2つが平行の場合。 平行線、平行線の標識と条件

2 本の直線が平行になっている兆候

定理 1. 2 つの直線が割線で交差する場合:

交差角が等しい、または

対応する角度が等しい、または

片側の角度の合計が 180° である場合、

線は平行です(図1)。

証拠。 ケース 1 の証明に限定します。

交線aとbが交差し、角度ABが等しいとします。 たとえば、∠ 4 = ∠ 6 です。 || が次のことを証明しましょう。 b.

線aと線bが平行ではないとします。 次に、それらはある点 M で交差するため、角 4 または 6 のいずれかが三角形 ABM の外角になります。 明確にするために、∠ 4 を三角形 ABM の外角、∠ 6 を内角とします。 三角形の外角の定理から、∠ 4 は ∠ 6 より大きいことがわかり、これは条件に矛盾します。つまり、直線 a と直線 6 は交差できないため、平行になります。

帰結 1. 同じ線に垂直な平面内の 2 つの異なる線は平行です(図2)。

コメント。 定理 1 のケース 1 を証明した方法は、矛盾または不条理への還元による証明方法と呼ばれます。 この方法の最初の名前は、議論の最初に、証明する必要があるものに反する (反対の) 仮定がなされることから付けられました。 これは、行われた仮定に基づいて推論すると、（不条理な）不条理な結論に達するという事実により、不条理につながると呼ばれます。 このような結論を受け取ると、私たちは最初に立てた仮定を拒否し、証明する必要がある仮定を受け入れざるを得なくなります。

タスク1。与えられた点 M を通り、点 M を通らず、与えられた直線 a に平行な直線を作成します。

解決。 点 M を通り、直線 a に垂直な直線 p を引きます (図 3)。

次に、点 M を通り、線 p に垂直な線 b を引きます。 定理 1 の帰結に従って、線 b は線 a に平行です。

検討した問題から重要な結論が得られます。
指定された線上にない点を通って、指定された線に平行な線を引くことはいつでも可能です.

平行線の主な性質は次のとおりです。

平行線の公理。 所定の直線上にない所定の点を通る場合、その点と平行な直線は 1 本だけ通過します。

この公理から導かれる平行線のいくつかの性質を考えてみましょう。

1) 線が 2 本の平行線の一方と交差する場合、もう一方の平行線とも交差します (図 4)。

2) 2 つの異なる線が 3 番目の線と平行であれば、それらは平行です (図 5)。

次の定理も成り立ちます。

定理 2. 2 本の平行線が横断線と交差する場合、次のようになります。

横方向の角度は等しい。

対応する角度は等しい。

片側の角度の合計は180°です。

帰結２． 線が 2 本の平行線の一方に垂直であれば、もう一方にも垂直です(図2を参照)。

コメント。 定理 2 は、定理 1 の逆関数と呼ばれます。定理 1 の結論は、定理 2 の条件です。そして、定理 1 の条件は、定理 2 の結論です。すべての定理に逆関数があるわけではありません。つまり、特定の定理がtrue の場合、逆定理は false である可能性があります。

頂角の定理を例にしてこれを説明してみましょう。 この定理は次のように定式化できます。2 つの角度が垂直であれば、それらは等しいです。 逆の定理は次のようになります。2 つの角度が等しい場合、それらは垂直です。 そしてもちろん、これは真実ではありません。 2 つの等しい角度は垂直である必要はありません。

例1. 2 本の平行線が 3 番目の線と交差します。 2 つの内側の片角の差は 30° であることが知られています。 これらの角度を見つけてください。

解決。 図 6 が条件を満たすとします。

第 3 章
パラレルダイレクト

§ 38. 角度間の依存性、
2 本の平行なラインと 2 本の 2 本のラインで形成されます。

2 つの線が 3 番目の線と交差するときに、対応する角度が等しいか、横にある内角または外角が等しいか、内角の合計または外角の合計が次の場合、2 つの線が平行であることがわかります。 2 d。 逆の定理も成り立つことを証明しましょう。

2 本の平行線が 3 本目の平行線と交差する場合、次のようになります。

1) 対応する角度が等しい。
2) 内横角が等しい。
3) 横方向の外角が等しい。
4) 内片角の合計は次の値に等しい 2 d ;
5) 片側の外角の合計は次の値に等しい 2 d .

たとえば、2 つの平行線が 3 番目の線と交差する場合、対応する角度は等しいことを証明してみましょう。

直線 AB と CD が平行、MN がその割線であるとします (図 202)。対応する角度 1 と 2 が互いに等しいことを証明しましょう。

仮定してみましょう / 1と / 2は等しくありません。 次に、点 O で構築できます。 / IOC、対応し同等 / ２（図２０３）。

しかし、もし / MOQ = / 2 の場合、直線 OK は CD と平行になります (§ 35)。

点Oを通り、直線CDに平行な2本の直線ABとOKが引かれていることがわかりました。 しかし、そんなことはあり得ない(§37)。

と仮定したために矛盾に到達しました。 / 1と / 2は等しくありません。 したがって、私たちの仮定は間違っており、 / 1 は等しい必要があります / つまり、対応する角度は等しいです。

残りの角度間の関係を確立しましょう。 直線 AB と CD を平行とし、MN をそれらの割線とします (図 204)。

この場合、対応する角度が等しいことを証明したところです。 そのうちの任意の 2 つがそれぞれ 119° であると仮定します。 他の 6 つの角度のそれぞれのサイズを計算してみましょう。 隣接角度と垂直角度の特性に基づいて、8 つの角度のうち 4 つがそれぞれ 119° であり、残りはそれぞれ 61° であることがわかります。

横方向の内角と外角の両方がペアで等しく、内角または外角の合計は 180° (または 2) に等しいことがわかりました。 d).

等しい対応する角度の他の値についても同じことが起こります。

帰結 1. 2 つの線分 AB と CD がそれぞれ同じ 3 番目の線分 MN に平行である場合、最初の 2 つの線分は互いに平行です。 (図205)。

実際、セカント EF (図 206) を描くと、次が得られます。
A) / 1 = / 3、AB 以降 || ミネソタ; b) / 2 = / 3、CO 以来 || ミネソタ州

手段、 / 1 = / これらは、線ＡＢおよび線ＣＤおよび割線ＥＦに対応する角度であるため、線ＡＢおよび線ＣＤは平行である。

帰結２． 線が 2 本の平行線の一方に垂直であれば、もう一方にも垂直です (図207)。

確かに、EF _|_ AB の場合、 / 1 = d; AB の場合 || CD、それでは / 1 = / 2.

したがって、 / 2 = dつまり、 EF _|_ CD です。

1) 2 本の直線が横断線と交差するとき、横たわる角度が等しい場合、直線は平行です。

2) 2 本の線が横断線と交差するとき、対応する角度が等しい場合、線は平行です。

3) 2 本の直線が横断線と交差するとき、片側の角度の合計が 180° に等しい場合、直線は平行です。

3. 与えられた線上にない点を通るときは、与えられた線に平行な線が 1 本だけ通過します。

4 線が 2 本の平行線の一方と交差する場合、もう一方の平行線とも交差します。

5. 2 つの線が 3 番目の線と平行であれば、それらは平行です。

平行線の性質

1) 2 本の平行線が横断線で交差する場合、交差角度は等しいです。

2) 2 本の平行線が横断線で交差する場合、対応する角度は等しくなります。

3) 2 本の平行線が横断線で交差する場合、片側の角度の合計は 180° になります。

7. 線が 2 本の平行線の一方に垂直であれば、もう一方にも垂直です。

8. 2 つの方程式系を 2 つの関数で解くこのような数値のペアは未知と呼ばれます バツ そして で これをこのシステムに代入すると、その各方程式が正しい数値的等式に変わります。

9.連立方程式を解く- すべての解決策を見つけるか、解決策が存在しないことを確認することを意味します。

1. 連立方程式を解く方法:

a) 置換

b) 追加。

c) グラフィック。

10. 三角形の角度の合計は 180°です。

11.外コーナー三角形の角度は、この三角形のある角度に隣接する角度です。

三角形の外角は、隣接しない三角形の 2 つの角の合計に等しくなります。

12. どの三角形でも、すべての角が鋭角であるか、2 つの角が鋭角で、3 番目の角が鈍角か直線です。

13 三角形の 3 つの角がすべて鋭角であれば、その三角形は 鋭角な。

14.三角形の角の 1 つが鈍角である場合、その三角形は次のように呼ばれます。 鈍角の。

15. 三角形の角の 1 つが正しい場合、その三角形は次のように呼ばれます。 長方形。

16. 直角三角形の直角の反対側にある辺を 斜辺、他の 2 つの辺は 足。

17. 三角形の場合: 1) より大きな角度がより大きな辺の反対側にあります。 2) 後ろに、大きい側が大きい角度の反対側にあります。

18. 直角三角形では、斜辺は脚よりも長くなります。

19. 三角形の 2 つの角度が等しい場合、その三角形は二等辺三角形です (二等辺三角形の符号)。

20. 三角形の各辺は、他の 2 つの辺の合計よりも小さくなります。

21 直角三角形の 2 つの鋭角の和は 90°です。

22. 30°の角度の反対側にある直角三角形の脚は、斜辺の半分に等しい。

直角三角形の等しい兆候: 1) 2 つの辺。 2) 斜辺と鋭角に沿って。 3) 斜辺と脚に沿って。 4) 脚に沿って鋭角に

点から線に引いた垂線の長さを、この点から線までの距離といいます。

この記事では、平行線について説明し、定義を示し、平行度の兆候と条件の概要を説明します。 理論的な内容をより明確にするために、典型的な例に対する図と解決策を使用します。

Yandex.RTB R-A-339285-1 定義 1

平面上の平行線– 共通点を持たない平面上の 2 つの直線。

定義 2

3次元空間内の平行線– 3 次元空間内の 2 本の直線。同じ平面上にあり、共通点はありません。

空間内の平行線を決定するには、「同じ平面上にある」ことを明確にすることが非常に重要であることに注意する必要があります。3 次元空間内の共通点がなく、同じ平面内にない 2 本の線は平行ではありません。 、しかし交差しています。

平行線を示すには、記号 ∥ を使用するのが一般的です。 つまり、与えられた線 a と b が平行である場合、この条件は次のように簡単に書くことができます: a ‖ b。 言葉では、線の平行度は次のように表されます。線 a と b は平行、または線 a は線 b に平行、または線 b は線 a に平行です。

研究中のトピックにおいて重要な役割を果たすステートメントを作成してみましょう。

公理

与えられた直線に属さない点を通過し、与えられた直線に平行な唯一の直線が通過します。 このステートメントは、既知の面積測定の公理に基づいて証明することはできません。

空間について話している場合、次の定理が当てはまります。

定理1

与えられた線に属さない空間内の点を通ると、与えられた線に平行な単一の直線が存在します。

この定理は、上記の公理 (10 年生から 11 年生向けの幾何学プログラム) に基づいて簡単に証明できます。

平行度の基準は十分条件であり、これが満たされると線の平行度が保証されます。 言い換えれば、この条件が満たされれば、並列性の事実が確認できます。

特に、平面上および空間上の線の平行性には必要十分条件が存在します。 説明しましょう。「必要」とは、平行線を実現するために必要な条件を意味します。 それが満たされていない場合、線は平行ではありません。

まとめると、線の平行性の必要十分条件とは、線が互いに平行であるために必要十分な条件のことである。 これは一方では平行度の兆候であり、他方では平行線に固有の特性です。

必要十分条件を正確に定式化する前に、いくつかの追加の概念を思い出してください。

定義 3

割線– 指定された 2 つの一致しない直線のそれぞれと交差する直線。

2 本の直線が交差し、横線は 8 つの未展開の角を形成します。 必要十分条件を定式化するには、交差角、対応角、片角などの種類の角を使用します。 これらを図で示してみましょう。

定理2

平面内の 2 本の線が横断線で交差する場合、指定された線が平行であるためには、交差する角度が等しいか、対応する角度が等しいか、または片側の角度の合計が以下に等しいことが必要かつ十分です。 180度。

平面上の線の平行性の必要十分条件を図で説明してみましょう。

これらの条件の証明は、7 年生から 9 年生の幾何学プログラムにあります。

一般に、2 つの直線と割線が同じ平面に属している場合、これらの条件は 3 次元空間にも当てはまります。

線が平行であるという事実を証明するためによく使用される定理をさらにいくつか示しましょう。

定理3

平面上では、3 番目の線に平行な 2 本の線は互いに平行です。 この特徴は、上で示した並列性の公理に基づいて証明されます。

定理4

3 次元空間では、3 番目の線に平行な 2 本の線は互いに平行です。

記号の証明は、10 年生の幾何学のカリキュラムで学習されます。

これらの定理を説明してみましょう。

線の平行性を証明する定理をもう 1 組示しましょう。

定理5

平面上では、3 番目の線に垂直な 2 つの線は互いに平行です。

同様のことを 3 次元空間について定式化してみましょう。

定理6

3 次元空間では、3 番目の線に垂直な 2 本の線は互いに平行です。

説明してみましょう:

上記のすべての定理、記号、条件により、幾何学の方法を使用して線の平行性を簡単に証明できます。 つまり、線の平行性を証明するには、対応する角度が等しいことを証明したり、指定された 2 つの線が 3 番目の線に垂直であるという事実を証明したりすることができます。 ただし、平面または 3 次元空間上の線の平行性を証明するには、座標法を使用する方が便利な場合が多いことに注意してください。

直交座標系における線の平行度

特定の直交座標系では、直線は、可能なタイプのいずれかの平面上の直線の方程式によって決定されます。 同様に、3 次元空間の直交座標系で定義された直線は、空間の直線に関するいくつかの方程式に対応します。

与えられた線を記述する方程式の種類に応じて、直交座標系における線の平行度の必要十分条件を書き留めてみましょう。

まずは平面上の線の平行度から見ていきましょう。 これは、平面上の線の方向ベクトルと線の法線ベクトルの定義に基づいています。

定理7

一致しない 2 つの線が平面上で平行であるためには、指定された線の方向ベクトルが同一線上にあること、または指定された線の法線ベクトルが同一線上にあること、または 1 つの線の方向ベクトルが垂直であることが必要かつ十分です。他のラインの法線ベクトル。

平面上の線の平行性の条件は、ベクトルの共線性の条件、あるいは２つのベクトルの直交性の条件に基づくことが明らかである。 つまり、 a → = (a x , a y) および b → = (b x , b y) が直線 a および b の方向ベクトルである場合、

n b → = (n b x , n b y) が直線 a と b の法線ベクトルである場合、上記の必要十分条件を次のように書きます。 a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y または n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y または a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 、ここで t は実数です。 ガイドまたは直線ベクトルの座標は、指定された直線の方程式によって決定されます。 主な例を見てみましょう。

1. 直交座標系の直線 a は、直線の一般方程式 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 によって決定されます。 直線 b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0。 次に、指定された線の法線ベクトルの座標はそれぞれ (A 1, B 1) と (A 2, B 2) になります。 並列条件は次のように書きます。

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. 直線 a は、 y = k 1 x + b 1 の形式の傾きを持つ直線の方程式によって記述されます。 直線 b - y = k 2 x + b 2。 次に、指定された線の法線ベクトルはそれぞれ (k 1, - 1) と (k 2, - 1) の座標を持ち、平行条件を次のように書きます。

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

したがって、直交座標系の平面上の平行線が角度係数を含む方程式で与えられる場合、与えられた線の角度係数は等しくなります。 そして、その反対の命題も真です。直交座標系の平面上の一致しない線が、同じ角度係数を持つ線の方程式によって決定される場合、これらの指定された線は平行になります。

1. 直交座標系の線 a と b は、平面上の線の正準方程式 x - x 1 a x = y - y 1 a y および x - x 2 b x = y - y 2 b y、または次のパラメトリック方程式によって指定されます。平面上の線: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y および x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y 。

次に、指定されたラインの方向ベクトルはそれぞれ a x、a y および b x、b y となり、並列条件を次のように記述します。

a x = t b x a y = t b y

例を見てみましょう。

例1

2 つの行が与えられます: 2 x - 3 y + 1 = 0 および x 1 2 + y 5 = 1。 それらが平行であるかどうかを判断する必要があります。

解決

セグメント内の直線の方程式を一般方程式の形で書いてみましょう。

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

n a → = (2, - 3) は直線 2 x - 3 y + 1 = 0 の法線ベクトルであり、n b → = 2, 1 5 は直線 x 1 2 + y 5 の法線ベクトルであることがわかります。 = 1。

結果として得られるベクトルは同一直線上にありません。 等号が真となる tat の値は存在しません。

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

したがって、平面上の線の平行度の必要十分条件が満たされておらず、与えられた線が平行ではないことになります。

答え：指定された線は平行ではありません。

例 2

直線 y = 2 x + 1 および x 1 = y - 4 2 が与えられます。 それらは平行ですか？

解決

直線の正準方程式 x 1 = y - 4 2 を傾きのある直線の方程式に変換してみましょう。

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 ・ (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

直線 y = 2 x + 1 と y = 2 x + 4 の方程式は同じではなく (そうでなければ、直線は一致します)、直線の角度係数は等しいことがわかります。与えられた線は平行です。

別の方法で問題を解決してみましょう。 まず、指定された行が一致するかどうかを確認してみましょう。 直線 y = 2 x + 1 上の任意の点、たとえば (0, 1) を使用します。この点の座標は直線 x 1 = y - 4 2 の方程式に対応しません。これは、直線が一致することを意味します。一致しない。

次のステップは、指定されたラインの並列条件が満たされているかどうかを判断することです。

直線 y = 2 x + 1 の法線ベクトルはベクトル n a → = (2 , - 1) で、2 番目に指定された直線の方向ベクトルは b → = (1 , 2) です。 これらのベクトルのスカラー積はゼロに等しくなります。

n a → 、 b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

したがって、ベクトルは垂直です。これは、元の線が平行であるための必要十分条件が満たされていることを示しています。 それらの。 与えられた線は平行です。

答え：これらの線は平行です。

３次元空間の直交座標系における線の平行性を証明するには、次の必要十分条件を用いる。

定理8

3 次元空間内の一致しない 2 つの線が平行であるためには、これらの線の方向ベクトルが同一直線上にあることが必要かつ十分です。

それらの。 3 次元空間内の線の方程式が与えられた場合、線が平行であるかどうかという質問に対する答えは、指定された線の方向ベクトルの座標を決定し、それらの共線性の状態をチェックすることによって見つかります。 言い換えると、a → = (a x, a y, a z) と b → = (b x, b y, b z) がそれぞれ直線 a と b の方向ベクトルである場合、それらが平行になるためには、等式が成り立つためには、このような実数 t が必要です。

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

例 3

直線 x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 および x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ が与えられます。 これらの線が平行であることを証明する必要があります。

解決

問題の条件は、空間内の 1 つの線の正準方程式と空間内の別の線のパラメトリック方程式によって与えられます。 ガイドベクトル →と b → 指定された行の座標は (1, 0, - 3) および (2, 0, - 6) です。

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 とすると、 a → = 1 2 · b → となります。

したがって、空間上の線の平行性の必要十分条件が満たされる。

答え：与えられた線の平行性が証明されます。

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対応する角度：1と5、4と8、2と6、3と7。

内横角：3と5、4と6。

外横角：1と7、2と8。

内側の片面コーナー：3と6、4と5。

外側の片面コーナー：1と8、2と7。

つまり、∠ 2 = ∠ 4 および ∠ 8 = ∠ 6 ですが、証明されているものによれば、∠ 4 = ∠ 6 です。

したがって、∠ 2 =∠ 8 となります。

3. 対応する角度∠ 2 = ∠ 4、および ∠ 4 = ∠ 6 であるため、2 と 6 は同じです。また、他の対応する角度が等しいことも確認しましょう。

4. 和 内側の片面コーナー 3 と 6 は合計が 2 次元になるため、 隣接する角 3 と 4 は 2d = 180 0 に等しく、∠ 4 は同じ ∠ 6 に置き換えることができます。また、次のことも確認します。 角度の合計 4 と 5 は 2d に相当します。

5. 和 外側の片面コーナーこれらの角度はそれぞれ等しいため、2次元になります 内側の片面コーナー角のような 垂直.

上記の証明された正当性から得られるのは、 逆の定理。

2 つの線と任意の 3 番目の線の交点で次のことが得られます。

1. 横方向の内角は同じです。

または2。横方向の外角は同一です。

または3。対応する角度は等しい。

または4。内片角の合計は 2d = 180 0 です。

または5。外部の片側の合計は 2d = 180 0 です。 ,

この場合、最初の 2 つの線は平行になります。