任意の空間力系を中心に持ち込む特殊なケース。 最も単純な形への還元の場合 平面力系の平衡方程式の形

異なる平面内で作用するモーメントを伴ういくつかの力のペアが剛体に同時に適用されるとします。 このペアのシステムをより単純な形に縮小することは可能でしょうか? それは可能であることがわかり、その答えは 2 つのペアの加算に関する次の定理によって示唆されます。

定理。 異なる平面に作用する 2 対の力は、指定された対のモーメントの幾何学和に等しいモーメントを持つ 1 対の力と等価です。

ペアをそれらのモーメントと によって定義します (図 36、a)。 これらのベクトルに垂直な 2 つの平面 (ペアの作用面) を構築し、両方のペアに共通する肩の平面の交線上にある特定のセグメント AB を選択して、対応するペアを構築します。 36、b)。

カップルの瞬間の定義に従って、次のように書くことができます。

点 A と B では力が収束します。 力の平行四辺形の法則 (公理 3) を適用すると、次のようになります。

与えられたペアは、やはりペアを形成する 2 つの力に相当することがわかります。 したがって、定理の最初の部分が証明されました。 定理の 2 番目の部分は、結果のペアのモーメントを直接計算することで証明されます。

多数のペアがある場合、この定理に従ってそれらをペアで追加すると、任意の数のペアを 1 つのペアに減らすことができます。 その結果、次の結論に達します。絶対剛体に適用される力のペアのセット (システム) は、指定されたすべてのペアのモーメントの幾何学和に等しいモーメントを持つ 1 つのペアに減らすことができます。

数学的には、これは次のように書くことができます。

図では、 図 37 は、結果として得られる結論を幾何学的に図示したものです。

力のペアが平衡するためには、結果として生じるペアのモーメントがゼロに等しいことが必要です。これにより、次の等式が得られます。

この状態は幾何学的および分析的な形式で表現できます。 力のペアが平衡するための幾何学的条件: 力のペアのシステムが平衡状態にあるためには、すべてのペアのモーメントから構築されたベクトル多角形が閉じていることが必要かつ十分です。

力のペアの平衡に関する解析条件: 力のペアのシステムが平衡状態にあるためには、すべてのペアのモーメント ベクトルの任意に選択された座標軸 Oxyz への射影の代数和がゼロに等しいことが必要かつ十分です。

すべてのペアが同じ平面内にある場合、つまり、平坦なペア系を形成している場合、解析的平衡条件は 1 つだけ得られます。つまり、ペアの代数モーメントの合計がゼロに等しいということです。

セルフテストの質問

1. フォースポリゴンルールとは何ですか? フォースポリゴンは何に使用されますか?

2. 収束力の合力を解析的に見つけるにはどうすればよいですか?

3. 収束する力の平衡のための幾何学的条件は何ですか? これと同じ条件が分析的にどのように定式化されるのでしょうか?

4. 三力定理を述べま​​す。

5. どの静的問題が静的に定義され、どれが静的に不定と呼ばれますか? 静的に不定な問題の例を示します。

6. 力のペアとは何ですか?

7. 一対の力のモーメント (ベクトルモーメント) を何といいますか? この瞬間の方向、大きさ、作用点は何でしょうか?

8. 対の代数モーメントとは何ですか?

9. 空間内に任意に配置されたペアを追加するためのルールを定式化します。

10. 力のペアのシステムの平衡のためのベクトル、幾何学的、および解析的条件は何ですか?

任意の力の系を与えられた中心にもたらすことに関する静力学の主定理: 力の平面系は、ある点 (縮小中心) に加えられる系の主ベクトルに等しい 1 つの力と、そのモーメントが系の力の主モーメントに等しい 2 つの力に相当します。縮小中心へ。

定理の証明は次の順序で実行されます。 特定の点 (たとえば、点) を選択します。 について) を縮小の中心として配置し、各力をこの点に伝達し、平行力伝達の定理に従って、対応する力のペアを追加します。 その結果、点に適用される収束力の系が得られます。 について、ここで、 、およびモーメントが である追加の力のペアのシステム。 次に、収束する力のシステムは、システムの主ベクトルに等しい合力によって置き換えられ、力のペアのシステムは、中心に対するシステムの主モーメントに等しいモーメントを持つ 1 つの力のペアによって置き換えられます。削減 . その結果、〜が得られます。 したがって、定理は証明されます。

力の空間系を最も単純な形に還元する場合:

1、a – システムは、システムの主モーメントに等しいモーメントを持つ 1 対の力に還元され、システムの主モーメントの値は低減中心の選択に依存しません。

2、a – 力の系は系の主ベクトルに等しい合力に縮小され、その作用線は縮小の中心 O を通過します。

3、そして – このような力のシステムは、システムの主ベクトルに等しい 1 つの合力に縮小され、その作用線は以前の縮小中心から距離だけシフトされます。

4 主ベクトルと主モーメントが の場合、力の系はバランスがとれます。 ~0。

2.1.5 平面力系の平衡条件

平面力系の平衡のための必要十分条件は、次の方程式によって決定されます。

力の平面系の主ベクトルの大きさは依存関係 によって決まり、主モーメントは依存関係 によって決まります。

メインベクトルは、同時に発生する場合にのみゼロになります。 したがって、次の解析方程式が満たされると、平衡条件が満たされます。

これらの方程式は基本的なものです ( 初め ) 任意の平面力系の平衡に関する解析条件の形式。次のように定式化されます。 任意の力の平面系が平衡するためには、2 つの座標軸のそれぞれ上のすべての力の射影の合計と、その平面上の任意の点に対するこれらの力のモーメントの代数的合計が必要かつ十分です。力の作用はゼロに等しい.

一般的な場合、任意の平面力系の平衡方程式の数は 3 であることに注意してください。 それらはさまざまな形式で表示できます。

任意の平面力系にはさらに 2 つの形式の平衡方程式があり、その成立は平衡条件を表します ()。

2番分析平衡条件の形式は以下を提供します。 任意の面の力系が平衡するためには、2 点に対するすべての力のモーメントの合計と、これらの力を 2 点を通る直線に垂直ではない軸に投影したものとの合計が必要かつ十分です。ポイントはゼロに等しい：

（ライン AB軸に対して垂直ではない おお)

定式化しましょう 三番目 考慮している力の系の平衡に関する解析条件の形式: 任意の面の力系が平衡するためには、同じ直線上にない任意の 3 点に対する系の力のモーメントの合計がゼロに等しいことが必要かつ十分です。:

平行力の平面システムの場合、軸を方向付けることができます。 OUシステムの力と平行になります。 次に、システムの各力の軸への投影 おおはゼロに等しくなります。 その結果、平行力の平面系には 2 つの形態の平衡状態が残ります。

平行力の平面系が平衡するためには、すべての力に平行な軸への投影の合計と、任意の点に対するすべての力のモーメントの合計がゼロに等しいことが必要かつ十分です。

平行力の平面系の解析平衡条件のこの最初の形式は、方程式 () から得られます。

方程式 () から平行力の平面系の平衡条件の 2 番目の形式を取得します。

平行力の平面システムが平衡するためには、力に平行な直線上にない 2 点を基準としたシステムのすべての力のモーメントの合計がゼロに等しいことが必要かつ十分です。

§ 12 に示すように、一般的な場合、任意の 1 は主ベクトル R に等しい力に還元され、任意の中心 O に加えられ、主モーメントに等しいモーメントを持つペアに還元されます (図 40、b を参照)。 ）。 平衡状態にない力の空間系を最も単純な形に縮小できるものを見つけてみましょう。 結果は、このシステムが持つ量 R と量の値に依存します。

1. 与えられた力の系の場合、それはモーメントが等しい力のペアに還元され、式 (50) を使用して計算できます。 この場合、§ 12 で示したように、値は中心 O の選択には依存しません。

2. 与えられた力の系の場合、それは R に等しい合力に還元され、その作用線は中心 O を通過します。 R の値は式 (49) を使用して見つけることができます。

3. 与えられた力系の場合、この系も R に等しい合力に還元されますが、中心 O は通過しません。

実際、ベクトルで表される対と力 R が同じ平面内にある場合 (図 91)。

次に、係数 R が等しくなるペアの力を選択し、図のように配置します。 91 を参照すると、力は相互に釣り合い、システムは点 O を通過する 1 つの合成作用線に置き換えられることがわかります (§ 15、段落 2、b を参照)。 距離 ) は式 (28) によって決定されます。

特に、この系の主ベクトルが特定の力系に対して平行である場合、検討したケースが平行力の系または同じ平面内にある力に対して常に発生することを検証するのは簡単です。 R (図92、a)、これは、力の系が力Rと、力に垂直な平面内にあるペアP、Pの組み合わせに還元されることを意味します(図92、b)。 このような力と偶力の組み合わせは動的ねじと呼ばれ、ベクトル R が向かう直線がねじの軸になります。 この力の体系をこれ以上単純化することは不可能です。 実際、他の点 C を縮小の中心とすると (図 92、a)、ベクトルは自由として点 C に伝達され、力 R が点 C に伝達されるとき (§ 11 を参照) 、ベクトル R に垂直なモーメントを持つ別のペア、つまり 。 その結果、結果のペアのモーメントは数値的に大きくなるため、この場合、中心 O に移動したときに結果のペアのモーメントが最小値になります。 この力の系は、1 つの力 (合力) または 1 つのペアに還元することはできません。

ペアの力の 1 つ、たとえば P が力 R に追加される場合、検討中の力の系は 2 つの交差する力、つまり同じ平面内にない力 Q に置き換えることもできます (図.93）。 結果として得られる力の系は動的ねじと同等であるため、合力も持ちません。

5. 与えられた力の系で、同時にベクトルと R が互いに垂直でなく、平行でもない場合、そのような力の系も動的ねじに還元されますが、ねじの軸は変化しません。中心Oを通過します。

これを証明するために、ベクトルを R に沿った方向と R に垂直な方向の成分に分解してみます (図 94)。 この場合、 はベクトルと R です。ベクトルと力 R で表されるペアは、図の場合のように次のようになります。 91 は、点 O に加えられる 1 つの力 R に置き換えられます。すると、この力の系は、力と一対の平行トルクに置き換えられ、自由ベクトルとして点 O に加えることができます。結果は実際には次のようになります。動的なネジですが、その点を通る軸を持ちます。

力の空間系を選択した中心 O に持ってきた後、主ベクトルと主モーメントがゼロに等しい場合、つまり、

力の体系はバランスがとれています。 このような力の系の影響下で、固体は平衡状態になります。 明らかに、一般的な場合、2 つのベクトル方程式 (4.1) は 6 つのスカラー方程式に対応し、選択した座標系 (デカルトなど) の軸上でのこれらのベクトルの射影のゼロへの等価性を反映します。

力の空間系を選択した中心 O に持ってきた後、主ベクトルがゼロに等しく、主モーメントがゼロに等しくない場合、つまり、

結果として生じる一対の力がボディに作用し、ボディを回転させようとします。 この場合、縮小中心の選択は結果に影響を与えないことに注意してください。

力の空間系を選択した中心 O に持ってきた後、主ベクトルがゼロに等しくなく、主モーメントがゼロに等しい場合、つまり、

物体は、整復の中心を通過し、その作用線に沿って物体を動かそうとする合力系によって作用されます。 関係 (4.3.) が結果の作用線のすべての点に対して有効であることは明らかです。

収束する力のシステムの作用は、そのシステムの力の作用線の交点が縮小の中心として取られる場合、この場合に縮小されることに注意してください（この点に対する力のモーメントは等しいため）ゼロにします）。

力の空間系を選択した中心 O に持ってきた後、主ベクトルと主モーメントがゼロに等しくなく、それらの方向が直角をなす場合、つまり、

その場合、そのような力の系は合力に還元することもできますが、別の還元の中心である点を通過します。 この操作を実行するには、まず図に示す等価力システムを考慮します。 4.2.b と図。 4.1. 明らかに、表記を変更すると (点 B を中心 O と呼び、点 A を中心と呼びます)、私たちが直面しているタスクでは、力の平行伝達に関する補題で実行された操作の逆の操作を実行する必要があります。 上記を考慮すると、点は、第一に、中心 O を通過する主モーメントのベクトルに垂直な平面内に位置し、第二に、中心 O の主ベクトルの作用線に平行な線上になければなりません。力を加え、それに等しい距離 h で分離します。

見つかった 2 本の線のうち、主モーメントのベクトルが 0 に等しい点を表す線を選択する必要があります (新しい中心に対する力の主ベクトルのモーメントは、大きさが等しく、方向が反対である必要があります)点 O に対する力の系の主モーメント)。

一般的な場合、力の空間系を選択した中心 O に持ってきた後、主ベクトルと主モーメントはゼロに等しくなく、互いに直角を形成しません (図 4.5.a)。

主モーメントが 2 つの成分 (力の主ベクトルに沿った成分とそれに垂直な成分) に分解される場合、(4.5) に従って、主モーメントの垂直成分がゼロになる縮小中心を見つけることができます。そして、主ベクトルと主モーメントの最初の成分の大きさと方向は同じままです (図 4.5.b)。 ベクトルのコレクションは次のように呼ばれます 動力ネジまたは ダイナモ.

これ以上の簡略化は不可能です。

このような縮小中心の変化により、主モーメントの投影のみが力の系の主ベクトルに垂直な方向に変化するため、これらのベクトルの内積の値は変化しません。

この式はと呼ばれます 2 番目の不変式

静電気.

例4.1。 辺と を持つ直方体の頂点には、力と が作用します (図 4.6 を参照)。 図に示した直交座標系の座標原点を力系の縮小中心として、主ベクトルと主モーメントの射影式を書きます。

角度を決定するための三角関数の関係を書き留めてみましょう。

これで、システムの主ベクトルと力の主モーメントの投影の式を書くことができます。

注: 座標軸へのベクトル投影を知ることで、必要に応じてその大きさと方向の余弦を計算できます。

上で証明したように、空間内に任意に配置された任意の力系は、系の主ベクトルに等しい単一の力に還元され、任意の還元中心に適用されます。 について、および同じ中心に対するシステムの主モーメントに等しいモーメントを持つ 1 つのペア。 したがって、将来的には、任意の力の系を、点にかかる力とモーメントという 2 つのベクトルの等価なセットに置き換えることができるようになります。 について。 減速中心位置を変更する場合 について主ベクトルの大きさと方向は維持されますが、主モーメントは変化します。 主ベクトルがゼロでない場合、 が主モーメントに垂直な場合、力の系は 1 つの力に還元されます。この場合、これを合力と呼びます (図 8)。 主モーメントは肩を持つ力のペア ( 、 ) で表すことができ、力と主ベクトルは 2 つの系を形成します。

ゼロに等しい力なので、破棄できます。 主力と平行な直線に沿って作用する力が 1 つ残ります。

図 8 ベクトルに向かって距離を置いて通過する

h= ベクトルと によって形成される平面から。 検討したケースは、最初から直線上の縮小中心を選択した場合を示しています。 L、その場合、力の系は直ちに合力となり、主モーメントはゼロに等しくなります。 ここで、主ベクトルがゼロでなく、主モーメントに対して垂直でない場合、そのような点を縮小中心として選択できることを証明します。 について* この点に対する主モーメントと主ベクトルが同じ直線上に位置すること。 これを証明するために、モーメントを 2 つの成分に分解してみましょう。1 つは主ベクトルに沿った方向で、もう 1 つは主ベクトルに垂直です。 したがって、力のペアはモーメント と を持つ 2 つのペアに分解され、最初のペアの平面は に垂直であり、ベクトルに垂直な 2 番目のペアの平面 (図 9) にはベクトル が含まれます。 対とモーメントおよび力の組み合わせは力の系を形成し、点 O* を通過する 1 つの力 (図 8) に還元できます。 したがって (図 9)、その点における主ベクトルと主モーメントの組み合わせは、 について点を通過する力に換算される について*、そしてこの線に平行なモーメントを持つペア、これは証明する必要があったものです。 力と偶力の組み合わせ、その平面が力の作用線に垂直であることをダイナミズムと呼びます (図 10)。 力のペアは、図 10 に示すように配置された、同じ大きさの 2 つの力 ( 、 ) で表すことができます。しかし、2 つの力 と を加算すると、それらの合計と残りの力 が得られ、そこから求められます (図 10) ) 主ベクトルと主モーメントの組み合わせ について、 は 2 つの交差しない力と に還元できます。

力の体系が削減されるいくつかのケースを考えてみましょう。

1. フラットな力のシステム。 明確にするために、すべての力が平面内にあるとします。 オキシ。 次に、最も一般的なケースでは、

主ベクトルはゼロではなく、主モーメントもゼロではなく、それらの内積はゼロです、確かに

したがって、主ベクトルは主モーメントに垂直です。つまり、力の平面系は合力に還元されます。

2. 平行力のシステム。 明確にするために、すべての力が軸に平行であるとします。 オズ。 次に、最も一般的なケースでは、

ここでも、主ベクトルはゼロに等しくなく、主モーメントもゼロに等しくなく、それらのスカラー積はゼロに等しくなります。

したがって、この場合、主ベクトルは主モーメントに対して垂直です。つまり、平行力のシステムは合力に還元されます。 特定のケースでは、ゼロに等しい場合、力の主ベクトルはゼロに等しく、力の系はモーメント ベクトルが平面内にある力のペアに還元されます。 オキシ。 検討したケースを体系化してみましょう。 思い出してください: 剛体に適用される力の任意の空間系は、体の任意の点 (縮小中心) に適用される主ベクトルに等しい力と静的に等価であり、次のモーメントを持つ力のペアと等価です。指定された減速中心に対する力系の主モーメント。