Video lezione “Isolamento dell'intera parte da una frazione impropria. Rappresentazione di un numero misto come frazione impropria

È consuetudine scrivere senza il segno $"+"$ come $n\frac(a)(b)$.

Esempio 1

Ad esempio, la somma $4+\frac(3)(5)$ viene scritta come $4\frac(3)(5)$. Tale voce è chiamata frazione mista e il numero che corrisponde ad essa è chiamato numero misto.

Definizione 1

numero mistoè un numero uguale alla somma di un numero naturale $n$ e di una frazione ordinaria propria $\frac(a)(b)$, scritta come $n\frac(a)(b)$. In questo caso, il numero $n$ è chiamato $n\frac(a)(b)$ e il numero $\frac(a)(b)$ è chiamato parte frazionaria del numero/

Per i numeri misti, le uguaglianze $n\frac(a)(b)=n+\frac(a)(b)$ e $n+\frac(a)(b)=n\frac(a)(b)$ sono valido.

Esempio 2

Ad esempio, il numero $7\frac(4)(9)$ è un numero misto, dove il numero naturale $7$ è la sua parte intera, $\frac(4)(9)$ è la sua parte frazionaria. Esempi di numeri misti: $17\frac(1)(2)$, $456\frac(111)(500)$, $23000\frac(4)(5)$.

Ci sono numeri in notazione mista che contengono una frazione impropria nella parte frazionaria. Ad esempio, $3\frac(54)(5)$, $56\frac(9)(2)$. Il record di questi numeri può essere rappresentato come la somma delle loro parti intere e frazionarie. Ad esempio, $3\frac(54)(5)=3+\frac(54)(5)$ e $56\frac(9)(2)=56+\frac(9)(2)$. Tali numeri non si adattano alla definizione di un numero misto, perché la parte frazionaria dei numeri misti deve essere una frazione propria.

Anche il numero $0\frac(2)(7)$ non è un numero misto, perché $0$ non è un numero naturale.

Conversione di un numero misto in una frazione impropria

Algoritmo per convertire un numero misto in una frazione impropria:

Scrivi il numero misto $n\frac(a)(b)$ come somma della parte intera e frazionaria di questo numero, cioè nella forma $n+\frac(a)(b)$.

Sostituisci la parte intera del numero misto originale con una frazione con denominatore $1$.

Aggiungi le frazioni ordinarie $\frac(n)(1)$ e $\frac(a)(b)$ per ottenere la frazione impropria desiderata uguale al numero misto originale.

Esempio 3

Esprimi il numero misto $7\frac(3)(5)$ come frazione impropria.

Soluzione.

Usiamo l'algoritmo per convertire un numero misto in una frazione impropria.

Numero misto $7\frac(3)(5)=7+\frac(3)(5)$.

Scriviamo il numero $7$ come $\frac(7)(1)$.

Somma le frazioni ordinarie $\frac(7)(1)+\frac(3)(5)=\frac(35)(5)+\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$ .

Scriviamo un breve resoconto di questa decisione:

Risposta:$7\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$

L'intero algoritmo per convertire un numero misto $n\frac(a)(b)$ in una frazione impropria si riduce a \textit(formula per convertire un numero misto in una frazione impropria):

Esempio 4

Scrivi il numero misto $14\frac(3)(5)$ come frazione impropria.

Soluzione.

Usiamo la formula $n\frac(a)(b)=\frac(n\cdot b+a)(b)$ per convertire un numero misto in una frazione impropria. In questo esempio $n=14$, $a=3$, $b=5$.

Otteniamo $14\frac(3)(5)=\frac(14\cdot 5+3)(5)=\frac(73)(5)$.

Risposta:$14\frac(3)(5)=\frac(73)(5)$

Estrarre la parte intera da una frazione impropria

Quando si riceve una soluzione numerica, non è consuetudine lasciare la risposta sotto forma di frazione impropria. Una frazione impropria viene convertita in un numero naturale uguale ad essa (se il numeratore è divisibile per il denominatore), oppure la parte intera viene separata dalla frazione impropria (se il numeratore non è divisibile per il denominatore).

Definizione 2

Estrarre la parte intera da una frazione impropria si chiama la sostituzione di una frazione con il suo numero misto.

Per estrarre la parte intera da una frazione impropria, devi rappresentare la frazione impropria $\frac(a)(b)$ come un numero misto $q\frac(r)(b)$, dove $q$ è un numero incompleto quoziente, $r$-- resto quando $a$ è diviso per $b$. Pertanto, la parte intera è uguale al quoziente incompleto di $a$ diviso per $b$, e il resto è uguale al numeratore della parte frazionaria.

Proviamo questa affermazione. Per fare ciò, è sufficiente mostrare che $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$.

Converti il numero misto $q\frac(r)(b)$ in una frazione impropria usando la formula:

Perché $q$ è il quoziente incompleto, $r$ è il resto della divisione di $a$ per $b$, quindi $a=b\cdot q+r$ è vero. Quindi, $\frac(q\cdot b+r)(b)=\frac(a)(b)$, da cui $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$, che doveva essere mostrato.

Pertanto, formuliamo \textit (la regola per estrarre la parte intera da una frazione impropria) $\frac(a)(b)$:

Dividi $a$ per $b$ con resto, determinando il quoziente incompleto $q$ e il resto $r$.

Scrivi il numero misto $q\frac(r)(b)$ uguale alla frazione originale $\frac(a)(b)$.

Esempio 5

Estrarre la parte intera dalla frazione $\frac(107)(4)$.

Soluzione.

Facciamo la divisione delle colonne:

Immagine 1.

Quindi, dividendo il numeratore $a=107$ per il denominatore $b=4$, otteniamo il quoziente incompleto $q=26$ e il resto $r=3$.

Otteniamo che la frazione impropria $\frac(107)(4)$ è uguale al numero misto $q\frac(r)(b)=26\frac(3)(4)$.

Risposta: $\frac((\rm 107))((\rm 4))(\rm =26)\frac((\rm 3))((\rm 4))$.

Somma di un numero misto e di un numero naturale

Regola di addizione per numeri misti e naturali:

Per sommare un numero misto e uno naturale, è necessario sommare questo numero naturale alla parte intera del numero misto, la parte frazionaria rimane invariata:

dove $a\frac(b)(c)$ è un numero misto,

$n$ è un numero naturale.

Esempio 6

Aggiungi il numero misto $23\frac(4)(7)$ e il numero $3$.

Soluzione.

Risposta:$23\frac(4)(7)+3=26\frac(4)(7).$

Sommando due numeri misti

Quando due numeri misti vengono sommati, vengono sommate le loro parti intere e le parti frazionarie.

Esempio 7

Aggiungi numeri misti $3\frac(1)(5)$ e $7\frac(4)(7)$.

Soluzione.

Usiamo la formula:

\ \

Risposta:$10\frac(27)(35).$

Come estrarre la parte intera da una frazione impropria? Per selezionare una parte intera da una frazione impropria, devi: Dividere il numeratore per il denominatore con il resto; Il quoziente incompleto sarà la parte intera; Il resto (se presente) dà il numeratore e il divisore dà il denominatore della parte frazionaria. Fare n. 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Immagine 22 dalla presentazione "Numeri Misti Grado 5" alle lezioni di matematica sul tema "Numeri misti"

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numeri misti

"Riassunto di una lezione di matematica" - Segui il modello. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (alla scacchiera) e) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, f, h (alla lavagna). Nell'orto sono stati raccolti 12 kg di cetrioli. 2/3 di tutti i cetrioli erano in salamoia. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Mostra la frazione 2/8+3/8. Formula una regola di sottrazione. Imparare nuovo materiale:

"Confronto di frazioni decimali" - Lo scopo della lezione. Confronta i numeri: Conto mentale. 9.85 e 6.97; 75.7 e 75.700; 0,427 e 0,809; 5.3 e 5.03; 81.21 e 81.201; 76.005 e 76.05; 3.25 e 3.502; Leggi le frazioni: 41.1; 77.81; 21.005; 0.0203. 41.1; 77.81; 21.005; 0.0203. Equalizza il numero di cifre decimali. Piano di lezione. Luoghi delle frazioni decimali. Lezione di consolidamento in 5a elementare.

"Regole per l'arrotondamento dei numeri" - 1.8. 48. Ben fatto! 3. 3. Impara ad applicare la regola di arrotondamento con esempi. Prova a confrontare. Arrotonda i numeri interi alle decine. 1. Ricorda la regola per arrotondare i numeri. È conveniente lavorare con un numero del genere? Centomillesimi. 3. Annota il risultato. 5312. >. 2. Ricavare una regola per arrotondare le frazioni decimali a una determinata cifra.

"Somma di numeri misti" - 25. Esempio 4. Trova il valore della differenza 3 4\9-1 5\6. 3 4 \ 9 \u003d 3 818; 15\6=115\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Estratto della lezione nel grado 6

ha un numeratore maggiore del denominatore. Tali frazioni sono dette improprie.

Ricordare!

Una frazione impropria ha un numeratore uguale o maggiore del denominatore. Ecco perché frazione impropria o uguale a uno o maggiore di uno.

Ogni frazione impropria è sempre maggiore di quella propria.

Come selezionare la parte intera

Una frazione impropria può avere una parte intera. Vediamo come questo può essere fatto.

Per estrarre la parte intera da una frazione impropria è necessario:

dividi il numeratore per il denominatore con il resto;
il quoziente incompleto risultante viene scritto nella parte intera della frazione;
il resto si scrive al numeratore della frazione;
il divisore si scrive al denominatore della frazione.

Esempio. Separa la parte intera da una frazione impropria

Ricordare!

Viene chiamato il numero risultante sopra, contenente un intero e una parte frazionaria numero misto.

Abbiamo ottenuto un numero misto da una frazione impropria, ma puoi anche eseguire l'azione inversa, cioè rappresentare un numero misto come una frazione impropria.

Per rappresentare un numero misto come una frazione impropria:

moltiplicare la sua parte intera per il denominatore della parte frazionaria;
sommare al prodotto risultante il numeratore della parte frazionaria;
scrivi l'importo ricevuto dal paragrafo 2 al numeratore della frazione e lascia lo stesso il denominatore della parte frazionaria.

Esempio. Rappresentiamo il numero misto come una frazione impropria.

§ 1 Separazione della parte intera da una frazione impropria

In questa lezione imparerai come convertire una frazione impropria in un numero misto evidenziando la parte intera e anche come ottenere una frazione impropria da un numero misto.

Innanzitutto, ricordiamo cosa sono un numero misto e una frazione impropria.

Un numero misto è una forma speciale di un numero che contiene una parte intera e una parte frazionaria.

Una frazione impropria è una frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore.

Considera il problema:

Divideremo 8 dolci tra tre bambini. Quanto riceverà ciascuno?

Per scoprire quanti dolci riceverà ogni bambino, devi farlo

Ma non è consuetudine scrivere una frazione impropria nella risposta. Si sostituisce preliminarmente o con un numero naturale uguale ad esso (quando il numeratore è diviso interamente per il denominatore), oppure si effettua la cosiddetta separazione della parte intera da una frazione impropria (quando il numeratore non è diviso per il denominatore).

Estrarre la parte intera da una frazione impropria significa sostituire la frazione con un numero misto uguale ad essa.

Per estrarre la parte intera da una frazione impropria, devi dividere il numeratore per il denominatore con un resto. In questo caso, il quoziente incompleto sarà la parte intera, il resto sarà il numeratore e il divisore sarà il denominatore.

Torniamo al compito.

Quindi, dividiamo 8 per 3 con un resto, otteniamo 2 nel quoziente incompleto e 2 nel resto.

§ 2 Rappresentazione di un numero misto come frazione impropria

Facciamo il seguente compito:

Dividiamo 49 per 13, otteniamo 3 nel quoziente incompleto (questa sarà la parte intera) e il resto 10 (lo scriveremo al numeratore della parte frazionaria).

Per eseguire varie azioni con numeri misti, è utile l'abilità di rappresentare numeri misti come frazioni improprie. È ora di capire come viene eseguita una tale traduzione.

Per rappresentare un numero misto come una frazione impropria, devi moltiplicare il denominatore della frazione per la parte intera e aggiungere il numeratore al prodotto risultante. Di conseguenza, otteniamo un numero che sarà il numeratore della nuova frazione e il denominatore rimane invariato.

Il primo passo è moltiplicare la parte intera di 5 per il denominatore 7, otteniamo 35.

Il secondo passaggio consiste nell'aggiungere il numeratore 4 al prodotto risultante 35, sarà 39.

Ora scriviamo 39 al numeratore e lasciamo 7 al denominatore.

Quindi, in questa lezione hai imparato come convertire una frazione impropria in un numero misto, per questo devi dividere il numeratore per il denominatore con un resto. Quindi il quoziente incompleto sarà la parte intera, il resto sarà il numeratore e il divisore sarà il denominatore della parte frazionaria del numero misto.

Hai anche conosciuto la rappresentazione di un numero misto come frazione impropria. Per rappresentare un numero misto come una frazione impropria, devi moltiplicare il denominatore della parte frazionaria del numero misto per la parte intera e aggiungere il numeratore al prodotto risultante.

Elenco della letteratura usata:

Matematica 5a elementare. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI e altri 31a ed., ster. - M: 2013.
Materiali didattici in matematica Grado 5. Autore - Popov MA - anno 2013
Calcoliamo senza errori. Lavora con l'autoesame nelle classi di matematica 5-6. Autore - Minaeva S.S. - anno 2014
Materiali didattici in matematica Grado 5. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Controllo e lavoro autonomo in matematica Grado 5. Autori - Popov MA - anno 2012
Matematica. Grado 5: libro di testo. per studenti di istruzione generale. istituzioni / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9a ed., Sr. - M.: Mnemosine, 2009

Riepilogo della lezione in classe 5

"Numeri misti. Separare la parte intera da una frazione impropria

Durante le lezioni

Organizzare il tempo. Saluti.

Faremo un conteggio mentale e batteremo tutti i record

Conteggio verbale.

Trova gli errori

Frazioni corrette.

Scriviamo alla lavagna ciò che non possiamo ancora confrontare.

2. Eseguire la divisione:

45: 9=5 ; 0: 67=0; 234: 1=234;

567: 567=1; 34:17=2; a:a=1;

3. Eseguire la divisione con un resto:

6 = 2 (resto 2)

3 = 8 (resto 1)

48: 9 = 5 (rest. 3)

Segui questi passi:

Non possiamo risolvere l'ultimo esempio, lo scriviamo.

Spiegazione del nuovo materiale

Cosa viene mostrato nell'immagine? In quante parti è divisa la torta? Quante parti hai preso? Presente come frazione.

Cosa c'è in questa immagine? Si può vedere che la torta è su vassoi diversi. Quanti pezzi ci sono sul primo vassoio? Secondo?

Può essere espresso come un numero come questo:

1 - parte intera, - parte frazionaria.

Viene chiamata la somma delle parti intera e frazionarianumero misto .

Determina dall'immagine quale numero misto è uguale a una frazione?

Cioè, abbiamo visto la connessione tra una frazione impropria e un numero misto.

Traiamo conclusioni: possiamo trasformare una frazione impropria in un numero misto, ad es. come si dice in matematica, per estrarre la parte intera da una frazione impropria.

La regola per estrarre la parte intera da una frazione impropria:

Dividi il numeratore per il denominatore con il resto

Un quoziente incompleto sarà una parte intera

Il resto dà il numeratore e il divisore dà il denominatore della parte frazionaria