La posizione relativa di due cerchi. Teoria

Classe 7G, Z

Argomento della lezione: “La posizione relativa di due cerchi”
Obiettivo: conoscere possibili casi di posizione relativa di due cerchi; applicare le conoscenze nella risoluzione dei problemi.

Obiettivi: Formativi: facilitare la creazione e il consolidamento negli studenti di una rappresentazione visiva di possibili casi della localizzazione di due cerchi; gli studenti saranno in grado di:

Stabilire una connessione tra le posizioni relative dei cerchi, i loro raggi e la distanza tra i loro centri;

Analizzare un disegno geometrico e modificarlo mentalmente,

Sviluppare l'immaginazione planimetrica.

Gli studenti saranno in grado di applicare le conoscenze teoriche alla risoluzione dei problemi.

Tipologia di lezione: lezione di introduzione e consolidamento di nuove conoscenze della materia.

Attrezzatura: presentazione della lezione; compasso, righello, matita e libro di testo per ogni studente.

Esercitazione: . “Geometria 7° grado”, Almaty “Atamura” 2012

Durante le lezioni.

Organizzare il tempo. Controllo dei compiti.

3. Aggiornamento delle conoscenze di base.

Ripeti le definizioni di circonferenza, circonferenza, raggio, diametro, corda, distanza da un punto a una retta.

1) 1) Quali casi della posizione di una linea e di un cerchio conosci?

2) Quale retta si chiama tangente?

3) Quale retta si chiama secante?

4) Teorema sul diametro perpendicolare alla corda?

5) Come è la tangente rispetto al raggio del cerchio?

6) Compila la tabella (a carte).

Gli studenti, sotto la guida del docente, risolvono e analizzano problemi.

1) La retta a è tangente a una circonferenza di centro O. Il punto A è dato sulla retta a. L'angolo tra la tangente e il segmento OA è 300. Trova la lunghezza del segmento OA se il raggio è 2,5 m.

2) Determinare la posizione relativa della linea e del cerchio se:

1. R=16 cm, p=12 cm 2. R=5 cm, p=4,2 cm 3. R=7,2 dm, p=3,7 dm 4. R=8 cm, p=1,2 dm 5. R=5 cm, p= 50 mm

a) una retta e un cerchio non hanno punti in comune;

b) la retta è tangente alla circonferenza;

c) una retta interseca un cerchio.

d è la distanza dal centro del cerchio alla linea retta, R è il raggio del cerchio.

3) Cosa si può dire della posizione relativa della linea e del cerchio se il diametro del cerchio è 10,3 cm e la distanza dal centro del cerchio alla linea è 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Data una circonferenza di centro O e punto A. Dove si trova il punto A se il raggio della circonferenza è 7 cm e la lunghezza del segmento OA è: a) 4 cm; b) 10 centimetri; c) 70 mm.

4. Insieme agli studenti, scopri l'argomento della lezione e formula gli obiettivi della lezione.

5. Introduzione di nuovo materiale.

Lavoro pratico in gruppo.

Costruisci 3 cerchi. Per ogni cerchio, costruisci un altro cerchio in modo che 1) 2 cerchi non si intersechino, 2) 2 cerchi si tocchino, 3) due cerchi si intersechino. Trova il raggio di ciascun cerchio e la distanza tra i centri dei cerchi, confronta i risultati. Cosa si può concludere?
2) Riassumi e annota su un quaderno i casi della posizione relativa di due cerchi.

La posizione relativa di due cerchi su un piano.

I cerchi non hanno punti in comune (non si intersecano). (R1 e R2 sono i raggi dei cerchi)

Se R1 + R2< d,

d – Distanza tra i centri dei cerchi.

c) I cerchi hanno due punti in comune. (intersecare).

Se R1 + R2 > d,

Domanda. Due cerchi possono avere tre punti in comune?

6. Consolidamento del materiale studiato.

Trova un errore nei dati o nella dichiarazione e correggilo, motivando la tua opinione:
A) Due cerchi si toccano. I loro raggi sono pari a R = 8 cm e r = 2 cm, la distanza tra i centri è d = 6.
B) Due circonferenze hanno almeno due punti in comune.
B) R = 4, r = 3, d = 5. I cerchi non hanno punti in comune.
D) R = 8, r = 6, d = 4. Il cerchio più piccolo si trova all'interno di quello più grande.
D) Non è possibile posizionare due cerchi in modo che uno sia dentro l'altro.

7. Riepilogo della lezione. Cosa hai imparato nella lezione? Quale modello è stato stabilito?

Come si possono posizionare due cerchi? In quale caso i cerchi hanno un punto comune? Come si chiama il punto comune di due circonferenze? Quali tocchi conosci? Quando si intersecano i cerchi? Quali cerchi sono detti concentrici?

Argomento della lezione: " La posizione relativa di due cerchi su un piano.

Bersaglio :

Educativo - padroneggiare nuove conoscenze sulla posizione relativa di due cerchi, preparandosi per il test

Sviluppo - sviluppo delle capacità computazionali, sviluppo del pensiero logico-strutturale; sviluppare capacità nel trovare soluzioni razionali e nel raggiungimento dei risultati finali; sviluppo dell’attività cognitiva e del pensiero creativo .

Educativo – formazione di responsabilità e coerenza negli studenti; sviluppo di qualità cognitive ed estetiche; formazione della cultura dell'informazione degli studenti.

Correttivo - sviluppare il pensiero spaziale, la memoria, le capacità motorie della mano.

Tipo di lezione: apprendimento di nuovo materiale didattico, consolidamento.

Tipo di lezione: lezione mista.

Metodo d'insegnamento: verbale, visivo, pratico.

Forma di studio: collettivo.

Mezzi di istruzione: asse

DURANTE LE LEZIONI:

1. Fase organizzativa

- Saluti;

- verificare la preparazione alla lezione;

2. Aggiornamento delle conoscenze di base.
Quali argomenti abbiamo trattato nelle lezioni precedenti?

Forma generale dell'equazione della circonferenza?

Eseguire oralmente:

Sondaggio lampo

3. Introduzione di nuovo materiale.

Quale cifra pensi che prenderemo in considerazione oggi... E se fossero due??

Come si possono localizzare???

I bambini mostrano con le mani (vicini) come si possono disporre i cerchi (verbale di educazione fisica)

Bene, cosa pensi che dovremmo considerare oggi? Oggi dovremmo considerare la posizione relativa di due cerchi. E scopri qual è la distanza tra i centri a seconda della posizione.

Argomento della lezione: « La posizione relativa di due cerchi. Risoluzione dei problemi. »

1. Cerchi concentrici

2. Cerchi disgiunti

3. Tocco esterno

4. Cerchi che si intersecano

5. Tocco interno

Quindi concludiamo

4.Formazione di competenze e abilità

Trova un errore nei dati o nella dichiarazione e correggilo, motivando la tua opinione:

A) Due cerchi si toccano. I loro raggi sono pari a R = 8 cm e r = 2 cm, la distanza tra i centri è d = 6.
B) Due circonferenze hanno almeno due punti in comune.

B) R = 4, r = 3, d = 5. I cerchi non hanno punti in comune.

D) R = 8, r = 6, d = 4. Il cerchio più piccolo si trova all'interno di quello più grande.

D) Non è possibile posizionare due cerchi in modo che uno sia dentro l'altro.

5. Consolidamento delle competenze e delle abilità.

I cerchi si toccano esternamente. Il raggio del cerchio più piccolo è 3 cm Il raggio del cerchio più grande è 5 cm Qual è la distanza tra i centri?

Soluzione: 3+5=8(cm)

I cerchi si toccano internamente. Il raggio del cerchio più piccolo è 3 cm Il raggio del cerchio più grande è 5 cm Qual è la distanza tra i centri dei cerchi?

Soluzione: 5-3=2(cm)

I cerchi si toccano internamente. La distanza tra i centri dei cerchi è 2,5 cm Quali sono i raggi dei cerchi?

risposta: (5,5 cm e 3 cm), (6,5 cm e 4 cm), ecc.

VERIFICA DELLA COMPRENSIONE

1) Come si possono posizionare due cerchi?

2) In quali casi i cerchi hanno un punto in comune?

3) Come si chiama il punto comune di due cerchi?

4) Quali tocchi conosci?

5) Quando si intersecano i cerchi?

6) Quali cerchi sono detti concentrici?

Compiti aggiuntivi sull'argomento: vettori. Metodo delle coordinate "(se c'è tempo rimasto)

1)E(4;12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Trova:

a) coordinate vettorialiE.F., G.H.

b) lunghezza del vettoreF.G

c) coordinate del punto O - il centroE.F.

coordinate del puntoW- mezzoG.H.

d) equazione della circonferenza con diametroF.G

e) equazione di una rettaFH

6. Compiti a casa

e 96 n. 1000. Quali di queste equazioni sono equazioni di una circonferenza. Trova centro e raggio

7. Riassumendo la lezione (3 minuti)

(dare una valutazione qualitativa del lavoro della classe e dei singoli studenti).

8. Fase di riflessione (2 minuti.)

Lascia che i cerchi siano definiti da un vettore dall'origine al centro e dal raggio di questo cerchio.

Considera i cerchi A e B con raggi Ra e Rb e vettori del raggio (vettore al centro) a e b. Inoltre, Oa e Ob sono i loro centri. Senza perdita di generalità, assumeremo che Ra > Rb.

Allora sono soddisfatte le seguenti condizioni:

Punti di intersezione di due circonferenze

Supponiamo che A e B si intersechino in due punti. Troviamo questi punti di intersezione.

Per fare ciò, un vettore da a a un punto P, che giace sul cerchio A e giace su OaOb. Per fare ciò, devi prendere il vettore b - a, che sarà il vettore tra i due centri, normalizzarlo (sostituirlo con un versore codirezionale) e moltiplicarlo per Ra. Indichiamo il vettore risultante come p. Questa configurazione può essere vista in Fig. 6

Riso. 6. I vettori a, b, p e dove vivono.

Indichiamo i1 e i2 come vettori da a ai punti di intersezione I1 e I2 di due cerchi. Diventa ovvio che i1 e i2 si ottengono ruotando da p. Perché conosciamo tutti i lati dei triangoli OaI1Ob e OaI2Ob (raggi e distanza tra i centri), possiamo ottenere questo angolo fi, ruotando il vettore p in una direzione darà I1 e nell'altra I2.

Per il teorema del coseno vale:

Se ruoti p di fi, ottieni i1 o i2, a seconda del modo in cui ruoti. Successivamente, il vettore i1 o i2 deve essere aggiunto ad a per ottenere il punto di intersezione

Questo metodo funzionerà anche se il centro di un cerchio si trova all'interno dell'altro. Ma in questo caso il vettore p dovrà essere sicuramente specificato nella direzione da a a b, come abbiamo fatto noi. Se costruisci p in base a un altro cerchio, non ne verrà fuori nulla

Ebbene, in conclusione, va detto un fatto: se i cerchi si toccano, allora è facile verificare che P è il punto di contatto (questo vale sia per il contatto interno che per quello esterno).
Qui puoi vedere la visualizzazione (è necessario fare clic per avviarla).

Questo metodo funziona, ma invece dell'angolo di rotazione, puoi calcolare il suo coseno, e attraverso di esso il seno, e quindi usarli quando ruoti il ​​vettore. Ciò semplificherà notevolmente i calcoli eliminando il codice dalle funzioni trigonometriche.

Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa

Istituzione educativa di bilancio comunale

città di Novosibirsk "Palestra n. 4"

Sezione: matematica

RICERCA

su questo argomento:

PROPRIETÀ DI DUE CERCHI CHE TOCCANO

Studenti del 10° anno:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeniy Vladimirovich

Supervisore:

LL. Barinova

Insegnante di matematica

Categoria di qualificazione più alta

§ 1.Introduzione………..…………….…………….………………3

§ 1.1 La posizione relativa di due cerchi………...………………...………3

§ 2 Beni e loro prove……………..………………….....….…4

§ 2.1 Proprietà 1………………...……………..…………………...….…4

§ 2.2 Proprietà 2……………………………………..…………………...………5

§ 2.3 Proprietà 3………………………...………6

§ 2.4 Proprietà 4……………………………………..…………………...………6

§ 2.5 Proprietà 5……………..…………...………8

§ 2.6 Proprietà 6…………………..………...………9

§ 3 Compiti……………………..………………...…...………..…11

Riferimenti………………………….………….13

§ 1. introduzione

Molti problemi che coinvolgono due circonferenze tangenti possono essere risolti più brevemente e semplicemente conoscendo alcune delle proprietà che verranno presentate di seguito.

La posizione relativa di due cerchi

Per cominciare, stabiliamo la possibile posizione relativa dei due cerchi. Potrebbero esserci 4 casi diversi.

1. I cerchi non possono intersecarsi.

2. Intersecare.

3. Toccare un punto all'esterno.

4.Toccare un punto all'interno.

§2. Proprietà e loro dimostrazioni

Passiamo direttamente alla dimostrazione delle proprietà.

§ 2.1 Proprietà 1

I segmenti compresi tra i punti di intersezione delle tangenti con i cerchi sono uguali tra loro e uguali a due raggi medi geometrici dei cerchi dati.

Prova 1. O 1 A 1 e O 2 B 1 – raggi tracciati verso i punti di contatto.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (secondo il punto 1)

1. ▲O 1 O 2 D – rettangolare, perché О 2 D ┴ О 2 В 1
2. O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

1. Secondo il teorema di Pitagora A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (dimostrato in modo simile)

1) Disegniamo i raggi nei punti di intersezione delle tangenti con i cerchi.

2) Questi raggi saranno perpendicolari alle tangenti e paralleli tra loro.

3) Abbassiamo una perpendicolare dal centro del cerchio più piccolo al raggio del cerchio più grande.

4) L'ipotenusa del triangolo rettangolo risultante è uguale alla somma dei raggi dei cerchi. La gamba è uguale alla loro differenza.

5) Utilizzando il teorema di Pitagora otteniamo la relazione richiesta.

§ 2.2 Proprietà 2

I punti di intersezione di una retta che interseca il punto di tangenza delle circonferenze e non giace in nessuno di esse con le tangenti, dividono a metà i segmenti delle tangenti esterne, limitati dai punti di tangenza, in parti, ciascuna delle quali è uguale alla media geometrica dei raggi di questi cerchi.

Prova 1.SM= MA 1 (come segmenti tangenti)

2.MC = MV 1 (come segmenti tangenti)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (secondo i punti 1 e 2 )

Affermazioni utilizzate nella dimostrazione I segmenti tangenti disegnati da un punto a una certa circonferenza sono uguali. Usiamo questa proprietà per entrambi i cerchi indicati.

§ 2.3 Proprietà 3

La lunghezza del segmento di tangente interna racchiuso tra le tangenti esterne è uguale alla lunghezza del segmento di tangente esterna tra i punti di contatto ed è uguale a due raggi medi geometrici dei cerchi dati.

Prova Questa conclusione segue dalla proprietà precedente.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Proprietà 4

Il triangolo formato dai centri dei cerchi tangenti e dal punto medio del segmento tangente tra i raggi tracciati nei punti di contatto è rettangolare. Il rapporto tra le sue gambe è uguale al quoziente delle radici dei raggi di questi cerchi.

Prova 1.MO 1 è la bisettrice dell'angolo A 1 MS, MO 2 è la bisettrice dell'angolo B 1 MS, perché Il centro di una circonferenza inscritta in un angolo giace sulla bisettrice di quest'angolo.

2.Secondo il punto 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0.5(РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – diretto. MC è l'altezza del triangolo O 1 MO 2, perché la tangente MN è perpendicolare ai raggi tracciati nei punti di contatto → i triangoli O 1 MC e MO 2 C sono simili.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (simile)

Affermazioni utilizzate nella dimostrazione 1) Il centro di una circonferenza inscritta in un angolo giace sulla bisettrice di quest'angolo. I cateti di un triangolo sono le bisettrici degli angoli.

2) Utilizzando il fatto che gli angoli così formati sono uguali, troviamo che l'angolo che cerchiamo è un angolo retto. Concludiamo che questo triangolo è effettivamente rettangolo.

3) Dimostriamo la somiglianza dei triangoli in cui l'altezza (poiché la tangente è perpendicolare ai raggi tracciati nei punti di tangenza) divide il triangolo rettangolo, e per somiglianza otteniamo il rapporto richiesto.

§ 2.5 Proprietà 5

Il triangolo formato dai punti di contatto dei cerchi tra loro e dai punti di intersezione dei cerchi con la tangente è rettangolare. Il rapporto tra le sue gambe è uguale al quoziente delle radici dei raggi di questi cerchi.

Prova

1. ▲A 1 MC e ▲SMV 1 sono isosceli → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Ma RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – diretto → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC e ▲CO 2 B 1 sono simili → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Affermazioni utilizzate nella dimostrazione 1) Scriviamo la somma degli angoli dei triangoli, approfittando del fatto che sono isosceli. L'isoscele dei triangoli si dimostra utilizzando la proprietà di uguaglianza dei segmenti tangenti.

2) Avendo scritto la somma degli angoli in questo modo, troviamo che il triangolo in questione ha un angolo retto, quindi è rettangolare. La prima parte dell'affermazione è stata dimostrata.

3) Usando la somiglianza dei triangoli (per giustificarlo usiamo il segno di somiglianza a due angoli) troviamo il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo.

§ 2.6 Proprietà 6

Il quadrilatero formato dai punti di intersezione dei cerchi con la tangente è un trapezio nel quale è inscrivibile un cerchio.

Prova 1.▲A 1 RA 2 e ▲B 1 PB 2 sono isoscele perché A 1 P = RA 2 e B 1 P = PB 2 come segmenti tangenti → ▲A 1 RA 2 e ▲B 1 PB 2 – simili.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, perché i corrispondenti angoli formati all'intersezione della secante A 1 B 1 sono uguali.

1. MN – linea mediana secondo la proprietà 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → nel trapezio A 2 A 1 B 1 B 2 la somma delle basi è uguale alla somma dei lati, e questa è condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un cerchio inscritto.

Affermazioni utilizzate nella dimostrazione 1) Usiamo ancora la proprietà dei segmenti tangenti. Con il suo aiuto dimostreremo gli isosceli dei triangoli formati dal punto di intersezione delle tangenti e dai punti di tangenza.

2) Da ciò ne conseguirà che questi triangoli sono simili e le loro basi sono parallele. Su questa base concludiamo che questo quadrilatero è un trapezio.

3) Utilizzando la proprietà (2) dimostrata in precedenza, troviamo la linea mediana del trapezio. È uguale a due raggi medi geometrici dei cerchi. Nel trapezio risultante la somma delle basi è uguale alla somma dei lati, e questa è condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un cerchio inscritto.

§ 3. Problemi

Vediamo un esempio pratico di come è possibile semplificare la soluzione di un problema utilizzando le proprietà sopra descritte.

Problema 1

Nel triangolo ABC il lato AC = 15 cm Nel triangolo è inscritta una circonferenza. Il secondo cerchio tocca il primo e i lati AB e BC. Sul lato AB viene selezionato il punto F e sul lato BC viene selezionato il punto M in modo che il segmento FM sia una tangente comune ai cerchi. Trova il rapporto tra le aree del triangolo BFM e del quadrilatero AFMC, se FM è 4 cm e il punto M si trova due volte più lontano dal centro di un cerchio rispetto al centro dell'altro.

Dato: FM-tangente totale AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Trova S BFM /S AFMC

Soluzione:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0.5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P e ▲BO 2 Q sono simili → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Problema 2

Due cerchi tangenti aventi il ​​punto comune D e la tangente comune FK passante per questo punto sono inscritti in un triangolo isoscele ABC. Trova la distanza tra i centri di questi cerchi se la base del triangolo AC = 9 cm, e il segmento del lato del triangolo compreso tra i punti di tangenza dei cerchi è 4 cm.

Dato: ABC – triangolo isoscele; FK – tangente comune delle circonferenze inscritte. CA = 9 cm; NE = 4 cm

Soluzione:

Le rette AB e CD si intersecano nel punto O. Allora OA = OD, OB = OC, quindi CD = = AB = 2√Rr

I punti O 1 e O 2 giacciono sulla bisettrice dell'angolo AOD. La bisettrice di un triangolo isoscele AOD è la sua altezza, quindi AD ┴ O 1 O 2 e BC ┴ O 1 O 2, che significa

dC ║ BC e ABCD – trapezio isoscele.

Il segmento MN è la sua linea mediana, quindi AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Pertanto in questo trapezio è possibile inscrivere un cerchio.

Sia AP l'altezza del trapezio, i triangoli rettangoli ARB e O 1 FO 2 sono simili, quindi AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

Da qui lo troviamo

Bibliografia

• Supplemento al quotidiano “Primo settembre” “Matematica” n. 43, 2003
• Esame di Stato Unificato 2010. Matematica. Compito C4. Gordin R.K.