整数の余りによる除算、ルール、例。 余りのある除算

数が割り切れる兆候- これらは、割ることなく、この数値が指定された数値で余りなしで割り切れるかどうかを比較的迅速に調べることを可能にするルールです。
いくつかの 割り切れる兆し非常に簡単ですが、少し難しいものもあります。 このページでは、2、3、5、7、11 などの素数の割り切れる記号と、6 や 12 などの合成数の割り切れる記号の両方を見つけることができます。
この情報がお役に立てば幸いです。
楽しく学習しましょう！

2 で割り切れる符号

これは、割り切れる可能性を示す最も単純な兆候の 1 つです。 このように聞こえます。自然数のレコードが偶数桁で終わる場合、その数は偶数 (剰余なしで 2 で割った値) であり、数値のレコードが奇数桁で終わる場合、その数は奇数です。
つまり、数値の最後の桁が 2 , 4 , 6 , 8 また 0 - 数値が 2 で割り切れる場合、そうでない場合は割り切れません。
たとえば、数字: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 偶数なので2で割り切れます。
数字:23 5 , 137 , 2303
奇数なので2で割り切れません。

3 で割り切れる符号

この割り算の記号にはまったく異なる規則があります。数値の桁の合計が 3 で割り切れる場合、その数値も 3 で割り切れます。 数値の桁の合計が 3 で割り切れない場合、その数値は 3 で割り切れません。
したがって、ある数値が 3 で割り切れるかどうかを理解するには、それを構成する数値を足し合わせるだけで済みます。
次のようになります。最初のケースでは 3+9+8+7= であるため、3987 と 141 は 3 で割られます。 27 (27:3=9 - 余りなしで 3 で割り切れます)、2 番目の 1+4+1= 6 (6:3=2 - 剰余なしで 3 でも割り切れます)。
しかし、2+3+5= であるため、235 と 566 という数字は 3 で割り切れません。 10 そして5+6+6= 17 (そして、10 も 17 も余りを残さずに 3 で割ることはできないことがわかっています)。

4 符号による割り算

この可算性のテストはさらに複雑になります。 数値の最後の 2 桁が 4 で割り切れる数値、または 00 の場合、その数値は 4 で割り切れます。そうでない場合、この数値は余りがなければ 4 で割り切れません。
例: 1 00 そして3 64 最初のケースでは数値が で終わるため、 は 4 で割り切れます。 00 、そして2番目では 64 、剰余なしで 4 で割り切れます (64:4=16)。
ナンバーズ 3 57 そして8 86 どちらも4で割り切れないので、 57 ない 86 は 4 で割り切れないため、この割り切り基準には対応しません。

5 で割り切れる符号

そして、繰り返しますが、かなり単純な割り算の記号があります。自然数のレコードが数字 0 または 5 で終わる場合、この数字は余りなしで 5 で割り切れます。数字のレコードが別の数字で終わる場合は、この場合、余りのない数値は 5 で割り切れません。
これは、数字で終わる数字はすべて、 0 と 5 、たとえば 1235 5 そして43 0 、ルールに該当し、5 で割り切れます。
そして、たとえば 1549 年 3 そして56 4 5 または 0 で終わることはできません。つまり、剰余なしで 5 で割り切れないことを意味します。

6 で割り切れる符号

私たちの前には合成数 6 があり、これは数値 2 と 3 の積です。したがって、6 で割り切れる符号も合成です。数値が 6 で割り切れるためには、その数値が 2 つの割り算符号に対応している必要があります。同時に、2 で割り切れる符号と 3 で割り切れる符号も同時に存在します。同時に、4 のような合成数は、それ自体が数 2 の積であるため、個別に割り切れる符号を持っていることに注意してください。 。 6 で割り切れるかどうかのテストに戻ります。
数字 138 と 474 は偶数で、3 で割り切れる符号 (1+3+8=12、12:3=4 および 4+7+4=15、15:3=5) に対応します。つまり、ただし、123 と 447 は、3 (1+2+3=6、6:3=2 および 4+4+7=15、15:3=5) で割り切れますが、奇数です。したがって、2 で割り切れる基準に対応せず、したがって 6 で割り切れる基準にも対応しません。

7 で割り切れる符号

この割り算の基準はより複雑です。ある数字の 10 の位から最後の 2 倍の数字を引いた結果が 7 で割り切れるか、0 に等しい場合、その数字は 7 で割り切れます。
かなり複雑に聞こえますが、実際には簡単です。 自分の目で確認してください: 番号 95 9は7で割り切れるので、 95 -2*9=95-18=77、77:7=11 (77 は余りなしで 7 で割り切れます)。 また、変換中に得られた数値が難しい場合（サイズが大きいため、7で割り切れるかどうかがわかりにくい場合）、この手順を何度でも続けてかまいません。
例えば、 45 5と 4580 1 には 7 で割り切れる兆候があります。最初のケースでは、すべてが非常に単純です。 45 -2*5=45-10=35、35:7=5。 2 番目のケースでは、これを実行します。 4580 -2*1=4580-2=4578。 かどうかを理解するのは困難です 457 8 x 7 なので、このプロセスを繰り返しましょう。 457 -2*8=457-16=441。 まだ 3 桁の数字が目の前にあるので、もう一度割り算の符号を使用します。 44 1. それで、 44 -2*1=44-2=42、42:7=6、つまり 42 は余りなしで 7 で割り切れます。つまり、45801 も 7 で割り切れます。
そしてここに数字があります 11 1と 34 5 は 7 で割り切れないので、 11 -2*1=11-2=9 (9 は 7 で割り切れません)、および 34 -2*5=34-10=24 (24 は 7 で割り切れません)。

8 で割り切れる符号

8 で割り切れる記号は次のようになります。最後の 3 桁が 8 で割り切れる数値、または 000 の場合、指定された数値は 8 で割り切れます。
ナンバーズ 1 000 または1 088 は 8 で割り切れます。最初の値は で終わります。 000 、 二番目 88 :8=11 (剰余なしで 8 で割り切れます)。
そしてここに数字1があります 100 または4 757 数値は 8 で割り切れないので、 100 と 757 余りを持たずに 8 で割り切れません。

9 で割り切れる符号

この割り切れる符号は、3 で割り切れる符号と似ています。つまり、数値の桁の合計が 9 で割り切れる場合、その数値も 9 で割り切れます。 数値の桁の合計が 9 で割り切れない場合、その数値は 9 で割り切れません。
例: 3987 と 144 は、最初のケースでは 3+9+8+7= であるため、9 で割り切れます。 27 (27:9=3 - 余りなしで 9 で割り切れます)、2 番目の 1+4+4= 9 (9:9=1 - 剰余なしで 9 で割り切ることもできます)。
しかし、2+3+5= であるため、235 と 141 という数字は 9 で割り切れません。 10 そして1+4+1= 6 (そして、10 も 6 も余りを残さずに 9 で割ることはできないことがわかっています)。

10、100、1000、およびその他のビット単位による割り算の記号

これらの割り算基準を組み合わせたのは、同じように記述できるためです。数値の末尾のゼロの数が、指定されたビット単位のゼロの数以上である場合、数値はビット単位で割り切れます。
つまり、たとえば次のような数字があります: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 。 どれも 1 で割り切れます 0 ; 46400 そして867 000 も 1 で割り切れます 00 ; そしてそのうちの1つだけ - 867 000 1で割り切れる 000 .
ビット単位未満のゼロで終わる数値は、そのビット単位で割り切れません (600 など)。 30 そして7 93 共有しないでください1 00 .

11 で割り切れる符号

数値が 11 で割り切れるかどうかを調べるには、この数値の偶数桁と奇数桁の合計の差を取得する必要があります。 この差が 0 に等しいか、余りなしで 11 で割り切れる場合、数値自体は余りなしで 11 で割り切れます。
より明確にするために、例を検討することを提案します。 2 35 4 は 11 で割り切れます。なぜなら ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 は 11 でも割り切れます。なぜなら ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
そしてこちらが1です 1 1 または 4 35 最初のケースでは (1 + 1) - が得られるため、4 は 11 で割り切れません。 1 =1、そして 2 番目の ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 で割り切れる符号

12 という数字は合成です。 その割り切れる符号は、同時に 3 で割り切れる符号と 4 で割り切れる符号に対応します。
たとえば、300 と 636 は、4 で割り切れる符号 (最後の 2 桁が 0 または 4 で割り切れる) と 3 で割り切れる符号 (数字と最初と 2 番目の数値の合計を 3 で割る) の両方に対応します。 )、したがって、剰余なしで 12 で割り切れます。
しかし、200 や 630 は 12 で割り切れません。前者の場合、その数は 4 で割り切れる符号にのみ対応し、後者の場合、数字は 3 で割り切れる符号にのみ対応するからです。ただし、両方の符号が同時に一致するわけではありません。

13 で割り切れる符号

13 で割り切れるという記号は、この数字の単位に 4 を掛けた数字の 10 の位の数が 13 の倍数または 0 に等しい場合、その数字自体が 13 で割り切れることを意味します。
たとえば 70 2. それで 70 +4*2=78、78:13=6 (78 は 13 で割り切れます) 70 2 は余りなしで 13 で割り切れます。 別の例としては、次のような数字があります。 114 4. 114 +4*4=130、130:13=10。 数値 130 は余りなしで 13 で割り切れます。これは、指定された数値が 13 で割り切れる符号に対応することを意味します。
数字を取ってみると 12 5または 21 2、すると、 12 +4*5=32 および 21 それぞれ +4*2=29 であり、32 も 29 も余りがなければ 13 で割り切れません。これは、指定された数値が余りがなければ 13 で割り切れないことを意味します。

数の割り算

上記からわかるように、任意の自然数は、その数が複数の異なる数の倍数である場合、それ自体の割り算の符号または「合成」符号と一致すると想定できます。 しかし、実践が示すように、基本的に数値が大きくなるほど、その機能はより複雑になります。 おそらく、割り算基準のチェックに費やされる時間は、割り算自体と同じかそれ以上になる可能性があります。 そのため、通常は最も単純な割り算基準を使用します。

簡単な例を考えてみましょう。
15:5=3
この例では、自然数 15 を割りました。 完全に 3、残りはありません。

自然数は完全に割り切れない場合があります。 たとえば、次の問題を考えてみましょう。
クローゼットにはおもちゃが16個ありました。 そのグループには5人の子供たちがいた。 各子供たちは同じ数のおもちゃを受け取りました。 それぞれの子供はおもちゃを何個持っていますか?

解決：
数値 16 を列で 5 で割ると、次のようになります。

16 × 5 は割り切れないことはわかっています。 5 で割り切れる最も近い小さい数は、15 余り 1 です。 数字の 15 は 5⋅3 と書くことができます。 結果は (16 - 被除数、5 - 除数、3 - 部分商、1 - 剰余)。 得た 方式 余りによる除算何ができるか ソリューションの検証.

ある= b⋅ c+ d
ある - 分割可能
b - ディバイダー、
c - 不完全商、
d - 残り。

答え: 子どもたちはそれぞれ 3 つのおもちゃを持ち、残り 1 つのおもちゃを持ちます。

除算の残り

剰余は常に除数より小さくなければなりません。

除算したときに余りがゼロであれば、被除数は割り切れます。 完全にまたは、約数ごとに余りがありません。

除算の際、余りが除数より大きい場合は、見つかった数値が最大ではないことを意味します。 配当を除算する数値の方が大きく、余りは除数よりも小さくなります。

トピック「余りのある割り算」に関する質問:
余りが除数より大きくなることはありますか?
答え: いいえ。

余りは約数と等しくなりますか?
答え: いいえ。

不完全な商、除数、余りから被除数を求めるにはどうすればよいですか?
答え: 不完全な商、除数、余りの値を式に代入し、被除数を求めます。 方式：
a=b⋅c+d

例 #1:
剰余による除算を実行し、以下を確認します: a) 258:7 b) 1873:8

解決：
a) 列内で分割します。

258 - 割り切れる、
7 - ディバイダー、
36 - 不完全商、
6 - 残り。 約6より小さい余り<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) 列内で分割します。

1873年 - 分割可能、
8 - ディバイダー、
234 - 不完全商、
1は余りです。 除数 1 未満の余り<8.

式に代入して、例が正しく解けたかどうかを確認してください。
8⋅234+1=1872+1=1873

例2:
自然数を割ったときの余りは何ですか: a) 3 b) 8?

答え：
a) 剰余は除数より小さいため、3 未満です。この場合、剰余は 0、1、または 2 になります。
b) 剰余は除数より小さいため、8 未満です。この場合、剰余は 0、1、2、3、4、5、6、または 7 になります。

例 #3:
自然数を割ったときに得られる最大の余りは何ですか: a) 9 b) 15?

答え：
a) 余りは約数より小さいので、9 未満です。しかし、最大の余りを示す必要があります。 つまり、約数に最も近い数値です。 この数字は 8 です。
b) 剰余は約数より小さいため、15 未満です。ただし、最大の剰余を示す必要があります。 つまり、約数に最も近い数値です。 この数は 14 です。

例 #4:
配当を求めます: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

解決：
a) 次の式を使用して解きます。
a=b⋅c+d
(a は被除数、b は除数、c は部分商、d は余りです。)
a:6=3(残り4)
(a は被除数、6 は除数、3 は不完全商、4 は余りです。) 次の式に数字を代入します。
a=6⋅3+4=22
答え: a=22

b) 次の式を使用して解きます。
a=b⋅c+d
(a は被除数、b は除数、c は部分商、d は余りです。)
s:24=4(残り11)
(c は被除数、24 は除数、4 は部分商、11 は余りです。) 次の式に数字を代入します。
c=24⋅4+11=107
答え: s=107

タスク：

ワイヤー4m。 13cm幅に切る必要があります。 この部分は何個あるでしょうか？

解決：
まず、メートルをセンチメートルに変換する必要があります。
4メートル=400センチメートル。
列で割ることも、頭の中で次のように分割することもできます。
400:13=30(残り10)
確認しよう：
13⋅30+10=390+10=400

答え: 30 個が出来上がり、ワイヤーは 10 cm 残ります。

この記事では、整数の余りによる除算の概念を分析します。 整数の割り切れる余りに関する定理を証明し、割り切れる数と約数、不完全商と余りの間の関係を見ていきます。 例を使って詳しく調べて、整数の余りのある除算を実行するときの規則を考えてみましょう。 ソリューションの最後にチェックを実行します。

整数の余りによる除算についての一般的な理解

整数の余りのある除算は、自然数の余りのある一般化された除算と見なされます。 これは、自然数が整数の構成要素であるために行われます。

任意の数の余りによる除算は、整数 a がゼロとは異なる数 b で割り切れることを示します。 b = 0 の場合、剰余による除算は実行されません。

余りのある自然数の除算と同様に、整数 a と b の除算も、b はゼロとは異なりますが、c と d で実行されます。 この場合、a と b は被除数と除数と呼ばれ、d は除算の余り、c は整数または部分商です。

剰余が非負の整数であると仮定すると、その値は数値 b の法を超えません。 このように書きましょう: 0 ≤ d ≤ b 。 この一連の不等式は、3 つ以上の数値を比較するときに使用されます。

c が不完全商の場合、d は整数 a を b で割った余りです。a: b \u003d c (残り d) と簡単に修正できます。

数値 a を b で割ったときの余りが 0 になる可能性があり、その場合、a は完全に b で割られる、つまり、余りがないと言われます。 剰余のない除算は、除算の特殊なケースとみなされます。

ゼロをある数値で割ると、結果としてゼロが得られます。 割り算の余りもゼロになります。 これは、ゼロを整数で除算する理論からわかります。

ここで、整数の余りによる除算の意味を考えてみましょう。

正の整数は自然であることが知られており、剰余で割った場合、自然数を剰余で割った場合と同じ意味が得られます。

負の整数 a を正の整数 b で割ることは理にかなっています。 例を見てみましょう。 a 額の商品の借金があり、b 人が返済する必要がある状況を想像してください。 これを行うには、全員が平等に貢献する必要があります。 それぞれの負債額を決定するには、プライベート c の値に注目する必要があります。 余り d は、借金を返済した後の項目の数がわかっていることを示します。

リンゴの例を見てみましょう。 2人でリンゴが7個必要な場合。 全員が 4 個のリンゴを返さなければならないと計算すると、完全に計算した後は 1 個のリンゴが残ります。 これを等式として書きましょう: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) 。

任意の数値 a を整数で割ることは意味がありませんが、オプションとして可能です。

剰余のある整数の割り算定理

a が被除数、b が除数、c が部分商、d が剰余であることがわかりました。 それらは相互に接続されています。 この関係を等式 a = b · c + d を使用して示します。 それらの間の関係は、剰余を伴う可分性定理によって特徴付けられます。

定理

任意の整数は、次のように整数と非ゼロ数 b でのみ表現できます: a = b · q + r (q と r は整数)。 ここで、 0 ≤ r ≤ b です。

a = b · q + r が存在する可能性を証明しましょう。

証拠

2 つの数 a と b があり、a が余りなしで b で割り切れる場合、定義から数 q が存在し、等式 a = b · q が成り立ちます。 この場合、等式は真であると考えることができます。つまり、r = 0 の場合、a = b q + r となります。

次に、不等式 b · q で与えられるような q を取る必要があります。< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

式 a − b · q の値はゼロより大きく、数値 b の値以下であるため、 r = a − b · q となります。 数値 a は a = b · q + r として表すことができることがわかります。

ここで、 b の負の値に対して a = b · q + r を表す可能性を考慮する必要があります。

数値の係数が正であることが判明すると、a = b q 1 + r が得られます。ここで、値 q 1 は整数、r は条件 0 ≤ r を満たす整数です。< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

一意性の証明

a = b q + r 、q および r が 0 ≤ r の条件を持つ整数であると仮定します。< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q1と r1はいくつかの数字です q 1 ≠ q、0 ≤ r1< b .

左辺と右辺から不等式を引くと、 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 が得られます。これは、 r - r 1 = b · q 1 - q と同等です。 モジュールが使用されているため、r - r 1 = b · q 1 - q という等式が得られます。

与えられた条件は 0 ≤ r を示します< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qと q1- 全体、そして q ≠ q 1の場合、q 1 - q ≥ 1 となります。 したがって、 b · q 1 - q ≥ b が得られます。 結果として得られる不等式 r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

このことから、数値 a は、a = b · q + r という表記以外の他の方法では表現できないことがわかります。

被除数、除数、部分商、剰余の関係

等式 a \u003d b c + d を使用すると、不完全商 c と剰余 d で除数 b がわかっている場合に、未知の被除数 a を見つけることができます。

例1

除算したときに - 21、不完全な商 5、余り 12 が得られる場合の被除数を決定します。

解決

既知の約数 b = − 21、不完全商 c = 5、および剰余 d = 12 を使用して被除数 a を計算する必要があります。 a = b c + d という等式を参照する必要があり、ここから a = (− 21) 5 + 12 が得られます。 演算の順序に従い、- 21 に 5 を掛けます。その後、(- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 が得られます。

答え： - 93 .

除数と部分商および余りの関係は、 b = (a − d) : c 、 c = (a − d) : b および d = a − b · c という等式を使用して表すことができます。 彼らの助けを借りて、約数、部分商、余りを計算できます。 これは要するに、既知の被除数、除数、部分商を使用して整数 a を b で割った余りを常に求めることになります。 d = a − b · c という式が適用されます。 解決策を詳しく考えてみましょう。

例 2

整数 -19 を整数 3 で割った余りを、既知の不完全商 -7 で求めます。

解決

除算の余りを計算するには、 d = a − b c の形式の式を適用します。 条件により、a = − 19 、 b = 3 、 c = − 7 のすべてのデータが利用可能です。 ここから、d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (差 - 19 - (- 21)... を取得します。この例は、減算ルールの整数負数によって計算されます。

答え： 2 .

すべての正の整数は自然なものです。 したがって、除算は自然数の余りを使った除算のすべての規則に従って実行されることになります。 自然数の余りによる割り算の速度は、正の割り算だけでなく、任意の整数の割り算の規則にも基づいているため、重要です。

最も便利な除算方法は列による除算です。これは、不完全な、または剰余のある商だけを取得する方が簡単かつ迅速であるためです。 解決策をさらに詳しく考えてみましょう。

例 3

14671 を 54 で割ります。

解決

この分割は列内で行う必要があります。

つまり、不完全商は 271 に等しく、余りは 37 です。

答え： 14671: 54 = 271。 (残り37)

正の整数の余りを負の整数で割る規則、例

正の数の余りを負の整数で割るには、ルールを立てる必要があります。

定義 1

正の整数 a を負の整数 b で割る不完全商は、数値 a のモジュールを b で割る不完全商の反対の数を与えます。 この場合、余りは a を b で割ったときの余りになります。

したがって、正の整数を負の整数で割った不完全商は非正の整数とみなされます。

アルゴリズムを取得します。

• 被除数の係数を除数の係数で割ると、不完全な商が得られ、
• 残り。
• 反対の数字を書き留めます。

正の整数を負の整数で除算するアルゴリズムの例を考えてみましょう。

例 4

17 x -5 の余りを使って除算を実行します。

解決

正の整数を負の整数で割った余りに除算アルゴリズムを適用してみましょう。 17 を -5 を法として除算する必要があります。 ここから、不完全商は 3、余りは 2 であることがわかります。

17 を - 5 \u003d - 3 で割って余りを 2 にすると、目的の数値が得られます。

答え： 17: (− 5) = − 3 (残り 2)。

例5

45 を -15 で割ります。

解決

数値を剰余で割る必要があります。 数値 45 を 15 で割ると、余りのない商 3 が得られます。 したがって、数値 45 は余りなしで 15 で割り切れます。 除算がモジュロで実行されたため、答えは - 3 になります。

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

答え： 45: (− 15) = − 3 .

剰余を伴う除算規則の定式化は次のとおりです。

定義 2

負の整数 a を正の b で割るときに不完全な商 c を求めるには、この数値の逆を適用してそこから 1 を引く必要があります。その後、剰余 d は次の式で計算されます。 d = a − b・ｃ．

ルールに基づいて、除算すると負ではない整数が得られると結論付けることができます。 解の精度を高めるために、a を b で割った余りを求めるアルゴリズムが使用されます。

• 被除数と除数のモジュールを見つけます。
• 除算モジュロ。
• 指定された数値の逆を書き込み、1 を減算します。
• 剰余 d = a − b c の式を使用します。

このアルゴリズムが適用されるソリューションの例を考えてみましょう。

例6

不完全な商と割り算の余り (17 × 5) を求めます。

解決

与えられた数値を剰余で割ります。 割ると商は 3、余りは 2 になることがわかります。 3 を得たので、その反対は 3 です。 1 を引く必要があります。

− 3 − 1 = − 4 .

望ましい値は -4 です。

剰余を計算するには、 a = − 17 、 b = 5 、 c = − 4 が必要で、その後、 d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = ３．

これは、割り算の不完全商が数値 - 4 で、余りが 3 であることを意味します。

答え：(− 17) : 5 = − 4 (残り 3)。

例 7

負の整数 - 1404 を正の 26 で割ります。

解決

列と係数で割る必要があります。

余りのない数値のモジュールの割り算が得られました。 これは、剰余なしで除算が実行され、必要な商 = - 54 になることを意味します。

答え： (− 1 404) : 26 = − 54 .

負の整数の余りによる除算ルール、例

負の整数の余りを使って除算ルールを定式化する必要があります。

定義 3

負の整数 a を負の整数 b で割って不完全商を求めるには、モジュロ計算を実行し、その後 1 を加算する必要があります。その後、式 d = a − b · c を使用して計算できます。

このことから、負の整数の除算の不完全商は正の数になることがわかります。

このルールをアルゴリズムの形式で定式化します。

• 被除数と除数のモジュールを見つけます。
• 被除数の係数を除数の係数で割って、不完全商を求めます。
• 残り。
• 不完全商に 1 を加算します。
• 式 d = a − b c に基づいて剰余を計算します。

このアルゴリズムを例を挙げて考えてみましょう。

例8

-17 を -5 で割ったときの部分商と余りを求めます。

解決

解を正確にするために、剰余による除算のアルゴリズムを適用します。 まず、数値を剰余で割ります。 ここから、不完全商\u003d 3、余りは2であることがわかります。 ルールによれば、不完全商と 1 を加算する必要があります。 3 + 1 = 4 が得られます。 ここから、指定された数値を割った不完全商は 4 であることがわかります。

余りを計算するには、式を適用します。 条件により、a \u003d - 17、b \u003d - 5、c \u003d 4があり、式を使用すると、d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - が得られます。 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 。 望ましい答え、つまり余りは 3 で、不完全な商は 4 です。

答え：(− 17) : (− 5) = 4 (残り 3)。

整数を剰余で除算した結果を確認する

数値の剰余による除算を実行した後、チェックを実行する必要があります。 このチェックには 2 つの段階があります。 まず、剰余 d が非負であるかどうか、条件 0 ≤ d がチェックされます。< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

例を見てみましょう。

例9

生産された部門 - 521 by - 12。 商は44、余りは7です。 チェックを実行します。

解決

剰余は正の数であるため、その値は除数の係数より小さくなります。 除数は -12 なので、係数は 12 です。 次のチェックポイントに進むことができます。

条件によれば、 a = - 521 、 b = - 12 、 c = 44 、 d = 7 となります。 ここから b c + d を計算します。ここで、 b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 となります。 したがって、等価性が真であることがわかります。 チェックは合格しました。

例 10

除算（−17）：5＝−3（残り−2）を確認します。 平等って本当ですか？

解決

最初の段階の意味は、整数の余りによる割り算をチェックする必要があるということです。 これは、剰余が - 2 に等しいため、アクションが正しく実行されなかったことを示しています。 余りは負の数ではありません。

2 番目の条件は満たされていますが、この場合には不十分です。

答え：いいえ。

例 11

-19 を -3 で割った数値。 部分商は 7 で、余りは 1 です。 この計算が正しいかどうかを確認してください。

解決

1 の余りが与えられます。 彼はポジティブだ。 値は除算モジュールより小さいので、最初のステージが実行されたことを意味します。 第二段階に進みましょう。

式 b · c + d の値を計算してみましょう。 条件により、b \u003d - 3、c \u003d 7、d \u003d 1があるため、数値を代入すると、 b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - が得られます。 20. 条件が a = - 19 であるため、 a = b · c + d の等式は満たされないことになります。

これは、除算がエラーで行われたことを意味します。

答え：いいえ。

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この記事では、 余りのある整数の除算。 整数を余りで割るという一般原理から始めて、余りで整数の割り切れる定理を定式化して証明し、被除数、約数、部分商、余りの関係をたどってみましょう。 次に、整数の余りによる除算を行う規則を発表し、例題を解く際のこれらの規則の適用を検討します。 その後、整数を余りで割った結果を確認する方法を学びます。

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整数の余りによる除算の一般的な考え方

整数の余りのある割り算を、自然数の余りのある割り算の一般化として考えます。 これは、自然数が整数の構成要素であるという事実によるものです。

まず、説明で使用される用語と表記法について説明します。

自然数の余りによる除算と同様に、2 つの整数 a と b (b はゼロではありません) の余りによる除算の結果は 2 つの整数 c と d であると仮定します。 数字aとbは呼ばれます 割り切れると ディバイダーそれぞれ、数値 d は 残り a を b で割ることにより、整数 c が呼び出されます。 不完全なプライベート(または単に プライベート余りがゼロの場合）。

剰余は非負の整数であり、その値は b を超えないことに同意しましょう (3 つ以上の整数の比較について話したときに、同様の不等式の連鎖に遭遇しました)。

数値 c が部分商で、数値 d が整数 a を整数 b で割った余りである場合、この事実を a:b=c (remain d) という形式の等式として簡単に記述します。

整数 a を整数 b で割ったときの余りはゼロになる可能性があることに注意してください。 この場合、a は b で割り切れると言います。 跡形もなく（また 完全に）。 したがって、剰余なしの整数の除算は、剰余ありの整数の除算の特殊なケースです。

また、ゼロを整数で割るときは、商がゼロに等しいため、常に剰余なしの除算を扱うことにも注意してください (整数によるゼロの除算の理論のセクションを参照)。残りもゼロになります。

用語と表記法が決まりました。次は、整数を余りで割る意味を考えてみましょう。

負の整数 a を正の整数 b で割ることも意味があります。 これを行うには、負の整数を負債とみなします。 そんな状況を想像してみましょう。 物品を構成する借金は、b 人が同じ貢献をして返済しなければなりません。 この場合の不完全商 c の絶対値によって各人の借金の額が決まり、余り d は借金を返済した後に残る品物の数を示します。 例を挙げてみましょう。 2 人が 7 個のリンゴを借りているとします。 それぞれが 4 個のリンゴを借りていると仮定すると、借金を支払った後は 1 個のリンゴが残ります。 この状況は、等式 (-7):2=-4 (残り 1) に対応します。

任意の整数 a の余りを負の整数で割った場合には、何の意味も付けず、存在する権利を残しておきます。

剰余のある整数の割り算定理

自然数を余りで割ることについて話したとき、被除数 a、約数 b、部分商 c、余り d は、a=b c+d という等式の関係があることがわかりました。 整数 a 、 b 、 c および d は同じ関係を共有します。 この接続は次のように確認されます。 剰余のある可分性定理.

定理。

任意の整数 a は、整数とゼロ以外の数値 b を使用して、 a=b q+r という形式で一意の方法で表すことができます。ここで、q と r は整数であり、 です。

証拠。

まず、 a=b・q+r を表す可能性を証明しましょう。

整数 a と b が a が b で均等に割り切れるような場合、定義により、 a=b q となるような整数 q が存在します。 この場合、 r=0 に対して等式 a=b q+r が成り立ちます。

ここで、b が正の整数であると仮定します。 積 b・q が数値 a を超えず、積 b・(q+1) がすでに a より大きくなるように、整数 q を選択します。 つまり、不等式 b q が成り立つように q をとります。

負の b に対して a=b q+r を表す可能性を証明することはまだ残っています。

この場合の数 b の法は正の数であるため、 の表現が存在します。ここで、q 1 は整数、r は条件 を満たす整数です。 次に、q=−q 1 と仮定すると、負の b に対して必要な表現 a=b q+r が得られます。

一意性の証明に移ります。

a=b q+r、q および r は整数 および という表現に加えて、別の表現 a=b q 1 +r 1 があるとします。ここで、q 1 および r 1 は整数であり、q 1 ≠ q および です。

最初の等式の左側と右側の部分から、それぞれ 2 番目の等式の左側と右側の部分を減算すると、 0=b (q−q 1)+r−r 1 が得られます。これは、等式 r− と等価です。 r 1 =b (q 1 − q) 。 次に、形式の等価性 、そして数値の係数の特性と等式のため .

条件から、次のように結論付けることができます。 q と q 1 は整数であり、q≠q 1 であるため、次のように結論付けられます。 。 得られた不等式から、 したがって、形式が等しいことがわかります。 私たちの想定では不可能です。 したがって、 a=b・q+r を除いて、数値 a の他の表現はありません。

被除数、除数、部分商、剰余の関係

等式 a=b c+d により、除数 b、部分商 c、および剰余 d が既知であれば、未知の被除数 a を求めることができます。 例を考えてみましょう。

例。

整数 -21 で除算すると、不完全な商が 5 になり、余りが 12 になる場合、被除数は何と等しくなりますか?

解決。

除数 b=−21 、部分商 c=5 、および剰余 d=12 がわかっている場合、被除数 a を計算する必要があります。 等式 a=b c+d に目を向けると、 a=(−21) 5+12 が得られます。 観察すると、まず、符号の異なる整数の乗算規則に従って整数 −21 と 5 の乗算を実行し、その後、符号の異なる整数の加算を実行します: (−21) 5+12=−105+12 =−93 。

答え：

−93 .

被除数、除数、部分商および剰余の間の関係は、 b=(a−d):c 、 c=(a−d):b および d=a−b・c の形式の等式によっても表されます。 これらの等式により、それぞれ、除数、部分商、および剰余を計算できます。 被除数、除数、部分商がわかっている場合、式 d=a−b・c を使用して、整数 a を整数 b で割った余りを求めることがよくあります。 さらなる質問を避けるために、剰余を計算する例を分析します。

例。

部分商が -7 であることがわかっている場合、整数 -19 を整数 3 で割った余りを求めます。

解決。

除算の余りを計算するには、 d=a−b・c の形式の式を使用します。 この条件から、必要なデータはすべて a=−19 、 b=3 、 c=−7 となります。 d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (負の値を引く規則によって計算した差−19−(−21) が得られます)整数)。

答え：

正の整数の余りによる除算、例

すでに何度も述べたように、正の整数は自然数です。 したがって、正の整数の余りによる除算は、自然数の余りによる除算のすべての規則に従って実行されます。 自然数の余りを使った割り算を簡単に実行できることは、正の整数の割り算だけでなく、任意の整数の余りを使ったすべての割り算ルールの基礎となるものであるため、非常に重要です。

私たちの観点からは、列による除算を実行するのが最も便利です。この方法を使用すると、不完全な商 (または単なる商) と剰余の両方を取得できます。 正の整数の余りによる除算の例を考えてみましょう。

例。

14671 × 54 の余りを求める除算を実行します。

解決。

これらの正の整数を列で割ってみましょう。

不完全商は 271 となり、余りは 37 になります。

答え：

14 671:54=271 (残り 37) 。

正の整数の余りを負の整数で割る規則、例

正の整数の余りを負の整数で除算できるルールを定式化してみましょう。

正の整数 a を負の整数 b で割った部分商は、a を b の法で割った部分商の逆であり、a を b で割った余りは で割った余りです。

この規則から、正の整数を負の整数で割った不完全商は非正の整数であることがわかります。

有声ルールを正の整数の余りを負の整数で割るアルゴリズムに作り直してみましょう。

• 被除数の係数を除数の係数で割ると、不完全商と余りが得られます。 (この場合、剰余がゼロに等しいことが判明した場合、元の数値は剰余なしで除算され、逆の符号で整数を除算する規則に従って、目的の商は、その商の反対の数に等しくなります。モジュールを分割します。)
• 受け取った不完全な商の反対の数と余りを書き留めます。 これらの数値はそれぞれ、目的の商と、元の正の整数を負の整数で割った余りです。

正の整数を負の整数で除算するアルゴリズムの使用例を示します。

例。

正の整数 17 の余りを負の整数 -5 で割ります。

解決。

正の整数を負の整数で割る除算アルゴリズムを使用してみましょう。

分割する

3 の反対の数は -3 です。 したがって、17 を -5 で割った必要な部分商は -3 となり、余りは 2 になります。

答え：

17 :(−5)=−3 (残り2).

例。

分ける 45 x -15 。

解決。

被除数と除数のモジュールはそれぞれ 45 と 15 です。 数値 45 は余りなしで 15 で割り切れますが、商は 3 です。 したがって、正の整数 45 は余らない負の整数 -15 で割り切れますが、その商は 3 の反対の数、つまり -3 に等しくなります。 実際、符号の異なる整数の除算の法則によれば、 となります。

答え：

45:(−15)=−3 .

負の整数の余りを正の整数で除算する例

負の整数の余りを正の整数で除算する規則を定式化してみましょう。

負の整数 a を正の整数 b で割って不完全商 c を求めるには、元の数値のモジュールを割って不完全商の反対の数を取り、そこから 1 を引いた後、余り d を計算する必要があります。式 d=a−b c を使用します。

この剰余による除算の規則から、負の整数を正の整数で割った不完全商は負の整数であることがわかります。

有声ルールから、負の整数 a を正の整数 b で割る除算アルゴリズムに従います。

• 被除数と除数のモジュールを見つけます。
• 被除数の係数を除数の係数で割ると、不完全商と余りが得られます。 (剰余がゼロの場合、元の整数は剰余なしで割り切れ、必要な商はモジュールを除算した商の反対の数に等しくなります。)
• 受け取った不完全な商の反対の数字を書き留め、そこから数字 1 を引きます。 計算された数値は、元の負の整数を正の整数で割った希望の部分商 c です。

剰余を伴う書式除算アルゴリズムを使用する例の解を分析してみましょう。

例。

負の整数 -17 を正の整数 5 で割った部分商と余りを求めます。

解決。

被除数 -17 の法は 17、除数 5 の法は 5 です。

分割する 17 x 5 では、不完全商 3 と余り 2 が得られます。

3 の反対は -3 です。 −3 から 1 を減算します: −3−1=−4 。 したがって、望ましい不完全商は -4 です。

残りの計算が残っています。 この例では、 a=−17 、 b=5 、 c=−4 、そして d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 となります。

したがって、負の整数 -17 を正の整数 5 で割った部分商は -4 となり、余りは 3 になります。

答え：

(−17):5=−4 (残り 3) 。

例。

負の整数 -1 404 を正の整数 26 で割ります。

解決。

被除数の係数は 1404、除数の係数は 26 です。

列内の 1404 を 26 で割ります。

被除数の絶対値は剰余なしで除数の絶対値で除算されているため、元の整数は剰余なしで除算され、求められる商は 54 の反対の数、つまり -54 に等しくなります。

答え：

(−1 404):26=−54 .

負の整数の余りによる除算ルール、例

負の整数の余りを使って除算規則を定式化してみましょう。

負の整数 a を負の整数 b で割って不完全商 c を求めるには、元の数値のモジュールを割って不完全商を計算し、それに 1 を加えた後、式 d を使用して余り d を計算する必要があります。 =a−b c 。

この規則から、負の整数の除算の不完全商は正の整数であることがわかります。

負の整数を除算するアルゴリズムの形式で有声ルールを書き直してみましょう。

• 被除数と除数のモジュールを見つけます。
• 被除数の係数を除数の係数で割ると、不完全商と余りが得られます。 (剰余が 0 の場合、元の整数は剰余なしで割り切れます。また、必要な商は、割り算の法を約数の法で割った商に等しくなります。)
• 結果として得られる不完全商に 1 を加算します。この数値は、元の負の整数を除算して求められる不完全商です。
• 式 d=a−b・c を使用して剰余を計算します。

例を解くときに、負の整数を除算するアルゴリズムの適用を検討してください。

例。

負の整数 -17 を負の整数 -5 で割った部分商と余りを求めます。

解決。

剰余を伴う適切な除算アルゴリズムを使用します。

被除数の係数は 17 、除数の係数は 5 です。

分割 17 × 5 は不完全な商 3 と余り 2 を与えます。

不完全商 3 に 1 を加えます: 3+1=4。 したがって、-17 を -5 で割った望ましい不完全商は 4 になります。

残りの計算が残っています。 この例では、 a=-17 、 b=-5 、 c=4 、そして d=a-b c=-17-(-5) 4= -17-(-20)=-17+20=3 となります。

したがって、負の整数 -17 を負の整数 -5 で割った部分商は 4 で、余りは 3 です。

答え：

(−17):(−5)=4 (残り 3) 。

整数を剰余で除算した結果を確認する

整数の剰余による除算を実行した後、結果を確認すると便利です。 検証は 2 段階で実行されます。 最初の段階では、剰余 d が負でない数であるかどうかがチェックされ、条件もチェックされます。 検証の第 1 段階の条件がすべて満たされている場合は、検証の第 2 段階に進むことができます。そうでない場合は、剰余で除算するときにどこかでエラーが発生したと主張することができます。 第 2 段階では、等式 a=b・c+d の妥当性が検査されます。 この等価性が真である場合、剰余による除算は正しく実行され、そうでない場合は、どこかでエラーが発生したことになります。

整数の余りによる除算の結果を調べる例の解法を考えてみましょう。

例。

数値 -521 を -12 で割ると、部分商は 44 になり、余りは 7 になります。結果を確認してください。

解決。 b=-3 、 c=7 、 d=1 の場合は -2 。 我々は持っています b c+d=−3 7+1=−21+1=−20。 したがって、等式 a=b c+d は正しくありません (この例では、 a=−19 )。

したがって、剰余による除算が誤って実行されました。