連続確率変数です。 連続確率変数

3.連続確率変数。

離散確率変数に加えて、可能な値が完全に間隔を満たさない有限または無限の数列を形成する場合、多くの場合、可能な値が特定の間隔を形成する確率変数があります。 このような確率変数の例は、適切に確立された技術プロセスによる特定のサイズの部品の公称値からの偏差です。 この種の確率変数は、確率分布の法則を使用して指定することはできません p（x）。 ただし、確率分布関数を使用して指定できます F（x）。 この関数は、離散確率変数の場合とまったく同じ方法で定義されます。

したがって、ここでも関数 F（x）整数軸で定義され、そのポイントでの値 バツ確率変数が以下の値をとる確率に等しい バツ.
式（）とプロパティ1°および2°は、任意の確率変数の分布関数に有効です。 証明は、離散量の場合と同様に実行されます。
確率変数はと呼ばれます 連続、そのために、任意の値を満たす非負の区分的連続関数*が存在する場合 バツ平等
面積としての積分の幾何平均に基づいて、不等式を満たす確率は、底辺を持つ曲線台形の面積に等しいと言うことができます 上は曲線で囲まれています（図6）。
以来、式（）に基づく
、 それから
連続確率変数の場合、分布関数は F（x）任意の時点で連続 バツ、関数が連続である場合。 これは、 F（x）これらの点で微分可能です。
式（）に基づいて、 x 1 = x、 、 我々は持っています

機能の継続性のため F（x）私たちはそれを得る

その結果

この上、 連続確率変数がxの任意の単一値を取ることができる確率はゼロです.
このことから、それぞれの不平等の実現からなる出来事がもたらされます。
, , ,
それらは同じ確率を持っています、すなわち

確かに、例えば、

なぜなら

コメント。ご存知のように、イベントが不可能な場合、その発生の確率はゼロです。 確率の古典的な定義では、テスト結果の数が有限である場合、逆の命題も発生します。イベントの確率がゼロの場合、この場合、テスト結果のいずれもそれを支持しないため、イベントは不可能です。 連続確率変数の場合、その可能な値の数は無限です。 この値が特定の値をとる確率 x 1これまで見てきたように、ゼロに等しいです。 ただし、テストの結果、確率変数は特に値をとることができるため、このイベントが不可能であるということにはなりません。 x 1。 したがって、連続確率変数の場合、特定の値をとる確率ではなく、確率変数が区間に入る確率について話すことは理にかなっています。
したがって、たとえば、ローラーの製造では、その直径が公称値に等しくなる可能性には関心がありません。 私たちにとって、ローラーの直径が許容範囲を超えない確率は重要です。

分布密度 確率 バツ関数を呼び出す f（x）分布関数の一次導関数です F（x）:

確率変数の確率分布密度の概念 バツ離散量の場合は適用されません。

確率密度 f（x）微分分布関数と呼ばれます。

プロパティ1。分布密度は負ではない値です。

プロパティ2。からまでの範囲の分布密度の広義積分は1に等しい：

例1.25。連続確率変数の分布関数が与えられます バツ：

f（x）.

解決：分布密度は、分布関数の一次導関数に等しくなります。

1.連続確率変数の分布関数が与えられます バツ：

分布密度を見つけます。

2.連続確率変数の分布関数が与えられます バツ：

分布密度を見つける f（x）。

1.3。 連続ランダムの数値特性

量

期待値連続確率変数 バツ、軸全体に属する可能な値 おー、は等式によって決定されます。

積分は絶対収束すると仮定されます。

a、b）、 それから：

f（x）確率変数の分布密度です。

分散 連続確率変数 バツ、軸全体に属する可能な値は、等式によって決定されます：

特別なケース。 確率変数の値が区間に属する場合（ a、b）、 それから：

その確率 バツ間隔に属する値を取ります（ a、b）、等式によって決定されます：

.

例1.26。連続確率変数 バツ

確率変数に当たる数学的な期待値、分散、確率を見つけます バツ間隔（0; 0.7）で。

解決：確率変数は、区間（0,1）に分散されます。 連続確率変数の分布密度を定義しましょう バツ:

a）数学的期待値 :

b）分散

の）

独立した作業のタスク：

1.確率変数 バツ分布関数によって与えられます：

M（x）;

b）分散 D（x）;

バツ区間（2,3）に。

2.確率変数 バツ

検索：a）数学的期待値 M（x）;

b）分散 D（x）;

c）確率変数に当たる確率を決定する バツ間隔（1; 1.5）で。

3.ランダム値 バツ積分分布関数によって与えられます：

検索：a）数学的期待値 M（x）;

b）分散 D（x）;

c）確率変数に当たる確率を決定する バツ間隔で。

1.4。 連続確率変数の分布の法則

1.4.1。 一様分布

連続確率変数 バツ区間[ a、b]、このセグメントで確率変数の確率分布の密度が一定であり、その外側がゼロに等しい場合、つまり：

米。 四。

; ; .

例1.27。ある路線のバスは5分間隔で均一に移動します。 一様分布の確率変数が バツ–バスの待ち時間は3分未満になります。

解決：ランダム値 バツ-間隔全体に均一に分布します。

確率密度： .

待ち時間が3分を超えないようにするには、乗客は前のバスの出発後2〜5分以内にバス停に到着する必要があります。 ランダム値 バツ間隔（2; 5）内に収まる必要があります。 それか。 望ましい確率：

独立した作業のタスク：

1. a）確率変数の数学的期待値を見つける バツ間隔（2; 8）に均一に分布します。

b）確率変数の分散と標準偏差を見つける バツ、区間（2; 8）に均一に分布します。

2.電気時計の分針は、毎分の終わりにジャンプします。 ある瞬間に、時計が実際の時刻と20秒以内の差で時刻を表示する確率を求めます。

1.4.2。 指数（指数）分布

連続確率変数 バツ確率密度が次の形式の場合、指数分布します。

ここで、は指数分布のパラメーターです。

この上

米。 5.5。

数値特性：

例1.28。ランダム値 バツ-電球の動作時間-指数分布があります。 ランプの平均寿命が400時間の場合、ランプが少なくとも600時間持続する確率を決定します。

解決：問題の条件に応じて、確率変数の数学的期待値 バツ 400時間に等しいので、次のようになります。

;

望ましい確率、ここで

ついに：

独立した作業のタスク：

1.パラメータがの場合、指数法則の密度と分布関数を記述します。

2.確率変数 バツ

量の数学的期待値と分散を見つける バツ.

3.ランダム値 バツ確率分布関数によって与えられます：

確率変数の数学的期待値と標準偏差を見つけます。

1.4.3。 正規分布

正常連続確率変数の確率分布と呼ばれます バツ、その密度は次の形式になります。

どこ a–数学的な期待値、–標準偏差 バツ.

その確率 バツ間隔に属する値を取ります：

、 どこ

ラプラス関数です。

を持っている分布; 、つまり 確率密度で 標準と呼ばれます。

米。 6.6。

偏差の絶対値が正の数よりも小さい確率：

.

特に、 a = 0の平等は真です：

例1.29。ランダム値 バツ正常に配布されます。 標準偏差 。 確率変数の絶対値での数学的期待値からの偏差が0.3未満になる確率を見つけます。

解決： .

独立した作業のタスク：

1.確率変数の正規分布の確率密度を書きます バツ、 知っています M（x）= 3, D（x）= 16.

2.正規分布確率変数の数学的期待値と標準偏差 バツそれぞれ20と5です。テストの結果として確率を求めます。 バツ間隔（15; 20）に含まれる値を取ります。

3.ランダムな測定誤差は、標準偏差mmと数学的な期待値を持つ正規法則に従います。 a = 0.3つの独立した測定値の少なくとも1つの誤差が絶対値で4mmを超えない確率を見つけます。

4.一部の物質は体系的なエラーなしに計量されます。 ランダム計量誤差は、標準偏差rの正規法則に従います。絶対値で10gを超えない誤差で計量が実行される確率を求めます。

この場合の分布関数は、（5.7）に従って、次の形式になります。

ここで、mは数学的な期待値、sは標準偏差です。

正規分布は、ドイツの数学者ガウスにちなんでガウスとも呼ばれます。 確率変数がパラメーターm,,の正規分布を持っているという事実は、次のように表されます。N（m、s）、ここで：m = a = M;

多くの場合、数式では、数学的な期待値は次のように表されます。 a 。 確率変数がN（0,1）の法則に従って分布している場合、それは正規化または標準化された正規変数と呼ばれます。 その分布関数の形式は次のとおりです。

正規曲線またはガウス曲線と呼ばれる正規分布の密度のグラフを図5.4に示します。

米。 5.4。 正規分布密度

確率変数の数値特性をその密度によって決定することを例として考えます。

例6.

連続確率変数は、分布密度によって与えられます。 .

分布のタイプを決定し、数学的な期待値M（X）と分散D（X）を見つけます。

与えられた分布密度を（5.16）と比較すると、m=4の正規分布則が与えられていると結論付けることができます。 したがって、数学的な期待値M（X）= 4、分散D（X）=9です。

標準偏差s=3。

次の形式のラプラス関数：

は、次の関係によって正規分布関数（5.17）に関連しています。

F 0（x）\ u003d F（x）+0.5。

ラプラス関数は奇妙です。

Ф（-x）=-Ф（x）。

ラプラス関数Ф（х）の値は表にされ、xの値に従って表から取得されます（付録1を参照）。

連続確率変数の正規分布は、確率論と現実の記述において重要な役割を果たします。これは、ランダムな自然現象で非常に広く使用されています。 実際には、多くのランダムな項の合計の結果として正確に形成される確率変数が非常に頻繁にあります。 特に、測定誤差の分析は、それらがさまざまな種類の誤差の合計であることを示しています。 実践は、測定誤差確率の分布が正規法則に近いことを示しています。

ラプラス関数を使用すると、正規確率変数の特定の区間と特定の偏差に陥る確率を計算する問題を解決できます。

ランダムな値

例2.1。ランダム値 バツ分布関数によって与えられる

テストの結果としてその確率を見つける バツ（2.5; 3.6）の間の値を取ります。

解決： バツ間隔（2.5; 3.6）は、次の2つの方法で決定できます。

例2.2。パラメータのどの値で しかしと で関数 F(バツ) = A + Be --x確率変数の非負の値の分布関数にすることができます バツ.

解決：確率変数のすべての可能な値から バツ区間に属し、関数が分布関数になるために バツ、プロパティは保持する必要があります：

.

答え： .

例2.3。確率変数Xは分布関数によって与えられます

4つの独立した試行の結果として、値が バツ正確に3回は、間隔（0.25; 0.75）に属する値を取ります。

解決：値に達する確率 バツ区間（0.25; 0.75）で、次の式で求めます。

例2.4。 1回の投球でボールがバスケットに当たる確率は0.3です。 3投のヒット数の分配の法則を作成します。

解決：ランダム値 バツ-3回のスローでバスケット内のヒット数-値をとることができます：0、1、2、3。 バツ

バツ:

例2.5。 2人の射手がターゲットに1発撃ちます。 最初のシューティングゲームがそれに当たる確率は0.5、2番目のシューティングゲームは0.4です。 ターゲットのヒット数の分布の法則を書き留めます。

解決：離散確率変数の分布の法則を見つける バツ-ターゲットのヒット数。 イベントを最初のシューティングゲームによるターゲットへのヒット、および-2番目のシューティングゲームによるヒット、およびそれぞれのミスとします。

SVの確率分布の法則を作成しましょう バツ:

例2.6。 3つの要素がテストされ、互いに独立して動作します。 要素の障害のない操作の時間（時間単位）には、分布密度関数があります。 F 1 (t) =1-e- 0,1 t、2番目の場合： F 2 (t) = 1-e- 0,2 t、3番目の場合： F 3 (t) =1-e- 0,3 t。 0〜5時間の時間間隔で、1つの要素のみが失敗する確率を見つけます。 2つの要素だけが失敗します。 3つの要素すべてが失敗します。

解決：確率の母関数の定義を使用してみましょう。

独立した試験で、最初にイベントが発生する確率 しかし等しい、秒などで、イベント しかしは1回だけ出現し、母関数をの累乗で展開したときの係数に等しくなります。 0〜5時間の時間間隔で、1番目、2番目、3番目の要素のそれぞれの失敗と非失敗の確率を見つけましょう。

母関数を作成しましょう：

の係数は、イベントが発生する確率に等しくなります しかし正確に3回表示されます。つまり、3つの要素すべてが失敗する確率です。 の係数は、正確に2つの要素が失敗する確率に等しくなります。 の係数は、1つの要素のみが失敗する確率に等しくなります。

例2.7。与えられた確率密度 f(バツ）確率変数 バツ:

分布関数F（x）を見つけます。

解決：次の式を使用します。

.

したがって、分布関数の形式は次のとおりです。

例2.8。このデバイスは、3つの独立した動作要素で構成されています。 1回の実験で各要素が故障する確率は0.1です。 1回の実験で失敗した要素の数の分布の法則をコンパイルします。

解決：ランダム値 バツ-1回の実験で失敗した要素の数-値を取ることができます：0、1、2、3。 バツこれらの値を取ると、ベルヌーイの式で求められます。

したがって、確率変数の確率分布の次の法則が得られます。 バツ:

例2.9。 6つのパーツの多くに4つの標準パーツがあります。 3つのアイテムがランダムに選択されました。 選択した部品間での標準部品数の分配の法則を作成します。

解決：ランダム値 バツ-選択された部品の中の標準部品の数-値をとることができます：1、2、3そして超幾何分布を持っています。 その確率 バツ

どこ -- バッチ内の部品の数。

-- ロット内の標準部品の数。

– 選択したパーツの数。

-- 選択されたものの中の標準部品の数。

.

.

.

例2.10。確率変数には分布密度があります

ここで、およびは不明ですが、、および。 検索して。

解決：この場合、確率変数 バツ区間に三角分布（シンプソン分布）があります[ a、b]。 数値特性 バツ:

その結果、 。 このシステムを解くと、2組の値が得られます。 問題の状態に応じて、最終的に次のようになります。 .

答え： .

例2.11。平均して、契約の10％について、保険会社は、保険事故の発生に関連して保険金額を支払います。 ランダムに選択された4つの契約の間で、そのような契約の数の数学的期待値と分散を計算します。

解決：数学的な期待値と分散は、次の式を使用して見つけることができます。

.

SVの可能な値（保険付きイベントの発生を伴う契約の数（4つのうち））：0、1、2、3、4。

ベルヌーイの公式を使用して、保険金額が支払われたさまざまな数の契約（4つのうち）の確率を計算します。

.

CVの配布シリーズ（保険付きイベントの発生を伴う契約の数）の形式は次のとおりです。

答え： 、 。

例2.12。 5本のバラのうち、2本は白です。 同時に取られた2つの白いバラの数を表す確率変数の分布則を記述します。

解決： 2本のバラのサンプルでは、​​白いバラがないか、1本または2本の白いバラがある可能性があります。 したがって、確率変数 バツ値を取ることができます：0、1、2。 バツこれらの値を取ると、次の式で求められます。

どこ -- バラの数;

-- 白いバラの数;

– 同時に取られたバラの数;

-- 取られたものの中の白いバラの数。

.

.

.

その場合、確率変数の分布の法則は次のようになります。

例2.13。組み立てられた15台のユニットのうち、6台は追加の潤滑が必要です。 総数からランダムに選択した5つのユニットのうち、追加の潤滑が必要なユニットの数の分配法則を作成します。

解決：ランダム値 バツ-選択した5つのユニットのうち、追加の潤滑が必要なユニットの数-は、0、1、2、3、4、5の値をとることができ、超幾何分布を持ちます。 その確率 バツこれらの値を取ると、次の式で求められます。

どこ -- 組み立てられたユニットの数。

-- 追加の潤滑が必要なユニットの数。

– 選択されたアグリゲートの数。

-- 選択したユニットの中で追加の潤滑が必要なユニットの数。

.

.

.

.

.

.

その場合、確率変数の分布の法則は次のようになります。

例2.14。修理のために受け取った10個の時計のうち、7個はメカニズムの一般的なクリーニングが必要です。 時計は修理の種類ごとに分類されていません。 掃除が必要な時計を探している主人は、ひとつひとつ調べて、その時計を見つけたら、それ以上見るのをやめます。 視聴時間数の数学的期待値と分散を見つけます。

解決：ランダム値 バツ-選択した5つのユニットの中で追加の潤滑が必要なユニットの数-次の値を取ることができます：1、2、3、4。 バツこれらの値を取ると、次の式で求められます。

.

.

.

.

その場合、確率変数の分布の法則は次のようになります。

次に、数量の数値特性を計算しましょう。

答え： 、 。

例2.15。加入者は必要な電話番号の最後の桁を忘れましたが、それが奇妙であることを覚えています。 彼が最後の桁をランダムにダイヤルし、将来ダイヤルされた桁をダイヤルしない場合は、目的の番号に到達する前に行ったダイヤル数の数学的期待値と分散を見つけます。

解決：確率変数は次の値を取ることができます：。 加入者は将来、ダイヤルされた数字をダイヤルしないため、これらの値の確率は等しくなります。

確率変数の分布系列を作成してみましょう。

ダイヤル試行回数の数学的期待値と分散を計算してみましょう。

答え： 、 。

例2.16。シリーズの各デバイスの信頼性テスト中に障害が発生する確率は、次のようになります。 p。 テストした場合、失敗したデバイスの数の数学的期待値を決定します Nアプライアンス。

解決：離散確率変数Xは、故障したデバイスの数です。 N独立したテスト。それぞれの失敗の確率は次のようになります。 p、二項法に従って分布します。 二項分布の数学的期待値は、試行回数と1回の試行で発生するイベントの確率の積に等しくなります。

例2.17。離散確率変数 バツ 3つの可能な値を取ります：確率付き; 確率と確率で。 そのM（を見つけて知る バツ) = 8.

解決：数学的な期待値の定義と離散確率変数の分布の法則を使用します。

我々は気づく： 。

例2.18。技術管理局は製品の標準性をチェックします。 アイテムが標準である確率は0.9です。 各バッチには5つのアイテムが含まれています。 確率変数の数学的期待値を見つける バツ-バッチの数。50バッチが検証の対象である場合、各バッチには正確に4つの標準製品が含まれます。

解決：この場合、実施されたすべての実験は独立しており、各バッチに正確に4つの標準製品が含まれる確率は同じであるため、数学的な期待値は次の式で決定できます。

,

パーティーの数はどこですか。

バッチに正確に4つの標準アイテムが含まれる確率。

ベルヌーイの公式を使用して確率を求めます。

答え： .

例2.19。確率変数の分散を見つける バツ–イベントの発生数 A 2つの独立した試験で、これらの試験でのイベントの発生確率が同じであり、次のことがわかっている場合 M(バツ) = 0,9.

解決：この問題は2つの方法で解決できます。

1）可能なCB値 バツ：0、1、2。ベルヌーイの公式を使用して、これらのイベントの確率を決定します。

, , .

次に、流通法 バツ次のようになります：

数学的期待値の定義から、確率を決定します。

SWの分散を見つけましょう バツ:

.

2）次の式を使用できます。

.

答え： .

例2.20。正規分布確率変数の数学的期待値と標準偏差 バツそれぞれ20と5です。テストの結果として確率を求めます。 バツ間隔（15; 25）に含まれる値を取ります。

解決：正規確率変数に当たる確率 バツからのセクションでは、ラプラス関数で表されます。

例2.21。与えられた関数：

パラメータのどの値で Cこの関数は、いくつかの連続確率変数の分布密度です。 バツ？ 確率変数の数学的期待値と分散を見つける バツ.

解決：関数が確率変数の分布密度であるためには、それが非負である必要があり、次の特性を満たす必要があります。

.

その結果：

次の式を使用して、数学的な期待値を計算します。

.

次の式を使用して分散を計算します。

Tは p。 この確率変数の数学的期待値と分散を見つける必要があります。

解決：離散確率変数Xの分布則-独立した試行でのイベントの発生数。それぞれのイベントの発生確率は、二項分布と呼ばれます。 二項分布の数学的期待値は、試行回数と1回の試行でのイベントAの発生確率の積に等しくなります。

.

例2.25。 3つの独立したショットがターゲットに発射されます。 各ショットに当たる確率は0.25です。 3ショットのヒット数の標準偏差を決定します。

解決： 3つの独立した試行が実行され、各試行でのイベントA（ヒット）の発生確率は同じであるため、離散確率変数X（ターゲットのヒット数）は二項式に従って分布していると仮定します。法。

二項分布の分散は、試行回数と1回の試行でのイベントの発生確率と非発生確率の積に等しくなります。

例2.26。 10分間に保険会社を訪れるクライアントの平均数は3人です。 次の5分以内に少なくとも1人の顧客が到着する確率を見つけます。

5分間に到着する顧客の平均数： . .

例2.29。プロセッサキュー内のアプリケーションの待機時間は、平均値が20秒の指数分布法に従います。 次の（任意の）要求がプロセッサを35秒以上待機する確率を見つけます。

解決：この例では、期待 、および故障率はです。

その場合、望ましい確率は次のとおりです。

例2.30。 15人の学生のグループがそれぞれ10席の20列のホールで会議を開きます。 各学生はランダムにホールに着席します。 3人以下が7位になる確率はどれくらいですか？

解決：

例2.31。

次に、確率の古典的な定義によると：

どこ -- バッチ内の部品の数。

-- ロット内の非標準部品の数。

– 選択したパーツの数。

-- 選択した部品の中の非標準部品の数。

すると、確率変数の分布則は次のようになります。

連続確率変数には、無限の数の可能な値があります。 したがって、それらの配布シリーズを導入することは不可能です。

確率変数Xがxに等しい値を取る確率の代わりに、つまり p（X = x）、Xがx未満の値をとる確率を考慮します。 P（X< х).

確率変数の新しい特性である分布関数を紹介し、その特性を検討します。

分布関数は、確率変数の最も普遍的な特性です。 離散確率変数と連続確率変数の両方に対して定義できます。

F（x）= p（X< x).

分布関数のプロパティ。

分布関数は、その引数の非減少関数です。 もしも：

マイナス無限大では、分布関数はゼロです。

プラス無限大では、分布関数は1に等しくなります。

確率変数が特定の間隔に入る確率は、次の式によって決定されます。

分布関数の導関数に等しい関数f（x）は、確率変数Xの確率密度または分布密度と呼ばれます。

セクションbからcに当たる確率をf（x）で表現しましょう。 これは、このセクションの確率要素の合計に等しくなります。 積分：

ここから、確率密度の観点から分布関数を表すことができます。

確率密度プロパティ。

確率密度は非負の関数です（分布関数は非減少関数であるため）。

おそらく密度

stiは連続関数です。

確率密度の無限限界の積分は1に等しい。

確率密度は確率変数の次元を持っています。

連続確率変数の数学的期待値と分散

数学的な期待値と分散の意味は、離散確率変数の場合と同じです。 それらを見つけるための式の形式は、次のように置き換えることで変わります。

次に、連続確率変数の数学的期待値と分散を計算するための式を取得します。

例。 連続確率変数の分布関数は、次の式で与えられます。

aの値、確率密度、サイトにヒットする確率（0.25-0.5）、数学的期待値、および分散を見つけます。

分布関数F（x）は連続であるため、x = 1の場合、ax2 = 1、したがってa=1になります。

確率密度は、分布関数の導関数として求められます。

特定の領域に当たる確率の計算は、分布関数を使用する方法と確率密度を使用する方法の2つの方法で実行できます。

• 第一の方法。 分布関数を介して確率を見つけるための式を使用します。
• 2番目の方法。 確率密度から確率を見つけるための式を使用します。

数学的期待値を見つける：

分散を見つける：

一様分布

連続確率変数Xを考えてみましょう。その可能な値は特定の間隔にあり、同じ確率である可能性があります。

このような確率変数の確率密度は次のようになります。

ここで、cは定数です。

確率密度グラフは次のように表示されます。

パラメータcをbとcで表します。 これを行うには、領域全体の確率密度の積分が1に等しくなければならないという事実を使用します。

一様分布確率変数の分布密度

分布関数を見つけます。

一様分布確率変数の分布関数

分布関数をプロットしてみましょう。

一様分布に従う確率変数の数学的期待値と分散を計算してみましょう。

その場合、標準偏差は次のようになります。

正規（ガウス）分布

連続確率変数Xは、確率密度がある場合、パラメーターa、y>0で正規分布と呼ばれます。

確率変数の分布曲線の形式は次のとおりです。

テスト2

タスク1.離散確率変数Xの分布の法則を作成し、確率変数の数学的期待値、分散、および標準偏差を計算します。

オプション1

QCDは製品の標準化をチェックします。 アイテムが標準である確率は0.7です。 20項目をテストしました。 確率変数Xの分布の法則を見つけます-テストされたものの中の標準製品の数。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション2

壷には4つのボールがあり、その上にポイント2が示されています。 四; 5; 5.ボールがランダムに描かれます。 確率変数Xの分布の法則-その上の点の数を見つけます。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション3

ハンターはヒットするまでゲームを撃ちますが、発射できるのは3発までです。 各ショットを打つ確率は0.6です。 確率変数Xの分布の法則を作成します-射手によって発射されたショットの数。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション4

測定で指定された精度を超える確率は0.4です。 確率変数Xの分布の法則を作成します-10回の測定におけるエラーの数。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション5

ワンショットでターゲットに当たる確率は0.45です。 20発発射。 確率変数Xの分布の法則（ヒット数）を作成します。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション6

ある工場の製品には結婚の5％が含まれています。 確率変数Xの分布法則を作成します-幸運のために取られた5つの中の欠陥製品の数。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション7

アセンブラに必要な部品は、5つの箱のうち3つにあります。 アセンブラは、適切な部品が見つかるまでボックスを開きます。 確率変数Xの分布の法則を作成します-開いたボックスの数。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション8

壷には3つの黒と2つの白のボールが含まれています。 黒が表示されるまで、ボールを戻さずに順次抽出します。 確率変数Xの分布の法則を作成します-抽出されたボールの数。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション9

生徒は20問中15問を知っています。チケットには3つの質問があります。 確率変数Xの分布の法則を作成します-チケットで学生に知られている質問の数。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

オプション10

3つの電球があり、それぞれに0.4の確率で欠陥があります。 オンにすると、欠陥のある電球が切れて別の電球に交換されます。 確率変数X（テストされたランプの数）の分布法則を作成します。 確率変数の数学的期待値、分散、標準偏差を計算します。

タスク2.確率変数Xは、分布関数F（X）によって与えられます。 分布密度、数学的期待値、分散、および確率変数が区間（b、c）に入る確率を見つけます。 関数F（X）とf（X）のグラフを作成します。

オプション1

オプション2

オプション3

オプション4

オプション5

オプション6

オプション7

オプション8

オプション9

オプション10

試験の質問

確率の古典的な定義。

組み合わせ論の要素。 宿泊施設。 例。

組み合わせ論の要素。 順列。 例。

組み合わせ論の要素。 組み合わせ。 例。

確率の合計に関する定理。

確率乗法定理。

イベントの操作。

全確率の式。

ベイズの定理。

テストの繰り返し。 ベルヌーイの公式。

離散確率変数。 分布範囲。 例。

離散確率変数の数学的期待値。

離散確率変数の分散。

確率変数の二項分布。

ポアソン分布。

等比数列の法則に従った分布。

連続確率変数。 分布関数とそのプロパティ。

確率密度とその特性。

連続確率変数の数学的期待値。

連続確率変数の分散。

連続確率変数の一様分布。

正規分布法。