Risoluzione di equazioni trigonometriche. Equazioni trigonometriche Risolvi l'equazione trigonometrica sinx 1 2

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Una volta ho assistito a una conversazione tra due candidati:

– Quando dovresti aggiungere 2πn e quando dovresti aggiungere πn? Non riesco proprio a ricordare!

– E ho lo stesso problema.

Volevo solo dire loro: "Non avete bisogno di memorizzare, ma di capire!"

Questo articolo è rivolto principalmente agli studenti delle scuole superiori e, spero, li aiuterà a risolvere le più semplici equazioni trigonometriche con “comprensione”:

Cerchio numerico

Insieme al concetto di linea numerica esiste anche il concetto di cerchio numerico. Come sappiamo, in un sistema di coordinate rettangolari, un cerchio con centro nel punto (0;0) e raggio 1 è chiamato cerchio unitario. Immaginiamo una linea numerica come un filo sottile e avvolgiamolo attorno a questo cerchio: uniremo l'origine (punto 0) al punto “destro” della circonferenza unitaria, avvolgeremo il semiasse positivo in senso antiorario, e il semiasse negativo -asse nella direzione (Fig. 1). Un cerchio unitario di questo tipo è chiamato cerchio numerico.

Proprietà del cerchio numerico

• Ogni numero reale giace su un punto del cerchio numerico.
• In ogni punto del cerchio numerico ci sono infiniti numeri reali. Poiché la lunghezza del cerchio unitario è 2π, la differenza tra due numeri qualsiasi in un punto del cerchio è uguale a uno dei numeri ±2π; ±4π; ±6π; ...

Concludiamo: conoscendo uno dei numeri del punto A, possiamo trovare tutti i numeri del punto A.

Disegniamo il diametro dell'AC (Fig. 2). Poiché x_0 è uno dei numeri del punto A, allora i numeri x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... e solo loro saranno i numeri del punto C. Scegliamo uno di questi numeri, diciamo x_0+π, e usiamolo per scrivere tutti i numeri del punto C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Si noti che i numeri nei punti A e C possono essere combinati in un'unica formula: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (per k = 0; ±2; ±4; ... otteniamo i numeri di punto A, e per k = ±1; ±3; ±5; … – numeri del punto C).

Concludiamo: conoscendo uno dei numeri in uno dei punti A o C del diametro AC, possiamo trovare tutti i numeri in questi punti.

• Due numeri opposti si trovano nei punti del cerchio simmetrici rispetto all'asse delle ascisse.

Disegniamo una corda verticale AB (Fig. 2). Poiché i punti A e B sono simmetrici rispetto all'asse del Bue, il numero -x_0 si trova nel punto B e, quindi, tutti i numeri del punto B sono dati dalla formula: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Scriviamo i numeri nei punti A e B utilizzando una formula: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Concludiamo: conoscendo uno dei numeri in uno dei punti A o B della corda verticale AB, possiamo trovare tutti i numeri in questi punti. Consideriamo la corda orizzontale AD e troviamo i numeri del punto D (Fig. 2). Poiché BD è un diametro e il numero -x_0 appartiene al punto B, allora -x_0 + π è uno dei numeri del punto D e, quindi, tutti i numeri di questo punto sono dati dalla formula x_D=-x_0+π+ 2πk,k∈Z. I numeri nei punti A e D possono essere scritti utilizzando una formula: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (per k= 0; ±2; ±4; … otteniamo i numeri del punto A, e per k = ±1; ±3; ±5; … – i numeri del punto D).

Concludiamo: conoscendo uno dei numeri in uno dei punti A o D della corda orizzontale AD, possiamo trovare tutti i numeri in questi punti.

Sedici punti principali del cerchio numerico

In pratica, la risoluzione della maggior parte delle equazioni trigonometriche più semplici coinvolge sedici punti su un cerchio (Fig. 3). Cosa sono questi punti? I punti rossi, blu e verdi dividono il cerchio in 12 parti uguali. Poiché la lunghezza del semicerchio è π, allora la lunghezza dell'arco A1A2 è π/2, la lunghezza dell'arco A1B1 è π/6 e la lunghezza dell'arco A1C1 è π/3.

Ora possiamo indicare un numero alla volta:

π/3 su C1 e

I vertici del quadrato arancione sono i punti medi degli archi di ciascun quarto, quindi la lunghezza dell'arco A1D1 è pari a π/4 e, quindi, π/4 è uno dei numeri del punto D1. Usando le proprietà del cerchio numerico, possiamo usare le formule per scrivere tutti i numeri su tutti i punti contrassegnati del nostro cerchio. Nella figura sono segnate anche le coordinate di questi punti (ometteremo la descrizione della loro acquisizione).

Avendo appreso quanto sopra, ora abbiamo una preparazione sufficiente per risolvere casi speciali (per nove valori del numero UN) equazioni più semplici.

Risolvere equazioni

1)sinx=1⁄(2).

– Cosa ci viene richiesto?

– Trova tutti quei numeri x il cui seno è uguale a 1/2.

Ricordiamo la definizione di seno: sinx – ordinata del punto sul cerchio numerico su cui si trova il numero x. Abbiamo due punti sul cerchio la cui ordinata è uguale a 1/2. Queste sono le estremità della corda orizzontale B1B2. Ciò significa che il requisito “risolvi l’equazione sinx=1⁄2” è equivalente al requisito “trova tutti i numeri nel punto B1 e tutti i numeri nel punto B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Dobbiamo trovare tutti i numeri nei punti C4 e C3.

3) sinx=1. Sulla circonferenza abbiamo un solo punto di ordinata 1 - punto A2 e quindi dobbiamo trovare solo tutti i numeri di questo punto.

Risposta: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Solo il punto A_4 ha ordinata -1. Tutti i numeri di questo punto saranno i cavalli dell'equazione.

Risposta: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Sul cerchio abbiamo due punti con ordinata 0 - punti A1 e A3. Puoi indicare i numeri in ciascun punto separatamente, ma dato che questi punti sono diametralmente opposti, è meglio combinarli in un'unica formula: x=πk,k∈Z.

Risposta: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Ricordiamo la definizione di coseno: cosx è l'ascissa del punto del cerchio numerico su cui si trova il numero x. Sul cerchio abbiamo due punti con l'ascissa √2⁄2 - gli estremi della corda orizzontale D1D4. Dobbiamo trovare tutti i numeri su questi punti. Scriviamoli, combinandoli in un'unica formula.

Risposta: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Dobbiamo trovare i numeri nei punti C_2 e C_3.

Risposta: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Solo i punti A2 e A4 hanno un'ascissa pari a 0, il che significa che tutti i numeri in ciascuno di questi punti saranno soluzioni dell'equazione.
.

Le soluzioni dell'equazione del sistema sono i numeri nei punti B_3 e B_4.<0 удовлетворяют только числа b_3
Risposta: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Si noti che per ogni valore ammissibile di x, il secondo fattore è positivo e, quindi, l'equazione è equivalente al sistema

Le soluzioni dell'equazione del sistema sono il numero di punti D_2 e D_3. I numeri del punto D_2 non soddisfano la disuguaglianza sinx≤0,5, ma i numeri del punto D_3 sì.

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I principali metodi per risolvere le equazioni trigonometriche sono: ridurre le equazioni al più semplice (utilizzando formule trigonometriche), introdurre nuove variabili e fattorizzare. Vediamo il loro utilizzo con degli esempi. Presta attenzione al formato in cui scrivi le soluzioni delle equazioni trigonometriche.

Una condizione necessaria per risolvere con successo le equazioni trigonometriche è la conoscenza delle formule trigonometriche (argomento 13 del lavoro 6).

Esempi.

1. Equazioni ridotte alla più semplice.

1) Risolvi l'equazione

Soluzione:

Risposta:

2) Trova le radici dell'equazione

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, appartenente al segmento.

Soluzione:

Risposta:

2. Equazioni che si riducono a quadratiche.

1) Risolvi l'equazione 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Soluzione: Usando la formula sin 2 x = 1 – cos 2 x, otteniamo

Risposta:

2) Risolvi l'equazione cos 2x = 1 + 4 cosx.

Soluzione: Usando la formula cos 2x = 2 cos 2 x – 1, otteniamo

Risposta:

3) Risolvi l'equazione tgx – 2ctgx + 1 = 0

Soluzione:

Risposta:

3. Equazioni omogenee

1) Risolvi l'equazione 2sinx – 3cosx = 0

Soluzione: Sia cosx = 0, quindi 2sinx = 0 e sinx = 0 – una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1. Ciò significa cosx ≠ 0 e possiamo dividere l'equazione per cosx. Noi abbiamo

Risposta:

2) Risolvi l'equazione 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Soluzione:

Usiamo le formule 1 = sin 2 x + cos 2 x e sin 2x = 2 sinxcosx, otteniamo

peccato 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin2x – 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Sia cosx = 0, quindi sin 2 x = 0 e sinx = 0 – una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ciò significa cosx ≠ 0 e possiamo dividere l'equazione per cos 2 x . Noi abbiamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Indichiamo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arcotan4 + 2 K, K
b) tgx = 2, x= arcotan2 + 2 K, K .

Risposta: arcog4 + 2 K, arcotan2 + 2 k, k

4. Equazioni della forma UN sinx + B cosx= s, s≠ 0.

1) Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Risposta:

5. Equazioni risolte mediante fattorizzazione.

1) Risolvi l'equazione sin2x – sinx = 0.

Radice dell'equazione F (X) = φ ( X) può servire solo come numero 0. Controlliamo questo:

cos 0 = 0 + 1 – l'uguaglianza è vera.

Il numero 0 è l'unica radice di questa equazione.

Risposta: 0.