線形関数とその。一次関数

線形関数は、y=kx+b の形式の関数です。x は独立変数、k と b は任意の数値です。
一次関数のグラフは直線です。

1. 関数グラフをプロットするには、関数のグラフに属する 2 つの点の座標が必要です。それらを見つけるには、2 つの x 値を取得し、それらを関数の方程式に代入し、それらから対応する y 値を計算する必要があります。

たとえば、関数 y= x+2 をプロットするには、x=0 および x=3 を取ると便利です。その場合、これらの点の縦座標は y=2 および y=3 に等しくなります。点 A(0;2) と B(3;3) を取得します。それらを接続して、関数 y= x+2 のグラフを取得しましょう。

2. 式 y=kx+b において、数値 k は比例係数と呼ばれます。
k>0 の場合、関数 y=kx+b は増加します。
もしkなら
係数 b は、OY 軸に沿った関数のグラフのシフトを示します。
b>0 の場合、関数 y=kx+b のグラフは、関数 y=kx のグラフから OY 軸に沿って b 単位上にシフトして取得されます。
もしb
以下の図は、関数 y=2x+3 のグラフを示しています。 y= 1/2x+3; y=x+3

これらすべての関数の係数 k に注意してください。 ゼロ以上の、そして関数は 増加しています。また、ｋの値が大きいほど、ＯＸ軸の正方向に対する直線の傾き角度が大きくなる。

すべての関数 b=3 - すべてのグラフが点 (0;3) で OY 軸と交差していることがわかります。

ここで、関数 y=-2x+3 のグラフを考えてみましょう。 y=-1/2 x+3; y=-x+3

今回は、すべての関数において、係数 k ゼロ未満と特徴 下降。係数 b=3 で、前のケースと同様に、グラフは点 (0;3) で OY 軸と交差します。

関数 y=2x+3 のグラフを考えてみましょう。 y=2x; y=2x-3

ここで、すべての関数方程式の係数 k は 2 に等しくなります。そして、3 本の平行線が得られました。

ただし、係数 b は異なり、これらのグラフは異なる点で OY 軸と交差します。
関数 y=2x+3 (b=3) のグラフは点 (0;3) で OY 軸と交差します。
関数 y=2x (b=0) のグラフは、原点 (0;0) で OY 軸と交差します。
関数 y=2x-3 (b=-3) のグラフは点 (0;-3) で OY 軸と交差します。

したがって、係数 k と b の符号がわかれば、関数 y=kx+b のグラフがどのようになるかをすぐに想像できます。
もしも k0

もしも k>0およびb>0の場合、関数 y=kx+b のグラフは次のようになります。

もしも k>0かつbの場合、関数 y=kx+b のグラフは次のようになります。

もしも k の場合、関数 y=kx+b のグラフは次のようになります。

もしも k=0の場合、関数 y=kx+b は関数 y=b に変わり、そのグラフは次のようになります。

関数 y=b のグラフのすべての点の縦軸は b に等しい。 b=0の場合、関数 y=kx (直接比例) のグラフは原点を通過します。

3. それとは別に、方程式 x=a のグラフに注目してください。この方程式のグラフは OY 軸に平行な直線であり、そのすべての点の横軸は x=a です。

たとえば、方程式 x=3 のグラフは次のようになります。
注意！方程式 x=a は関数ではありません。引数の 1 つの値が関数の異なる値に対応し、関数の定義に対応しないからです。

4. 2 つのラインが平行になる条件:

k 1 =k 2 の場合、関数 y=k 1 x+b 1 のグラフは関数 y=k 2 x+b 2 のグラフと平行になります。

5. 2 本の直線が直交する条件は次のとおりです。

k 1 *k 2 =-1 または k 1 =-1/k 2 の場合、関数 y=k 1 x+b 1 のグラフは関数 y=k 2 x+b 2 のグラフに垂直になります。

6. 関数y=kx+bのグラフと座標軸の交点。

OY軸付き。 OY 軸に属する点の横座標はゼロに等しくなります。したがって、OY 軸との交点を求めるには、関数の方程式に x の代わりに 0 を代入する必要があります。 y=b が得られます。つまり、OY 軸との交点の座標は (0;b) になります。

x 軸の場合: x 軸に属する点の縦座標はゼロです。したがって、OX 軸との交点を見つけるには、関数の方程式の y の代わりに 0 を代入する必要があります。 0=kx+b が得られます。したがって、x=-b/kとなります。つまり、OX 軸との交点の座標は (-b / k; 0) になります。

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一次関数は次の形式の関数と呼ばれます y = kx + b、すべての実数のセットで定義されます。ここ k– 角度係数（実数）、 b – 無料会員（実数）、バツは独立変数です。

特定のケースでは、 k = 0、定数関数を取得します y=b、そのグラフは、座標の点を通過する、Ox 軸に平行な直線です。 (0;b).

もしも b = 0、関数を取得します y=kx、つまり 正比例して。

b – セグメントの長さ、原点から数えて Oy 軸に沿ってラインを切り取ります。

係数の幾何学的意味 k – 傾斜角 Ox 軸の正の方向に真っすぐとは反時計回りとみなされます。

線形関数のプロパティ:

1) 一次関数の定義域は実軸全体です。

2) もしも k≠0の場合、一次関数の範囲は実軸全体になります。もしも k = 0の場合、一次関数の範囲は次の数値で構成されます。 b;

3) 一次関数の偶数と奇数は係数の値に依存します kと b.

a) b ≠ 0、k = 0、したがって、 y = b は偶数です。

b) b = 0、k ≠ 0、したがって y = kx は奇数です。

c) b≠0、k≠0、したがって y = kx + b は一般的な関数です。

d) b = 0、k = 0、したがって y = 0 は偶関数と奇関数の両方です。

4) 一次関数には周期性の特性がありません。

5) 座標軸との交点:

牛： y = kx + b = 0、x = -b/kしたがって、 (-b/k; 0)- 横軸との交点。

オイ: y=0k+b=bしたがって、 (0;b) y 軸との交点です。

注.If b = 0と k = 0、次に関数 y=0変数の任意の値が消えるバツ。もしも b≠0と k = 0、次に関数 y=b変数のどの値でも消えませんバツ.

6) 符号の恒常性の間隔は係数 k に依存します。

a) k > 0; kx + b > 0、kx > -b、x > -b/k。

y = kx + b- で陽性バツから (-b/k; +∞),

y = kx + b- 負の場合バツから (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- で陽性バツから (-∞; -b/k),

y = kx + b- 負の場合バツから (-b/k; +∞).

c) k = 0、b > 0; y = kx + b定義領域全体でポジティブ、

k = 0、b< 0; y = kx + b 定義範囲全体で負です。

7) 一次関数の単調性の区間は係数に依存します k.

k > 0したがって、 y = kx + b定義領域全体にわたって増加し、

k< 0 したがって、 y = kx + b定義領域全体にわたって減少します。

8) 一次関数のグラフは直線です。直線を引くには、2 つの点を知っていれば十分です。座標平面上の直線の位置は係数の値に依存します kと b。以下は、これを明確に示した表です。

一次関数の定義

一次関数の定義を紹介しましょう

意味

$y=kx+b$ という形式の関数 ($k$ がゼロ以外) は、線形関数と呼ばれます。

一次関数のグラフは直線です。数値 $k$ は、線の傾きと呼ばれます。

$b=0$ の場合、線形関数は直接比例関数 $y=kx$ と呼ばれます。

図 1 を考えてみましょう。

米。 1. 直線の傾きの幾何学的意味

三角形ABCを考えてみましょう。 $BC=kx_0+b$ であることがわかります。直線 $y=kx+b$ と軸 $Ox$ の交点を見つけます。

\ \

つまり $AC=x_0+\frac(b)(k)$ となります。これらの辺の比率を求めてみましょう。

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

一方、$\frac(BC)(AC)=tg\angle A$ となります。

したがって、次の結論が導き出されます。

結論

係数 $k$ の幾何学的意味。直線 $k$ の傾きは、軸 $Ox$ に対するこの直線の傾きの接線に等しくなります。

一次関数 $f\left(x\right)=kx+b$ とそのグラフの研究

まず、関数 $f\left(x\right)=kx+b$ ($k > 0$) を考えます。

$f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$。したがって、この関数は定義領域全体にわたって増加します。極端な点はありません。
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
グラフ（図2）。

米。 2. $k > 0$ の関数 $y=kx+b$ のグラフ。

ここで関数 $f\left(x\right)=kx$ を考えてみましょう。ここで、$k

スコープはすべての数値です。
スコープはすべての数値です。
$f\left(-x\right)=-kx+b$。この関数は偶数でも奇数でもありません。
$x=0,f\left(0\right)=b$ の場合。 $y=0,0=kx+b、\ x=-\frac(b)(k)$ の場合。

座標軸との交点: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ および $\left(0,\ b\right)$

$f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$。したがって、この関数には変曲点がありません。
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
グラフ（図3）。

数値関数の概念。機能を設定する方法。関数のプロパティ。

数値関数は、ある数値空間 (セット) から別の数値空間 (セット) に作用する関数です。

関数を定義するには、分析、表、グラフの 3 つの主な方法があります。

1. 分析的。

数式を使用して関数を指定する方法は、分析的と呼ばれます。マットではこの方法が主流です。分析は可能ですが、実際には便利ではありません。

2. 関数を設定する表形式の方法。

関数は、引数値とそれに対応する関数値を含むテーブルを使用して定義できます。

3. 機能を設定するグラフィカルな方法。

関数 y \u003d f (x) は、グラフが構築されている場合にグラフィカルに指定されて呼び出されます。関数を設定するこの方法では、グラフの構築とグラフ上の関数の値の検索にはエラーが伴うため、関数の値を近似的にのみ決定することができます。

グラフをプロットするときに考慮する必要がある関数のプロパティ:

1) 関数のスコープ。

関数スコープ、つまり、関数 F =y (x) の引数 x が取り得る値です。

2) 関数の増加と減少の間隔。

この関数は増加と呼ばれます引数のより大きな値が関数 y(x) のより大きな値に対応する場合、考慮された区間で。これは、2 つの任意の引数 x 1 および x 2 が考慮中の区間から取得され、x 1 > x 2 である場合、y (x 1) > y (x 2) であることを意味します。

この関数は減少と呼ばれます引数の大きい値が関数 y(x) の小さい値に対応する場合、考慮中の区間で。これは、2 つの任意の引数 x 1 と x 2 が考慮された区間から取得され、x 1 が得られる場合を意味します。< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) 関数ゼロ。

関数 F \u003d y (x) が横軸と交差する点（それらは方程式 y (x) \u003d 0 を解くことによって取得されます）であり、関数のゼロと呼ばれます。

4) 偶数関数と奇数関数。

関数は偶数で呼び出されます。スコープからの引数のすべての値の場合

y(-x) = y(x)。

偶関数のグラフは y 軸に関して対称です。

この関数は奇数と呼ばれます、スコープからの引数のすべての値の場合

y(-x) = -y(x)。

偶関数のグラフは原点に対して対称になります。

多くの関数は偶数でも奇数でもありません。

5) 関数の周期性。

この関数は周期的と呼ばれ、定義域からの引数のすべての値に対して次のような数 P がある場合

y(x + P) = y(x)。

線形関数、その特性とグラフ。

一次関数は次の形式の関数です。 y = kx + b、すべての実数のセットで定義されます。

k– スロープ係数（実数）

b– 無料期間（実数）

バツは独立変数です。

· 特定のケースでは、k = 0 の場合、定数関数 y = b が得られます。そのグラフは、座標 (0; b) の点を通過する、Ox 軸に平行な直線です。

· b = 0 の場合、関数 y = kx が得られます。これは正比例です。

o b 係数の幾何学的意味は、原点から数えた、Oy 軸に沿って直線が切り取られるセグメントの長さです。

o 係数 k の幾何学的意味は、Ox 軸の正の方向に対する直線の傾斜角度であり、反時計回りと見なされます。

線形関数のプロパティ:

1) 一次関数の定義領域は実軸全体です。

2) k ≠ 0 の場合、一次関数の範囲は実軸全体です。

k = 0 の場合、一次関数の範囲は数値 b で構成されます。

3) 一次関数の偶数と奇数は、係数 k と b の値に依存します。

a) b ≠ 0、k = 0、したがって y = b は偶数です。

b) b = 0、k ≠ 0、したがって y = kx は奇数です。

c) b ≠ 0、k ≠ 0、したがって y = kx + b は一般関数です。

d) b = 0、k = 0、したがって y = 0 は偶関数と奇関数の両方です。

4) 一次関数には周期性の性質がありません。

5) 座標軸との交点:

Ox：y \u003d kx + b \u003d 0、x \u003d -b / k、したがって、（-b / k; 0）は横軸との交点です。

Oy: y = 0k + b = b、したがって (0; b) は y 軸との交点です。

コメント。 b = 0 および k = 0 の場合、関数 y = 0 は x の任意の値に対して消滅します。 b ≠ 0 かつ k = 0 の場合、関数 y = b は変数 x のどの値についても消滅しません。

6) 符号一定の区間は係数 k に依存します。

a) k > 0; kx + b > 0、kx > -b、x > -b/k。

y = kx + b は、(-b/k; +∞) より x に対して正です。

y = kx + b は、(-∞; -b/k) より x に対して負になります。

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b は、(-∞; -b/k) より x に対して正です。

y = kx + b は、(-b/k; +∞) より x に対して負になります。

c) k = 0、b > 0; y = kx + b は領域全体で正であり、

k = 0、b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) 一次関数の単調性の区間は係数 k に依存します。

k > 0、したがって y = kx + b は領域全体で増加します。

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11.関数y \u003d ax 2 + bx + c、そのプロパティとグラフ。

関数 y \u003d ax 2 + bx + c (a、b、c は定数値、a ≠ 0) が呼び出されます 二次関数。最も単純なケース、y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0)、グラフは原点を通過する曲線です。関数y \u003d ax 2のグラフとして機能する曲線は放物線です。すべての放物線には、と呼ばれる対称軸があります。放物線の軸。放物線とその軸の交点を点Oといいます。放物線の頂上.

グラフは次のスキームに従って作成できます。 1) 放物線の頂点の座標 x 0 = -b/2a を求めます。 y 0 \u003d y (x 0)。 2) 放物線に属する点をさらにいくつか構築します。構築する際には、直線 x = -b / 2a に対する放物線の対称性を使用できます。 3) 指定された点を滑らかな線で結びます。 例。 \u003d x 2 + 2x - 3 の関数のグラフを作成します。解決策。関数のグラフは上に枝を向けた放物線になります。放物線の頂点の横座標はx 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1、縦座標はy (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4です。したがって、放物線の頂点は点 (-1; -4) になります。放物線の対称軸の右側、つまり直線x \u003d -1に配置されたいくつかの点の値の表を作成しましょう。

関数のプロパティ。