掛け算は8通り。 テーマ「掛け算の珍しい方法」に関するプロジェクト
問題: 乗算の種類を理解する
目標: 授業では使用しないさまざまな自然数の乗算方法と数式の計算への応用に慣れます。
タスク:
1. さまざまな乗算方法を見つけて分析します。
2. 掛け算のいくつかの方法を実証する方法を学びます。
3. 新しい掛け算の方法について話し、その使い方を生徒に教えます。
4. 情報を検索し、見つかった資料を選択して処理するなど、独立した作業スキルを開発します。
5.「どちらの方法が速いか」を実験する
仮説:九九を知る必要がありますか?
関連性: 最近、学生は自分自身よりもガジェットを信頼しています。 だからこそ、彼らは電卓だけを頼りにしているのです。 私たちは、生徒が数えやすく、興味深く学べるように、さまざまな掛け算の方法があることを示したかったのです。
導入
1 桁の掛け算の結果をすべて覚えていないと、2 桁の数字であっても、複数の桁の掛け算ができなくなります。つまり、九九と呼ばれるものです。
異なる時代に、異なる民族は自然数を乗算する異なる方法を持っていました。
なぜ現在、すべての人々が 1 つの乗算方法「列」を使用しているのでしょうか?
なぜ人々は古い掛け算の方法を放棄し、現代の掛け算を選んだのでしょうか?
忘れ去られた掛け算の方法は現代に存在する権利があるのでしょうか？
これらの質問に答えるために、私は次の作業を行いました。
1. インターネットを使用して、以前に使用されていたいくつかの乗算方法に関する情報を見つけました。
2. 先生が勧めた文献を勉強しました。
3. 欠点を見つけるために、研究したすべての方法を使用していくつかの例を解決しました。
4) その中で最も効果的なものを特定しました。
5. 実験を行った。
6. 結論を導き出した。
1. さまざまな乗算方法を見つけて分析します。
指で掛け算。
指で増やす古いロシアの方法は、最も一般的に使用される方法の 1 つであり、何世紀にもわたってロシアの商人によって成功裏に使用されてきました。 6 から 9 までの一桁の数を指で掛け算する方法を学びましたが、この場合、「単位」、「ペア」、「3 つ」、「4 つ」、「5 つ」、 「十」。 ここでの指は、補助的なコンピューティング デバイスとして機能しました。
これを行うために、一方では最初の因子が数字の 5 を超えるのと同じ数の指を伸ばし、もう一方では 2 番目の因子についても同じことを行いました。 残りの指は曲がっていました。 次に、伸ばした指の数（合計）を 10 倍し、次に曲げられた指の数を示す数値を掛け、その結果を合計します。
たとえば、7 × 8 を掛けてみましょう。この例では、2 本の指と 3 本の指が曲がります。 曲がった指の数を合計し (2+3=5)、曲がっていない指の数を掛けると (2 3=6)、それぞれ目的の製品 56 の 10 の位と 1 の位が得られます。 このようにして、5 より大きい 1 桁の数値の積を計算できます。
さまざまな国の数値の掛け算方法
9を掛ける.
9 - 9 1、9 2 ... 9 10 - という数字の掛け算は記憶から忘れやすく、加算法を使用して手動で再計算するのがより困難ですが、特に数字 9 の掛け算は指で簡単に再現できます。 ”。 両手の指を広げ、手のひらを反対側に向けて手を回します。 左手の小指から右手の小指まで、頭の中で 1 から 10 までの番号を指に割り当てます (これは図に示されています)。 
指で掛け算を発明したのは誰ですか
9 × 6 を掛けたいとします。9 を掛ける数と同じ数で指を曲げます。 この例では、番号 6 の指を曲げる必要があります。曲げた指の左側の指の数は、答えの 10 の数を示し、右側の指の数は、1 の数を示します。 左側には曲がっていない5本の指があり、右側には4本の指があります。 したがって、9・6=54となります。 以下の図は、「計算」の全体原理を詳細に示しています。 
異常な方法で増殖する
別の例: 9・8=? を計算する必要があります。 その途中で、指が必ずしも「計算機」として機能するわけではないとしましょう。 たとえば、ノートブック内の 10 個のセルを考えてみましょう。 8 番目のボックスにバツ印を付けます。 左側には 7 個のセル、右側には 2 個のセルが残っています。 したがって、9・8=72となります。 すべてがとてもシンプルです。
7セル2セル。
インドの掛け算の方法。
数学的知識の宝庫に対する最も貴重な貢献はインドで行われました。 ヒンドゥー教徒は、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0の10個の記号を使用して数字を書く方法を提案しました。
この方法の基礎は、同じ数字がその数字が占める場所に応じて、数十、数百、または千の単位を表すという考えです。 数字がない場合、占有スペースは数字に割り当てられたゼロによって決まります。
インディアンは数を数えるのが得意でした。 彼らは乗算するための非常に簡単な方法を思いつきました。 彼らは、乗算を最上位桁から実行し、被乗数のすぐ上にある不完全な積を少しずつ書き留めました。 この場合、完成した積の最上位桁がすぐに確認でき、さらに桁の省略もなくなりました。 乗算の符号はまだ知られていなかったため、因数の間にわずかな距離を置きました。 たとえば、メソッド 537 を使用してこれらを 6 で乗算してみましょう。
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
6
「SMALL CASTLE」メソッドを使用した掛け算。
数の掛け算は現在、小学校1年生で学習されています。 しかし中世では、掛け算の技術を習得した人はほとんどいませんでした。 ヨーロッパの大学を卒業しても、九九を知っていると自慢できる稀有な貴族だった。
何千年にもわたる数学の発展の中で、数を乗算する多くの方法が発明されてきました。 イタリアの数学者ルカ・パチョーリは、彼の論文『算術、比、比例の要約』(1494 年)の中で、8 つの異なる乗算方法を示しています。 それらの最初のものは「小さな城」と呼ばれ、2番目のものは同様にロマンチックに「嫉妬または格子の乗算」と呼ばれています。
「リトルキャッスル」乗算法の利点は、先頭の桁が最初から決定されることです。これは、値を迅速に推定する必要がある場合に重要になります。
上位の数値の最上位桁から順に下位の数値を乗算し、必要な数のゼロを追加して列に書き込みます。 その後、結果が合計されます。 
さまざまな国の数値の掛け算方法
「嫉妬」法を使って数字を掛け算する。
「掛け算の方法」 2 番目の方法は、「嫉妬」または「格子掛け算」というロマンチックな名前を持っています。
まず、長方形を描画し、正方形に分割します。長方形の各辺の寸法は、被乗数と乗数の小数点以下の桁数に対応します。 次に、正方形のセルが対角線に分割され、「その結果、格子シャッターに似た画像が得られます」とパチョーリ氏は書いています。 「ヴェネツィアの家の窓にはそのような雨戸が掛けられており、窓辺に座っている婦人や修道女たちの姿が通行人に見えないようになっていた。」
このように 347 に 29 を掛けて表を描き、その上に 347 という数字を書き、その右側に 29 という数字を書きましょう。
各行には、このセルの上と右側に数値の積を書きます。一方、積の十の位をスラッシュの上に、単位の位をスラッシュの下に書きます。 次に、この操作を右から左に実行して、各斜めのストリップに数値を追加します。 金額が 10 未満の場合は、ストリップの一番下の番号の下にその金額を書き込みます。 それが 10 より大きいことが判明した場合は、合計の単位の桁のみを書き込み、10 の位を次の合計に加算します。 その結果、目的の製品 10063 が得られます。
農民の掛け算法.
私の意見では、最も「ネイティブ」で簡単な掛け算の方法は、ロシアの農民が使用する方法です。 このテクニックは、数字の 2 以降の九九の知識をまったく必要とせず、その本質は、任意の 2 つの数字の掛け算を、一方の数字を 2 で割り、同時にもう一方の数字を 2 倍にする一連の連続的な割り算に変換することです。 半分に分けることは、商が 1 に達するまで続き、同時にもう一方の数を 2 倍にします。 最後の 2 倍の数値により、望ましい結果が得られます。
数字が奇数の場合は、1 を削除し、残りを半分に分けます。 ただし、右列の最後の数字に、左列の奇数の反対側にあるこの列の数字をすべて加算する必要があります。その合計が必要な積になります。
対応する数値のすべてのペアの積は同じであるため、
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
いずれかの数値が奇数である場合、または両方の数値が奇数である場合は、次のように処理します。
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
新しい増殖方法。
興味深い新しい乗算方法が最近報告されました。 新しい精神計数システムの発明者である哲学候補ワシリー・オコネシニコフは、人は膨大な量の情報を記憶することができ、重要なのはこの情報をどのように整理するかであると主張しています。 科学者自身によると、この点で最も有利なのは9重システムです。すべてのデータは、電卓のボタンのように配置された9つのセルに単純に配置されます。
このような表を使用すると非常に簡単に計算できます。 たとえば、数値 15647 に 5 を掛けてみましょう。表の 5 に対応する部分で、その数値の桁に対応する数値を、1、5、6、4、7 の順に選択します。 取得: 05 25 30 20 35
左の数字 (この例ではゼロ) を変更せずに、次の数字をペアで加算します: 5 と 2、5 と 3、0 と 2、0 と 3。 最後の桁も変更されません。
結果として、078235 が得られます。数値 78235 は乗算の結果です。
2 桁を加算するときに 9 より大きい数値が得られた場合、その最初の桁が結果の前の桁に追加され、2 番目の桁が「独自の」場所に書き込まれます。
結論。
このトピックに取り組んでいるときに、乗算には約 30 種類の楽しくて興味深い方法があることがわかりました。 いくつかは今でもさまざまな国で使用されています。 私は自分自身のためにいくつかの興味深い方法を選択しました。 ただし、特に複数桁の数値を乗算する場合、すべての方法が使いやすいわけではありません。
乗算方法
小学校の数学に関する研究活動
研究活動の簡単な概要すべての小学生は、列内の複数桁の数値の掛け算を知っています。 この作品で著者は、「退屈な」計算を楽しいゲームに変えることができる、小学生が利用できる別の掛け算方法の存在に注目しています。
この研究では、V. オコネシニコフの表によると、ロシアの農民、格子、小さな城、中国人、日本など、歴史上のさまざまな時代で使用された、複数桁の数字を掛ける 6 つの型破りな方法を検証しています。
このプロジェクトは、研究対象に対する認知的関心を高め、数学の分野での知識を深めることを目的としています。
目次
はじめに 3
第 1 章 乗算の別の方法 4
1.1. ちょっとした歴史 4
1.2. ロシアの農民の掛け算法 4
1.3. 「小さな城」法を使った掛け算 5
1.4. 「嫉妬」または「格子乗算」法を使用した数値の掛け算 5
1.5. 中国の5の掛け方
1.6. 日本の6のかけ算
1.7. オコネシニコフ テーブル 6
1.8.列による乗算。 7
第2章 実践編7
2.1. 農民の道 7
2.2. 小さなお城 7
2.3. 「嫉妬」または「格子乗算」方法を使用した数値の掛け算 7
2.4. 中国の道8
2.5. 日本の方法8
2.6. オコネシニコフ テーブル 8
2.7. 質問8
結論 9
付録 10
「数学という主題は非常に深刻な主題であるため、あらゆる機会を利用して少しでも面白くするのは良いことです。」
B. パスカル
導入
人は日常生活において計算をせずに生きることは不可能です。 したがって、数学の授業では、まず数字を使った演算、つまり数えることを教えられます。 私たちは、学校で習う通常の方法で掛け算、割り算、足し算、引き算をします。 他に代替の計算方法はあるのか?という疑問が生じました。 もっと詳しく調べてみたいと思いました。 これらの質問に対する答えを求めて、この研究が実施されました。
研究の目的: 型にはまらない乗算方法を特定し、その応用の可能性を研究すること。
目標に従って、次のタスクを策定しました。
- できるだけ多くの珍しい掛け算の方法を見つけてください。
- 使い方を学びましょう。
- 学校で提供されるものよりも、最も興味深いものや簡単なものを自分で選択し、数を数えるときに使用します。
- 複数桁の数の掛け算を実際に確認してください。
- 4年生を対象としたアンケートの実施
研究対象:複数桁の数値を乗算するためのさまざまな非標準アルゴリズム
研究対象：数学的行為「掛け算」
仮説: 複数桁の数値を掛ける標準的な方法があるなら、おそらく別の方法があるでしょう。
関連性: 乗算の代替方法に関する知識の普及。
実用的な意義。 作業中に、多くの例が解決され、アルバムが作成されました。このアルバムには、複数桁の数値をいくつかの代替方法で乗算するためのさまざまなアルゴリズムを使用した例が含まれていました。 これはクラスメートの数学的視野を広げ、新しい実験の始まりとして興味を引くかもしれません。
第 1 章 乗算の別の方法
1.1. ちょっとした歴史私たちが現在使用している計算方法は、必ずしも単純で便利なものではありませんでした。 昔は、もっと面倒で時間のかかるテクニックが使用されていました。 そして、現代の男子生徒が 500 年前に戻ることができたら、その計算の速さと正確さで誰もが驚くでしょう。 彼に関する噂は周囲の学校や修道院に広がり、当時の最も熟練した計算者の栄光を覆い隠し、新しい偉大な巨匠のもとで学ぶために世界中から人々が集まることになるでしょう。
昔は掛け算と割り算の演算が特に難しかったです。
V. ベルスティンの著書『いかにして人々は徐々に本当の算術に到達したか』では、27 の掛け算の方法が概説されており、著者は次のように述べています。コレクション。」 そして、これらすべての掛け算のテクニックは互いに競い合い、習得するのに非常に困難を要しました。
最も興味深く簡単な掛け算の方法を見てみましょう。
1.2. ロシアの農民の掛け算法
ロシアでは、2〜3世紀前、九九全体の知識を必要としない方法が一部の地方の農民の間で普及していました。 2 の掛け算と 2 の割り算ができれば十分です。この方法は農民法と呼ばれていました。
2 つの数値を掛けるには、それらを並べて書き込み、左側の数値を 2 で割って、右側の数値を 2 倍します。結果は、左側に 1 が残るまで縦列に書き込まれ、余りは破棄されます。 左側の偶数の行を取り消し線で消します。 右の列の残りの数値を合計します。
1.3. 「小さな城」法を使用した掛け算
イタリアの数学者ルカ・パチョーリは、彼の論文『算術、比、比例の要約』(1494 年)の中で、8 つの異なる乗算方法を示しています。 その最初のものは「小さな城」と呼ばれています。
「リトルキャッスル」乗算法の利点は、先頭の桁が最初から決定されることです。これは、値を迅速に推定する必要がある場合に重要になります。
上位の数値の最上位桁から順に下位の数値を乗算し、必要な数のゼロを追加して列に書き込みます。 その後、結果が合計されます。
1.4. 「嫉妬」または「格子乗算」方法を使用した数値の掛け算
ルカ・パチョーリの 2 番目の方法は、「嫉妬」または「格子の乗算」と呼ばれています。
まず、長方形を描画し、正方形に分割します。 次に、正方形のセルが対角線に分割され、「その結果、格子シャッターに似た画像が得られます」とパチョーリ氏は書いています。 「ヴェネツィアの家の窓にはそのような雨戸が掛けられており、窓辺に座っている婦人や修道女たちの姿が通行人に見えないようになっていた。」
最初の因数の各桁と 2 番目の因数の各桁を乗算すると、その積が対応するセルに書き込まれ、対角線の上に 10 が、対角線の下に 1 が配置されます。 積の桁は、斜めの縞模様の桁を加算することによって得られます。 加算の結果は、表の下および表の右側に書き込まれます。
1.5. 中国の掛け算のやり方
ここで、ネット上で盛んに議論されている「中国語」と呼ばれる掛け算法を紹介しましょう。 数値を乗算する場合、両方の因数の各桁の桁数に対応する線の交点が計算されます。
1.6. 日本の掛け算のやり方
日本のかけ算の方法は、円と線を使った図形的な方法です。 中国語に劣らず面白くて興味深い。 彼に少し似ているさえあります。
1.7. オコネシニコフテーブル
新しい暗算システムの非常勤発明者である哲学候補のワシリー・オコネシニコフ氏は、児童が口頭で数百万、数十億、さらにはセクスティリオンやクアドリリオンの足し算や掛け算を学べるようになると信じている。 科学者自身によると、この点で最も有利なのは9重システムです。すべてのデータは、電卓のボタンのように配置された9つのセルに単純に配置されます。
科学者によると、コンピューティング「コンピュータ」になる前に、自分が作成したテーブルを記憶する必要があります。
表は9つの部分に分かれています。 これらはミニ電卓の原理に従って配置されています。「1」は左下隅、「9」は右上隅にあります。 各部分は 1 から 9 までの数字の九九です (同じ「押しボタン」システムを使用)。 任意の数値、たとえば 8 を掛けるには、数値 8 に対応する大きな正方形を見つけ、この正方形から複数桁の乗数の桁に対応する数値を書き出します。 結果の数値を個別に加算します。最初の桁は変更されず、残りはすべてペアで加算されます。 結果の数値は乗算の結果になります。
2 桁を加算するときに 9 より大きい数値が得られた場合、その最初の桁が結果の前の桁に追加され、2 番目の桁が「独自の」場所に書き込まれます。
この新しい技術はロシアのいくつかの学校や大学でテストされた。 ロシア連邦教育省は、通常のピタゴラス九九に加えて、市松模様のノートで新しい九九を出版することを許可した。今のところは知り合いのためだけだ。
1.8. 列の乗算。
列ごとに複数桁の数値を乗算する通常の方法の作者が Adam Riese であることを知っている人は多くありません (付録 7)。 このアルゴリズムが最も便利であると考えられています。
第2章 実践編
リストされた掛け算の方法をマスターして、多くの例題を解き、さまざまな計算アルゴリズムのサンプルを集めたアルバムを作成しました。 （応用）。 例を使用して計算アルゴリズムを見てみましょう。
2.1. 農民の道
47 に 35 を掛けます (付録 1)、
- 数字を 1 行に書き、数字の間に垂直線を引きます。
- 左側の数値は 2 で除算され、右側の数値は 2 で乗算されます (除算中に剰余が生じた場合、剰余は破棄されます)。
- ユニットが左側に出現すると師団は終了します。
- 左側に偶数がある行を取り消します。
-右側の残りの数字を合計します - これが結果です。
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
結論。 この方法は、2 つのテーブルだけを知っていれば十分であるという点では便利ですが、大きな数を扱う場合は非常に面倒です。 2桁の数字を扱うのに便利です。
2.2. 小さなお城
(付録 2)。 結論。 この方法は現代の「コラム」とよく似ています。 また、最上位桁の数字はすぐに決まります。 これは、値を迅速に見積もる必要がある場合に重要になることがあります。
2.3. 「嫉妬」または「格子乗算」方法を使用した数値の掛け算
たとえば、数値 6827 と 345 を掛けてみましょう (付録 3)。
1. 正方形のグリッドを描き、要素の 1 つを列の上に書き込み、2 番目の要素を高さに沿って書き込みます。
2. 各行の数値と各列の数値を順番に掛けます。 3 に 6、8、2、7 などを次々と掛けていきます。
4. 斜めのストライプの後に数字を追加します。 1 つの対角線の合計に 10 が含まれる場合は、それらを次の対角線に追加します。
対角線に沿って数値を加算した結果から、数値 2355315 が形成されます。これは、数値 6827 と 345 の積、つまり 6827 ∙ 345 = 2355315 です。
結論。 「格子乗算」方法は、一般に受け入れられている方法と何ら変わりはありません。 標準的な方法で行われる同時加算を行わずに、九九から直接表のセルに数字を入力するため、さらに簡単になります。
2.4. 中国のやり方
12 に 321 を掛ける必要があるとします (付録 4)。 一枚の紙に線を 1 本ずつ描きます。その数はこの例から決まります。
最初の数字である 12 を描画します。これを行うには、上から下、左から右に次のように描画します。
緑の棒 1 本 (1)
オレンジ色が 2 つ (2)。
2 番目の数字 – 321 を下から上、左から右に描画します。
青い棒が 3 本 (3)。
赤 2 つ (2);
ライラック 1 本 (1)。
ここで、単純な鉛筆を使用して交点を分離し、それらの交点を数え始めます。 右から左（時計回り）に2、5、8、3と移動します。
結果を左から右に読んでみましょう - 3852
結論。 面白いやり方ですが、9をかけるときに9本の直線を引いて、交点を数えるのはなんだか長くて面白くありません。 スキルがないと、数字を桁に分割することを理解するのは困難です。 一般に、九九なしではやっていけません。
2.5. 日本のやり方
12 に 34 を掛けてみましょう (付録 5)。 2 番目の因数は 2 桁の数値で、最初の因数の 1 桁目は 1 であるため、最初の因数の 2 桁目が 2 であるため、上の行に 2 つの単円を作成し、下の行に 2 つの二進円を作成します。 。
2 番目の因数の最初の桁が 3、2 番目の桁が 4 であるため、最初の列の円を 3 つの部分に分割し、2 番目の列の円を 4 つの部分に分割します。
円を分割した数が答え、12×34＝408となります。
結論。 この方法は中国のグラフィックと非常によく似ています。 直線のみが円に置き換えられます。 数値の桁を決定するのは簡単ですが、円を描くのはそれほど便利ではありません。
2.6. オコネシニコフテーブル
15647 x 5 を掛ける必要があります。私たちはすぐに大きな「ボタン」5 (真ん中にあります) を思い出し、その上にある小さなボタン 1、5、6、4、7 を頭の中で見つけます (これらも電卓のように配置されています)。 。 それらは、数字 05、25、30、20、35 に対応します。結果の数字を加算します。最初の桁は 0 (変更されないまま)、5 は精神的に 2 に加算され、7 が得られます。これは結果の 2 桁目です。 、 5 を 3 に加算すると、3 番目の桁 - 8 、 0+2=2、0+3=3 が得られ、積の最後の桁は - 5 のままになります。結果は 78,235 になります。
結論。 この方法は非常に便利ですが、暗記するか、常に手元に表を用意する必要があります。
2.7. 学生アンケート
４年生を対象にアンケートを実施しました。 26 名が参加した（付録 8）。 調査に基づいて、すべての回答者が従来の方法で乗算する方法を知っていたことが明らかになりました。 しかし、ほとんどの人は、非伝統的な掛け算の方法について知りません。 そして、彼らと知り合いになりたい人もいる。
最初の調査の後、課外授業「情熱を持った掛け算」が開催され、子供たちは別の掛け算アルゴリズムに慣れました。 その後、最も気に入った方法を特定するためにアンケートが実施されました。 議論の余地のないリーダーは、ヴァシリー・オコネシニコフの最も現代的な方法でした。 (付録9)
結論
紹介したすべての方法を使って数を数えることを学んだので、最も便利な掛け算の方法は「小さな城」方法だと思います。結局のところ、それは現在のものと非常に似ています。
私が見つけたすべての珍しい数え方の中で、「日本的」な数え方がより興味深いと思いました。 最も単純な方法は、ロシアの農民が使用していた「倍にして分割する」ことだと私には思えました。 あまり大きくない数値を乗算するときに使用します。 2桁の数字を掛けるときにとても便利です。
このようにして、私は研究の目標を達成しました。つまり、複数桁の数値を乗算する型破りな方法を研究し、使用することを学びました。 私の仮説は確認されました。私は 6 つの代替方法を習得し、これらがすべて可能なアルゴリズムではないことがわかりました。
私が研究した非伝統的な掛け算方法は非常に興味深いものであり、存在する権利があります。 場合によっては、さらに使いやすくなります。 学校や家庭でこれらのメソッドの存在について話して、友人や知人を驚かせることができると思います。
これまでのところ、私たちは既知の乗算方法のみを研究し、分析してきました。 しかし、おそらく将来、私たち自身が新しいかけ算の方法を発見できるようになるでしょう。 また、そこで立ち止まらず、型破りな掛け算の研究も続けていきたいと思っています。
情報源一覧
1. 参考文献
1.1. Hartyunyan E.、Levitas G. 面白い数学。 - M.: AST - PRESS、1999年。 - 368 p。
1.2. Bellustina V. 人々はどのようにして徐々に本当の算術に到達したか。 - LKI、2012.-208 p。
1.3. デップマン I. 数学についての話。 – レニングラード: 教育、1954. – 140 p.
1.4. Likum A. すべてについてのすべて。 T. 2. - M.: Philological Society "Slovo"、1993. - 512 p.
1.5. Olehnik S.N.、Nesterenko Yu.V.、Potapov M.K.. 古い面白い問題。 – M.: 科学。 物理および数学文献の主要編集局、1985。 – 160 p。
1.6. ペレルマン Ya.I. 面白い算術。 - M.: ルサノバ、1994 – 205 p。
1.7. ペレルマン Ya.I. 早速カウント。 30 のシンプルな暗算テクニック。 L.: レニズダット、1941 - 12 p.
1.8. サビン A.P. 数学的なミニチュア。 子供向けの楽しい数学。 - M.: 児童文学、1998 - 175 p。
1.9. 子供向けの百科事典。 数学。 – M.: Avanta +、2003. – 688 p.
1.10. 私は世界を探検します: 児童百科事典: 数学 / 計算。 サヴィン A.P.、スタンゾ V.V.、コトヴァ A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC、2000年。 - 480 p。
2. その他の情報源
インターネットリソース:
2.1. コルネエフ A.A. ロシアの乗算現象。 話。 【電子リソース】
出版された 20.04.2012
エレナ・ペトロヴナ・カリンスカヤに捧げる
,
学校の数学の先生とクラスの先生に
アルマトイ、 ロフムシュ、1984 ～ 1987 年
「科学は数学を使いこなして初めて完璧に達します。」。 カール・ハインリヒ・マルクス
これらの言葉は私たちの数学教室の黒板の上に刻まれました ;-)
コンピューター サイエンスのレッスン（教材・ワークショップ）
乗算とは何ですか?
これが足し算の動作です。
でもあまり楽しくない
だって何度も…
ティム・ソバキン
このアクションを実行してみましょう
楽しくてエキサイティングです ;-)
九九を使わない掛け算の方法 (頭の体操)
グリーン ページの読者に、九九を使用しない 2 つの掛け算方法を紹介します。-) コンピュータ サイエンスの教師が、課外授業を行うときに使用できるこの教材を気に入ってもらえることを願っています。
この方法はロシアの農民の間で一般的であり、古代から彼らに受け継がれていました。 その本質は、任意の 2 つの数値の乗算が、一方の数値を 2 で割り、同時にもう一方の数値を 2 倍にする一連の連続した除算に還元されることです。 この場合、九九は必要ありません:-)
半分に分けることは、商が 1 になるまで続けられ、同時にもう一方の数は 2 倍になります。 最後の 2 倍の数値が望ましい結果をもたらします(写真1)。 この方法が何に基づいているかを理解するのは難しくありません。一方の係数が半分になり、もう一方の係数が 2 倍になっても積は変化しません。 したがって、この操作を何度も繰り返した結果、所望の生成物が得られることが明らかである。
ただし、必要な場合はどうすればよいですか 奇数を半分にする? この場合、奇数から 1 を取り除き、残りを半分に分割します。一方、右列の最後の数字には、この列の左列の奇数の反対側にあるすべての数字を加算する必要があります。 sum が必要な積になります (図: 2、3)。
言い換えれば、左に偶数の数字があるすべての行を取り消し線で消します。 残してから合計する 取り消し線が引かれていない数字右の列。
図 2 の場合: 192 + 48 + 12 = 252
以下のことを考慮すれば、受信の正しさは明らかになります。
5× 48
= (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21× 12
= (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
数字からも明らかです 48
, 12
、奇数を半分に割ったときに失われるため、積を得るには最後の乗算の結果に加算する必要があります。
ロシアの掛け算法はエレガントであると同時に贅沢でもあります ;-)
§ に関する論理的な問題 ズメヤ・ゴルイニチと有名なロシアの英雄の上 グリーンページ「蛇ゴルイニチを倒した英雄は誰ですか？」
論理代数を使用して論理的な問題を解決する
学ぶことが好きな方へ！幸せな人のために 心の体操 ;-)
§ 表形式の方法を使用して論理的な問題を解決する
会話を続けましょう:-)
中国語？ 掛け算の描画方法
息子は、複雑な図の形で既製の解決策を書いたノートの数枚の紙を自由に使えるようにして、この掛け算の方法を私に教えてくれました。 アルゴリズムを解読するプロセスが沸騰し始めた 掛け算の描画方法 :-)わかりやすくするために、私は色鉛筆の助けを借りることにしました、そして...陪審員の皆さん、氷は砕けました:-)
カラー写真で 3 つの例を示します (右上隅) 小切手ポスト).
例 #1: 12
× 321
= 3852
絵を描きましょう 最初の番号上から下、左から右へ: 緑色の棒 1 本 ( 1
); オレンジ色の棒2本（ 2
). 12
描きました:-)
絵を描きましょう 2番目の数字下から上、左から右へ: 3 本の小さな青い棒 ( 3
); 赤いのが2つ（ 2
); ライラック色 1 本 ( 1
). 321
描きました:-)
次に、単純な鉛筆を使用して、図面を確認し、スティック番号の交点をいくつかの部分に分割し、ドットを数え始めます。 右から左へ (時計回りに) 移動します。 2 , 5 , 8 , 3 . 結果番号左から右（反時計回り）に「収集」していきます...出来上がりです。 3852 :-)
例2: 24
× 34
= 816
この例にはニュアンスがあります;-) 最初の部分のポイントを数えてみると、次のことが判明しました。 16
。 1 つを送信し、2 番目の部分のドットに追加します ( 20 + 1
)…
例 #3: 215
× 741
= 159315
コメントはありません：-）
最初は、それはやや大げさなように思えましたが、同時に興味深く、驚くほど調和が取れているように思えました。 5 番目の例では、乗算が始まっているのではないかと思いました :-) そして、それは機能します 自動操縦モードで: 描画、ドットを数える、 私たちは九九を覚えていません、まるでまったく知らないようです:-)))
正直に言うと、調べてみると 掛け算の描画方法そして、列の乗算に目を向けると、恥ずかしいことに、何度か速度が低下していることに気付きました。これは、私の乗算表が所々錆び付いていることを示しています。 - (そして、それを忘れてはなりません。より「本格的な」作業をするときは数字 掛け算の描画方法かさばりすぎてしまったし、 列による乗算それは嬉しかったです。
九九(ノートの裏のスケッチ)
追伸: 生粋のソ連軍縦隊に栄光と称賛を！
構築という点では、この方法は気取らずコンパクトで、非常に高速です。 記憶力を鍛えます - 九九を忘れるのを防ぎます :-)したがって、私はあなた自身も、可能であれば、電話やコンピュータの電卓のことは忘れて、定期的に掛け算に熱中することを強くお勧めします。 そうしないと、映画「Rise of the Machines」のプロットが映画館のスクリーンではなく、キッチンや家の隣の芝生で展開されることになります...
左肩を三回…木をノックして… :-))) ...そして最も重要なこと 頭の体操も忘れずに！
好奇心旺盛な人のために: 乗算[×]または[・]で示されます
[×]記号はイギリスの数学者によって導入されました ウィリアム・オートレッド 1631年。
[・] という記号はドイツの科学者によって導入されました ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ 1698年に。
文字指定では、これらの記号は省略され、代わりに ある × bまたは ある · b書く 腹筋.
ウェブマスターの貯金箱へ: HTML 内のいくつかの数学記号
| ° | °または° | 程度 |
| ± | ±または± | プラスかマイナス |
| ¼ | 1/4 または 1/4 | 小数 - 4分の1 |
| ½ | 1/2または1/2 | 分数 - 半分 |
| ¾ | 3/4または3/4 | 小数 - 4 分の 3 |
| × | × または × | 乗算記号 |
| ÷ | ÷ または ÷ | 区切り記号 |
| ƒ | f または f | 関数記号 |
| ′ | ' または ' | シングルストローク – 分とフィート |
| ″ | " または " | ダブルプライム – 秒とインチ |
| ≈ | ≈ または ≈ | 近似等号 |
| ≠ | ≠または≠ | 等号ではありません |
| ≡ | ≡または≡ | 同じように |
| > | > または > | もっと |
| < | < или | 少ない |
| ≥ | ≥ または ≥ | それ以上か同等 |
| ≤ | ≤ または ≤ | それ以下か等しい |
| ∑ | ∑または∑ | 和の符号 |
| √ | √ または √ | 平方根（根数） |
| ∞ | ∞か、∞か | 無限大 |
| Ø | Ø または Ø | 直径 |
| ∠ | ∠または∠ | コーナー |
| ⊥ | ⊥または⊥ | 垂直 |
市立教育機関「クロフスカヤ中等学校第6」
トピックに関する数学の要約:
« 珍しい掛け算の方法».
6年生「b」の生徒が完成
クレストニコフ・ヴァシリー。
監督者:
スミルノワ・タチアナ・ウラジミロフナ。
導入…………………………………………………………………………2
主要部分。 珍しいかけ算の方法………………………………3
2.1. ちょっとした歴史………………………………………………………………..3
2.2. 指の掛け算…………………………………………………………4
2.3. 9倍………………………………………………………………………………5
2.4. インドの掛け算……………………………………………….6
2.5. 「小さな城」法による掛け算………………………………………………7
2.6. 「嫉妬」メソッドによる掛け算…………………………………………………………8
2.7. 農民の掛け算法………………………………………………..9
2.8 新しい方法…………………………………………………………………………..10
結論…………………………………………………………………………………………11
参考文献……………………………………………………………….1 2
私. 導入.
人は日常生活において計算をせずに生きることは不可能です。 したがって、数学の授業では、まず数字の演算、つまり数えることを教えられます。 私たちは、学校で習う通常の方法で掛け算、割り算、足し算、引き算をします。
ある日、私は偶然、S.N.オレクニク、ユウ.V.ネステレンコ、M.K.ポタポフによる『古い娯楽問題』という本に出会いました。 この本をめくっていると、「指の掛け算」というページに私の注意が集まりました。 掛け算は数学の教科書で示唆されている通りだけではないことが分かりました。 他に計算方法がないか考えてみました。 結局のところ、計算を素早く実行できる能力には率直に言って驚かされます。
現代のコンピューター技術が絶え間なく使用されているため、学生は自由に使える表や計算機がなければ計算を行うことが困難であると感じています。 簡略化された計算技術の知識により、単純な計算を頭の中で素早く実行できるだけでなく、機械化された計算の結果として生じるエラーを制御、評価、発見、修正することも可能になります。 さらに、計算スキルを習得すると記憶力が向上し、数学的思考文化のレベルが向上し、物理的および数学的サイクルの主題を完全に習得するのに役立ちます。
仕事の目標:
珍しいものを見せる乗算の方法。
タスク:
できるだけ多く見つけてください珍しい計算方法。
それらの使い方を学びましょう。
最も興味深いものや簡単なものを自分で選んでください。提供されています学校で数を数えるときに使います。
Ⅱ. 主要部分。 珍しい掛け算の方法。
2.1. ちょっとした歴史。
私たちが現在使用している計算方法は、必ずしも単純で便利なものではありませんでした。 昔は、もっと面倒で時間のかかるテクニックが使用されていました。 そして、21 世紀の小学生が 5 世紀前にタイムスリップできたら、その計算の速さと正確さで私たちの祖先を驚かせるでしょう。 彼に関する噂は周囲の学校や修道院に広がり、当時の最も熟練した計算者の栄光を覆い隠し、新しい偉大な巨匠のもとで学ぶために世界中から人々が集まることになるでしょう。
昔は掛け算と割り算の演算が特に難しかったです。 そして、それぞれの動作に対して実践によって開発された唯一の方法はありませんでした。 それどころか、乗算と除算のほぼ 12 の異なる方法が同時に使用されていました。それらは、一方が他方よりも複雑で、平均的な能力の人には覚えられませんでした。 計数の各教師は自分のお気に入りのテクニックに固執し、各「割り算の達人」（そのような専門家がいました）はこの動作を実行する自分の方法を賞賛しました。
V. ベルスティンの著書『いかにして人々は徐々に本当の算術に到達したか』では、27 の掛け算の方法が概説されており、著者は次のように述べています。コレクション。」
そして、これらすべての掛け算方法、「チェスまたはオルガン」、「折りたたみ」、「十字」、「格子」、「裏から表へ」、「ダイヤモンド」などは、互いに競い合い、非常に困難を抱えて習得されました。
最も興味深く簡単な掛け算の方法を見てみましょう。
2.2. 指で掛け算。
指で増やす古いロシアの方法は、最も一般的に使用される方法の 1 つであり、何世紀にもわたってロシアの商人によって成功裏に使用されてきました。 6 から 9 までの一桁の数を指で掛け算する方法を学びましたが、この場合、「単位」、「ペア」、「3 つ」、「4 つ」、「5 つ」、 「十」。 ここでの指は、補助的なコンピューティング デバイスとして機能しました。
これを行うために、一方では最初の因子が数字の 5 を超えるのと同じ数の指を伸ばし、もう一方では 2 番目の因子についても同じことを行いました。 残りの指は曲がっていました。 次に、伸ばした指の数（合計）を 10 倍し、次に曲げられた指の数を示す数値を掛け、その結果を合計します。
たとえば、7 × 8 を掛けてみましょう。この例では、2 本の指と 3 本の指が曲がります。 曲がった指の数を合計し (2+3=5)、曲がっていない指の数を掛けると (2 3=6)、それぞれ目的の製品 56 の 10 の位と 1 の位が得られます。 このようにして、5 より大きい 1 桁の数値の積を計算できます。
2.3. 9を掛けます。
数字の9の掛け算– 9・1、9・2 ... 9・10 – は記憶から忘れやすく、加算法を使用して手動で再計算するのがより困難ですが、特に数字の 9 の場合、乗算は「指で」簡単に再現できます。 両手の指を広げ、手のひらを反対側に向けて手を回します。 左手の小指から右手の小指まで、頭の中で 1 から 10 までの番号を指に割り当てます (これは図に示されています)。
9 × 6 を掛けたいとします。9 を掛ける数と同じ数で指を曲げます。 この例では、番号 6 の指を曲げる必要があります。曲げた指の左側の指の数は、答えの 10 の数を示し、右側の指の数は、1 の数を示します。 左側には曲がっていない5本の指があり、右側には4本の指があります。 したがって、9・6=54となります。 以下の図は、「計算」の全体原理を詳細に示しています。
別の例: 9・8=? を計算する必要があります。 その途中で、指が必ずしも「計算機」として機能するわけではないとしましょう。 たとえば、ノートブック内の 10 個のセルを考えてみましょう。 8 番目のボックスにバツ印を付けます。 左側には 7 個のセル、右側には 2 個のセルが残っています。 したがって、9・8=72となります。 すべてがとてもシンプルです。
7セル2セル。
2.4. インドの掛け算のやり方.
数学的知識の宝庫に対する最も貴重な貢献はインドで行われました。 ヒンドゥー教徒は、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0の10個の記号を使用して数字を書く方法を提案しました。
この方法の基礎は、同じ数字がその数字が占める場所に応じて、数十、数百、または千の単位を表すという考えです。 数字がない場合、占有スペースは数字に割り当てられたゼロによって決まります。
インディアンは数を数えるのが得意でした。 彼らは乗算するための非常に簡単な方法を思いつきました。 彼らは、乗算を最上位桁から実行し、被乗数のすぐ上にある不完全な積を少しずつ書き留めました。 この場合、完成した積の最上位桁がすぐに確認でき、さらに桁の省略もなくなりました。 乗算の符号はまだ知られていなかったため、因数の間にわずかな距離を置きました。 たとえば、メソッド 537 を使用してこれらを 6 で乗算してみましょう。
(5 ∙ 6 =30) 30
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
2.5 . 掛け算のやり方「小さな城」.
数の掛け算は現在、小学校1年生で学習されています。 しかし中世では、掛け算の技術を習得した人はほとんどいませんでした。 ヨーロッパの大学を卒業しても、九九を知っていると自慢できる稀有な貴族だった。
何千年にもわたる数学の発展の中で、数を乗算する多くの方法が発明されてきました。 イタリアの数学者ルカ・パチョーリは、彼の論文『算術、比、比例の要約』(1494 年)の中で、8 つの異なる乗算方法を示しています。 それらの最初のものは「小さな城」と呼ばれ、2番目のものは同様にロマンチックに「嫉妬または格子の乗算」と呼ばれています。
「リトルキャッスル」乗算法の利点は、先頭の桁が最初から決定されることです。これは、値を迅速に推定する必要がある場合に重要になります。
上位の数値の最上位桁から順に下位の数値を乗算し、必要な数のゼロを追加して列に書き込みます。 その後、結果が合計されます。
2.6. 数字の掛け算「嫉妬」という方法を使って。
2 番目の方法には、「嫉妬」または「格子乗算」というロマンチックな名前が付けられています。
まず、長方形を描画し、正方形に分割します。長方形の各辺の寸法は、被乗数と乗数の小数点以下の桁数に対応します。 次に、正方形のセルが対角線に分割され、「その結果、格子シャッターに似た画像が得られます」とパチョーリ氏は書いています。 「ヴェネツィアの家の窓にはそのような雨戸が掛けられており、窓辺に座っている婦人や修道女たちの姿が通行人に見えないようになっていた。」
このように 347 に 29 を掛けて表を描き、その上に 347 という数字を書き、その右側に 29 という数字を書きましょう。
各行には、このセルの上と右側に数値の積を書きます。一方、積の十の位をスラッシュの上に、単位の位をスラッシュの下に書きます。 次に、この操作を右から左に実行して、各斜めのストリップに数値を追加します。 金額が 10 未満の場合は、ストリップの一番下の番号の下にその金額を書き込みます。 それが 10 より大きいことが判明した場合は、合計の単位の桁のみを書き込み、10 の位を次の合計に加算します。 その結果、目的の製品 10063 が得られます。
2.7. に農民の掛け算法.
私の意見では、最も「ネイティブ」で簡単な掛け算の方法は、ロシアの農民が使用する方法です。 このテクニックは、数字の 2 以降の九九の知識をまったく必要とせず、その本質は、任意の 2 つの数字の掛け算を、一方の数字を 2 で割り、同時にもう一方の数字を 2 倍にする一連の連続的な割り算に変換することです。 半分に分けることは、商が 1 に達するまで続き、同時にもう一方の数を 2 倍にします。 最後の 2 倍の数値により、望ましい結果が得られます。
数字が奇数の場合は、1 を削除し、残りを半分に分けます。 ただし、右列の最後の数字に、左列の奇数の反対側にあるこの列の数字をすべて加算する必要があります。その合計が必要な積になります。
対応する数値のすべてのペアの積は同じであるため、
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
いずれかの数値が奇数である場合、または両方の数値が奇数である場合は、次のように処理します。
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
2.8 . 新しい増殖方法。
面白い最近報告された新しい乗算方法。 新しい精神計数システムの発明者である哲学候補ワシリー・オコネシニコフは、人は膨大な量の情報を記憶することができ、重要なのはこの情報をどのように整理するかであると主張しています。 科学者自身によると、この点で最も有利なのは9重システムです。すべてのデータは、電卓のボタンのように配置された9つのセルに単純に配置されます。
このような表を使用すると非常に簡単に計算できます。 たとえば、数値 15647 に 5 を掛けてみましょう。表の 5 に対応する部分で、その数値の桁に対応する数値を、1、5、6、4、7 の順に選択します。 取得: 05 25 30 20 35
左の数字 (この例ではゼロ) を変更せずに、次の数字をペアで加算します: 5 と 2、5 と 3、0 と 2、0 と 3。 最後の桁も変更されません。
結果として、078235 が得られます。数値 78235 は乗算の結果です。
2 桁を加算するときに 9 より大きい数値が得られた場合、その最初の桁が結果の前の桁に追加され、2 番目の桁が「独自の」場所に書き込まれます。
Ⅲ. 結論。
私が見つけたすべての珍しい数え方の中で、「格子乗算または嫉妬」法がより興味深いように思えました。 クラスメイトにも見せましたが、とても気に入ってくれました。
最も単純な方法は、ロシアの農民が使用していた「倍にして分割する」ことだと私には思えました。 私はあまり大きくない数を掛けるときに使っています（2桁の数を掛けるときに使うととても便利です）。
私はこの新しい掛け算方法に興味がありました。なぜなら、この方法を使うと頭の中で膨大な数を「投げ回す」ことができるからです。
列で乗算する私たちの方法は完璧ではないと思いますが、さらに高速で信頼性の高い方法を思いつくことができると思います。
文学。
デップマン I.「数学についての物語」。 – レニングラード: 教育、1954. – 140 p.
コルネエフ A.A. ロシアの乗算現象。 話。 http://numbernautics.ru/
Olehnik S. N.、Nesterenko Yu. V.、Potapov M. K. 「古い面白い問題」。 – M.: 科学。 物理および数学文献の主要編集局、1985。 – 160 p。
ペレルマン Ya.I. 早速カウント。 30 のシンプルな暗算テクニック。 L.、1941 - 12 p。
ペレルマン Ya.I. 面白い算術。 M. ルサノバ、1994–205 p.
百科事典『私は世界を探検します。 数学"。 – M.: アストレル・エルマック、2004 年。
子供向けの百科事典。 "数学"。 – M.: Avanta +、2003. – 688 p.
