水平に対して斜めに投げられた体の動きの研究。地平線に対して斜めに投げ出された体の動き！物理学: 水平に対して斜めに投げられた体の動き

物体が地平線に対して斜めに投げられた場合、飛行中に重力と空気抵抗の力を受けます。抵抗力を無視すると、残る力は重力だけになります。したがって、ニュートンの第 2 法則により、物体は重力加速度に等しい加速度で動きます。座標軸への加速度の投影 ax = 0、ay = - g。

図 1. 水平に対して斜めに投げられた体の運動学的特性

質点の複雑な動きは、座標軸に沿った独立した動きの重ね合わせとして表現でき、異なる軸の方向では動きの種類が異なる場合があります。この場合、飛行体の運動は、水平軸 (X 軸) に沿った等速運動と垂直軸 (Y 軸) に沿った等加速度運動という 2 つの独立した運動の重ね合わせとして表現できます (図 1)。。

したがって、物体の速度投影は次のように時間とともに変化します。

ここで、 $v_0$ は初速度、 $(\mathbf \alpha )$ は投射角度です。

原点を選択すると、初期座標 (図 1) は $x_0=y_0=0$ になります。すると、次のようになります。

(1)

式(1)を分析してみましょう。投げられた体の移動時間を決定してみましょう。これを行うには、y 座標をゼロに設定しましょう。着地の瞬間には体の高さはゼロになります。ここから飛行時間を求めます。

高さがゼロになる 2 番目の時間値はゼロであり、これは投げる瞬間に対応します。この値には物理的な意味もあります。

最初の式(1)から飛行距離を求めます。飛行範囲は、飛行終了時の x 座標の値です。時間は $t_0$ です。最初の式 (1) に値 (2) を代入すると、次のようになります。

この式から、最大の飛距離は投球角度 45 度で達成されることがわかります。

投擲体の最大揚程は第２式（１）により求められる。これを行うには、飛行時間の半分に等しい時間値 (2) をこの式に代入する必要があります。飛行高度が最大になるのは軌道の中間点です。計算を実行すると、次のようになります。

方程式 (1) から、物体の軌道の方程式を得ることができます。運動中の物体の x 座標と y 座標を関連付ける方程式。これを行うには、最初の式 (1) から時間を表す必要があります。

それを 2 番目の式に代入します。すると、次のようになります。

この方程式が運動軌跡方程式です。二次項の前の「-」記号で示されているように、これは枝を下に向けた放物線の方程式であることがわかります。ここでは、投げ角度 $\alpha $ とその関数は単なる定数であることに留意する必要があります。定数。

物体は速度 v0 で地平線に対して角度 $(\mathbf \alpha )$ で投げられます。飛行時間 $t = 2 s$。本体はどの高さ Hmax まで上昇しますか?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

物体の運動の法則は次のような形になります。

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

初速度ベクトルは OX 軸と角度 $(\mathbf \alpha )$ を形成します。したがって、

\ \ \

石は山の頂上から地平線に向かって角度 = 30$()^\circ$ で初速 $v_0 = 6 m/s$ で投げられます。傾斜面の角度 = 30$()^\circ$。石は投げた地点からどのくらいの距離に落ちますか?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

座標の原点を投球点に置きます。OX - 傾斜面に沿って下向き、OY - 傾斜面に垂直な上向きに配置します。動きの運動学的特性:

運動の法則:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

結果の値 $t_В$ を代入すると、$S$ が見つかります。

1972年ミュンヘンオリンピックのバスケットボール競技決勝戦終了まで残り3秒。アメリカ人、つまり米国チームはすでに勝利を祝っていました。私たちのチーム、ソ連代表チームは、偉大なドリームチームに対して約 10 点差で勝利しました。

試合終了の数分前。しかし、最終的にはすべてのアドバンテージを失い、49:50 時点ですでに 1 点を失いつつありました。その後、信じられないことが起こりました！イワン・エデシュコがエンドライン後方からアメリカのリング下のコート全体にボールを投げると、センターのアレクサンダー・ベロフが相手2人に囲まれながらボールを受け取り、バスケットに入れました。 51:50 – 私たちはオリンピックチャンピオンです!!!

当時、私は子供の頃、最も強い感情を経験しました。最初は失望と憤り、そして狂ったような喜びでした。このエピソードの感動的な記憶は、私の意識に一生刻まれます。「アレクサンダー・ベロフのゴールデンスロー」のリクエストに応じてインターネット上のビデオを見てください。後悔はしないでしょう。

その後、アメリカ人は敗北を認めず、銀メダルの獲得を拒否した。私たちの選手たちがやったことを3秒でできるでしょうか? 物理を思い出しましょう！

この記事では、地平線に対して斜めに投げられた体の動きに注目し、入力データのさまざまな組み合わせでこの問題を解決するためのプログラムを Excel で作成し、上記の質問に答えてみます。

これは物理学ではかなりよく知られた問題です。私たちの場合、水平に対して斜めに投げられた体はバスケットボールです。イワン・エデシュコがコート全体に投げ、アレクサンダー・ベロフの手に落ちたボールの初速度、時間、軌道を計算します。

バスケットボールの飛行の数学と物理学。

以下に示す式と計算は次のとおりです。エクセルは、空気摩擦の影響を考慮せずに、地平線に対して斜めに投げられ、放物線の軌道に沿って飛行する物体に関する幅広い問題に普遍的です。

計算図を以下の図に示します。 MS Excel または OOo Calc を起動します。

初期データ:

1. 私たちは地球上にいて、弾道の問題、つまり地球の重力場における物体の動きを考えているので、最初に行うことは、重力場の主な特徴である自由落下の加速度を書き留めることです。 g m/s2単位

セル D3 に: 9,81

2. バスケットボールコートの寸法は長さ28メートル、幅15メートルです。コートのほぼ全体から反対側のベースラインからリングまでのボールの水平距離バツメートル単位で書く

セル D4 に: 27,000

3. エデシュコが約 2 メートルの高さから投げ、ベロフがフープの高さのどこかでボールをキャッチしたと仮定すると、バスケットボールのフープの高さが 3.05 メートルの場合、出発点と到着点の間の垂直距離は次のようになります。ボールの長さは1メートルになります。垂直変位を書き留めてみましょう yメートル単位で

セル D5 に: 1,000

4. ビデオでの私の測定によると、ボールのテイクオフ角度は次のとおりです。 α 0 エデシュコの手からの角度は 20°を超えませんでした。この値を入力しましょう

セル D6 に: 20,000

計算結果:

空気抵抗を考慮せずに、地平線に対して斜めに投げられた物体の動きを記述する基本方程式:

バツ =v0*cos α 0 *t

y =v0*罪 α 0 *t -g *t 2 /2

5. 時間を表現しましょう t最初の式から2番目の式に代入してボールの初速を計算します v 0 メートル/秒

セル D8: =(D3*D4^2/2/COS (ラジアン(D6))^2/(D4*タン(ラジアン(D6)) -D5))^0.5 =21,418

v0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(× *tgα 0 -y )) 0.5

6. エデシュコの手からベロフの手までのボールの飛行時間 t今知って数秒で計算しましょう v 0 , 最初の方程式から

セル D9: =D4/D8/COS (ラジアン(D6)) =1,342

t = バツ /(v 0 * コスα 0 )

7. ボールの飛行速度の方向角を求めよう α 私私たちが興味を持っている軌道点にあります。これを行うには、最初の方程式のペアを次の形式で記述します。

y =× *tgα 0 -g *x 2 /(2*v02*(cosα 0 ) 2)

これは放物線の方程式、つまり飛行経路です。

関心のある点における放物線の接線の傾斜角を見つける必要があります - これが角度になります α 私。これを行うには、接線角度の正接である導関数を取得します。

やあ =tgα 0 -g *x /(v02*(cosα 0 ) 2)

ボールがベロフの手に届く角度を計算してみましょう α 私度単位で

セル D10: =ATAN (TAN (ラジアン(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (ラジアン(D6))^2)/PI()*180 =-16,167

α 私 = arctgy ’ = arctg(tgα 0 — g * バツ /(v 0 2 *(コスα 0 ) 2))

Excelでの計算は基本的に完了です。

その他の支払いオプション:

作成したプログラムを使用すると、初期データの他の組み合わせによる計算を迅速かつ簡単に実行できます。

水平方向を与えるとしますバツ = 27メートル , 垂直 y = 1メートルの飛距離と初速 v 0 = 25m/秒。

飛行時間を調べる必要があります tとディパーチャーアングル α 0 そして到着 α 私

MS Excelの「パラメータ選択」サービスを使ってみましょう。何度かブログ記事で使い方を詳しく解説してきました。このサービスの使用方法について詳しくは、こちらをご覧ください。

セル D6 の値を選択して変更し、セル D8 の値を 25,000 に設定します。結果は下の写真です。

Excel でのこのバージョンの計算 (および以前の計算) のソースデータは青い枠で強調表示され、結果は赤い長方形の枠で囲まれています。

テーブルでの設定エクセル明るい青緑色の塗りつぶしを持つセルの 1 つで変更された値を選択することにより、明るい黄色の塗りつぶしを持つセルの 1 つに関心のある値が表示されます。一般に、物体の動きの問題を解決するための 10 の異なるオプションが得られます。地平線に対する角度を 10 種類の異なるオリジナルデータに設定します。

質問に対する答え:

記事の冒頭で提起された質問に答えてみましょう。私たちの計算によると、イワン・エデシュコが送ったボールは1.342秒でベロフに飛んだ。アレクサンダー・ベロフはボールをキャッチし、着地し、ジャンプして投げた。彼はこのすべてに多くの時間を費やしました - 1.658 秒! 実はこれだけでも十分な時間の余裕があるのです！ビデオ映像を詳細にレビューすると、上記のことが確認されます。私たちの選手たちは、ベースラインから相手のバックボードにボールを届け、フープに投げ込むまで 3 秒で、バスケットボールの歴史に金文字でその名前を刻みました。

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フリーフォールは、初速度のない均一加速運動の特殊なケースを表します。この動きの加速度は重力加速度に等しく、重力加速度とも呼ばれます。この動きの場合、次の式が有効です。

あなた t
g
h- 体が落ちる高さ
t- 下落が続いた時間

注記：

これらの計算式では空気抵抗は考慮されていません。
重力加速度は地表付近では一定の値（9.81(m/s?)）になります。 g の値は、地球の表面から他の距離で変化します。

体を垂直上方に投げ出す動き

垂直上方に投げられた物体は、初速度でゆっくりと均一に移動します。 u0そして加速ある = -g。時間の経過に伴う体の動き tリフト高さを表します hこの動きの場合、次の公式が有効です。

U0- 体の動きの初速度
U- 時間が経つと物体が落ちる速度 t
g- 自由落下加速度、9.81 (m/s?)
h- やがて体が上昇する高さ t
t- 時間

特定の高さでの車体速度:

最大持ち上げ高さ:

最大高さまで上昇するまでの時間:

互いに角度をなす動きの追加。

身体は同時にいくつかの並進運動に参加することができます。加速度、速度、変位はベクトル量であるため、ベクトル（幾何）加算の法則に従って加算することができます。それらの。平行四辺形の法則によると。

任意の動作特性の結果の値を計算できます。

もし：
上- 結果として生じる瞬間速度、
U1- 第一楽章の瞬間的なスピード、
U2- 第 2 楽章の瞬間的な速度、
? - 速度ベクトルによって形成される角度 u1そして u2,
次に、コサイン定理を使用すると、次のようになります。

動き 1 と 2 が互いに直角に発生する場合、式は単純化されます。

体を水平に投げ出す動き。

水平に投げられた体の動きは、互いに垂直な 2 つの動きの組み合わせです。
- 水平（均一）移動、
- 垂直（自由落下）

体を水平に投げたときの軌道の方程式

座標系で水平に投げられた物体の軌道を構築すると xy, 投球点を座標原点とし、縦軸の方向は自由落下加速度ベクトルの方向と一致するとすると、軌跡の各点の座標は物体の水平方向の動き（等速の動き）を表します。 U0）および垂直方向（加速度を伴う等加速度運動） g)

x、y- 体の座標、
u0
g
t- 移動時間(秒)

体を水平に投げたときの軌道の方程式次のように：

gそして体の初速 u0が定数の場合、座標は y二乗に比例するバツ、つまり移動の軌跡は放物線であり、その頂点が移動の開始点にあります。

水平に投げられた体のベクトル位置、公式

水平方向に投げられた体の軌道の各点の位置は、位置ベクトルによって指定できます。 r、結果として生じる変位を表します。

または 位置ベクトル:

x 座標:

Y 座標:

注: 計算式では空気抵抗は考慮されていません。

水平に対して斜めに投げられた体の運動方程式。

軌道点の座標は次の方程式で表されます。

x、y- 体の座標
U0- 初体の速度 (m/s)
? - 体が地平線に投げ出される角度 (°)
g- 自由落下加速度 9.81 (m/s2)
t- 移動時間(秒)

パラメータ t を介した式から、一般的な式を導き出します。 水平に対して斜めに投げられた体の運動方程式

重力加速度から g, ? - 体が地平線に投げ出される角度と体の初速度 u0が定数の場合、座標は y二乗に比例するバツ、つまり運動の軌跡は放物線であり、開始点はその枝の 1 つ上にあり、放物線の頂点は体の最大高度の点です。

地平線に対して斜めに投げられた物体の最大高さまで上昇する時間。

最大高さまで上昇する時間は瞬間速度の鉛直成分がゼロの条件から求められます。

この方程式から次のことが得られます。

U0- 本体の初速度 (m/s)、
?
g- 自由落下加速度 9.81 (m/s2)、
最大値- 最大高さまで上昇する時間 (秒)

水平に対して斜めに投げられた体の投げる距離。

投射範囲または ダメージ範囲総移動時間の計算式と身体座標の計算式により決定されます。

置き換える ツマックス式に代入して簡略化すると、次のようになります。

U0- 本体の初速度 (m/s)、
? - 体が地平線に投げ出される角度 (°)、
g- 自由落下加速度 9.81 (m/s2)、
ツマックス- 合計運転時間 (秒)

体を水平に対して斜めに投げる動き

図のように、投げる瞬間の物体を座標の原点に置き、XOY 平面内で、速度 V 0 で投げられた物体の動きを考えてみましょう。そのベクトルは地平線に対して角度 α を向いています。図 1 にあります。

抵抗力が存在しない場合、地平線に対して斜めに投げられた物体の運動は、重力の影響下での曲線運動の特殊なケースと考えることができます。ニュートンの第 2 法則の適用


∑ F i

我々が得る
mg = ma、


	a = g
加速度ベクトル a の OX 軸と OU 軸への投影は等しいです。


		= −g
ここで、g = 定数は	重力加速度、			それはいつも
垂直下向き	数値 g = 9.8 m/s2;		= −g		なぜならオペアンプ軸オン

図1は上を向いており、 OY 軸が下を向いている場合、ベクトルの投影

2 オペアンプ軸上の a は正になります(条件に記載されていない場合は、問題の条件を読んで軸の方向を自分で選択してください)。

OX 軸と OU 軸上の加速度ベクトル a の投影の値は、次の理由を与えます。

次の出力:

∙ 水平に対して斜めに投げられた体は、水平方向に均一に動き、それに沿って均一に変化するという 2 つの動きを同時に行います。


垂直方向。
この場合の体の速さは

	V = Vx + Vy

最初の瞬間（体を投げる瞬間）の体の速度
V 0 = V 0 ×			V0y.
OX 軸と OU 軸上の初速度ベクトルの投影は等しい
		Vcosα

V0y		V0sinα

均一に変化する動きの場合、速度と変位の時間依存性は次の方程式で与えられます。

V0+で

S0+V0t+

S 0 は最初の瞬間の物体の速度と変位です。

S t は時間 t における物体の速度と変位です。

ベクトル方程式 (8) の OX 軸と OU 軸への投影は等しい

V0x

アクスト、

V ty = V 0 y + a y t

定数

V 0 y - gt

ベクトル方程式 (9) の OX 軸と OU 軸への投影は等しい

Sox+Voxt+

ayt2

S0y

ボイト+

等式 (4) を考慮すると、次のようになります。

S0y

ボイト -

GT2

ソックスとソイはどこにいますか

体の座標

最初の瞬間に、

そしてStxとSty -

時刻 t における身体の座標。

移動中 t (投げた瞬間から落ちた瞬間まで)

レベル)、本体は最大高さ hmax まで上昇し、そこから下降し、投球ポイントから距離 L (飛行範囲) で飛びます。図 1 を参照してください。

1) 体動時間tの身体座標 Sy の値を考慮して見つけることができます。

大豆 = 0、麦粒腫 = 0、

Voy と (14) の値を系 (13) の 2 番目の方程式に代入すると、次のようになります。

2) 飛行距離Lの身体座標Sхの値を考慮して、見つけることができます

初期時刻と時刻 t (図 1 を参照)

Soх = 0、Stх = L、

Vox と (17) の値をシステムの最初の方程式 (13) に代入すると、次のようになります。

		L = V 0 cosα × t、
ここで、(16) を考慮すると、次のようになります。
L = Vcosα ×	2Vsinα
L = Vcosα ×

3) 最大揚程 h最大値が与えられた場合に見つけることができます

胴体の最大揚力点における胴体速度 V

V0x

なぜならこの点 V y

システム (11) および (13) の 2 番目の方程式を使用すると、

Voу の価値と事実

物体の最大揚力点 Sy = hmax で、次のようになります。

0 = V 0 sin α - g × t 以下

GTサブ2

V 0 sin α × t -

hmax

ここで、tpod - 立ち上がり時間 - 体の最大揚力の高さまでの移動時間。

この系を解くと、

=の下のt

V0sinα

罪2α

値 (16) と (22) を比較すると、結論の根拠が得られます。

· 最大ボディリフトの高さまでの移動時間 (tの下) は、この高さから身体が降下する時間 (tп) に等しく、投げた瞬間から同じ高さまで落ちる瞬間までの身体の全体の動きの半分の時間に等しい。

下の	小さじ

XOY 平面内で、速度 V 0 で投げられた物体のベクトル (そのベクトルは水平に対して角度 α を向いています) の動きを研究することは、コンピューターモデルで非常に明確です。

コンピューターモデル集「Open Physics」の「物体の自由落下」

フィジコン社。このモデルでは、さまざまな初期条件を設定できます。

たとえば、私たちが検討したケースでは、初期条件 h = 0 および選択された V0 と α で指定 (「クリア」コマンド) する必要があります。「開始」コマンドは、体の動きを示し、一定の時点での動きの軌跡と体の速度ベクトルの方向を示します。

図2. セクション「物体の自由落下」のコンピュータモデルのダイアログウィンドウ

"力学"; 物体が原点から移動し、同じレベルに落ちる.

問題の状況が検討したケースと異なる場合は、次のことが必要です。

問題を解決するには、軸の方向を選択し、最初の瞬間に本体を配置します。

時間に応じて、落下点までの体の軌跡を描写します。

時間の最初と最後の瞬間における体の座標を決定することによって。それから

解決策の基礎として式 (3)、(5)、(8)、(9) を使用し、上で説明しました。

問題を解決するためのアルゴリズム。

特殊な場合を考えてみましょう。

6 1. 体がスピードで投げ出された V0 、そのベクトルはある角度を向いていますα～

地平線、高さ h から、投げた地点から距離 L のところに落ちました。 yをイニシャルに

大豆 = h、

残りの座標の値は、選択したのと同じ方法で選択されます。

図3. セクション「物体の自由落下」のコンピュータモデルのダイアログウィンドウ

"力学"; 物体は点 h = 50m から移動し、ゼロレベルに下がります。.

2. 物体を高さ h から速度 V 0 で水平に投げると、投げた地点から距離 L の位置に落下しました。検討した場合との違いは、身体座標Sの値が y 初期瞬間の値も式 (25) によって決まります。

残りの座標の値は、選択したのと同じ方法で選択されます。ただし、この場合、OU 軸への投影における物体の初速度はゼロに等しくなります (α = 0 であるため)。

OX 軸と OU 軸上の初速度ベクトルの投影は等しい



V0y

図4．セクション「物体の自由落下」のコンピュータモデルのダイアログウィンドウ

"力学"; 水平に投げられた物体は、h = 50m の地点から移動し、ゼロレベルに落下します。.

以下は問題の状況とスキャンされた解決策です。このトピックに関する問題を解決する必要がある場合は、ここで同様の状況を見つけて、類推して問題を解決できます。画像の数が多いため、ページの読み込みに時間がかかる場合があります。物理学に関する問題解決やオンラインヘルプが必要な場合は、お問い合わせください。喜んでお手伝いいたします。

これらの問題を解決する原理は、自由落下する物体の速度を水平方向と垂直方向の 2 つの要素に分解することです。速度の水平成分は一定で、垂直運動は自由落下の加速度 g=9.8 m/s 2 で発生します。機械的エネルギー保存則も適用でき、この場合の物体の位置エネルギーと運動エネルギーの合計は一定になります。

素材点は、初速 15 m/s で地平線に対して斜めに投げられます。初期の運動エネルギーは、軌道の頂点にある点の運動エネルギーの 3 倍です。ポイントはどれくらい上がりましたか？

機体を水平に対して 40 度の角度で、初速 10 m/s で投げます。落下するまでに機体が飛行する距離、軌道の最高点での上昇の高さ、飛行時間を求めます。