La distanza da un punto ad una linea retta è breve. Distanza di un punto da una retta nel piano e nello spazio: definizione ed esempi di ritrovamento

In questo articolo inizieremo a discutere di una "bacchetta magica" che ti consentirà di ridurre molti problemi di geometria alla semplice aritmetica. Questo “bastone” può semplificarti la vita, soprattutto quando non sei sicuro di costruire figure spaziali, sezioni, ecc. Tutto ciò richiede una certa immaginazione e abilità pratiche. Il metodo che inizieremo a considerare qui ti consentirà di astrarre quasi completamente da tutti i tipi di costruzioni e ragionamenti geometrici. Il metodo si chiama "metodo delle coordinate". In questo articolo prenderemo in considerazione le seguenti domande:

1. Piano coordinato
2. Punti e vettori sul piano
3. Costruzione di un vettore a partire da due punti
4. Lunghezza del vettore (distanza tra due punti).​
5. Coordinate del centro del segmento
6. Prodotto scalare di vettori
7. Angolo tra due vettori​

Penso che tu abbia già indovinato perché il metodo delle coordinate si chiama così? Esatto, ha preso questo nome perché non funziona con oggetti geometrici, ma con le loro caratteristiche numeriche (coordinate). E la trasformazione stessa, che ci permette di passare dalla geometria all'algebra, consiste nell'introdurre un sistema di coordinate. Se la figura originale era piatta, le coordinate sono bidimensionali, mentre se la figura è tridimensionale, le coordinate sono tridimensionali. In questo articolo considereremo solo il caso bidimensionale. E l'obiettivo principale dell'articolo è insegnarti come utilizzare alcune tecniche di base del metodo delle coordinate (a volte risultano utili quando si risolvono i problemi sulla planimetria nella Parte B dell'Esame di Stato Unificato). Le prossime due sezioni su questo argomento sono dedicate alla discussione dei metodi per risolvere il problema C2 (il problema della stereometria).

Da dove sarebbe logico iniziare a discutere del metodo delle coordinate? Probabilmente dal concetto di sistema di coordinate. Ricorda quando l'hai incontrata per la prima volta. Mi sembra che in seconda media, quando hai appreso dell'esistenza di una funzione lineare, per esempio. Lascia che ti ricordi che l'hai costruito punto per punto. Ti ricordi? Hai scelto un numero arbitrario, lo hai sostituito nella formula e lo hai calcolato in questo modo. Ad esempio, se, allora, se, allora, ecc. Cosa hai ottenuto alla fine? E hai ricevuto punti con le coordinate: e. Successivamente, hai disegnato una “croce” (sistema di coordinate), hai scelto su di essa una scala (quante celle avrai come segmento unitario) e hai segnato i punti che hai ottenuto su di essa, che poi hai collegato con una linea retta; il risultato la linea è il grafico della funzione.

Ci sono alcuni punti qui che dovrebbero essere spiegati un po’ più in dettaglio:

1. Scegli un singolo segmento per motivi di comodità, in modo che tutto si adatti perfettamente e in modo compatto al disegno.

2. È accettato che l'asse vada da sinistra a destra e l'asse vada dal basso verso l'alto

3. Si intersecano ad angolo retto e il punto della loro intersezione è chiamato origine. È indicato da una lettera.

4. Nello scrivere le coordinate di un punto, ad esempio, a sinistra tra parentesi c'è la coordinata del punto lungo l'asse, ea destra lungo l'asse. In particolare, significa semplicemente che al punto

5. Per specificare qualsiasi punto sull'asse delle coordinate, è necessario indicare le sue coordinate (2 numeri)

6. Per ogni punto giacente sull'asse,

7. Per ogni punto giacente sull'asse,

8. L'asse è chiamato asse x

9. L'asse è chiamato asse y

Ora facciamo il passo successivo: segnamo due punti. Colleghiamo questi due punti con un segmento. E metteremo la freccia come se stessimo disegnando un segmento da un punto all'altro: cioè, renderemo il nostro segmento direzionale!

Ricordi come si chiama un altro segmento direzionale? Esatto, si chiama vettore!

Quindi, se colleghiamo punto a punto, e l'inizio sarà il punto A, e la fine sarà il punto B, quindi otteniamo un vettore. Anche tu hai fatto questa costruzione in terza media, ricordi?

Si scopre che i vettori, come i punti, possono essere denotati da due numeri: questi numeri sono chiamati coordinate vettoriali. Domanda: Pensi che sia sufficiente conoscere le coordinate dell'inizio e della fine di un vettore per trovarne le coordinate? Si scopre che sì! E questo viene fatto in modo molto semplice:

Pertanto, poiché in un vettore il punto è l'inizio e il punto è la fine, il vettore ha le seguenti coordinate:

Ad esempio, se, quindi le coordinate del vettore

Ora facciamo il contrario, troviamo le coordinate del vettore. Cosa dobbiamo cambiare per questo? Sì, devi invertire l'inizio e la fine: ora l'inizio del vettore sarà nel punto e la fine sarà nel punto. Poi:

Guarda attentamente, qual è la differenza tra vettori e? La loro unica differenza sono i segni nelle coordinate. Sono opposti. Questo fatto è solitamente scritto in questo modo:

A volte, se non è specificatamente indicato quale punto è l'inizio del vettore e quale è la fine, i vettori non sono indicati con due lettere maiuscole, ma con una lettera minuscola, ad esempio: , ecc.

Ora un po' pratica te stesso e trova le coordinate dei seguenti vettori:

Visita medica:

Ora risolvi un problema leggermente più difficile:

Un vettore che inizia in un punto ha un co-o-di-na-tu. Trova i punti abs-cis-su.

Tuttavia è abbastanza prosaico: siano le coordinate del punto. Poi

Ho compilato il sistema in base alla definizione di cosa sono le coordinate vettoriali. Quindi il punto ha coordinate. A noi interessa l'ascissa. Poi

Risposta:

Cos'altro puoi fare con i vettori? Sì, quasi tutto è uguale ai numeri ordinari (tranne che non puoi dividere, ma puoi moltiplicare in due modi, uno dei quali parleremo qui un po' più tardi)

1. I vettori possono essere sommati tra loro
2. I vettori possono essere sottratti l'uno dall'altro
3. I vettori possono essere moltiplicati (o divisi) per un numero arbitrario diverso da zero
4. I vettori possono essere moltiplicati tra loro

Tutte queste operazioni hanno una rappresentazione geometrica molto chiara. Ad esempio, la regola del triangolo (o parallelogramma) per addizione e sottrazione:

Un vettore si allunga, si contrae o cambia direzione quando moltiplicato o diviso per un numero:

Tuttavia, qui saremo interessati alla domanda su cosa succede alle coordinate.

1. Quando si sommano (sottraggono) due vettori, si aggiungono (sottraggono) le loro coordinate elemento per elemento. Questo è:

2. Quando si moltiplica (divide) un vettore per un numero, tutte le sue coordinate vengono moltiplicate (divise) per questo numero:

Per esempio:

· Trova la quantità di co-or-di-nat secolo-ra.

Troviamo prima le coordinate di ciascuno dei vettori. Entrambi hanno la stessa origine: il punto di origine. I loro fini sono diversi. Poi, . Ora calcoliamo le coordinate del vettore, quindi la somma delle coordinate del vettore risultante sarà uguale.

Risposta:

Ora risolvi tu stesso il seguente problema:

· Trova la somma delle coordinate vettoriali

Controlliamo:

Consideriamo ora il seguente problema: abbiamo due punti sul piano delle coordinate. Come trovare la distanza tra loro? Lasciamo stare il primo punto e il secondo. Indichiamo la distanza tra loro con. Facciamo il seguente disegno per chiarezza:

Quello che ho fatto? Per prima cosa ho collegato i punti e, inoltre, dal punto ho tracciato una linea parallela all'asse, e dal punto ho tracciato una linea parallela all'asse. Si sono intersecati in un punto, formando una figura notevole? Cosa c'è di così speciale in lei? Sì, tu ed io sappiamo quasi tutto del triangolo rettangolo. Beh, sicuramente il teorema di Pitagora. Il segmento richiesto è l'ipotenusa di questo triangolo e i segmenti sono i cateti. Quali sono le coordinate del punto? Sì, sono facili da trovare dall'immagine: poiché i segmenti sono paralleli agli assi e, rispettivamente, le loro lunghezze sono facili da trovare: se indichiamo le lunghezze dei segmenti con, rispettivamente, allora

Usiamo ora il teorema di Pitagora. Conosciamo le lunghezze dei cateti, troveremo l'ipotenusa:

Pertanto, la distanza tra due punti è la radice della somma dei quadrati delle differenze dalle coordinate. Oppure: la distanza tra due punti è la lunghezza del segmento che li collega. È facile vedere che la distanza tra i punti non dipende dalla direzione. Poi:

Da qui traiamo tre conclusioni:

Facciamo un po' di pratica sul calcolo della distanza tra due punti:

Ad esempio, se, allora la distanza tra e è uguale a

Oppure andiamo in un altro modo: trova le coordinate del vettore

E trova la lunghezza del vettore:

Come puoi vedere, è la stessa cosa!

Ora esercitati un po' tu stesso:

Compito: trova la distanza tra i punti indicati:

Controlliamo:

Ecco un altro paio di problemi che utilizzano la stessa formula, anche se sembrano leggermente diversi:

1. Trova il quadrato della lunghezza della palpebra.

2. Trova il quadrato della lunghezza della palpebra

Penso che tu li abbia affrontati senza difficoltà? Controlliamo:

1. E questo è per attenzione) Abbiamo già trovato le coordinate dei vettori in precedenza: . Quindi il vettore ha coordinate. Il quadrato della sua lunghezza sarà uguale a:

2. Trova le coordinate del vettore

Allora il quadrato della sua lunghezza è

Niente di complicato, vero? Aritmetica semplice, niente di più.

I seguenti problemi non possono essere classificati in modo inequivocabile; riguardano più l'erudizione generale e la capacità di disegnare immagini semplici.

1. Trova il seno dell'angolo ricavato dal taglio, che collega il punto, con l'asse delle ascisse.

E

Come procederemo qui? Dobbiamo trovare il seno dell'angolo tra e l'asse. Dove possiamo cercare il seno? Esatto, in un triangolo rettangolo. Quindi cosa dobbiamo fare? Costruisci questo triangolo!

Poiché le coordinate del punto sono e, il segmento è uguale a e il segmento. Dobbiamo trovare il seno dell'angolo. Lascia che ti ricordi che il seno è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa, quindi

Cosa ci resta da fare? Trova l'ipotenusa. Puoi farlo in due modi: utilizzando il teorema di Pitagora (le gambe si conoscono!) oppure utilizzando la formula per la distanza tra due punti (in effetti è la stessa cosa del primo metodo!). Io opterò per la seconda strada:

Risposta:

Il prossimo compito ti sembrerà ancora più semplice. Lei è sulle coordinate del punto.

Compito 2. Dal punto in cui il per-pen-di-ku-lyar viene abbassato sull'asse ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Facciamo un disegno:

La base di una perpendicolare è il punto in cui interseca l'asse x (asse), per me questo è un punto. La figura mostra che ha coordinate: . A noi interessa l'ascissa, ovvero la componente “x”. Lei è uguale.

Risposta: .

Compito 3. Nelle condizioni del problema precedente, trova la somma delle distanze dal punto agli assi delle coordinate.

Il compito è generalmente elementare se sai qual è la distanza da un punto agli assi. Sai? Lo spero, ma ti ricordo comunque:

Quindi, nel mio disegno appena sopra, ho già disegnato una di queste perpendicolari? Su quale asse si trova? All'asse. E qual è allora la sua lunghezza? Lei è uguale. Ora disegna tu stesso una perpendicolare all'asse e trova la sua lunghezza. Sarà uguale, vero? Allora la loro somma è uguale.

Risposta: .

Compito 4. Nelle condizioni dell'attività 2, trova l'ordinata di un punto simmetrico al punto relativo all'asse delle ascisse.

Penso che ti sia intuitivamente chiaro cos'è la simmetria? Molti oggetti ce l'hanno: molti edifici, tavoli, aeroplani, molte figure geometriche: palla, cilindro, quadrato, rombo, ecc. In parole povere, la simmetria può essere intesa come segue: una figura è composta da due (o più) metà identiche. Questa simmetria è chiamata simmetria assiale. Cos’è allora un asse? Questa è esattamente la linea lungo la quale la figura può, relativamente parlando, essere “tagliata” in metà uguali (in questa immagine l'asse di simmetria è dritto):

Ora torniamo al nostro compito. Sappiamo che stiamo cercando un punto simmetrico rispetto all'asse. Allora questo asse è l'asse di simmetria. Ciò significa che dobbiamo segnare un punto in modo tale che l'asse tagli il segmento in due parti uguali. Prova a sottolineare tu stesso un punto del genere. Ora confronta con la mia soluzione:

A te è andata allo stesso modo? Bene! A noi interessa l'ordinata del punto trovato. È uguale

Risposta:

Ora dimmi, dopo averci pensato qualche secondo, quale sarà l'ascissa di un punto simmetrico al punto A rispetto all'ordinata? Qual è la tua risposta? Risposta corretta: .

In generale, la regola può essere scritta in questo modo:

Un punto simmetrico rispetto ad un punto rispetto all'asse delle ascisse ha le coordinate:

Un punto simmetrico a un punto relativo all'asse delle ordinate ha coordinate:

Bene, ora è completamente spaventoso compito: trova le coordinate di un punto simmetrico al punto rispetto all'origine. Prima pensi con la tua testa e poi guardi il mio disegno!

Risposta:

Ora problema del parallelogramma:

Compito 5: I punti appaiono ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Trova o-di-su-quel punto.

Puoi risolvere questo problema in due modi: logica e metodo delle coordinate. Utilizzerò prima il metodo delle coordinate e poi ti dirò come risolverlo diversamente.

È abbastanza chiaro che l'ascissa del punto è uguale. (giace sulla perpendicolare tracciata dal punto all'asse delle ascisse). Dobbiamo trovare l'ordinata. Approfittiamo del fatto che la nostra figura è un parallelogramma, questo significa questo. Troviamo la lunghezza del segmento utilizzando la formula per la distanza tra due punti:

Abbassiamo la perpendicolare che collega il punto all'asse. Indicherò il punto di intersezione con una lettera.

La lunghezza del segmento è uguale. (trova tu stesso il problema dove abbiamo discusso questo punto), quindi troveremo la lunghezza del segmento usando il teorema di Pitagora:

La lunghezza di un segmento coincide esattamente con la sua ordinata.

Risposta: .

Un'altra soluzione (darò solo un'immagine che lo illustra)

Avanzamento della soluzione:

1. Condotta

2. Trova le coordinate del punto e della lunghezza

3. Dimostralo.

Un altro problema della lunghezza del segmento:

I punti appaiono in cima al triangolo. Trova la lunghezza della sua linea mediana, parallela.

Ricordi qual è la linea mediana di un triangolo? Allora questo compito è elementare per te. Se non ricordi, te lo ricorderò: la linea mediana di un triangolo è la linea che collega i punti medi dei lati opposti. È parallelo alla base e pari alla metà di essa.

La base è un segmento. Dovevamo cercare prima la sua lunghezza, è uguale. Quindi la lunghezza della linea mediana è grande la metà e uguale.

Risposta: .

Commento: questo problema può essere risolto in un altro modo, di cui parleremo più avanti.

Nel frattempo, ecco alcuni problemi per te, esercitati, sono molto semplici, ma ti aiutano a migliorare nell'uso del metodo delle coordinate!

1. I punti sono la parte superiore delle tra-pe-zioni. Trova la lunghezza della sua linea mediana.

2. Punti e apparenze ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Trova o-di-quel punto.

3. Trova la lunghezza dal taglio, collegando il punto e

4. Trova l'area dietro la figura colorata sul piano delle coordinate.

5. Per il punto passa un cerchio con centro in na-cha-le ko-or-di-nat. Trovala radiodi-noi.

6. Trova-di-te ra-di-us del cerchio, descrivi-san-noy sull'angolo retto-no-ka, le parti superiori di qualcosa hanno un co-o -di-na-sei così-responsabile

Soluzioni:

1. È noto che la linea mediana di un trapezio è pari alla metà della somma delle sue basi. La base è uguale e la base. Poi

Risposta:

2. Il modo più semplice per risolvere questo problema è notare che (regola del parallelogramma). Calcolare le coordinate dei vettori non è difficile: . Quando si aggiungono vettori, vengono aggiunte le coordinate. Quindi ha le coordinate. Anche il punto ha queste coordinate, poiché l'origine del vettore è il punto con le coordinate. A noi interessa l'ordinata. Lei è uguale.

Risposta:

3. Agiamo immediatamente secondo la formula per la distanza tra due punti:

Risposta:

4. Guarda l'immagine e dimmi tra quali due figure è “inserita” l'area ombreggiata? È inserito tra due quadrati. Quindi l'area della figura desiderata è uguale all'area del quadrato grande meno l'area di quello piccolo. Il lato di un quadratino è un segmento che collega i punti e la sua lunghezza è

Quindi l'area del quadratino è

Facciamo lo stesso con un grande quadrato: il suo lato è un segmento che collega i punti e la sua lunghezza lo è

Quindi l'area del quadrato grande è

Troviamo l'area della figura desiderata utilizzando la formula:

Risposta:

5. Se un cerchio ha come centro l'origine e passa per un punto, allora il suo raggio sarà esattamente uguale alla lunghezza del segmento (fai un disegno e capirai perché questo è ovvio). Troviamo la lunghezza di questo segmento:

Risposta:

6. È noto che il raggio di un cerchio circoscritto ad un rettangolo è pari alla metà della sua diagonale. Troviamo la lunghezza di una qualsiasi delle due diagonali (dopo tutto, in un rettangolo sono uguali!)

Risposta:

Bene, hai affrontato tutto? Non è stato molto difficile capirlo, vero? C'è solo una regola qui: essere in grado di creare un'immagine visiva e semplicemente "leggere" tutti i dati da essa.

Ci resta ben poco. Ci sono letteralmente altri due punti di cui vorrei discutere.

Proviamo a risolvere questo semplice problema. Facciamo due punti e saremo dati. Trova le coordinate del punto medio del segmento. La soluzione a questo problema è la seguente: lascia che il punto sia il centro desiderato, quindi ha coordinate:

Questo è: coordinate del centro del segmento = media aritmetica delle coordinate corrispondenti delle estremità del segmento.

Questa regola è molto semplice e di solito non causa difficoltà agli studenti. Vediamo in quali problemi e come si usa:

1. Trova-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny da-taglia, collega-il-punto e

2. I punti sembrano essere la cima del mondo. Find-di-te or-di-na-tu punti per-re-se-che-niya del suo dia-go-na-ley.

3. Trova-di-te abs-cis-su centro del cerchio, descrivi-san-noy riguardo al rettangolare-no-ka, le parti superiori di qualcosa hanno co-o-di-na-tu così-responsabilmente-ma.

Soluzioni:

1. Il primo problema è semplicemente un classico. Procediamo immediatamente per determinare la metà del segmento. Ha delle coordinate. L'ordinata è uguale.

Risposta:

2. È facile vedere che questo quadrilatero è un parallelogramma (anche un rombo!). Puoi dimostrarlo tu stesso calcolando le lunghezze dei lati e confrontandoli tra loro. Cosa so dei parallelogrammi? Le sue diagonali sono divise a metà dal punto di intersezione! Sì! Allora qual è il punto di intersezione delle diagonali? Questo è il centro di una qualsiasi delle diagonali! Sceglierò, in particolare, la diagonale. Allora il punto ha coordinate L'ordinata del punto è uguale a.

Risposta:

3. Con cosa coincide il centro del cerchio circoscritto al rettangolo? Coincide con il punto di intersezione delle sue diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo? Sono uguali e il punto di intersezione li divide a metà. Il compito è stato ridotto a quello precedente. Prendiamo ad esempio la diagonale. Allora se è il centro della circonferenza circoscritta, allora è il punto medio. Cerco le coordinate: l'ascissa è uguale.

Risposta:

Ora esercitati un po' da solo, ti darò solo le risposte a ciascun problema così potrai metterti alla prova.

1. Trova-di-te ra-di-us del cerchio, descrivi-san-noy riguardo al tri-angolo-no-ka, le cime di qualcosa hanno un co-o-di-no signori

2. Trova-di-te o-di-su-quel centro del cerchio, descrivi-san-noy sul triangolo-no-ka, le cui parti superiori hanno coordinate

3. Che tipo di ra-di-u-sa dovrebbe esserci un cerchio con un centro in un punto in modo che tocchi l'asse ab-ciss?

4. Trova-di-quelli-o-di-quel-punto di re-se-ce-zione dell'asse e dal taglio, collega il punto e

Risposte:

Tutto ha avuto successo? Lo spero davvero! Adesso... l'ultima spinta. Ora stai particolarmente attento. Il materiale che ora spiegherò è direttamente correlato non solo ai semplici problemi sul metodo delle coordinate della Parte B, ma si trova anche ovunque nel Problema C2.

Quale delle mie promesse non ho ancora mantenuto? Ricordate quali operazioni sui vettori avevo promesso di introdurre e quali alla fine ho introdotto? Sicuro che non ho dimenticato nulla? Dimenticato! Ho dimenticato di spiegare cosa significa la moltiplicazione vettoriale.

Esistono due modi per moltiplicare un vettore per un vettore. A seconda del metodo scelto, otterremo oggetti di diversa natura:

Il prodotto incrociato è fatto in modo abbastanza intelligente. Discuteremo come farlo e perché è necessario nel prossimo articolo. E in questo ci concentreremo sul prodotto scalare.

Ci sono due modi che ci permettono di calcolarlo:

Come hai indovinato, il risultato dovrebbe essere lo stesso! Quindi diamo un'occhiata prima al primo metodo:

Prodotto scalare tramite coordinate

Trova: - notazione generalmente accettata per il prodotto scalare

La formula per il calcolo è la seguente:

Cioè il prodotto scalare = la somma dei prodotti delle coordinate vettoriali!

Esempio:

Trova-di-te

Soluzione:

Troviamo le coordinate di ciascuno dei vettori:

Calcoliamo il prodotto scalare utilizzando la formula:

Risposta:

Vedi, assolutamente niente di complicato!

Bene, ora provalo tu stesso:

· Trova un pro-iz-ve-de-nie scalare di secoli e

Sei riuscito? Forse hai notato un piccolo problema? Controlliamo:

Coordinate vettoriali, come nel problema precedente! Risposta: .

Oltre a quello delle coordinate, esiste un altro modo per calcolare il prodotto scalare, ovvero attraverso le lunghezze dei vettori e il coseno dell'angolo compreso tra loro:

Indica l'angolo tra i vettori e.

Cioè, il prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori e del coseno dell'angolo compreso tra loro.

Perché abbiamo bisogno di questa seconda formula, se abbiamo la prima, che è molto più semplice, almeno non contiene coseni. Ed è necessario affinché dalla prima e dalla seconda formula tu ed io possiamo dedurre come trovare l'angolo tra i vettori!

Ricordiamo quindi la formula per la lunghezza del vettore!

Quindi se sostituisco questi dati nella formula del prodotto scalare, ottengo:

Ma in altro modo:

Allora cosa abbiamo ottenuto io e te? Ora abbiamo una formula che ci permette di calcolare l'angolo tra due vettori! A volte è anche scritto così per brevità:

Cioè, l'algoritmo per calcolare l'angolo tra i vettori è il seguente:

1. Calcolare il prodotto scalare attraverso le coordinate
2. Trova le lunghezze dei vettori e moltiplicale
3. Dividi il risultato del punto 1 per il risultato del punto 2

Facciamo pratica con gli esempi:

1. Trova l'angolo tra le palpebre e. Dai la risposta in grad-du-sah.

2. Nelle condizioni del problema precedente, trova il coseno tra i vettori

Facciamo così: ti aiuterò a risolvere il primo problema, e proverò a fare tu stesso il secondo! Essere d'accordo? Allora cominciamo!

1. Questi vettori sono i nostri vecchi amici. Abbiamo già calcolato il loro prodotto scalare ed era uguale. Le loro coordinate sono: , . Quindi troviamo le loro lunghezze:

Quindi cerchiamo il coseno tra i vettori:

Qual è il coseno dell'angolo? Questo è l'angolo.

Risposta:

Bene, ora risolvi tu stesso il secondo problema e poi confronta! Darò solo una soluzione molto breve:

2. ha coordinate, ha coordinate.

Sia l'angolo tra i vettori e, quindi

Risposta:

Va notato che i problemi direttamente sui vettori e sul metodo delle coordinate nella Parte B del documento d'esame sono piuttosto rari. Tuttavia, la stragrande maggioranza dei problemi C2 può essere facilmente risolta introducendo un sistema di coordinate. Quindi puoi considerare questo articolo come la base sulla base della quale realizzeremo costruzioni abbastanza intelligenti di cui avremo bisogno per risolvere problemi complessi.

COORDINATE E VETTORI. LIVELLO MEDIO

Tu ed io continuiamo a studiare il metodo delle coordinate. Nell'ultima parte, abbiamo ricavato una serie di formule importanti che consentono di:

1. Trova le coordinate vettoriali
2. Trova la lunghezza di un vettore (in alternativa: la distanza tra due punti)
3. Aggiungi e sottrai vettori. Moltiplicateli per un numero reale
4. Trova il punto medio di un segmento
5. Calcolare il prodotto scalare dei vettori
6. Trova l'angolo tra i vettori

Naturalmente, l'intero metodo delle coordinate non rientra in questi 6 punti. È alla base di una scienza come la geometria analitica, con la quale acquisirai familiarità all'università. Voglio solo costruire una base che ti permetta di risolvere i problemi in un unico stato. esame. Abbiamo affrontato i compiti della Parte B. Ora è il momento di passare a un livello completamente nuovo! Questo articolo sarà dedicato al metodo per risolvere quei problemi C2 in cui sarebbe ragionevole passare al metodo delle coordinate. Questa ragionevolezza è determinata da ciò che è necessario trovare nel problema e dalla cifra fornita. Quindi, utilizzerei il metodo delle coordinate se le domande sono:

1. Trova l'angolo tra due piani
2. Trova l'angolo tra una linea retta e un piano
3. Trova l'angolo tra due linee rette
4. Trova la distanza da un punto a un piano
5. Trova la distanza da un punto a una linea
6. Trova la distanza da una linea retta a un piano
7. Trova la distanza tra due linee

Se la figura fornita nella formulazione del problema è un corpo di rotazione (sfera, cilindro, cono...)

Figure adatte per il metodo delle coordinate sono:

1. Parallelepipedo rettangolare
2. Piramide (triangolare, quadrangolare, esagonale)

Anche per mia esperienza non è appropriato utilizzare il metodo delle coordinate per:

1. Trovare le aree trasversali
2. Calcolo dei volumi dei corpi

Va però subito notato che le tre situazioni “sfavorevoli” per il metodo delle coordinate sono piuttosto rare nella pratica. Nella maggior parte dei compiti, può diventare il tuo salvatore, soprattutto se non sei molto bravo nelle costruzioni tridimensionali (che a volte possono essere piuttosto complesse).

Quali sono tutte le figure che ho elencato sopra? Non sono più piatti, come, ad esempio, un quadrato, un triangolo, un cerchio, ma voluminosi! Di conseguenza, dobbiamo considerare non un sistema di coordinate bidimensionale, ma tridimensionale. La sua costruzione è abbastanza semplice: oltre all'asse delle ascisse e delle ordinate, introdurremo un altro asse, l'asse applicato. La figura mostra schematicamente la loro posizione relativa:

Tutti loro sono reciprocamente perpendicolari e si intersecano in un punto, che chiameremo origine delle coordinate. Come prima, indicheremo l'asse delle ascisse, l'asse delle ordinate - e l'asse applicato introdotto - .

Se prima ogni punto sul piano era caratterizzato da due numeri: l'ascissa e l'ordinata, allora ogni punto nello spazio è già descritto da tre numeri: l'ascissa, l'ordinata e l'applicata. Per esempio:

Di conseguenza, l'ascissa di un punto è uguale, l'ordinata è , e l'applicata è .

A volte l'ascissa di un punto è anche chiamata proiezione di un punto sull'asse dell'ascissa, ordinata - proiezione di un punto sull'asse delle ordinate e applicata - proiezione di un punto sull'asse applicato. Di conseguenza, se viene fornito un punto, allora un punto con coordinate:

chiamata proiezione di un punto su un piano

chiamata proiezione di un punto su un piano

Sorge spontanea una domanda: tutte le formule derivate per il caso bidimensionale sono valide nello spazio? La risposta è sì, sono giusti e hanno lo stesso aspetto. Per un piccolo dettaglio. Penso che tu abbia già indovinato quale sia. In tutte le formule dovremo aggiungere un ulteriore termine responsabile dell'asse applicato. Vale a dire.

1. Se vengono forniti due punti: , allora:

• Coordinate vettoriali:
• Distanza tra due punti (o lunghezza del vettore)
• Il punto medio del segmento ha coordinate

2. Se sono dati due vettori: e, allora:

• Il loro prodotto scalare è pari a:
• Il coseno dell'angolo tra i vettori è uguale a:

Tuttavia, lo spazio non è così semplice. Come hai capito, l'aggiunta di un'altra coordinata introduce una significativa diversità nello spettro delle figure che “vivono” in questo spazio. E per un'ulteriore narrazione dovrò introdurre qualche, grosso modo, "generalizzazione" della linea retta. Questa “generalizzazione” sarà un aereo. Cosa sai dell'aereo? Prova a rispondere alla domanda: cos'è un aereo? È molto difficile da dire. Tuttavia, tutti immaginiamo intuitivamente come appare:

In parole povere, questa è una sorta di "foglio" infinito bloccato nello spazio. Per “infinito” si intende il fatto che il piano si estende in tutte le direzioni, cioè la sua area è uguale all'infinito. Tuttavia, questa spiegazione “pratica” non dà la minima idea della struttura dell’aereo. Ed è lei che sarà interessata a noi.

Ricordiamo uno degli assiomi fondamentali della geometria:

• una retta passa per due punti diversi del piano e uno solo:

O il suo analogo nello spazio:

Naturalmente, ti ricordi come derivare l'equazione di una linea da due punti dati; non è affatto difficile: se il primo punto ha coordinate: e il secondo, allora l'equazione della linea sarà la seguente:

L'hai fatto in seconda media. Nello spazio, l'equazione di una linea si presenta così: dati due punti con coordinate: , quindi l'equazione della linea che li attraversa ha la forma:

Ad esempio, una linea passa per i punti:

Come dovrebbe essere inteso? Ciò va inteso nel modo seguente: un punto giace su una retta se le sue coordinate soddisfano il seguente sistema:

Non saremo molto interessati all'equazione di una retta, ma dobbiamo prestare attenzione al concetto molto importante del vettore direzione di una retta. - qualsiasi vettore diverso da zero giacente su una data retta o parallelo ad essa.

Ad esempio, entrambi i vettori sono vettori di direzione di una linea retta. Sia un punto giacente su una retta e sia il suo vettore direzione. Allora l'equazione della retta può essere scritta nella seguente forma:

Ancora una volta, non mi interesserà molto l’equazione di una linea retta, ma ho davvero bisogno che tu ricordi cos’è un vettore di direzione! Ancora: questo è QUALSIASI vettore diverso da zero che giace su una linea o parallelo ad essa.

Ritirare equazione di un piano basata su tre punti dati non è più così banale, e la questione solitamente non viene affrontata nei corsi delle scuole superiori. Ma invano! Questa tecnica è vitale quando ricorriamo al metodo delle coordinate per risolvere problemi complessi. Tuttavia, presumo che tu sia ansioso di imparare qualcosa di nuovo? Inoltre, potrai impressionare il tuo insegnante all'università quando scoprirai che sai già come utilizzare una tecnica che di solito viene studiata in un corso di geometria analitica. Quindi iniziamo.

L'equazione di un piano non è molto diversa dall'equazione di una retta su un piano, cioè ha la forma:

alcuni numeri (non tutti uguali a zero), ma variabili, ad esempio: ecc. Come puoi vedere, l'equazione di un piano non è molto diversa dall'equazione di una retta (funzione lineare). Tuttavia, ricordi cosa abbiamo discusso tu ed io? Abbiamo detto che se abbiamo tre punti che non giacciono sulla stessa retta, allora da essi si può ricostruire univocamente l'equazione del piano. Ma come? Proverò a spiegartelo.

Poiché l'equazione del piano è:

E i punti appartengono a questo piano, quindi sostituendo le coordinate di ciascun punto nell'equazione del piano dovremmo ottenere l'identità corretta:

Pertanto, è necessario risolvere tre equazioni con incognite! Dilemma! Tuttavia, puoi sempre presumerlo (per fare questo devi dividere per). Quindi, otteniamo tre equazioni con tre incognite:

Tuttavia, non risolveremo un sistema del genere, ma scriveremo la misteriosa espressione che ne consegue:

Equazione di un piano passante per tre punti dati

\[\sinistra| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Fermare! Cos'è questo? Alcuni moduli davvero insoliti! Tuttavia, l'oggetto che vedi davanti a te non ha nulla a che fare con il modulo. Questo oggetto è chiamato determinante del terzo ordine. D'ora in poi, quando tratterete del metodo delle coordinate su un piano, incontrerete molto spesso questi stessi determinanti. Cos'è un determinante del terzo ordine? Stranamente, è solo un numero. Resta da capire quale numero specifico confronteremo con il determinante.

Scriviamo prima il determinante del terzo ordine in una forma più generale:

Dove sono alcuni numeri. Inoltre, per primo indice intendiamo il numero di riga e per indice intendiamo il numero di colonna. Ad esempio, significa che questo numero si trova all'intersezione tra la seconda riga e la terza colonna. Poniamoci la seguente domanda: come calcoleremo esattamente tale determinante? Cioè, quale numero specifico confronteremo con esso? Per il determinante del terzo ordine esiste una regola euristica (visiva) del triangolo, simile a questa:

1. Il prodotto degli elementi della diagonale principale (dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra) il prodotto degli elementi che formano il primo triangolo “perpendicolare” alla diagonale principale il prodotto degli elementi che formano il secondo triangolo “perpendicolare” alla diagonale diagonale principale
2. Il prodotto degli elementi della diagonale secondaria (dall'angolo in alto a destra a quello in basso a sinistra) il prodotto degli elementi che formano il primo triangolo “perpendicolare” alla diagonale secondaria il prodotto degli elementi che formano il secondo triangolo “perpendicolare” alla diagonale diagonale secondaria
3. Quindi il determinante è pari alla differenza tra i valori ottenuti al passo e

Se scriviamo tutto questo in numeri, otteniamo la seguente espressione:

Tuttavia, non è necessario ricordare il metodo di calcolo in questo modulo, è sufficiente tenere in testa i triangoli e l'idea stessa di cosa si somma a cosa e cosa viene poi sottratto da cosa).

Illustriamo il metodo del triangolo con un esempio:

1. Calcola il determinante:

Scopriamo cosa aggiungiamo e cosa sottraiamo:

Termini che comportano un vantaggio:

Questa è la diagonale principale: il prodotto degli elementi è uguale a

Il primo triangolo, "perpendicolare alla diagonale principale: il prodotto degli elementi è uguale a

Secondo triangolo, "perpendicolare alla diagonale principale: il prodotto degli elementi è uguale a

Somma tre numeri:

Termini che presentano un segno meno

Questa è una diagonale laterale: il prodotto degli elementi è uguale a

Il primo triangolo, “perpendicolare alla diagonale secondaria: il prodotto degli elementi è uguale a

Il secondo triangolo, “perpendicolare alla diagonale secondaria: il prodotto degli elementi è uguale a

Somma tre numeri:

Tutto ciò che resta da fare è sottrarre la somma dei termini “più” dalla somma dei termini “meno”:

Così,

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato o di soprannaturale nel calcolo dei determinanti del terzo ordine. È solo importante ricordare i triangoli e non commettere errori aritmetici. Ora prova a calcolarlo da solo:

Controlliamo:

1. Il primo triangolo perpendicolare alla diagonale principale:
2. Secondo triangolo perpendicolare alla diagonale principale:
3. Somma dei termini con più:
4. Il primo triangolo perpendicolare alla diagonale secondaria:
5. Secondo triangolo perpendicolare alla diagonale laterale:
6. Somma dei termini con meno:
7. La somma dei termini con un più meno la somma dei termini con un meno:

Ecco un altro paio di determinanti, calcola tu stesso i loro valori e confrontali con le risposte:

Risposte:

Ebbene, tutto è coinciso? Ottimo, allora puoi andare avanti! Se ci sono difficoltà, il mio consiglio è questo: su Internet ci sono molti programmi per calcolare il determinante online. Tutto ciò di cui hai bisogno è trovare il tuo determinante, calcolarlo tu stesso e poi confrontarlo con ciò che calcola il programma. E così via finché i risultati non cominciano a coincidere. Sono sicura che questo momento non tarderà ad arrivare!

Ora torniamo al determinante che ho scritto quando ho parlato dell'equazione di un piano passante per tre punti dati:

Tutto ciò che serve è calcolarne direttamente il valore (usando il metodo del triangolo) e impostare il risultato su zero. Naturalmente, poiché si tratta di variabili, otterrai qualche espressione che dipende da esse. È questa espressione che sarà l'equazione di un piano che passa per tre punti dati che non giacciono sulla stessa retta!

Spieghiamolo con un semplice esempio:

1. Costruisci l'equazione di un piano passante per i punti

Compiliamo un determinante per questi tre punti:

Semplifichiamo:

Ora lo calcoliamo direttamente utilizzando la regola del triangolo:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ destra| = \sinistra((x + 3) \destra) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \sinistra((z + 1) \destra) + \sinistra((y - 2) \destra) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Pertanto l’equazione del piano passante per i punti è:

Ora prova a risolvere tu stesso un problema e poi ne discuteremo:

2. Trova l'equazione del piano passante per i punti

Bene, ora discutiamo della soluzione:

Creiamo un determinante:

E calcola il suo valore:

Allora l'equazione del piano ha la forma:

Oppure, riducendo per, otteniamo:

Ora due compiti per l’autocontrollo:

1. Costruisci l'equazione del piano passante per tre punti:

Risposte:

È coinciso tutto? Ancora una volta, se ci sono alcune difficoltà, il mio consiglio è questo: prendi tre punti dalla tua testa (con un alto grado di probabilità non si troveranno sulla stessa linea retta), costruisci un piano basato su di essi. E poi ti controlli online. Ad esempio, sul sito:

Tuttavia, con l'aiuto dei determinanti costruiremo non solo l'equazione del piano. Ricorda, ti ho detto che non solo il prodotto scalare è definito per i vettori. Esiste anche un prodotto vettoriale e un prodotto misto. E se il prodotto scalare di due vettori è un numero, allora il prodotto vettoriale di due vettori sarà un vettore e questo vettore sarà perpendicolare a quelli dati:

Inoltre, il suo modulo sarà uguale all'area di un parallelogramma costruito sui vettori e. Avremo bisogno di questo vettore per calcolare la distanza da un punto a una linea. Come possiamo calcolare il prodotto vettoriale dei vettori e, se vengono fornite le loro coordinate? Il determinante del terzo ordine ci viene nuovamente in aiuto. Prima però di passare all’algoritmo per il calcolo del prodotto vettoriale, devo fare una piccola digressione.

Questa digressione riguarda i vettori di base.

Sono mostrati schematicamente in figura:

Perché pensi che siano chiamati basic? Il fatto è che :

Oppure nella foto:

La validità di questa formula è ovvia, perché:

Grafica vettoriale

Ora posso iniziare a introdurre il prodotto incrociato:

Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore, che viene calcolato secondo la seguente regola:

Diamo ora alcuni esempi di calcolo del prodotto incrociato:

Esempio 1: trova il prodotto incrociato dei vettori:

Soluzione: invento un determinante:

E lo calcolo:

Ora, scrivendo attraverso i vettori base, tornerò alla solita notazione vettoriale:

Così:

Ora provalo.

Pronto? Controlliamo:

E tradizionalmente due compiti di controllo:

1. Trovare il prodotto vettoriale dei seguenti vettori:
2. Trovare il prodotto vettoriale dei seguenti vettori:

Risposte:

Prodotto misto di tre vettori

L'ultima costruzione di cui avrò bisogno è il prodotto misto di tre vettori. Come uno scalare, è un numero. Ci sono due modi per calcolarlo. - attraverso un determinante, - attraverso un prodotto misto.

Vale a dire, diamo tre vettori:

Quindi il prodotto misto di tre vettori, indicato con, può essere calcolato come:

1. - cioè il prodotto misto è il prodotto scalare di un vettore e il prodotto vettoriale di altri due vettori

Ad esempio, il prodotto misto di tre vettori è:

Prova a calcolarlo tu stesso utilizzando il prodotto vettoriale e assicurati che i risultati corrispondano!

E ancora, due esempi di soluzioni indipendenti:

Risposte:

Selezione di un sistema di coordinate

Bene, ora abbiamo tutte le basi di conoscenza necessarie per risolvere problemi complessi di geometria stereometrica. Tuttavia, prima di procedere direttamente agli esempi e agli algoritmi per risolverli, credo che sarà utile soffermarsi sulla seguente domanda: come esattamente scegli un sistema di coordinate per una particolare figura. Dopotutto, è la scelta della posizione relativa del sistema di coordinate e della figura nello spazio che determinerà alla fine quanto saranno ingombranti i calcoli.

Ricordo che in questa sezione consideriamo le seguenti figure:

1. Parallelepipedo rettangolare
2. Prisma diritto (triangolare, esagonale...)
3. Piramide (triangolare, quadrangolare)
4. Tetraedro (uguale alla piramide triangolare)

Per un parallelepipedo o un cubo rettangolare vi consiglio la seguente costruzione:

Cioè, posizionerò la figura “nell'angolo”. Il cubo e il parallelepipedo sono figure molto belle. Per loro puoi sempre trovare facilmente le coordinate dei suoi vertici. Ad esempio, se (come mostrato nell'immagine)

allora le coordinate dei vertici sono le seguenti:

Naturalmente non è necessario ricordarlo, ma è consigliabile ricordare come posizionare al meglio un cubo o un parallelepipedo rettangolare.

Prisma dritto

Il prisma è una figura più dannosa. Può essere posizionato nello spazio in diversi modi. Tuttavia, la seguente opzione mi sembra la più accettabile:

Prisma triangolare:

Cioè, posizioniamo uno dei lati del triangolo interamente sull'asse e uno dei vertici coincide con l'origine delle coordinate.

Prisma esagonale:

Cioè, uno dei vertici coincide con l'origine e uno dei lati giace sull'asse.

Piramide quadrangolare ed esagonale:

La situazione è simile a quella di un cubo: allineiamo due lati della base con gli assi delle coordinate e allineiamo uno dei vertici con l'origine delle coordinate. L'unica piccola difficoltà sarà calcolare le coordinate del punto.

Per una piramide esagonale - lo stesso di un prisma esagonale. Il compito principale sarà ancora una volta trovare le coordinate del vertice.

Tetraedro (piramide triangolare)

La situazione è molto simile a quella che ho dato per un prisma triangolare: un vertice coincide con l'origine, un lato giace sull'asse delle coordinate.

Bene, ora tu ed io siamo finalmente vicini a iniziare a risolvere i problemi. Da quello che ho detto all'inizio dell'articolo, potresti trarre la seguente conclusione: la maggior parte dei problemi C2 sono divisi in 2 categorie: problemi di angolo e problemi di distanza. Per prima cosa esamineremo i problemi relativi alla ricerca di un angolo. Essi sono a loro volta suddivisi nelle seguenti categorie (all’aumentare della complessità):

Problemi per trovare gli angoli

1. Trovare l'angolo tra due rette
2. Trovare l'angolo tra due piani

Consideriamo questi problemi in sequenza: cominciamo trovando l'angolo tra due rette. Bene, ricorda, tu ed io non abbiamo già risolto esempi simili prima? Ricordi, avevamo già qualcosa di simile... Cercavamo l'angolo tra due vettori. Lascia che te lo ricordi, se vengono dati due vettori: e, quindi l'angolo tra loro si trova dalla relazione:

Ora il nostro obiettivo è trovare l'angolo tra due rette. Diamo un'occhiata al “quadro piatto”:

Quanti angoli abbiamo quando due rette si intersecano? Solo alcune cose. È vero, solo due di essi non sono uguali, mentre gli altri sono verticali rispetto ad essi (e quindi coincidono con essi). Allora quale angolo dobbiamo considerare come l'angolo formato da due rette: oppure? Qui la regola è: l'angolo tra due rette non è mai superiore a gradi. Cioè tra due angoli sceglieremo sempre l'angolo con la misura in gradi più piccola. Cioè, in questa immagine l'angolo tra due linee rette è uguale. Per non preoccuparsi ogni volta di trovare il più piccolo dei due angoli, gli astuti matematici hanno suggerito di utilizzare un modulo. Pertanto, l'angolo tra due rette è determinato dalla formula:

Tu, come lettore attento, avresti dovuto farti una domanda: dove, esattamente, otteniamo questi stessi numeri di cui abbiamo bisogno per calcolare il coseno di un angolo? Risposta: li prenderemo dai vettori di direzione delle linee! Pertanto, l'algoritmo per trovare l'angolo tra due rette è il seguente:

1. Applichiamo la formula 1.

O più in dettaglio:

1. Cerchiamo le coordinate del vettore direzione della prima retta
2. Cerchiamo le coordinate del vettore direzione della seconda retta
3. Calcoliamo il modulo del loro prodotto scalare
4. Cerchiamo la lunghezza del primo vettore
5. Cerchiamo la lunghezza del secondo vettore
6. Moltiplicare i risultati del punto 4 per i risultati del punto 5
7. Dividiamo il risultato del punto 3 per il risultato del punto 6. Otteniamo il coseno dell'angolo tra le linee
8. Se questo risultato ci consente di calcolare con precisione l'angolo, lo cerchiamo
9. Altrimenti scriviamo attraverso l'arcocoseno

Bene, ora è il momento di passare ai problemi: dei primi due dimostrerò dettagliatamente la soluzione, di un altro presenterò in forma breve la soluzione, degli ultimi due problemi darò solo le risposte; devi eseguire tu stesso tutti i calcoli.

Compiti:

1. Nel tet-ra-ed-re destro, trova l'angolo tra l'altezza del tet-ra-ed-ra e il lato centrale.

2. Nel pi-ra-mi-de a sei angoli di destra, i cento os-no-va-niya sono uguali e i bordi laterali sono uguali, trova l'angolo tra le linee e.

3. Le lunghezze di tutti i bordi del pi-ra-mi-dy a quattro carboni destro sono uguali tra loro. Trova l'angolo tra le linee rette e se dal taglio - sei con il pi-ra-mi-dy dato, il punto è se-re-di-sulle sue seconde nervature bo-co-

4. Sul bordo del cubo c'è un punto in modo che Trova l'angolo tra le linee rette e

5. Punto - sui bordi del cubo Trova l'angolo tra le linee rette e.

Non è un caso che ho organizzato i compiti in questo ordine. Anche se non hai ancora iniziato a navigare nel metodo delle coordinate, analizzerò io stesso le figure più "problematiche" e ti lascerò occuparmi del cubo più semplice! Piano piano dovrai imparare a lavorare con tutte le figure; aumenterò la complessità dei compiti di argomento in argomento.

Iniziamo a risolvere i problemi:

1. Disegna un tetraedro e posizionalo nel sistema di coordinate come ho suggerito prima. Poiché il tetraedro è regolare, tutte le sue facce (compresa la base) sono triangoli regolari. Dato che non ci viene data la lunghezza del lato, posso considerarlo uguale. Penso che tu capisca che l'angolo non dipenderà effettivamente da quanto è “allungato” il nostro tetraedro?. Disegnerò anche l'altezza e la mediana del tetraedro. Strada facendo ne disegnerò la base (sarà utile anche a noi).

Devo trovare l'angolo tra e. Cosa sappiamo? Conosciamo solo le coordinate del punto. Ciò significa che dobbiamo trovare le coordinate dei punti. Ora pensiamo: un punto è il punto di intersezione delle altezze (o bisettrici o mediane) del triangolo. E un punto è un punto sollevato. Il punto è il centro del segmento. Poi infine dobbiamo trovare: le coordinate dei punti: .

Cominciamo dalla cosa più semplice: le coordinate di un punto. Osserva la figura: È chiaro che l'applicata di un punto è uguale a zero (il punto giace sul piano). La sua ordinata è uguale (poiché è la mediana). È più difficile trovare la sua ascissa. Tuttavia, questo è facilmente realizzabile in base al teorema di Pitagora: considera un triangolo. La sua ipotenusa è uguale e uno dei suoi cateti è uguale Allora:

Infine abbiamo: .

Ora troviamo le coordinate del punto. È chiaro che la sua applicata è ancora uguale a zero, e la sua ordinata è la stessa di un punto. Troviamo la sua ascissa. Questo viene fatto in modo abbastanza banale se lo ricordi le altezze di un triangolo equilatero per il punto di intersezione sono divise in proporzione, contando dall'alto. Poiché: , allora l'ascissa richiesta del punto, pari alla lunghezza del segmento, è uguale a: . Pertanto le coordinate del punto sono:

Troviamo le coordinate del punto. È chiaro che la sua ascissa e ordinata coincidono con l'ascissa e l'ordinata del punto. E l'applicata è uguale alla lunghezza del segmento. - questa è una delle gambe del triangolo. L'ipotenusa di un triangolo è un segmento: una gamba. Viene ricercato per i motivi che ho evidenziato in grassetto:

Il punto è il centro del segmento. Quindi dobbiamo ricordare la formula per le coordinate del punto medio del segmento:

Questo è tutto, ora possiamo cercare le coordinate dei vettori di direzione:

Bene, è tutto pronto: sostituiamo tutti i dati nella formula:

Così,

Risposta:

Non dovresti lasciarti spaventare da risposte così “spaventose”: per i problemi C2 questa è una pratica comune. Preferirei essere sorpreso dalla “bella” risposta in questa parte. Inoltre, come hai notato, praticamente non ho fatto ricorso ad altro che al teorema di Pitagora e alla proprietà delle altezze di un triangolo equilatero. Cioè, per risolvere il problema stereometrico, ho utilizzato il minimo indispensabile di stereometria. Il vantaggio in questo viene parzialmente “estinto” da calcoli piuttosto macchinosi. Ma sono piuttosto algoritmici!

2. Descriviamo una piramide esagonale regolare insieme al sistema di coordinate e alla sua base:

Dobbiamo trovare l'angolo tra le linee e. Pertanto, il nostro compito si riduce a trovare le coordinate dei punti: . Troveremo le coordinate degli ultimi tre utilizzando un piccolo disegno, e troveremo la coordinata del vertice attraverso la coordinata del punto. C'è molto lavoro da fare, ma dobbiamo iniziare!

a) Coordinata: è chiaro che la sua applicata e la sua ordinata sono uguali a zero. Troviamo l'ascissa. Per fare ciò, considera un triangolo rettangolo. Ahimè, in esso conosciamo solo l'ipotenusa, che è uguale. Cercheremo di trovare la gamba (perché è chiaro che il doppio della lunghezza della gamba ci darà l'ascissa del punto). Come possiamo cercarlo? Ricordiamo che tipo di figura abbiamo alla base della piramide? Questo è un esagono regolare. Cosa significa? Ciò significa che tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali. Dobbiamo trovare uno di questi angoli. Qualche idea? Ci sono molte idee, ma esiste una formula:

La somma degli angoli di un n-gon regolare è .

Pertanto, la somma degli angoli di un esagono regolare è uguale a gradi. Allora ciascuno degli angoli è uguale a:

Guardiamo di nuovo l'immagine. È chiaro che il segmento è la bisettrice dell'angolo. Quindi l'angolo è uguale a gradi. Poi:

Allora da dove?

Quindi, ha delle coordinate

b) Ora possiamo trovare facilmente le coordinate del punto: .

c) Trovare le coordinate del punto. Poiché la sua ascissa coincide con la lunghezza del segmento, è uguale. Anche trovare l'ordinata non è molto difficile: se colleghiamo i punti e designiamo il punto di intersezione della linea come, diciamo, . (costruzione semplice fai da te). Allora quindi l'ordinata del punto B è uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti. Consideriamo di nuovo il triangolo. Poi

Allora da Allora il punto ha coordinate

d) Troviamo ora le coordinate del punto. Consideriamo il rettangolo e dimostriamo che quindi le coordinate del punto sono:

e) Resta da trovare le coordinate del vertice. È chiaro che la sua ascissa e ordinata coincidono con l'ascissa e l'ordinata del punto. Troviamo l'applica. Da allora. Considera un triangolo rettangolo. A seconda delle condizioni del problema, un bordo laterale. Questa è l'ipotenusa del mio triangolo. Quindi l'altezza della piramide è una gamba.

Quindi il punto ha coordinate:

Bene, questo è tutto, ho le coordinate di tutti i punti che mi interessano. Cerco le coordinate dei vettori direttivi delle rette:

Cerchiamo l'angolo tra questi vettori:

Risposta:

Ancora una volta, per risolvere questo problema non ho utilizzato tecniche sofisticate oltre alla formula per la somma degli angoli di un n-gono regolare, nonché alla definizione del coseno e del seno di un triangolo rettangolo.

3. Poiché ancora una volta non ci vengono fornite le lunghezze degli spigoli della piramide, le considererò uguali a uno. Pertanto, poiché TUTTI i bordi, e non solo quelli laterali, sono uguali tra loro, allora alla base della piramide e io c'è un quadrato e le facce laterali sono triangoli regolari. Disegniamo una tale piramide, così come la sua base su un piano, annotando tutti i dati forniti nel testo del problema:

Cerchiamo l'angolo tra e. Farò dei calcoli molto brevi quando cercherò le coordinate dei punti. Dovrai “decifrarli”:

b) - la metà del segmento. Le sue coordinate:

c) Troverò la lunghezza del segmento utilizzando il teorema di Pitagora in un triangolo. Posso trovarlo usando il teorema di Pitagora in un triangolo.

Coordinate:

d) - la metà del segmento. Le sue coordinate sono

e) Coordinate vettoriali

f) Coordinate vettoriali

g) Ricerca dell'angolo:

Un cubo è la figura più semplice. Sono sicuro che lo capirai da solo. Le risposte ai problemi 4 e 5 sono le seguenti:

Trovare l'angolo tra una linea retta e un piano

Bene, il tempo dei puzzle semplici è finito! Ora gli esempi saranno ancora più complicati. Per trovare l'angolo tra una retta e un piano procederemo come segue:

1. Utilizzando tre punti costruiamo un'equazione del piano
   ,
   utilizzando un determinante del terzo ordine.
2. Utilizzando due punti, cerchiamo le coordinate del vettore direttivo della retta:
3. Applichiamo la formula per calcolare l'angolo tra una linea retta e un piano:

Come puoi vedere, questa formula è molto simile a quella che abbiamo usato per trovare gli angoli tra due linee rette. La struttura sul lato destro è semplicemente la stessa, mentre a sinistra ora stiamo cercando il seno e non il coseno come prima. Bene, è stata aggiunta un'azione brutta: cercare l'equazione dell'aereo.

Non procrastiniamo esempi di soluzioni:

1. Il prisma diretto principale-ma-va-ni-em: siamo un triangolo uguale a povero. Trova l'angolo tra la linea retta e il piano

2. In un par-ral-le-le-pi-pe-de rettangolare da Ovest Trovare l'angolo formato dalla retta al piano

3. In un prisma retto a sei angoli, tutti i bordi sono uguali. Trova l'angolo tra la linea retta e il piano.

4. Nel triangolo destro pi-ra-mi-de con l'os-no-va-ni-em delle nervature conosciute Trova un angolo, ob-ra-zo-van -piatto alla base e dritto, passando per il grigio costole e

5. Le lunghezze di tutti gli spigoli di una pi-ra-mi-dy quadrangolare retta con un vertice sono uguali tra loro. Trova l'angolo tra la linea retta e il piano se il punto si trova sul lato del bordo del pi-ra-mi-dy.

Ancora una volta, risolverò i primi due problemi in dettaglio, il terzo brevemente, e lascerò che gli ultimi due li risolviate da soli. Del resto avete già avuto a che fare con le piramidi triangolari e quadrangolari, ma non ancora con i prismi.

Soluzioni:

1. Descriviamo un prisma e la sua base. Combiniamolo con il sistema di coordinate e notiamo tutti i dati forniti nella dichiarazione del problema:

Mi scuso per qualche mancato rispetto delle proporzioni, ma per risolvere il problema questo, in effetti, non è così importante. L'aereo è semplicemente la "parete di fondo" del mio prisma. Basta semplicemente indovinare che l'equazione di un tale piano ha la forma:

Tuttavia, questo può essere mostrato direttamente:

Scegliamo tre punti arbitrari su questo piano: ad esempio, .

Creiamo l'equazione del piano:

Esercizio per te: calcola tu stesso questo determinante. Ci sei riuscito? Allora l'equazione del piano è la seguente:

O semplicemente

Così,

Per risolvere l'esempio devo trovare le coordinate del vettore direzione della retta. Dato che il punto coincide con l'origine delle coordinate, le coordinate del vettore coincideranno semplicemente con le coordinate del punto, per fare ciò dobbiamo prima trovare le coordinate del punto.

Per fare ciò, considera un triangolo. Disegniamo l'altezza (nota anche come mediana e bisettrice) dal vertice. Poiché l'ordinata del punto è uguale a. Per trovare l'ascissa di questo punto dobbiamo calcolare la lunghezza del segmento. Secondo il teorema di Pitagora abbiamo:

Quindi il punto ha coordinate:

Un punto è un punto "in rilievo":

Allora le coordinate del vettore sono:

Risposta:

Come puoi vedere, non c'è nulla di fondamentalmente difficile quando si risolvono tali problemi. In effetti, il processo è un po’ più semplificato dalla “rettilineità” di una figura come un prisma. Passiamo ora al prossimo esempio:

2. Disegna un parallelepipedo, disegna un piano e una linea retta al suo interno e disegna anche separatamente la sua base inferiore:

Per prima cosa troviamo l'equazione del piano: le coordinate dei tre punti che giacciono in esso:

(le prime due coordinate si ottengono in modo ovvio, l'ultima coordinata si trova facilmente dalla foto del punto). Quindi componiamo l'equazione del piano:

Calcoliamo:

Cerchiamo le coordinate del vettore guida: è chiaro che le sue coordinate coincidono con le coordinate del punto, no? Come trovare le coordinate? Queste sono le coordinate del punto, sollevate di uno lungo l'asse applicato! . Quindi cerchiamo l'angolo desiderato:

Risposta:

3. Disegna una piramide esagonale regolare, quindi disegna al suo interno un piano e una linea retta.

Qui è persino problematico disegnare un aereo, per non parlare della risoluzione di questo problema, ma al metodo delle coordinate non importa! La sua versatilità è il suo principale vantaggio!

L'aereo passa per tre punti: . Cerchiamo le loro coordinate:

1). Scopri tu stesso le coordinate degli ultimi due punti. Per farlo dovrai risolvere il problema della piramide esagonale!

2) Costruiamo l'equazione del piano:

Cerchiamo le coordinate del vettore: . (Vedi di nuovo il problema della piramide triangolare!)

3) Alla ricerca di un angolo:

Risposta:

Come puoi vedere, non c'è nulla di soprannaturalmente difficile in questi compiti. Devi solo stare molto attento con le radici. Darò solo le risposte agli ultimi due problemi:

Come puoi vedere, la tecnica per risolvere i problemi è la stessa ovunque: il compito principale è trovare le coordinate dei vertici e sostituirle in determinate formule. Dobbiamo ancora considerare un’altra classe di problemi per il calcolo degli angoli, vale a dire:

Calcolo degli angoli tra due piani

L’algoritmo risolutivo sarà il seguente:

1. Utilizzando tre punti cerchiamo l'equazione del primo piano:
2. Utilizzando gli altri tre punti cerchiamo l'equazione del secondo piano:
3. Applichiamo la formula:

Come puoi vedere, la formula è molto simile alle due precedenti, con l'aiuto delle quali abbiamo cercato gli angoli tra rette e tra una retta e un piano. Quindi non sarà difficile per te ricordare questo. Passiamo all'analisi dei compiti:

1. Il lato della base del prisma triangolare destro è uguale e la diagonale della faccia laterale è uguale. Trova l'angolo tra il piano e il piano dell'asse del prisma.

2. Nel pi-ra-mi-de a quattro angoli destro, i cui bordi sono tutti uguali, trova il seno dell'angolo tra il piano e l'osso piano, passando per il punto per-pen-di-ku- Lyar-ma dritto.

3. In un prisma regolare a quattro angoli, i lati della base sono uguali e i bordi laterali sono uguali. C'è un punto sul bordo da-me-che-on in modo che. Trova l'angolo tra i piani e

4. In un prisma quadrangolare retto, i lati della base sono uguali e i bordi laterali sono uguali. C'è un punto sul bordo dal punto in modo che Trova l'angolo tra i piani e.

5. In un cubo, trova il coseno dell'angolo formato dai piani e

Soluzioni ai problemi:

1. Disegno un prisma triangolare regolare (un triangolo equilatero alla base) e segno su di esso i piani che appaiono nella formulazione del problema:

Dobbiamo trovare le equazioni di due piani: L'equazione della base è banale: puoi comporre il determinante corrispondente utilizzando tre punti, ma io compongo subito l'equazione:

Ora troviamo l'equazione Punto ha coordinate Punto - Poiché è la mediana e l'altezza del triangolo, si trova facilmente utilizzando il teorema di Pitagora nel triangolo. Allora il punto ha delle coordinate: troviamo l'applicata del punto, per fare questo consideriamo un triangolo rettangolo

Quindi otteniamo le seguenti coordinate: Componiamo l'equazione del piano.

Calcoliamo l'angolo tra i piani:

Risposta:

2. Realizzare un disegno:

La cosa più difficile è capire di che tipo di piano misterioso si tratta, che passa perpendicolarmente attraverso il punto. Bene, la cosa principale è: di cosa si tratta? La cosa principale è l'attenzione! In effetti la linea è perpendicolare. Anche la retta è perpendicolare. Quindi il piano che passa attraverso queste due linee sarà perpendicolare alla linea e, comunque, passerà per il punto. Questo piano passa anche attraverso la sommità della piramide. Quindi l'aereo desiderato - E l'aereo ci è già stato dato. Cerchiamo le coordinate dei punti.

Troviamo la coordinata del punto attraverso il punto. Dalla piccola immagine è facile dedurre che le coordinate del punto saranno le seguenti: Cosa resta ora da trovare per trovare le coordinate del vertice della piramide? Devi anche calcolarne l'altezza. Questo si fa utilizzando lo stesso teorema di Pitagora: prima dimostralo (banalmente partendo da piccoli triangoli che formano un quadrato alla base). Poiché per condizione abbiamo:

Ora tutto è pronto: coordinate del vertice:

Componiamo l'equazione del piano:

Sei già un esperto nel calcolo dei determinanti. Senza difficoltà riceverai:

Oppure altrimenti (se moltiplichiamo entrambi i membri per la radice di due)

Ora troviamo l'equazione del piano:

(Non hai dimenticato come otteniamo l'equazione del piano, vero? Se non capisci da dove viene questo meno uno, torna alla definizione dell'equazione del piano! È sempre successo prima il mio aereo apparteneva all'origine delle coordinate!)

Calcoliamo il determinante:

(Potresti notare che l'equazione del piano coincide con l'equazione della retta passante per i punti e! Pensa al perché!)

Ora calcoliamo l'angolo:

Dobbiamo trovare il seno:

Risposta:

3. Domanda difficile: cosa pensi che sia un prisma rettangolare? Questo è proprio un parallelepipedo che tu conosci bene! Facciamo subito un disegno! Non è nemmeno necessario rappresentare la base separatamente, qui è di scarsa utilità:

Il piano, come abbiamo notato prima, è scritto sotto forma di un'equazione:

Ora creiamo un piano

Creiamo immediatamente l'equazione del piano:

Alla ricerca di un angolo:

Ora le risposte agli ultimi due problemi:

Bene, ora è il momento di prenderci una piccola pausa, perché io e te siamo fantastici e abbiamo fatto un ottimo lavoro!

Coordinate e vettori. Livello avanzato

In questo articolo discuteremo con te un'altra classe di problemi che possono essere risolti utilizzando il metodo delle coordinate: i problemi di calcolo della distanza. Considereremo cioè i seguenti casi:

1. Calcolo della distanza tra linee che si intersecano.

Ho ordinato questi compiti in ordine di difficoltà crescente. Risulta essere più facile da trovare distanza dal punto al piano, e la cosa più difficile è trovarlo distanza tra le linee che si incrociano. Anche se, ovviamente, nulla è impossibile! Non procrastiniamo e procediamo subito a considerare la prima classe di problemi:

Calcolo della distanza da un punto a un piano

Di cosa abbiamo bisogno per risolvere questo problema?

1. Coordinate del punto

Quindi, non appena riceviamo tutti i dati necessari, applichiamo la formula:

Dovresti già sapere come si costruisce l'equazione di un piano dai problemi precedenti di cui ho parlato nell'ultima parte. Andiamo direttamente ai compiti. Lo schema è il seguente: 1, 2 - ti aiuto a decidere, e in dettaglio, 3, 4 - solo la risposta, esegui tu stesso la soluzione e confronta. Iniziamo!

Compiti:

1. Dato un cubo. La lunghezza del bordo del cubo è uguale. Trova la distanza dal se-re-di-na dal taglio al piano

2. Dato il giusto quattro carboni pi-ra-mi-sì, il lato del lato è uguale alla base. Trova la distanza dal punto al piano dove - se-re-di-sui bordi.

3. Nel pi-ra-mi-de triangolare destro con os-no-va-ni-em, il bordo laterale è uguale, e il centinaio-ro-su os-no-va-nia è uguale. Trova la distanza dalla cima all'aereo.

4. In un prisma esagonale retto, tutti i bordi sono uguali. Trova la distanza da un punto a un piano.

Soluzioni:

1. Disegna un cubo con bordi singoli, costruisci un segmento e un piano, denota il centro del segmento con una lettera

.

Per prima cosa cominciamo con quello facile: trovare le coordinate del punto. Da allora (ricordate le coordinate del centro del segmento!)

Ora componiamo l'equazione del piano utilizzando tre punti

\[\sinistra| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Ora posso iniziare a trovare la distanza:

2. Ripartiamo con un disegno su cui segniamo tutti i dati!

Per una piramide sarebbe utile disegnarne la base separatamente.

Anche il fatto che io disegni come un pollo con la zampa non ci impedirà di risolvere questo problema con facilità!

Ora è facile trovare le coordinate di un punto

A partire dalle coordinate del punto, quindi

2. Poiché le coordinate del punto a sono il centro del segmento, allora

Possiamo trovare senza problemi le coordinate di altri due punti sul piano, creiamo un'equazione per il piano e la semplifichiamo:

\[\sinistra| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Poiché il punto ha coordinate: , calcoliamo la distanza:

Risposta (molto rara!):

Bene, hai capito? Mi sembra che qui tutto sia altrettanto tecnico come negli esempi che abbiamo visto nella parte precedente. Quindi sono sicuro che se hai padroneggiato quel materiale, non ti sarà difficile risolvere i restanti due problemi. Mi limiterò a darti le risposte:

Calcolo della distanza da una linea retta a un piano

In effetti, qui non c'è nulla di nuovo. Come si possono posizionare una retta e un piano l'uno rispetto all'altro? Hanno una sola possibilità: intersecarsi, oppure una linea retta è parallela al piano. Quale pensi sia la distanza tra una linea retta e il piano con cui questa linea retta si interseca? Mi sembra che qui sia chiaro che tale distanza è uguale a zero. Non è un caso interessante.

Il secondo caso è più complicato: qui la distanza è già diversa da zero. Tuttavia, poiché la linea è parallela al piano, ogni punto della linea è equidistante da questo piano:

Così:

Ciò significa che il mio compito è stato ridotto a quello precedente: cerchiamo le coordinate di un punto qualsiasi su una linea retta, cerchiamo l'equazione del piano e calcoliamo la distanza dal punto al piano. In effetti, tali compiti sono estremamente rari nell'Esame di Stato Unificato. Sono riuscito a trovare solo un problema e i dati in esso contenuti erano tali che il metodo delle coordinate non era molto applicabile ad esso!

Passiamo ora ad un'altra classe di problemi, molto più importante:

Calcolo della distanza di un punto da una linea

Cosa ci serve?

1. Coordinate del punto da cui cerchiamo la distanza:

2. Coordinate di qualsiasi punto giacente su una linea

3. Coordinate del vettore direttivo della retta

Che formula usiamo?

Dovrebbe essere chiaro cosa significa il denominatore di questa frazione: questa è la lunghezza del vettore direttivo della linea retta. Questo è un numeratore molto complicato! L'espressione indica il modulo (lunghezza) del prodotto vettoriale dei vettori e come calcolare il prodotto vettoriale, abbiamo studiato nella parte precedente del lavoro. Aggiorna le tue conoscenze, ne avremo molto bisogno adesso!

Pertanto, l'algoritmo per risolvere i problemi sarà il seguente:

1. Cerchiamo le coordinate del punto da cui cerchiamo la distanza:

2. Cerchiamo le coordinate di qualsiasi punto sulla linea di cui cerchiamo la distanza:

3. Costruisci un vettore

4. Costruisci un vettore direttivo di una linea retta

5. Calcola il prodotto vettoriale

6. Cerchiamo la lunghezza del vettore risultante:

7. Calcola la distanza:

Abbiamo molto lavoro da fare e gli esempi saranno piuttosto complessi! Quindi ora concentra tutta la tua attenzione!

1. Dato un pi-ra-mi-da triangolare retto con una parte superiore. Il cento-ro-sulla base del pi-ra-mi-dy è uguale, tu sei uguale. Trova la distanza dal bordo grigio alla linea retta, dove i punti e sono i bordi grigi e dal veterinario.

2. Le lunghezze delle nervature e dell'angolo retto-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da sono uguali di conseguenza e Trova la distanza dalla sommità alla linea retta

3. In un prisma esagonale retto, tutti i bordi sono uguali, trova la distanza da un punto a una linea retta

Soluzioni:

1. Facciamo un disegno accurato su cui contrassegniamo tutti i dati:

Abbiamo molto lavoro da fare! Per prima cosa vorrei descrivere a parole cosa cercheremo e in quale ordine:

1. Coordinate di punti e

2. Coordinate del punto

3. Coordinate dei punti e

4. Coordinate di vettori e

5. Il loro prodotto incrociato

6. Lunghezza del vettore

7. Lunghezza del prodotto vettoriale

8. Distanza da a

Bene, abbiamo molto lavoro davanti a noi! Procediamo con le maniche rimboccate!

1. Per trovare le coordinate dell'altezza della piramide, dobbiamo conoscere le coordinate del punto. La sua applicata è zero e la sua ordinata è uguale alla sua ascissa è uguale alla lunghezza del segmento. Poiché è l'altezza di un triangolo equilatero, si divide nel rapporto, contando dal vertice, da qui. Alla fine abbiamo le coordinate:

Coordinate del punto

2. - metà del segmento

3. - metà del segmento

Punto medio del segmento

4.Coordinate

Coordinate vettoriali

5. Calcola il prodotto vettoriale:

6. Lunghezza del vettore: il modo più semplice per sostituire è che il segmento sia la linea mediana del triangolo, il che significa che è uguale alla metà della base. COSÌ.

7. Calcola la lunghezza del prodotto vettoriale:

8. Infine, troviamo la distanza:

Uffa, questo è tutto! Te lo dico onestamente: risolvere questo problema utilizzando metodi tradizionali (attraverso la costruzione) sarebbe molto più veloce. Ma qui ho ridotto tutto a un algoritmo già pronto! Penso che l'algoritmo della soluzione ti sia chiaro? Pertanto, ti chiederò di risolvere tu stesso i restanti due problemi. Confrontiamo le risposte?

Ancora una volta, lo ripeto: è più facile (più veloce) risolvere questi problemi attraverso le costruzioni, piuttosto che ricorrere al metodo delle coordinate. Ho dimostrato questo metodo di soluzione solo per mostrarti un metodo universale che ti permette di “non finire di costruire nulla”.

Consideriamo infine l’ultima classe di problemi:

Calcolo della distanza tra linee che si intersecano

Qui l'algoritmo per risolvere i problemi sarà simile al precedente. Cosa abbiamo:

3. Qualsiasi vettore che collega i punti della prima e della seconda linea:

Come troviamo la distanza tra le linee?

La formula è la seguente:

Il numeratore è il modulo del prodotto misto (lo abbiamo introdotto nella parte precedente), e il denominatore è, come nella formula precedente (il modulo del prodotto vettoriale dei vettori di direzione delle rette, la distanza tra cui stanno cercando).

Te lo ricorderò

Poi la formula per la distanza può essere riscritta come:

Questo è un determinante diviso per un determinante! Anche se, a dire il vero, qui non ho tempo per gli scherzi! Questa formula è, infatti, molto macchinosa e porta a calcoli piuttosto complessi. Se fossi in te, ricorrerei ad esso solo come ultima risorsa!

Proviamo a risolvere alcuni problemi utilizzando il metodo sopra:

1. In un prisma triangolare retto, i cui bordi sono tutti uguali, trova la distanza tra le linee rette e.

2. Dato un prisma triangolare retto, tutti gli spigoli della base sono uguali alla sezione passante per la nervatura del corpo e le nervature se-re-di-well sono quadrate. Trova la distanza tra le linee rette e

Io decido il primo e in base ad esso tu decidi il secondo!

1. Disegno un prisma e segno linee rette e

Coordinate del punto C: allora

Coordinate del punto

Coordinate vettoriali

Coordinate del punto

Coordinate vettoriali

Coordinate vettoriali

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\quadrato 3 ))(2)\]

Calcoliamo il prodotto vettoriale tra vettori e

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Ora calcoliamo la sua lunghezza:

Risposta:

Ora prova a completare attentamente la seconda attività. La risposta sarà: .

Coordinate e vettori. Breve descrizione e formule base

Un vettore è un segmento orientato. - l'inizio del vettore, - la fine del vettore.
Un vettore è indicato con o.

Valore assoluto vettore - la lunghezza del segmento che rappresenta il vettore. Indicato come.

Coordinate vettoriali:

,
dove sono le estremità del vettore \displaystyle a .

Somma di vettori: .

Prodotto di vettori:

Prodotto scalare di vettori:

Il prodotto scalare dei vettori è uguale al prodotto dei loro valori assoluti e al coseno dell'angolo compreso tra loro:

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Sia fissato un sistema di coordinate rettangolari nello spazio tridimensionale Oxyz, dato punto , retta UN e devi trovare la distanza dal punto UN ad una linea retta UN.

Mostreremo due metodi che ti permettono di calcolare la distanza da un punto a una linea nello spazio. Nel primo caso, trovare la distanza da un punto M 1 ad una linea retta UN si tratta di trovare la distanza dal punto M 1 al punto H 1 , Dove H 1 - la base di una perpendicolare caduta da un punto M 1 direttamente UN. Nel secondo caso troveremo la distanza dal punto al piano come altezza del parallelogramma.

Quindi iniziamo.

Il primo modo per trovare la distanza da un punto a una linea a nello spazio.

Poiché per definizione la distanza da un punto M 1 ad una linea retta UNè la lunghezza della perpendicolare M 1 H 1 , quindi, dopo aver determinato le coordinate del punto H 1 , possiamo calcolare la distanza richiesta come distanza tra i punti E secondo la formula.

Il problema si riduce quindi a trovare le coordinate della base della perpendicolare costruita a partire dal punto M 1 ad una linea retta UN. Questo è abbastanza semplice da fare: punto H 1 è il punto di intersezione della retta UN con un piano passante per un punto M 1 perpendicolare alla linea UN.

Quindi, algoritmo che permette di determinare la distanza da un punto ad una linea rettaUN nello spazio, È:

Il secondo metodo consente di trovare la distanza da un punto a una linea a nello spazio.

Poiché nella formulazione del problema ci viene data una linea retta UN, allora possiamo determinare il suo vettore direzione e le coordinate di un punto M 3 , disteso sulla linea retta UN. Quindi, secondo le coordinate dei punti e possiamo calcolare le coordinate di un vettore: (se necessario, fare riferimento all'articolo coordinate di un vettore attraverso le coordinate dei suoi punti iniziale e finale).

Mettiamo da parte i vettori e dal punto M 3 e costruisci su di essi un parallelogramma. In questo parallelogramma disegniamo l'altezza M 1 H 1 .

Ovviamente l'altezza M 1 H 1 del parallelogramma costruito è uguale alla distanza richiesta dal punto M 1 ad una linea retta UN. Troviamolo.

Da un lato, l'area del parallelogramma (denotiamolo S) può essere trovato attraverso il prodotto vettoriale di vettori e secondo la formula . D'altra parte, l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della lunghezza del suo lato per la sua altezza, cioè , Dove - lunghezza del vettore , pari alla lunghezza del lato del parallelogramma in questione. Pertanto, la distanza da un dato punto M 1 ad una data retta UN può essere trovato dall'uguaglianza Come .

COSÌ, per trovare la distanza da un punto ad una linea rettaUN nello spazio necessario

Risolvere problemi di determinazione della distanza da un dato punto a una data linea nello spazio.

Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.

Esempio.

Trova la distanza dal punto ad una linea retta .

Soluzione.

Primo modo.

Scriviamo l'equazione del piano passante per il punto M 1 perpendicolare ad una determinata linea:

Trova le coordinate del punto H 1 - punti di intersezione del piano e di una determinata retta. Per fare ciò, facciamo il passaggio dalle equazioni canoniche di una retta alle equazioni di due piani che si intersecano

dopodiché risolviamo il sistema di equazioni lineari Metodo di Cramer:

Così, .

Resta da calcolare la distanza richiesta da un punto a una linea come distanza tra i punti E : .

Secondo modo.

I numeri ai denominatori delle frazioni nelle equazioni canoniche di una linea rappresentano le coordinate corrispondenti del vettore direzione di questa linea, cioè, - vettore diretto . Calcoliamo la sua lunghezza: .

Ovviamente dritto passa per un punto , quindi un vettore con origine nel punto e terminare in un punto C'è . Troviamo il prodotto vettoriale dei vettori E :
allora la lunghezza di questo prodotto vettoriale è .

Ora abbiamo tutti i dati per utilizzare la formula per calcolare la distanza da un dato punto a un dato piano: .

Risposta:

La posizione relativa delle linee nello spazio

Consideriamo l'uso dei metodi discussi per trovare la distanza da un dato punto a una data linea retta su un piano quando risolviamo un esempio.

Trova la distanza dal punto alla linea:

Innanzitutto, risolviamo il problema utilizzando il primo metodo.

Nell'enunciazione del problema ci viene data un'equazione generale della retta a della forma:

Troviamo l'equazione generale di una linea b che passa per un dato punto perpendicolare alla linea:

Poiché la linea b è perpendicolare alla linea a, il vettore direzione della linea b è il vettore normale della linea data:

cioè il vettore direzione della retta b ha coordinate. Ora possiamo scrivere l'equazione canonica della retta b sul piano, poiché conosciamo le coordinate del punto M 1 attraverso il quale passa la retta b, e le coordinate del vettore direzione della retta b:

Dall'equazione canonica risultante della retta b si passa all'equazione generale della retta:

Troviamo ora le coordinate del punto di intersezione delle linee a e b (denotiamolo H 1) risolvendo un sistema di equazioni composto dalle equazioni generali delle linee a e b (se necessario, fare riferimento all'articolo Risoluzione dei sistemi di linee lineari equazioni):

Pertanto, il punto H 1 ha coordinate.

Resta da calcolare la distanza richiesta dal punto M 1 alla retta a come distanza tra i punti e:

Il secondo modo per risolvere il problema.

Otteniamo l'equazione normale della retta data. Per fare ciò, calcoliamo il valore del fattore di normalizzazione e moltiplichiamo per esso entrambi i lati dell'equazione generale originale della retta:

(ne abbiamo parlato nella sezione che riporta l'equazione generale di una retta alla forma normale).

Il fattore di normalizzazione è uguale a

allora l'equazione normale della retta ha la forma:

Ora prendiamo l'espressione sul lato sinistro dell'equazione normale risultante della retta e calcoliamo il suo valore in:

La distanza richiesta da un dato punto a una data linea retta:

uguale al valore assoluto del valore risultante, ovvero cinque ().

distanza da un punto a una linea:

Ovviamente, il vantaggio del metodo per trovare la distanza da un punto a una linea su un piano, basato sull'uso dell'equazione normale di una linea, è la quantità relativamente minore di lavoro computazionale. A sua volta, il primo metodo per trovare la distanza da un punto a una linea è intuitivo e si distingue per coerenza e logica.

Il sistema di coordinate rettangolari Oxy è fissato sul piano, vengono specificati un punto e una retta:

Trovare la distanza da un punto dato a una linea retta data.

Primo modo.

Puoi passare da una data equazione di una retta inclinata all'equazione generale di questa retta e agire come nell'esempio discusso sopra.

Ma puoi farlo diversamente.

Sappiamo che il prodotto dei coefficienti angolari delle rette perpendicolari è pari a 1 (vedi articolo rette perpendicolari, perpendicolarità delle rette). Pertanto, il coefficiente angolare di una linea perpendicolare ad una data linea:

è uguale a 2. Quindi l'equazione di una linea perpendicolare a una data linea e passante per un punto ha la forma:

Ora troviamo le coordinate del punto H 1 - il punto di intersezione delle linee:

Pertanto, la distanza richiesta da un punto a una linea:

uguale alla distanza tra i punti e:

Secondo modo.

Passiamo dall'equazione data di una retta con coefficiente angolare all'equazione normale di questa retta:

il fattore di normalizzazione è pari a:

pertanto, l'equazione normale di una data retta ha la forma:

Ora calcoliamo la distanza richiesta dal punto alla linea:

Calcola la distanza da un punto a una linea:

e alla retta:

Otteniamo l'equazione normale della retta:

Ora calcoliamo la distanza da un punto a una linea:

Fattore di normalizzazione per un'equazione a linea retta:

è uguale a 1. Quindi l'equazione normale di questa linea ha la forma:

Ora possiamo calcolare la distanza da un punto ad una linea:

è uguale.

Risposta: e 5.

In conclusione, considereremo separatamente come trovare la distanza da un dato punto sul piano alle linee coordinate Ox e Oy.

Nel sistema di coordinate rettangolari Oxy, la linea di coordinate Oy è data dall'equazione generale incompleta della linea x=0, e la linea di coordinate Ox è data dall'equazione y=0. Queste equazioni sono equazioni normali delle linee Oy e Ox, pertanto la distanza dal punto a queste linee viene calcolata utilizzando le formule:

rispettivamente.

Figura 5

Sul piano viene introdotto un sistema di coordinate rettangolari Oxy. Trova le distanze dal punto alle linee coordinate.

La distanza da un dato punto M 1 alla linea coordinata Ox (è data dall'equazione y=0) è uguale al modulo di ordinata del punto M 1, cioè .

La distanza da un dato punto M 1 alla linea coordinata Oy (a cui corrisponde l'equazione x=0) è uguale al valore assoluto dell'ascissa del punto M 1: .

Risposta: la distanza dal punto M 1 alla retta Ox è uguale a 6, e la distanza da un dato punto alla linea coordinata Oy è uguale.

Metodo delle coordinate (distanza tra un punto e un piano, tra rette)

Distanza tra un punto e un piano.

Distanza tra un punto e una linea.

La distanza tra due linee rette.

La prima cosa che è utile sapere è come trovare la distanza da un punto a un piano:

Valori A, B, C, D - coefficienti del piano

x, y, z - coordinate del punto

Compito. Trova la distanza tra il punto A = (3; 7; −2) e il piano 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

Tutto è dato, puoi immediatamente sostituire i valori nell'equazione:

Compito. Trova la distanza dal punto K = (1; −2; 7) alla retta passante per i punti V = (8; 6; −13) e T = (−1; −6; 7).

1. Trova il vettore rettilineo.
2. Calcoliamo il vettore che passa per il punto desiderato e qualsiasi punto della retta.
   
3. Impostiamo la matrice e troviamo il determinante dai due vettori risultanti nel 1° e 2° paragrafo.
4. Otteniamo la distanza dividendo la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della matrice per la lunghezza del vettore che definisce la retta(Penso che non sia chiaro, quindi passiamo a un esempio specifico).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Troveremo il vettore attraverso i punti K e T, anche se sarebbe possibile anche attraverso K e V o qualsiasi altro punto su una data retta.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Otterrai una matrice senza coefficiente D (qui non serve per la soluzione):

4) Il piano è stato ottenuto con i coefficienti A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z - coordinate del vettore linea, in questo caso il vettore TV ha coordinate (9; 12; −20)

Compito. Trova la distanza tra la linea che passa per i punti E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), e la linea che passa per i punti M = (4; −1; 4), L = (−2; 3; 0).

1. Impostiamo i vettori di entrambe le linee.
2. Troviamo il vettore prendendo un punto da ciascuna linea.
3. Scriviamo una matrice di 3 vettori (due linee dal 1° punto, una linea dal 2°) e troviamo il suo determinante numerico.
4. Impostiamo una matrice dei primi due vettori (nel passaggio 1). Impostiamo la prima riga come x, y, z.
5. Otteniamo la distanza dividendo il valore risultante dal punto 3 modulo per la radice quadrata della somma dei quadrati del punto 4.

Passiamo ai numeri.

La distanza da un punto a una linea è la lunghezza della perpendicolare tracciata dal punto alla linea. Nella geometria descrittiva, viene determinato graficamente utilizzando l'algoritmo riportato di seguito.

Algoritmo

1. La linea retta viene spostata in una posizione in cui sarà parallela a qualsiasi piano di proiezione. A questo scopo vengono utilizzati metodi di trasformazione delle proiezioni ortogonali.
2. Da un punto ad una retta si traccia la perpendicolare. Questa costruzione si basa sul teorema sulla proiezione di un angolo retto.
3. La lunghezza di una perpendicolare si determina trasformando le sue proiezioni o utilizzando il metodo del triangolo rettangolo.

La figura seguente mostra un disegno complesso del punto M e della linea b, definita dal segmento CD. Devi trovare la distanza tra loro.

Secondo il nostro algoritmo, la prima cosa da fare è spostare la linea in una posizione parallela al piano di proiezione. È importante capire che dopo aver effettuato le trasformazioni, la distanza effettiva tra il punto e la linea non dovrebbe cambiare. Ecco perché in questo caso è conveniente utilizzare il metodo della sostituzione dell'aereo, che non prevede lo spostamento delle figure nello spazio.

Di seguito sono riportati i risultati della prima fase di costruzione. La figura mostra come viene introdotto un ulteriore piano frontale P 4 parallelo a b. Nel nuovo sistema (P 1, P 4), i punti C"" 1, D"" 1, M"" 1 si trovano alla stessa distanza dall'asse X 1 di C"", D"", M"" da l'asse X.

Eseguendo la seconda parte dell'algoritmo, da M"" 1 abbassiamo la perpendicolare M"" 1 N"" 1 alla retta b"" 1, poiché l'angolo retto MND compreso tra b e MN è proiettato sul piano P 4 a grandezza naturale. Utilizzando la linea di comunicazione determiniamo la posizione del punto N" ed effettuiamo la proiezione M"N" del segmento MN.

Nella fase finale, è necessario determinare la dimensione del segmento MN dalle sue proiezioni M"N" e M"" 1 N"" 1. Per fare ciò, costruiamo un triangolo rettangolo M"" 1 N"" 1 N 0, il cui cateto N"" 1 N 0 è uguale alla differenza (Y M 1 – Y N 1) della distanza dei punti M" e N" dall'asse X1. La lunghezza dell'ipotenusa M"" 1 N 0 del triangolo M"" 1 N"" 1 N 0 corrisponde alla distanza desiderata da M a b.

Seconda soluzione

• Parallelamente a CD, introduciamo un nuovo piano frontale P 4. Interseca P 1 lungo l'asse X 1 e X 1 ∥C"D". Secondo il metodo di sostituzione dei piani, determiniamo le proiezioni dei punti C"" 1, D"" 1 e M"" 1, come mostrato in figura.
• Perpendicolarmente a C"" 1 D"" 1 costruiamo un ulteriore piano orizzontale P 5, sul quale si proietta la retta b nel punto C" 2 = b" 2.
• La distanza tra il punto M e la linea b è determinata dalla lunghezza del segmento M" 2 C" 2, indicata in rosso.

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