54 で割った余り。 解決。 これらの正の整数を列で割ってみましょう。 部分商は 271 となり、余りは 37 となります。 答え： 14 671:54=271 (残り 37) 。 正の整数の余りを負の整数で除算できるルールを定式化してみましょう。 正の整数 a を負の整数 b で割った部分商は、a を b の法で割った部分商の逆であり、a を b で割った余りは、で割った余りと等しくなります。 この規則から、正の整数を負の整数で割った部分商は非正の整数であることがわかります。 前述のルールを、正の整数を負の整数で割るアルゴリズムに変換してみましょう。 正の整数を負の整数で除算するアルゴリズムの使用例を示します。 例。 正の整数 17 の余りを負の整数 -5 で割ります。 解決。 正の整数を負の整数で割るアルゴリズムを使用してみましょう。 分割することで 3 の反対の数は -3 です。 したがって、17 を -5 で割った必要な部分商は -3 となり、余りは 2 になります。 答え： 17 ：（−5）＝−3（残り2）. 例。 分ける 45×-15。 解決。 被除数と除数のモジュールはそれぞれ 45 と 15 です。 45 という数字は余りなしで 15 で割り切れ、商は 3 になります。 したがって、正の整数 45 を負の整数 -15 で剰余なしで割ると、商は 3 の反対の数、つまり -3 に等しくなります。 実際、異なる符号を持つ整数を除算するための規則によれば、次のようになります。 答え： 45:(−15)=−3
.
負の整数を正の整数で割る剰余の規則を定式化してみましょう。 負の整数 a を正の整数 b で割って不完全商 c を取得するには、元の数値の法を割って不完全商の反対の数を取り出し、そこから 1 を引いた後、余り d を計算する必要があります。式 d=a−b・c を使用します。 この剰余による除算の規則から、負の整数を正の整数で割った部分商は負の整数であることがわかります。 記載された規則から、負の整数 a を正の整数 b で除算するアルゴリズムが決まります。 剰余を伴う書式除算アルゴリズムを使用する例の解決策を分析してみましょう。 例。 負の整数 -17 を正の整数 5 で割ったときの部分商と余りを求めます。 解決。 被除数 -17 の法は 17 に等しく、除数 5 の法は 5 に等しくなります。 分割することで 17 × 5 では、部分商 3 と余り 2 が得られます。 3 の反対は -3 です。 −3 から 1 を引きます: −3−1=−4。 したがって、必要な部分商は -4 に等しくなります。 残っているのは余りを計算することだけです。 この例では、 a=−17 、 b=5 、 c=−4 となり、 d=a−b・c=−17−5・(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 となります。 。 したがって、負の整数 -17 を正の整数 5 で割った部分商は -4 となり、余りは 3 になります。 答え： (−17):5=−4(残り3) 。 例。 負の整数 -1,404 を正の整数 26 で割ります。 解決。 被除数のモジュールは 1404、除数のモジュールは 26 です。 列を使用して 1,404 を 26 で割ります。 被除数のモジュールは剰余なしで除数のモジュールで除算されるため、元の整数は剰余なしで除算され、必要な商は 54 の反対の数、つまり -54 に等しくなります。 答え： (−1 404):26=−54
.
負の整数の余りを使った割り算のルールを定式化してみましょう。 負の整数 a を負の整数 b で除算して不完全商 c を取得するには、元の数値のモジュールを除算して不完全商を計算し、それに 1 を加算した後、式 d を使用して余り d を計算する必要があります。 =a−b・c。 この規則から、負の整数を除算した部分商は正の整数であることがわかります。 負の整数を除算するためのアルゴリズムの形式で、規定のルールを書き直してみましょう。 例を解くときに、負の整数を除算するアルゴリズムの使用を考えてみましょう。 例。 負の整数 -17 を負の整数 -5 で割ったときの部分商と余りを求めます。 解決。 剰余を含む適切な除算アルゴリズムを使用してみましょう。 被除数のモジュールは 17、除数のモジュールは 5 です。 分割 17 対 5 の部分商は 3、余りは 2 になります。 不完全商 3 に 1 を加えます: 3+1=4。 したがって、-17 を -5 で割った必要な部分商は 4 に等しくなります。 残っているのは余りを計算することだけです。 この例では、 a=−17 、 b=−5 、 c=4 であるため、 d=a−b・c=−17−(−5)・4= −17−(−20)=−17+20=3 。 したがって、負の整数 -17 を負の整数 -5 で割った部分商は 4 で、余りは 3 です。 答え： (−17):(−5)=4 (残り3) 。 整数を余りで除算した後、結果を確認すると便利です。 検証は 2 段階で実行されます。 最初の段階では、剰余 d が負でない数であるかどうかがチェックされ、条件が満たされるかどうかもチェックされます。 検証の第 1 段階の条件がすべて満たされている場合は、検証の第 2 段階に進むことができます。そうでない場合は、剰余で除算するときにどこかでエラーが発生したと主張することができます。 第 2 段階では、等式 a=b・c+d の妥当性が検査されます。 この等価性が真である場合、剰余による除算は正しく実行され、そうでない場合はどこかでエラーが発生したことになります。 整数を剰余で割った結果をチェックする例の解決策を見てみましょう。 例。 数値 -521 を -12 で割ると、部分商は 44、余りは 7 になります。結果を確認してください。 解決。 b=-3、c=7、d=1の場合は-2。 我々は持っています b・c+d=−3・7+1=−21+1=−20。 したがって、等式 a=b・c+d は正しくありません (この例では、a=−19)。 したがって、剰余による除算が誤って実行されました。 この記事では、整数を剰余で除算する概念について検討します。 整数の余りによる割り切れる定理を証明し、被除数と約数、不完全商と余りの間の関係を見てみましょう。 整数を余りで割るときのルールを、例を使って詳しく見てみましょう。 ソリューションの最後にチェックを実行します。 整数の余りのある除算は、自然数の余りのある一般化された除算と見なされます。 これは、自然数が整数の構成要素であるために行われます。 任意の数の余りによる除算は、整数 a をゼロ以外の数 b で割ることを意味します。 b = 0 の場合、剰余で除算しません。 自然数を余りで割るのと同じように、整数 a と b (b はゼロではない) を c と d で割ります。 この場合、a と b は被除数と除数と呼ばれ、d は除算の余り、c は整数または不完全商です。 剰余が非負の整数であると仮定すると、その値は数値 b の法を超えません。 このように書きましょう: 0 ≤ d ≤ b。 この一連の不等式は、3 つ以上の数値を比較するときに使用されます。 c が不完全商の場合、d は整数 a を b で割った余りであり、簡単に述べると、a: b = c (余り d) となります。 数値 a を b で割ったときの余りが 0 になる可能性があり、その場合、a は完全に b で割り切れる、つまり余りがないと言います。 剰余のない除算は、除算の特殊なケースとみなされます。 ゼロをある数値で割ると、結果はゼロになります。 割り算の余りもゼロになります。 これは、ゼロを整数で割る理論から追跡できます。 ここで、整数を余りで割る意味を見てみましょう。 正の整数は自然数であることが知られており、余りで割った場合、自然数を余りで割った場合と同じ意味になります。 負の整数 a を正の整数 b で割ることは理にかなっています。 例を見てみましょう。 a の金額の商品の借金があり、それを b 人が返済する必要がある状況を想像してください。 これを達成するには、誰もが平等に貢献する必要があります。 それぞれの負債の額を決定するには、プライベートの価値に注意を払う必要があります。 余り d は、借金を返済した後の項目の数がわかっていることを示します。 リンゴの例を見てみましょう。 2 人が 7 個のリンゴを借りているとします。 全員が 4 個のリンゴを返さなければならないと計算すると、完全に計算した後は 1 個のリンゴが残ります。 これを等式として書きましょう: (− 7) : 2 = − 4 (from t. 1) 。 任意の数値 a を整数で割ることは意味がありませんが、オプションとして可能です。 a が被除数、b が除数、c が部分商、d が剰余であることがわかりました。 それらは互いにつながっています。 この関係を等式 a = b · c + d を使用して示します。 それらの間の関係は、剰余を伴う可分性定理によって特徴付けられます。 定理 任意の整数は、a = b · q + r (q と r は整数) のように、整数とゼロ以外の数値 b によってのみ表現できます。 ここで、0 ≤ r ≤ b です。 a = b · q + r が存在する可能性を証明しましょう。 証拠 2 つの数 a と b があり、a が余りなしで b で割り切れる場合、定義から、数 q が存在し、等式 a = b · q が成り立ちます。 この場合、等式は真であると考えることができます。つまり、r = 0 の場合、a = b · q + r となります。 次に、不等式 b · q で与えられるような q を取る必要があります。< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . 式 a − b · q の値がゼロより大きく、数値 b の値以下であることがわかり、r = a − b · q となります。 数値 a は、a = b · q + r の形式で表すことができることがわかります。 ここで、b の負の値に対して a = b · q + r を表すことを検討する必要があります。 数値の係数が正であることが判明すると、a = b · q 1 + r が得られます。ここで、値 q 1 は整数、r は条件 0 ≤ r を満たす整数です。< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . 一意性の証明 a = b q + r、q および r が整数であり、条件 0 ≤ r true であると仮定します。< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q1そして r1はいくつかの数字です q 1 ≠ q、0 ≤ r 1< b . 左辺と右辺から不等式を引くと、0 = b · (q − q 1) + r − r 1 が得られます。これは、r - r 1 = b · q 1 - q と等価です。 モジュールを使用するので、r - r 1 = b · q 1 - q という等式が得られます。 与えられた条件は 0 ≤ r を示します< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qそして q1- 全体、そして q ≠ q 1、q 1 - q ≥ 1 となります。 ここから、 b · q 1 - q ≥ b が得られます。 結果として得られる不等式 r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. したがって、数値 a は、a = b · q + r と書く以外の方法では表現できないということになります。 等式 a = b · c + d を使用すると、不完全商 c と剰余 d を持つ除数 b が既知の場合、未知の被除数 a を求めることができます。 例1 除算すると - 21、部分商が 5、余りが 12 になる場合の被除数を求めます。 解決
既知の除数 b = − 21、不完全商 c = 5、剰余 d = 12 を使用して被除数 a を計算する必要があります。 a = b · c + d という等式に目を向ける必要があります。ここから、a = (− 21) · 5 + 12 が得られます。 アクションの順序に従うと、- 21 に 5 を掛けて、(− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 が得られます。 答え： - 93 . 除数と部分商および剰余の関係は、 b = (a − d) : c 、 c = (a − d) : b および d = a − b · c という等式を使用して表現できます。 彼らの助けを借りて、約数、部分商、余りを計算できます。 これは、整数 a を b で割ったときの剰余を、既知の被除数、除数、部分商を使って常に求めることになります。 d = a − b · c という式が適用されます。 解決策を詳しく考えてみましょう。 例 2 整数 - 19 を整数 3 で割ったときの余りを、既知の不完全商 - 7 で求めます。 解決
除算の余りを計算するには、d = a − b · c の形式の式を適用します。 条件により、a = − 19、b = 3、c = − 7 のすべてのデータが利用可能です。 ここから、 d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (差 − 19 − (− 21) となります。この例は計算されます。減算ルールを使用して負の整数を計算します。 答え： 2 . すべての正の整数は自然数です。 したがって、割り算は自然数の余りを使った割り算のすべての規則に従って実行されることになります。 自然数の余りによる割り算の速度は、正の数の割り算だけでなく、任意の整数の割り算の規則にも基づいているため、重要です。 最も便利な除算方法は列による除算です。これは、不完全な商、または剰余のある単純な商を取得する方が簡単かつ迅速であるためです。 解決策をさらに詳しく見てみましょう。 例 3 14671 を 54 で割ります。 解決
この分割は列内で行う必要があります。 つまり、部分商は 271 に等しく、余りは 37 です。 答え： 14,671:54 = 271。 (残り37) 正の数の余りを負の整数で割るには、ルールを立てる必要があります。 定義 1 正の整数 a を負の整数 b で割った不完全商は、数値 a の法を b で割った不完全商の反対の数を生成します。 この場合、余りは a を b で割った余りと等しくなります。 したがって、正の整数を負の整数で割った不完全商は非正の整数とみなされます。 アルゴリズムを取得します。 正の整数を負の整数で除算するアルゴリズムの例を見てみましょう。 例 4 余り17を-5で割ります。 解決
正の整数を負の整数で剰余で割るアルゴリズムを適用してみましょう。 17 を -5 を法として除算する必要があります。 ここから、部分商は 3 に等しく、余りは 2 に等しいことがわかります。 必要な数は、17 を - 5 = - 3 で割って余りが 2 になることから得られます。 答え： 17: (− 5) = − 3 (残り 2)。 例5 45 を -15 で割る必要があります。 解決
数値を剰余として割る必要があります。 数値 45 を 15 で割ると、余りのない商 3 が得られます。 これは、数値 45 は余りなしで 15 で割り切れることを意味します。 除算はモジュロで実行されるため、答えは - 3 です。 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 答え： 45: (− 15) = − 3 . 余りのある除算のルールの定式化は次のとおりです。 定義 2 負の整数 a を正の b で割るときに不完全商 c を取得するには、指定された数値の逆を適用してそこから 1 を引く必要があります。その後、剰余 d は次の式で計算されます。 d = a − b・c． ルールに基づいて、除算すると負ではない整数が得られると結論付けることができます。 解の精度を確保するには、a を b で割った余りを求めるアルゴリズムを使用します。 このアルゴリズムが使用されるソリューションの例を見てみましょう。 例6 17 × 5 の除算の部分商と余りを求めます。 解決
与えられた数値を剰余で割ります。 割ると商は3、余りは2になることがわかります。 3 が出たので、その逆は 3 になります。 1を引く必要があります。 − 3 − 1 = − 4 . 望ましい値は - 4 です。 余りを計算するには、a = − 17、b = 5、c = − 4、そして d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = ３． これは、割り算の不完全商が数値 - 4 で、余りが 3 であることを意味します。 答え：(− 17) : 5 = − 4 (残り 3)。 例 7 負の整数 - 1404 を正の 26 で割ります。 解決
カラムごと、モジュールごとに分ける必要があります。 剰余のない数値モジュールの割り算が得られました。 これは、剰余なしで除算が実行され、必要な商 = - 54 になることを意味します。 答え： (− 1 404) : 26 = − 54 . 負の整数の余りによる除算のルールを定式化する必要があります。 定義 3 負の整数 a を負の整数 b で割って不完全商 c を求めるには、モジュロ計算を実行してから 1 を加算する必要があります。その後、式 d = a − b · c を使用して計算を実行できます。 したがって、負の整数を除算した不完全商は正の数になります。 このルールをアルゴリズムの形式で定式化してみましょう。 例を使用してこのアルゴリズムを見てみましょう。 例8 - 17 を - 5 で割ったときの部分商と余りを求めます。 解決
解を正確にするために、剰余による除算のアルゴリズムを適用します。 まず、数値を剰余で割ります。 これから、部分商 = 3、余りは 2 であることがわかります。 ルールによれば、不完全商と 1 を加算する必要があります。 3 + 1 = 4 が得られます。 ここから、指定された数値を除算した部分商は 4 に等しいことがわかります。 残りを計算するには、次の式を使用します。 条件により、a = − 17、b = − 5、c = 4 となり、式を使用すると、 d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = となります。 − 17 + 20 = 3 。 必要な答え、つまり剰余は 3 に等しく、部分商は 4 に等しくなります。 答え：(− 17) : (− 5) = 4 (残り 3)。 数値を剰余で除算した後、チェックを実行する必要があります。 このチェックには 2 つの段階があります。 まず、剰余 d が非負であるかどうかがチェックされ、条件 0 ≤ d が満たされます。< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. 例を見てみましょう。 例9 除算は - 521 by - 12 で行われます。 商は44、余りは7です。 チェックを実行します。 解決
剰余は正の数であるため、その値は除数の係数より小さくなります。 除数は - 12、つまり係数が 12 であることを意味します。 次のチェックポイントに進むことができます。 条件により、a = − 521、b = − 12、c = 44、d = 7 となります。 ここから b · c + d を計算します。ここで、b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 となります。 したがって、等価性が真であることがわかります。 検証に合格しました。 例 10 除算チェックを実行します (− 17): 5 = − 3 (残り − 2)。 平等って本当ですか？ 解決
最初の段階のポイントは、整数の余りによる割り算をチェックする必要があるということです。 このことから、-2 に等しい剰余が与えられたため、アクションが間違って実行されたことは明らかです。 余りは負の数ではありません。 2 番目の条件は満たされていますが、この場合には十分ではありません。 答え：いいえ。 例 11 数字 - 19 を - 3 で割った。 部分商は 7 で、余りは 1 です。 この計算が正しく行われたかどうかを確認してください。 解決
1 に等しい剰余が与えられます。 彼はポジティブだ。 値は分周器モジュールより小さいので、最初のステージが完了していることを意味します。 第二段階に進みましょう。 式 b · c + d の値を計算してみましょう。 条件により、b = − 3、c = 7、d = 1 となり、数値を代入すると b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 となります。 この条件では a = - 19 が得られるため、a = b · c + d という等式は成り立ちません。 このことから、分割がエラーで行われたことがわかります。 答え：いいえ。 テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。 数が割り切れる兆候- これらは、この数値が指定された数値で余りなしで割り切れるかどうかを、割ることなく比較的迅速に調べることができるルールです。 これは、割り切れる可能性を示す最も単純な兆候の 1 つです。 次のようになります。自然数の表記が偶数で終わる場合、その数は偶数（剰余なしで 2 で割り切れます）、自然数の表記が奇数で終わる場合、この数は奇数です。 この割り算の記号にはまったく異なる規則があります。数値の桁の合計が 3 で割り切れる場合、その数値は 3 で割り切れます。 数値の桁の合計が 3 で割り切れない場合、その数値は 3 で割り切れません。 この可分性の兆候はさらに複雑になります。 数値の最後の 2 桁が 4 で割り切れる数値を形成するか、それが 00 の場合、その数値は 4 で割り切れます。そうでない場合、与えられた数値は余りがなければ 4 で割り切れません。 そしてまた、割り算の非常に単純な記号があります: 自然数の表記が数値 0 または 5 で終わる場合、この数値は余りなしで 5 で割り切れます。数値の表記が別の数字で終わる場合、数値は余りを持たずに 5 で割り切れません。 私たちの前には、数値 2 と数値 3 の積である合成数 6 があります。したがって、6 で割り切れる符号も合成です。数値が 6 で割り切れるためには、その数値は次の 2 つの符号に対応する必要があります。割り算は、2 で割り切れる符号と 3 で割り切れる符号を同時に表します。 4 のような合成数は、それ自体が数 2 の積であるため、割り算の個別の符号を持つことに注意してください。 しかし、6 で割り切れるかどうかのテストに戻りましょう。 この割り算のテストはさらに複雑です。ある数字が 7 で割り切れるのは、この数字の 10 の位から最後の 1 桁の 2 倍を引いた結果が 7 で割り切れるか、0 に等しい場合です。 8 で割り切れるかどうかのテストは次のようになります。最後の 3 桁が 8 で割り切れる数値、または 000 の場合、指定された数値は 8 で割り切れます。 この割り切れる符号は、3 で割り切れる符号と似ています。つまり、数値の桁の合計が 9 で割り切れる場合、その数値は 9 で割り切れます。 数値の桁の合計が 9 で割り切れない場合、その数値は 9 で割り切れません。 これらの割り算の記号を組み合わせたのは、同じ方法で説明できるためです。数値の末尾のゼロの数が、指定された桁単位のゼロの数以上である場合、数値は桁単位で除算されます。 。 数値が 11 で割り切れるかどうかを調べるには、その数値の偶数桁と奇数桁の合計の差を求める必要があります。 この差が 0 に等しい場合、または余りなしで 11 で割り切れる場合、数値自体は余りなしで 11 で割り切れます。 12 という数字は合成です。 その割り算の記号は、同時に 3 と 4 で割り切れる記号に準拠しています。 13 で割り切れるという記号は、この数の単位に 4 を掛けた数の 10 の位が 13 の倍数または 0 に等しい場合、その数自体が 13 で割り切れるということです。 上記からわかるように、どの自然数についても、その数が複数の異なる数の倍数である場合には、独自の割り算の符号または「合成」符号を選択できると想定できます。 しかし、実践が示すように、一般に数値が大きくなるほど、その符号はより複雑になります。 割り算基準のチェックに費やされる時間が、割り算自体と同じかそれ以上になる可能性があります。 そのため、私たちは通常、可算性の最も単純な記号を使用します。
、そして数の係数の性質により、等式は 
.
。 得られた不等式から、 したがって、形式が等しいことがわかります。 私たちの想定では不可能です。 したがって、数 a は a=b・q+r 以外に表現できません。被除数、除数、部分商、剰余の関係
正の整数の余りによる除算、例
正の整数を負の整数で剰余で割る規則、例
負の整数の余りを正の整数で除算する例
負の整数の剰余を含む除算ルール、例
整数を剰余で除算した結果を確認する
整数の余りによる除算についての一般的な理解
整数の剰余で割り切れる定理
被除数、除数、部分商、剰余の関係
正の整数を負の整数で剰余で割る規則、例
負の整数の剰余を含む除算ルール、例
整数を剰余で除算した結果を確認する
いくつかの 割り切れる兆し非常に単純なものもあれば、より複雑なものもあります。 このページでは、2、3、5、7、11 などの素数の割り切れる記号と、6 や 12 などの合成数の割り切れる記号の両方を見つけることができます。
この情報がお役に立てば幸いです。
楽しく学習しましょう！ 2 で割り切れるかどうかをテストする
つまり、数値の最後の桁が 2
, 4
, 6
, 8
または 0
- 数値が 2 で割り切れる場合、そうでない場合は割り切れません。
たとえば、数字: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
偶数なので2で割り切れます。
数字:23 5
, 137
, 2303
奇数なので 2 で割り切れません。 3 で割り切れるかどうかをテストする
つまり、ある数値が 3 で割り切れるかどうかを理解するには、その数値を構成する数値を加算するだけで済みます。
次のようになります。最初のケースでは 3+9+8+7= であるため、3987 と 141 は 3 で割り切れます。 27
(27:3=9 - 3 で割り切れます)、2 番目では 1+4+1= 6
(6:3=2 - 3でも割り切れます)。
しかし、2+3+5= であるため、235 と 566 という数字は 3 で割り切れません。 10
そして5+6+6= 17
(そして、10 も 17 も余りがなければ 3 で割り切れないことはわかっています)。 4 で割り切れるかどうかをテストする
例: 1 00
そして3 64
最初のケースでは数値が で終わるため、 は 4 で割り切れます。 00
、そして2番目では 64
、剰余なしで 4 で割り切れます (64:4=16)。
ナンバーズ 3 57
そして8 86
どちらも4で割り切れないので、 57
どちらでもない 86
は 4 で割り切れません。これは、この割り算の基準に該当しないことを意味します。 5 で割り切れるテスト
これは、数字で終わる数字はすべて、 0
そして 5
、たとえば 1235 5
そして43 0
、ルールに該当し、5 で割り切れます。
そして、たとえば 1549 年 3
そして56 4
数値 5 または 0 で終わることはできません。つまり、剰余なしで 5 で割ることはできません。 6 で割り切れるかどうかをテストする
数値 138 と 474 は偶数で、3 で割り切れる基準 (1+3+8=12、12:3=4 および 4+7+4=15、15:3=5) を満たしています。つまり、割り切れます。しかし、123 と 447 は、3 で割り切れますが (1+2+3=6、6:3=2 および 4+4+7=15、15:3=5)、奇数です。は、2 で割り切れる基準に対応しないため、6 で割り切れる基準に対応しないことを意味します。 7 で割り切れるかどうかをテストする
かなり複雑に聞こえますが、実際には簡単です。 自分の目で見てください: その数字 95
9は7で割り切れるので、 95
-2*9=95-18=77、77:7=11 (77 を余りなしで 7 で割ります)。 さらに、変換中に得られた数値に問題が生じた場合 (そのサイズにより、7 で割り切れるかどうかを理解するのが困難です)、この手順は必要と思われる回数だけ続行できます。
例えば、 45
5と 4580
1 は 7 で割り切れるという性質があります。最初のケースでは、すべてが非常に単純です。 45
-2*5=45-10=35、35:7=5。 2 番目のケースでは、これを実行します。 4580
-2*1=4580-2=4578。 かどうかを理解するのは困難です 457
8 x 7 なので、このプロセスを繰り返しましょう。 457
-2*8=457-16=441。 まだ 3 桁の数値が目の前にあるので、もう一度割り切りテストを使用します。 44
1. それで、 44
-2*1=44-2=42、42:7=6、つまり 42 は剰余なしで 7 で割り切れます。つまり、45801 は 7 で割り切れます。
ここに数字があります 11
1と 34
5 は 7 で割り切れないので、 11
-2*1=11-2=9 (9 は 7 で割り切れません)、および 34
-2*5=34-10=24 (24 は余りがなければ 7 で割り切れません)。 8 で割り切れるテスト
ナンバーズ 1 000
または1 088
8 で割り切れる: 最初の値は で終わります。 000
、 二番目 88
:8=11 (余りなしで 8 で割り切れます)。
そしてここに数字1があります 100
または4 757
数値は 8 で割り切れないので、 100
そして 757
余りを持たずに 8 で割り切れません。 9で割り切れるテスト
例: 3987 と 144 は、最初のケースでは 3+9+8+7= であるため、9 で割り切れます。 27
(27:9=3 - 剰余なしで 9 で割り切れます)、2 番目の 1+4+4= 9
(9:9=1 - 9でも割り切れます)。
しかし、2+3+5= であるため、235 と 141 という数字は 9 で割り切れません。 10
そして1+4+1= 6
(そして、10 も 6 も余りを持たずに 9 で割り切れないことはわかっています)。 10、100、1000、およびその他の桁単位で割り切れる記号
つまり、たとえば次のような数字があります: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
。 そのうちすべて 1 で割り切れます 0
; 46400
そして867 000
も 1 で割り切れます 00
; そのうちの 1 つだけが 867 です 000
1で割り切れる 000
.
末尾のゼロが桁単位より少ない数値は、その桁単位で割り切れません (例: 600) 30
そして7 93
割り切れない 1 00
.11 で割り切れるテスト
より明確にするために、例を見ることをお勧めします。 2
35
4 は 11 で割り切れます。なぜなら ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 は 11 でも割り切れます。なぜなら ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
こちらが1です 1
1 または 4
35
最初のケースでは (1+1)- が得られるため、4 は 11 で割り切れません。 1
=1、そして 2 番目の ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.12 で割り切れるテスト
たとえば、300 と 636 は、4 で割り切れる符号 (最後の 2 桁がゼロであるか、4 で割り切れる) と 3 で割り切れる符号 (最初と 3 番目の数字の両方の桁の合計が割り切れる) の両方に対応します。 by 3) ですが、最終的には余りなしで 12 で割り切れます。
しかし、200 または 630 は 12 で割り切れません。最初の場合、数値は 4 で割り切れる基準のみを満たし、2 番目の場合は 3 で割り切れる基準のみを満たしますが、両方の基準を同時に満たすわけではないからです。 13 で割り切れるテスト
たとえば 70
2. それで、 70
+4*2=78、78:13=6 (78 は剰余なしで 13 で割り切れます)、つまり 70
2 は余りなしで 13 で割り切れます。 別の例は数字です 114
4. 114
+4*4=130、130:13=10。 数値 130 は余りなしで 13 で割り切れます。これは、指定された数値が 13 で割り切れる基準に対応することを意味します。
数字を取ってみると 12
5または 21
2、すると、 12
+4*5=32 および 21
それぞれ +4*2=29 であり、32 も 29 も余りがなければ 13 で割り切れません。これは、指定された数値が余りがなければ 13 で割り切れないことを意味します。数の割り算
