La velocità di movimento quando ci si muove in cerchio. Movimento di un corpo in una circonferenza con velocità modulo costante
In questa lezione considereremo il moto curvilineo, cioè il moto uniforme di un corpo in una circonferenza. Impareremo cos'è la velocità lineare, l'accelerazione centripeta quando un corpo si muove in cerchio. Introduciamo anche quantità che caratterizzano il moto rotatorio (periodo di rotazione, frequenza di rotazione, velocità angolare) e colleghiamo queste quantità tra loro.
Per moto circolare uniforme si intende che il corpo ruota dello stesso angolo per un identico periodo di tempo (vedi Fig. 6).
Riso. 6. Moto circolare uniforme
Cioè, il modulo della velocità istantanea non cambia:
Questa velocità è chiamata lineare.
Sebbene il modulo della velocità non cambi, la direzione della velocità cambia continuamente. Considera i vettori velocità nei punti UN e B(vedi figura 7). Sono diretti in direzioni diverse, quindi non sono uguali. Se sottratto dalla velocità nel punto B velocità del punto UN, otteniamo un vettore .
Riso. 7. Vettori velocità
Il rapporto tra il cambiamento di velocità () e il tempo durante il quale si è verificato questo cambiamento () è l'accelerazione.
Pertanto, qualsiasi movimento curvilineo viene accelerato.
Se consideriamo il triangolo di velocità ottenuto in Figura 7, quindi con una disposizione molto ravvicinata dei punti UN e B tra loro, l'angolo (α) tra i vettori velocità sarà vicino a zero:
È anche noto che questo triangolo è isoscele, quindi i moduli delle velocità sono uguali (moto uniforme):
Pertanto, entrambi gli angoli alla base di questo triangolo sono indefinitamente vicini a:
Ciò significa che l'accelerazione diretta lungo il vettore è effettivamente perpendicolare alla tangente. È noto che una linea in un cerchio perpendicolare a una tangente è un raggio, quindi l'accelerazione è diretta lungo il raggio verso il centro del cerchio. Questa accelerazione si chiama centripeta.
La Figura 8 mostra il triangolo delle velocità discusso in precedenza e un triangolo isoscele (due lati sono i raggi di un cerchio). Questi triangoli sono simili, poiché hanno angoli uguali formati da rette reciprocamente perpendicolari (il raggio, come il vettore, è perpendicolare alla tangente).
Riso. 8. Illustrazione per la derivazione della formula dell'accelerazione centripeta
Segmento ABè sposta(). Consideriamo un moto circolare uniforme, quindi:
Sostituiamo l'espressione risultante per AB nella formula di similarità triangolare:
I concetti di "velocità lineare", "accelerazione", "coordinata" non sono sufficienti per descrivere il movimento lungo una traiettoria curva. Pertanto, è necessario introdurre quantità che caratterizzano il moto di rotazione.
1. Il periodo di rotazione (T ) è chiamato il tempo di una rivoluzione completa. Si misura in unità SI in secondi.
Esempi di periodi: la Terra ruota attorno al proprio asse in 24 ore () e attorno al Sole - in 1 anno ().
Formula per il calcolo del periodo:
dove è il tempo totale di rotazione; - numero di giri.
2. Frequenza di rotazione (n ) - il numero di giri che il corpo compie nell'unità di tempo. Si misura in unità SI in secondi reciproci.
Formula per trovare la frequenza:
dove è il tempo totale di rotazione; - numero di giri
Frequenza e periodo sono inversamente proporzionali:
3. velocità angolare () chiamato il rapporto tra la variazione dell'angolo di rotazione del corpo e il tempo durante il quale si è verificata questa svolta. Si misura in unità SI in radianti diviso secondi.
Formula per trovare la velocità angolare:
dov'è la variazione di angolo; è il tempo necessario perché avvenga il turno.
Un importante caso particolare di moto delle particelle lungo una data traiettoria è il moto circolare. La posizione della particella sul cerchio (Fig. 46) può essere specificata specificando non la distanza da un punto iniziale A, ma l'angolo formato dal raggio disegnato dal centro O del cerchio alla particella, con il raggio disegnato al punto iniziale A.
Insieme alla velocità di movimento lungo la traiettoria, che è definita come
è opportuno introdurre la velocità angolare che caratterizza la velocità di variazione dell'angolo
La velocità di movimento lungo la traiettoria è anche chiamata velocità lineare. Stabiliamo una relazione tra le velocità lineari e angolari. La lunghezza dell'arco che sottende l'angolo è dov'è il raggio del cerchio, e l'angolo è misurato in radianti. Pertanto, la velocità angolare ω è anche correlata alla velocità lineare dalla relazione
Riso. 46. Angolo imposta la posizione di un punto su un cerchio
L'accelerazione quando ci si sposta lungo un cerchio, così come durante un movimento curvilineo arbitrario, ha generalmente due componenti: tangenziale, diretta tangenzialmente al cerchio e che caratterizza la velocità di variazione del valore della velocità, e normale, diretta verso il centro del cerchio e che caratterizza la velocità di cambiamento nella direzione della velocità.
Il valore della componente normale dell'accelerazione, chiamata in questo caso (moto circolare) accelerazione centripeta, è dato dalla formula generale (3) § 8, in cui la velocità lineare può ora essere espressa in termini di velocità angolare utilizzando la formula (3 ):
Qui il raggio del cerchio è, ovviamente, lo stesso per tutti i punti della traiettoria.
Con moto circolare uniforme, quando il valore è costante, anche la velocità angolare ω, come si vede dalla (3), è costante. In questo caso, a volte viene chiamata frequenza ciclica.
periodo e frequenza. Per caratterizzare il moto uniforme in un cerchio, insieme a esso è conveniente utilizzare il periodo di rivoluzione T, definito come il tempo durante il quale viene compiuta una rivoluzione completa, e la frequenza - il reciproco del periodo T, che è uguale al numero di giri per unità di tempo:
Dalla definizione (2) della velocità angolare segue la relazione tra le grandezze
Questa relazione ci permette di scrivere la formula (4) per l'accelerazione centripeta anche nella seguente forma:
Si noti che la velocità angolare ω è misurata in radianti al secondo e la frequenza è misurata in giri al secondo. Le dimensioni con e sono le stesse poiché queste quantità differiscono solo per un fattore numerico
Un compito
Lungo la tangenziale. Le rotaie della ferrovia giocattolo formano un anello raggiato (Fig. 47). Il rimorchio si muove lungo di essi, spinto da un'asta che ruota a velocità angolare costante attorno a un punto che giace all'interno dell'anello quasi in corrispondenza delle rotaie. Come cambia la velocità del rimorchio mentre si muove?
Riso. 47. Per trovare la velocità angolare durante la guida lungo la tangenziale
Decisione. L'angolo formato da un'asta con una certa direzione cambia nel tempo secondo una legge lineare: . Come direzione da cui viene misurato l'angolo, è conveniente prendere il diametro del cerchio che passa per il punto (Fig. 47). Il punto O è il centro del cerchio. Ovviamente, l'angolo al centro che determina la posizione del rimorchio sulla circonferenza è il doppio dell'angolo inscritto in base allo stesso arco: Pertanto, la velocità angolare del rimorchio quando si sposta lungo le rotaie è il doppio della velocità angolare con cui ruota l'asta:
Pertanto, la velocità angolare del rimorchio si è rivelata costante. Ciò significa che il rimorchio si muove uniformemente lungo le rotaie. La sua velocità lineare è costante e uguale a
L'accelerazione del rimorchio con un moto circolare così uniforme è sempre diretta verso il centro O, e il suo modulo è dato dall'espressione (4):
Guarda la formula (4). Come si deve intendere: l'accelerazione è ancora proporzionale o inversamente proporzionale?
Spiega perché, con moto irregolare lungo un cerchio, la velocità angolare conserva il suo significato, ma perde il suo significato?
Velocità angolare come vettore. In alcuni casi è conveniente considerare la velocità angolare come un vettore il cui modulo è una direzione costante perpendicolare al piano in cui giace la circonferenza. Usando un tale vettore, si può scrivere una formula simile alla (3), che esprime il vettore velocità di una particella che si muove in un cerchio.
Riso. 48. Vettore di velocità angolare
Poniamo l'origine al centro O del cerchio. Quindi, quando la particella si muove, il suo raggio vettore ruoterà solo con la velocità angolare ω, e il suo modulo è sempre uguale al raggio del cerchio (Fig. 48). Si può vedere che il vettore velocità diretto tangenzialmente al cerchio può essere rappresentato come il prodotto vettoriale del vettore velocità angolare ω e il vettore raggio della particella:
Prodotto vettoriale. Per definizione, il prodotto incrociato di due vettori è un vettore perpendicolare al piano in cui giacciono i vettori moltiplicati. La scelta della direzione del prodotto vettoriale viene effettuata secondo la seguente regola. Il primo moltiplicatore è rivolto mentalmente verso il secondo, come se fosse il manico di una chiave inglese. Il prodotto vettoriale è diretto nella stessa direzione in cui si muoverebbe la vite destra.
Se i fattori nel prodotto vettoriale vengono scambiati, cambierà direzione all'opposto: ciò significa che il prodotto vettoriale non è commutativo.
Dalla fig. 48 si può vedere che la formula (8) darà la direzione corretta per il vettore se il vettore co è orientato esattamente come mostrato in questa figura. Possiamo quindi formulare la seguente regola: la direzione del vettore velocità angolare coincide con la direzione del moto di una vite con filettatura destrorsa, la cui testa gira nella stessa direzione in cui la particella si muove in circolo.
Per definizione, il modulo del prodotto vettoriale è uguale al prodotto dei moduli dei vettori moltiplicati per il seno dell'angolo a tra loro:
Nella formula (8), i vettori moltiplicati w e sono perpendicolari tra loro, quindi, come dovrebbe essere secondo la formula (3).
Cosa si può dire del prodotto vettoriale di due vettori paralleli?
Qual è la direzione del vettore velocità angolare della lancetta dell'orologio? In che modo questi vettori differiscono per le lancette dei minuti e delle ore?
Moto circolare uniformeè l'esempio più semplice. Ad esempio, l'estremità della lancetta dell'orologio si sposta lungo il quadrante lungo il cerchio. Si chiama la velocità di un corpo in un cerchio velocità della linea.
Con un moto uniforme del corpo lungo un cerchio, il modulo della velocità del corpo non cambia nel tempo, cioè v = const, ma in questo caso cambia solo la direzione del vettore velocità (a r = 0), e la variazione del vettore velocità nella direzione è caratterizzata da un valore chiamato accelerazione centripeta() una n o una CA. In ogni punto, il vettore di accelerazione centripeta è diretto al centro del cerchio lungo il raggio.
Il modulo dell'accelerazione centripeta è uguale a
a CS \u003d v 2 / R
Dove v è la velocità lineare, R è il raggio del cerchio
Riso. 1.22. Il movimento del corpo in un cerchio.
Quando descrivi il moto di un corpo in un cerchio, usa angolo di sterzata del raggioè l'angolo φ di cui ruota nel tempo t il raggio tracciato dal centro del cerchio al punto in cui si trova in quel momento il corpo in movimento. L'angolo di rotazione è misurato in radianti. uguale all'angolo tra due raggi del cerchio, la lunghezza dell'arco tra cui è uguale al raggio del cerchio (Fig. 1.23). Cioè, se l = R, allora
1 radiante= l / R
Come circonferenzaè uguale a
l = 2πR
360 o \u003d 2πR / R \u003d 2π rad.
Di conseguenza
1 rad. \u003d 57,2958 circa \u003d 57 circa 18'
Velocità angolare moto uniforme del corpo in un cerchio è il valore ω, pari al rapporto tra l'angolo di rotazione del raggio φ e l'intervallo di tempo durante il quale viene effettuata questa rotazione:
ω = φ/t
L'unità di misura della velocità angolare è il radiante al secondo [rad/s]. Il modulo di velocità lineare è determinato dal rapporto tra la distanza percorsa l e l'intervallo di tempo t:
v= l/t
Velocità della linea con moto uniforme lungo una circonferenza, è diretta tangenzialmente in un dato punto della circonferenza. Quando il punto si sposta, la lunghezza l dell'arco circolare percorso dal punto è correlata all'angolo di rotazione φ dall'espressione
l = Rφ
dove R è il raggio del cerchio.
Quindi, nel caso di moto uniforme del punto, le velocità lineare e angolare sono legate dalla relazione:
v = l / t = Rφ / t = Rω o v = Rω
Riso. 1.23. Radiante.
Periodo di circolazione- questo è il periodo di tempo T, durante il quale il corpo (punto) compie un giro attorno alla circonferenza. Frequenza di circolazione- questo è il reciproco del periodo di circolazione - il numero di giri per unità di tempo (al secondo). La frequenza di circolazione è indicata con la lettera n.
n=1/t
Per un periodo, l'angolo di rotazione φ del punto è 2π rad, quindi 2π = ωT, da cui
T = 2π / ω
Cioè, la velocità angolare è
ω = 2π / T = 2πn
accelerazione centripeta può essere espresso in termini di periodo T e frequenza di rotazione n:
un CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Poiché la velocità lineare cambia uniformemente direzione, il movimento lungo il cerchio non può essere definito uniforme, è uniformemente accelerato.
Velocità angolare
Scegli un punto sul cerchio 1 . Costruiamo un raggio. Per un'unità di tempo, il punto si sposterà al punto 2 . In questo caso, il raggio descrive l'angolo. La velocità angolare è numericamente uguale all'angolo di rotazione del raggio per unità di tempo.
Periodo e frequenza
Periodo di rotazione Tè il tempo che impiega il corpo a fare una rivoluzione.
RPM è il numero di giri al secondo.
La frequenza e il periodo sono legati dalla relazione
Relazione con la velocità angolare
Velocità della linea
Ogni punto del cerchio si muove a una certa velocità. Questa velocità è chiamata lineare. La direzione del vettore velocità lineare coincide sempre con la tangente al cerchio. Ad esempio, le scintille da sotto una smerigliatrice si muovono, ripetendo la direzione della velocità istantanea.
Considera un punto su un cerchio che compie una rivoluzione, il tempo trascorso: questo è il periodo T.Il percorso che il punto supera è la circonferenza del cerchio.
accelerazione centripeta
Quando ci si sposta lungo un cerchio, il vettore accelerazione è sempre perpendicolare al vettore velocità, diretto al centro del cerchio.
Utilizzando le formule precedenti, possiamo derivare le seguenti relazioni
I punti che giacciono sulla stessa retta che parte dal centro del cerchio (ad esempio, questi possono essere punti che giacciono sul raggio della ruota) avranno le stesse velocità angolari, periodo e frequenza. Cioè, ruoteranno allo stesso modo, ma con velocità lineari diverse. Più il punto è lontano dal centro, più velocemente si sposterà.
La legge dell'addizione delle velocità vale anche per il moto rotatorio. Se il moto di un corpo o di un sistema di riferimento non è uniforme, la legge si applica alle velocità istantanee. Ad esempio, la velocità di una persona che cammina lungo il bordo di una giostra rotante è uguale alla somma vettoriale della velocità lineare di rotazione del bordo della giostra e della velocità della persona.
La Terra partecipa a due movimenti rotazionali principali: quotidiano (attorno al suo asse) e orbitale (intorno al Sole). Il periodo di rotazione della Terra attorno al Sole è di 1 anno o 365 giorni. La Terra ruota attorno al proprio asse da ovest a est, il periodo di questa rotazione è di 1 giorno o 24 ore. La latitudine è l'angolo tra il piano dell'equatore e la direzione dal centro della Terra a un punto sulla sua superficie.
Secondo la seconda legge di Newton, la causa di ogni accelerazione è una forza. Se un corpo in movimento subisce un'accelerazione centripeta, la natura delle forze che causano questa accelerazione potrebbe essere diversa. Ad esempio, se un corpo si muove in cerchio su una corda ad esso legata, allora la forza agente è la forza elastica.
Se un corpo che giace su un disco ruota insieme al disco attorno al suo asse, allora tale forza è la forza di attrito. Se la forza cessa di agire, il corpo continuerà a muoversi in linea retta
Considera il movimento di un punto su un cerchio da A a B. La velocità lineare è uguale a
Passiamo ora ad un impianto fisso connesso a terra. L'accelerazione totale del punto A rimarrà la stessa sia in valore assoluto che in direzione, poiché l'accelerazione non cambia quando ci si sposta da un sistema di riferimento inerziale a un altro. Dal punto di vista di un osservatore fermo, la traiettoria del punto A non è più un cerchio, ma una curva più complessa (cicloide), lungo la quale il punto si muove in modo irregolare.
Il moto circolare è il caso più semplice di moto curvilineo di un corpo. Quando un corpo si muove intorno ad un certo punto, insieme al vettore spostamento, è conveniente introdurre lo spostamento angolare ∆ φ (l'angolo di rotazione rispetto al centro del cerchio), misurato in radianti.
Conoscendo lo spostamento angolare è possibile calcolare la lunghezza dell'arco circolare (percorso) che il corpo ha percorso.
∆ l = R ∆ φ
Se l'angolo di rotazione è piccolo, allora ∆ l ≈ ∆ s .
Illustriamo quanto detto:
Velocità angolare
Con il moto curvilineo viene introdotto il concetto di velocità angolare ω, cioè la velocità di variazione dell'angolo di rotazione.
Definizione. Velocità angolare
La velocità angolare in un dato punto della traiettoria è il limite del rapporto tra lo spostamento angolare ∆ φ e l'intervallo di tempo ∆ t durante il quale si è verificato. ∆t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
L'unità di misura della velocità angolare è il radiante al secondo (r a d s).
Esiste una relazione tra le velocità angolari e lineari del corpo quando si muove in cerchio. Formula per trovare la velocità angolare:
Con moto circolare uniforme, le velocità v e ω rimangono invariate. Cambia solo la direzione del vettore velocità lineare.
In questo caso, un movimento uniforme lungo un cerchio sul corpo è influenzato dall'accelerazione centripeta, o normale, diretta lungo il raggio del cerchio verso il suo centro.
un n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Il modulo di accelerazione centripeta può essere calcolato con la formula:
un n = v 2 R = ω 2 R
Proviamo queste relazioni.
Consideriamo come cambia il vettore v → in un piccolo periodo di tempo ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .
Nei punti A e B, il vettore velocità è diretto tangenzialmente al cerchio, mentre i moduli velocità in entrambi i punti sono gli stessi.
Per definizione di accelerazione:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Diamo un'occhiata all'immagine:
I triangoli OAB e BCD sono simili. Ne consegue che O A A B = B C C D .
Se il valore dell'angolo ∆ φ è piccolo, la distanza A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Tenendo conto che O A \u003d R e C D \u003d ∆ v per i triangoli simili considerati sopra, otteniamo:
R v ∆ t = v ∆ v o ∆ v ∆ t = v 2 R
Quando ∆ φ → 0 , la direzione del vettore ∆ v → = v B → - v A → si avvicina alla direzione verso il centro del cerchio. Supponendo che ∆ t → 0 , otteniamo:
un → = un n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; un n → = v 2 R .
Con moto uniforme lungo un cerchio, il modulo di accelerazione rimane costante e la direzione del vettore cambia nel tempo, pur mantenendo l'orientamento al centro del cerchio. Ecco perché questa accelerazione è chiamata centripeta: il vettore in qualsiasi momento è diretto verso il centro del cerchio.
La registrazione dell'accelerazione centripeta in forma vettoriale è la seguente:
un n → = - ω 2 R → .
Qui R → è il raggio vettore di un punto su una circonferenza con origine al centro.
Nel caso generale, l'accelerazione quando ci si sposta lungo un cerchio è costituita da due componenti: normale e tangenziale.
Considera il caso in cui il corpo si muove lungo il cerchio in modo non uniforme. Introduciamo il concetto di accelerazione tangenziale (tangenziale). La sua direzione coincide con la direzione della velocità lineare del corpo e in ogni punto del cerchio è diretto tangenzialmente ad esso.
un τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0
Qui ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 è la variazione del modulo di velocità nell'intervallo ∆ t
La direzione dell'accelerazione completa è determinata dalla somma vettoriale delle accelerazioni normali e tangenziali.
Il moto circolare in un piano può essere descritto utilizzando due coordinate: x e y. In ogni momento del tempo, la velocità del corpo può essere scomposta nelle componenti v x e v y .
Se il moto è uniforme, i valori v x e v y nonché le corrispondenti coordinate cambieranno nel tempo secondo una legge armonica con periodo T = 2 π R v = 2 π ω
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