農場の定理には解決策があります。フェルマーの最終定理は証明されていますか？数学者ファーマーの議事録

17世紀、弁護士兼非常勤の数学者ピエールフェルマーはフランスに住み、趣味で長時間の余暇を過ごしました。ある冬の夜、暖炉のそばに座って、彼は数論の分野から最も興味深い声明を発表しました。これは後にフェルマーの大定理または大定理と呼ばれました。おそらく、1つのイベントが発生していなければ、数学界では興奮はそれほど重要ではなかったでしょう。数学者は、アレクサンドリアのディオファントスのお気に入りの本「算術」（3世紀）を研究するために夜を過ごし、その余白に重要な考えを書き留めました。この希少性は、息子によって後世のために慎重に保存されました。それで、この本の広い余白に、フェルマーの手はこの碑文を残しました：「私はかなり印象的な証拠を持っていますが、余白に置くには大きすぎます。」定理の周りに圧倒的な興奮を引き起こしたのはこのエントリでした。偉大な科学者が彼自身の定理を証明したと宣言したことは数学者の間で疑いの余地はありませんでした。あなたはおそらく疑問に思っているでしょう。本？"。

大定理の本質

かなりよく知られているフェルマーの定理は本質的に単純であり、nが2より大きい場合、正の数である場合、方程式X n + Y n \ u003dZnは内にゼロ型の解を持たないという事実にあります。自然数の枠組み。この一見単純な式では、信じられないほどの複雑さが隠されており、それを証明するのに3世紀かかりました。奇妙なことが1つあります。2200年前にn=2の特殊なケースが出現したため、この定理は誕生に遅れました。これは、それほど有名なピタゴラスの定理です。

有名なフェルマーの定理に関する話は、数学者だけでなく、非常に有益で面白いものであることに注意してください。最も興味深いのは、科学が科学者の仕事ではなく、単純な趣味であり、それが農民に大きな喜びを与えたことです。彼はまた、数学者と常に連絡を取り合い、パートタイムで友人でもあり、アイデアを共有していましたが、奇妙なことに、彼は自分の作品を出版しようとはしませんでした。

数学者ファーマーの議事録

ファーマー自身の作品は、正確に普通の手紙の形で発見されました。一部の場所ではページ全体がなく、通信の断片のみが保存されています。さらに興味深いのは、3世紀の間、科学者がフェルマーの著作で発見された定理を探していたという事実です。

しかし、あえてそれを証明しなかった人は誰でも、試みは「ゼロ」に減らされました。有名な数学者デカルトは、科学者を自慢していると非難しましたが、それはすべて、最も普通の羨望の的でした。作成に加えて、ファーマーは彼自身の定理も証明しました。確かに、n=4の場合の解が見つかりました。 n = 3の場合については、数学者オイラーがそれを特定しました。

彼らはどのようにしてフェルマーの定理を証明しようとしましたか

19世紀の初めに、この定理は存在し続けました。数学者は、200以内の自然数に制限された定理の多くの証明を発見しました。

そして1909年に、ドイツ起源の10万マークに相当するかなりの量がライン上に置かれました。これはすべて、この定理に関連する問題を解決するためだけのものです。賞のカテゴリー自体の資金は、元々ドイツ出身の裕福な数学愛好家のポール・ウォルフスケルによって残されました。ちなみに、「按手」したかったのは彼でしたが、フェルマーの定理へのそのような関与のおかげで、彼は住む。結果として生じた興奮は、ドイツの大学に殺到した大量の「証拠」を生み出し、数学者のサークルでは、明確な証拠を提供できなかった野心的な新興企業を呼ぶために半ば偶然に使用されたニックネーム「フェルミスト」が生まれました。

日本の数学者谷山豊の仮説

20世紀半ばまで、大定理の歴史に変化はありませんでしたが、興味深い出来事が1つ発生しました。 1955年、28歳の日本の数学者谷山豊は、まったく異なる数学分野からの声明を世界に明らかにしました。彼の仮説は、フェルマーとは異なり、時代を先取りしていました。「すべての楕円曲線には、対応するモジュラー形式があります」と書かれています。木が特定の金属でできているように、それはすべての数学者にとって不条理のようです！逆説的な仮説は、他のほとんどの驚くべき独創的な発見のように、彼らがまだそれに成長していなかったため、受け入れられませんでした。そして谷山豊は3年後に自殺しました-不可解な行為ですが、おそらく、真の武士の天才の名誉は何よりもでした。

10年間、推測は記憶されていませんでしたが、70年代に人気のピークに達しました。それは、それを理解できるすべての人によって確認されましたが、フェルマーの定理のように、証明されていませんでした。

谷山予想とフェルマーの定理の関係

15年後、数学で重要な出来事が起こり、それは有名な日本の予想とフェルマーの定理を組み合わせました。ゲルハルト・グレイは、谷山の推測が証明されると、フェルマーの定理の証明が見つかるだろうと述べました。つまり、後者は谷山仮説の結果であり、1年半後、フェルマーの定理はカリフォルニア大学ケネス・リベット校の教授によって証明されました。

時が経ち、回帰は進歩に取って代わられ、科学は、特にコンピューター技術の分野で急速に進歩していました。したがって、nの値はますます増加し始めました。

20世紀の終わりには、最も強力なコンピューターが軍事研究所にあり、よく知られたフェルマー問題の解決策を導き出すためにプログラミングが実行されました。すべての試みの結果として、この定理はn、x、yの多くの値に対して正しいことが明らかになりました。しかし、残念ながら、そのような詳細がなかったため、これは最終的な証拠にはなりませんでした。

ジョン・ワイルズはフェルマーの偉大な定理を証明した

そして最後に、1994年の終わりになって初めて、イギリスの数学者、ジョンワイルズが、物議を醸しているフェルマーの定理の正確な証明を見つけて実証しました。その後、多くの改善を経て、このテーマに関する議論は論理的な結論に達しました。

反論は1つの雑誌の100ページ以上に投稿されました！さらに、定理は、より高度な数学のより近代的な装置で証明されました。そして驚くべきことに、農夫が彼の作品を書いたとき、そのような装置は自然界には存在していませんでした。一言で言えば、その男はこの分野の天才として認められ、誰も議論することはできませんでした。起こったことすべてにもかかわらず、今日、あなたは偉大な科学者フェルマーの提示された定理が正当化され証明されていると確信することができ、常識のある数学者はこのトピックについて論争を始めることはありません。

提示された定理の名前の由来となった人物のフルネームはPierredeFermerでした。彼は数学のさまざまな分野に貢献しました。しかし、残念ながら、彼の作品のほとんどは彼の死後にのみ出版されました。

FERMAT GREATTHEOREM-ディオファントス方程式Xn+ Y n \ u003d Z n、指数n> 2（n =整数）は正の解がないというピエール・フェルマー（フランスの弁護士およびパートタイムの数学者）の声明整数。著者のテキスト： 「立方体を2つの立方体に分解したり、2乗を2つの2乗に分解したり、一般に2を超える累乗を同じ指数の2乗に分解したりすることはできません。」

「フェルマーと彼の定理」、アマデオ・モディリアーニ、1920年

ピエールは1636年3月29日にこの定理を思いついた。そして約29年後、彼は亡くなりました。しかし、それがすべての始まりです。結局のところ、ウォルフスケルという名の裕福なドイツの数学者は、フェルマーの定理の完全な証明を提示する人に10万点を遺贈しました！しかし、定理をめぐる興奮は、これだけでなく、専門的な数学的興奮とも関連していました。フェルマー自身は、彼がその証拠を知っていることを数学界にほのめかしました。彼の死の直前の1665年に、彼はアレクサンドリアのディオファントスの「算術」という本の余白に次のエントリを残しました。大きすぎてフィールドに配置できません。」

数学者が証拠を探すのに最善の年を費やすことができなかったのは、このヒント（そしてもちろん賞金）でした（アメリカの科学者によると、プロの数学者だけで合計543年を費やしました）。

ある時点（1901年）で、フェルマーの定理に関する研究は、「永久機関の探索に似た研究」という疑わしい名声を獲得しました（蔑称的な用語である「フェルマー主義者」さえありました）。そして突然、1993年6月23日、ケンブリッジでの数論に関する数学会議で、プリンストン大学（米国ニュージャージー州）の英語の数学教授であるAndrew Wilesが、ついにFermatを証明したと発表しました。

しかし、Wilesが同僚から指摘されたように、証明は複雑であるだけでなく、明らかに誤りでした。しかし、ワイルズ教授は生涯にわたって定理を証明することを夢見ていたので、1994年5月に彼が科学界に証明の新しい改良版を提示したことは驚くべきことではありません。それは調和と美しさを持っていませんでした、そしてそれはまだ非常に複雑でした-数学者がこの証明を一年の間分析していたという事実（！）それが間違っていないかどうかを理解するために、それ自体を語ります！

しかし、結局、ワイルズの証明は正しいことがわかりました。しかし、数学者は、ピエール・フェルマーの算数のヒントを許しませんでした。実際、彼らは彼を嘘つきだと見なし始めました。実際、フェルマーの道徳的誠実さに最初に疑問を呈したのはアンドリュー・ワイルズ自身であり、「フェルマーにはそのような証拠はあり得なかった。これは20世紀の証拠である」と述べた。その後、他の科学者の間で、フェルマーは「客観的な理由で、フェルマーは彼の定理を別の方法で証明できず、フェルマーはワイルズのやり方でそれを証明できなかった」という意見が強まった。

実際、フェルマーはもちろんそれを証明することができ、少し後にこの証明は新分析百科事典のアナリストによって再現されるでしょう。しかし、これらの「客観的な理由」とは何ですか？
実際、そのような理由は1つだけです。フェルマーが住んでいた当時、谷山の予想が機能するモジュラー関数は19世紀の終わりにのみ発見されたため、アンドリュー・ワイルズが証明を作成した谷山の予想は表示されませんでした。。

ワイルズ自身はどのようにして定理を証明しましたか？質問は怠惰ではありません-これは、フェルマー自身が彼の定理をどのように証明できるかを理解するために重要です。ワイルズは、1955年に28歳の日本の数学者谷山豊によって提唱された谷山の推測の証明に基づいて彼の証明を構築しました。

推測は次のように聞こえます：「すべての楕円曲線は特定のモジュラー形式に対応します。」古くから知られている楕円曲線は2次元の形（平面上にある）ですが、モジュラー関数は4次元の形をしています。つまり、谷山の仮説は、単純な平らな曲線と想像を絶する4次元の形というまったく異なる概念を組み合わせたものです。仮説の中で異なる次元の人物をつなぐという事実自体は、科学者にはばかげているように見えました。そのため、1955年にはそれは重要視されませんでした。

しかし、1984年の秋、突然「谷山仮説」が再び記憶され、記憶されるだけでなく、その可能性のある証明がフェルマーの定理の証明と結びついたのです！これはザールブリュッケンの数学者ゲルハルト・フライによって行われ、「谷山の予想を誰かが証明できれば、フェルマーの最終定理が証明されるだろう」と科学界に伝えた。

フレイは何をしましたか？彼はフェルマーの方程式を3次方程式に変換し、フェルマーの方程式を3次方程式に変換して得られた楕円曲線はモジュール化できないという事実に注目しました。しかし、谷山の予想では、どの楕円曲線もモジュール化できると述べていました。したがって、フェルマーの方程式から構築された楕円曲線は存在できません。つまり、完全な解とフェルマーの定理は存在できません。つまり、それは真実です。さて、1993年に、アンドリュー・ワイルズは単に谷山の予想、したがってフェルマーの定理を証明しました。

しかし、フェルマーの定理は、谷山とフレイの両方が操作したのと同じ多次元性に基づいて、はるかに簡単に証明することができます。

まず、ピエール・フェルマー自身が規定した条件-n>2に注目しましょう。なぜこの条件が必要だったのですか？はい、n = 2の場合、通常のピタゴラスの定理X 2 + Y 2 = Z 2がフェルマーの定理の特殊なケースになり、整数の解が無限にあるという事実だけがあります。 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149など。したがって、ピタゴラスの定理はフェルマーの定理の例外です。

しかし、なぜn = 2の場合に、そのような例外が発生するのでしょうか。次数（n = 2）と図自体の寸法との関係を見ると、すべてが適切に機能します。ピタゴラスの三角形は2次元の図形です。当然のことながら、Z（つまり、斜辺）は、整数である可能性のある脚（XおよびY）で表すことができます。角度のサイズ（90）により、斜辺をベクトルと見なすことができます。脚は、軸上に配置され、原点から来るベクトルです。したがって、どの軸にも存在しない二次元ベクトルを、それらに存在するベクトルの観点から表現することが可能である。

さて、3次元、つまりn = 3に行くと、3次元ベクトルを表現するために、2つのベクトルに関する十分な情報がないため、Fermatの方程式でZを次のように表現することができます。少なくとも3つの項（それぞれ、座標系の3つの軸上にある3つのベクトル）。

n = 4の場合は4つの用語が必要であり、n=5の場合は5つの用語が必要です。この場合、十分な数のソリューション全体が存在します。たとえば、3 3 +4 3 +5 3 = 6 3などです（n = 3、n = 4などの他の例を選択できます）。

このすべてから何が続きますか？このことから、フェルマーの定理は実際にn> 2の完全な解を持っていないということになりますが、それは方程式自体が正しくないためです。同じ成功で、平行六面体の体積をその2つのエッジの長さで表現しようとすることができます-もちろん、これは不可能です（完全な解が見つかることはありません）が、平行六面体の体積を見つけるためだけです、3つのエッジすべての長さを知る必要があります。

有名な数学者のデイビッド・ギルバートが今の科学にとって最も重要な仕事は何かと尋ねられたとき、彼は「月の裏側でハエを捕まえる」と答えました。「誰がそれを必要としているのか」という合理的な質問に対して。彼は次のように答えました。「誰もそれを必要としません。しかし、これを達成するために解決する必要のある重要で複雑なタスクの数を考えてください。」

言い換えれば、フェルマー（そもそも弁護士！）は、問題の誤った定式化に基づいて、数学の世界全体で機知に富んだ法的な冗談を言ったのです。実際、彼は数学者がなぜハエが月の向こう側に住むことができないのかという答えを見つけることを提案しました、そして算術の余白で彼は単に月に空気がない、すなわち nの各値が彼の方程式の左側にある特定の数の項に対応しなければならないという理由だけで、n>2の彼の定理の整数解はあり得ません。

しかし、それは単なる冗談でしたか？全くない。フェルマーの天才は、数学の図形の次数と次元の関係、つまり方程式の左側の項の数との関係を実際に最初に見たという事実に正確にあります。彼の有名な定理の意味は、数学の世界にこの関係のアイデアを押し付けるだけでなく、この関係の存在の証明を開始することでもありました-直感的に理解できますが、まだ数学的に実証されていません。

フェルマーは、他の誰とも同じように、一見異なるオブジェクト間の関係を確立することは、数学だけでなく、あらゆる科学においても非常に有益であることを理解していました。このような関係は、両方のオブジェクトの根底にあり、それらをより深く理解できるようにするいくつかの深い原則を示しています。

たとえば、当初、物理学者は電気と磁気を完全に無関係な現象と見なしていましたが、19世紀になると、理論家と実験者は電気と磁気が密接に関連していることに気づきました。その結果、電気と磁気の両方をより深く理解することができました。電流は磁場を生成し、磁石は磁石に近い導体に電気を誘導する可能性があります。これは、ダイナモと電気モーターの発明につながりました。最終的に、光は磁場と電場の調和した調和振動の結果であることが発見されました。

フェルマーの時代の数学は、無知の海に浮かぶ知識の島々で構成されていました。 1つの島には、形を研究する幾何学者が住んでおり、別の島には、確率とリスクとチャンスを研究する数学者が住んでいました。幾何学の言語は確率論の言語とは非常に異なっており、代数の用語は統計についてのみ話す人々にとっては異質でした。残念ながら、私たちの時代の数学はほぼ同じ島で構成されています。

ファームは、これらすべての島が相互接続されていることに最初に気づきました。そして彼の有名な定理-フェルマーの最終定理-はこれの優れた確認です。

私たちの編集委員会の人生の少なくとも1年が、フェルマーの定理の十分な10の証明を受け取らずに過ぎ去った可能性は低いです。さて、その「勝利」の後、流れはおさまりましたが、乾ききっていません。

もちろん、完全に乾かさないために、この記事を公開しています。そして、彼自身の弁護ではありません-それは、私たちが黙っていた理由であると彼らは言います、私たち自身はまだそのような複雑な問題を議論するために成熟していません。

しかし、記事が本当に複雑に見える場合は、すぐにその終わりを見てください。情熱が一時的に落ち着き、科学が終わっていないことを感じなければなりません。まもなく、新しい定理の新しい証明が編集者に送られます。

20世紀は無駄ではなかったようです。最初に、人々は水素爆弾を爆発させることによって、一時的に2番目の太陽を作成しました。それから彼らは月面を歩き、ついに悪名高いフェルマーの定理を証明しました。これらの3つの奇跡のうち、最初の2つは、多大な社会的影響を引き起こしたため、誰もが口にするものです。それどころか、3番目の奇跡は別の科学的なおもちゃのように見えます-相対性理論、量子力学、および算術の不完全性に関するゲーデルの定理と同等です。しかし、相対性理論と量子は物理学者を水素爆弾に導き、数学者の研究は私たちの世界をコンピューターで満たした。この一連の奇跡は21世紀まで続くのでしょうか。次の科学玩具と私たちの日常生活の革命との関係をたどることは可能ですか？この接続により、予測を成功させることができますか？フェルマーの定理の例を使ってこれを理解してみましょう。

彼女が彼女の自然な言葉よりずっと遅く生まれたことを最初に注意しましょう。結局のところ、フェルマーの定理の最初の特殊なケースは、直角三角形の辺の長さを関連付けるピタゴラス方程式X 2 + Y 2 =Z2です。 25世紀前にこの公式を証明したピタゴラスは、すぐに自分自身に問いかけました。自然界には、脚と斜辺の両方が整数の長さを持つ三角形がたくさんあるのでしょうか。エジプト人はそのような三角形を1つだけ知っていたようです-辺（3、4、5）があります。ただし、他のオプションを見つけることは難しくありません。たとえば、（5、12、13）、（7、24、25）、または（8、15、17）です。これらすべての場合において、斜辺の長さは（A 2 + B 2）の形式になります。ここで、AとBは異なるパリティの互いに素な数です。この場合、脚の長さは（A 2-B 2）と2ABに等しくなります。

これらの関係に気づいたピタゴラスは、任意の3つの数（X \ u003d A 2-B 2、Y \ u003d 2AB、Z \ u003d A 2 + B 2）が方程式X 2 + Y 2 \u003dZの解であることを簡単に証明しました。 2と、相互に単純な辺の長さの長方形を設定します。この種の異なるトリプルの数は無限であることがわかります。しかし、ピタゴラス方程式のすべての解はこの形式を持っていますか？ピタゴラスはそのような仮説を証明または反証することができず、注意を引くことなくこの問題を後世に残しました。誰が彼らの失敗を強調したいですか？この後、直角三角形の積分の問題は7世紀の間、忘れ去られていたようです-ディオファンタスという名前の新しい数学の天才がアレクサンドリアに現れるまで。

私たちは彼についてほとんど知りませんが、彼がピタゴラスのようなものではなかったことは明らかです。彼は、音楽、天文学、政治のいずれにおいても、幾何学、さらにはそれを超えた王のように感じました。調和のとれたハープの側面の長さの間の最初の算術接続、惑星と星を運ぶ同心球からの宇宙の最初のモデル、地球を中心に、そして最後に、イタリアの都市クロトーネの最初の科学者共和国-これらはピタゴラスの個人的な成果です。ディオファンタスはそのような成功に何を反対することができますか？都市の群衆の誇りではなくなった偉大な美術館のささやかな研究者ですか？

たった一つのこと：ピタゴラス、ユークリッド、アルキメデスがほとんど感じる時間がなかった数の古代世界のより良い理解。ディオファンタスはまだ大きな数の位取り記数法を習得していませんが、彼は負の数が何であるかを知っており、おそらく2つの負の数の積が正である理由を考えるのに何時間も費やしたことに注意してください。整数の世界は、星、線分、多面体の世界とは異なり、特別な宇宙としてディオファンタスに最初に明らかにされました。この世界の科学者の主な職業は方程式を解くことであり、真のマスターはすべての可能な解決策を見つけ、他の解決策がないことを証明します。これは、ディオファンタスが2次ピタゴラス方程式で行ったことであり、彼は次のように考えました。少なくとも1つの解は同様の3次方程式X 3 + Y 3 = Z 3を持っていますか？

ディオファンタスはそのような解決策を見つけることができませんでした;解決策がないことを証明する彼の試みも失敗しました。したがって、彼の研究の結果を「算術」（数論に関する世界初の教科書）で作成し、ディオファンタスはピタゴラスの方程式を詳細に分析しましたが、この方程式の一般化の可能性については何も示唆していませんでした。しかし、彼はできました。結局のところ、整数の累乗の表記法を最初に提案したのはディオファンタスでした！しかし悲しいかな、「タスクブック」の概念はギリシャの科学と教育学とは異質であり、未解決の問題のリストを公開することは下品な職業と見なされていました（ソクラテスだけが異なった行動をしました）。問題を解決できない場合は、黙ってください。ディオファンタスは沈黙し、この沈黙は14世紀の間続いた-ニューエイジの始まりまで、人間の思考の過程への関心が復活した。

16〜17世紀の変わり目に、誰も何も想像していませんでした。不屈の計算機ケプラーは、太陽から惑星までの距離の関係を推測しようとしました。ピタゴラスは失敗しました。 Keplerの成功は、多項式やその他の単純な関数を統合する方法を学んだ後に生まれました。それどころか、夢想家のデカルトは長い計算が好きではありませんでしたが、最初に平面または空間のすべての点を数値のセットとして提示したのは彼でした。この大胆なモデルは、図形に関する幾何学的問題を方程式に関する代数的問題に、またはその逆に減らします。たとえば、ピタゴラス方程式の整数解は、円錐の表面上の整数点に対応します。三次方程式X3+ Y 3 = Z 3に対応する表面はより複雑に見え、その幾何学的特性はピエールフェルマーに何も示唆せず、彼は整数の荒野を通る新しい道を開く必要がありました。

1636年、ギリシャ語の原文からラテン語に翻訳されたばかりのディオファントゥスの本がトゥールーズの若い弁護士の手に渡り、誤ってビザンチンのアーカイブに残って、トルコ人の時代にローマの逃亡者の1人によってイタリアに持ち込まれました。破滅。ピタゴラス方程式の優雅な議論を読んで、フェルマーは考えました：3つの平方数からなるそのような解決策を見つけることは可能ですか？この種の数は少なくありません。列挙によってこれを確認するのは簡単です。大きな決断はどうですか？コンピューターがなければ、フェルマーは数値実験を行うことができませんでした。しかし、彼は、方程式X 4 + Y 4 = Z 4の「大きな」解ごとに、より小さな解を作成できることに気づきました。したがって、2つの整数の4乗の合計が、3番目の数値の同じ累乗に等しくなることはありません。 2つの立方体の合計はどうですか？

学位4の成功に触発されて、フェルマーは学位3の「降下方法」を修正しようとしました-そして成功しました。整数の長さのエッジを持つ大きな立方体がバラバラになった単一の立方体から2つの小さな立方体を構成することは不可能であることが判明しました。勝利を収めたフェルマーは、ディオファントゥスの本の余白に簡単なメモを書き、彼の発見の詳細な報告を添えてパリに手紙を送りました。しかし、彼は答えを受け取りませんでした-通常、首都の数学者は、トゥールーズでのライバルである孤独な同僚の次の成功にすぐに反応しました。ここでどうしたの？

簡単に言うと、17世紀半ばまでに、算術演算は時代遅れになりました。 16世紀のイタリアの代数方程式（3次と4次の多項式が解かれたとき）の大きな成功は、隣接する科学分野の新しい明るい問題を解くことを可能にしなかったため、一般的な科学革命の始まりにはなりませんでした。さて、ケプラーが純粋な算術を使って惑星の軌道を推測できたら...しかし残念ながら、これには数学的分析が必要でした。これは、それが開発されなければならないことを意味します-自然科学における数学的方法の完全な勝利まで！しかし、分析は幾何学から成長しますが、算術は、怠惰な弁護士や数と数字の永遠の科学を愛する他の人々にとっての遊びの場であり続けます。

したがって、フェルマーの算術的成功は時期尚早であり、評価されないままであることが判明しました。彼はこれに動揺していませんでした。数学者の名声のために、微分学、解析幾何学、確率論の事実が彼に初めて明らかにされました。フェルマーのこれらすべての発見はすぐに新しいヨーロッパの科学の黄金基金に入りましたが、数論はオイラーによって復活するまで、さらに100年間背景に消えていきました。

18世紀のこの「数学者の王」は、分析のすべてのアプリケーションでチャンピオンでしたが、新しい分析方法が数に関する予期しない事実をもたらしたため、彼は算術も無視しませんでした。逆二乗の無限の合計（1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…）がπ2/6に等しいと誰が考えたでしょうか。ギリシャ人の中で、同様のシリーズが数πの無理数を証明することを可能にするだろうと誰が予見できたでしょうか？

そのような成功により、オイラーはフェルマーの生き残った写本を注意深く読み直すことを余儀なくされました（幸いなことに、偉大なフランス人の息子はそれらを出版することができました）。確かに、次数3の「大きな定理」の証明は保存されていませんが、オイラーは「降下法」を指すだけで簡単にそれを復元し、すぐにこの方法を次の素数-5に移そうとしました。

ありませんでした！オイラーの推論では、フェルマーが気付かなかった複素数が現れました（これは通常の多くの発見者です）。しかし、複素整数の因数分解は微妙な問題です。オイラーでさえ、それを完全には理解しておらず、「フェルマーの問題」を脇に置いて、彼の主な仕事を急いで完成させました。オイラー。教科書の出版は1770年にサンクトペテルブルクで完了しました。しかし、オイラーはフェルマーの定理に戻らず、彼の手と心が触れたすべてのものが新しい科学の若者によって忘れられないことを確信していました。

そして、それが起こりました。フランス人のアドリアン・レジェンドレは、数論においてオイラーの後継者になりました。 18世紀の終わりに、彼は5度のフェルマーの定理の証明を完了しました。彼は大きな素数冪には失敗しましたが、数論に関する別の教科書を編集しました。自然哲学の数学的原理の読者が偉大なニュートンを超えたのと同じように、その若い読者が著者を超えますように！ルジャンドルはニュートンやオイラーに匹敵しませんでしたが、彼の読者の中にはカール・ガウスとエヴァリスト・ガロアの2人の天才がいました。

このような天才の集中は、理性の祭典を宣言したフランス革命によって促進されました。その後、すべての才能のある科学者は、コロンブスやアレキサンダー大王のように感じ、新しい世界を発見または征服することができました。多くの人が成功しました。そのため、19世紀には科学技術の進歩が人類の進化の主な推進力となり、すべての合理的な支配者（ナポレオンをはじめとする）はこれを認識していました。

ガウスはコロンバスに近い性格でした。しかし、彼は（ニュートンのように）美しいスピーチで支配者や学生の想像力を魅了する方法を知らなかったため、彼の野心を科学的概念の領域に限定しました。ここで彼はやりたいことが何でもできました。たとえば、何らかの理由で角の三等分という古代の問題は、コンパスと直定規では解決できません。平面の点を表す複素数の助けを借りて、ガウスはこの問題を代数の言語に翻訳し、特定の幾何学的構造の実現可能性の一般的な理論を取得します。したがって、同時に、コンパスと定規で正多角形を構築することが不可能であるという厳密な証拠が現れ、ヘラスの最も賢い幾何学者が行った正多角形を構築するそのような方法が現れました夢ではありません。

もちろん、そのような成功は無駄にはなりません。問題の本質を反映する新しい概念を発明する必要があります。ニュートンは、そのような3つの概念を導入しました。フラックス（微分）、流暢（積分）、べき級数です。それらは、数学的分析と、力学や天文学を含む物理世界の最初の科学モデルを作成するのに十分でした。 Gaussはまた、ベクトル空間、体、環という3つの新しい概念を導入しました。それらから新しい代数が生まれ、ギリシャの算術とニュートンによって作成された数値関数の理論に従属しました。アリストテレスによって作成された論理を代数に従属させることだけが残っていました。そうすれば、計算の助けを借りて、与えられた公理のセットからの科学的ステートメントの導出可能性または導出不可能性を証明することが可能になります！たとえば、フェルマーの定理は算術の公理から派生しているのでしょうか、それともユークリッドの平行線の仮定は他の面積測定の公理から派生しているのでしょうか。

ガウスはこの大胆な夢を実現する時間がありませんでしたが、彼ははるかに進んで、エキゾチックな（非可換）代数の存在の可能性を推測しました。大胆なロシアのニコライ・ロバチェフスキーだけが最初の非ユークリッド幾何学を構築することができ、最初の非可換代数（群論）はフランス人エヴァリスト・ガロアによって管理されました。そして、ガウスの死よりずっと後の1872年に、若いドイツ人のフェリックスクラインは、考えられるさまざまな幾何学を、考えられる代数の多様性と1対1で対応させることができると推測しました。簡単に言えば、すべての幾何学はその対称群によって定義されますが、一般的な代数はすべての可能な群とその特性を研究します。

しかし、幾何学と代数のそのような理解はずっと後になり、フェルマーの定理への攻撃はガウスの生涯の間に再開されました。彼自身、フェルマーの定理を原理から無視しました。明るい科学理論に適合しない個々の問題を解決することは、王の仕事ではありません。しかし、彼の新しい代数とニュートンとオイラーの古典的な分析で武装したガウスの学生は、異なった推論をしました。最初に、Peter Dirichletは、この1次の根によって生成された複素整数のリングを使用して、7次のフェルマーの定理を証明しました。次に、エルンスト・クマーはディリクレ法をすべての素数に拡張しました（！）-急いでいるように見え、彼は勝利しました。しかし、すぐに冷静になりました。リングのすべての要素が素因数に一意に分解された場合にのみ、証明は完璧に通過します。通常の整数の場合、この事実はすでにユークリッドに知られていましたが、ガウスだけがその厳密な証明を与えました。しかし、複素数全体はどうですか？

「最大のいたずらの原則」によると、あいまいな因数分解が発生する可能性があり、発生する必要があります。クマーは数学的分析の方法で曖昧さの程度を計算する方法を学ぶとすぐに、23度のリングでこの汚いトリックを発見しました。ガウスはこのバージョンのエキゾチックな可換環論について学ぶ時間がありませんでしたが、ガウスの学生は成長しました別の汚いトリックの代わりに、新しい美しい理想の理論。確かに、これはフェルマーの問題を解決するのにあまり役立ちませんでした。その自然な複雑さだけが明らかになりました。

19世紀を通して、この古代の偶像は、新しい複雑な理論の形で、その崇拝者にますます多くの犠牲を要求しました。 20世紀の初めまでに、信者が落胆して反抗し、以前の偶像を拒絶したことは驚くべきことではありません。「フェルマティスト」という言葉は、プロの数学者の間で蔑称的な用語になっています。そして、フェルマーの定理の完全な証明にはかなりの賞が割り当てられましたが、その申請者はほとんど自信のない無知でした。当時の最強の数学者であるポアンカレとヒルベルトは、このトピックを断固として避けました。

1900年、ヒルベルトは20世紀の数学が直面している23の主要な問題のリストにフェルマーの定理を含めませんでした。確かに、彼は彼らのシリーズにディオファントス方程式の可解性の一般的な問題を含めました。ヒントは明らかでした。ガウスとガロアの例に従って、新しい数学的対象の一般的な理論を作成してください。その後、ある晴れた日（ただし事前に予測することはできません）に、古い破片が自然に落下します。

これは、偉大なロマンチックなアンリ・ポアンカレがどのように行動したかです。多くの「永遠の」問題を無視して、彼は数学または物理学の特定のオブジェクトの対称性を研究しました：複雑な変数の関数、または天体の運動の軌道、または代数曲線または滑らかな多様体（これらは曲線の多次元一般化です）行）。彼の行動の動機は単純でした。2つの異なるオブジェクトが類似した対称性を持っている場合、それはそれらの間に内部関係があることを意味しますが、それはまだ理解できません！たとえば、2次元ジオメトリ（Euclid、Lobachevsky、またはRiemann）のそれぞれには、平面に作用する独自の対称群があります。しかし、平面の点は複素数です。このようにして、幾何学的グループのアクションは、複雑な関数の広大な世界に転送されます。これらの機能の中で最も対称的なものを研究することは可能であり、必要です：AUTOMORPHOUS（Euclidグループの対象）とMODULAR（Lobachevskyグループの対象）！

平面には楕円曲線もあります。それらは楕円とは何の関係もありませんが、Y 2 = AX 3 + BX 2 + CXの形式の方程式で与えられるため、3点で任意の直線と交差します。この事実により、楕円曲線の点の間に乗算を導入して、それをグループに変えることができます。このグループの代数的構造は、曲線の幾何学的特性を反映しています。おそらく、そのグループによって一意に決定されますか？いくつかの曲線では、関心のあるグループがモジュール式であることが判明するため、この質問は検討する価値があります。つまり、ロバチェフスキー幾何学に関連しています...

これがポアンカレがヨーロッパの数学の若者を誘惑して推論した方法ですが、20世紀の初めには、これらの誘惑は明るい定理や仮説につながりませんでした。ヒルベルトの呼びかけとは違った結果になりました。整数係数を持つディオファントス方程式の一般解を研究することです。 1922年、若いアメリカ人のルイスモーデルは、そのような方程式の解のセット（これは特定の次元のベクトル空間です）を、この方程式によって与えられる複素曲線の幾何学的な属と結び付けました。 Mordellは、方程式の次数が十分に大きい場合（2以上）、解空間の次元は曲線の属で表されるため、この次元はFINITEであるという結論に達しました。それどころか、2の累乗に対して、ピタゴラス方程式には無限次元の解のファミリーがあります。

もちろん、モーデルは彼の仮説とフェルマーの定理との関連を見ました。すべての次数n>2について、フェルマーの方程式の解全体の空間が有限次元であることがわかった場合、これはそのような解がまったくないことを証明するのに役立ちます。しかし、モーデルは彼の仮説を証明する方法を見ていませんでした-そして彼は長生きしましたが、彼はこの仮説がファルティングスの定理に変換されるのを待ちませんでした。これは、多様体の代数トポロジーが大成功を収めた後、1983年にまったく異なる時代に起こりました。

ポアンカレは、偶然のようにこの科学を作成しました。彼は、3次元多様体が何であるかを知りたがっていました。結局のところ、リーマンはすべての閉じた表面の構造を理解し、非常に簡単な答えを得ました！ 3次元または多次元の場合にそのような答えがない場合は、その幾何学的構造を決定する多様体の代数的不変量のシステムを考え出す必要があります。そのような不変量がいくつかのグループの要素である場合（可換または非可換）が最適です。

奇妙に思われるかもしれませんが、ポアンカレによるこの大胆な計画は成功しました。それは、非常に多くの幾何学者と代数主義者の努力のおかげで1950年から1970年まで実行されました。 1950年までは、多様体を分類するためのさまざまな方法が静かに蓄積されていましたが、この日以降、17世紀の数学的分析の発明に匹敵する、臨界量の人々とアイデアが蓄積され、爆発が起こりました。しかし、分析革命は1世紀半続き、ニュートンやライプニッツからフーリエやコーシーまで、4世代の数学者の創造的な伝記を網羅しました。それどころか、20世紀のトポロジー革命は、多くの参加者のおかげで20年以内でした。同時に、自信を持って若い数学者の大世代が現れ、彼らの歴史的な故郷で突然仕事を失いました。

70年代に、彼らは数学と理論物理学の隣接する分野に突入しました。多くは、ヨーロッパとアメリカの数十の大学に独自の科学学校を設立しました。さまざまな年齢や国籍、さまざまな能力や傾向を持つ多くの学生が、これらのセンター間をまだ循環しており、誰もが何らかの発見で有名になりたいと思っています。モーデルの予想とフェルマーの定理がついに証明されたのは、この大混乱の中でのことでした。

しかし、その運命に気づかなかった最初のツバメは、戦後の空腹で失業中の日本で育ちました。ツバメの名前は谷山豊。 1955年、この英雄は28歳になり、志村五郎、玉川隆二と一緒に、日本の数学研究を復活させることを決意しました。どこから始めますか？もちろん、外国人の同僚からの孤立を克服して！そのため、1955年に、3人の若い日本人が東京で代数と数論に関する最初の国際会議を主催しました。スターリンによって凍結されたロシアよりも、アメリカ人によって再教育された日本でこれを行う方が明らかに簡単でした...

名誉のゲストの中には、フランスからの2人の英雄、アンドレ・ヴェイユとジャン・ピエール・セールがいました。ここで日本人は非常に幸運でした。ワイルはフランスの代数主義者の認められた頭であり、ブルバキグループのメンバーであり、若いセレはトポロジー学者の間で同様の役割を果たしました。彼らとの激しい議論の中で、日本の若者の頭が割れ、頭が溶けてしまいましたが、結局、別の環境では生まれきれなかったようなアイデアや計画が具体化されました。

ある日、谷山は楕円曲線とモジュラー関数について質問してワイルに近づきました。最初、フランス人は何も理解していませんでした。谷山は英語を話すことの達人ではありませんでした。その後、問題の本質が明らかになりましたが、谷山は希望を正確に表現することができませんでした。ワイルが若い日本人に答えることができたのは、彼がインスピレーションの点で非常に幸運だった場合、彼の漠然とした仮説から何か賢明なことが生まれるということでした。しかし、それへの希望は弱いですが！

明らかに、ワイルは谷山の視線の中で天の火に気づかなかった。そして火事がありました：一瞬、故ポアンカレの不屈の考えが日本人に移ったようです！谷山は、すべての楕円曲線がモジュラー関数によって生成されると信じるようになりました。より正確には、「モジュラー形式によって均一化される」ということです。悲しいかな、この正確な言葉遣いはずっと後に生まれました-谷山の友人の志村との会話の中で。そして谷山はうつ病で自殺した…彼の仮説は所有者なしで残された：それを証明する方法やそれをどこでテストするかが明確ではなかったので、長い間誰もそれを真剣に受け止めなかった。最初の反応はわずか30年後に来ました-ほとんどフェルマーの時代のように！

氷は1983年に壊れ、27歳のドイツ人ゲルトファルティングスが全世界に発表しました。モーデルの予想は証明されていました。数学者たちは警戒していましたが、ファルティングスは真のドイツ人でした。彼の長くて複雑な証拠にギャップはありませんでした。ちょうどその時が来て、事実と概念が蓄積されました-そして今、1人の才能のある代数者が他の10人の代数者の結果に頼って、60年間マスターを待っていた問題を解決することができました。これは20世紀の数学では珍しいことではありません。集合論における世俗的な連続体の問題、群論におけるバーンサイドの2つの予想、またはトポロジーにおけるポアンカレ予想を思い出す価値があります。最後に、数論では、古い作物を収穫する時が来ました...一連の征服された数学者の次のトップはどれですか？オイラーの問題、リーマン予想、またはフェルマーの定理は崩壊しますか？いいですね！

そして今、ファルティングスの啓示から2年後、別の霊感を受けた数学者がドイツに現れました。彼の名前はゲルハルト・フライであり、彼は奇妙なことを主張しました。フェルマーの定理は谷山の予想から導き出されたものです！残念ながら、フレイの考えを表現するスタイルは、彼の明確な同胞であるファルティングスよりも、不幸な谷山を彷彿とさせます。ドイツでは、誰もフレイを理解していませんでした、そして彼は海外に行きました-アインシュタインの後、彼らはそのような訪問者に慣れなかった栄光の町プリンストンに行きました。滑らかな多様体への最近の攻撃の英雄の一人である多才なトポロジー学者であるバリー・マズールがそこに巣を作ったのも不思議ではありません。そして、学生はマズールの隣で育ちました-ケン・リベットは、トポロジーと代数の複雑さを等しく経験しましたが、それでも決して自分自身を称賛していませんでした。

彼が最初にフレイのスピーチを聞いたとき、リベットはこれがナンセンスでサイエンスフィクションに近いと判断しました（おそらく、ワイルは谷山の啓示に同じように反応しました）。しかし、リベットはこの「ファンタジー」を忘れることができず、時には精神的にそれに戻った。 6か月後、リベットはフレイの空想に何か賢明なことがあると信じ、1年後、彼自身がフレイの奇妙な仮説をほぼ証明できると判断しました。しかし、いくつかの「穴」が残り、リベットは上司のマズールに告白することにしました。彼は生徒の話に注意深く耳を傾け、落ち着いて答えました。ここでは、変換Фを適用する必要があります。ここでは、Lemmas BとKを使用すると、すべてが非の打ちどころのない形になります。そこでリベットは、フレイとマズールの人のカタパルトを使って、無名から不死へと飛躍しました。公平を期すために、それらすべては、故谷山とともに、フェルマーの最後の定理の証拠と見なされるべきです。

しかし、ここに問題があります。彼らは、それ自体は証明されていない谷山の仮説から彼らの声明を導き出しました！彼女が不誠実だったらどうしますか？数学者は「嘘から何かが続く」ことを長い間知っていました。谷山の推測が間違っていれば、リベットの非の打ちどころのない推論は無意味です！谷山の予想を早急に証明（または反証）する必要があります。そうしないと、ファルティングスのような人がフェルマーの定理を別の方法で証明することになります。彼はヒーローになります！

ファルティングスの成功後、または1986年のリベットの勝利後、フェルマーの定理に飛びついた若くて熟練した代数主義者の数を知ることはほとんどありません。彼ら全員が秘密裏に仕事をしようとしたので、失敗した場合、彼らは「ダミー」のコミュニティ、つまりフェルマティストの中にランク付けされませんでした。最も成功したケンブリッジのアンドリュー・ワイルズは、1993年の初めにのみ勝利の味を感じたことが知られています。これは、おびえたワイルズほど喜ばしいことではありません。谷山の推測の彼の証拠が誤りやギャップを示したとしたらどうでしょうか。その後、彼の科学的評判は失われました！証拠を注意深く書き留める必要があります（ただし、数十ページになります！）そして、後で冷血で細心の注意を払って読み直すことができるように、6か月または1年は取っておきます...しかし、もしもこの間に誰かが証拠を公開しますか？おやおや...

それでも、ワイルズは彼の証明をすばやくテストするための二重の方法を思いついた。まず、信頼できる友人や同僚の1人を信頼し、推論の全過程を彼に伝える必要があります。外から見ると、すべての間違いがより目立ちます！第二に、賢い学生と大学院生のためにこのトピックに関する特別なコースを読む必要があります：これらの賢い人々は一人の講師の間違いを見逃すことはありません！コースの最終的な目標を最後の瞬間まで伝えないでください。そうしないと、全世界がそれを知ってしまいます。そしてもちろん、ケンブリッジから離れた場所でそのような聴衆を探す必要があります。イギリスでもアメリカでもいいのですが…遠くのプリンストンより良いものは何でしょうか。

ワイルズは1993年の春にそこに行きました。彼の忍耐強い友人であるNiklasKatzは、Wilesの長い報告を聞いた後、そこにいくつかのギャップを見つけましたが、それらはすべて簡単に修正されました。しかし、プリンストンの大学院生はすぐにワイルズの特別コースから逃げ出し、講師の気まぐれな考えに従おうとはしませんでした。彼の作品のそのような（特に深くはない）レビューの後、ワイルズは世界に大きな奇跡を明らかにする時が来たと判断しました。

1993年6月、数論の人気のあるセクションである「岩澤理論」に捧げられた別の会議がケンブリッジで開催されました。ワイルズは、最後まで主な結果を発表することなく、谷山の推測の証拠を伝えることにしました。報告は長い間続いたが、成功裏に、ジャーナリストは徐々に群がり始め、彼は何かを感じた。最後に、雷が鳴りました：フェルマーの定理が証明されました！一般的な喜びは疑いによって影を落とされませんでした：すべてがはっきりしているようです...しかし2か月後、カッツはワイルズの最後のテキストを読んで、それに別のギャップがあることに気づきました。推論の特定の移行は「オイラーシステム」に依存していましたが、Wilesが構築したのはそのようなシステムではありませんでした。

ワイルズはボトルネックをチェックし、彼がここで間違っていることに気づきました。さらに悪いことに、誤った推論を置き換える方法が明確ではありません！これに続いて、ワイルズの人生で最も暗い月が続きました。以前、彼は手元の資料から前例のない証拠を自由に合成しました。現在、彼は狭く明確なタスクに縛られています-それが解決策を持っているという確信がなく、彼は予見可能な将来にそれを見つけることができるでしょう。最近、フレイは同じ闘争に抵抗できませんでした-そして今、フレイの推測は正しいことが判明しましたが、彼の名前は幸運なリベットの名前によって隠されました。そして、私の推測と私の名前はどうなりますか？

この大変な労働はちょうど1年続きました。 1994年9月、ワイルズは敗北を認め、谷山の仮説をより幸運な後継者に任せる準備ができていました。そのような決定をした後、彼はゆっくりと自分の証明を読み直し始めました-最初から最後まで、推論のリズムに耳を傾け、成功した発見の喜びを再体験しました。しかし、「いまいましい」場所に到達したワイルズは、精神的に誤ったメモを聞いていませんでした。彼の推論の過程はまだ非の打ちどころがなく、エラーは精神的なイメージの口頭での説明でのみ発生しましたか？ここに「オイラー系」がない場合、ここに何が隠されているのでしょうか。

突然、岩澤理論が当てはまるところでは「オイラー系」が機能しないという簡単な考えが浮かびました。この理論を直接適用してみませんか？幸いなことに、それはワイルズ自身に近く、よく知られていますか？そして、なぜ彼は最初からこのアプローチを試みなかったのに、他の誰かの問題のビジョンに夢中になったのでしょうか？ワイルズはもはやこれらの詳細を思い出すことができませんでした-そしてそれは役に立たなくなりました。彼は岩澤理論の枠内で必要な推論を実行し、すべてが30分で判明しました！したがって、1年の遅れで、谷山の予想の証明の最後のギャップは埋められました。最終的なテキストは、最も有名な数学ジャーナルの査読者のグループの慈悲に与えられました。1年後、彼らは今は間違いがないと宣言しました。したがって、1995年に、フェルマーの最終定理は360歳で亡くなり、数論の教科書に必然的に入ることが証明された定理になりました。

フェルマーの定理をめぐる3世紀の騒ぎを要約すると、奇妙な結論を導き出さなければなりません。この英雄的な叙事詩は起こり得なかったのです！確かに、ピタゴラスの定理は、視覚的な自然のオブジェクト間の単純で重要な関係、つまりセグメントの長さを表しています。しかし、フェルマーの定理についても同じことは言えません。それは、地球の北極に到達したり、月に飛んだりするような、科学的な基盤上の文化的な上部構造のように見えます。これらの偉業は両方とも、達成されるずっと前に作家によって歌われたことを思い出してください。古代には、ユークリッドの「要素」が登場した後、ディオファンタスの「算術」が登場する前でした。したがって、この種の知的エクスプロイトに対する一般のニーズがありました-少なくとも想像上のものです！以前は、ヘレネスはホメロスの詩を十分に持っていましたが、フェルマーの100年前と同じように、フランス人は十分な宗教的情熱を持っていました。しかし、その後、宗教的な情熱はおさまり、科学は彼らの隣に立っていました。

ロシアでは、そのようなプロセスは、ツルゲーネフがイェフゲニー・バザロフをイェフゲニー・オネギンと同等にしたとき、150年前に始まりました。確かに、作家のツルゲーネフは科学者バザロフの行動の動機をよく理解しておらず、あえて歌うことはしませんでしたが、これはすぐに科学者イワン・セチェノフと啓蒙されたジャーナリストジュール・ヴェルヌによって行われました。自発的な科学技術革命には、ほとんどの人の心に浸透するための文化的シェルが必要です。ここでは、最初にサイエンスフィクション、次に人気のあるサイエンス文学（雑誌「知識は力」を含む）が登場します。

同時に、特定の科学的トピックは、一般の人々にとってはまったく重要ではなく、ヒーローやパフォーマーにとってもそれほど重要ではありません。それで、ピアリーとクックによる北極の達成について聞いたアムンセンは、すでに準備された遠征の目標を即座に変更しました-そしてすぐにスコットより1ヶ月早く南極に到着しました。その後、ユーリイ・ガガーリンの地球周回の成功により、ケネディ大統領は、アメリカの宇宙計画の以前の目標を、より高価であるがはるかに印象的なものに変更することを余儀なくされました。

さらに早い段階で、洞察に満ちたヒルベルトは、学生の素朴な質問に答えました。「どの科学的問題の解決策が今最も役立つだろうか」？ -冗談で答えた：「月の裏側でハエを捕まえろ！」困惑した質問に対して：「なぜこれが必要なのですか？」 -その後に明確な答えが続きます：「誰もこれを必要としません！しかし、そのような問題を解決するために私たちが開発しなければならない科学的方法と技術的手段を考えてください-そして私たちが途中で解決する他の多くの美しい問題！

これはまさにフェルマーの定理で起こったことです。オイラーはそれを見落としていたかもしれません。

この場合、他の問題が数学者の偶像になるでしょう-おそらく数論からも。たとえば、エラトステネスの問題：双子素数の有限または無限のセット（11と13、17と19など）はありますか？またはオイラーの問題：すべての偶数は2つの素数の合計ですか？または：数πとeの間に代数的な関係がありますか？これらの3つの問題はまだ解決されていませんが、20世紀には、数学者はその本質を理解するようになりました。しかし、今世紀はまた、特に数学と物理学および他の自然科学の分野との交差点で、多くの新しい、それほど興味深い問題を引き起こしませんでした。

1900年に、ヒルベルトはそのうちの1つを選び出しました。それは、数理物理学の公理の完全なシステムを作成することです。 100年後、物理学の数学的手段の武器が着実に増えており、それらのすべてが厳密な正当性を持っているわけではないという理由だけで、この問題は解決にはほど遠いです。しかし、1970年以降、理論物理学は2つの分野に分かれました。ニュートンの時代から1つ（古典的）はSTABLEプロセスのモデル化と予測を行ってきましたが、もう1つ（新生児）はUNSTABLEプロセスの相互作用とそれらを制御する方法を形式化しようとしています。これらの2つの物理学の分野は、別々に公理化する必要があることは明らかです。

それらの最初のものはおそらく20年か50年で扱われるでしょう...

そして、物理学の第2の分野、つまりあらゆる種類の進化（異様なフラクタルや奇妙なアトラクター、生物群集の生態学、グミリョフの情熱の理論など）を担当している分野に欠けているものは何ですか？これはすぐには理解できないでしょう。しかし、新しい偶像への科学者の崇拝はすでに大衆現象になっています。おそらく、フェルマーの定理の3世紀の伝記に匹敵する、叙事詩がここで展開されるでしょう。したがって、異なる科学の交差点で、新しい偶像が生まれます-宗教的なものに似ていますが、より複雑でダイナミックです...

どうやら、人は時々古いアイドルを倒さずに、そして新しいアイドルを作成せずに人であり続けることはできません-痛みと喜びで！ピエール・フェルマーは幸運にも、新しいアイドルの誕生のホットスポットに近い運命の瞬間にいました-そして彼はなんとか新生児に彼の個性の痕跡を残すことができました。そのような運命をうらやましく思うことができます、そしてそれをまねることは罪ではありません。

セルゲイ・スミルノフ
"知識は力である"

フェルマーの偉大な定理の歴史
壮大な事件

乾杯の作り方に関するメーリングリストの新年号で、20世紀の終わりに、多くの人が気付かなかった壮大な出来事が1つあったことをさりげなく述べました。いわゆる、フェルマーの最終定理がついに証明されました。この時、受け取った手紙の中に、この事実に驚いた女の子からの返事が2つありました（そのうちの1つは、私が覚えている限り、ゼレノグラードの9年生のVikaです）。

そして、私は女の子たちが現代の数学の問題にどれほど熱心に興味を持っているかに驚きました。したがって、女子だけでなく、高校生から年金受給者まで、あらゆる年齢の男子も大定理の歴史を学ぶことに興味を持っていると思います。

フェルマーの定理の証明は素晴らしい出来事です。それ以来「素晴らしい」という言葉で冗談を言うのは習慣的ではありません。そうすれば、すべての自尊心のある話者（そして私たちが話者と言うときは私たち全員）は単に定理の歴史を知る義務があるように思えます。

もしあなたが私が好きなほど数学が好きではないということが起こったなら、それからいくつかの深化をざっと見ながら詳細に見てください。私たちのメーリングリストのすべての読者が数学の荒野をさまようことに興味があるわけではないことを理解して、私は数式を与えないようにし（フェルマーの定理の方程式といくつかの仮説を除いて）、いくつかの特定の問題の範囲を単純化するようにしました可能な限り。

フェルマーがお粥を醸造した方法

フランスの弁護士であり、17世紀の非常勤の偉大な数学者であるピエール・フェルマー（1601-1665）は、数論の分野から1つの奇妙な声明を発表しました。これは、後にフェルマーの偉大な（または偉大な）定理として知られるようになりました。これは、最も有名で驚異的な数学的定理の1つです。おそらく、フェルマーが頻繁に研究し、その広いマージンをメモし、彼の息子サミュエルが後世のために親切に保存したアレクサンドリアのディオファントス（3世紀AD）「算術」の本にあれば、その周りの興奮はそれほど強くなかったでしょう、おおよそ次の偉大な数学者のエントリが見つかりませんでした：

「私には非常に驚くべき証拠がありますが、それは大きすぎて余白に収まりません。」

その後の定理の周りの壮大な混乱を引き起こしたのはこのエントリでした。

それで、有名な科学者は彼が彼の定理を証明したと言いました。自分自身に質問してみましょう：彼は本当にそれを証明したのですか、それとも彼はうそをついたのですか？それとも、次世代の多くの数学者が安らかに眠ることができなかった、その限界的なエントリの外観を説明する他のバージョンはありますか？

大定理の歴史は、時を超えた冒険と同じくらい魅力的です。フェルマーは1636年に次の形式の方程式を述べました x n + y n = z n指数n>2の整数の解はありません。これは実際にはフェルマーの最終定理です。この一見単純な数式で、宇宙は信じられないほどの複雑さを覆い隠しました。スコットランド生まれのアメリカの数学者エリック・テンプル・ベルは、彼の著書「最終問題」（1961年）で、フェルマーの最終定理を証明する前に、おそらく人類は存在しなくなるだろうとさえ示唆しました。

n = 2の特殊なケース（別の有名な数式）であるピタゴラス定理が22世紀前に発生したため、状況がかなり遅れていたため、何らかの理由で定理の誕生が遅れたのは少し奇妙です。フェルマーの定理とは異なり、ピタゴラスの定理には無限の整数解があります。たとえば、ピタゴラスの三角形：（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）、（8,15）、17）…（27,36,45）…（112,384,400）…（4232、7935、8993）…

グランド定理症候群

フェルマーの定理を証明しようとしなかったのは誰でしょう。駆け出しの学生は誰でも、大定理に適用することが彼の義務であると考えましたが、誰もそれを証明することができませんでした。最初は100年間機能しませんでした。それからさらに百。そしてさらに。数学者の間で大衆症候群が発症し始めました。「それはどうですか？フェルマーはそれを証明しましたが、私ができない場合はどうなりますか？」 -そしてそれらのいくつかは、言葉の完全な意味でこれに基づいて夢中になりました。

定理がいくらテストされても、それは常に真実であることが判明しました。私は、高速コンピューター（当時はより一般的にコンピューターと呼ばれていました）を使用して整数を反復することによって少なくとも1つの解決策（反例）を見つけようとすることによって大定理を反証するというアイデアに夢中になっている1人のエネルギッシュなプログラマーを知っていました。彼は自分の事業の成功を信じて、「もう少し-そしてセンセーションが発生するでしょう！」と言うのが好きでした。私たちの惑星のさまざまな場所に、この種の大胆な探求者がかなりの数いたと思います。もちろん、彼は解決策を見つけられませんでした。そして、この方程式のすべての変数（指数を含む）が無限大に増加する可能性があるため、素晴らしい速度であっても、定理をテストできるコンピューターはありません。

定理には証明が必要です

数学者は、定理が証明されていない場合、他のいくつかの仮説の場合と同様に、（真または偽の）何でもそれに続く可能性があることを知っています。たとえば、彼の手紙の1つで、ピエールフェルマーは、2 n +1の形式の数（いわゆるフェルマー数）は必然的に素数である（つまり、整数の約数を持たず、それ自体とによってのみ割り切れる）ことを示唆しました。 nが2の累乗の場合（1、2、4、8、16、32、64など）。フェルマーの仮説は100年以上も続いた-レオンハルトオイラーが1732年にそれを示すまで

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

その後、ほぼ150年後（1880年）、フォーチュンランドリーは次のフェルマー数を因数分解しました。

2 64 +1 = 18446744 073 709551617 = 274177 67280421310721

コンピューターの助けを借りずに、これらの多数の約数をどのように見つけることができるか-神は知っているだけです。次に、オイラーは、方程式x 4 + y 4 + z 4 =u4には整数の解がないという仮説を立てました。しかし、約250年後の1988年、ハーバード大学のNaum Elkisは、（すでにコンピュータープログラムを使用して）次のことを発見しました。

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

したがって、フェルマーの最終定理は証明を必要としました。そうでなければ、それは単なる仮説であり、無限の数値分野のどこかで、大定理の方程式の解が失われた可能性があります。

18世紀で最も名人で多作な数学者、レオンハルトオイラーは、人類の記録のアーカイブがほぼ1世紀にわたって整理されており、フェルマーの力3と4の定理を証明しました（つまり、彼はピエールフェルマー自身の失われた証明を繰り返しました） ; 数論の彼の信奉者、ルジャンドル（そして独立してディリクレ）-学位5; Lame-程度7。しかし、一般的に、定理は証明されていないままでした。

1847年3月1日、パリ科学アカデミーの会議で、ガブリエルラメとオーギュスタンコーシーの2人の優れた数学者が、偉大な定理の証明の終わりに到達し、レースを手配し、パーツの証明。しかし、ドイツの数学者エルンスト・クンマーが指摘した同じ誤りが彼らの証明で発見されたため、彼らの間の決闘は中断されました。

20世紀の初め（1908年）、裕福なドイツ人実業家、慈善家、科学者のポールウォルフスケルは、フェルマーの定理の完全な証拠を提示する人に10万点を遺贈しました。ゲッティンゲン科学アカデミーによるヴォルフスケルの意志の発表後の最初の年には、数学の愛好家からの何千もの証明が殺到し、この流れは何十年も止まらなかったが、あなたが想像できるように、それらはすべてエラーを含んでいた。彼らは、アカデミーが次の内容のフォームを準備したと言います。

親愛なる __________________________！
上から____ページ____行のフェルマーの定理の証明
次のエラーが式で見つかりました：__________________________ :、

不運な応募者に送られました。

その時、半軽蔑的なニックネームが数学者の輪に現れました- フェルミスト。これは、知識が不足している自信のある新興企業に付けられた名前ですが、大定理を証明するために急いで手を試し、自分の過ちに気付かずに、誇らしげに胸を叩き、大声で宣言するという野心を持っていました。最初のフェルマーの定理を証明しました！すべての農民は、たとえ彼が1万人であったとしても、自分自身を最初だと考えていました-これはばかげていました。偉大な定理の単純な外観は、フェルミストに簡単な獲物を思い出させたので、オイラーとガウスでさえそれに対処することができなかったので、彼らはまったく恥ずかしがりませんでした。

（奇妙なことに、フェルマーは今日でも存在しています。そのうちの1人は、彼が古典的なフェルマーのように定理を証明したとは信じていませんでしたが、最近まで試みを行いました。フェルマーの定理はすでに存在していると私が言ったとき、彼は私を信じることを拒否しました。証明された）。

最も強力な数学者は、おそらく彼らのオフィスの静かな場所で、この重いバーベルに慎重に近づこうとしましたが、フェルミストとしてブランド化されないように、したがって彼らの高い権威を傷つけないように、それについて声を出して話しませんでした。

その時までに、指数nの定理の証明が現れました<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

奇妙な仮説

20世紀半ばまで、大定理の歴史に大きな進歩は見られませんでした。しかし、すぐに興味深い出来事が数学の生活の中で起こりました。 1955年、28歳の日本の数学者、谷山豊は、フェルマーの遅ればせながらの定理とは異なり、谷山仮説（別名谷山-志村-ワイル仮説）と呼ばれる、まったく異なる数学の分野からの声明を発表しました。時間です。

谷山予想は、「すべての楕円曲線には、特定のモジュラー形式が対応している」と述べています。当時の数学者に対するこの声明は、私たちにとっての声明と同じくらい馬鹿げているように聞こえました。「特定の金属が各木に対応している」。普通の人がそのような声明にどのように関係することができるかを推測することは難しいことではありません-彼は単にそれを真剣に受け止めません、それは起こりました：数学者は満場一致で仮説を無視しました。

少し説明。 長い間知られている楕円曲線は、2次元の形をしています（平面上にあります）。 19世紀に発見されたモジュラー関数は4次元の形をしているので、3次元の脳で想像することすらできませんが、数学的に説明することはできます。さらに、モジュラー形式は、可能な限り対称性を備えているという点で驚くべきものです。つまり、任意の方向に平行移動（シフト）、ミラーリング、フラグメントの交換、無限に多くの方法での回転が可能であり、同時に外観は変化しません。ご覧のとおり、楕円曲線とモジュラー形式にはほとんど共通点がありません。谷山の仮説は、互いに対応するこれら2つのまったく異なる数学的対象の記述方程式は、同じ数学的級数に展開できると述べています。

谷山の仮説は逆説的すぎた。それは完全に異なる概念を組み合わせたものであり、単純な平坦な曲線と想像を絶する4次元の形状である。これは誰にも起こりませんでした。 1955年9月に東京で開催された国際数学シンポジウムで、谷山が楕円曲線とモジュラー形式のいくつかの対応を示したとき、誰もがこれを単なる偶然の一致と見なしていました。谷山のささやかな質問に対して：各楕円曲線に対応するモジュラー関数を見つけることは可能ですか？当時、数論の世界最高の専門家の1人であった由緒あるフランス人アンドレヴェイユは、かなり外交的な答えを出しました、と彼らは言います、好奇心旺盛な谷山が熱意を捨てなければ、彼は幸運であり、彼の信じられないほどの仮説が確認されるかもしれませんが、これはすぐには起こらないはずです。一般に、他の多くの優れた発見と同様に、谷山の仮説は、まだ成長していないため、最初は無視されました。ほとんど誰もそれを理解していませんでした。谷山の同僚である志村五郎だけが、才能のある友人をよく知っていて、彼の仮説が正しいと直感的に感じました。

3年後（1958年）、谷山豊は自殺した（しかし、日本では武士の伝統が強い）。常識の観点から-理解できない行為、特に彼がすぐに結婚することを考えると。日本の若い数学者のリーダーは、次のように遺書を書き始めました。「昨日、私は自殺について考えていませんでした。最近、私は精神的および肉体的に疲れていると他の人からよく聞きました。これ…」など3枚。もちろん、これが面白い人の運命だったのは残念ですが、すべての天才は少し奇妙です-それが彼らが天才である理由です（何らかの理由で、アーサー・ショーペンハウアーの言葉が思い浮かびました：「普通の生活では、天才は劇場の望遠鏡と同じくらい多くの用途があります」）。仮説は放棄されました。誰もそれを証明する方法を知りませんでした。

10年間、谷山の仮説はほとんど言及されていませんでした。しかし、70年代の初めに、それは人気になりました-それはそれを理解できるすべての人によって定期的にチェックされました-そしてそれは常に確認されました（実際にはフェルマーの定理として）が、以前のように、誰もそれを証明できませんでした。

2つの仮説の間の驚くべき関係

さらに15年が経過しました。 1984年、数学の人生において、贅沢な日本の予想とフェルマーの最終定理を組み合わせた重要な出来事が1つありました。ドイツのゲルハルト・フライは、定理に似た奇妙な声明を発表しました。「谷山の予想が証明されれば、結果として、フェルマーの最終定理が証明されるでしょう。」言い換えれば、フェルマーの定理は谷山の予想の結果である。（フレイは、巧妙な数学的変換を使用して、フェルマーの方程式を楕円曲線方程式（谷山の仮説に現れるものと同じ）の形に縮小し、多かれ少なかれ彼の仮定を実証しましたが、それを証明することはできませんでした）。そして、ちょうど1年半後（1986年）、カリフォルニア大学ケネス・リベット校の教授は、フレイの定理を明確に証明しました。

今何が起きたの？フェルマーの定理はすでに谷山の予想の結果であるため、伝説のフェルマーの定理の征服者の栄光を打ち破るために、後者を証明するだけでよいことがわかりました。しかし、仮説は難しいことが判明しました。さらに、何世紀にもわたって、数学者はフェルマーの定理にアレルギーを起こし、谷山の予想に対処することもほぼ不可能であると多くの人が判断しました。

フェルマーの仮説の死。定理の誕生

さらに8年が経過しました。プリンストン大学（米国ニュージャージー州）の進歩的な英語の数学教授であるアンドリュー・ワイルズは、谷山の推測の証拠を見つけたと思った。天才が禿げていない場合は、原則として、乱れています。ワイルズは乱れているので、天才のように見えます。もちろん、歴史に入るのは魅力的で非常に望ましいことですが、ワイルズは本物の科学者のように自分自身を喜ばせず、彼の前の何千人ものフェルミストも幽霊のような証拠を見たことに気づきました。そのため、自分の証明を世に出す前に、自分で注意深くチェックしましたが、主観的な偏見があることに気づき、通常の数学的課題を装って、他の人もチェックに参加し、さまざまな断片を投げることがありました。賢い大学院生への彼の証明の。ワイルズは後に、彼の妻だけが彼が偉大な定理の証明に取り組んでいることを知っていたことを認めました。

そして、長いチェックと苦痛な反省の後、ワイルズはついに勇気を奮い立たせ、おそらく彼自身が考えたように傲慢であり、1993年6月23日、ケンブリッジでの数論に関する数学会議で、彼は彼の素晴らしい業績を発表しました。

もちろん、それはセンセーションでした。あまり知られていない数学者にそのような敏捷性を期待した人は誰もいませんでした。それからマスコミがやって来ました。誰もが燃えるような興味に苦しめられました。美しい絵のストロークのような細い式が、観客の好奇心をそそる目の前に現れました。結局のところ、本物の数学者はそのようなものです。彼らはあらゆる種類の方程式を見て、数値、定数、変数ではなく、音楽を聞きます。モーツァルトが音楽スタッフを見ているように。本を読むときと同じように、文字を見ても気づかないようですが、すぐに文章の意味がわかります。

証明の提示は成功したように見えました-エラーは見つかりませんでした-誰も誤ったメモを1つも聞きませんでした（ほとんどの数学者は1年生のように積分で彼を見つめ、何も理解していませんでしたが）。誰もが大規模な出来事が起こったと判断しました。谷山の仮説が証明され、その結果、フェルマーの最終定理が証明されました。しかし、約2か月後、ワイルズの証明の原稿が流通する数日前に、一貫性がないことが判明しました（ワイルズの同僚であるカッツは、1つの推論が「オイラーのシステム」に依存していると述べましたが、ワイルズによって構築された、そのようなシステムではありませんでした）が、一般的に、ワイルズの技術は興味深く、エレガントで革新的であると考えられていました。

ワイルズは状況を分析し、彼が負けたと判断しました。「偉大なものからばかげた一歩まで」という意味で、彼がどのように感じたかを想像することができます。「私は歴史に入りたかったのですが、代わりに私は道化師とコメディアンのチームに参加しました-傲慢な農民」-ほぼそのような考えは彼の人生のその苦痛な時期に彼を疲れさせました。真面目な数学者である彼にとって、それは悲劇であり、彼は証明をバックバーナーに投げました。

しかし、1年余り後の1994年9月、オックスフォード出身の同僚のテイラーと一緒に、その証明のボトルネックについて考えていたところ、後者は突然、「オイラー系」を岩澤理論に変更できると考えました（セクション数論の）。それから彼らは「オイラー系」なしで岩澤理論を使おうとしました、そして彼らは皆一緒になりました。証明の修正版が検証のために提出され、1年後、その中のすべてが1つの間違いもなく完全に明確であることが発表されました。 1995年の夏、主要な数学雑誌の1つである「Annalsof Mathematics」で、谷山の予想の完全な証明（したがって、フェルマーの大（大）定理）が発行されました。これは、100枚を超える問題全体を占めていました。証明は非常に複雑なので、世界中の数十人だけがそれを完全に理解することができました。

このように、20世紀の終わりに、全世界は、その生涯の360年で、実際にはずっと仮説であったフェルマーの最終定理が証明された定理になったことを認識しました。アンドリュー・ワイルズはフェルマーの偉大な（偉大な）定理を証明し、歴史に入った。

あなたが定理を証明したと思います...

発見者の幸福は常に一人の誰かに行きます-ハンマーの最後の一撃で、知識の固いナットを割るのは彼です。しかし、何世紀にもわたって偉大な定理に亀裂を形成してきた多くの以前の打撃を無視することはできません：オイラーとガウス（当時の数学の王）、エヴァリスト・ガロア（彼の短い21で群論と分野の理論を確立することに成功した） -アンリ・ポアンカレ（奇妙なモジュラー形式だけでなく、慣習主義-哲学的傾向の創設者）、デビッド・ギルバート（20世紀の最強の数学者の1人）、谷山豊、志村五郎、モーデル、ファルティングス、エルンスト・クマー、バリー・メイザー、ゲルハルト・フレイ、ケン・リベット、リチャード・テイラー他 本物の科学者（私はこれらの言葉を恐れていません）。

フェルマーの最後の定理の証明は、コンピューターの発明、核爆弾、宇宙飛行などの20世紀の成果と同等に置くことができます。それについてはあまり知られていませんが、テレビや電球などの私たちの瞬間的な関心の領域に侵入しないため、それは超新星の閃光であり、すべての不変の真実のように、常に輝きます人類。

あなたは言うことができます：「考えてみてください、あなたはある種の定理を証明しました、 誰がそれを必要としますか？「。公正な質問。デビッド・ギルバートの答えはここにぴったり当てはまります。「今、科学にとって最も重要な仕事は何ですか？」という質問に対して、彼は「月の裏側でハエを捕まえる」と答えました。彼は合理的に尋ねられました：「しかし 誰がそれを必要としますか？"、彼はこのように答えました："誰もそれを必要としません。しかし、これを達成するために解決する必要のある重要で困難な問題の数を考えてみてください。「フェルマーの定理を証明する前に、人類が360年で解決できた問題の数を考えてください。その証明を求めて、現代数学のほぼ半分数学は科学の前衛であり（ちなみに、間違いなく構築された唯一の科学である）、科学的な成果や発明はここから始まることも考慮に入れる必要があります。」。

* * *

そして今、私たちの物語の最初に戻って、ディオファンタスの教科書の余白にピエール・フェルマーが書いたことを思い出して、もう一度自問してみましょう。フェルマーは本当に彼の定理を証明したのでしょうか？もちろん、これを確実に知ることはできません。いずれの場合も、ここではさまざまなバージョンが発生します。

バージョン1：フェルマーは彼の定理を証明した。（質問に対して：「フェルマーは彼の定理のまったく同じ証明を持っていましたか？」、アンドリュー・ワイルズは次のように述べました：「フェルマーは持つことができませんでした それで証拠。これは20世紀の証明です。「もちろん、17世紀の数学は、20世紀の終わりと同じではなかったと理解しています。その時代には、科学の女王であるアルタニャンはそうではありませんでした。まだそれらの発見（モジュラー形式、谷山の定理、フレイなど）を持っているので、フェルマーの最終定理を証明することしかできませんでした。？このバージョンは、可能性は高いですが、ほとんどの数学者によると事実上不可能です。
バージョン2：ピエール・ド・フェルマーは彼の定理を証明したように見えましたが、彼の証明には誤りがありました。（つまり、フェルマー自身も最初のフェルマー主義者でした）;
バージョン3：フェルマーは彼の定理を証明しなかったが、単に余白に嘘をついた。

最後の2つのバージョンのいずれかが正しい場合、これは最も可能性が高いですが、簡単な結論を導き出すことができます。 偉大な人々、彼らは偉大ですが、間違いを犯したり、時には嘘をついたりすることを気にしないこともあります（基本的に、この結論は、自分の偶像や他の思考の支配者を完全に信頼する傾向がある人に役立ちます）。したがって、人類の権威ある息子たちの作品を読んだり、彼らの哀れなスピーチを聞いたりするとき、あなたは彼らの発言を疑う権利があります。（その点に注意してください 疑うことは拒絶しないことです).

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科学技術のニュース

UDC 51：37; 517.958

A.V. コノフコ博士

ロシアの国家消防局EMERCOMのアカデミー偉大な定理農場が証明されています。か否か？

数世紀の間、n>2の方程式xn+ yn = znが有理数、つまり整数で解けないことを証明することはできませんでした。この問題は、同時に数学に専門的に従事していたフランスの弁護士ピエール・フェルマーの作者の下で生まれました。彼女の解決策は、アメリカの数学の教師であるアンドリュー・ワイルズの功績によるものです。この認識は1993年から1995年まで続いた。

偉大なフェルマ「定理が提供されているか、そうでないか？

フェルマーの最終定理の証明の劇的な歴史が考慮されます。それはほぼ400年かかりました。ピエール・フェルマーはほとんど書いていません。彼は圧縮されたスタイルで書いています。彼は研究を発表していませんでした。方程式xn + yn=znはセットでは解けません。 n> 2の場合の有理数と整数の計算には、フェルマーがこの声明を実際に証明していることを発見したというコメントがありました。この証明では子孫には到達しませんでした。後にこの声明はフェルマーの最終定理と呼ばれ、世界最高の数学者は結果なしにこの定理を破りました。70年代に、パリ科学アカデミーのフランスの数学者であるアンドレベールは、解決策への新しいアプローチを打ち出しました。1993年6月23日、ケンブリッジでの数論会議で、プリンストン大学の数学者アンドリュー・ウィールズは、フェルマーの最終定理の証明が得られたと発表しました。しかし、勝利するのは早かった。

1621年、フランスの作家で数学者のクロード・ガスパール・バシェ・ド・メジリアックは、ラテン語の翻訳と解説を付けて、ディオファントゥスによるギリシャ語の論文「算術」を発表しました。非常に広いマージンを持つ豪華な「算術」は、20歳のフェルマーの手に渡り、長年にわたって彼の参考書になりました。その余白に、彼は数の性質について彼が発見した事実を含む48の発言を残しました。ここで、算術の余白で、フェルマーの偉大な定理が定式化されました。これは本当に素晴らしい証拠であり、スペースが不足しているため、これらの分野に収まらないことがわかりました。ちなみに、ラテン語では次のようになります。 cujusreiデモンストレーションemmirabilemsanedetexi。 Hanc marginisexiguitasnoncaperet。

フランスの偉大な数学者ピエール・フェルマー（1601-1665）は、面積と体積を決定する方法を開発し、接線と極値の新しい方法を作成しました。デカルトとともに、彼は解析幾何学の作成者になり、パスカルとともに確率論の起源に立ち、微小法の分野で微分の一般的な規則を与え、一般的にべき関数を統合するための規則を証明しました...しかし、最も重要なのは、これまで数学に衝撃を与えた最も重要な神秘的で劇的な物語の1つである、フェルマットの最後の定理の証明の物語です。ここで、この定理は単純なステートメントの形式で表されます。n>2の方程式xn+ yn = znは、有理数、つまり整数では解けません。ちなみに、n = 3の場合、中央アジアの数学者アル・コジャンディは10世紀にこの定理を証明しようとしましたが、彼の証明は保存されていません。

南フランス出身のピエール・フェルマーは法学位を取得し、1631年からトゥールーズ市議会（最高裁判所）の顧問を務めました。議会の壁の中で働いた後、彼は数学を学び、すぐに完全に異なる世界に飛び込みました。お金、名声、公認-これはすべて彼にとって重要ではありませんでした。科学は彼にとって収入にはならず、工芸品にはならず、常に心の刺激的なゲームにとどまり、ほんの数人しか理解できませんでした。彼らと一緒に彼は彼の通信を続けた。

フェルマーは、私たちの通常の意味で科学論文を書いたことはありません。そして、友人との彼の通信には、ある種の挑発でさえ、常にいくつかの挑戦があり、決して問題とその解決策の学術的なプレゼンテーションではありません。したがって、彼の手紙の多くはその後、次のように知られるようになりました：挑戦。

おそらくそれが、彼が数論に関する特別なエッセイを書くという彼の意図を決して実現しなかった理由です。そしてその間、それは数学の彼のお気に入りの分野でした。フェルマーが彼の手紙の中で最もインスピレーションを得た行を捧げたのは彼女でした。「算術」と彼は書いた。「独自の分野、整数の理論があります。この理論はユークリッドによってほんの少し触れられただけであり、彼の信者によって十分に開発されていませんでした（私たちが持っているディオファントスの作品に含まれていない限り）時間の荒廃によって奪われた）したがって、算術はそれを開発し、更新しなければならない。」

なぜフェルマー自身は時間の荒廃を恐れなかったのですか？彼はほとんど、そして常に非常に簡潔に書いた。しかし、最も重要なことは、彼は自分の作品を公開しなかったことです。彼の生涯の間、彼らは原稿の形でのみ流通しました。したがって、数論に関するフェルマーの結果が断片化された形で私たちにもたらされたことは驚くべきことではありません。しかし、ブルガーコフはおそらく正しかった：素晴らしい原稿は燃えない！フェルマーの仕事は残った。リヨンの数学教師ジャック・デ・ビリー、ミントの従業員バーナード・フレニッケル・デ・ベシー、マルセニス、デカルト、ブレーズ・パスカル...ディオファントゥスの「算数」は、フェルマーの死後、彼の発言を余白に残しました。、1670年に長男サミュエルによって出版されたディオファントゥスの新版にバッシュのコメントと一緒に入力されました。証明自体だけが保存されていません。

フェルマーは死の2年前に、友人のカーカビーに遺言状を送りました。この手紙は、「数の科学における新しい結果の要約」というタイトルで数学の歴史に入りました。この手紙の中で、フェルマーは、n = 4の場合の有名な声明を証明しました。しかし、彼は声明自体ではなく、フェルマー自身が無限または無期限の降下と呼んだ、彼が発見した証明方法に興味を持っていた可能性があります。

原稿は燃えません。しかし、父親の死後、数学のスケッチと小さな論文をすべて集め、1679年に「その他の数学作品」というタイトルで出版したサミュエルの献身がなかったら、学んだ数学者は発見しなければならなかったでしょう。そしてたくさん再発見します。しかし、彼らの出版後も、偉大な数学者によって提起された問題は、70年以上の間休眠状態にありました。そして、これは驚くべきことではありません。それらがマスコミに登場した形で、P。フェルマーの数論的結果は、専門家の前に深刻な問題の形で現れました。おそらく、首尾一貫したよく考えられた理論がない場合、フェルマー自身が数論に関する本を出版するつもりがなかった理由という質問に対する答えがあります。 70年後、L。オイラーはこれらの作品に興味を持ち、これは本当に彼らの2回目の誕生でした...

数学は、あたかもそれらの証明を故意に省略したかのように、彼の結果を提示するフェルマーの独特の方法に心からお金を払ってきました。しかし、フェルマーがすでにこれまたはその定理を証明したと主張した場合、後でこの定理は必然的に証明されました。しかし、偉大な定理には問題がありました。

謎は常に想像力を刺激します。大陸全体がモナリザの不思議な笑顔に征服されました。時空のつながりの謎の鍵としての相対性理論は、今世紀で最も人気のある物理理論になりました。そして、__93ほど人気のある数学の問題は他になかったと言っても過言ではありません。

市民保護の科学的および教育的問題

これはフェルマーの定理です。それを証明する試みは、数学の広範な分野、つまり代数的整数論の作成につながりましたが、（ああ！）定理自体は証明されていませんでした。 1908年、ドイツの数学者ウォルフスケルは、フェルマーの定理を証明できる人に10万点を遺贈しました。当時は巨額でした！一瞬で有名になるだけでなく、途方もなく金持ちになることができました！したがって、ドイツから遠く離れたロシアでさえ、互いに争い合っている学童たちが、偉大な定理を証明するために急いでいたことは驚くべきことではありません。私たちはプロの数学者について何を言うことができますか？しかし...無駄に！第一次世界大戦後、お金は減価し、疑似証拠のある手紙の流れは枯渇し始めましたが、もちろん、それは完全に止まることはありませんでした。有名なドイツの数学者エドマンド・ランダウは、フェルマーの定理の証明の著者に配布するために印刷されたフォームを準備したと言われています：「ページにエラーがあります...、行に...エラーがあります。」（誤りを見つけるのは准教授に任せられました。）この定理の証明に関連する非常に多くの好奇心と逸話があり、それらから本を作ることができました。最後の逸話は、2000年1月に国のテレビ画面で撮影され、渡された、探偵A.マリニーナの「偶然の一致」のように見えます。その中で、私たちの同胞は、彼の偉大な前任者全員によって証明されていない定理を証明し、それに対してノーベル賞を主張しています。ご存知のように、ダイナマイトの発明者は意志で数学者を無視したため、証明の作成者は、1936年に数学者自身が承認した最高の国際賞であるフィールズ金メダルしか獲得できませんでした。

傑出したロシアの数学者A.Yaの古典的な作品で。フェルマーの偉大な定理に専念しているヒンチンは、この問題の歴史に関する情報を提供し、フェルマーが彼の定理を証明するために使用できる方法に注意を払っています。 n = 4の場合の証明と、その他の重要な結果の簡単なレビューが示されています。

しかし、探偵小説が書かれたとき、さらにはそれが撮影されたときまでに、定理の一般的な証拠はすでに発見されていました。 1993年6月23日、ケンブリッジでの数論に関する会議で、プリンストンの数学者アンドリューワイルズは、フェルマーの最後の定理の証明が得られたと発表しました。しかし、フェルマー自身が「約束した」ほどではありません。アンドリュー・ワイルズがたどった道は、決して初等数学の方法に基づいていませんでした。彼はいわゆる楕円曲線の理論に従事していました。

楕円曲線のアイデアを得るには、3次の方程式で与えられる平面曲線を考慮する必要があります

Y（x、y）= a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 =0。（1）

このような曲線はすべて2つのクラスに分けられます。最初のクラスには、尖点（たとえば、尖点（0; 0）を持つ半立方放物線y2 = a2-X）、自己交点（Cartesianシートx3 + y3-3axy = 0など）を持つ曲線が含まれます。、点（0; 0））、および多項式Ax、y）が次の形式で表される曲線

f（x ^ y）=：fl（x ^ y）■：f2（x、y）、

ここで、^（x、y）と^（x、y）はより小さな次数の多項式です。このクラスの曲線は、3次の縮退曲線と呼ばれます。 2番目のクラスの曲線は、非縮退曲線によって形成されます。それらを楕円形と呼びます。これらには、たとえば、Curl Agnesi（x2 + a2）y --a3 = 0）が含まれます。多項式（1）の係数が有理数の場合、楕円曲線はいわゆる標準形に変換できます。

y2 = x3 + ax+b。（2）

1955年、日本の数学者谷山豊（1927-1958）は、楕円曲線の理論の枠組みの中で、フェルマーの定理の証明への道を開いた予想を立てることができました。しかし、谷山も彼の同僚もこれを疑っていませんでした。ほぼ20年間、この仮説は深刻な注目を集めることはなく、1970年代半ばにのみ普及しました。谷山予想によると、どんな楕円形でも

有理係数を持つ曲線はモジュール式です。ただし、これまでのところ、仮説の定式化は、細心の注意を払った読者にはほとんどわかりません。したがって、いくつかの定義が必要です。

各楕円曲線は、重要な数値特性、つまり判別式に関連付けることができます。標準形（2）で与えられる曲線の場合、判別式Aは次の式で決定されます。

A \ u003d-（4a + 27b2）。

Eを式（2）で与えられる楕円曲線とします。ここで、aとbは整数です。

素数pについては、比較を検討してください

y2 = x3 + ax + b（mod p）、（3）

ここで、aとbは、整数aとbをpで割った後の余りであり、npによってこの合同の解の数を示します。数値prは、整数の形式（2）の方程式の可解性の問題を研究するのに非常に役立ちます。あるprがゼロに等しい場合、方程式（2）には整数解がありません。ただし、prの数値は、ごくまれなケースでのみ計算できます。（同時に、p-n |< 2Vp (теоремаХассе)).

楕円曲線の判別式Aを分割する素数pを考えます（2）。このようなpの場合、多項式x3 + ax+bは次の2つの方法のいずれかで記述できることが証明できます。

x3 + ax + b =（x + a）2（x +ß）（modP）

x3 + ax + b =（x + y）3（mod p）、

ここで、a、ß、yは、pで除算した後の余りです。曲線の判別式を分割するすべての素数pについて、示された2つの可能性の最初の可能性が実現された場合、楕円曲線は半安定であると言われます。

判別式を分割する素数は、いわゆる楕円曲線導体に組み合わせることができます。 Eが半安定曲線の場合、その導体Nは次の式で与えられます。

ここで、Aを除算するすべての素数p> 5の場合、指数ePは1に等しくなります。指数82および83は、特別なアルゴリズムを使用して計算されます。

本質的に、これは証明の本質を理解するために必要なすべてです。しかし、谷山の予想には、モジュール性の難しい、そして私たちの場合の重要な概念が含まれています。したがって、しばらく楕円曲線を忘れて、上半平面で与えられた複素数の偏角zの解析関数f（つまり、べき級数で表すことができる関数）を考えてみましょう。

上部の複素半平面をHで示します。 Nを自然数、kを整数とします。レベルNの重みkのモジュラー放物線形式は、上半平面で定義され、関係を満たす分析関数f（z）です。

f =（cz + d）kf（z）（5）

ae --bc = 1であり、cがNで割り切れるような整数a、b、c、dの場合。さらに、次のように仮定されます。

lim f（r + it）= 0、

ここで、rは有理数であり、

レベルNの重みkのモジュラーカスプ形式の空間はSk（N）で表されます。それが有限の次元を持っていることを示すことができます。

以下では、ウェイト2のモジュラーカスプ形式に特に関心があります。小さいNの場合、空間S2（N）の次元を表1に示します。 1.特に、

空間の寸法S2（N）

表1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

条件（5）から、各形式について％+ 1）= f∈S2（N）となります。したがって、fは周期関数です。このような関数は、次のように表すことができます。

係数が関係を満たす整数である場合、S2（N）のモジュラーカスプ形式A ^）を適切と呼びます。

ar■a=a r +1■p■cr_1は、数Nを除算しない単純なpの場合。（8）

（ap）Nを分割する素数pの場合。

atp = at a if（m、n）=1。

ここで、フェルマーの定理の証明において重要な役割を果たす定義を定式化します。有理係数と導体Nを持つ楕円曲線は、そのような固有形がある場合、モジュラーと呼ばれます

f（z）= ^ anq "g S2（N）、

そのap=p-ほとんどすべての素数pのpr。ここで、npは比較の解の数です（3）。

少なくとも1つのそのような曲線の存在を信じることは困難です。リストされた厳密な制限（5）および（8）を満たす関数A（r）があり、それが一連の（7）に展開され、その係数が実際には計算不可能な数Prに関連付けられることを想像するのは非常に困難です。かなり難しいです。しかし、谷山の大胆な仮説は決してその存在の事実に疑問を投げかけるものではなく、時が経つにつれて蓄積された経験的資料はその正当性を見事に確認した。ほぼ完全な忘却の20年後、谷山の仮説は、フランスの数学者、パリ科学アカデミーのメンバーであるアンドレ・ヴェイユの作品に第二の風を受けました。

1906年に生まれたA.ワイルは、最終的にはN.ブルバキというペンネームで行動した数学者グループの創設者の1人になりました。 1958年以来、A。ワイルはプリンストン高等研究所の教授を務めています。そして、抽象的な代数幾何学への彼の関心の出現は同じ時期に属しています。 70年代に、彼は楕円関数と谷山の予想に目を向けました。楕円関数に捧げられたモノグラフは、ここロシアで翻訳されました。彼の情熱は彼だけではありません。 1985年、ドイツの数学者Gerhard Freiは、フェルマーの定理が偽の場合、つまり、a "+ bn = c"（n> 3）となる整数a、b、cのトリプルがある場合、楕円曲線を提案しました。

y2 \ u003d x（x --a "）-（x --cn）

モジュール式にすることはできません。これは谷山の推測と矛盾します。フレイ自身はこの声明を証明できなかったが、その証明はすぐにアメリカの数学者ケン・リベットによって得られた。言い換えれば、リベットはフェルマーの定理が谷山の予想の結果であることを示した。

彼は次の定理を定式化し、証明しました。

定理1（リベット）。 Eを判別式を持つ有理係数を持つ楕円曲線とします。

と指揮者

Eがモジュール式であり、

/（r）= q + 2 aAn e ^（N）

は対応するレベルの固有形式Nです。素数£を固定し、

p：eP \ u003d 1;-"8 p

次に放物線の形があります

/（r）= 2 dnqn e N）

整数係数を使用すると、差an--dnはすべての1についてIで割り切れます。< п<ад.

この定理がある指数で証明されれば、nの倍数であるすべての指数で証明されることは明らかです。すべての整数n> 2は、4または奇数の素数で割り切れるので、次のように制限できます。指数が4または奇数の素数の場合。 n = 4の場合、フェルマーの定理の初等的証明は、最初にフェルマー自身によって、次にオイラーによって取得されました。したがって、方程式を研究するだけで十分です

a1 + b1 = c1、（12）

ここで、指数Iは奇数の素数です。

これで、フェルマーの定理は簡単な計算で得ることができます（2）。

定理2.谷山の半安定楕円曲線予想は、フェルマーの最終定理を暗示しています。

証拠。フェルマーの定理が偽であると仮定し、対応する反例があるとします（上記のように、ここで私は奇数の素数です）。定理1を楕円曲線に適用してみましょう

y2 = x（x --ae）（x --c1）。

簡単な計算は、この曲線の導体が次の式で与えられることを示しています

式（11）と（13）を比較すると、N = 2であることがわかります。したがって、定理1により、放物線形式があります。

スペース82（2）に横たわっています。しかし、関係（6）により、このスペースはゼロです。したがって、すべてのnに対してdn = 0です。同時に、a ^ = 1です。したがって、差ar --dl = 1はIで割り切れず、矛盾に到達します。したがって、定理が証明されます。

この定理は、フェルマーの最後の定理の証明への鍵を提供しました。それでも、仮説自体はまだ証明されていません。

1993年6月23日に発表された、形（8）の曲線を含む半安定楕円曲線に対する谷山の予想の証明、アンドリュー・ワイルズは急いだ。数学者が勝利を祝うのは時期尚早でした。

暖かい夏はあっという間に終わり、雨の秋が残り、冬がやってきました。ワイルズは彼の証明の最終版を書き直しましたが、細心の注意を払った同僚は彼の仕事にますます不正確さを見つけました。そのため、1993年12月初旬、ワイルズの原稿が出版される数日前に、彼の証拠に深刻なギャップが再び見つかりました。そして、Wilesは、1日か2日で、もう何も修正できないことに気づきました。これには大規模なオーバーホールが必要でした。作品の出版は延期されなければなりませんでした。ワイルズはテイラーに助けを求めた。「バグの処理」には1年以上かかりました。テイラーと共同でワイルズによって書かれた谷山の推測の証明の最終版は、1995年の夏まで現れませんでした。

英雄A.マリニーナとは異なり、ワイルズはノーベル賞を受賞していませんでしたが、それでも...彼はある種の賞を受賞しているはずです。それは何ですか？当時のワイルズはすでに50代であり、フィールズの金メダルは40歳まで厳密に授与されますが、創造的な活動のピークはまだ過ぎていません。そして、彼らはワイルズのための特別賞、フィールド委員会のシルバーバッジを設立することを決定しました。このバッジは、ベルリンで開催される次の数学会議で彼に贈られました。

フェルマーの最終定理に取って代わる可能性が多かれ少なかれすべての問題の中で、ボールの最も近いパッキングの問題が最大の可能性を秘めています。ボールの最も近いパッキングの問題は、オレンジのピラミッドを最も経済的に積み重ねる方法の問題として定式化できます。若い数学者は、この問題をヨハネスケプラーから受け継いでいます。この問題は、1611年にケプラーが「六角形の雪片について」という短いエッセイを書いたときに生まれました。物質の粒子の配置と自己組織化に対するケプラーの関心は、別の問題、つまり粒子が最小の体積を占める最も密度の高い粒子のパッキングについて議論するように導きました。粒子が球の形をしていると仮定すると、それらが空間にどのように配置されていても、必然的にそれらの間にギャップが残ることは明らかであり、問題はギャップの体積を最小限に抑えることです。たとえば、この研究では、そのような形状は四面体であり、その内側の座標軸が90°ではなく109°28 "の基本直交角を決定すると述べられています。この問題は、基本粒子にとって非常に重要です。物理学、結晶学、および自然科学の他のセクション。

文学

1.ヴェイユA.エイゼンシュタインとクロネッカーによる楕円関数。 -M.、1978年。

2.ソロビョフYu.P. 谷山予想とフェルマーの最終定理//ソロス教育ジャーナル。 -No. 2.--1998.-S.78-95。

3.シンS.フェルマーの最終定理。 358年間世界の最高の心を占領してきた謎の歴史/あたり。英語から。 Yu.A. ダニロワ。モスクワ：MTsNMO。 2000.-260ページ

4. Mirmovich E.G.、Usacheva T.V. クォータニオンと3次元回転の代数//現在のジャーナルNo.1（1）、2008年。-P.75-80。