45度の接線を求める方法。

サイン (sin)、コサイン (cos)、タンジェント (tg)、コタンジェント (ctg) の値の表は、理論的および応用的な多くの問題の解決に役立つ強力で便利なツールです。 この記事では、角度 0、30、45、60、90、...、360 度 (0、π 6 、π 3 、π) の基本的な三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント) の表を提供します。 2、...、2 π ラジアン)。 サインとコサイン、タンジェントとコタンジェントの個別の Bradis テーブルも表示され、基本的な三角関数の値を見つけるためにそれらを使用する方法が説明されます。

角度 0、30、45、60、90、...、360 度の基本的な三角関数の表

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に基づいて、0 度および 90 度の角度に対するこれらの関数の値を見つけることができます。

sin 0 = 0 、 cos 0 = 1 、 t g 0 = 0 、ゼロの余接 - 定義されていません、

sin 90 ° = 1 、cos 90 ° = 0 、t g 90 ° = 0 、90 度の正接は定義されていません。

ジオメトリの過程におけるサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は、角度が 30、60、90 度、および 45、45、90 度の直角三角形の辺の比率として定義されます。 。

直角三角形の鋭角の三角関数の定義

副鼻腔反対側の脚と斜辺の比率です。

余弦隣接する脚と斜辺の比率です。

正接- 反対側の脚と隣接する脚の比率。

コタンジェント- 隣接する脚と反対側の脚の比率。

定義に従って、関数の値は次のようになります。

sin 30 ° = 1 2 、 cos 30 ° = 3 2 、 t g 30 ° = 3 3 、 c t g 30 ° = 3 、 sin 45 ° = 2 2 、 cos 45 ° = 2 2 、 t g 45 ° = 1 、 c t g 45 ° = 1、sin 60 ° = 3 2、cos 45 ° = 1 2、t g 45 ° = 3、ct g 45 ° = 3 3。

これらの値を表にまとめて、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの基本値のテーブルと呼びましょう。

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの基本値の表

三角関数の重要な特性の 1 つは周期性です。 このプロパティに基づいて、キャスト式を使用してこのテーブルを展開できます。 以下に、角度 0、30、60、...、120、135、150、180、...、360 度 (0、π 6 、π 3 、 π 2 、...、2 パイ ラジアン)。

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの周期性により、このテーブルを任意の大きな角度に拡張できます。 表にまとめた値は問題を解く際によく使うので、暗記することをお勧めします。

三角関数の基本値表の使い方

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値のテーブルを使用する原理は、直感的なレベルで明らかです。 行と列の交差により、特定の角度の関数値が得られます。

例。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表の使用方法

sin 7 π 6 が何に等しいかを調べる必要があります

テーブル内に列があり、その最後のセルの値は 7 π 6 ラジアン、つまり 210 度と同じです。 次に、サインの値が表示されるテーブルの項を選択します。 行と列の交差点で、目的の値が見つかります。

sin 7 π 6 \u003d - 1 2

ブラディステーブル

Bradis テーブルを使用すると、コンピュータ テクノロジを使用せずに、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を小数点以下 4 桁までの精度で計算できます。 これは工学計算機の一種の代替品です。

参照

ウラジミール・モデストヴィチ・ブラディス (1890 - 1975) - ソ連の数学者および教師、1954 年以来ソ連 APN の対応会員。 Bradis によって開発された 4 桁の対数と自然三角量の表は、1921 年に初めて登場しました。

まず、サインとコサインの Bradys テーブルを与えます。 これにより、整数の度および分を含む角度に対するこれらの関数の近似値を正確に計算できます。 表の左端の列は度を示し、上の行は分を示します。 Bradys テーブルの角度のすべての値は 6 分の倍数であることに注意してください。

サインとコサインの Bradis テーブル

表に示されていない角度のサインとコサインの値を見つけるには、補正を使用する必要があります。

ここで、接線と余接に関する Bradys テーブルを提供します。 これには、0 ～ 76 度の角度の正接の値と、14 ～ 90 度の角度の余接の値が含まれます。

接線と余接の Bradis テーブル

Bradys テーブルの使用方法

Bradys のサインとコサインの表を考えてみましょう。 副鼻腔に関連するものはすべて上部と左側にあります。 コサインが必要な場合は、テーブルの下部の右側を調べます。

角度の正弦の値を見つけるには、左端のセルに必要な度数が含まれる行と、上のセルに必要な分数が含まれる列の交点を見つける必要があります。

角度の正確な値が Bradis テーブルにない場合は、補正の助けを借ります。 1 分、2 分、3 分の修正は表の右端の列に示されています。 テーブルにない角度の正弦の値を見つけるには、それに最も近い値を見つけます。 その後、角度の差に応じた補正を加減していきます。

90 度を超える角度の正弦を探している場合は、最初にリダクション公式を使用する必要があり、その後で Bradis テーブルを使用する必要があります。

例。 Bradisテーブルの使い方

角度 17 ° 44 "の正弦を見つける必要があるとします。表によると、正弦が 17 ° 42" であることがわかり、その値に 2 分間の修正を追加します。

17° 44" - 17° 42" = 2" (正しいイオンが必要) sin 17° 44" = 0。 3040 + 0 。 0006 = 0 。 3046

コサイン、タンジェント、コタンジェントを扱う原理も同様です。 ただし、修正の符号を覚えておくことが重要です。

重要！

サインの値を計算する場合、補正は正の符号を持ち、コサインを計算する場合、補正は負の符号を使用する必要があります。

テキスト内の間違いに気づいた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。

主な三角関数は、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントです。 これに基づいて、三角法における角度の正接は、その角度の正弦と同じ角度の余弦の比を表す三角関数として定義されます。 直角三角形の鋭角の接線を決定する必要がある場合、この場合の接線は直角三角形の隣の脚に対する反対側の脚の比に等しいため、幾何学的に計算できます。 「タンジェント」という用語自体はラテン語から借用されたもので、直訳すると「接触」を意味します。 ラテン文字ではtangentで表されます。 角度 x のタンジェントは「tg x」と表されますが、西洋の数学者は伝統的にタンジェントを英語の単語の略語で表します。そこでは角度 x のタンジェントは「tan x」と表されます。

30度の接線は何ですか

角度のタンジェントは、同じ角度のサインとコサインの比に等しいという事実に基づいて、角度 30 度のタンジェントは、角度のサインの値を除算することによって取得できます。同じ角度のコサインの値によって 30 度になります。 タンジェントは 0.5774 になります。

60度の接線は何ですか

同様に、60 度の角度のタンジェントが計算されます。60 度の角度のサインを同じ角度のコサインの値で割ると、1.7321 という数値が得られ、これが 60 度のタンジェントです。

45度の接線は何ですか

45 度の角度のサインの値は同じ角度のコサインの値と等しいため、サインをコサインで割ることによって得られる 45 度の角度のタンジェントの値は 1 になります (接線は 1) です。

90度の接線は何ですか

90 度の角度の余弦は 0 であるため、90 度の角度のタンジェントを計算することは不可能であり、基本的な割り算ルールの 1 つは「ゼロで割ることはできない」というルールに従うものですが、この例ではこの場合、タンジェントはサインをコサイン、つまりゼロで割ることによって取得する必要があります。 90 度の接線の値は定義されていません。

120度の接線は何ですか

同様に、120 度の角度の正接を計算すると、-1.7321 (負) という数値が得られ、これが 120 度の角度の正接になります。

0度の接線は何ですか

角度 0 度のサインは 0、同じ角度のコサインは 1 であるため、タンジェントは 0 を 1 で割って 0 になります。したがって、0 度のタンジェントは 0 になります。

135度の接線は何ですか

135 度の正接は、同様の計算により -1 (マイナス 1) になります。

注記: こちらも参照 三角関数の値の表他の角度.

サイン、コサイン、45 度のタンジェント (sin 45、cos 45、tg 45)

サイン 45、コサイン 45、タンジェント 45 度の表の値と示されている。 さらに本文では、任意の直角三角形のこれらの値を計算する方法と正確性について説明します。

45度はπ/4ラジアンです。 pi/4 ラジアンのコサイン、サイン、タンジェントの式を以下に示します (ただし、それらは同一です)。
つまり、たとえば、 tg π/4 = tg 45度

α=45°における三角関数の値

sin cos tg 45度の値を独自に計算するにはどうすればよいですか?

角のある直角三角形ABCを作図して考える ∠ B = 45°。 辺の比率に基づいて、角度45度の直角三角形の三角関数の値を計算します。 三角形は直角であるため、サイン、コサイン、タンジェント関数の値はそれぞれの辺の比率に等しくなります。

サイン、コサイン、タンジェント関数の値は角度の度数（またはラジアンで表される値）のみに依存するため、求めた比率はサイン 45、コサイン 45、タンジェントの値になります。 45度機能。

直角三角形の性質によれば、角度 C は直角であり、90 度に等しくなります。 最初に角度 B を 45 度の度数で作成しました。 角度 A の値を求めます。三角形の角の和は180度なので、

∠ A+ ∠ B+ ∠ ℃ = 180°
角度 C は直線で 90 度に等しいため、最初に角度 B を 45 度として定義しました。したがって、次のようになります。
∠ A \u003d 180 ° - ∠ と - ∠ H = 180° - 90° - 45° = 45°

この三角形には等しい角が 2 つあるため、三角形 ABC は次のようになります。 長方形であると同時に二等辺三角形、両方の脚が互いに等しい: AC = BC。

辺の長さが特定の数 AC = BC = a に等しいと仮定します。 脚の長さがわかったら、斜辺の長さを計算します。

ピタゴラスの定理によると、AB 2 \u003d AC 2 + BC 2
AC と BC の長さを変数 a に置き換えると、次のようになります。

AB 2 \u003d a 2 + a 2 \u003d 2a 2、

その場合、AB=a √ 2.

結果として すべての辺の長さを表現しました変数 a を介した角度 45 度の直角三角形。

直角三角形の三角関数の性質によると 三角形の対応する辺の比率は、対応する関数の値と等しくなります。。 したがって、角度 α = 45 度の場合、次のようになります。

sinα = BC / AB(直角三角形の正弦の定義によると、これは反対側の脚と斜辺の比です。BC は脚、AB は斜辺です)

cosα = AC / AB(コサインの定義によると、これは隣接する脚と斜辺の比率です。AC は脚、AB は斜辺です)

tgα = BC / AC(同様に、角度 α の正接は、反対側の脚と隣接する脚の比率に等しくなります)

辺の指定の代わりに、変数 a を介して辺の長さの値を代入します。

これに基づいて (値の表を参照) sin 45、cos 45、tg 45） 我々が得る：

テーブルの値 sin 45、cos 45、tg 45(つまり、値 サイン 45、コサイン 45、タンジェント 45度はこの三角形の対応する辺の比率として計算できます)、上で計算した辺の長さの値を式に代入すると、下の図の結果が得られます。

テーブル値: サイン 45、コサイン 45、タンジェント 45 度

したがって：

• 45 度の正接は 1 に等しい
• 45 度のサインは 45 度のコサインに等しく、2 の平方根に等しい (1 を 2 の平方根で割ったものと同じ)

上記の計算からわかるように、対応する三角関数の値を計算するために重要なのは、三角形の辺の長さではなく、同じ角度では常に同じであるそれらの比率です。特定の三角形のサイズに関係なく。

π/4 ラジアンのサイン、コサイン、タンジェント

高校や ZNO / USE で解決するために提案された課題では、角度の度単位の代わりに、ラジアンで測定された角度の値が示されることがよくあります。 ラジアンで表される角度の尺度は、円周の直径への依存性を表す数値 pi に基づいています。

理解しやすいように、覚えておくことをお勧めします 度をラジアンに変換する方法。 円の直径は 180 度の円弧に及びます。 したがって、円周率ラジアンは 180 度に相当します。 ここから、角度の度単位をラジアンに、またはその逆に簡単に変換できます。

私たちはそれを考慮しています ラジアンで表される 45 度の角度、 (180 / 45 = 4) π/4 (円周率の 4 倍) に等しい。 したがって、私たちが見つけた値は、ラジアンで表された同じ角度の測定値として正しいものです。

• タンジェント π/4(円周率の 4 倍) は 1 に等しい
• 正弦 π/4(円周率の 4 倍) 度は次の値に等しい コサイン π/4度であり、2 の平方根に等しい

タンジェントテーブル Bradys テーブル リファレンスで最もよく使用される 4 つの三角関数テーブルの 1 つです。 タンジェントとコタンジェントは本質的にサインとコサインの導関数ですが、タンジェントの計算値を用意しておくと便利なことがよくあります。

三角関数と幾何学の研究におけるその重要性

幾何学では、三角関数は特別な役割を果たし、直角三角形の辺と角度が互いにどのように関係するかを決定します。 もちろん、三角法は静止しているわけではなく、ユークリッドの時代から大きく進歩し、現在では微分方程式の解法でこれらの関数を表現できるようになりました。

現在使用されている 基本的な三角関数の 6 つの表記法 、および 6 つの関数のうちの 4 つの関数は、シリーズの最後の関数であり、幾何学の助けだけで決定できるわけではありません。

副鼻腔 （罪）

余弦 (コス)

正接 (tg/タン)

コタンジェント (CTG/コット)

割線 (秒)

コセカント (cosec/csc) 。

直角三角形自体について考えてみましょう。平面上のどの辺にあるかに関係なく、すべての参考書での辺と角度の指定は、いつものように標準です。

この三角形では、α、β、γ で示される 3 つの角度が区別されますが、γ は常に 90 ° です。 直角 γ の反対側の辺は斜辺と呼ばれ、文字 C で表されます。すべての計算が開始される角度 α は、この角度の反対側と呼ばれる辺 a / BC / の反対側であり、辺 b / の反対側にあります。近くにある AC / はこの角度の影響を受け、隣接と呼ばれます。

ユークリッド理論によれば、これは現在も真実であり、今後も真実であり、同じ平面内にあるそのような三角形の角度の合計は 180、つまり数値 π に等しくなります。 また、角度の値は 0 から π /2 までになります。

次に、三角関数は、この三角形の辺の寸法に関して表現できます。 角度 α はギリシャ語のアルファベットでも三角形でも最初の角度であるため、この角度から関数について学び始めます。

• サインα は、この角度の反対側にある脚と三角形の斜辺の比、つまりsin α \u003d a: sで表されます。
• コサインα 角度αに隣接する脚と斜辺cの比、cos α \u003d b: cで表されます。 ちなみに、sin β = α: c なので、sin α は cos β に等しいと仮定でき、よって sin β は cos α に等しいと仮定できます。
• タンジェントα 反対側の脚 a と隣接する脚 b の比率の商に等しい : tgα = a: b。
• 角度αの余接 したがって、ctg α = b: a に等しい。
• 角度αの正割 は、この角度 sec α = c: b に隣接する脚に対する三角形の斜辺の比です。
• 角度αのコセカント は、三角形の斜辺と角度の反対側の脚との比、cosecα = c: a です。

これらの関数は、座標系を指定することで円で表現することもできます。 点Oを中心とする座標系を設定します。図に示す線分OAが回転する角度を任意とし、これをθとします。

この角度 θ の正接は、円上の点 A の縦軸とその横軸の比になります。 したがって、ctg α \u003d b: a、AC \u003d sin θ、OS \u003d cos θの場合、tgθ \u003d sin θ: cos θとなります。 同様に、ctg θ = cos θ: sin θ または 1: tgθ が得られます。

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