Legge di Cauchy della distribuzione delle variabili aleatorie. Distribuzione Kosha

Sembrerebbe che la distribuzione di Cauchy sia molto interessante per descrivere e modellare variabili casuali. Tuttavia, in realtà non è così. Le proprietà della distribuzione di Cauchy sono nettamente diverse dalle proprietà della distribuzione gaussiana, di Laplace e di altre distribuzioni esponenziali.

Il fatto è che la distribuzione di Cauchy è quasi estremamente piatta. Ricordiamo che una distribuzione si dice estremamente piatta se, come x -> +oo, la sua densità di probabilità

Per la distribuzione di Cauchy non esiste nemmeno un primo momento iniziale della distribuzione, cioè un'aspettativa matematica, poiché l'integrale che la definisce diverge. In questo caso la distribuzione ha sia una mediana che una moda, che sono uguali al parametro a.

Naturalmente anche la dispersione di questa distribuzione (il secondo momento centrale) è uguale all'infinito. In pratica, ciò significa che la stima della varianza per un campione della distribuzione di Cauchy aumenterà senza limiti all’aumentare del volume dei dati.

Da quanto sopra ne consegue che l'approssimazione mediante la distribuzione di Cauchy dei processi casuali, che sono caratterizzati da aspettativa matematica finita e varianza finita, non è corretta.

Quindi, abbiamo ottenuto una distribuzione simmetrica dipendente da tre parametri, con l'aiuto della quale possiamo descrivere campioni di variabili casuali, compresi quelli con pendenze dolci. Tuttavia, questa distribuzione presenta degli svantaggi che sono stati considerati quando si è discusso della distribuzione di Cauchy, vale a dire che l'aspettativa matematica esiste solo per a > 1, la varianza è finita solo per OS > 2 e, in generale, esiste il momento finito della distribuzione di ordine k-esimo per a > k .

La Figura 14.1 utilizza 8.000 campioni della famosa distribuzione di Cauchy, che ha media e varianza infinite. La distribuzione di Cauchy è descritta più dettagliatamente di seguito. La serie utilizzata qui è stata "normalizzata" sottraendo la media e dividendo per la deviazione standard del campione. Pertanto, tutte le unità sono espresse in deviazioni standard. Per fare un confronto, utilizziamo 8.000 variabili casuali gaussiane che sono state normalizzate in modo simile. È importante capire che i due passaggi successivi finiranno sempre con una media pari a 0 e una deviazione standard pari a 1 perché sono stati normalizzati su tali valori. Convergenza significa che la serie temporale si sposta rapidamente verso un valore stabile.

Queste due distribuzioni ben note, la distribuzione di Cauchy e la distribuzione normale, hanno molte applicazioni. Sono anche gli unici due membri della famiglia delle distribuzioni stabili per le quali le funzioni di densità di probabilità possono essere derivate esplicitamente. In tutti gli altri casi frazionari devono essere stimati, solitamente con mezzi numerici. Discuteremo uno di questi metodi in una sezione successiva di questo capitolo.

Nel capitolo 14 abbiamo esaminato la deviazione standard seriale e la media del mercato azionario americano e le abbiamo confrontate con una serie temporale derivata dalla distribuzione di Cauchy. Lo abbiamo fatto per vedere l'effetto della varianza infinita e della media sulle serie temporali. La deviazione standard seriale è la deviazione standard di una serie temporale quando aggiungiamo alla volta

Effettuare una prima approssimazione di Z a u(o,F) prendendo la media ponderata dei quantili F delle distribuzioni di Cauchy e Gaussiana.

La Tabella A3.2 converte i risultati della Tabella A3.1 in quantili. Per scoprire quale valore F spiega il 99% delle osservazioni per a = 1,0, spostati verso il basso nella colonna F a sinistra fino a 0,99 e verso u = 31,82. La distribuzione di Cauchy richiede osservazioni di 31,82 valori dalla media per coprire il 99% di probabilità. Al contrario, il caso normale raggiunge il livello del 99% con u=3,29. Ciò differisce dal caso normale standard, che è di 2.326 deviazioni standard anziché 3,29 s.

P(> (nm)1/2Г(n/2) n Quando n = 1, la distribuzione corrispondente è detta distribuzione di Cauchy.

Se una serie è stazionaria in senso lato, non è necessariamente stazionaria in senso stretto. Allo stesso tempo, una serie strettamente stazionaria potrebbe non essere stazionaria in senso lato semplicemente perché potrebbe non avere un'aspettativa e/o una dispersione matematica. (In relazione a quest'ultimo, un esempio potrebbe essere un campione casuale della distribuzione di Cauchy.) Inoltre, sono possibili situazioni in cui le tre condizioni precedenti sono soddisfatte, ma, ad esempio, E(X) dipende da t.

Allo stesso tempo, nel caso generale, anche se alcune variabili casuali X, . .., X sono tra loro indipendenti e hanno la stessa distribuzione, questo non significa che formino un processo di rumore bianco, perché la variabile casuale Xt potrebbe semplicemente non avere un'aspettativa matematica e/o una varianza (possiamo ancora indicare la distribuzione di Cauchy come esempio).

Quando due o più fattori, ad esempio lavoro e beni materiali, sono coinvolti nel processo di produzione di beni e di fornitura di servizi, nonché nella successiva formazione delle entrate monetarie, una distribuzione logica di questi ultimi tra i fattori sembra generalmente impossibile. Si è ipotizzato che le attività utilizzabili sarebbero state compensate con i ricavi marginali netti, ma l'importo dei ricavi marginali privati ​​potrebbe rivelarsi superiore ai ricavi netti totali derivanti dalla vendita di prodotti e dalla fornitura di servizi.

Tali distribuzioni a coda lunga, soprattutto nei dati di Pareto, portarono Levy (1937), un matematico francese, a formulare la funzione di densità generalizzata, di cui le distribuzioni normali e le distribuzioni di Cauchy erano casi speciali. Levy utilizzò una versione generalizzata del Teorema del Limite Centrale. Queste distribuzioni corrispondono a un'ampia classe di fenomeni naturali, ma non hanno ricevuto molta attenzione a causa dei loro problemi insoliti e apparentemente insolubili. Le loro insolite proprietà continuano a renderli impopolari, ma le altre loro proprietà sono così vicine ai nostri risultati sui mercati dei capitali che dobbiamo esplorarle. Inoltre, le distribuzioni stabili di Lévy si sono rivelate utili per descrivere le proprietà statistiche del flusso turbolento e del rumore l/f - e sono anche frattali.

La Figura 14.2 (a) mostra la deviazione standard seriale per queste due serie. La deviazione standard seriale, come la media seriale, è un calcolo della deviazione standard man mano che le osservazioni vengono aggiunte una alla volta. In questo caso la differenza è ancora più evidente. L'ejad casuale converge rapidamente a una deviazione standard pari a 1. La distribuzione di Cauchy, al contrario, non converge mai. È invece caratterizzato da numerosi ampi salti intermittenti e grandi deviazioni dal valore normalizzato di 1.

Questo è il logaritmo della funzione caratteristica della distribuzione di Cauchy, che è nota per avere varianza e media infinite. In questo caso, 8 diventa la mediana della distribuzione e c diventa l'intervallo dei sette interquartili.

Holt e Row (1973) trovarono funzioni di densità di probabilità per a = da 0,25 a 2,00 e P pari a -1,00 a +1,00, entrambi con incrementi di 0,25. La metodologia utilizzata è stata interpolata tra distribuzioni note, come le distribuzioni di Cauchy e normali, e la rappresentazione integrale tratta dal lavoro di Zolotarev (1964/1966). Tabelle preparate per il primo

Come abbiamo discusso nel capitolo 14, le espressioni esplicite per le distribuzioni stabili esistono solo per casi particolari di distribuzioni normali e di Cauchy. Tuttavia, Bergstrom (1952) sviluppò un'espansione in serie che Fame e Roll usarono per approssimare le densità per molti valori di alfa. Quando a > 1.0, potrebbero utilizzare i risultati di Bergstrom per derivare la successiva serie convergente

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Definizione

Consideriamo la distribuzione di una variabile casuale $X$ dato dalla densità $f\_X(x)$, avente la forma:

$f\_X(x)\; =\; \backslash frac(1)(\backslash pi\backslash gamma\; \backslash left)\; =\; (\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; )\; \backslash left[\; (\; \backslash gamma\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash gamma^2\; )\; \backslash right]$,

• $x\_0\; \backslash in\; \backslash mathbb(R)$- parametro di spostamento;
• $\backslash gamma\; >\; 0$- parametro di scala.

Poi lo dicono $X$ ha distribuzione di Cauchy ed è scritto $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(x\_0,\backslash gamma)$. Se $x\_0\; =\; 0$ E $\backslash gamma\; =\; 1$, allora viene chiamata tale distribuzione standard Distribuzione di Cauchy.

Funzione di distribuzione

Ciò consente di generare un campione dalla distribuzione di Cauchy utilizzando il metodo della trasformazione inversa.

Momenti

non definito per $\backslash alpha\; \backslash geqslant\; 1$, né l'aspettativa matematica (sebbene l'integrale del 1° momento nel senso del valore principale sia pari a: $\backslash lim\backslash limits\_(c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty)\; \backslash int\backslash limits\_(-c)^(c)\; x\; \backslash cdot\; (\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; )\; \backslash left[\; (\; \backslash gamma\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash \; gamma^2\; )\; \backslash destra]\backslash ,\; dx\; =\; x\_0$), non sono determinati né la dispersione né i momenti di ordine superiore di questa distribuzione. A volte dicono che l'aspettativa matematica è indefinita, ma la varianza è infinita.

Altre proprietà

• La distribuzione di Cauchy è infinitamente divisibile.
• La distribuzione di Cauchy è stabile. In particolare, la media campionaria di un campione di una distribuzione di Cauchy standard ha essa stessa una distribuzione di Cauchy standard: if $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(0,1)$, Quello

Rapporti con altre distribuzioni

• Se $U\backslash sim\; U$, Quello

• Se $X\_1,X\_2$ sono variabili casuali normali indipendenti tali che $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(N)(0,1),\backslash ;\; io=1,2$, Quello

• La distribuzione di Cauchy standard è un caso speciale della distribuzione di Student:

Aspetto nei problemi pratici

• La distribuzione di Cauchy caratterizza la lunghezza del segmento tagliato sull'asse x di una retta fissato in un punto dell'asse delle ordinate, se l'angolo tra la retta e l'asse delle ordinate ha distribuzione uniforme sull'intervallo (−π ; π) (cioè la direzione della retta è isotropa sul piano).
• In fisica, la distribuzione di Cauchy (chiamata anche forma di Lorentz) descrive i profili di linee spettrali uniformemente allargate.
• La distribuzione di Cauchy descrive le caratteristiche di ampiezza-frequenza dei sistemi oscillatori lineari in prossimità delle frequenze di risonanza.

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Un estratto che caratterizza la distribuzione di Cauchy

Le urla e gli incendi nell'esercito nemico avvenivano perché mentre tra le truppe veniva letto l'ordine di Napoleone, l'imperatore stesso girava a cavallo nei suoi bivacchi. I soldati, vedendo l'imperatore, accesero mazzi di paglia e, gridando: vive l "empereur! Gli corsero dietro. L'ordine di Napoleone era il seguente:
“Soldati! L'esercito russo si scaglia contro di te per vendicare l'esercito austriaco di Ulm. Questi sono gli stessi battaglioni che hai sconfitto a Gollabrunn e che da allora hai costantemente inseguito fino a qui. Le posizioni che occupiamo sono potenti e mentre si muovono per fiancheggiarmi a destra, metteranno a nudo il mio fianco! Soldati! Io stesso guiderò i tuoi battaglioni. Starò lontano dal fuoco se tu, con il tuo consueto coraggio, porterai disordine e confusione nelle file nemiche; ma se la vittoria sarà in dubbio anche per un solo minuto, vedrai il tuo imperatore esposto ai primi colpi del nemico, perché nella vittoria non ci possono essere dubbi, soprattutto in un giorno in cui l'onore della fanteria francese, che è così necessario per l’onore della sua nazione, è in gioco.

DISTRIBUZIONE CAUCHY, distribuzione di probabilità di una variabile casuale X avente densità

dove - ∞< μ < ∞ и λ>0 - parametri. La distribuzione di Cauchy è unimodale e simmetrica rispetto al punto x = μ, che è modo e mediana di tale distribuzione [Le figure a e b mostrano i grafici della densità p(x; λ, μ) e della corrispondente funzione di distribuzione F (x ; λ, μ) per μ =1 ,5 e λ = 1]. L'aspettativa matematica della distribuzione di Cauchy non esiste. La funzione caratteristica della distribuzione di Cauchy è pari a e iμt - λ|t| , - ∞< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Se le variabili casuali indipendenti X 1,...,X n hanno la stessa distribuzione di Cauchy, allora la loro media aritmetica (X 1 + ... + X n)/n per ogni n = 1,2, ... ha la stessa distribuzione ; questo fatto fu stabilito da S. Poisson (1830). La distribuzione di Cauchy è una distribuzione stabile. Il rapporto X/Y delle variabili casuali indipendenti X e Y con distribuzione normale standard ha una distribuzione di Cauchy con parametri 0 e 1. La distribuzione della tangente tan Z di una variabile casuale Z, con distribuzione uniforme sull'intervallo [-π /2, π/2], ha anch'essa una distribuzione di Cauchy con parametri 0 e 1. La distribuzione di Cauchy fu considerata da O. Cauchy (1853).

Enciclopedia fisica

DISTRIBUZIONE CAUCHY

DISTRIBUZIONE CAUCHY

Distribuzione di probabilità con densità

e funzione distributiva

Parametro di spostamento, >0 - parametro di scala. Recensito nel 1853 da O. Cauchy. Funzione caratteristica K.r. uguale a esp ; momenti di ordine R 1 non esiste, quindi legge dei grandi numeri per K.r. non eseguito [se X 1 ..., Xn sono variabili casuali indipendenti con lo stesso K. r., allora N -1 (X1+...+Xn) ha lo stesso K. r.]. Famiglia K. b. è chiuso rispetto a trasformazioni lineari: se la variabile casuale X ha una distribuzione (*), quindi aX+b ha anche K. r. con parametri , . K.r.- distribuzione sostenibile con esponente 1, simmetrico rispetto al punto x=. K.r. ha, ad esempio, la relazione X/Y variabili casuali indipendenti normalmente distribuite con medie pari a zero, così come la funzione , dove la variabile casuale Z uniformemente distribuito . Vengono considerati anche gli analoghi multidimensionali di K. r..

Illuminato.: Feller V., Introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni, trad. dall'inglese, vol.2, M., 1984.

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