等差数列の計算方法。 等差数列: それは何ですか? 進行の違い: 定義
または算術 - これは順序付けられた数値列の一種であり、その特性は学校の代数コースで学習されます。 この記事では、等差数列の和を求める方法について詳しく説明します。
この進行は何でしょうか？
問題 (等差数列の和を求める方法) の検討に進む前に、何が議論されるのかを理解しておく価値があります。
前の各数値から何らかの値を加算 (減算) することによって得られる実数のシーケンスは、代数 (算術) 数列と呼ばれます。 この定義を数学の言語に翻訳すると、次のような形式になります。
ここで、 i は系列 a i の要素の序数です。 したがって、初期番号を 1 つだけ知っていれば、シリーズ全体を簡単に復元できます。 式中のパラメータ d は累進差と呼ばれます。
考慮している一連の数値に対して次の等式が成り立つことは簡単にわかります。
a n \u003d a 1 + d * (n - 1)。
つまり、順番に n 番目の要素の値を求めるには、差分 d を最初の要素 a 1 に n-1 回加算します。
等差数列の和は何ですか: 公式
示された量の式を与える前に、簡単な特殊なケースを検討する価値があります。 1 から 10 までの自然数の数列が与えられた場合、その合計を求める必要があります。 数列 (10) には項がほとんどないため、問題を正面から解く、つまりすべての要素を順番に合計することが可能です。
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55。
興味深いことを1つ考慮する価値があります。各項は同じ値d \u003d 1だけ次の項と異なるため、最初の項と10番目の項、2番目と9番目の項などのペアごとの合計は同じ結果になります。 。 本当に：
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
ご覧のとおり、これらの合計は 5 つだけです。つまり、系列内の要素の数のちょうど 2 倍少ないことになります。 次に、合計の数 (5) と各合計の結果 (11) を乗算すると、最初の例で得られる結果が得られます。
これらの引数を一般化すると、次の式を書くことができます。
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2。
この式は、行内のすべての要素を合計する必要はまったくなく、最初の a 1 と最後の a n の値、および項の総数 n がわかれば十分であることを示しています。
ガウスが最初にこの等式を思いついたのは、学校の教師が設定した問題、つまり最初の 100 個の整数を合計するという問題の解決策を探していたときだったと考えられています。
m から n までの要素の合計: 式
前の段落で示した式は、(最初の要素の) 等差数列の合計を求める方法という質問に答えますが、多くの場合、タスクでは数列の途中で一連の数値を合計する必要があります。 どうやってするの？
この質問に答える最も簡単な方法は、次の例を考慮することです。m 番目から n 番目までの項の合計を見つける必要があるとします。 この問題を解決するには、数列の m から n までの特定のセグメントを新しい数列として表す必要があります。 この表現では、m 番目のメンバー a m が最初となり、a n には n-(m-1) の番号が付けられます。 この場合、合計の標準公式を適用すると、次の式が得られます。
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2。
数式の使用例
等差数列の和を求める方法を理解したら、上記の式を使用する簡単な例を検討する価値があります。
以下は数値シーケンスです。5 番目から始まり 12 番目で終わるメンバーの合計を見つける必要があります。
指定された数値は、差 d が 3 に等しいことを示します。n 番目の要素の式を使用すると、数列の 5 番目と 12 番目のメンバーの値を見つけることができます。 それが判明：
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29。
考慮中の代数級数の終端にある数値の値がわかっていて、それらが系列内のどの数値を占めているかもわかっているので、前の段落で得た合計の公式を使用できます。 得る：
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148。
この値は別の方法で取得できることに注意してください。まず、標準の式を使用して最初の 12 要素の合計を求め、次に同じ式を使用して最初の 4 要素の合計を計算し、最初の合計から 2 番目の要素を減算します。 。
それでは、座って数字を書き始めましょう。 例えば：
任意の数字を書くことができ、好きなだけいくつでも書くことができます (この場合は数字です)。 どれだけ数字を書いても、どれが最初でどれが 2 番目か、というように最後まで常に言うことができ、つまり番号を付けることができます。 これは数値シーケンスの例です。
数値シーケンス
たとえば、私たちのシーケンスの場合:
割り当てられた番号は、1 つのシーケンス番号にのみ固有です。 言い換えれば、シーケンス内に 3 番目の数字は存在しません。 2 番目の数値 (-番目の数値など) は常に同じです。
番号が付いた番号は、シーケンスの - 番目のメンバーと呼ばれます。
通常、シーケンス全体をある文字 (たとえば、) と呼び、このシーケンスの各メンバーを、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字と呼びます。
私たちの場合には： 
隣接する数値間の差が同じで等しい数値列があるとします。
例えば： 
等
このような数列を等差数列といいます。
「進歩」という用語は、ローマの作家ボエティウスによって 6 世紀にはすでに導入され、無限の数値列として広い意味で理解されました。 「算術」という名前は、古代ギリシャ人が取り組んでいた連続比例の理論から移されました。
これは数値シーケンスであり、その各メンバーは前のメンバーと等しく、同じ番号が追加されます。 この数を等差数列の差と呼んで表します。
どの数列が等差数列であり、どの数列が等差数列ではないのかを判断してください。
a)
b)
c)
d)
わかった？ 私たちの答えを比較してください:
は等差数列 - b、c。
ではありません等差数列 - a、d。
指定された進行 () に戻り、その 番目のメンバーの値を見つけてみましょう。 存在する 二それを見つける方法。
1.方法
数列の第 項に到達するまで、数列番号の前の値を加算できます。 要約する必要があまりなく、3 つの値のみであるのは良いことです。
したがって、記述された等差数列の - 番目のメンバーは次の値と等しくなります。
2ウェイ
数列の第 3 項の値を求める必要がある場合はどうすればよいでしょうか? 合計には1時間以上かかったでしょうし、数字の足し算を間違えなかったわけではありません。
もちろん、数学者は等差数列の差を前の値に加算する必要がない方法を考え出しました。 描かれた絵をよく見てください...確かに、あなたはすでに特定のパターンに気づいています。
たとえば、この等差数列の - 番目のメンバーの値を構成するものを見てみましょう。 
言い換えると：
この方法で、この等差数列のメンバーの値を独自に見つけてみてください。
計算済み？ 入力内容と回答を比較します。
等差数列のメンバーを前の値に連続して加算したとき、前のメソッドとまったく同じ数値が得られたことに注意してください。
この式を「非個人化」してみましょう。これを一般的な形式にすると、次のようになります。
|
等差数列方程式。 |
等差数列は増加または減少しています。
増加中- 項の後続の各値が前の値よりも大きくなる進行。
例えば：
降順- 後続の各項の値が前の値よりも小さくなる進行。
例えば：
導出された式は、等差数列の増加項と減少項の両方の項の計算に使用されます。
実践で確認してみましょう。
次の数値から構成される等差数列が与えられます。
それ以来：
したがって、この公式は等差数列の減少と増加の両方で機能すると確信しました。
この等差数列の - 番目と - 番目のメンバーを自分で見つけてみてください。
結果を比較してみましょう。
等差数列プロパティ
タスクを複雑にしてみましょう。等差数列の性質を導き出します。
次の条件が与えられたとします。
- 等差数列、値を見つけます。
それは簡単だとあなたは言い、すでに知っている公式に従って数え始めます。
それでは、次のようにしましょう。
絶対的に正しい。 最初に検索し、それを最初の数値に加算して、探しているものを取得することがわかりました。 進行状況が小さな値で表される場合は、何も複雑なことはありませんが、条件に数値が指定されている場合はどうなるでしょうか。 同意します、計算に間違いがある可能性があります。
さて、考えてみましょう。何らかの公式を使用して、この問題を 1 ステップで解決することは可能でしょうか? もちろん、その通りです。今すぐにでも公開できるよう努めます。
等差数列の目的の項を次のように表します。それを見つけるための公式はわかっています。これは、最初に導出したのと同じ公式です。
、 それから：
- 進行の前のメンバーは次のとおりです。
- 進行の次の項は次のとおりです。
進行の前と次のメンバーを合計してみましょう。
進行の前後のメンバーの合計は、それらの間に位置する進行のメンバーの値の 2 倍であることがわかります。 つまり、既知の前後の値を持つ進行メンバーの値を見つけるには、それらを加算して除算する必要があります。
そうです、同じ番号でした。 素材を整えてみましょう。 進行度の値を自分で計算することは、まったく難しいことではありません。
よくやった！ あなたは進歩についてほぼすべてを知っています! 伝説によると、史上最も偉大な数学者の一人である「数学者の王」カール・ガウスが、自分で簡単に推測したという公式を1つだけ見つける必要があります...
カール ガウスが 9 歳のとき、教師は他のクラスの生徒の作業をチェックするのに忙しく、授業で次の課題を出しました。「(他の情報源によると) から (他の情報源によると) までのすべての自然数の合計を計算してください。 」 生徒の一人（カール・ガウスでした）が1分後にその課題に正しい答えを出したのに対し、命知らずのクラスメートのほとんどが長い計算の後に間違った結果を受け取ったとき、教師は何を驚きましたか...
若きカール ガウスは、簡単に気づくことができるパターンに気づきました。
-ti メンバーで構成される等差数列があるとします。等差数列の指定されたメンバーの合計を見つける必要があります。 もちろん、すべての値を手動で合計することはできますが、ガウスが探していたように、タスク内の項の合計を見つける必要がある場合はどうすればよいでしょうか?
私たちに与えられた進歩を描きましょう。 ハイライト表示された数値をよく見て、それらを使ってさまざまな数学的演算を実行してみてください。 
試してみましたか？ 何に気づきましたか? 右！ それらの合計は等しい
さて答えてください、私たちに与えられた進行の中にそのようなペアは何組あるでしょうか? もちろん、それはすべての数字のちょうど半分です。
等差数列の 2 つの項の合計が等しいという事実と、同様の等しいペアに基づいて、合計は次と等しいことがわかります。
.
したがって、等差数列の最初の項の和の式は次のようになります。
問題によっては、第 3 項が分からない場合もありますが、進行の差は分かります。 合計の式に、番目のメンバーの式を代入してみてください。
何を手に入れましたか？
よくやった！ ここで、カール ガウスに与えられた問題に戻りましょう。-番目から始まる数値の合計と、-番目から始まる数値の合計を自分で計算してください。
いくらもらいましたか？
ガウスは、項の合計が等しいこと、および項の合計が等しいことを発見しました。 そう決めたのですか？
実際、等差数列の要素の和を求める公式は、3 世紀に古代ギリシャの科学者ディオファントスによって証明され、この時代を通じて、機知に富んだ人々が等差数列の特性を大いに活用していました。
たとえば、古代エジプトと当時の最大の建設現場であるピラミッドの建設を想像してください...図はその片面を示しています。 
あなたが言うところの進歩はどこにありますか？ 注意深く見て、ピラミッドの壁の各列にある砂ブロックの数のパターンを見つけてください。 
なぜ等差数列ではないのでしょうか? 基礎にブロックレンガを置いた場合、1つの壁を構築するのに必要なブロックの数を数えます。 モニター上で指を動かして数を数えないことを願っていますが、最後の公式と等差数列について話したすべてを覚えていますか?
この場合、進行は次のようになります。
等差数列の違い。
等差数列のメンバーの数。
データを最後の式に代入してみましょう (ブロックの数を 2 つの方法で数えます)。
方法1.
方法2。
そして今、モニター上で計算することもできます。得られた値をピラミッド内のブロックの数と比較します。 一致しましたか？ うまくいきました。等差数列の第 3 項の和をマスターしました。
もちろん、基礎のブロックからピラミッドを構築することはできませんが、何から構築するのでしょうか？ この条件で壁を建てるのに必要な砂レンガの数を計算してみてください。
あなたは管理しましたか？
正解はブロックです。
トレーニング
タスク:
- マーシャは夏に向けて体調を整えています。 彼女は毎日スクワットの回数を増やしています。 マーシャが最初のトレーニングでスクワットを行った場合、週に何回スクワットを行うことになります。
- に含まれるすべての奇数の合計は何ですか。
- 木こりは丸太を保管するとき、各最上層に含まれる丸太が前の層よりも 1 つ少なくなるように積み上げます。 石積みの基礎が丸太の場合、1 つの石積みに何本の丸太が入っているか。
答え:
- 等差数列のパラメータを定義しましょう。 この場合
(週 = 日)。答え： 2週間以内に、マーシャは1日1回スクワットをする必要があります。
- 最初の奇数、最後の数字。
等差数列の違い。
ただし、奇数の数が - 半分であることは、等差数列の - 番目の要素を見つけるための式を使用してこの事実を確認してください。数字には奇数が含まれています。
利用可能なデータを式に代入します。答え：に含まれるすべての奇数の合計は次のようになります。
- ピラミッドに関する問題を思い出してください。 私たちのケースでは、各最上位層が 1 つのログだけ削減されるため、層の束だけが存在します。
式にデータを代入します。答え：石積みの中に丸太があります。
まとめ
- - 隣接する数字間の差が同じで等しい数字列。 増えたり減ったりしています。
- 計算式を求める等差数列の 番目の要素は、式 - で記述されます。ここで、 は数列内の数値の数です。
- 等差数列のメンバーのプロパティ- - ここで - 進行中の数字の数。
- 等差数列のメンバーの合計は 2 つの方法で見つけることができます。
, ここで、 は値の数です。
算術累進。 平均レベル
数値シーケンス
座って数字を書き始めましょう。 例えば：
好きな数字をいくつでも書くことができます。 しかし、どれが最初でどれが 2 番目であるかなどは常にわかります。つまり、それらに番号を付けることができます。 これは数列の例です。
数値シーケンスは一連の番号であり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。
言い換えれば、各数値は特定の自然数に関連付けることができ、その数は 1 つだけです。 そして、この番号をこのセットの他の番号に割り当てることはありません。
番号が付いた番号は、シーケンスの - 番目のメンバーと呼ばれます。
通常、シーケンス全体をある文字 (たとえば、) と呼び、このシーケンスの各メンバーを、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字と呼びます。
シーケンスの - 番目のメンバーを何らかの式で指定できると非常に便利です。 たとえば、次の式は
シーケンスを設定します。
そして、式は次の順序になります。
たとえば、等差数列は数列です (ここでは最初の項は等しく、差は等しくなります)。 または（、違い）。
n項式
リカレントとは、 - 番目の項を見つけるために、前またはいくつか前の項を知る必要がある式のことです。
たとえば、このような式を使用して数列の第 3 項を見つけるには、前の 9 項を計算する必要があります。 たとえば、そうしましょう。 それから：
さて、公式が何であるかは明らかですか？
各行で、何らかの数値を加算したり、乗算したりします。 何のために？ 非常に単純です。これは現在のメンバーの番号から次の値を引いたものです。
かなり快適になりましたね? 私たちは以下をチェックします:
自分で決めてください:
等差数列で、n 番目の項の式を求め、100 番目の項を求めます。
解決：
最初のメンバーは等しいです。 違いは何ですか? そして、これが次のとおりです。
(結局のところ、それは進行の連続するメンバーの差に等しいため、差と呼ばれます)。
したがって、式は次のようになります。
すると、100番目の項は次のようになります。
から までのすべての自然数の和は何ですか?
伝説によると、偉大な数学者カール ガウスは 9 歳の少年で、この金額を数分で計算しました。 彼は、最初と最後の数字の合計が同じであること、2 番目と最後から 2 番目の数字の合計が同じであること、3 番目と最後から 3 番目の数字の合計が同じであることに気づきました。 そのようなペアは何組ありますか? そう、ちょうど全数字の半分です。 それで、
等差数列の最初の項の和の一般式は次のようになります。
例：
すべての 2 桁の倍数の合計を求めます。
解決：
その最初の数字はこれです。 次の各値は、前の値に数値を加算することによって取得されます。 したがって、私たちが関心のある数値は、最初の項とその差で等差数列を形成します。
この数列の第 3 項の式は次のとおりです。
すべて 2 桁でなければならない場合、数列にはいくつの項が含まれますか?
非常に簡単： 。
進行の最後の項は等しくなります。 次に合計:
答え： 。
さあ、自分で決めてください:
- 毎日、アスリートは前日よりも 1 メートル多く走ります。 初日に何キロメートル走った場合、何週間で何キロメートル走りますか?
- サイクリストは、以前よりも毎日より多くのマイルを走行します。 初日、彼は数キロ移動しました。 彼は1キロメートルを移動するのに何日運転しなければなりませんか? 旅の最終日には何キロ進むでしょうか?
- 店内の冷蔵庫は毎年同じ金額ずつ値下げされます。 ルーブルで売りに出された冷蔵庫が 6 年後にルーブルで売られた場合、その冷蔵庫の価格が毎年どれだけ下がったかを調べてください。
答え:
- ここで最も重要なことは、等差数列を認識し、そのパラメータを決定することです。 この場合、(週 = 日) となります。 この数列の最初の項の合計を決定する必要があります。
.
答え： - ここにそれが与えられています:、それを見つける必要があります。
明らかに、前の問題と同じ合計の公式を使用する必要があります。
.
値を代入します。ルートが明らかに合わないので、答えます。
-番目の項の式を使用して、最後の 1 日の移動距離を計算してみましょう。
(km)。
答え： - 与えられた: 。 探す： 。
それは決して簡単ではありません:
（こする）。
答え：
算術累進。 メインについて簡単に説明
これは、隣接する数字の差が同じで等しい数列です。
等差数列は増加 () と減少 () です。
例えば：
等差数列の n 番目の要素を見つけるための公式
は数式として記述されます。ここで、 は数列内の数字の数です。
等差数列のメンバーのプロパティ
隣接するメンバー (進行内の数字の数がどこにあるのか) がわかっている場合、進行のメンバーを簡単に見つけることができます。
等差数列のメンバーの合計
合計を求める方法は 2 つあります。
ここで、 は値の数です。
ここで、 は値の数です。
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数学では、何らかの方法で構成された互いに続く数値の集合を数列と呼びます。 既存のすべての数列のうち、代数級数と等比数列という 2 つの興味深いケースが区別されます。
等差数列とは何ですか?
すぐに言っておきますが、代数進行はしばしば算術と呼ばれます。なぜなら、その性質は数学の分野である算術によって研究されるからです。
この数列は、次の各メンバーが前のメンバーと一定の数だけ異なる一連の数字です。 これを代数級数の差といいます。 明確にするために、それをラテン文字 d で表します。
このようなシーケンスの例は次のとおりです: 3、5、7、9、11 ... ここでは、数字 5 が 3 × 2 より大きく、7 も 5 × 2 より大きいことがわかります。の上。 したがって、示されている例では、d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2 となります。
等差数列とは何ですか?
これらの順序付けられた数列の性質は、主に数 d の符号によって決まります。 代数級数には次のタイプがあります。
- d が正の場合 (d>0)、増加します。
- d = 0 の場合は定数。
- d が負の場合は減少します (d<0).
前の段落の例は、増加する進行を示しています。 減少シーケンスの例は、次の一連の数字です: 10、5、0、-5、-10、-15 ... 定数進行は、その定義から分かるように、同一の数字の集合です。
進行のn人目のメンバー
考慮中の数列の後続の各数値は、前の数値と定数 d だけ異なるという事実により、その n 番目のメンバーは簡単に決定できます。 これを行うには、d だけでなく、進行の最初のメンバーである 1 も知る必要があります。 再帰的アプローチを使用すると、n 番目の項を見つけるための代数級数式を取得できます。 a n = a 1 + (n-1)*d のようになります。 この公式は非常に単純で、直感的なレベルで理解できます。
使い方も難しくありません。 たとえば、上に示した数列 (d=2、a 1 =3) で、その 35 番目のメンバーを定義してみましょう。 式によれば、a 35 \u003d 3 + (35-1) * 2 \u003d 71 と等しくなります。
合計の計算式
等差数列が与えられた場合、その最初の n 項の和は、n 番目の項の値の決定とともに頻繁に発生する問題です。 代数級数の合計の式は次のように記述されます。 ∑ n 1 \u003d n * (a 1 + a n) / 2、ここでアイコン ∑ n 1 は、第 1 項から第 n 項までが合計されることを示します。
上記の式は、同じ再帰の特性に頼ることによって取得できますが、その妥当性を証明するより簡単な方法があります。 この合計の最初の 2 つと最後の 2 つの要素を数値 a 1 、a n および d で表して書き留めてみましょう。a 1 、a 1 +d、...、a n -d、a n が得られます。 ここで、最初の項を最後の項に追加すると、2 番目の項と最後から 2 番目の項の合計、つまり a 1 + a n と正確に等しくなることに注意してください。 同様に、3 番目の項と最後から 2 番目の項などを加算しても同じ合計が得られることがわかります。 シーケンス内の数値のペアの場合、n/2 の和が得られ、それぞれは a 1 +a n に等しくなります。 つまり、和の代数級数として上記の式 ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2 が得られます。
対になっていないメンバー数 n についても、上記の推論に従うと、同様の式が得られます。 進行の中心にある残りの用語を忘れずに追加してください。
上記で紹介した単純な数列 (3、5、7、9、11 ...) の例を使用して、上記の公式の使用方法を示します。 たとえば、メンバーの最初の 15 人の合計を決定する必要があります。 まず、 15 を定義しましょう。 n番目の項の式を使用すると（前の段落を参照）、a 15 \u003d a 1 + (n-1) * d \u003d 3 + (15-1) * 2 \u003d 31が得られます。これで、適用できます。代数級数の和の公式: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255。
興味深い歴史的事実を引用するのは興味深いことです。 等差数列の和の公式は、カール ガウス (18 世紀のドイツの有名な数学者) によって初めて得られました。 彼がまだ 10 歳のとき、先生は 1 から 100 までの数字の合計を求める問題を出しました。小さなガウスは、最初からペアの数字を合計することによって、シーケンスの最後では、いつでも 101 が得られます。このような合計は 50 個あるため、彼はすぐに答えを出しました: 50 * 101 = 5050。
問題解決例
代数数列のトピックの締めくくりとして、別の興味深い問題を解決する例を示し、それによって検討中のトピックの理解を強化します。 差 d = -3 とその 35 番目の項 a 35 = -114 が既知である、いくつかの数列が与えられるとします。 数列 a 7 の 7 番目のメンバーを見つける必要があります。
問題の条件からわかるように、a 1 の値が不明であるため、第 n 項の式をそのまま使用することはできません。 また、再帰法は不便で、手動で実装するのが難しく、間違いを犯す可能性が高くなります。 次のように進めましょう。 a 7 と a 35 の式を書き出します。 a 7 \u003d a 1 + 6 * d と a 35 \u003d a 1 + 34 * d があります。 最初の式から 2 番目の式を減算すると、a 7 - a 35 \u003d a 1 + 6 * d - a 1 - 34 * d が得られます。 以下から: a 7 \u003d a 35 - 28 * d。 問題の状態から既知のデータを置き換えて、答えを書き留める必要があります：a 7 \u003d -114 - 28 * (-3) \u003d -30。
幾何級数
記事の主題をより完全に明らかにするために、別のタイプの進行である幾何学的進行について簡単に説明します。 数学では、この名前は、後続の各項が前の項と何らかの要因で異なる一連の数値として理解されます。 この係数を文字 r で表します。 これは、検討中の進行タイプの分母と呼ばれます。 この一連の数字の例は次のとおりです: 1、5、25、125、...
上記の定義からわかるように、代数級数と等比数列は考え方が似ています。 それらの違いは、最初の方が 2 番目よりもゆっくりと変化することです。
等比数列は、増加、一定、減少することもあります。 そのタイプは分母 r の値によって異なります。r>1 の場合は増加し、r の場合は増加します。<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
等比数列の公式
代数の場合と同様、等比数列の公式は、その n 番目の要素と n 項の和の定義に還元されます。 以下にこれらの表現を示します。
- a n = a 1 * r (n-1) - この式は等比数列の定義に従います。
- ∑ n 1 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1)。 r = 1 の場合、上記の式は不確実性を与えるため、使用できないことに注意することが重要です。 この場合、n 項の合計は単純な積 a 1 *n に等しくなります。
たとえば、シーケンス 1、5、25、125、... の 10 個のメンバーのみの合計を求めてみましょう。 a 1 = 1 および r = 5 であることがわかっているため、次の結果が得られます: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406。結果の値は、等比数列がどれほど速く成長するかを示す明らかな例です。
おそらく歴史上、この進歩について最初に言及されるのは、あるスルタンの友人が彼にチェスを教え、彼の奉仕のために穀物を求めたときのチェス盤の伝説でしょう。 さらに、穀物の量は次のようになっているはずです。チェス盤の最初のマスには 1 粒、2 番目のマスには 1 マス目の 2 倍、3 マス目には 2 マス目の 2 倍、そしてすぐ。 スルタンはこの要求に喜んで同意しましたが、約束を守るためには自国のゴミ箱をすべて空にしなければならないとは知りませんでした。
