ユークリッド空間の例の定義。 ユークリッド空間の定義
ユークリッド空間の定義
定義1. 実線形空間は次のように呼ばれます。 ユークリッド、 もし 任意の 2 つのベクトルを関連付ける操作を定義します。 バツそして yこれから ベクトルのスカラー積と呼ばれる空間番号 バツそして yそして示される(x,y)、次の条件が満たされます。
1. (x, y) = (y, x);
2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) 、ここで z- 指定された線形空間に属する任意のベクトル。
3. (?x,y) = ? (x,y) 、ここで ? - いずれかの番号;
4. (x,x) ? 0 、および (x,x) = 0 x = 0。
たとえば、1 列行列の線形空間では、ベクトルのスカラー積
次の式で定義できます
次元のユークリッド空間 n Enを示します。 気づいてください、それは ユークリッド空間には有限次元と無限次元の両方があります。
定義 2. ベクトル x の長さ (係数) ユークリッド空間でえん 呼ばれた (xx)これを次のように表します: |x| = (xx)。 ユークリッド空間内の任意のベクトルに対して長さがあり、ゼロベクトルの場合、それはゼロに等しくなります。
非ゼロベクトルの乗算 バツ数字ごとに 、ベクトルを取得します、 長さ これは 1 に等しい。 この操作はと呼ばれます 配給 ベクター バツ.
たとえば、1 列の行列の空間では、ベクトルの長さは は次の式で定義できます。 
コーシー・ブニャコフスキーの不等式
×にしましょうか？ エンとイ? En は任意の 2 つのベクトルです。 次の不等式がそれらについて成り立つことを証明しましょう。
(コーシー-ブニャコフスキーの不等式)
証拠。 そうしましょうか？ - 任意の実数。 それは明らかです (?x ? y,?x ? y) ? 0. 一方、スカラー積の性質により、次のようにすることができます。書く
わかった
この平方三項式の判別式は正になることはできません。つまり、 、以下のようになります。
不平等が証明されました。
三角不等式
させて バツそして yはユークリッド空間 En の任意のベクトルです。 バツ? と y? en。
それを証明しましょう 
。 （三角不等式）。
証拠。
それは明らかです 
反対側では、.
コーシー-ブニャコフスキーの不等式を考慮すると、次のようになります。
三角不等式が証明されました。
ユークリッド空間ノルム
定義 1 . 線形空間?呼ばれた メトリックあれば、 この空間の 2 つの要素 バツそして y非負の割り当て番号？ (x,y)、間の距離と呼ばれます バツそして y , (? (x,y)? 0) 、および条件 (公理):
1) ? (x,y) = 0 バツ = y
2) ? (x,y) = ? (y,x)（対称）;
3) 任意の 3 つのベクトルについて バツ, yそして zこの空間？ (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).
コメント。 計量空間の要素は通常、ポイントと呼ばれます。
さらに、ユークリッド空間 En はメートル法であり、 ベクトルx? エンとイ? えんが取れる バツ ? y.
たとえば、1 列の行列の空間では、次のようになります。
したがって
定義 2 . 線形空間?呼ばれた 正規化された、 もし それぞれのベクトル バツこの空間からは、ネガティブではない 彼に電話した番号 標準 バツ。 この場合、次の公理が満たされます。
ノルム空間が計量空間であることは簡単にわかります。 財産。 確かに、間の距離としては、 バツそして y取っていいよ 。 ユークリッドでは空間 En をベクトル x のノルムとして? En はその長さとみなされ、それらの。 。
したがって、ユークリッド空間 En は計量空間であり、さらに、 ユークリッド空間 En は標準空間です。
ベクトル間の角度
定義 1
. 非ゼロベクトル間の角度 あるそして bユークリッド空間E nその番号の名前を言ってください 
定義 2 . ベクトル バツそして yユークリッド空間 En呼ばれた 直交亜麻、等式を満たす場合 (x,y) = 0.
もし バツそして yがゼロ以外の場合、定義から、それらの間の角度は以下に等しいことがわかります。
ヌル ベクトルは、定義上、どのベクトルに対しても直交しているとみなされることに注意してください。
例 。 幾何学的（座標）空間では?3、これは ユークリッド空間の特殊な場合、orts 私, jそして k相互に直交している。
正規直交基底
定義 1 . 基礎 e1ユークリッド空間 En の ,e2 ,...,en と呼ばれます 直交亜麻、この基底のベクトルがペアごとに直交する場合、つまり もし
定義 2 . 直交基底のすべてのベクトル e1 の場合、 e2 、...、en は単一です。つまり、 e i = 1 (i = 1,2,...,n) の場合、基底が呼び出されます。 正規直交、つまり のために正規直交基底
定理。 (正規直交ベースの構築に基づいて)
すべてのユークリッド空間 E n には正規直交基底があります。
証拠 。 この場合の定理を証明しましょう n = 3.
E1 、E2 、E3 をユークリッド空間 E3 の任意の基底とする 正規直交基底を構築しましょうこの空間で。どこに置きましょう ? - 選択した実数(e1 ,e2 ) = 0 となると、次のようになります。
そして明らかに何ですか？ = 0 E1 と E2 が直交する場合、つまり この場合、 e2 = E2 、および 、 なぜなら は基底ベクトルです。
(e1 ,e2 ) = 0 と考えると、次のようになります。 
明らかに、 e1 と e2 がベクトル E3 と直交している場合、つまり、 この場合、 e3 = E3 を取る必要があります。 ベクトルE3? 0 、なぜなら E1、E2、および E3 は線形独立であり、それでe3？ 0.
さらに、上記の推論から、e3 は次の形式で表現できないことがわかります。 ベクトル e1 と e2 の線形結合。したがって、ベクトル e1 、 e2 、 e3 は線形独立です。sims はペアごとに直交しているため、ユークリッドの基礎として取ることができます。スペース E3 。 構築された基礎を正規化するだけで十分です。構築された各ベクトルをその長さで除算します。 それから、私たちは得ます
それで私たちは基礎を築きました は正規直交基底です。 定理は証明されました。
任意の正規直交基底を構築する応用手法 基礎と呼ばれる 直交化処理 。 証明の過程で注意してください定理により、ペアごとの直交ベクトルは線形独立であることが証明されました。 を除外するもし が En の正規直交基底である場合、任意のベクトル x について? えん分解は 1 つだけです
ここで、 x1 、 x2 、...、 xn は、この正規直交基底におけるベクトル x の座標です。
なぜなら
次に、スカラー等価性 (*) を乗算します。、 我々が得る 
.
以下では、正規直交基底のみを考慮します。 書きやすくするために、基底ベクトルの上にゼロを付けます。私たちはドロップします。
このようなベクトル空間に対応します。 この記事では、最初の定義を初期定義として扱います。
N (\表示スタイル n)-次元ユークリッド空間は次のように表されます。 E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)この表記法もよく使用されます (空間がユークリッド構造を持つことが文脈から明らかな場合)。
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✪ 04 - 線形代数。 ユークリッド空間
✪ 非ユークリッド幾何学。 パート 1。
✪ 非ユークリッド幾何学。 パート2
✪ 01 - 線形代数。 線形(ベクトル)空間
✪ 8. ユークリッド空間
字幕
正式な定義
ユークリッド空間を定義するには、主な概念として捉えるのが最も簡単です。 スカラー積。 ユークリッド ベクトル空間は次のように定義されます。 有限次元 ベクトル 空間その上 分野 実数、そのベクトルに基づいて 実数値関数 (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)次の 3 つのプロパティを使用します。
ユークリッド空間の例 - 座標空間 R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)考えられるすべての実数タプルで構成される (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)次の式で決定されるスカラー積 (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n 。 (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n)。)
長さと角度
ユークリッド空間上で与えられるスカラー積は、幾何学的概念を導入するのに十分です 長さそして 角度。 ベクトルの長さ u (\displaystyle u)として定義される (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))そして示される | あなた | 。 (\displaystyle |u|.)内積の正定性により、非ゼロ ベクトルの長さが非ゼロであることが保証され、双線形性から次のことが得られます。 | う | = | | | あなた | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)つまり、比例ベクトルの長さは比例します。
ベクトル間の角度 u (\displaystyle u)そして v (\displaystyle v)式によって決定されます φ = arccos ((x, y) | x | | y |) 。 (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)。から コサイン定理 2 次元ユークリッド空間 ( ユークリッド平面) この角度の定義は次のものと一致します。 普通。 3 次元空間の場合と同様に、直交ベクトルは、間の角度が次の値に等しいベクトルとして定義できます。 π 2 。 (\displaystyle (\frac (\pi )(2))。
コーシー・ブニャコフスキー・シュワルツ不等式と三角不等式
上記の角度の定義にはギャップが 1 つ残っています。 arccos ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))が定義された場合、不等式が成立する必要があります。 | (x, y) | × | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)この不等式は実際に任意のユークリッド空間で成立し、次のように呼ばれます。 不平等 コーシー - ブニャコフスキー - シュワルツ。 この不等式が意味するのは、 三角不等式 : | u+v | ⩽ | あなた | + | v | 。 (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|)三角不等式と上記の長さのプロパティは、ベクトルの長さが次のとおりであることを意味します。 標準ユークリッドベクトル空間と関数 d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)ユークリッド空間上の構造を定義します メートル空間(この関数は ユークリッド計量）。 特に要素（点）間の距離 x (\表示スタイル x)そして y (\表示スタイル y)座標空間 R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))式で与えられる d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 。 (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2)))。
代数的性質
正規直交基底
二重空間と演算子
任意のベクトル x (\表示スタイル x)ユークリッド空間の定義 線形関数 x ∗ (\displaystyle x^(*))この空間上で、次のように定義されます x ∗ (y) = (x , y) 。 (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y)。)この写像は、ユークリッド空間と
クズマ・セルゲイビッチ・ペトロフ＝ヴォドキン
ユークリッド空間
明るく独創的なロシアの芸術家、グラフィックアーティスト、芸術理論家であるクズマ・セルゲイヴィチ・ペトロフ＝ヴォドキン（1878-1939）は、作家としても有名になり、そのスキルと表現方法は独創性において絵画に劣りません。 「ユークリッドの空間」は自伝的作品「私の物語」（「クリノフスク」）の続編であり、ロシアの回想録の最高のページに属します。 口頭物語のイントネーションが実際に聞こえるこの生き生きとしたエネルギーに満ちた散文は、繊細で深いマスターの豊かな印象と経験をすべて伝えます。
第2章
第 3 章
第四章
第五章
第6章
第 7 章
目は8番目
第9章
第十章
第11章
第12章
第13章
第十四章
第十五章
第十六章
第十七章
第十八章
第十九章
第二十章
第二十一章
第二十二章
第一章
巣からの出発
期末試験までに、私たち小学生は、自分でも気づかないうちに成長しました。 皆の胸が膨らみ、落ち着いた。 顔はますます心配になった。 私たちの声は荒くなり、女の子についてより大胆に話しました。
しかし、彼らは両親からゆっくりと喫煙を始めました。 タバコの煙による吐き気と嫌悪感を克服した私たちは、煙と同時に発せられる言葉を緊張させながら、指の間にタバコを挟んで口の隅で一服するジェスチャーを練習しました。
会話がよりスマートになりました。 私たちは 1 年前には考えもしなかった問題に取り組んでいます。 差し迫った問題は、特定の職業の利点と意味でした。誰もが自分の進路を自分で計画したり、両親が誰に計画したりしましたが、フリノフスクに取り返しのつかないほどこぼれると決心した人はほとんどおらず、教育の荷物が不足していることに気づいている人もほとんどいませんでした。補充する必要性はそれほど多くありませんでした。
私たちは校庭に座っています - ピョートル・アントノビッチは体調が悪いです - 私たちは体調不良の原因を知っています - スヴォーロフ川のビュッフェで、私たちは座って自分たちの仮定について話し合っています。
私はモスクワの通りを掃除するつもりだが、クリノフスクには留まらない！ -私たちの詩人、ロマンチックなポズドヌホフは言います。 彼は孤児です。 ポズドヌホフと一緒に孤児だった叔父も豆で、小枝で家具を作りました。 そこで叔父は、甥を「高度科学」に連れて行ったのだから、今度は甥に食事を与えることにした。
私は歩いて行きます、-ポズドヌホフは続けます、-荷物の準備ができています：プーシキンの本、40コペイカと冬の間乾燥させたクラッカー...
そして、その男が自分の話した内容を守るだろうということは明らかでした。
ペティア・シビリャコフは陽気ではありません、彼は内部に爆発物を持っていますが、柔らかすぎます：彼は貿易会社にサラトフに送られます。 郵便配達員の息子であるクズネツォフは、父の電信職員としての職業を引き継ぐことになる。 キラ・トゥーティンは「メカニックの高さ」をマスターしなければなりません - これは彼の決断です。 彼の運命にとって最も穏やかなのはヴァシャ・セロフです。彼は人生を一直線に進み、彼の心は明晰で粘り強く、彼の道から脇に寄らない者は誰でも自分自身で倒れます。 裸の真実の論理によって、ヴァシャは彼のすべての弱点を克服し、愛と哀れみと惑星間の謎によって、現在の長さと幅を均等にするために、過去と未来に対する理性のバルブを閉じるでしょう。
3人の生徒は鉄道学校に預けられることになっていた。
あなたも？ - 私に連絡して。 でも分からない、あるいは逆に、自分の傾向はよくわかっているけど、明確な行動の形を持っていない、目の前に横たわる回り道の匂いを嗅いでいる、何かがあるかどうかさえ分からない私に適した学校、そして私がやりたいことを何と呼ぶか - 結局のところ、私はクリノフスクで新しい職業を開拓した先駆者でした。
私たちのサークルは無神経だ、教訓は明らかだと彼に説明してください。 彼は仕事の闇を恐れることはなく、それを笑いもしないが、それは、仕事に長距離の転移性がなくなり、その有用性が正当化されるためだけである。 そして、アーティストという職業をどうやって正当化できるのでしょうか？
鉄道にも行きます！ - 私は私の中で熟したばかりの決断を仲間たちに表明します - 教えを中断せず、何かから人生を始めることが必要でした。
卒業生の中には、セロフとトゥーティンという二人の新郎がいました。
セロフは学校全体に５点満点で合格した。 彼にはゲームやいたずらに対する空想はありませんでした。 彼は今までのすべての教材を知っていました。 彼は助けを求めてくる仲間を拒まなかったが、何かを知らないということは彼にとって非常に不自然に思えたので、彼の助けは傲慢に見え、いつも助けを求める人々の虚栄心をわずかに刺すものであった。
ヴァシャの大きな頭と黒い目は、口角のしかめっ面と相まって嘲笑的で不親切に見え、疑いのない学校の真実を吐き出すこの頭は、私にとって多くの観察の対象でした。 私は彼に対して冷たかったが、その中には数学の公式、ヴァリャン派の使命、そして教理問答がぎっしり詰まった彼の頭脳箱に感嘆せずにはいられなかった。 低く響く声で教訓に答えたセロフは、いわば斜辺の正方形に脚を建てるよう命令し、リューリック、シネウス、トルーヴァーは疑いもなくロシアを所有するようになり、信条のメンバーは必然性を石板で刷り込んだ。
そのような専制的な絶対性に対して私の中には意見の相違がありましたが、私は彼の結論に屈せずにはいられませんでした。
まあ、このバスカは賢いです、と笑いながらグリシャ・ユルキンは言いました、本当に、神によって、彼は警察官の中に潜り込むでしょう！
極端か率直かはわかりませんが、私たちの牧師はセロフを十分に理解できませんでした。 彼は彼を叱責した、それは起こった、教訓だ、そして大司祭はカソックとアヒルのひだを優しくひげになじませてため息をつき、自分の舌を絡めたヴァシャの雄弁に溶け込んだ。
司教がいればいいのにと思いますが、彼自身の司教の一人が、どうやら司祭は夢を見ていたようです。
そして、授業の後、法の教師がヴァシャを孤独に呼び出し、若い男に適切なキャリアを選択するよう説得したことが起こりました。
再び彼は霊的な人々に呼びかけました、-セロフは私たちの質問に答えました。
グリシャ・ユルキンは眠り、自分が司祭であると認識しました。
ああ、あなた、あの人たち、ああ、あなた! ... - ユルキンは夢を見て真剣にあえぎました。 - たてがみの長い人はなぜ私を誘ってくれないのですか？ 結局のところ、バスカはすべてを暗記していますが、私は教会の良心を知っています…待って、彼に教訓を伝えます…セロフの中傷は役に立たないですが、私は根無し草の孤児について試しています…ああ、お母さんを養うことができればいいのにサワークリームにスパイが入っている！
不器用なグリシャは暦と教理問答を完璧に知っていたと言わなければなりませんが、彼の不幸は絶えず精神的な日食でした。 彼は言葉を調和と混同しました - 彼のスパイは肥料で熟し、シャンピニオンは祖国を裏切りました。 それで、最初のレッスンで、聖職者を夢見ている人が礼拝に答えると申し出たとき、私たちはグリシノの説明を喜んで聞きました。 彼は混乱を招く言葉も避けることに成功した。 大司祭も良い意味で警戒し、「以前に聖別された贈り物のプロスコメディア」について最後の質問をしました、そしてユルキンはためらうことなく明確に答え始めました、あなたのセロフは：
無気力で満腹感のある贈り物の顕微鏡検査が行われています...
牧師は哀れな青年に向かって拳で突進した。
悪魔のバルダ！ 真っ黒になった喉を閉じろ！ 笑ったグリシャは、プロトポポフのひげの揺れを見て鼻を鳴らし始めましたが、その後非常に憤慨しました。
それで、あなたを怒らせるために、私はそれを証明してみます、そのようなポップポップ! ... - 彼は出発した人の後に脅しました。
それにも関わらず、ユルキンはレヴィティノ村の司祭になった。農民たちは、陽気で素朴な父親を愛していたと言う。もしグリシャが夢中で飲んだウォッカがなかったら、おそらく彼は司祭の代役を務めていただろう。大司祭。 しかしある日、ミサの最中に、クリロスから緑の蛇が彼の前に現れました。 ユルキンはヘビの口に香炉を投げ込み、恐怖に駆られた教区民の群衆に向けて卑劣に罵った。
ユークリッド空間
ユークリッド空間（また ユークリッド空間) - 本来の意味では、その特性がユークリッド幾何学の公理によって記述される空間。 この場合、空間の次元は 3 であると想定されます。
現代的な意味、より一般的な意味では、以下に定義される類似した密接に関連したオブジェクトの 1 つを指します。 通常、 - 次元ユークリッド空間は で表されますが、あまり受け入れられない表記がよく使用されます。
,最も単純なケースでは ( ユークリッドノルム):
ここで (ユークリッド空間では、まさにこの最も単純なバージョンが真である基底を常に選択できます)。
2. 上記の空間に対応するメートル空間。 つまり、次の式でメトリクスを入力します。
,関連する定義
- 下 ユークリッド計量上で説明した計量は、対応するリーマン計量と同様に理解できます。
- 局所ユークリッド性とは、通常、リーマン多様体の各接空間が、以下の特性をすべて備えたユークリッド空間であることを意味します。たとえば、(計量の滑らかさにより) 距離が以下の点の小さな近傍に座標を導入できる可能性があります。は上で説明したように（ある程度の次数まで）表現されます。
- 計量空間は、どこでも (または少なくとも有限領域上で) 計量が (2 番目の定義の意味で) ユークリッドである座標を導入できる場合、ローカル ユークリッドとも呼ばれます。曲率ゼロのリーマン多様体。
例
ユークリッド空間の良い例は次の空間です。
より抽象的な例:
バリエーションと一般化
こちらも参照
リンク
ウィキメディア財団。 2010年。
- 線形空間
- 凸関数
他の辞書で「ユークリッド空間」が何であるかを確認してください。
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ユークリッド空間- 空間、その性質はユークリッド幾何学で研究されます。 広い意味では、ユークリッド空間はスカラー積が定義される n 次元ベクトル空間です。 大百科事典
ユークリッド空間- 空間。その性質はユークリッド幾何学の公理によって記述されます。 単純化した方法では、ユークリッド空間を、直交 (デカルト) 座標が与えられる平面または 3 次元ボリューム内の空間として定義できます。 近代自然科学の始まり
ユークリッド空間- 多次元 (n 次元) ベクトル空間、ベクトル (線形) 空間を参照してください。 経済数学辞典
ユークリッド空間- - [L.G.スメンコ。 情報技術の英語ロシア語辞書。 M .: GP TsNIIS、2003.] 情報技術全般に関するトピック JA デカルト空間 ... 技術翻訳者向けハンドブック
ユークリッド空間- 空間、その性質はユークリッド幾何学で研究されます。 広い意味では、ユークリッド空間はスカラー積が定義される n 次元ベクトル空間です。 * * * ユークリッド空間ユークリッド… … 百科事典
ユークリッド空間- 空間、その性質はユークリッド幾何学で研究されます。 より広い意味では、E. p. スカラー積が定義される n 次元ベクトル空間… 自然科学。 百科事典
ユークリッド空間- 空間。その性質はユークリッド幾何学の公理によって記述されます。 より一般的な意味では、E. p. は内積 (x, y)、x を持つ有限次元の実ベクトル空間 Rn であり、適切に選択された座標では ... ... 数学百科事典
ユークリッド空間- (数学において) ユークリッド幾何学の公理によってその特性が記述される空間 (ユークリッド幾何学を参照)。 より一般的な意味では、E.p. は n 次元ベクトル空間と呼ばれ、その中に特別な要素を導入することができます。 ソビエト大百科事典
ユークリッド空間- [他のギリシャ人の名前で。 ユークリッドの数学 (エウクレイデス; 紀元前 3 世紀)] 点 M (x1 ..., x n) と M (x 1, .... xn) は ... ... 大きな百科事典のポリテクニック辞典
