離散確率変数の分布が与えられた場合に、求めます。 確率変数の分布の法則

バツ; 意味 F(5); 確率変数が バツセグメントから値を取得します。 分布ポリゴンを構築します。

1. 離散確率変数の分布関数 F(x) は既知です バツ:

確率変数の分布の法則を設定する バツ表の形式で。

1. 確率変数の分布の法則が与えられる バツ:

1. ストアが全製品の品質証明書を持っている確率は 0.7 です。 同委員会は、地域内の4つの店舗で証明書の入手可能性を確認した。 流通法則を作成し、検査中に品質証明書が見つからなかった店舗の数の数学的期待値と分散を計算します。

1. 350 個の同一の箱からなるバッチ内の電球の平均点灯時間を測定するために、各箱から 1 つの電球がテスト用に採取されました。 電球の点灯時間の標準偏差が次のとおりであることがわかっている場合、選択した電球の平均点灯時間とバッチ全体の平均点灯時間の絶対値の差が 7 時間未満である確率を以下から推定します。各ボックスの長さは 9 時間未満です。

1. 電話交換機では0.002の確率で誤接続が発生します。 500 の接続の間で次のことが発生する確率を求めます。

確率変数の分布関数を求める バツ。 関数と のグラフを作成します。 確率変数の数学的期待値、分散、最頻値、中央値を計算します。 バツ.

1. 自動機械でローラーを作ります。 それらの直径は、平均値が 10 mm の正規分布する確率変数であると考えられています。 確率 0.99 で、直径が 9.7 mm ～ 10.3 mm の範囲にある場合の標準偏差はいくらですか。

サンプルA: 6 9 7 6 4 4

サンプルB: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

オプション 17。

1. 35 部品のうち、7 部品が規格外です。 ランダムに取り出した 2 つの部分が標準となる確率を求めます。

1. 3 つのサイコロが投げられます。 ドロップされた側のポイントの合計が 9 の倍数になる確率を求めます。

1. 「ADVENTURE」という言葉は、1文字ずつ書かれたカードで構成されています。 カードはシャッフルされ、戻さずに 1 枚ずつ取り出されます。 出現順に取り出した文字が単語を構成する確率を求めます。 a) ADVENTURE; b) 囚人。

1. 壺には黒玉が6個、白玉が5個入っています。 5つのボールがランダムに抽選されます。 その中に次のものがある確率を求めてください。
1. 白いボール2個。
2. 白球2個未満。
3. 少なくとも1つの黒いボール。

1. あ 1 回のテストでは 0.4 に相当します。 次の事象の確率を求めます。
1. イベント あ一連の 7 つの独立した試験で 3 回出現します。
2. イベント あ一連の 400 回の試行中に 220 回以上 235 回以下出現します。

1. 工場は5,000個の良質な製品を基地に送りました。 輸送中に各製品が損傷する確率は 0.002 です。 輸送中に破損する製品が 3 つ以下になる確率を求めます。

1. 最初の壺には白ボール 4 個と黒ボール 9 個が入っており、2 番目の壺には白ボール 7 個と黒ボール 3 個が入っています。 1 つ目の壺からは 3 つのボールが、2 つ目の壺からは 4 つのボールがランダムに引き出され、引き出されたボールがすべて同じ色の確率を求めます。

1. 確率変数の分布の法則が与えられる バツ:

その数学的な期待値と分散を計算します。

1. 箱の中に鉛筆が10本あります。 4本の鉛筆がランダムに描かれます。 ランダムな値 バツ– 選択された青鉛筆の数。 その分布の法則、2 次と 3 次の初期モーメントと中心モーメントを見つけます。

1. 技術管理部門は 475 個の製品に欠陥がないかチェックします。 製品が不良品である確率は 0.05 です。 確率 0.95 で、テストされた製品の中で欠陥製品の数が含まれる境界を求めます。

1. 電話交換機では0.003の確率で誤接続が発生します。 1000 の接続の間で次のことが発生する確率を求めます。
1. 少なくとも 4 つの間違った接続。
2. 3 つ以上の間違った接続。

1. 確率変数は分布密度関数によって指定されます。

確率変数の分布関数を求める バツ。 関数と のグラフを作成します。 確率変数 X の数学的期待値、分散、最頻値、中央値を計算します。

1. 確率変数は分布関数によって指定されます。

1. サンプル別 あ次の問題を解決します。
1. バリエーションシリーズを作成します。

· サンプル平均。

· サンプルの分散。

最頻値と中央値。

サンプルA: 0 0 2 2 1 4

1. 変動系列の数値特性を計算します。

· サンプル平均。

· サンプルの分散。

標準サンプル偏差。

· 最頻値と中央値。

サンプルB: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

オプション 18。

1. 10枚の宝くじのうち、2枚が当たりました。 ランダムに取られた 5 枚のチケットのうち 1 枚が当選する確率を求めます。

1. 3 つのサイコロが投げられます。 出たポイントの合計が 15 より大きくなる確率を求めます。

1. 「PERIMETER」という言葉はカードで構成されており、それぞれのカードには1文字が書かれています。 カードはシャッフルされ、戻さずに 1 枚ずつ取り出されます。 取り出された文字が単語を構成する確率を求めます。 a) PERIMETER。 b) メーター。

1. 壺には黒玉が5個、白玉が7個入っています。 5つのボールがランダムに抽選されます。 その中に次のものがある確率を求めてください。
1. 白いボール4個。
2. 白球2個未満。
3. 少なくとも1つの黒いボール。

1. イベントが発生する確率 あ 1 回の試行では 0.55 に相当します。 次の事象の確率を求めます。
1. イベント あ一連の 5 つのチャレンジで 3 回出現します。
2. イベント あ一連の 300 回の試行中に 130 回以上、200 回以下出現します。

1. 缶詰の缶が割れる確率は0.0005です。 2000 個の缶のうち 2 個に漏れがある確率を求めます。

1. 最初の壺には白ボール 4 個と黒ボール 8 個が入っており、2 番目の壺には白ボール 7 個と黒ボール 4 個が入っています。 最初の壺からは 2 つのボールがランダムに抽出され、2 番目の壺からは 3 つのボールがランダムに抽出されます。 描かれたボールがすべて同じ色である確率を求めます。

1. 組み立てのために到着した部品のうち、1 台目のマシンで 0.1%、2 台目で 0.2%、3 台目で 0.25%、4 台目で 0.5% に欠陥がありました。 機械の生産性比率はそれぞれ 4:3:2:1 です。 ランダムに取り出した部品は標準であることが判明しました。 部品が最初の機械で製造された確率を求めます。

1. 確率変数の分布の法則が与えられる バツ:

その数学的な期待値と分散を計算します。

1. 電気技師は 3 つの電球を持っており、それぞれの電球に 0.1 の確率で欠陥があり、電球がソケットにねじ込まれ、電流が流れます。 電流が流れると、欠陥のある電球はすぐに切れて、別の電球と交換されます。 テストされた電球の数の分布法則、数学的期待値、分散を求めます。

1. ターゲットに命中する確率は、900 回の独立したショットごとに 0.3 です。 チェビシェフの不等式を使用して、ターゲットが少なくとも 240 回、最大で 300 回命中される確率を推定します。

1. 電話交換機では0.002の確率で誤接続が発生します。 800 の接続の間で次のことが発生する確率を求めます。
1. 少なくとも 3 つの間違った接続。
2. 4 つ以上の間違った接続。

1. 確率変数は分布密度関数によって指定されます。

確率変数 X の分布関数を求めます。関数 と のグラフを描きます。 確率変数の数学的期待値、分散、最頻値、中央値を計算します。 バツ。

1. 確率変数は分布関数によって指定されます。

1. サンプル別 あ次の問題を解決します。
1. バリエーションシリーズを作成します。
2. 相対周波数と累積周波数を計算します。
3. 経験的な分布関数をコンパイルしてプロットします。
4. 変動系列の数値特性を計算します。

· サンプル平均。

· サンプルの分散。

標準サンプル偏差。

· 最頻値と中央値。

サンプルA: 4 7 6 3 3 4

1. サンプル B を使用して、次の問題を解決します。
1. グループ化されたバリエーション シリーズを作成します。
2. ヒストグラムと頻度多角形を作成します。
3. 変動系列の数値特性を計算します。

· サンプル平均。

· サンプルの分散。

標準サンプル偏差。

· 最頻値と中央値。

サンプルB: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

オプション19。

1. 現場では女性 16 名、男性 5 名が働いています。 職員番号を使用して 3 名がランダムに選択されました。 選択されたすべての人々が男性である確率を求めます。

2. 4 枚のコインを投げます。 2 つのコインだけが「紋章」を持つ確率を求めます。

3. 「心理学」という単語は複数のカードで構成されており、各カードには 1 文字が書かれています。 カードはシャッフルされ、戻さずに 1 枚ずつ取り出されます。 取り出した文字が単語を形成する確率を求めます。 a) 心理学。 b) スタッフ。

4. 骨壷には黒のボールが 6 個、白のボールが 7 個入っています。 5つのボールがランダムに抽選されます。 その中に次のものがある確率を求めてください。

ａ． 白いボール3個。

b. 白球が3個未満。

c. 少なくとも1つの白いボール。

5. 事象が発生する確率 あ 1 回の試行では 0.5 に相当します。 次の事象の確率を求めます。

ａ． イベント あ一連の 5 つの独立した試験で 3 回出現します。

b. イベント あ一連の 50 回の試行中に少なくとも 30 回、最大 40 回出現します。

6. 同じ出力のマシンが 100 台あり、同じモードで互いに独立して動作し、ドライブは 0.8 稼働時間オンになります。 ある時点で 70 ～ 86 台のマシンの電源がオンになる確率はどれくらいですか?

7. 最初の壺には白ボール 4 個と黒ボール 7 個が入っており、2 番目の壺には白ボール 8 個と黒ボール 3 個が入っています。 最初の壺からは 4 つのボールが、2 つ目の壺からは 1 つのボールがランダムに引き出されます。 引かれたボールの中に黒いボールが 4 個だけ存在する確率を求めます。

8. 自動車販売ショールームには、毎日 3 つのブランドの車が大量に入荷します。「モスクヴィッチ」 – 40%。 「大丈夫」 - 20%; 「ヴォルガ」 - 全輸入車の40％。 モスクヴィチの自動車のうち、盗難防止装置を備えているのは 0.5%、オカは 0.01%、ヴォルガは 0.1% です。 車検に出した車に盗難防止装置が付いている確率を求めます。

9. 数字と はセグメント上でランダムに選択されます。 これらの数値が不等式を満たす確率を求めます。

10. 確率変数の分布の法則が与えられる バツ:

確率変数の分布関数を求める バツ; 意味 F(2); 確率変数が バツ間隔から値を取得します。 分布ポリゴンを構築します。

知られているように、 確率変数 場合に応じて特定の値を取り得る可変量と呼ばれます。 確率変数はラテンアルファベットの大文字 (X、Y、Z) で表され、その値は対応する小文字 (x、y、z) で表されます。 確率変数は不連続 (離散) と連続に分けられます。

離散確率変数 は、特定の非ゼロ確率を持つ有限または無限 (可算) の値のセットのみを取る確率変数です。

離散確率変数の分布則 は、確率変数の値を対応する確率と結び付ける関数です。 分布則は次のいずれかの方法で指定できます。

1 . 分配法則は次の表で与えられます。

ここで、λ>0、k = 0、1、2、…。

V)を使用して 分布関数 F(x) 、各値 x について、確率変数 X が x より小さい値を取る確率を決定します。 F(x) = P(X< x).

関数 F(x) の性質

3 . 分布則をグラフィカルに指定可能 – 分布ポリゴン (ポリゴン) (問題 3 を参照)。

一部の問題を解決するために、分配法則を知る必要はないことに注意してください。 場合によっては、分布法則の最も重要な特徴を反映する 1 つまたは複数の数値を知るだけで十分な場合があります。 これは、確率変数の「平均値」を意味する数値、または確率変数の平均値からの偏差の平均サイズを示す数値です。 この種の数値は、確率変数の数値特性と呼ばれます。

離散確率変数の基本的な数値特性 :

• 数学的期待値 離散確率変数の（平均値） M(X)=Σ x i p i.
  二項分布の場合 M(X)=np、ポアソン分布の場合 M(X)=λ
• 分散 離散確率変数 D(X)=M2または D(X) = M(X 2)− 2。 差 X–M(X) は、数学的期待からの確率変数の偏差と呼ばれます。
  二項分布の場合 D(X)=npq、ポアソン分布の場合 D(X)=λ
• 標準偏差 （標準偏差） σ(X)=√D(X).

「離散確率変数の分布の法則」というテーマの問題の解決例

タスク1。

宝くじは 1000 枚発行され、5 枚に 500 ルーブル、10 枚に 100 ルーブル、20 枚に 50 ルーブル、50 枚に 10 ルーブルが当たります。 確率変数 X の確率分布の法則、つまりチケットごとの賞金を決定します。

解決。 問題の条件に応じて、確率変数 X の値は 0、10、50、100、500 が可能です。

当選しなかったチケットの数は 1000 – (5+10+20+50) = 915、P(X=0) = 915/1000 = 0.915 となります。

同様に、他のすべての確率を求めます: P(X=0) = 50/1000=0.05、P(X=50) = 20/1000=0.02、P(X=100) = 10/1000=0.01、P(X =500) = 5/1000 = 0.005。 結果として得られた法則を表の形式で示してみましょう。

値 X の数学的期待値を求めてみましょう: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

タスク3.

この装置は 3 つの独立して動作する要素で構成されています。 1 回の実験における各要素の故障確率は 0.1 です。 1 回の実験で失敗した要素の数の分布則を作成し、分布多角形を構築します。 分布関数 F(x) を見つけてプロットします。 離散確率変数の数学的な期待値、分散、標準偏差を求めます。

解決。 1. 離散確率変数 X = (1 回の実験で失敗した要素の数) には次の値が考えられます: x 1 = 0 (どのデバイス要素も失敗しなかった)、x 2 = 1 (1 つの要素が失敗した)、x 3 = 2 ( 2 つの要素が失敗しました) および x 4 =3 (3 つの要素が失敗しました)。

要素の故障は互いに独立しており、各要素の故障確率は等しいため、適用可能です。 ベルヌーイの公式 。 条件 n=3、p=0.1、q=1-p=0.9 に従って、値の確率を決定します。
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1 を確認してください。

したがって、X の望ましい二項分布則は次の形式になります。

x i の取り得る値を横軸に沿ってプロットし、対応する確率 p i を縦軸に沿ってプロットします。 点 M 1 (0; 0.729)、M 2 (1; 0.243)、M 3 (2; 0.027)、M 4 (3; 0.001) を作成しましょう。 これらの点を直線で結ぶと、目的の分布多角形が得られます。

3. 分布関数 F(x) = Р(Х を見つけてみましょう

関数F(x)のグラフ

4. 二項分布 X の場合:
- 数学的期待値 M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- 分散 D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- 標準偏差 σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52。

分布の法則と特性

ランダム変数

確率変数、その分類と記述方法。

ランダム量とは、実験の結果、1 つまたは別の値をとる可能性があるが、どの値が事前にはわからない量です。 したがって、確率変数の場合は、実験の結果として必ず取得される値のみを指定できます。 以下では、これらの値を確率変数の可能な値と呼びます。 確率変数は実験のランダムな結果を定量的に特徴付けるため、ランダム イベントの定量的特徴と考えることができます。

確率変数は通常、X..Y..Z などのラテン文字の大文字で表され、その可能な値は対応する小文字で表されます。

確率変数には 3 つのタイプがあります。

離散; 継続的; 混合。

離散は、可能な値の数が可算セットを形成する確率変数です。 逆に、要素に番号を付けることができるセットは可算と呼ばれます。 「ディスクリート」という言葉は、「不連続な、別々の部分からなる」を意味するラテン語の discretus に由来しています。

例 1. 離散確率変数は、n 製品のバッチ内の欠陥部品 X の数です。 実際、この確率変数の取り得る値は 0 から n までの一連の整数です。

例 2. 離散確率変数は、ターゲットに最初に命中するまでのショットの数です。 ここでは、例 1 と同様に、可能な値に番号を付けることができますが、限定的な場合には、可能な値は無限に大きい数になります。

継続的は、可能な値が数値軸の特定の間隔を連続的に埋める確率変数であり、この確率変数の存在間隔と呼ばれることもあります。 したがって、存在の有限区間では、連続確率変数の可能な値の数は無限に多くなります。

例 3. 連続確率変数は、企業の毎月の電力消費量です。

例 4. 連続確率変数は、高度計を使用して高さを測定する際の誤差です。 高度計の動作原理から誤差は0～2mの範囲にあることが知られているので、この確率変数の存在区間は0～2mの区間となります。

確率変数の分布の法則。

確率変数は、その可能な値が数値軸上に示され、分布法則が確立されている場合、完全に指定されているとみなされます。

確率変数の分布の法則 は、確率変数の取り得る値と対応する確率の間の関係を確立する関係です。

確率変数は、特定の法則に従って分布する、または特定の分布則に従うと言われます。 分布法則としては、いくつかの確率、分布関数、確率密度、特性関数が使用されます。

分布法則は、確率変数の完全な確率的記述を与えます。 分布の法則によれば、確率変数のどの値がより頻繁に現れるか、どの値がより少なく現れるかを実験前に判断できます。

離散確率変数の場合、分布則はテーブルの形式、分析的 (式の形式)、およびグラフで指定できます。

離散確率変数の分布則を指定する最も簡単な形式は、確率変数のすべての可能な値とそれに対応する確率を昇順でリストするテーブル (行列) です。

このような表を離散確率変数の分布系列と呼びます。 1

イベント X 1、X 2、...、X n は、テストの結果、確率変数 X がそれぞれ x 1、x 2、... x n の値を取るという事実から構成されます。一貫性がなく、唯一可能なもの（表には確率変数のすべての可能な値がリストされているため）、つまり 完全なグループを形成します。 したがって、それらの確率の合計は 1 に等しくなります。したがって、任意の離散確率変数に対して、

(この単位は確率変数の値に何らかの形で分散されるため、「分布」という用語が使用されます)。

確率変数の値を横軸にプロットし、それらの対応する確率を縦軸にプロットすると、分布系列をグラフで表すことができます。 得られた点を結ぶと、確率分布の多角形または多角形と呼ばれる折れ線が形成されます（図1）。

例宝くじには 5,000 デン相当の車が含まれます。 ユニット、テレビ 4 台、価格は 250 デン。 ユニット、200デン相当のビデオレコーダー5台。 単位 チケットは7日間で計1000枚が販売される。 単位 チケットを 1 枚購入した宝くじ参加者が受け取る純賞金の分配法則を作成します。

解決。 確率変数 X の可能な値 (チケットごとの純賞金) は、0-7 = -7 の金額に等しくなります。 単位 (チケットが当たらなかった場合)、200-7 = 193、250-7 = 243、5000-7 = 4993 den。 単位 (チケットにそれぞれビデオデッキ、テレビ、車の賞金が含まれている場合)。 1000 枚のチケットのうち非当選者の数が 990 で、示された当選がそれぞれ 5、4、1 であることを考慮し、古典的な確率の定義を使用すると、次の結果が得られます。

離散確率変数の分布系列が与えられます。 欠損確率を見つけて、分布関数をプロットします。 この量の数学的な期待値と分散を計算します。

確率変数 X は、-4、-3、1、2 の 4 つの値のみを取ります。これらの値はそれぞれ、一定の確率で取られます。 すべての確率の合計は 1 に等しくなければならないため、欠損確率は次と等しくなります。

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

確率変数 X の分布関数を作成してみましょう。分布関数 は次のとおりであることがわかっています。

したがって、

関数をプロットしてみましょう F(バツ) .

離散確率変数の数学的期待値は、確率変数の値と対応する確率の積の合計に等しくなります。

次の式を使用して、離散確率変数の分散を求めます。

応用

組み合わせ論の要素 ここで: - 数値の階乗

イベントに対するアクション イベントとは、経験の結果として起こるかもしれないし、起こらないかもしれないあらゆる事実です。 イベントの結合 あそして で- このイベント と外観またはイベントで構成されるもの あ、またはイベント で、または両方のイベントを同時に実行します。 指定： ; 交差点イベント あそして で- このイベント と、両方のイベントの同時発生で構成されます。 指定： ;

確率の古典的な定義 事象の確率 あは実験数の比率です 、イベントの発生に有利 あ, 実験の総数に :

確率乗算式 事象の確率 次の式を使用して求めることができます。 - イベントの確率 あ、 - イベントの確率 で、 - イベントの確率 でイベントが発生した場合に限り、 あすでに起こっています。 イベント A と B が独立している (一方の発生が他方の発生に影響を与えない) 場合、イベントの確率は次のようになります。

確率を加算する式 イベントの確率は、次の式を使用して求めることができます。 事象の確率 あ、 事象の確率 で、 - 事象の同時発生確率 あそして で. イベント A と B に互換性がない (同時に発生できない) 場合、イベントの確率は次のようになります。

合計確率の計算式 イベントしましょう あいずれかのイベントと同時に発生する可能性があります , , …, - それらを仮説と呼びましょう。 でも知られている - 実行の確率 私-番目の仮説と - イベントA実行時の発生確率 私- 番目の仮説。 そうすると、その出来事の確率は あは次の式で求められます。

ベルヌーイスキーム n 個の独立したテストがあるとします。 イベントの発生（成功）確率 あそれらのそれぞれは一定で等しい p、失敗の確率（つまり、イベントが発生しない） あ) q = 1 - p。 そうすると発生確率は kでの成功 nテストはベルヌーイの公式を使用して求めることができます。 最も可能性の高い成功数 ベルヌーイ スキームでは、これは最も高い確率を持つ特定のイベントの発生数です。 次の式を使用して求めることができます。

ランダム変数 離散連続 (例: 5人の子供がいる家族の女の子の数) (例: やかんが正常に作動する時間) 離散確率変数の数値的特徴 離散量が分布系列で与えられるとします。 バツ R 、 、 …、 - 確率変数の値 バツ; 、、、…は、対応する確率値です。 分布関数 確率変数の分布関数 バツは数直線全体で定義された関数であり、次の確率に等しい。 バツ少なくなるでしょう バツ:

試験の問題

イベント。 ランダムイベントに対する操作。

事象の確率の概念。

確率の加算と乗算のルール。 条件付き確率。

合計確率の式。 ベイズの公式。

ベルヌーイスキーム。

確率変数、その分布関数および分布系列。

分布関数の基本的なプロパティ。

期待値。 数学的期待の性質。

分散。 分散の特性。

1 次元確率変数の確率分布密度。

分布の種類: 一様分布、指数分布、正規分布、二項分布、およびポアソン分布。

モワブル・ラプラスの局所定理と積分定理。

2 つの確率変数からなるシステムの法則と分布関数。

2 つの確率変数からなるシステムの分布密度。

条件付き分布法則、条件付き数学的期待。

従属および独立の確率変数。 相関係数。

サンプル。 サンプル処理。 ポリゴンと頻度のヒストグラム。 経験的分布関数。

分布パラメータを推定する概念。 評価の要件。 信頼区間。 数学的期待値と標準偏差を推定するための区間の構築。

統計的仮説。 同意基準。

確率論の応用では、実験の定量的特性が最も重要です。 定量的に決定でき、実験の結果、場合に応じて異なる値を取ることができる量を「量」といいます。 確率変数。

確率変数の例:

1. サイコロを 10 回投げて偶数の点が出る回数。

2. 射撃者が連続して射撃した場合の標的への命中数。

3. 爆発した砲弾の破片の数。

与えられた各例では、確率変数は孤立した値、つまり自然な一連の数値を使用して番号を付けることができる値のみを取ることができます。

このような確率変数は、その可能な値が個々の孤立した数値であり、この変数が特定の確率で取るものと呼ばれます。 離散。

離散確率変数の取り得る値の数は、有限または無限 (可算) の場合があります。

分配の法則離散確率変数は、その可能な値とそれに対応する確率のリストです。 離散確率変数の分布則は、テーブル (確率分布系列) の形式、分析的およびグラフ (確率分布多角形) で指定できます。

実験を行う際には、調べている値を「平均して」評価する必要があります。 確率変数の平均値の役割は、と呼ばれる数値特性によって演じられます。 数学的な期待、それは式によって決まります

どこ バツ 1 、 バツ 2 ,.. , バツ n– 確率変数の値 バツ、A p 1 ,p 2 , ... , p n– これらの値の確率（注意してください） p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

例。 射撃はターゲットに向かって実行されます（図11）。

I でヒットすると 3 ポイント、II で 2 ポイント、III で 1 ポイントが与えられます。 1 人の射手による 1 回の射撃で獲得した得点の数には、次のような分布法則があります。

射手のスキルを比較するには、得点の平均値を比較するだけで十分です。 数学的期待 M(バツ） そして M(Y):

M(バツ) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

2 番目のシューターは平均してわずかに高い得点を与えます。 繰り返し実行すると、より良い結果が得られます。

数学的期待値の特性に注目してみましょう。

1. 定数値の数学的期待値は、定数自体と等しいです。

M(C) =C.

2. 確率変数の合計の数学的期待値は、項の数学的期待値の合計に等しくなります。

M =(バツ 1 + バツ 2 +…+ バツ n)= M(バツ 1)+ M(バツ 2)+…+ M(バツ n).

3. 相互に独立した確率変数の積の数学的期待値は、因子の数学的期待値の積に等しい

M(バツ 1 バツ 2 … バツ n) = M(バツ 1)M(バツ 2)… M(バツ n).

4. 二項分布の数学的否定は、試行回数と 1 回の試行でイベントが発生する確率の積に等しくなります (タスク 4.6)。

M(バツ) = 広報.

確率変数が「平均して」数学的期待からどのように逸脱しているかを評価するには、つまり、 確率論で確率変数の値の広がりを特徴付けるために、分散の概念が使用されます。

分散確率変数 バツは二乗偏差の数学的期待値と呼ばれます。

D(バツ) = M[(バツ - M(バツ)) 2 ].

分散は、確率変数の分散の数値特性です。 定義から、確率変数の分散が小さいほど、その可能な値が数学的期待値の近くに位置すること、つまり、確率変数の値がその数学的期待値によってより適切に特徴付けられることは明らかです。 。

定義から、分散は次の式を使用して計算できることがわかります。

.

別の式を使用して分散を計算すると便利です。

D(バツ) = M(バツ 2) - (M(バツ)) 2 .

分散液には次の特性があります。

1. 定数の分散はゼロです。

D(C) = 0.

2. 定数係数は、分散符号を二乗することで分散符号から取り出すことができます。

D(CX) = C 2 D(バツ).

3. 独立確率変数の合計の分散は、項の分散の合計に等しくなります。

D(バツ 1 + バツ 2 + バツ 3 +…+ バツ n)= D(バツ 1)+ D(バツ 2)+…+ D(バツ n)

4. 二項分布の分散は、試行回数と 1 回の試行におけるイベントの発生または非発生の確率の積に等しくなります。

D(バツ) = npq.

確率論では、確率変数の分散の平方根に等しい数値特性がよく使用されます。 この数値特性は平均二乗偏差と呼ばれ、次の記号で表されます。

.

これは、確率変数の平均値からの偏差のおおよそのサイズを特徴付け、確率変数と同じ次元を持ちます。

4.1. 射手は標的に向かって 3 発の射撃を行います。 各ショットがターゲットに当たる確率は 0.3 です。

ヒット数の分布系列を構築します。

解決。 ヒット数は離散確率変数です バツ。 それぞれの値 バツ n 確率変数 バツある確率に相当する P n .

この場合の離散確率変数の分布則は指定できます。 分布に近い.

この問題では バツ値は0、1、2、3を取ります。ベルヌーイの公式によると

,

確率変数の取り得る値の確率を求めてみましょう。

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

確率変数の値を並べることで バツ昇順に分布系列を取得します。

金額に注意してください

確率変数が確率を意味します バツは可能な値の中から少なくとも 1 つの値を取り、このイベントは信頼できるものであるため、

.

4.2 . 壺の中には1から4までの番号が書かれたボールが4つあり、2つのボールが取り出されます。 ランダムな値 バツ– ボールの数の合計。 確率変数の分布系列を構築する バツ.

解決。確率変数の値 バツは 3、4、5、6、7 です。対応する確率を求めてみましょう。 ランダム変数値 3 バツ選択されたボールの 1 つが 1 で、もう 1 つが 2 である場合にのみ受け入れられます。可能なテスト結果の数は、2 つの 4 つの組み合わせの数 (可能なボールのペアの数) に等しくなります。

古典的な確率公式を使用すると、次のようになります。

同じく、

R(バツ= 4) =R(バツ= 6) =R(バツ= 7) = 1/6.

合計 5 は、1 + 4 と 2 + 3 の 2 つの場合に現れる可能性があるため、

.

バツの形式は次のとおりです。

分布関数を見つける F(バツ) 確率変数 バツそしてそれをプロットします。 計算する バツその数学的な期待値と分散。

解決。 確率変数の分布則は分布関数で指定できます。

F(バツ) =P(バツ バツ).

分布関数 F(バツ) は数直線全体で定義された非減少の左連続関数です。

F (- )= 0,F (+ )= 1.

離散確率変数の場合、この関数は次の式で表されます。

.

したがって、この場合には

分布関数グラフ F(バツ) は階段状の線です (図 12)

期待値M(バツ) は値の加重算術平均です。 バツ 1 、 バツ 2 、……バツ n確率変数 バツ秤付き ρ 1, ρ 2, …… , ρ n これは確率変数の平均値と呼ばれます バツ。 式によると

M(バツ)= x 1 ρ 1 +× 2 ρ 2 +……+× n ρ n

M(バツ) = 3・0.14+5・0.2+7・0.49+11・0.17 = 6.72。

分散確率変数の値の平均値からの分散の度合いを特徴づけ、次のように表されます。 D(バツ):

D(バツ)=M[(HM(バツ)) 2 ]=M(バツ 2) –[M(バツ)] 2 .

離散確率変数の場合、分散は次の形式になります。

または、次の式を使用して計算できます。

問題の数値データを式に代入すると、次のようになります。

M(バツ 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(バツ) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. 2 つのサイコロを同時に 2 回振ります。 離散確率変数の二項分布法則を書く バツ- 2 つのサイコロの合計点が偶数になる回数。

解決。 ランダムイベントを紹介します

あ= (1 回投げて 2 つのサイコロを出した結果、合計は偶数点になりました)。

確率の古典的な定義を使用すると、

R(あ)= ,

どこ n - ルールに従って考えられるテスト結果の数が見つかります

乗算：

n = 6∙6 =36,

メートル - イベントを支持している人の数 あ結果 - 平等

メートル= 3∙6=18.

したがって、1 回の試行で成功する確率は、

ρ =P(あ)= 1/2.

この問題は、ベルヌーイ テスト スキームを使用して解決されます。 ここでの課題の 1 つは、2 つのサイコロを 1 回振ることです。 そのようなテストの数 n = 2. 確率変数 バツ確率で値 0、1、2 を受け取ります

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

確率変数の必要な二項分布 バツ分布系列として表すことができます。

4.5 。 6 つのパーツからなるバッチには、4 つの標準パーツがあります。 3つのパーツがランダムに選択されました。 離散確率変数の確率分布を構築する バツ– 選択された部品の中の標準部品の数を調べ、その数学的期待値を求めます。

解決。確率変数の値 バツは数字0、1、2、3です。 それは明らかです R(バツ=0)=0、非標準部分は 2 つだけなので。

R(バツ=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(バツ=3) =
= 1/5.

確率変数の分布則 バツそれを配布シリーズの形式で提示しましょう。

期待値

M(バツ)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 。 離散確率変数の数学的期待値が次のとおりであることを証明します。 バツ- イベントの発生数 あ V n独立した試験。それぞれの試験でイベントが発生する確率は次のとおりです。 ρ – 試行回数と 1 回の試行でのイベントの発生確率の積に等しい。つまり、二項分布の数学的期待が正しいことを証明する。

M(バツ) =n . ρ ,

そして分散

D(バツ) =n.p. .

解決。ランダムな値 バツ値は 0、1、2...、 n。 確率 R(バツ= k) はベルヌーイの公式を使用して求められます。

R(バツ=k)​​= R n(k)= ρ に (1-ρ ) n-に

確率変数の分布系列 バツの形式は次のとおりです。

どこ q= 1- ρ .

数学的な期待値については、次の式があります。

M(バツ)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

1 つのテストの場合、つまり、 n=確率変数の場合は 1 バツ 1 – イベントの発生数 あ- 配布シリーズの形式は次のとおりです。

M(バツ 1)= 0・q + 1 ∙ p = p

D(バツ 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

もし バツ k – イベントの発生数 あどのテストで、それでは R(バツ に)= ρ そして

X=X 1 +X 2 +….+X n .

ここから得られるのは、

M(バツ)=M(バツ 1 )+M(バツ 2)+ … +M(バツ n)= nρ,

D(バツ)=D(バツ 1)+D(バツ 2)+ ... +D(バツ n)=npq。

4.7. 品質管理部門は製品が標準であるかどうかをチェックします。 製品が標準である確率は 0.9 です。 各バッチには 5 つの製品が含まれています。 離散確率変数の数学的期待値を求める バツ- バッチの数。各バッチには 4 つの標準製品が含まれます。50 のバッチが検査の対象となる場合。

解決。 ランダムに選択された各バッチに 4 つの標準製品が含まれる確率は一定です。 で表しましょう ρ 次に、確率変数の数学的期待値 バツ等しい M(バツ)= 50∙ρ.

確率を求めてみましょう ρ ベルヌーイの公式によると：

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(バツ)= 50∙0,32=16.

4.8 。 3 つのサイコロが投げられます。 ドロップされたポイントの合計の数学的期待値を求めます。

解決。確率変数の分布を見つけることができます バツ- ドロップされたポイントの合計とその数学的期待値。 しかし、この道はあまりにも面倒です。 確率変数を表す別の手法を使用する方が簡単です。 バツ、数学的期待値は、いくつかの単純な確率変数の合計の形で計算する必要があり、数学的期待値の計算が容易です。 確率変数の場合 バツ 私ロールオンされたポイントの数です 私– 番目の骨 ( 私= 1, 2, 3)、ポイントの合計 バツという形で表現されます

X = X 1 +X 2 +X 3 .

元の確率変数の数学的期待値を計算するには、数学的期待値の特性を使用するだけです。

M(バツ 1 +X 2 +X 3 )=M(バツ 1 )+M(バツ 2)+M(バツ 3 ).

それは明らかです

R(バツ 私 = K)= 1/6、 に= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 私= 1, 2, 3.

したがって、確率変数の数学的期待値は バツ 私のように見える

M(バツ 私) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(バツ) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. 次の場合に、テスト中に障害が発生したデバイスの数の数学的期待値を決定します。

a) すべてのデバイスの故障確率は同じです R、テスト対象のデバイスの数は次のとおりです。 n;

b) 失敗の確率 私 – デバイスの値は次と等しい p 私 , 私= 1, 2, … , n.

解決。確率変数を バツは障害が発生したデバイスの数です。

X = X 1 +X 2 + … + X n ,

バツ 私 =

それは明らかです

R(バツ 私 = 1)= R 私 , R(バツ 私 = 0)= 1– R 私 ,私= 1, 2, … ,n.

M(バツ 私)= 1∙R 私 + 0∙(1-R 私)=P 私 ,

M(バツ)=M(バツ 1)+M(バツ 2)+ … +M(バツ n)=P 1 +P 2 + … + P n .

ケース「a」では、デバイスの故障の確率は同じです。

R 私 =p,私= 1, 2, … ,n.

M(バツ)= n.p..

確率変数に注目すれば、この答えはすぐに得られるでしょう。 バツパラメータ ( n, p).

4.10. 2 つのサイコロを同時に 2 回投げます。 離散確率変数の二項分布法則を書く バツ - 2 つのサイコロの偶数の点の出目の数。

解決。 させて

あ=(最初のサイコロで偶数を振る),

B =(2 番目のサイコロで偶数を振ります)。

1回の投げで両方のサイコロが偶数になることは積で表されます。 AB。それから

R (AB) = R(あ)∙R(で) =
.

2 つのサイコロの 2 番目に投げた結果は最初のサイコロに依存しないため、ベルヌーイの公式は次の場合に適用されます。

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

ランダムな値 バツ値0、1、2を取ることができます , その確率はベルヌーイの公式を使用して求めることができます。

R(X= 0)=P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)=P 2 (1)=C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)=P 2 (2)=C , R 2 = 1/16.

確率変数の分布系列 バツ：

4.11. このデバイスは、独立して動作する多数の要素で構成されており、時間の経過とともに各要素が故障する確率は非常に低くなります。 t。 一定期間にわたる平均拒否数を求める tこの時間内に少なくとも 1 つの要素が故障する確率が 0.98 の場合、要素は次のようになります。

解決。 時間の経過とともに拒否した人の数 t要素 - 確率変数 バツ、ポアソンの法則に従って分布しているため、要素の数が多いため、要素は独立して動作し、各要素の故障の確率は小さくなります。 でのイベントの平均発生数 nテストは等しい

M(バツ) = n.p..

失敗する可能性があるので、 にからの要素 n式で表される

R n (に)
,

ここで = n.p.、その時間内に単一の要素が故障しない確率 t 到着します K = 0:

R n (0)= e -  .

したがって、反対の出来事が起こる確率は間に合う t 少なくとも 1 つの要素が失敗します – 1 に等しい -e -  。 問題の条件によれば、この確率は 0.98 です。 式から

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

ここから = -ln 0,02  4.

それで、時間内に tデバイスの動作中、平均して 4 つの要素が故障します。

4.12 。 「２」の目が出るまでサイコロを振ります。 平均投球数を求めます。

解決。 確率変数を導入してみましょう バツ– 関心のあるイベントが発生するまでに実行する必要があるテストの数。 その確率は、 バツ= 1 は、サイコロを 1 回投げる間に「2」の目が現れる確率に等しいです。

R(X= 1) = 1/6.

イベント バツ= 2 は、最初のテストでは「2」が出てこなかったが、2 回目のテストでは出てきたことを意味します。 事象の確率 バツ= 2 は、独立した事象の確率を乗算する規則によって求められます。

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

同じく、

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

等 一連の確率分布を取得します。

平均スロー (試行) 数は数学的な期待値です。

M(バツ) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + に (5/6) に -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + に (5/6) に -1 + …)

級数の合計を求めてみましょう。

にg に -1 = (g に) g 
.

したがって、

M(バツ) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

したがって、「2」が出るまで、平均 6 回サイコロを振る必要があります。

4.13. 事象の発生確率が同じである独立したテストが実行されます。 あすべてのテストで。 事象が発生する確率を求める あ、3 つの独立した試験におけるイベントの発生数の分散が 0.63 の場合 .

解決。 3 回の試行におけるイベントの発生数は確率変数です バツ、二項法則に従って分布します。 独立した試行（各試行でのイベントの発生確率が同じ）におけるイベントの発生数の分散は、試行回数とイベントの発生および非発生の確率の積に等しくなります。 (問題4.6)

D(バツ) = NPQ.

条件別 n = 3, D(バツ) = 0.63 なので、次のことができます。 R方程式から求める

0,63 = 3∙R(1-R),

これには2つの解決策があります R 1 = 0.7と R 2 = 0,3.