イベントの中から信頼できるものと不可能なものを見つけます。 レッスンのテーマ: 「確実な出来事、不可能な出来事、ランダムな出来事」

オンライン翻訳者にはありません。

黄金の門はキエフのシンボルであり、現代まで生き残っている最古の建築例の 1 つです。 キエフの黄金の門は、1164 年に有名なキエフ王子ヤロスラフ賢者のもとに建設されました。 当初、それらは南部と呼ばれ、都市の防御要塞システムの一部であり、都市の他の警備門と実質的に変わりませんでした。 ロシア最初のメトロポリタン・ヒラリオンが「法と恵みに関する説教」の中で「偉大」と呼んだのは南門であった。 荘厳なアヤソフィアが建設された後、「大」門は南西側からキエフへの主要な陸の入り口となりました。 その重要性を認識したヤロスラフ賢者は、この都市とルーシの宗教を支配していたキリスト教に敬意を表するために、門の上に小さな受胎告知教会を建設するよう命じました。 その時以来、ロシアのすべての年代記資料はキエフの南門を黄金の門と呼び始めました。 門の幅は7.5メートル、通路の高さは12メートル、長さは約25メートルでした。

le Sport ce n "est pas seulement des cours de Gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser。 ル・スポーツ・デベロッパー・トン・コープスとオーシ・トン・セルボー。 Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sports. スポーツをする上で、自分自身をカバーする必要があります。 あらゆるスポーツに挑戦してください。 Quand tu cours、parce que tu es en retard a l "ecole、tu fais du sports.

イベントはテストの結果です。 イベントとは何ですか? 壷からボールが 1 つランダムに引き出されます。 壺からボールを​​取り出すのがテストです。 特定の色のボールの出現がイベントです。 確率論では、出来事は、ある瞬間の後に、2 つのうちの 1 つだけが言えるものとして理解されます。 はい、それは起こりました。 いいえ、そんなことはありませんでした。 実験で起こり得る結果は基本イベントと呼ばれ、そのような結果のセットは単にイベントと呼ばれます。

予測できない出来事はランダムと呼ばれます。 同じ条件下で、イベントが発生する場合も発生しない場合も、そのイベントはランダムと呼ばれます。 サイコロを振ると6が出ます。 私は宝くじを持っています。 宝くじの抽選結果が発表された後、私が興味を持っているイベント、つまり千ルーブルを獲得するイベントが起こるか起こらないかのどちらかです。 例。

与えられた条件下で同時に発生する可能性のある 2 つのイベントを結合と呼び、同時に発生できないイベントを非両立と呼びます。 コインが投げられます。 「紋章」の外観には、碑文の外観は含まれません。 「紋章が出現する」と「碑文が出現する」という事象は両立しない。 例。

必ず起こる出来事を確実といいます。 起こり得ない出来事を不可能と言います。 たとえば、黒いボールだけが入った壺からボールが取り出されたとします。 そして黒い球の出現はある出来事であり、 白球の出現は不可能な出来事だ。 例。 来年は雪は降らないでしょう。 サイコロを振ると7が出ます。 これらは不可能な出来事です。 来年は雪が降るでしょう。 サイコロを振ると7未満の数字が出ます。 毎日の日の出。 これらは実際の出来事です。

問題解決 説明された各イベントについて、それが不可能なのか、確実なのか、ランダムなのかを判断します。 1. クラスの 25 人の生徒のうち、2 人が誕生日を祝います。 a) 1 月 30 日。 b) 2月30日。 2. 文学の教科書をランダムに開き、左ページに 2 番目の単語を見つけます。 この単語は次のように始まります。 a) 文字「K」で始まります。 b) 文字「b」が付いています。

3. 今日のソチでは、気圧計は通常の大気圧を示しています。 この場合: a) 鍋の中の水を80℃の温度で沸騰させます。 b) 気温が-5℃まで下がると、水たまりの水が凍りました。 4. 2 つのサイコロを投げます。 a) 最初のサイコロは 3 点、2 番目のサイコロは 5 点です。 b) 2 つのサイコロの点数の合計が 1 に等しい。 c) 2 つのサイコロの出目の合計は 13 です。 d) 両方のサイコロで 3 点。 e) 2 つのサイコロの点の合計は 15 未満です。 問題解決

5. 本を任意のページを開いて、最初に出会った名詞を読みました。 a) 選択した単語のスペルに母音が含まれていることが判明しました。 b) 選択した単語のスペルに文字「O」がある。 c) 選択した単語のスペルに母音がありません。 d) 選択した単語のスペルにソフト記号があります。 問題解決

5年生 確率入門 (4 時間)

(このトピックに関する 4 つのレッスンの展開)

学習目標 : - ランダムで信頼できる不可能な出来事の定義を導入する。

オプションのツリーを使用し、乗算規則を使用して、組み合わせ問題を解決するための最初のアイデアを導きます。

教育目標: 生徒たちの考え方の発展。

開発目標 : 空間想像力の発達、定規を扱うスキルの向上。

信頼できる、不可能な、ランダムなイベント (2 時間)

組み合わせタスク (2 時間)

確実、不可能、ランダムな出来事。

最初のレッスン

レッスン用具： サイコロ、コイン、バックギャモン。

私たちの人生は大部分が事故で構成されています。 「確率論」という科学があります。 その言語を使用すると、多くの現象や状況を説明することができます。

原始的な指導者でさえ、12人のハンターが槍でバイソンを攻撃する「確率」が1人よりも高いことを理解していました。 したがって、当時は集団で狩りをしていました。

アレクサンダー大王やドミトリー・ドンスコイのような古代の指揮官は、戦いの準備をする際、戦士の勇気と技能だけでなく、偶然にも依存していました。

多くの人は、2 は常に 4 である、偶数の和は偶数である、長方形の面積は隣り合う辺の積に等しい、などの永遠の真理を求めて数学を愛しています。どのような問題を解いても、誰もが得られるものです。同じ答えです - 解決策を間違わないようにする必要があります。

現実の生活はそれほど単純で明確なものではありません。 多くの出来事の結果は事前に予測できません。 たとえば、投げたコインがどちら側に着地するか、来年の初雪がいつ降るか、あるいは次の 1 時間以内に市内の何人の人が電話をかけたいと思うかなどを確実に言うことは不可能です。 このような予測不可能な出来事はこう呼ばれます ランダム .

しかし、この事件には独自の法則もあり、それはランダムな現象が繰り返されることで現れ始めます。 コインを 1000 回投げると、「ワシ」は約半分の確率で抜けますが、2 回または 10 回投げた場合には言えません。 「およそ」というのは半分という意味ではありません。 原則として、これは当てはまる場合とそうでない場合があります。 法律は一般に確かなことは何も述べていませんが、何らかのランダムな出来事が発生するというある程度の確実性を与えています。 このような規則性は数学の特別な分野で研究されています。 確率論 . これを利用すると、初雪の日付と電話の数の両方を、より高い信頼性で (ただし確実ではありませんが) 予測できます。

確率理論は私たちの日常生活と密接に関係しています。 これは、ランダムな実験を繰り返し、多くの確率法則を経験的に確立する素晴らしい機会を与えてくれます。 これらの実験の材料は、ほとんどの場合、普通のコイン、サイコロ、ドミノのセット、バックギャモン、ルーレット、さらには一組のトランプです。 これらのアイテムはそれぞれ、何らかの形でゲームに関連しています。 実際、ここでのケースは最も頻繁に起こる形で現れます。 そして、最初の確率タスクは、プレイヤーが勝つ可能性を評価することに関連していました。

現代の確率理論はギャンブルから遠ざかっていますが、その小道具は依然として最も単純で信頼できる確率の源です。 ルーレットホイールとサイコロを使って練習することで、現実の状況でランダムな出来事が起こる確率を計算する方法を学び、ゲームや宝くじだけでなく、成功の可能性を評価し、仮説をテストし、最適な決定を下すことができるようになります。 。

確率の問題を解くときは、非常に注意して各ステップを正当化するようにしてください。これほど多くのパラドックスを含む数学分野は他にないからです。 確率論みたいな。 そしておそらくこれの主な説明は、私たちが住んでいる現実世界との関係です。

多くのゲームでは、各面に 1 から 6 までの異なる点が割り当てられたサイコロが使用され、プレイヤーはサイコロを転がして、(上に位置する側の) 出た点の数を見て、適切な手数: 1、2、3、4、5、または 6。サイコロを振ることは経験、実験、テストと考えることができ、得られた結果はイベントと考えることができます。 人々は通常、出来事の始まりを推測し、その結果を予測することに非常に興味を持ちます。 サイコロを振ったとき、彼らはどのような予測を立てることができるでしょうか? 最初の予測: 1、2、3、4、5、6 のいずれかの数字が出ます。予言された出来事は来ると思いますか? もちろん必ず来ます。 与えられた経験の中で必ず起こる出来事を 頼もしい出来事。

2番目の予測 : 数字の7が抜けます。予言された出来事は来ると思いますか? もちろんそんなことはありません、それは不可能です。 与えられた実験では起こり得ない出来事を ありえない出来事。

第三の予言 : 予測された出来事は来ると思いますか? 予測された出来事は起こるかもしれないし、起こらないかもしれないので、私たちはこの質問に完全に確実に答えることはできません。 特定の経験の中で起こるかもしれないし、起こらないかもしれないイベントは、 ランダムイベント。

エクササイズ : 以下のタスクで説明するイベントについて説明します。 確実か、不可能か、ランダムか。

コインを投げます。 紋章が現れました。 （ランダム）

ハンターはオオカミに向かって発砲し、命中しました。 （ランダム）

学生は毎晩散歩に行きます。 月曜日、散歩中、彼は３人の知人に出会った。 （ランダム）

次の実験を頭の中で実行してみましょう。水を入れたコップを逆さにします。 この実験を宇宙ではなく自宅や教室で行うと水が噴き出します。 （本物）

標的に向けて3発の銃弾が発射された。 ヒットは５本もあったよ」（ありえない）

私たちは石を投げ上げます。 石は空中に浮いたままになります。 （不可能）

「拮抗」という単語の文字をランダムに並べ替えます。 「アナクロイズム」という言葉を聞いてください。 （不可能）

№959. ペティアは自然数を考えました。 イベントの内容は以下の通りです。

a) 偶数が考えられます。 (ランダム) b) 奇数が考えられます。 （ランダム）

c) 偶数でも奇数でもない数値が考えられる。 （不可能）

d) 偶数または奇数の数が考えられます。 （本物）

№ 961. Petya と Tolya は誕生日を比較します。 イベントの内容は以下の通りです。

a) 誕生日が一致しない。 (ランダム) b) 誕生日が同じです。 （ランダム）

d) どちらの誕生日も休日、つまり新年（1 月 1 日）とロシアの独立記念日（6 月 12 日）に該当します。 （ランダム）

№ 962. バックギャモンをプレイするときは、2 つのサイコロを使用します。 ゲームの参加者が行う手の数は、出たサイコロの 2 つの面の数字を加算し、「ダブル」が出た場合 (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6) の場合、手数は 2 倍になります。 サイコロを振って、何回動かす必要があるかを計算します。 イベントの内容は以下の通りです。

a) あなたは 1 つの行動を起こさなければなりません。 b) 7 回移動しなければなりません。

c) 24 手をしなければなりません。 d) 13 手をしなければなりません。

a) - 不可能（1 + 0 の組み合わせが出た場合は 1 移動できますが、サイコロに 0 の目がありません）。

b) - ランダム (1 + 6 または 2 + 5 が出た場合)。

c) - ランダム（6 + 6 の組み合わせが外れた場合）。

d) - 不可能（1 から 6 までの数字の組み合わせは存在せず、その合計は 13 になります。この数字は奇数であるため、「ダブル」を出しても取得できません）。

自分自身で調べて。 (数学のディクテーション)

1) 次のイベントのうち、不可能なもの、確実なもの、ランダムなものを示してください。

サッカーの試合「スパルタク」対「ディナモ」は引き分けに終わります。 （ランダム）

当たる抽選会に参加すると当たる（本物）

雪は真夜中に降り、24時間後には太陽が輝きます。 （不可能）

明日は数学のテストがあります。 （ランダム）

あなたはアメリカ合衆国大統領に選出されます。 （不可能）

あなたはロシアの大統領に選出されます。 （ランダム）

2) メーカーが 2 年間の保証を提供しているテレビを店頭で購入しました。 次のイベントは不可能、ランダム、確実なもののうちどれですか:

テレビは1年以内には壊れません。 （ランダム）

テレビは２年は壊れません。 （ランダム）

2年以内にテレビの修理代がかからなくなります。 （本物）

テレビは3年目に壊れます。 （ランダム）

3) 15 人の乗客を乗せたバスには 10 か所の停留所があります。 次のイベントは不可能、ランダム、確実なもののうちどれですか:

乗客全員が別々の停留所でバスを降ります。 （不可能）

乗客は全員同じ停留所で降ります。 （ランダム）

どの停留所でも誰かが降ります。 （ランダム）

誰も降りない停留所があります。 （ランダム）

どの停留所でも偶数人の乗客が降ります。 （不可能）

どの停留所でも奇数人の乗客が降ります。 （不可能）

宿題 : 53 No. 960、963、965 (信頼できる、ランダムで不可能なイベントを 2 つ自分で考え出します)。

2回目のレッスン。

宿題のチェック。 （口頭で）

a) 確実な出来事、ランダムな出来事、不可能な出来事とは何かを説明してください。

b) 次のイベントのうち、どれが確実であるか、どれが不可能であるか、どれがランダムであるかを示してください。

夏休みは無いでしょう。 （不可能）

サンドイッチはバターの面を下にして落ちます。 （ランダム）

やがて学年も終わります。 （本物）

明日の授業で質問されます。 （ランダム）

今日は黒猫に会います。 （ランダム）

№ 960. この教科書の任意のページを開いて、最初に出会った名詞を選択します。 イベントの内容は以下の通りです。

a) 選択した単語のスペルに母音が含まれています。 （（本物）

b) 選択した単語のスペルに文字「o」があります。 （ランダム）

c) 選択した単語のスペルに母音がありません。 （不可能）

d) 選択した単語のスペルにソフト記号があります。 （ランダム）

№ 963. あなたはまたバックギャモンをプレイしています。 次のイベントについて説明します。

a) プレーヤーは 2 つ以上の手を動かしてはなりません。 (不可能 - 最小の数字 1 + 1 の組み合わせでは、プレイヤーは 4 つの動きをします。1 + 2 の組み合わせでは 3 つの動きを与えます。他のすべての組み合わせでは 3 つ以上の動きを与えます)

b) プレーヤーは 3 つ以上手を動かさなければなりません。 (信頼性 - どの組み合わせでも 3 つ以上の移動が可能)

c) プレーヤーは 24 手を超えてはなりません。 (信頼性 - 最大の数字 6 + 6 の組み合わせは 24 移動になり、残りはすべて 24 移動未満になります)

d) プレーヤーは 2 桁の手を移動しなければなりません。 (ランダム - たとえば、2 + 3 の組み合わせは 1 桁の手数: 5 を与え、2 つの 4 の落下は 2 桁の手数を与えます)

2. 問題解決。

№ 964. 袋の中には青 3 個、白 3 個、赤 4 個の合計 10 個のボールがあります。 次のイベントについて説明します。

a) 袋から 4 つのボールを取り出します。すべて青色です。 （不可能）

b) 袋から 4 つのボールを取り出します。それらはすべて赤色です。 （ランダム）

c) 袋から 4 つのボールを取り出しましたが、それらはすべて異なる色であることが判明しました。 （不可能）

d) 袋から 4 つのボールを取り出しますが、その中に黒いボールはありません。 （本物）

タスク1 。 箱には赤10本、緑1本、青2本のペンが入っています。 ボックスからランダムで2つのアイテムが取り出されます。 次のイベントは不可能、ランダム、確実なもののうちどれですか:

a) 赤いハンドルを 2 つ取り出します (ランダム)

b) 2 つの緑色のハンドルが取り出されます。 （不可能）

c) 2 つの青いハンドルが取り出されます。 （ランダム）

d) 2 つの異なる色のハンドルが取り出されます。 （ランダム）

e) 2 つのハンドルが取り出されます。 （本物）

e) 鉛筆が 2 本取り出されます。 （不可能）

タスク2。 くまのプーさん、ピグレット、そしてみんな - みんな - 誕生日を祝うために円卓に座ります。 「くまのプーさんとピグレットは並んで座る」というイベントは、すべて - すべて - すべてのうち何番目で信頼できますか、そして何 - ランダムですか?

(すべて - すべて - すべてが 1 のみの場合、イベントは信頼できます。1 より大きい場合、イベントはランダムです)。

タスク3。 チャリティー宝くじ 100 枚中、当選は 20 枚 「何も当たらない」イベントを不可能にするには、何枚購入する必要がありますか?

タスク4。 クラスには男子が10人、女子が20人います。 このようなクラスでは不可能なイベント、ランダムなイベント、確実なイベントはどれですか?

クラスに違う月に生まれた人が2人います。 （ランダム）

クラスに同じ月生まれの人が2人います。 （本物）

クラスに同じ月に生まれた男の子が二人います。 （ランダム）

クラスには同じ月に生まれた女の子が二人います。 （本物）

男の子は全員違う月に生まれました。 （本物）

女の子はみんな違う月に生まれました。 （ランダム）

同じ月に生まれた男の子と女の子がいます。 （ランダム）

違う月に生まれた男の子と女の子がいます。 （ランダム）

タスク5。 箱の中に赤、黄、緑のボールが 3 個ずつ入っています。 ランダムに4つのボールを引きます。 「描かれたボールの中にはちょうど M 色のボールが含まれる」という事象を考えてみましょう。 1 から 4 までの各 M について、それが不可能、確実、またはランダムのどのイベントであるかを判断し、表に記入します。

独立した作品。

私オプション

a) 友達の誕生日が 32 歳未満である。

c) 明日は数学のテストがあります。

d) 来年、モスクワに初雪が日曜日に降ります。

サイコロを投げます。 イベントについて説明します:

a) 立方体は落下すると、その端に立つ。

b) 数字の 1 つが外れます: 1、2、3、4、5、6。

c) 数字の 6 が抜けます。

d) 7 の倍数の数字が出てきます。

箱には赤、黄、緑のボールが 3 個ずつ入っています。 イベントについて説明します:

a) 描かれたボールはすべて同じ色です。

b) 描かれたボールはすべて異なる色のもの。

c) 描かれたボールの中には、異なる色のボールがあります。

c) 描かれたボールの中には、赤、黄、緑のボールがあります。

Ⅱオプション

問題の出来事を確実、不可能、またはランダムとして説明します。

a) テーブルから落ちたサンドイッチは、バターの面を下にして床に落ちます。

b) 真夜中にモスクワに雪が降り、24時間後には太陽が輝きます。

c) 当たりの宝くじに参加して当選した場合。

d) 来年の5月には春一番の雷が聞こえるでしょう。

カードには2桁の数字がすべて書かれています。 カードはランダムに1枚選ばれます。 イベントについて説明します:

a) カードがゼロであることが判明した。

b) カードに 5 の倍数の数字がある。

c) カードに 100 の倍数の数字がある。

d) カードに 9 より大きく 100 未満の数字が含まれている。

箱には赤10本、緑1本、青2本のペンが入っています。 ボックスからランダムで2つのアイテムが取り出されます。 イベントについて説明します:

a) 2 つの青いハンドルが取り出されます。

b) 2 つの赤いハンドルが取り出されます。

c) 2 つの緑色のハンドルが取り出されます。

d) 緑と黒のハンドルが取り出されます。

宿題： 1). 信頼できる、ランダムで不可能なイベントを 2 つ考え出します。

2)。 タスク . 箱の中に赤、黄、緑のボールが 3 個ずつ入っています。 N個のボールをランダムに引きます。 「描かれたボールの中にちょうど 3 色のボールがある」という事象を考えてみましょう。 1 から 9 までの各 N について、それが不可能、確実、またはランダムのどのイベントであるかを判断し、表に記入します。

組み合わせタスク。

最初のレッスン

宿題のチェック。 （口頭で）

a) 生徒たちが考えた問題をチェックします。

b) 追加のタスク。

私はV.レフシンの本「カルリカニの三日間」からの抜粋を読んでいます。

「まず、滑らかなワルツの音に合わせて、数字がグループを形成しました: 1+ 3 + 4 + 2 = 10。それから若いスケーターたちは場所を変え始め、ますます新しいグループを形成しました: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 など

これはスケーターが元の位置に戻るまで続きました。

彼らは何回場所を変えましたか？

今日のレッスンでは、そのような問題を解決する方法を学びます。 彼らは呼ばれています 組み合わせ的な。

3. 新しい内容を学習する。

タスク1。 数字1、2、3から2桁の数字は何個作れるでしょうか?

解決： 11, 12, 13

31、32、33。数字は 9 つだけです。

この問題を解決するとき、私たちは考えられるすべての選択肢を列挙しました。つまり、このような場合によく言われることです。 可能なすべての組み合わせ。 したがって、そのようなタスクは次のように呼ばれます。 組み合わせ的な。 人生において、可能な（または不可能な）選択肢を計算することはよくあることなので、組み合わせ問題に慣れておくと役に立ちます。

№ 967. いくつかの国は、白、青、赤の異なる色で同じ幅の3本の横縞の形を国旗のシンボルとして使用することを決定しました。 各国が独自の国旗を持っている場合、そのような記号を使用できる国は何カ国ありますか?

解決。 最初のストライプが白であると仮定しましょう。 次に、2 番目のストライプは青または赤、3 番目のストライプはそれぞれ赤または青になります。 白、青、赤、または白、赤、青の2つの選択肢が判明しました。

最初のストライプを青にすると、白、赤、青、または青、赤、白の 2 つのオプションが表示されます。

最初のストライプを赤とし、さらに 2 つのオプション (赤、白、青、または赤、青、白) を選択します。

合計 6 つの可能なオプションがあります。 この国旗は6か国が使用できます。

したがって、この問題を解決する際に、考えられるオプションを列挙する方法を探していました。 多くの場合、オプションを列挙するためのスキームであるピクチャを構築すると便利であることがわかります。 これは、第一に視覚的であり、第二に、すべてを考慮して何も見逃さないようにすることを可能にします。

このスキームは、可能なオプションのツリーとも呼ばれます。

表紙

セカンドレーン

3番目の車線

受信した組み合わせ

№ 968. 1、2、4、6、8 の数字から 2 桁の数字は何個できますか?

解決。 関心のある 2 桁の数字の場合、1 位は 0 を除く指定された数字のいずれかになります。数値 2 を 1 位に置くと、指定された数字のいずれかを 2 位に置くことができます。 2 桁の数字が 5 つあります: 2.、22、24、26、28。同様に、最初の桁が 4 の 2 桁の数字が 5 つ、最初の桁が 6 の 2 桁の数字が 5 つ、および 2 桁の数字が 5 つあります。最初の桁が 8 の数字。

答え: 数字は全部で 20 個あります。

この問題を解決するために考えられるオプションのツリーを構築しましょう。

二桁

最初の桁

2桁目

受信番号

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

考えられるオプションのツリーを構築して、次の問題を解決します。

№ 971. ある国の指導者は、このように国旗を作ることを決定しました。単色の長方形の背景に、隅の1つに異なる色の円を配置します。 色は赤、黄、緑の3色から選ぶことにしました。 この旗のバリエーションはいくつありますか

存在しますか？ この図は、考えられるオプションのいくつかを示しています。

答え: 24 のオプションがあります。

№ 973. a) 1,3,5,の数字から3桁の数字は何個作れますか? (27 個の数字)

b) 数字を繰り返さない場合、1、3、5 の数字から 3 桁の数字は何個作ることができますか? (6つの数字)

№ 979. 現代の五種競技選手は、飛越障害、フェンシング、水泳、射撃、ランニングの 5 つのスポーツで 2 日間競い合います。

a) 競技の種類ごとに通過順序の選択肢は何通りありますか? (120 オプション)

b) 最後のイベントがランでなければならないことがわかっている場合、競技会のイベントを通過する順序にはいくつの選択肢がありますか? (24 オプション)

c) 最後のタイプがランニングであり、最初のタイプが障害飛越であることがわかっている場合、各タイプの競技を通過する順序にはいくつの選択肢がありますか? (6 つのオプション)

№ 981. 2 つの壺には、白、青、赤、黄、緑の 5 つの異なる色のボールが 5 つずつ入っています。 各壺から一度に 1 つのボールが取り出されます。

a) 描かれたボールの異なる組み合わせは何通りありますか (「白-赤」や「赤-白」のような組み合わせは同じとみなされます)。

(組み合わせは15通り)

b) 描かれたボールが同じ色の組み合わせは何通りありますか?

(組み合わせは5通り)

c) 描かれたボールの色の異なる組み合わせは何通りありますか?

(15 - 5 = 10 の組み合わせ)

宿題： 54, No. 969, 972、自分たちで組み合わせ問題を考えてみましょう。

№ 969. いくつかの国は、国旗に同じ幅の異なる色（緑、黒、黄色）の 3 本の縦縞の形の記号を使用することを決定しました。 各国が独自の国旗を持っている場合、そのような記号を使用できる国は何カ国ありますか?

№ 972. a) 1、3、5、7、9 の数字から 2 桁の数字は何個できますか?

b) 数字を繰り返さない場合、1、3、5、7、9 の数字から 2 桁の数字は何個作ることができますか?

2回目のレッスン

宿題のチェック。 a) No. 969 および No. 972a) および No. 972b) - ボード上に可能なオプションのツリーを構築します。

b) 編集されたタスクを口頭で確認します。

問題解決.

その前に、オプションのツリーを使用して組み合わせ問題を解決する方法を学習しました。 これは良い方法ですか? おそらくそうですが、非常に面倒です。 家庭の問題 No.972 を別の方法で解いてみましょう。 これがどのようにして実現できるのか誰が推測できますか?

答え： Tシャツ5色に対し、ショーツは4色ございます。 合計: 4 * 5 = 20 のオプション。

№ 980. 壺には、白、青、赤、黄、緑の 5 つの異なる色のボールが 5 つ入っています。 各壺から一度に 1 つのボールが取り出されます。 次の出来事を確実、ランダム、または不可能であると説明してください。

a) 異なる色の描かれたボール。 （ランダム）

b) 同じ色の描かれたボール。 （ランダム）

c) 黒と白のボールが描かれます。 （不可能）

d) 2 つのボールが取り出され、両方とも次の色のいずれかに着色されます: 白、青、赤、黄、緑。 （本物）

№ 982. 観光客のグループは、アントノヴォ - ボリソヴォ - ヴラソヴォ - グリボヴォのルートに沿って旅行することを計画しています。 アントノヴォからボリソヴォまでは、いかだで川を下りたり、歩いたりすることができます。 ボリソボからヴラソボまでは、徒歩または自転車で移動できます。 ヴラソヴォからグリボヴォまでは、川に沿って泳いだり、自転車に乗ったり、歩いたりすることができます。 観光客はハイキングのオプションをいくつ選択できますか? ルートの少なくとも 1 つのセクションで自転車を使用する必要がある場合、観光客はハイキングのオプションをいくつ選択できますか?

（12ルート選択肢、うち8ルートは自転車利用）

独立した作品。

1 オプション

a) 0、1、3、5、7 の数字から 3 桁の数字は何個作れますか?

b) 数字が繰り返されない場合、0、1、3、5、7 の数字から 3 桁の数字は何個作れますか?

アトス、ポルトス、アラミスは剣、短剣、ピストルしか持っていない。

a) 銃士は何通りの方法で武装できますか?

b) アラミスが剣を使用しなければならない場合、武器の選択肢はいくつありますか?

c) アラミスが剣を持ち、ポルトスがピストルを持つべきである場合、武器の選択肢はいくつありますか?

どこかで、神はチーズ、ソーセージ、白パンと黒パンだけでなく、チーズ一切れをカラスに送りました。 モミの木に止まったカラスは朝食を食べようとしていましたが、彼女は考えました。これらの製品からサンドイッチを作る方法は何通りあるでしょうか。

オプション 2

a) 0、2、4、6、8 の数字から 3 桁の数字は何個作れますか?

b) 数字が繰り返されない場合、0、2、4、6、8 の数字から 3 桁の数字は何個作れますか?

モンテ・クリスト伯はハイド姫にイヤリング、ネックレス、ブレスレットを贈ることにしました。 各ジュエリーには、ダイヤモンド、ルビー、ガーネットのいずれかの種類の宝石が含まれている必要があります。

a) 宝石ジュエリーの組み合わせは何通りありますか?

b) イヤリングがダイヤモンドでなければならない場合、ジュエリーのオプションはいくつありますか?

c) イヤリングをダイヤモンド、ブレスレットをガーネットにする場合、ジュエリーのオプションはいくつありますか?

朝食には、パン、サンドイッチ、ジンジャーブレッドとコーヒーまたはケフィアをお選びいただけます。 あなたは朝食の選択肢を何通り作ることができますか?

宿題 : No. 974、975。 (オプションのツリーをコンパイルし、乗算ルールを使用することによって)

№ 974 . a) 0、2、4 の数字から 3 桁の数字は何個できますか?

b) 数字が繰り返されない場合、数字 0、2、4 から 3 桁の数字は何個作ることができますか?

№ 975 . a) 1.3、5.7という数字から3桁の数字は何個作れますか?

b) 与えられた数字 1.3、5.7 から 3 桁の数字をいくつ作ることができますか。 繰り返してはいけない数字は何ですか?

問題番号は教科書から引用

「数学-5」、I.I. ズバレバ、A.G. モルドコビッチ、2004年。

1.1. 組み合わせ論からのいくつかの情報

1.1.1. 宿泊施設

特定のオブジェクトのセットの選択と位置に関連する最も単純な概念を考えてみましょう。
これらのアクションを実行できる方法の数を数えることは、確率の問題を解決するときによく行われます。
意味。 からの宿泊 n要素による k (k ≤n) は、次の順序付きサブセットです。 k～で構成されるセットの要素 nさまざまな要素。
例。次の一連の数字は、セット (1;2;3) の 3 つの要素から 2 つの要素を並べたものです: 12、13、23、21、31、32。
配置により構成要素の順序や構成が異なりますのでご注意ください。 配置 12 と 21 には同じ番号が含まれていますが、順序が異なります。 したがって、これらの配置は異なるものとみなされます。
からの異なるプレースメントの数 n要素による k次の式で表され、計算されます。
,
どこ n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n（読む " n階乗)。
数字が繰り返されない限り、数字 1、2、3 で構成できる 2 桁の数字の数は次のとおりです。

1.1.2. 順列

意味。 からの順列 n要素はそのような配置と呼ばれます。 n要素の配置のみが異なる要素。
からの順列の数 n要素 Pn次の式で計算されます。 Pn=n!
例。 5人は何通りに並ぶことができますか? ウェイの数は 5 つの要素の順列の数に等しくなります。
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
意味。 中にあれば n要素 k同一の場合、これらの順列 n要素は繰り返しのある順列と呼ばれます。
例。 6 冊の本のうち 2 冊が同じだとします。 棚にあるすべての本をどのように配置しても、それは繰り返しによる順列です。
繰り返しを含む異なる順列の数 ( n要素のうち、 k同一）は次の式で計算されます。
この例では、本を棚に並べる方法は次のとおりです。

1.1.3. 組み合わせ

意味。 からの組み合わせ n要素による kこのような配置はと呼ばれます n要素による k、少なくとも 1 つの要素が互いに異なります。
の異なる組み合わせの数 n要素による kは次の式で表され、計算されます。
定義により、0!=1 です。
組み合わせには次のプロパティがあります。
1.
2.
3.
4.
例。色違いの花が5本あります。 花束の場合は3つの花を選択します。 5 つの花のうち 3 つの花の異なる花束の数は次のとおりです。

1.2. ランダムイベント

1.2.1. イベント

自然科学における現実の認識は、テスト（実験、観察、経験）の結果として起こります。
テスト または、経験とは、任意の回数だけ再現できる特定の一連の条件の実装です。
ランダム 何らかのテスト（経験）の結果として起こるかもしれないし、起こらないかもしれないイベントと呼ばれます。
したがって、イベントはテストの結果とみなされます。
例。コインを投げることはテストです。 投げると鷲が現れるのがイベントです。
私たちが観察する出来事は、その発生の可能性の程度や関係の性質が異なります。
イベントの名前は、 本物 テストの結果、確実に発生する場合。
例。試験が通常のルールに従って進められた場合、学生が試験でプラスまたはマイナスの得点を獲得することは、特定の出来事です。
イベントの名前は、 不可能 このテストの結果として問題が発生しない場合。
例。色付き（白ではない）ボールだけが入った壺から白いボールを取り出すことは不可能な出来事です。 他の実験条件では、白いボールの出現が除外されないことに注意してください。 したがって、この出来事は私たちの経験の条件下でのみ不可能です。
さらにランダムな出来事はラテン文字の大文字 A、B、C で示されます... 特定の出来事は文字 Ω で示され、不可能な出来事は Ø で示されます。
2 つ以上のイベントが呼び出されます 同様に可能 特定のテストにおいて、これらのイベントのいずれも他のイベントよりも可能性が高い、または低いと信じる理由がある場合。
例。サイコロを 1 回投げると、1、2、3、4、5、6 の目が出るのはすべて同じように起こり得る出来事です。 もちろん、金型は均質な材料でできており、規則的な形状をしていることが前提となります。
2 つのイベントは次のように呼ばれます。 非互換 特定の試験において、一方の発生により他方の発生が除外される場合、および ジョイント さもないと。
例。ボックスには標準部品と非標準部品が含まれています。 一つ詳しく見てみましょう。 標準部品の外観には、非標準部品の外観は含まれません。 これらのイベントには互換性がありません。
いくつかのイベントが形成されます イベントの完全なグループ このテストでは、このテストの結果としてそれらのうちの少なくとも 1 つが必ず発生する場合。
例。この例のイベントは、同様に可能でペアごとに互換性のないイベントの完全なグループを形成します。
特定の試験においてイベントの完全なグループを形成する 2 つの独立したイベントは、と呼ばれます。 反対の出来事.
そのうちの 1 つが で表される場合、 あ、通常、もう一方は through で表されます (「ではない」と読みます)。 あ»).
例。的への 1 発の射撃で命中することと外れるのは反対の出来事です。

1.2.2. 確率の古典的な定義

イベントの確率 - その発生の可能性の数値的尺度。
イベント あ呼ばれた 好ましい イベント のイベントが発生するたびに あ、イベントが発生します の.
イベント あ 1 , あ 2 , ..., あn形状 ケース図 、 もし彼らが：
1) 同様に可能です。
2) ペアごとに互換性がありません。
3) 完全なグループを形成します。
場合のスキームでは (そしてこのスキームでのみ) 確率の古典的な定義が行われます。 P(あ) イベント あ。 ここで、同様に可能でペアごとに互換性のないイベントの選択された完全なグループに属する各イベントは、ケースと呼ばれます。
もしも nはスキーム内のすべてのケースの数であり、 メートル- イベントに有利なケースの数 あ、 それか 事象の確率 あは次の等式で定義されます。

確率の定義から次の特性が得られます。
1. ある出来事が起こる確率は 1 に等しい。
実際、ある出来事が確実であれば、その出来事のスキームにおけるすべての出来事がその出来事に有利になります。 この場合 メートル = nそれゆえ

2. 不可能な出来事が起こる確率はゼロです。
実際、その出来事が不可能であれば、事例スキームのどの事例もその出来事を支持するものではありません。 それが理由です メートル=0 したがって、

ランダムなイベントの確率は、0 から 1 までの正の数です。
実際、ランダムなイベントは、ケースのスキーム内のケースの総数のほんの一部によってのみ支持されます。 したがって0<メートル<n、つまり 0<メートル/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
したがって、あらゆる事象の確率は不等式を満たします。
0 ≤ P(A) ≤ 1.
現在、確率の性質は、A.N. によって定式化された公理の形式で定義されています。 コルモゴロフ。
古典的な確率の定義の主な利点の 1 つは、イベントの確率を直接計算できることです。 実験に頼ることなく、論理的推論に置き換えられます。

確率の直接計算の問題

タスク 1.1。 サイコロを 1 回振って偶数の点 (イベント A) が得られる確率はいくらですか?
解決。 イベントを検討する あ私- 脱落した 私ポイント、 私= 1、2、…、6。 明らかに、これらの出来事はケースのパターンを形成します。 次に、全ケースの数 n= 6. ケースでは偶数のポイントが優先されます。 あ 2 , あ 4 , あ 6、つまり メートル= 3. それでは .
タスク 1.2。 骨壷には白のボールが 5 個、黒のボールが 10 個入っています。 ボールをよく混ぜた後、ランダムにボールを 1 つ取り出します。 引かれたボールが白である確率はどれくらいですか?
解決。 合計 15 のケースがあり、ケースのパターンを形成します。 そして期待の出来事 あ- 白いボールの出現が彼らのうちの 5 人に好まれているため、 .
タスク 1.3。 子供はアルファベットの 6 文字、A、A、E、K、P、T で遊びます。子供がランダムに「CARRIAGE」という単語を追加できる確率を求めます (イベント A)。
解決。 文字の中に同じ「A」という2つの文字があるという事実によって、決定は複雑になります。 したがって、この試行で考えられるすべてのケースの数は、6 文字が繰り返される順列の数に等しくなります。
.
これらのケースは同様に可能であり、ペアごとに互換性がなく、イベントの完全なグループを形成します。 ケース図を作成します。 イベントを有利に進めるチャンスは一度だけ あ。 それが理由です
.
タスク 1.4。 ターニャとワーニャは、10 人のグループで新年を祝うことに同意しました。 二人とも本当は隣に座りたかったのです。 友達の間で場所を抽選で分配するのが習慣である場合、彼らの願いが叶う確率はどのくらいでしょうか?
解決。 で示す あイベント「ターニャとヴァーニャの願いを叶える」。 10人掛けテーブルに10人まで座れます！ 違う方法。 これは何個ですか n= 10! ターニャとワーニャにとって同様に有利な方法はありますか? ターニャとワーニャは、並んで座って、20 の異なるポジションを取ることができます。 同時に、8 人の友人がテーブル 8 に座ることができます。 さまざまな方法があるので、 メートル= 20∙8!。 したがって、
.
タスク 1.5。 女性 5 名と男性 20 名からなるグループが 3 名の代表者を選出します。 出席者のそれぞれが選ばれる可能性が等しいと仮定して、2 人の女性と 1 人の男性が選ばれる確率を求めます。
解決。 テストの同様に起こり得る結果の総数は、25 人から 3 人の代表者を選択できる方法の数に等しくなります。 。 ここで、有利なケースの数を計算してみましょう。 対象のイベントが発生した回数。 男性の代表者は 20 通りの方法で選ぶことができます。 同時に、残りの 2 人の代表者は女性でなければならず、5 人の中から 2 人を選ぶことができます。 したがって、 。 それが理由です
.
問題1.6。 4 つのボールが 4 つの穴にランダムに散らばっており、各ボールは同じ確率で他のボールとは無関係に 1 つまたは別の穴に落ちます (複数のボールを同じ穴に入れることに障害はありません)。 1 つの穴には 3 つのボールがあり、もう 1 つの穴には 1 つのボールがあり、他の 2 つの穴にはボールが存在しない確率を求めます。
解決。 総件数 n=4 4 。 1 つのホールを選択できる方法の数 (ボールが 3 つある場合)。 ボールが 1 つあるホールを選択できる方法の数。 4 つのボールから 3 つのボールを選択して最初の穴に入れる方法の数。 有利なケースの合計数。 イベントの確率:
問題1.7。箱の中には同じボールが 10 個あり、1、2、...、10 の番号が付けられています。6 つのボールは幸運のために抽選されます。 抽出されたボールの中に次のものが存在する確率を求めます。 a) ボール No. 1。 b) ボール #1 と #2。
解決。 a) テストで考えられる基本的な結果の総数は、10 個のボールから 6 個のボールを引き出すことができる方法の数に等しい。
関心のあるイベントに有利な結果の数を見つけてみましょう。選択した 6 つのボールの中にはボール番号 1 があり、その結果、残りの 5 つのボールは異なる番号を持ちます。 このような結果の数は、明らかに、残りの 9 個から 5 個のボールを選択できる方法の数に等しいです。
望ましい確率は、考えられる基本的な結果の総数に対する、検討中のイベントに有利な結果の数の比率に等しくなります。
b) 関心のあるイベントに有利な結果の数 (選択されたボールの中には No. 1 と No. 2 のボールがあり、したがって 4 つのボールの番号は異なります) は、4 つのボールが可能な方法の数に等しいです。残りの 8 つから抽出されます。 望ましい確率

1.2.3. 統計的確率

確率の統計的定義は、実験の結果が同じ確率ではない場合に使用されます。
相対的なイベント頻度 あは次の等式で定義されます。
,
どこ メートルイベントの試行回数です。 あ来たよ n実行されたテストの合計数です。
J. ベルヌーイは、実験の数を無制限に増やすと、イベントの発生の相対頻度が事実上任意に一定の数から異なることを証明しました。 この定数が事象の発生確率であることが分かりました。 したがって、当然のことながら、以前に紹介した確率とは対照的に、十分に大きな試行回数によるイベントの発生の相対頻度は統計的確率と呼ばれます。
例1.8。 湖の中の魚の数をどのように概算できますか?
湖に入れましょう バツ魚。 私たちはネットワークを投げて、その中で見つけたとしましょう n魚。 それぞれにマークを付けてリリースします。 数日後、同じ天気、同じ場所で、同じ網を投げました。 その中に m 匹の魚が見つかったとします。 kラベルが貼られています。 イベントしましょう あ- 「釣った魚にはラベルが貼られています。」 次に相対周波数の定義による。
でも湖の中なら バツ魚を釣ってリリースしました nラベルを付けてから、 。
なぜなら R * (あ) » R(あ）、 それか 。

1.2.4. イベントに関する操作。 加法定理

和複数のイベントの結合、または結合とは、これらのイベントのうちの少なくとも 1 つが (同じテスト内で) 発生することで構成されるイベントです。
和 あ 1 + あ 2 + … + あn次のように表されます。
また .
例。 2 つのサイコロが投げられます。 イベントしましょう あ 1 つのサイコロで 4 点を転がすことで構成され、イベントは の- 別のサイコロの 5 点の出目。 イベント あと のジョイント。 そこでイベントは あ +の最初のサイコロで 4 点、2 番目のサイコロで 5 点、または最初のサイコロで 4 点と 2 番目のサイコロで 5 点を同時に振ることで構成されます。
例。イベント あ– 1 ローンで勝利、イベント の- 2 つのローンで勝ちます。 それからイベントは A+B- 少なくとも 1 つのローンを獲得したこと (おそらく一度に 2 つ)。
仕事または、複数のイベントの交差は、これらすべてのイベントが (同じテスト内で) 同時に発生するイベントです。
仕事 のイベント あ 1 , あ 2 , …, あn次のように表されます。
.
例。イベント あと の研究所への入学時に、それぞれ I ラウンドと II ラウンドを無事に通過することが条件となります。 それからイベントは あ×B両方のラウンドを正常に完了することが重要です。
イベントの和と積の概念には、明確な幾何学的解釈があります。 イベントしましょう あエリア内にポイントのヒットがあります あ、そしてイベント の- エリア内のポイントを打つ の。 それからイベントは A+Bこれらの領域の結合に点のヒットがあり (図 2.1)、イベントが発生します。 あのこれらの領域の交差点に点がヒットします (図 2.2)。

米。 2.1 図 2.2
定理。 イベントの場合 あい(私 = 1, 2, …, n) ペアごとに互換性がない場合、イベントの合計の確率は、これらのイベントの確率の合計に等しくなります。
.
させて あと Ā – 反対の出来事、つまり A+A= Ω、ここで Ω は特定のイベントです。 加法定理から次のことがわかります
P(Ω) = R(あ) + R(Ā ) = 1、したがって
R(Ā ) = 1 – R(あ).
イベントの場合 あ 1と あ 2 つが結合している場合、2 つの結合イベントの合計の確率は次と等しくなります。
R(あ 1 + あ 2) = R(あ 1) + R(あ 2) – P( あ 1× あ 2).
確率加算定理を使用すると、確率の直接計算から複雑なイベントの発生確率を決定することができます。
タスク1.8。 射手は標的に向かって一発の射撃を行います。 10点ノックアウトの確率(イベント) あ)、9ポイント(イベント の) および 8 ポイント (イベント と) はそれぞれ 0.11 に等しい。 0.23; 0.17。 1 回のショットでシューターの得点が 8 ポイント未満になる確率を求めます (イベント D).
解決。 反対のイベントに移りましょう。1 回のショットで、シューターは少なくとも 8 ポイントをノックアウトします。 イベントが発生するのは、 あまた の、 また と、つまり 。 イベント以来 A、B, とはペアごとに矛盾しているため、加法定理により、
、 どこ 。
タスク1.9。 男性6名、女性4名からなる旅団チームの中から2名が労働組合会議のメンバーに選ばれる。 選ばれた人々の中から少なくとも 1 人の女性が当選する確率はどれくらいですか (イベント あ).
解決。 イベントが発生した場合 あの場合、次の互換性のないイベントのいずれかが必ず発生します。 の- 「男と女が選ばれる」。 と「二人の女性が選ばれました。」 したがって、次のように書くことができます。 A=B+C。 事象の確率を求める のと と。 10人中2人を方法で選ぶことができます。 4人の女性のうち2人は方法で選ぶことができます。 オス・メスは6×4通りからお選びいただけます。 それから 。 イベント以来 のと と加法定理により、 は矛盾します。
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
問題1.10。図書館の棚には15冊の教科書がランダムに並べられており、そのうち5冊は製本されています。 司書はランダムに 3 冊の教科書を受け取ります。 取得した教科書の少なくとも 1 つが製本される確率を求めます (イベント あ).
解決。 最初の方法。 次の 3 つの矛盾するイベントのいずれかが発生した場合、要件 (3 冊の製本教科書のうち少なくとも 1 冊を取得) は満たされます。 の- 綴じられた教科書 1 冊 と- 綴じられた教科書 2 冊 D- 綴じられた教科書が 3 冊あります。
興味のあるイベント あはイベントの合計として表すことができます。 A=B+C+D。 加法定理により、
P(A) = P(B) + P(C) + P(D)。 (2.1)
事象の確率を求める B、Cと D(組み合わせスキームを参照):

これらの確率を等式 (2.1) で表すと、最終的に次のようになります。
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
2番目の方法。 イベント あ（受講した 3 冊の教科書のうち少なくとも 1 冊には装丁が付いています）および Ā (どの教科書にも拘束力はありません) 反対なので、 P(A) + P(Ā) = 1 (2 つの反対の事象の確率の合計は 1 に等しい)。 ここから P(A) = 1 – P(a)。イベントが発生する確率 Ā （受講した教科書は綴じられません）
望ましい確率
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. 条件付き確率。 確率乗算定理

条件付き確率 P(B/あ) は、イベント A がすでに発生したと仮定して計算されたイベント B の確率です。
定理。 2 つのイベントが同時に発生する確率は、一方の確率ともう一方の条件付き確率の積に等しく、最初のイベントがすでに発生していると仮定して計算されます。
P(A∙B) = P(A)∙P( の/あ). (2.2)
2 つのイベントは、どちらかの発生が他方の発生確率を変えない場合、独立していると呼ばれます。
P(A) = P(A/B） また P(B) = P(B/あ). (2.3)
イベントの場合 あと のが独立している場合、式 (2.2) と (2.3) は次のことを意味します。
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
逆のステートメントも真です。つまり、 等式 (2.4) が 2 つのイベントに対して成り立つ場合、これらのイベントは独立しています。 実際、式 (2.4) と (2.2) は次のことを意味します。
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/あ）、 どこ P(A) = P(B/あ).
式 (2.2) は、有限数のイベントの場合に一般化できます。 あ 1 , あ 2 ,…,あん:
P(A 1 ∙あ 2 ∙…∙あん)=P(A 1)∙P(A 2 /あ 1)∙P(A 3 /あ 1 あ 2)∙…∙P(An/あ 1 あ 2 …あん -1).
タスク1.11。 5 個の白ボールと 10 個の黒ボールが入った壺から、2 つのボールが連続して引き出されます。 両方のボールが白である確率を求めます (イベント あ).
解決。 次のようなイベントを考えてみましょう。 の- 最初に描かれたボールは白です。 と– 2 番目に引かれたボールは白です。 それから A = BC.
体験は次の 2 つの方法で行うことができます。
1）リターンあり：色を固定した後、描かれたボールを壺に戻します。 この場合、イベントは のと と独立：
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) 交換なし: 引かれたボールは脇に置かれます。 この場合、イベントは のと と依存：
P(A) = P(B)∙P(C/の).
イベント用 の条件は同じであり、 と状況は変わりました。 起こりました の、つまり、壺の中には 14 個のボールが残っており、そのうち 4 個は白です。
それで、 。
タスク1.12。 50 個の電球のうち、3 個は規格外です。 同時に採取された 2 つの電球が規格外である確率を求めます。
解決。 次のようなイベントを考えてみましょう。 あ- 最初の電球は規格外です。 の- 2 番目の電球は規格外です。 と- 両方の電球が規格外です。 それは明らかです C = A∙の。 イベント あ可能な 50 件のうち 3 件を優先します。つまり、 P(A) = 3/50。 イベントなら あすでに起こった、その出来事 の可能な 49 件のうち 2 件を優先します。つまり、 P(B/あ) = 2/49。 したがって、
.
タスク1.13。 2 人のアスリートが独立して同じターゲットに向かって射撃します。 最初のアスリートのターゲットに当たる確率は 0.7、2 番目のアスリートの的中率は 0.8 です。 標的が命中する確率はどれくらいですか?
解決。 最初の射手、2 番目の射手、または両方が命中した場合、ターゲットは命中します。 イベントが起こります A+B、イベントの場所 あ最初のアスリートがターゲットに命中することで構成され、イベントは の- 2番。 それから
P(A+の)=P(A)+P(B)–P(A∙の)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
問題1.14。閲覧室には確率論の教科書が 6 冊あり、そのうち 3 冊は製本されています。 司書はランダムに2冊の教科書を手に取りました。 2冊の教科書が綴じられる確率を求めよ。
解決。 イベントの記法を導入しましょう :A– 最初に手に取った教科書には装丁があり、 の- 2冊目の教科書は製本されています。 最初の教科書に装丁がある確率は、
P(A) = 3/6 = 1/2.
最初に手に取った本が製本されていたとして、2 番目の教科書が製本される確率、つまり 事象の条件付き確率 の、 これは： P(B/A) = 2/5.
事象の確率の乗法定理によると、両方の教科書に拘束力がある望ましい確率は、次のとおりです。
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 ∙ 2/5 = 0.2。
問題1.15。当店の従業員は男性7名、女性3名です。 職員番号に従って 3 名が無作為に選ばれました。 選択したすべての人が男性である確率を求めます。
解決。 イベントの表記法を導入しましょう。 あ- 男性が最初に選択されました の- 2番目に選ばれた男、 と - 3番目に選ばれた男。 男性が最初に選ばれる確率 P(A) = 7/10.
男性がすでに最初に選択されている場合に、男性が 2 番目に選択される確率。 事象の条件付き確率 の次 :P(B/A) = 6/9 = 2/3.
すでに 2 人の男性が選択されている場合に、1 人の男性が 3 番目に選択される確率。 事象の条件付き確率 とは： P(C/AB) = 5/8.
選択された 3 人全員が男性であるという望ましい確率、 P(ABC) = P(A) P(B/あ) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24。

1.2.6. 総確率公式とベイズ公式

させて B 1 , B 2 ,…, Bnペアごとに互換性のないイベント (仮説) であり、 あ- そのうちの 1 つと連動してのみ発生するイベント。
私たちにも知らせてください Р(B i） と P(A/ビ) (私 = 1, 2, …, n).
これらの条件下では、式は有効です。
(2.5)
(2.6)
式(2.5)を呼び出すと、 合計確率の式 。 事象の確率を計算します あ（完全な確率で）。
式(2.6)が呼び出されます。 ベイズの公式 。 イベントが発生した場合に仮説の確率を再計算できます。 あ起こりました。
例をまとめるときは、仮説が完全なグループを形成していると考えると便利です。
タスク1.16。 かごには同じ品種の 4 本の木から採れたリンゴが入っています。 最初のリンゴから-15％、2番目から-35％、3番目から-20％、4番目から-30％。 熟したリンゴはそれぞれ99%、97%、98%、95%です。
a) ランダムに選ばれたリンゴが熟している確率はどれくらいですか? あ).
b) 無作為に取り出したリンゴが熟していることが判明したと仮定して、それが最初の木から採れたものである確率を計算します。
解決。 a) 4 つの仮説があります。
B 1 - ランダムに取られたリンゴが 1 番目の木から取られます。
B 2 - 2 番目の木からランダムにリンゴが取り出されます。
B 3 - 3 番目の木からランダムにリンゴが取り出されます。
B 4 - ランダムに取られたリンゴが 4 番目の木から取られます。
条件に応じた確率は次のとおりです。 P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
条件付きイベント確率 あ:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
ランダムに選ばれたリンゴが熟す確率は、合計確率の公式で求められます。
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) この場合のベイズの公式は次の形式になります。
.
問題1.17。 2 つのボールが入った壺に白いボールが落とされ、その後ランダムに 1 つのボールが引き出されます。 ボールの初期構成 (色別) について考えられるすべての仮定が同様に可能である場合に、描画されたボールが白になる確率を求めます。
解決。 で示す あイベント - 白いボールが描画されます。 ボールの初期構成については、次のような仮定 (仮説) が考えられます。 B1白球が無い AT2- 白いボール 1 つ AT3- 2 つの白いボール。
合計で 3 つの仮説があり、仮説の確率の合計が 1 であるため (仮説は完全なイベントのグループを形成しているため)、各仮説の確率は 1/3、つまり 1/3 になります。
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
最初に壺の中に白いボールがなかったと仮定して、白いボールが引き出される条件付き確率は、 P(A/B 1)=1/3。 壺にもともと白球が 1 個入っていたとすると、白球が取り出される条件付き確率は、 P(A/B 2)=2/3。 壺にもともと 2 つの白球が入っていたと仮定して、白球が取り出される条件付き確率。 P(A/B 3)=3/ 3=1.
白球が引き出される望ましい確率は、合計確率の公式によって求められます。
R(あ)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
タスク1.18。 2 台の機械で同じ部品が製造され、それらが共通のコンベアに供給されます。 最初のマシンのパフォーマンスは 2 番目のマシンの 2 倍です。 最初の機械は平均 60% の優れた品質の部品を生産し、2 番目の機械は 84% を生産します。 組み立てラインからランダムに取り出した部品は、非常に品質が良いことが判明しました。 このアイテムが最初の機械によって生産された確率を求めます。
解決。 で示す あイベントは優れた品質のアイテムです。 次の 2 つの仮定が考えられます。 B1- 部品は最初の機械で生産され、(最初の機械は 2 番目の機械の 2 倍の部品を生産するため) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - 部品は 2 台目の機械で製造され、 P(B 2) = 1/3.
最初の機械で製造された場合にその部品が優れた品質であるという条件付き確率、 P(A/B 1)=0,6.
2 番目の機械で製造された場合にその部品が優れた品質になるという条件付き確率、 P(A/B 1)=0,84.
ランダムに選択された部品が優れた品質である確率は、確率の合計公式によれば次のようになります。
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0.6+1/3 0.84 = 0.68。
ベイズの公式によれば、取出された優れた部分が最初のオートマトンによって生成される望ましい確率は、次の値に等しくなります。

タスク1.19。 それぞれ 20 個のパーツからなる 3 つのバッチのパーツがあります。 標準部品数は、第 1 バッチが 20 個、第 2 バッチが 15 個、第 3 バッチが 10 個であり、選択したバッチの中からランダムに標準と判明した部品を抽出します。 部品はバッチに戻され、再度同じバッチから部品がランダムに取り出されますが、これも標準であることが判明しました。 部品が 3 番目のバッチから取られた確率を求めます。
解決。 で示す あイベント - 2 つのテスト (リターンあり) のそれぞれで、標準パーツが取得されました。 次の 3 つの仮説が立てられます。 B 1 - 最初のバッチから部品が取り出されます。 の 2 – 部品は 2 番目のバッチから採取されます。 の 3 - 部品が 3 番目のバッチから取り出されます。
詳細は取得されたバッチからランダムに取得されたため、仮説の確率は同じです。 P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
条件付き確率を求める P(A/B 1)、つまり 2 つの標準パーツが最初のバッチから連続して抽出される確率。 このイベントは信頼できるからです。 最初のバッチでは、すべてのパーツが標準であるため、 P(A/B 1) = 1.
条件付き確率を求める P(A/B 2)、つまり 2 つの標準部品が 2 番目のバッチから (リターン付きで) 連続して抽出される確率: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
条件付き確率を求める P(A/B 3)、つまり 2 つの標準部品が 3 番目のバッチから (戻りとともに) 連続して取り出される確率: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4。
ベイズの公式によれば、抽出された両方の標準部品が 3 番目のバッチから取得される望ましい確率は次と等しくなります。

1.2.7. 再テスト

複数のテストが実行され、イベントの確率が あ各トライアルは他のトライアルの結果に依存しないため、そのようなトライアルは次のように呼ばれます。 イベント A に関しては独立しています。さまざまな独立した試験では、このイベントは あ異なる確率または同じ確率のいずれかになります。 さらに、イベントが発生するような独立した試験のみを検討します。 あ同じ確率があります。
生産させてください P独立したトライアル。それぞれのイベントで あ現れるかもしれないし、現れないかもしれない。 ある事象の確率を仮定してみましょう あ各テストで同じ、つまり等しい R.したがって、事象が起こらない確率は、 あ各テストでも定数であり、1 に等しいです。 R.このような確率的スキームは次のように呼ばれます。 ベルヌーイスキーム。 次の確率を計算するタスクを自分自身に設定しましょう。 Pベルヌーイ イベント トライアル あまさに叶うだろう k一度 （ k- 成功の数)、したがって実現されません P-一度。 イベントが必須ではないことを強調することが重要です。 あ正確に繰り返されました k一定の順序で回します。 希望の確率を指定します R p (k). たとえば、次のような記号があります。 R 5(3) は、5 回の試行でイベントがちょうど 3 回出現する確率を意味し、したがって 2 回は発生しません。
この問題は、いわゆる ベルヌーイの公式、これは次のようになります:
.
問題1.20。 1 日の電力消費量が確立された基準を超えない確率は次のとおりです。 R=0.75。 今後 6 日間に 4 日間の電力消費量が標準を超えない確率を求めます。
解決。 6 日間のそれぞれにおける通常の電力消費の確率は一定であり、次のようになります。 R=0.75。 したがって、毎日の電気の過剰消費の確率も一定であり、次のようになります。 q= 1–R=1–0,75=0,25.
ベルヌーイの公式による望ましい確率は次のようになります。
.
タスク1.21。 2 人の同等のチェスプレイヤーがチェスをプレイします。 4 試合中 2 試合に勝つのと、6 試合中 3 試合に勝つのはどちらの可能性が高くなりますか (引き分けは考慮されません)。
解決。 同等のチェスプレイヤーがプレイするので、勝つ確率は R= 1/2、したがって負ける確率 qも 1/2 に等しくなります。 なぜなら すべてのゲームで勝利の確率が一定であり、ゲームがどの順序で勝つかは問題ではない場合、ベルヌーイの公式が適用されます。
4 試合中 2 試合が勝つ確率を求めます。

6 試合のうち 3 試合が勝つ確率を求めます。

なぜなら P 4 (2) > P 6(3) では、6 試合中 3 試合に勝つよりも 4 試合中 2 試合に勝つ可能性が高くなります。
ただし、大きな値に対してベルヌーイの公式を使用すると、 nこの式では膨大な数の演算を実行する必要があるため、計算の過程で誤差が蓄積するため、これはかなり困難です。 その結果、最終結果は実際のものとは大きく異なる可能性があります。
この問題を解決するために、試行回数が多い場合に使用されるいくつかの極限定理があります。
1. ポアソンの定理
ベルヌーイ スキームに従って多数のテストを実行する場合 ( n=> ∞) 少数の好ましい結果が得られる k(成功確率が p small)、ベルヌーイの公式はポアソンの公式に近づきます。
.
例1.22。企業による生産単位の生産における結婚の確率は、 p=0.001。 5000 個の製品を生産したときに不良品が 4 個未満になる確率はどれくらいですか (イベント あ 解決。 なぜなら nが大きい場合は、局所的なラプラス定理を使用します。

コンピューティング バツ:
関数 は偶数であるため、φ(-1.67) = φ(1.67)となります。
付録 A.1 の表によれば、φ(1.67) = 0.0989 となります。
望ましい確率 P 2400 (1400) = 0,0989.
3. ラプラスの積分定理
確率なら Rイベントの発生 あベルヌーイ スキームによる各試行では一定であり、0 と 1 とは異なります。その場合、多数の試行が行われます。 n、確率 R p (k 1 、k 2) イベント発生 あこれらの試練の中で k 1から k 2 倍とほぼ等しい
R p(k 1 、k 2) = Φ ( バツ"") – Φ ( バツ"）、 どこ
はラプラス関数、

ラプラス関数の定積分は解析関数のクラスでは計算されないため、表 1 を使用して計算します。 第 2 条、付録に記載。
例1.24。 100 回の独立した試行のそれぞれでイベントが発生する確率は一定であり、次と等しいです。 p= 0.8。 イベントが発生する確率を求めます。 a) 少なくとも 75 回、最大で 90 回。 b) 少なくとも 75 回。 c) 74 回を超えないこと。
解決。 ラプラスの積分定理を使ってみましょう。
R p(k 1 、k 2) = Φ ( バツ"") – Φ( バツ")、ここでФ( バツ) はラプラス関数、

a) 条件別 n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90。計算します。 バツ""と バツ" :


ラプラス関数が奇数であることを考慮すると、つまり F(- バツ) = – F( バツ）、 我々が得る
P 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1.25) \u003d F (2.5) + F (1.25)。
表によると P.2. アプリケーションを見つける:
F(2.5) = 0.4938; Ф(1.25) = 0.3944。
望ましい確率
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) イベントが少なくとも 75 回発生するという要件は、イベントの発生回数が 75、76、...、または 100 に等しくなる可能性があることを意味します。したがって、検討中のケースでは、次のことを受け入れるべきです。 k 1 = 75、k 2 = 100。すると

.
表によると P.2. アプリケーションでは、Ф (1.25) = 0.3944 が得られます。 Ф(5) = 0.5。
望ましい確率
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) イベント - 「 あ少なくとも 75 回は登場しました」および「 あ「74 回以下の出現」は逆なので、これらのイベントの確率の合計は 1 です。したがって、望ましい確率は
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

確率理論は、数学の他の分野と同様、特定の範囲の概念で機能します。 確率論の概念のほとんどは定義されていますが、幾何学における点、線、平面のように、定義されていない主要な概念とみなされるものもあります。 確率論の主な概念はイベントです。 イベントとは、ある時点以降、次の 2 つのうちの 1 つだけが言えるものです。

• · はい、それは起こりました。
• · いいえ、そんなことはありませんでした。

たとえば、私は宝くじを持っています。 宝くじの抽選結果が発表された後、私が興味を持っているイベント、つまり1000ルーブルを獲得するイベントが発生するか、または発生しません。 あらゆる出来事はテスト（または経験）の結果として発生します。 テスト (または経験) の下で、イベントが発生する結果としての条件を理解します。 たとえば、コインを投げることはテストであり、その上に「紋章」が出現することはイベントです。 イベントは通常、ラテン語の大文字、A、B、C、... で表されます。 物質世界の出来事は、確実なもの、不可能なもの、ランダムなものの 3 つのカテゴリに分類できます。

ある出来事とは、起こることが事前に分かっている出来事のことです。 これは文字 W で示されます。したがって、通常のサイコロを投げるときや、白玉だけが入った壺から出たときの白玉の出現など、信頼できる点は 6 点までです。

不可能な出来事とは、起こらないと事前にわかっている出来事のことです。 これは文字 E で示されます。不可能な出来事の例としては、通常のトランプから 4 つ以上のエースを引き出すこと、白と黒のボールだけが入った壺から赤いボールが現れることなどが挙げられます。

ランダム イベントとは、テストの結果として発生する場合も発生しない場合もあるイベントです。 イベント A と B は、一方の発生によって他方の発生の可能性が排除される場合、互換性がないと呼ばれます。 したがって、サイコロを投げたときの可能な数の点の出現 (イベント A) は、別の数字の出現 (イベント B) と矛盾します。 偶数のポイントをロールすることは、奇数のポイントをロールすることと互換性がありません。 逆に、偶数のポイント (イベント A) と 3 で割り切れるポイント数 (イベント B) は互換性がありません。6 ポイントの損失はイベント A とイベント B の両方が発生することを意味するため、1 つのポイントが発生することは意味します。それらのうち、他のものの発生を排除するものではありません。 イベントに対して操作を実行できます。 2 つのイベントの結合 C=AUB は、これらのイベント A と B の少なくとも 1 つが発生した場合にのみ発生するイベント C です。2 つのイベントの交差 D=A?? B は、イベント A と B の両方が発生した場合にのみ発生するイベントです。