どのセグメントを描画してカットできるか。 オリンピック、論理的で面白い数学の問題

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経験によれば、実践的な教育方法を使用すると、幾何学図形に慣れる際に、重要な特徴とそうでない特徴を正しく識別するために必要な多くの精神的テクニックを生徒に形成することが可能です。 数学的直観、論理的かつ抽象的な思考が発達し、数学的スピーチの文化が形成され、数学的およびデザイン能力が発達し、認知活動が増加し、認知的興味が形成され、知的で創造的な可能性が発達します。この記事では、幾何学的な切断に関する実践的なタスクをいくつか提供します。それらのパーツを構成するために形状を分割し、新しい図形を作成します。 学生はグループで課題に取り組みます。 その後、各グループが自分たちのプロジェクトを擁護します。

2 つの図形は、そのうちの 1 つを特定の方法で有限数の部分に切り出すことによって、(これらの部分を異なる配置にすることによって) それらから 2 番目の図形を形成することができる場合、均等に構成されていると呼ばれます。 したがって、分割方法は、均等に構成された 2 つのポリゴンのサイズが等しいという事実に基づいています。 同じ面積を持つ 2 つのポリゴンのサイズは等しいでしょうか?という逆の質問が生じるのは自然なことです。 この質問に対する答えは、ハンガリーの数学者ファルカス・ボリャイ (1832 年) とドイツの士官で数学愛好家であるガーウィン (1833 年) によって (ほぼ同時に) 与えられました。等しい面積を持つ 2 つの多角形は等しい比例関係にあります。

ボリャイ-ガーウィンの定理は、任意の多角形を断片に切断して、それらの断片を正方形に形成できると述べています。

演習 1.

長方形を切り取る あるバツ 2a正方形にできるように切り分けます。

長方形ABCDをMDとMCの線に沿って3つの部分に切ります（MはABの真ん中です）

写真1

頂点 M が頂点 C と一致するように三角形 AMD を移動し、脚 AM がセグメント DC に移動します。 三角形 MVS を左下に移動して、脚 MV がセグメント DC の半分と重なるようにします。 (写真1)

タスク2。

正三角形を正方形に折りたためるように切ります。

この正三角形をABCと表すことにします。 三角形ABCを正方形に折りたためるように多角形に切る必要があります。 したがって、これらの多角形には少なくとも 1 つの直角が必要です。

K を CB の中点、T を AB の中点とし、ME=AT=TV=BK=SC= となるように、辺 AC 上の点 M と E を選択します。 あ、午前=EC= あ/2.

図2

線分 MK とそれに垂直な線分 EP および TN を描きましょう。 作図した線に沿って三角形を切り分けてみましょう。 SC がセグメント KV と揃うように、四角形 KRES を頂点 K に対して時計回りに回転します。 AT が TV と揃うように、四角形 AMNT を頂点 T に対して時計回りに回転させましょう。 結果が正方形になるように三角形 MEP を移動してみましょう。 (図2)

タスク3。

正方形を2つの正方形に折りたためるように切ります。

元の正方形をABCDと表記します。 正方形の辺の中点、つまり点 M、N、K、H をマークしましょう。線分 MT、HE、KF、NP をそれぞれ線分 MC、HB、KA、ND の一部として描きましょう。

描かれた線に沿って正方形 ABCD を切断すると、正方形 PTEF と 4 つの四角形 MDHT、HCKE、KBNF、NAMP が得られます。

図3

PTEF は既製の正方形です。 残りの四角形から 2 番目の正方形を形成します。 頂点 A、B、C、D はある点で互換性があり、セグメント AM と BC、MD と KS、BN と CH、DH と AN は互換性があります。 点 P、T、E、F が新しい正方形の頂点になります。 (図3)

タスク4。

厚紙から正三角形と正方形を切り抜きます。 これらの図形を 1 つの正方形に折りたたむことができるように多角形に切ります。パーツはその正方形を完全に満たし、交差してはなりません。

タスク 2 に示すように、三角形をいくつかの部分に切り、それらから正方形を作ります。 三角形の辺の長さ – 2a。 次に、正方形を多角形に分割し、これらの部分と三角形から出た正方形から新しい正方形を作成する必要があります。 辺 2 の正方形を取ります あ、それをLRSDと表します。 DU=SF=RG=LV となるように、互いに直交する線分 UG と VF を描きます。 正方形を四角形に切り取りましょう。

図4

三角形の一部で構成される正方形を考えてみましょう。 図 4 に示すように、正方形の一部である四角形をレイアウトしましょう。

タスク5。

十字架は 5 つの正方形で構成されています。1 つは中央にあり、他の 4 つは側面に隣接しています。 正方形が作れるように切ります。

図 5 に示すように、正方形の頂点を接続しましょう。「外側」の三角形を切り取り、ABC 正方形内の空きスペースに移動します。

図5

タスク6。

任意の 2 つの正方形を 1 つに再描画します。

図 6 は、正方形の部分を切り取って移動する方法を示しています。

点は、高さ、長さ、半径などの測定特性を持たない抽象的なオブジェクトです。 タスクの範囲内では、その場所のみが重要です

点は数字または大文字（大文字）のラテン文字で示されます。 いくつかのドット - 区別できるように、異なる数字または異なる文字が付いています。

点A、点B、点C

ポイント1、ポイント2、ポイント3

紙に「A」という 3 つの点を描き、その 2 つの点「A」を通る線を子供に描いてもらいます。 しかし、どのように理解すればよいのでしょうか? ああああ

ラインは点の集合です。 長さのみ計測しております。 幅も厚みもない

小文字（小さい）のラテン文字で示されます

a線、b線、c線

ラインは次のとおりである可能性があります

1. 始まりと終わりが同じ点にある場合は閉じられます。
2. 先頭と末尾が接続されていない場合は開きます

閉じた線

開いた線

1. 自己交差
2. 自己交差なし

自己交差する線

自己交差のないライン

1. 真っ直ぐ
2. 壊れた
3. 曲がった

直線

破線

曲線

直線とは、曲がらず、始まりも終わりもなく、両方向に無限に続くことができる線です

直線の小さな部分が表示される場合でも、それは両方向に無限に続くものとみなします。

小文字（小さい）のラテン文字で示されます。 または 2 つの大文字 (大文字) ラテン文字 - 直線上にある点

直線a

直線AB

直接的な場合もあります

1. 共通点がある場合は交差します。 2 本の線は 1 点でのみ交差できます。
   • それらが直角（90°）で交差する場合は垂直になります。
2. 平行で、交わらない場合は共通点がありません。

平行線

交差する線

垂直線

光線は、始まりはあるが終わりのない直線の一部であり、一方向にのみ無限に継続できます。

絵の中の光線の出発点は太陽です。

太陽

点は直線を 2 つの部分、つまり 2 本の光線に分割します A A

ビームはラテン語の小文字 (小さい) で指定されます。 または 2 つの大文字のラテン文字。最初の文字は光線の開始点であり、2 番目の文字は光線の上にある点です。

レイ

ビームAB

光線が一致する場合

1. 同じ直線上に位置する
2. ある時点から始める
3. 一方向に向けられた

光線ABとACが一致する

光線 CB と CA が一致する

セグメントは 2 つの点によって制限される線の一部です。つまり、始点と終点の両方があり、その長さを測定できることを意味します。 セグメントの長さは、その開始点と終了点の間の距離です。

1 点を通して、直線を含む任意の数の線を引くことができます

2 点を通過 - 曲線は無制限ですが、直線は 1 つだけです

2点を通る曲線

直線AB

ピースが直線から「切り取られ」、セグメントが残りました。 上の例から、その長さは 2 点間の最短距離であることがわかります。 ✂ B A ✂

セグメントは 2 つの大文字のラテン文字で表され、最初の文字はセグメントの開始点、2 番目の文字はセグメントの終了点です。

セグメントAB

問題: 線、光線、線分、曲線はどこにありますか?

破線は、180°の角度ではなく連続して接続されたセグメントで構成される線です。

長いセグメントがいくつかの短いセグメントに「分割」されました

破線のリンク (チェーンのリンクと同様) は、破線を構成するセグメントです。 隣接リンクとは、1 つのリンクの終わりが別のリンクの始まりとなるリンクです。 隣接するリンクは同じ直線上にあってはなりません。

破線の頂点 (山の頂上と同様) は、破線の開始点、破線を形成するセグメントが接続される点、および破線の終了点です。

破線は、そのすべての頂点をリストすることによって指定されます。

破線ABCDE

ポリライン A の頂点、ポリライン B の頂点、ポリライン C の頂点、ポリライン D の頂点、ポリライン E の頂点

リンク切れ AB、リンク切れ BC、リンク切れ CD、リンク切れ DE

リンクABとリンクBCは隣接しています

リンク BC とリンク CD は隣接しています

リンク CD とリンク DE が隣接しています

破線の長さは、そのリンクの長さの合計です: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

タスク： どちらの破線が長いか、A どちらの頂点が多いか? 最初の行には、すべてのリンクが同じ長さ、つまり 13 cm です。 2 行目はすべてのリンクが同じ長さ、つまり 49 cm です。 3 行目のリンクはすべて同じ長さ、つまり 41 cm です。

ポリゴンは閉じたポリラインです

多角形の辺 (「四方向すべてに進む」、「家に向かって走る」、「テーブルのどちら側に座る?」などの表現は覚えておくのに役立ちます) は破線のリンクです。 多角形の隣接する辺は、破線の隣接するリンクになります。

多角形の頂点は破線の頂点です。 隣接する頂点は、多角形の 1 つの辺の端点です。

多角形は、そのすべての頂点をリストすることによって表されます。

自己交差のない閉じたポリライン、ABCDEF

ポリゴンABCDEF

ポリゴン頂点 A、ポリゴン頂点 B、ポリゴン頂点 C、ポリゴン頂点 D、ポリゴン頂点 E、ポリゴン頂点 F

頂点 A と頂点 B が隣接しています

頂点 B と頂点 C は隣接しています

頂点 C と頂点 D は隣接しています

頂点 D と頂点 E は隣接しています

頂点 E と頂点 F が隣接しています

頂点 F と頂点 A が隣接しています

多角形辺AB、多角形辺BC、多角形辺CD、多角形辺DE、多角形辺EF

辺ABと辺BCは隣接しています

BC面とCD面が隣接している

CD面とDE面が隣接している

辺 DE と辺 EF は隣接しています

EF側とFA側が隣接している

多角形の周囲は破線の長さです: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

頂点が 3 つある多角形は三角形、4 つある多角形は四角形、5 つある多角形は五角形などと呼ばれます。

「切削問題の解決」をテーマにした一連の選択授業

説明文

基本 目標選択授業は以下の通りです。

切断ポリゴンの種類に関する資料を提示します。

生徒の精神的に次のような変革を実行するためのスキルの形成を促進する。

• パラレル転送、

  振り向く、

  中心対称性とこれらの変換のさまざまな構成。

そして すべてのクラスの主な目標:空間的思考能力に前向きな変化をもたらします。

選択クラスで提供される課題は本質的に創造的なものであり、その解決策では学生に次のことが求められます。 スキル:

生徒が心の中に持つイメージの場所、その構造、構造を変更する精神的変化を起こす能力。

画像の位置と構造の両方を同時に変更し、個々の操作の合成を繰り返し実行する機能。

テーマ別の計画:

1. アンケート No. 1 – 1 時間。

2. 切断の問題。 タイプ R 切断 – 1 時間。

3. タイプ P 切断 – 1 時間。

4. Q型切断 – 1時間。

5. タイプ S 切断 – 1 時間。

6. T型切断 – 1時間。

7. アンケート No. 2 – 1 時間。

一連の選択授業を編集する際には、雑誌「Kvant」、「Mathematics at School」、および G. Lindgren の本の問題が使用されました。

ガイドライン:生徒に問題を紹介するときは、G. リンドグレーンが提案した切断の種類に従ってこれらの問題を正確に検討することをお勧めします。これにより、一方ではこれらの問題を分類でき、他方では教室で空間に関する問題を解決することができます。さまざまな複雑さのレベルの変換 (I.S. Yakimanskaya によれば、画像を操作する 2 番目と 3 番目のタイプ)。 7 年生から 9 年生の生徒と取り組む場合は、選択クラスのタスクを使用することをお勧めします。

レッスン No.1

トピック: 切断の問題。 タイプR切削（合理切削）。

目標：生徒に切断問題の概念を理解してもらい、切断タイプ R の本質を説明し、このタイプの切断の問題の解決策を分析し、問題を解決する過程で、精神的に操作 (切断、切断) を実行するスキルの形成を促進します。追加、再切断、回転、平行移動）により、開発の空間的思考を促進します。

装置：紙、カラーペースト、はさみ、ポスター。

方法：説明的な - 説明的な。

教師：ボード上のポスター:

スキーム: 問題の切断

切断の問題

1) 図形を複数の図形に切り取る

3) 1 つまたは複数の形状を別の形状に再形成します

2) 与えられた図形から図形を折ります

あらゆる切断問題の中で、そのほとんどは合理的な切断問題です。 これは、そのようなカットが思いつきやすく、それに基づいたパズルが単純すぎず、複雑すぎないという事実によるものです。

Rカットの問題点

1) 図形をいくつかの (ほぼ同じ) 図形に切ります。

3) 1 つ以上の形状を指定された形状に再形成します

2) 指定された (ほぼ等しい) 数値から数値を追加します。

3.1. ステップカットを使う

3.2. ステップカットを使用しない場合

切削Rの種類ごとに問題の解決策を理解しましょう。

ステージ II: 問題解決ステージ

方法:部分検索

タスクNo.1(AII) : 一辺が4つの正方形の正方形を2等分に切ります。 できるだけ多くのカット方法を見つけてください。

注: セルの側面に沿ってのみカットできます。

解決：

生徒はノートからそのようなカットを探し、教師は生徒が見つけたすべてのカット方法をまとめます。

問題その2(AII) : これらの形状を 2 つの等しい部分に切ります。

注: セルの側面に沿ってカットするだけでなく、斜めにカットすることもできます。

生徒たちは教師の助けを借りてノートの中からそのようなカットを探します。

広場には素晴らしい物件がたくさんあります。 直角、等しい辺、対称性により、シンプルさと完璧なフォルムが生まれています。 同じ形や異なる形の部分から正方形を折るパズルがたくさんあります。

に 例 タスクその3(BII) : 4 つの同一のパーツが与えられます。 毎回 4 つの部分すべてを使用して、頭の中で正方形を作ります。 すべてのテストを紙で行います。 ソリューションの結果を手書きの図面の形式で提示します。

解決：

細かく切られたチェス盤は、正しく折りたたむ必要があり、人気がありよく知られているパズルの 1 つです。 アセンブリの複雑さは、ボードがいくつのパーツに分割されているかによって異なります。

私は次のタスクを提案します。

問題その4(BII) : 写真のパーツを使ってチェス盤を組み立てます。

解決：

問題 #5(VII) : 「舟」を正方形に折りたためるように2つに切ります。

解決：

１）写真のように２つに切ります。

部品の 1 つを裏返します (つまり、回転します)。

問題その6(VII): 3 つの図形はいずれも 2 つの部分に切り取ることができ、そこから正方形を折り出すのは簡単です。 そんなカットを見つけてください。

A) b)

V)

解決：

パート 2 に対するパート 1 の並行転送

パーツ 2 に対するパーツ 1 の回転

) b) V)

問題その7(VII): 辺が 4 単位と 9 単位の長方形を 2 つの等しい部分に切ります。適切に折りたたむと、正方形として得られます。

カットは階段の形で行われ、その高さと幅は同じです。

図は複数の部分に分割され、1 つの部分が 1 つ (または複数) ステップ上に移動され、別の部分の上に配置されます。

解決：

パート1の並行転送

問題その9(VII): 図に示されている図形を 2 つの部分に切り、色付きの正方形が正方形のすべての対称軸に対して対称になるように正方形に折ります。

解決：

パート1の並行転送

問題その9(ВIII): 3 x 3 と 4 x 4 の 2 つの正方形をどのように切り取って、1 つの正方形に折り畳むことができますか? いくつかの方法を考えてみましょう。 できるだけ少ない部品で済ませるようにしてください。

解決：

部品の並行転送

方法：

方法：

平行移動と回転

4ウェイ：

部品の平行移動と回転

生徒たちは教師の助けを借りてカットを探します。

問題その10(AIII): 図に示されている図形を、グリッド線に沿ってのみ切り込みを入れて 6 等分する必要があります。 これを実現できる方法は何通りありますか?

解決：考えられる解決策は 2 つあります。

問題No.11(BII): 与えられた駒からチェス盤を構築します。

解決：

問題No.12(BIII): 3 × 5 の長方形を、対応する部分を回転せずに 5 × 3 の長方形に変換します。

注：ステップカットを使用してください。

解決：(パラレル転送)

問題No.13(BIII): 8×8の正方形になるように、1回のカットで形を2つに切ります。

解決：

パーツ 1 に対するパーツ 2 の回転

ガイドライン:タイプ R の切断問題は、最も簡単で興味深いものの 1 つです。 このタイプの切断に関する多くの問題には、いくつかの解決方法が含まれており、これらの問題を生徒が自主的に解決することは、すべての解決方法を特定するのに役立ちます。 タスク 1、2、3、6、7、8、10、12、13 では、生徒が頭の中での変換 (「切り取り」、加算、回転、平行移動) を通じて図形のイメージを操作します。 問題 4、5、9、11 では、模型（紙製）を使って図形をハサミで直接切り取り、数学的変換（回転、平行移動）を行って問題の解を見つけます。 タスク 1、2、3、4、5、6、7、8、11、13 - 2 番目のタイプの画像操作用、タスク 9、10、12 - 3 番目のタイプの画像操作用。

レッスン No.2

トピック: カッティング タイプ P (P パラレログラム シフト)。

目標：切断タイプPの本質を説明し、この切断タイプの問題点の解決策を分析する過程で、作業（切断、追加、再切断、並行移動）を頭で実行するためのスキルの形成を促進し、空間的思考の発達。

装置：

ステージ I: 方向性のあるステージ

方法：問題のあるプレゼンテーション。

教師問題を提起し（問題 1 を解決します）、その解決策を示します。

タスクNo.1(BIII): 辺が 3 cm と 5 cm の平行四辺形を、元の平行四辺形と同じ角度を持ち、1 辺が 4 cm の新しい平行四辺形に変換します。

解決： 1)

4)

ABC D – 平行四辺形

AB = 3、A D=5

カット AO VO = D K = 4;

パーツ 1 をカットラインに沿って右に上に移動し (平行移動)、点 O が辺 DC の延長線上に来るまで移動します。

|| KA' になるように KA' を切ります。 直流;

Δ AA'K を点 O の下にある凹部に挿入します (直線 AO に沿った Δ AA'K の平行移動)。

KVO D は目的の平行四辺形 (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  悪い =  1 +  4,

1 =  2と  4 =  3 – 平行線上に横に横たわります。

したがって、  悪い =  2 + 3 =  BOC =  BKD、 BAD =  BKD など

U

Pシフトの問題

1 つまたは複数の図形を別の図形に再形成します

カッティングタイプPの本質：

この図から、タスクの要件を満たすセクションを作成します。

切断部分の上部が元の図形の反対側の継続部分 (平行四辺形) と一致するまで、切断線に沿って切断部分の平行移動を実行します。

平行四辺形の側面に平行に 2 番目のカットを行うと、別の部分が得られます。

頂点が一致するまで、最初のカットの線に沿って新しくカットされたパーツを平行移動します（パーツを凹部に置きます）。

ステージ II: 問題解決ステージ

方法:説明的な - 説明的な

問題その2(BII): 5×5の正方形を幅3の長方形に変換します。

解決：

1) 2) – 3) 4)

セクション AO / VO = D T = 3

直線AOに沿って点Oまで平行移動ΔABO（DC）

カット TA' / TA' || CD

Δ 直線AOに沿った平行移動によるAA’T。

TBOD は目的の長方形 (TB = 3) です。

問題その3(ВIII): 3 つの同じ正方形を 1 つの大きな正方形に折ります。

注: 3 つの正方形を長方形に折り、P シフトを適用します。

解決：

S pr = 1.5 * 4.5 = 6.75

kv = 6.75 =

1) 2) – 3)

4)

問題その4(BIII): 5 x 1 の長方形を正方形に切ります。

注: AB を切開します (A W =
)、長方形 XYWA に P シフトを適用します。

解決：

1)

2) – 3) 4) 5)

問題その5(ВIII): ロシア語の Н を正方形に変換します。

注：図のように切り込みを入れ、得られた部分を長方形に折ります。

解決：

問題その6(BIII): 三角形を台形に変換します。

注：写真のようにカットしてください。

解決：

パート 1 を回転します。

ABセクション。

ΔАВС 点 B まで AB に沿って平行移動  (FM)

カット OR / OR || FM;

ABに沿った平行輸送によるΔAOR。 点 P は点 B と一致します。

OFBC は目的の台形です。

問題その7(ВIII): 3 つの等しいギリシャ十字から 1 つの正方形を作ります。

解決：

問題その8(BIII): 文字 T を正方形に変換します。

注: まず、文字 t から長方形を切り取ります。

解決： S t = 6 (ユニット 2)、 Skv = (
) 2

振り向く

平行ハイフンの構成

MV = KS =

問題その9(ВIII): 図に示されている旗を正方形に再描画します。

注: まず、フラグを長方形に変換します。

解決：

振り向く

S fl = 6.75 AB = C D =
Skv = (
) 2

パラレル転送

ガイドライン:生徒にタイプ P の切断問題を紹介するときは、特定の問題を解くときにこのタイプの切断の本質を提示することをお勧めします。 まずは模型（紙製）上で図形をハサミで直接切り取って平行転写することで問題を解いていき、問題を解く過程で図形の模型から幾何学的形状の画像に移っていくのがおすすめです。精神的変換（切断、平行移動）を実行することによって。

レッスン No.3

トピック: 切断タイプ Q (Q は四角形のシフト)。

目標： Q型切断の本質を概説し、この切断型の問題点を解決するとともに、頭で操作（切断、加算、中心対称、回転、平行移動）を実行する能力の形成を促進し、空間的思考の発達。

装置：紙、カラーペースト、はさみ。

ステージ I: 方向性のあるステージ

方法：問題のあるプレゼンテーション。

教師は生徒に問題を提示し（問題 1 番を解決します）、解決策を示します。

タスクNo.1(BIII): この四角形を新しい四角形に変換します。

解決：

VN = MN、PF = DF になるように HP カットを行います。

カットしてください私 / 私 || 太陽;

カットしてください RT / RT || 広告;

Δ 3 とΔ 1 はパート 2 に対して時計回りに回転します。

パート 1 は、直線 HF に沿って点 T  AR まで平行移動します。

AMCP は必須の四角形 (辺 CP と AM (条件で指定可能) を持つ) です。

問題その2(BIII): 四角形を新しい四角形(長い四角形)に変換します。

解決：

(OU が AO と一致するまで、点 O を基準にしてパーツ 1 を回転させます);

(VT が WT と一致するまで、点 T を基準にしてパーツ (1 – 2) を回転させます);

XAZW は必須の四角形です。

Q カットを使用する問題では、カットが行われ、カットされた部分が回転変換されます。

のタスク Qカット

与えられた形状 (四角形) を別の形状 (四角形) に変換します。

多くの問題では、Q シフト要素を使用して、三角形をある種の四角形に、またはその逆に変換します (三角形は、辺の 1 つが長さ 0 の「四角形」になります)。

ステージ II: 問題解決ステージ

問題その3(VII): 図に示すように、三角形から小さな三角形が切り取られます。 小さな三角形を並べ替えて、平行四辺形を形成します。

KR が MR と一致するまで、パーツ 1 を点 P に対して回転させます。

AOO'M は必須の平行四辺形です。

問題その4(BII、BIII): これらの三角形のうち、1 つ (2 つ) の切り込みを入れ、得られた部分を並べ替えることで長方形にできるものはどれですか?

1) 2) 3) 4)

5)

解決：

1)

5)

1)、5) ワンカット (カット - 三角形の中心線)

2)

3)

4)

2)、3)、4) 2 つのカット (1 番目のカット – 正中線、2 番目のカット – 三角形の頂点からの高さ)。

問題その5(VII): 台形を三角形に再構築します。

解決：

セクションKS (AK = KB)

線分 KV と KA が揃うように点 K を中心に ΔKVS 回転させます。

Δ 目的の三角形を FCD します。

問題その6(ВIII): 台形を、長方形を作成できる形状に分割するにはどうすればよいですか?

解決：

1) OR セクション (AO = OB、OR┴AD)

2) カット TF (CT = TD、TF ┴AD)

AO と BO が揃うように、点 O を基準にしてパーツ 1 を回転します。

DT と CT が揃うように、パーツ 2 を点 T に対して回転させます。

PLMF – 長方形。

ステージ III: 宿題を設定する。

問題その7(Ⅲ) : 任意の三角形を直角三角形に変換します。

コメント：

1) まず、任意の三角形を長方形に変換します。

2) 長方形を直角三角形にします。

解決：

振り向く

問題その8(VII): 任意の平行四辺形を 1 回だけカットして三角形に変換します。

解決：

振り向く

パーツ 2 を点 O を中心に 180 度回転します (対称中心)。

ガイドライン:私たちがお勧めするQカッティングのエッセンスまとめ

特定の問題を解決する過程で実行されます。 このタイプの切断の問題を解決するために使用される主な数学的変換は、回転 (特に中心対称、平行移動) です。 タスク 1、2、7 – 幾何学的形状のモデルを使用した実践的なアクション用。タスク 3、4、5、6、8 には、幾何学的形状の画像の操作が含まれます。 タスク 3、4、5、8 – イメージを使用した 2 番目のタイプの操作の場合、タスク 1、2、4、6、7 – イメージを使用した 3 番目のタイプの操作の場合。

レッスン番号 4。

トピック: タイプ S の切断。

目標：切断タイプSの本質を解説し、切断の問題点を解決していく過程で、頭で操作（切る、足す、重ねる、回す、平行移動、中心対称）を行う能力の形成を促進し、空間的思考の発達。

装置：紙、カラーペースト、はさみ、コードポジティブ。

私 ステージ： 方向性のあるステージ。

方法：説明的かつ実例的なもの。

タスクNo.1(VII): 辺 3.5 cm と 5 cm の平行四辺形を、「切り込み」を 1 つだけ作成して、辺 3.5 cm と 5.5 cm の平行四辺形に切断するにはどうすればよいですか?

解決：

1) CO = 5.5 cm の線分 (カット) を描き、平行四辺形を 2 つの部分に分割します。

2) 三角形 COM を平行四辺形 AK の反対側に適用します。 (つまり、ΔCOM をセグメント SA に SA 方向に並列転送)。

3) CAOO` は目的の平行四辺形 (CO = 5.5 cm、CA = 3.5 cm) です。

タスクNo.1(ВIII): 正方形を 3 つの部分に切り、それらを使用して、一方の辺が他方の 2 倍の大きさの長方形を作る方法を示します。

解決：

正方形ABCDを作成する

対角線ACを描いてみましょう

対角線の BD セグメントの半分の OD (OD ┴AC)、OD = 1/2 AC を描きましょう。 結果の 3 つの部分 (長さ AC、幅 AD) から長方形を構築します。

このために：

パート 1 と 2 の並行転送を実行します。パート 1 (Δ1) は方向 D A に、Δ2 は方向 AB にセグメント AB に転送されます。

AOO`C は目的の長方形 (辺が AC、OA = 1/2 AC) です。

教師：私たちは 2 つの問題の解決策を検討しましたが、これらの問題を解決するために使用される切断の種類は、比喩的に S 切断と呼ばれます。

S -切断これは基本的に、ある平行四辺形を別の平行四辺形に変換することです。

このカットの本質以下では：

必要な平行四辺形の辺と同じ長さのカットを行います。

平行四辺形の対辺が一致するまで、切断された部分の平行移動を実行します (つまり、切断された部分を平行四辺形の反対側に適用します)。

タスクの要件に応じて、カット数は異なります。

次のタスクについて考えてみましょう。

タスクその3(BII): 平行四辺形を 2 つの部分に分割し、そこから長方形を追加できます。

任意の平行四辺形を描いてみましょう。

解決：

点BからVNの高さを下げる（VN┴AD）

ΔAVNをBC方向にセグメントBCに並列転送してみましょう。

結果として得られる長方形の図を描きます。

VNRS – 長方形。

タスクその4(BIII): 平行四辺形の一辺は 3 cm と 4 cm です。 2か所切り込みを入れて一辺3.5cmの平行四辺形にします。

解決：

1)

2)

希望の平行四辺形。

一般に、S カットはストリップを重ね合わせる方法に基づいており、これにより任意のポリゴンの変形の問題を解決できます。

上記の問題では、ストライプを適用する方法を省略しましたが、これらすべての解決策はこの方法を使用して得られます。 しかし、より複雑なタスクではストライプなしでは実行できません。

簡単に言うと ストライプ法要約すると次のようになります。

1) (必要に応じて) 各ポリゴン (変換されるポリゴンと元のポリゴンの変換先のポリゴン) を、2 つのストリップを折り畳むことができる部分に切ります。

2) ストリップを適切な角度で互いの上に置き、一方の端が他方のストリップの要素に対して常に均等に配置されるようにします。

3) この場合、2 つのストリップの共通部分にあるすべての線が、必要なカットの場所を示します。

手紙 「Sカット」という用語で使用されるSは、英語のStrip（ストリップ）に由来しています。

ステージ II: 問題解決ステージ

問題 3 を例として、ストライプを適用する方法で望ましい解決策が得られることを確認してみましょう。

問題その3(VII): 平行四辺形を 2 つの部分に分割し、そこから長方形を追加します。

解決：

1)

2)

3)

1) 平行四辺形からストリップを取得します

2) 長方形のストライプ

3) 図 3 に示すように、ストリップ 2 をストリップ 1 に重ねます。

4) 必要なタスクを取得します。

問題その5(BIII): 二等辺三角形では、側面の中点とその底面への投影がマークされます。 マークされた点を通る 2 本の直線が引かれます。 得られた部分を使用してひし形を形成できることを示します。

解決：

パート 2、3 – 点を中心とした回転

パート 4 - 並列転送

この問題では、三角形のカットがすでに示されており、これが S カットであることが確認できます。

問題その6(BIII): 3 つのギリシャ十字を正方形に変換します (ストライプを使用)。

解決：

1)

点 A と点 C が十字のストリップの端に属するように、十字のストリップの上に正方形のストリップを配置します。

∆АВН = ∆СD B したがって、正方形は ∆АВС と ∆АВМ で構成されます。

ステージ III: 宿題の設定

問題その7(BIII): この長方形を、元の長方形の辺とは異なる辺を持つ別の長方形に変換します。

注: 問題 4 の解決策を見てください。

解決：

セクション AO (AO – 必要な長方形の幅);

カット DP / DP  AO (DP – 必要な長方形の長さ);

航空機の方向へのΔAVOの航空機のセグメントへの平行移動。

ΔАPD を AO の方向にセグメント AO に並行転送します。

PFED には長方形が必要です。

問題その8(BIII): 正三角形を線分で分割し、その部分から正方形を作ります。

注: ストリップを重ね合わせることで、これが S カットであることを確認できます。

点 O を中心としたパーツ 2 の回転。

点 C を中心とした部品 3 の回転。

第4部の並行転送

追加タスクNo.9(BII): 平行四辺形を中心を通る直線で切り、ひし形に折ります。

解決：

O × QT

QTカット;

パート 1 を BC セグメントに BC (CD と AB を組み合わせた) 方向にパラレル転送します。

ガイドライン: S – カッティング – 最も難しいタイプのカッティングの 1 つ。 この切断の本質を特定のタスクで概説することをお勧めします。 Sカットの問題を解く授業では、カット図形が与えられ、その結果得られた部品から必要な図形を追加する必要がある問題を使用することをお勧めします。これは、学生が自主的にストリップを適用する方法を実行するのが難しいことによって説明されます。それがSカッティングの真髄です。 同時に、生徒にとってよりアクセスしやすい課題 (たとえば、課題 3、5、8) では、教師はストリップを適用する方法によって、課題条件で指定されたカットがどのように得られるかを示すことができます。 タスク 4、5、6、8、9 – 幾何学的形状のモデルを使用した実践的なアクション用、タスク 1、2、3、7 – 幾何学的形状の画像を使用するためのタスク。 タスク 1、3、9 – イメージを使用した 2 番目のタイプの操作の場合、タスク 2、4、5、6、7、8 – イメージを使用した 3 番目のタイプの操作の場合。

レッスン No.5

トピック: T 型切断。

目標：切削タイプSの本質を解説し、切削加工の問題点の解決策を分析するとともに、作業（切削、追加、回転、平行移動）を頭で行う能力の形成を促進し、切削加工の開発を促進します。空間的思考。

装置：紙、カラーペースト、はさみ、カラーペースト、コードポジティブ。

ステージ I: 方向性のあるステージ

方法：説明的かつ実例的な

教師： T カットを使用して問題を解決するには、モザイクとそれに続くオーバーレイの作成が必要になります。 Sカットに使用するストリップはモザイクから入手できます。 したがって、タイリング法はストリップ法を一般化したものです。

問題解決の例からTカットの本質を考えてみましょう。

タスクNo.1(BIII): ギリシャ十字を正方形に変換します。

1) 最初のステップは、元のポリゴンをモザイク要素に変換することです (これは必要です)。

2）これらの要素からモザイクNo.1を作成します（ギリシャの十字架からモザイクを作成します）。

5) 2 つのモザイクの共通部分にあるすべての線は、必要なカットの場所を示します。

ステージ II: 問題解決ステージ

方法：部分的に - 検索

問題その2(BIII): ギリシャ十字を 3 つの部分に切り、これらの部分を長方形に折ります。

注: このカットは T 型カットであることが確認できます。

解決：

点 O を中心としたパーツ 1 の回転。

パーツ 2 を点 A を中心に回転させます。

問題その3(BIII): 凸四角形を対辺の中点を結ぶ2本の直線に沿って切ります。 結果として得られる 4 つの部分から、常に平行四辺形を追加できることを示します。

パート 2 点 O (または対称中心) の周りを 180 度回転します。

パート 3 点 C (または対称中心) を中心に 180 度回転します。

パート 1 – 並列転送。

このカットが得られたモザイクを示しましょう。

問題その4(BIII): 3 つの同一の三角形が異なる中央線に沿って切り取られました。 出来上がった6枚の部分を1つの三角形に折ります。

解決：

1) これらの三角形から、図 1 のような三角形を作成します (中心対称)。

2) 3 つの新しい三角形から別の三角形を作成します (等しい辺が一致します)。

これらのセクションがモザイクを使用してどのように作成されたかを見てみましょう。

問題その5(BIII): ギリシャ十字を細かく切り、それらから直角二等辺三角形を作りました。

解決：

パート 1 中央の対称性。

パート 3 中央の対称性。

パート 3 と 4 – ターンします。

問題その6(BIII): この図形を正方形に切ります。

解決：

パート 1 点 O を中心とした回転。

パート 3 ポイント A を中心に 90 度回転します。

問題その7(BIII)：ギリシャ十字を平行四辺形に切ります（切り込みが入っています）。

解決：

パート 2 – パート 1 に対する並行転送。

その3 カットラインに沿って平行移動します。

ステージ III: 宿題を設定する。

問題その8(BIII): 切り込みのある 2 つの同一の紙の凸型四角形: 1 つ目は対角線の 1 つに沿って、2 つ目は対角線のもう 1 つに沿って。 得られたパーツを使用して平行四辺形を形成できることを証明してください。

解決：ターンの構成。

問題その9(BIII): 2 つの同じギリシャ十字から正方形を作ります。

解決：

ガイドライン: T - 切断 - 最も複雑なタイプの切断で、タイプ S の切断を形成します。 問題を解く過程でTカットの本質を説明することをお勧めします。 T カットの本質であるモザイク手法を生徒に実装するのは複雑であるため、教室では、カットが指定され、図形の結果の部分から目的の図形を取得する必要があるタスクを使用することをお勧めします。数学的変換 (回転、平行移動)。 同時に、生徒にとってよりアクセスしやすいタスクでは、教師はモザイク法を使用して切断データを取得する方法を示すことができます。 レッスン No. 5 で提案されるタスクは、画像を操作する 3 番目のタイプのもので、生徒は回転と平行移動を実行することによって幾何学的図形のモデルを操作します。

先生の冒頭の挨拶:

少し歴史的背景: 多くの科学者は古代から問題を解決することに興味を持ってきました。 多くの単純な切断問題に対する解決策は古代ギリシャ人や中国人によって発見されましたが、このテーマに関する最初の体系的な論文はアブル・ヴェフによって書かれました。 幾何学者は、20 世紀初頭に、図形を最小限のパーツに切断し、別の図形を構築するという問題を真剣に解決し始めました。 このセクションの創設者の 1 人は、有名なパズルの創始者であるヘンリー E. デュドニーです。

今日、パズル愛好家は、複雑な問題を解決することに熱心です。なぜなら、そのような問題を解決するための普遍的な方法はなく、パズルを解くことに取り組む人は皆、創意工夫、直感、創造的思考の能力を十分に発揮できるからです。 (レッスン中に、考えられるカットの例のうち 1 つだけを示します。生徒は最終的に他の正しい組み合わせを使用する可能性があると想定できます。これを恐れる必要はありません。)

この授業は実践的な授業の形で行われることになっています。 サークル参加者を2～3人のグループに分けます。 教師が事前に用意した図を各グループに渡します。 生徒は定規（目盛り付き）、鉛筆、はさみを持っています。 ハサミを使用してまっすぐにカットすることのみが許可されています。 フィギュアを細かく切り分けたら、同じパーツから別のフィギュアを作る必要があります。

切断タスク:

1). 図に示されている図形を 3 つの等しい形の部分に切断してみてください。

ヒント: 小さな形は文字 T によく似ています。

2). 次に、この図を 4 つの等しい形の部分に切ります。

ヒント: 小さな図形は 3 つのセルで構成されていることが容易に推測できますが、3 つのセルを持つ図形は多くありません。 種類はコーナーとレクタングルの2種類のみです。

3). 図形を 2 つの等しい部分に分割し、得られた部分を使用してチェス盤を形成します。

ヒント: チェス盤を手に入れるかのように、2 番目の部分からタスクを開始することをお勧めします。 チェス盤の形（正方形）を覚えておいてください。 利用可能なセルの長さと幅の数を数えます。 (8 つのセルが必要であることに注意してください)。

4). ナイフを3回動かし、チーズを8等分に切ってみます。

ヒント：チーズを縦に切ってみてください。

独立したソリューションのタスク:

1). 正方形の紙を切り取って、次の操作を行います。

· 2つの等しい小さな正方形を作るために使用できる4つの部分に切ります。

・二等辺三角形4つと正方形1つの計5つに切り、正方形が3つになるように折ります。

数学の家庭教師やさまざまな選択科目やクラブの教師向けに、面白くて教育的な幾何学的な切り抜き問題が用意されています。 家庭教師が授業でこのような問題を使用する目的は、細胞と図形の興味深く効果的な組み合わせに生徒の興味を引くだけでなく、線、角度、形の感覚を養うことです。 この問題集は主に小学4年生から6年生を対象としていますが、高校生でも使用することが可能です。 この演習では、生徒は高い安定した注意力を集中する必要があり、視覚的記憶の発達と訓練に最適です。 子供の独立した思考と創造力のレベルに特別な要求を課す数学学校やクラスへの入学試験に向けて生徒を準備する数学家庭教師にお勧めします。 課題のレベルは、ライセウム「第二学校」（第二数学学校）、モスクワ州立大学機械数学小学部、クルチャトフ学校などへのオリンピック入学のレベルに対応しています。

数学の家庭教師のメモ:
問題の解決策によっては、対応するポインターをクリックして表示できるものもありますが、考えられる切断例のうちの 1 つだけが示されています。 最終的に別の正しい組み合わせになる可能性があることは十分に認めますが、それを恐れる必要はありません。 お子様の解決策を注意深く確認し、条件を満たしている場合は、遠慮なく次のタスクに取り組んでください。

1) 図に示されている図形を 3 つの等しい形の部分に切断してみてください。

: 小さな形状は文字Tによく似ています

2) 次に、この図を 4 つの等しい形の部分に切ります。

数学の家庭教師のヒント: 小さい図形は 3 マスで構成されていることが容易に推測できますが、3 マスの図形は多くありません。 角と 1×3 の長方形の 2 種類だけです。

3) この図形を 5 つの等しい形に切ります。

このような各図形を構成するセルの数を求めます。 これらの数字は文字 G のように見えます。

4) 次に、10 個のセルを 4 つに切り分ける必要があります。 不平等互いに長方形（または正方形）になります。

数学の家庭教師の指示: 長方形を選択し、残りのセルにさらに 3 つを当てはめてみます。 うまくいかない場合は、最初の四角形を変更して再試行してください。

5) タスクはさらに複雑になります。図形を 4 つに切り分ける必要があります。 形が違う数字（必ずしも長方形である必要はありません）。

数学の家庭教師のヒント: まず、さまざまな形のすべての種類の図形を個別に描画し (4 つ以上の図形が存在します)、前のタスクと同様にオプションを列挙する方法を繰り返します。
:

6) この図を、異なる形状の 4 つのセルから 5 つの図に切り取り、それぞれのセルに緑色のセルが 1 つだけペイントされるようにします。

数学の家庭教師のヒント:この図の上端から切り始めてみると、どのように進めるべきかがすぐにわかります。
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7) 前のタスクに基づきます。 正確に 4 つのセルで構成される、さまざまな形の図形が何個あるか見つけてください。 数字はひねったり回したりすることはできますが、それが置かれているテーブルを（表面から）持ち上げることはできません。 つまり、与えられた 2 つの数値は回転によって相互に取得できないため、等しいとはみなされません。

数学の家庭教師のヒント:前の問題の解決策を研究し、回転するときのこれらの図形のさまざまな位置を想像してみてください。 私たちの問題の答えが 5 以上であることを推測するのは難しくありません。 (実際には6つ以上です)。 記載されているフィギュアは7種類あります。

8) 16 個のセルからなる正方形を 4 つの等しい形の部分に切り、4 つの部分のそれぞれに緑色のセルが 1 つだけ含まれるようにします。

数学の家庭教師のヒント: 小さな図形の外観は正方形でも長方形でも、さらには 4 つのマス目の角でもありません。 それでは、どのような形にカットしてみるべきでしょうか?

9) 描かれた図形を 2 つの部分に切り、得られた部分を正方形に折りたたむことができます。

数学の家庭教師のヒント: マス目は全部で 16 個あり、正方形のサイズは 4x4 になります。 そして、何らかの方法で中央のウィンドウを埋める必要があります。 どうやってするの？ 何らかのシフトがある可能性はありますか？ すると、長方形の長さは奇数のセル数に等しいので、垂直に切るのではなく、破線に沿って切る必要があります。 中央のセルの一方の側で上部が切り取られ、もう一方の側で下部が切り取られます。

10) 4×9の長方形を正方形に折りたためるように2つに切ります。

数学の家庭教師のヒント: 長方形には合計 36 個のセルがあります。 したがって、正方形のサイズは 6x6 になります。 長辺は9つのセルで構成されているため、そのうちの3つを切り取る必要があります。 このカットはどのように進むのでしょうか？

11) 図に示されている 5 つのセルの十字を、正方形を折りたたむことができる部分に切断する必要があります (セル自体を切断することもできます)。

数学の家庭教師のヒント: セルの数が 5 つしかないため、どのようにセルの線に沿って切断しても正方形にならないことは明らかです。これが唯一切断が許可されるタスクです。 細胞によるものではない。 ただし、ガイドとして残しておくのは良いことです。 たとえば、十字の内側の角にあるくぼみを何らかの方法で削除する必要があることに注意してください。 これを行う方法？ たとえば、十字の外側の角からはみ出た三角形をいくつか切り取ると...