x の根の導関数を求めます。 導関数を見つける: アルゴリズムとソリューションの例

説明書

ルートの導関数を見つける前に、解く例に存在する他の関数に注意してください。 問題に根数式が多数ある場合は、平方根の導関数を求めるために次のルールを使用します。

(√x)」= 1 / 2√x。

立方根の導関数を求めるには、次の公式を使用します。

(3√x)" = 1 / 3(3√x)²、

ここで、³√x は x の立方根を表します。

微分を目的として、fractional に変数がある場合は、ルートを適切な指数を使用してべき乗関数に変換します。 平方根の場合は 1/2 の累乗、立方根の場合は 1/3 になります。

√x = x^1/2、
3√х = x ^ 1/3、

ここで、^ はべき乗を表します。

一般にべき乗関数、特に x^1、x^1/3 の導関数を求めるには、次のルールを使用します。

(x^n)" = n * x^(n-1)。

ルートの導関数の場合、この関係は次のことを意味します。

(x^1/2)" = 1/2 x ^ (-1/2) および
(x^1/3)」= 1/3 x ^ (-2/3)。

すべてを区別したら、例の残りの部分を注意深く見てください。 回答に非常に複雑な表現がある場合は、おそらく簡略化することができます。 ほとんどの学校の例は、最終結果が小さな数またはコンパクトな式になるように構成されています。

多くの導関数問題では、根 (平方根と立方体) が他の関数と一緒に求められます。 この場合、ルートの導関数を見つけるには、次のルールを使用します。
定数 (定数、C) の導関数はゼロに等しくなります: C" = 0;
定数因数は微分符号から取り出されます: (k*f)" = k * (f)" (f は任意の関数);
いくつかの関数の合計の導関数は、導関数の合計に等しい: (f + g)" = (f)" + (g)";
2 つの関数の積の導関数は、導関数の積ではなく、次の式に等しいです: (fg)" = (f)"g + f (g)";
商の導関数も導関数の商と等しくありませんが、次の規則に従って求められます: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g²。

注記

このページでは、関数の導関数をオンラインで計算し、問題の詳細な解決策を得ることができます。 関数の導関数の解は、学生が研究所の数学的解析の過程で学ぶ微分規則を使用して作成されます。 関数の導関数を求めるには、データ入力規則に従って「関数」フィールドに微分する関数を入力する必要があります。

役立つアドバイス

関数の導関数は、引数の増分がゼロになる傾向がある場合の、関数の増分と引数の増分との比率の制限です。この定義の数学的意味は、学校では理解するのがあまり簡単ではありません。代数コースでは、関数の極限の概念がまったく研究されていないか、非常に表面的にしか研究されていません。 しかし、さまざまな関数の導関数を見つける方法を学ぶために、これは必要ありません。

出典:

• x の導根

1. 任意の次数の根の導関数の公式の一般的な場合- 分子に 1 がある分数、分母には導関数が計算された根のべき乗に等しい数値を同じべき乗の根で乗算し、その根次式は次の変数になります。導関数が計算された根のべき乗を 1 減算したもの
2. 平方根導関数- は、前の式の特殊なケースです。 x の平方根の導関数分子が 1、分母が x の平方根の 2 倍である分数です。
3. 立方根の導関数、これも一般式の特殊なケースです。 立方根の導関数は、x の 2 乗を 3 つの立方根で割ったものです。

以下は、平方根と立方根の導関数を求める公式が図に示すものとまったく同じである理由を説明する変換です。

もちろん、導関数の根を求めることは、分母が同じべき乗に等しい分数を累乗することと同じであることを考慮すれば、これらの公式をまったく覚える必要はありません。 次に、根の導関数を求めることは、対応する分数のべき乗の導関数を求める公式を適用することに帰着します。.

変数の平方根の導関数

説明:
(√x)" = (x 1/2)"

平方根は1/2乗と全く同じ演算です。これは、ルートの導関数を求めるには、変数の任意のべき乗を求めるルールの式を適用できることを意味します。

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

立方根の導関数（3乗根の導関数）

立方根を 1/3 の累乗として想像し、微分の一般規則を使用して導関数を求めてみましょう。 簡単な式は上の図で見ることができ、以下はその理由の説明です。

累乗 -2/3 は 1/3 から 1 を引くことで得られます。

べき乗関数の導関数 (x の a 乗) の公式の導出。 x の根からの導関数が考慮されます。 高次のべき乗関数の導関数の公式。 導関数の計算例。

以下も参照してください。 べき乗関数と根、公式とグラフ
べき乗関数グラフ

基本的な公式

x の a 乗の導関数は、a の x 乗から 1 乗を引いたものに等しくなります。
(1) .

x の n 乗根の m 乗の導関数は次のとおりです。
(2) .

べき乗関数の導関数の公式の導出

ケース x > 0

指数 a をもつ変数 x のべき乗関数を考えてみましょう。
(3) .
ここで、a は任意の実数です。 まずその場合を考えてみましょう。

関数 (3) の導関数を求めるには、べき関数のプロパティを使用し、それを次の形式に変換します。
.

ここで、以下を使用して導関数を求めます。
;
.
ここ 。

式(1)が証明されました。

x の n 次の根を m 次まで導関数する公式の導出

ここで、次の形式のルートである関数を考えてみましょう。
(4) .

導関数を見つけるために、ルートをべき乗関数に変換します。
.
式 (3) と比較すると、次のことがわかります。
.
それから
.

式 (1) を使用して導関数を求めます。
(1) ;
;
(2) .

実際には、式 (2) を暗記する必要はありません。 最初にルートをべき乗関数に変換してから、式 (1) を使用してその導関数を求める方がはるかに便利です (ページの最後にある例を参照)。

ケース x = 0

の場合、変数 x = の値に対してべき乗関数が定義されます。 0 。 x = における関数 (3) の導関数を求めてみましょう。 0 。 これを行うには、導関数の定義を使用します。
.

x = を代入してみましょう 0 :
.
この場合、導関数とは、 の右側の極限を意味します。

そこで次のことがわかりました。
.
このことから、 については、 であることが明らかです。
で 、 。
で 、 。
この結果は式 (1) からも得られます。
(1) .
したがって、式 (1) は x = に対しても成り立ちます。 0 .

ケースx< 0

関数 (3) をもう一度考えてみましょう。
(3) .
定数 a の特定の値については、変数 x の負の値についても定義されます。 つまり、a を有理数とします。 次に、それは既約分数として表すことができます。
,
ここで、m と n は公約数を持たない整数です。

n が奇数の場合、べき乗関数は変数 x の負の値に対しても定義されます。 たとえば、n = の場合、 3 そしてm = 1 x の立方根があります。
.
変数 x の負の値についても定義されます。

定義されている定数 a の有理値に対するべき乗関数 (3) の導関数を求めてみましょう。 これを行うには、x を次の形式で表します。
.
それから 、
.
導関数の符号の外側に定数を配置し、複素関数を微分するための規則を適用することで導関数を求めます。

.
ここ 。 しかし
.
それ以来
.
それから
.
つまり、式 (1) は次の場合にも当てはまります。
(1) .

高次導関数

次に、べき乗関数の高次導関数を求めてみましょう。
(3) .
すでに一次導関数を見つけています。
.

導関数の符号の外側に定数 a を取り、二次導関数を求めます。
.
同様に、3 次と 4 次の導関数を求めます。
;

.

このことから明らかなように、 任意の n 次の導関数は次の形式になります。
.

気づいてください、それは a が自然数の場合の場合、n 階導関数は定数になります。
.
その後、後続のすべての導関数はゼロに等しくなります。
,
で 。

導関数の計算例

例

関数の導関数を求めます。
.

根を累乗に変換しましょう:
;
.
元の関数は次の形式になります。
.

べき乗の導関数を求める：
;
.
定数の導関数はゼロです。
.

微分値を求める操作を微分といいます。

引数の増分に対する増分の比率の限界として導関数を定義することによって、最も単純な (そしてそれほど単純ではない) 関数の導関数を見つける問題を解決した結果、導関数の表と正確に定義された微分規則が現れました。 。 導関数の発見の分野で最初に取り組んだのは、アイザック ニュートン (1643-1727) とゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツ (1646-1716) でした。

したがって、現代では、関数の導関数を求めるために、関数の増分と引数の増分の比率の上記の制限を計算する必要はなく、次の表を使用するだけで済みます。導関数と微分の法則。 次のアルゴリズムは導関数を見つけるのに適しています。

導関数を求めるには、プライム記号の下に式が必要です 単純な機能をコンポーネントに分割するそしてどのようなアクションを行うかを決定します (積、和、商)これらの機能は関連しています。 次に、導関数の表で初等関数の導関数を見つけ、微分の規則で積、和、商の導関数の公式を見つけます。 導関数テーブルと微分規則は、最初の 2 つの例の後に示されています。

例1.関数の導関数を求める

解決。 微分規則から、関数の和の導関数は関数の導関数の和であることがわかります。

導関数の表から、「x」の導関数は 1 に等しく、サインの導関数はコサインに等しいことがわかります。 これらの値を導関数の合計に代入し、問題の条件に必要な導関数を求めます。

例2。関数の導関数を求める

解決。 第 2 項が定数因数を持つ和の導関数として微分します。これは導関数の符号から取り出すことができます。

何かがどこから来たのかについて疑問がまだ生じた場合、通常は導関数の表と最も単純な微分の規則を理解した後で解決されます。 私たちは今、それらに向かって進んでいます。

単純な関数の導関数の表

1. 定数（数値）の導関数。 関数式内の任意の数値 (1、2、5、200...)。 常にゼロに等しくなります。 これは非常に頻繁に必要となるため、覚えておくことが非常に重要です。
2. 独立変数の導関数。 ほとんどの場合は「X」です。 常に 1 に等しくなります。 これも長く覚えておくことが重要です
3. 次数の導関数。 問題を解くときは、平方根以外をべき乗に変換する必要があります。
4. 変数の -1 乗の導関数
5. 平方根の導関数
6. サインの微分
7. コサインの導関数
8. 接線の導関数
9. コタンジェントの導関数
10. 逆正弦の導関数
11. 逆余弦の導関数
12. 逆正接の導関数
13. 逆余接の導関数
14. 自然対数の導関数
15. 対数関数の導関数
16. 指数の導関数
17. 指数関数の導関数

微分の法則

1. 和または差の導関数
2. 製品の派生品
2a. 定数係数を乗算した式の導関数
3. 商の導関数
4. 複素関数の導関数

ルール1。機能の場合

ある点で微分可能である場合、関数は同じ点で微分可能です

そして

それらの。 関数の代数和の導関数は、これらの関数の導関数の代数和に等しい。

結果。 2 つの微分可能な関数が定数項によって異なる場合、それらの導関数は等しい、つまり

ルール2。機能の場合

ある点で微分可能である場合、その積は同じ点で微分可能です

そして

それらの。 2 つの関数の積の導関数は、これらの各関数の積ともう一方の関数の導関数の合計に等しくなります。

帰結 1. 導関数の符号から定数因数を取り出すことができます。:

帰結２． いくつかの微分可能な関数の積の導関数は、各因子の導関数と他のすべての因子の導関数の積の合計に等しくなります。

たとえば、3 つの乗算器の場合は次のようになります。

ルール3。機能の場合

ある時点で微分可能 そして , この時点で、それらの商も微分可能ですu/v 、および

それらの。 2 つの関数の商の導関数は分数に等しく、分子は分母と分子の導関数、分子と分母の導関数の積の差であり、分母は の 2 乗です。前の分子。

他のページの内容を探す場所

実際の問題で積と商の導関数を求める場合、常に複数の微分ルールを同時に適用する必要があるため、記事にはこれらの導関数に関する例がさらにあります。「関数の積と商の導関数」.

コメント。定数 (つまり数値) を和の項として、また定数因数として混同しないでください。 項の場合、その導関数はゼロに等しく、定数因数の場合、導関数の符号から取り出されます。 これは、導関数を勉強する初期段階で発生する典型的な間違いですが、平均的な学生は、1 部構成または 2 部構成の例題をいくつか解くにつれて、この間違いを犯さなくなります。

そして、製品や商材を区別するときに、次のような用語があるとします。 あなた"v、 その中で あなた- 数値、たとえば 2 や 5、つまり定数の場合、この数値の導関数はゼロに等しくなり、したがって項全体がゼロに等しくなります (このケースについては例 10 で説明します)。

もう 1 つのよくある間違いは、複雑な関数の導関数を単純な関数の導関数として機械的に解くことです。 それが理由です 複素関数の導関数別の記事で説明します。 しかし、最初に単純な関数の導関数を見つけることを学びます。

その過程で、式を変換することなしにはできません。 これを行うには、マニュアルを新しいウィンドウで開く必要がある場合があります。 力と根を持つアクションそして 分数を使った演算 .

べき乗と根を使った分数の導関数の解を探している場合、つまり関数が次のような場合 , 次に、「累乗と根を使用した分数の和の微分」のレッスンに進みます。

のようなタスクがある場合 , 次に、「単純な三角関数の微分」のレッスンを受講します。

段階的な例 - 導関数を見つける方法

例 3.関数の導関数を求める

解決。 関数式の部分を定義します。式全体は積を表し、その因数は合計であり、2 番目の項の 1 つに定数因数が含まれます。 積微分ルールを適用します。2 つの関数の積の導関数は、これらの各関数の積ともう一方の関数の導関数の合計に等しくなります。

次に、和の微分規則を適用します。つまり、関数の代数和の導関数は、これらの関数の導関数の代数和に等しいということです。 この場合、各合計の 2 番目の項にはマイナス記号が付いています。 それぞれの合計には、導関数が 1 に等しい独立変数と、導関数が 0 に等しい定数 (数値) の両方が表示されます。 したがって、「X」は 1 になり、マイナス 5 は 0 になります。 2 番目の式では、「x」に 2 が乗算されるため、「x」の導関数と同じ単位で 2 を乗算します。 次の導関数値が得られます。

見つかった導関数を積の和に代入し、問題の条件で必要な関数全体の導関数を取得します。

そして、導関数問題の解法を確認することができます。

例4.関数の導関数を求める

解決。 商の導関数を見つける必要があります。 商を微分するための公式を適用します。2 つの関数の商の導関数は分数に等しく、その分子は分母と分子の導関数の積と分子と導関数の積の差です。分母は前の分子の 2 乗です。 我々が得る：

例 2 の分子の因数の微分はすでに見つけています。また、現在の例の分子の 2 番目の因数である積がマイナス記号で取られていることも忘れないでください。

関数の導関数を見つける必要がある問題の解決策を探している場合、根と累乗が連続的に山のように存在します。たとえば、次のとおりです。 では、クラスへようこそ 「分数の累乗と根の和の導関数」 .

サイン、コサイン、タンジェント、その他の三角関数の導関数についてさらに詳しく知りたい場合、つまり関数が次のような場合 では、あなたのためのレッスンです 「単純な三角関数の導関数」 .

例5。関数の導関数を求める

解決。 この関数では積が表示されます。その因子の 1 つは独立変数の平方根であり、その導関数は導関数の表でよく知られています。 積を微分するためのルールと平方根の導関数の表の値を使用すると、次が得られます。

導関数問題の解法は次の場所で確認できます。 オンラインデリバティブ計算機 .

例6。関数の導関数を求める

解決。 この関数では、被除数が独立変数の平方根である商が表示されます。 例 4 で繰り返し適用した商の微分の規則と、平方根の微分の表にまとめられた値を使用すると、次が得られます。

分子の端数を取り除くには、分子と分母に を掛けます。

複合型の関数は、必ずしも複合関数の定義に適合するとは限りません。 y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 という形式の関数がある場合、y = sin 2 x とは異なり、それは複素数であると見なすことはできません。

この記事では、複素関数の概念とその識別について説明します。 結論として解決策の例を示しながら、導関数を求める公式を使ってみましょう。 導関数テーブルと微分ルールを使用すると、導関数を見つける時間が大幅に短縮されます。

基本的な定義

複合関数とは、引数も関数である関数です。

これは f (g (x)) のように表されます。 関数 g (x) は引数 f (g (x)) と見なされます。

定義 2

関数 f があり、それが余接関数である場合、 g(x) = ln x は自然対数関数です。 複素関数 f (g (x)) は arctg(lnx) として記述されることがわかります。 または、関数 f (4 乗関数) では、 g (x) = x 2 + 2 x - 3 が有理関数全体とみなされるため、 f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 。

明らかに、g(x) は複素数になる可能性があります。 例 y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 から、g の値が分数の立方根を持つことが明らかです。 この式は、y = f (f 1 (f 2 (x))) として表すことができます。 f が正弦関数、f 1 が平方根の下にある関数であることがわかります。f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 は分数の有理関数です。

定義 3

入れ子の次数は任意の自然数によって決定され、 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) として記述されます。

定義 4

関数合成の概念は、問題の条件に応じて入れ子になった関数の数を指します。 解決するには、次の形式の複素関数の導関数を求める公式を使用します。

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

例

y = (2 x + 1) 2 の形式の複素関数の導関数を求めます。

解決

この条件は、f が二乗関数であり、g(x) = 2 x + 1 が線形関数であるとみなされることを示しています。

複素関数の微分公式を適用して次のように書いてみましょう。

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f 「 (g (x)) g 」 (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

関数の元の形式を簡略化して導関数を見つける必要があります。 我々が得る：

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

ここからはそれです

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2・×2－1＋4・1・×1－1＝8×＋4

結果は同じでした。

このタイプの問題を解くときは、f および g (x) の形式の関数がどこに配置されるかを理解することが重要です。

例 2

y = sin 2 x および y = sin x 2 の形式の複素関数の導関数を見つける必要があります。

解決

最初の関数表記は、f が二乗関数、g(x) が正弦関数であることを示しています。 それならわかります

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

2 番目のエントリは、f が正弦関数であり、g(x) = x 2 がべき関数を表すことを示しています。 したがって、複素関数の積は次のように書くことができます。

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

導関数 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) の式は、 y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · 。 。 。 fn "(x)

例 3

関数 y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) の導関数を求めます。

解決

この例は、関数を記述して位置を決定することの難しさを示しています。 次に、 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) は、 f 、 f 1 、 f 2 、 f 3 、 f 4 (x) が正弦関数、つまり次の関数であることを示します。 3 度まで、対数と底 e を使用した関数、逆正接および線形関数。

複素関数を定義する式から、次のことがわかります。

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

探す必要があるものは手に入ります

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) を導関数の表に従って正弦の導関数として、次に f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 。
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) をべき乗関数の導関数として計算すると、 f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arc t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) 。
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) を対数微分すると、 f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) となります。
4. f 3 " (f 4 (x)) を逆正接の微分として計算すると、 f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 となります。
5. 導関数 f 4 (x) = 2 x を求める場合は、指数が 1 に等しいべき関数の導関数の公式を使用して導関数の符号から 2 を削除し、f 4 " (x) = (2 x) を求めます。 「 = 2 x 」 = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 。

中間結果を結合してそれを取得します

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 arc t g (2 x)) 3 ln 2 arc t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arc t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

このような機能の分析は、入れ子人形を彷彿とさせます。 微分ルールは、導関数テーブルを使用して常に明示的に適用できるわけではありません。 多くの場合、複素関数の導関数を求めるには公式を使用する必要があります。

複雑な外観と複雑な機能の間にはいくつかの違いがあります。 これを明確に区別できると、デリバティブを見つけるのが特に簡単になります。

例 4

そういった例を挙げることも検討する必要がある。 y = t g 2 x + 3 t g x + 1 の形式の関数がある場合、それは g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 の形式の複素関数と考えることができます。 。 明らかに、複素導関数には次の式を使用する必要があります。

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 )・1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 という形式の関数は、t g x 2、3 t g x、および 1 の合計を持つため、複素関数とみなされません。 ただし、 t g x 2 は複素関数とみなされるため、g (x) = x 2 および f の形式のべき乗関数 (正接関数) が得られます。 これを行うには、金額で区別します。 それはわかります

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3コス2×

複素関数 (t g x 2) の導関数を求めてみましょう。」:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x が得られます。

複合型の関数は複合関数に含めることができ、複合関数自体を複合型の関数のコンポーネントにすることもできます。

例5

たとえば、y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) という形式の複素関数を考えてみましょう。

この関数は y = f (g (x)) として表すことができます。ここで、f の値は底 3 の対数の関数であり、g (x) は h (x) = という形式の 2 つの関数の合計と見なされます。 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 および k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) 。 明らかに、y = f (h (x) + k (x)) です。

関数 h(x) について考えてみましょう。 これは、l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 と m (x) = e x 2 + 3 3 の比率です。

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) は 2 つの関数 n (x) = x 2 + 7 と p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) 、ここで、 p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) は数値係数 3 を持つ複素関数、p 1 は 3 乗関数です。コサイン関数で p 2、一次関数で p 3 (x) = 2 x + 1 となります。

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) は 2 つの関数 q (x) = e x 2 と r (x) = 3 3 の合計であることがわかりました。ここで、q (x) = q 1 (q 2 (x)) は複素関数、q 1 は指数関数、q 2 (x) = x 2 はべき乗関数です。

これは、 h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) を示します。 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) の形式の式に移ると、関数が複素数 s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) と有理整数 t (x) = x 2 + 1。s 1 は二乗関数、s 2 (x) = ln x は次の対数です。ベース e.

したがって、式は k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) の形式になります。

それならわかります

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

関数の構造に基づいて、微分するときに式を簡略化するにはどのような公式を使用する必要があるかが明らかになりました。 このような問題とその解決策の概念に慣れるには、関数を微分する、つまり関数の導関数を見つけるという点に目を向ける必要があります。

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