Le più semplici equazioni trigonometriche. Divertente episodio della vita Sul cerchio unitario ce ne sono due diametralmente opposti

+ – 0;2P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Trova i punti corrispondenti ai seguenti numeri

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z Trova i punti corrispondenti ai seguenti numeri

1. A quale quarto del cerchio numerico appartiene il punto A? B. Secondo. V. Terzo. G. Quarto. 2. A quale quarto del cerchio numerico appartiene il punto A? B. Secondo. V. Terzo. G. Quarto. 3. Determina i segni dei numeri a e b se: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Quale quarto del cerchio numerico punta A. Primo. B. Secondo. C. Terzo. D. Quarto. 2. A quale quarto del cerchio numerico punta A. Primo. B. Secondo. C. Terzo. D. Quarto appartiene? 3. Determina i segni dei numeri a e b se : A.a>0"> title="1. A quale quarto del cerchio numerico appartiene il punto A? B. Secondo. V. Terzo. G. Quarto. 2. A quale quarto del cerchio numerico appartiene il punto A? B. Secondo. V. Terzo. G. Quarto. 3. Determina i segni dei numeri aeb se: A. a>0"> !}

Domanda: Su un cerchio vengono scelti i punti diametralmente opposti A e B e un punto diverso C. La tangente tracciata al cerchio nel punto A e la linea BC si intersecano nel punto D. Dimostrare che la tangente tracciata al cerchio nel punto C si biseca il segmento d.C. La circonferenza del triangolo ABC tocca i lati AB e BC rispettivamente nei punti M e N. Una retta passa per il punto medio di AC parallelamente alla retta. MN interseca le linee BA e BC rispettivamente nei punti D ed E. Dimostrare che AD=EC.

Sul cerchio si scelgono i punti diametralmente opposti A e B e un diverso punto C. La tangente tracciata al cerchio nel punto A e la retta BC si intersecano nel punto D. Dimostrare che la tangente tracciata al cerchio nel punto C divide in due la segmento d.C. La circonferenza del triangolo ABC tocca i lati AB e BC rispettivamente nei punti M e N. Una retta passa per il punto medio di AC parallelamente alla retta. MN interseca le linee BA e BC rispettivamente nei punti D ed E. Dimostrare che AD=EC.

Risposte:

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• In tre vasi ci sono 6, 21 e 9 prugne. Per uguagliare il numero di prugne in ciascun vaso, Madina trasferì da un vaso all'altro tante prugne quante erano in esso. Mediante due travasi uguagliò il numero delle prugne in tre vasi Come ha fatto?
• Da un libro di testo di chimica (paragrafo studiato), scrivi 10 parole comuni (diverse parti del discorso) e 10 parole speciali (termini e combinazioni terminologiche). Componi e scrivi frasi con termini selezionati dal testo

A quanto pare, il primo appello dell’umanità a quella che in seguito sarebbe stata chiamata geometria sferica fu la teoria planetaria del matematico greco Eudosso (c. 408–355), uno dei partecipanti all’Accademia di Platone. Si trattava di un tentativo di spiegare il movimento dei pianeti attorno alla Terra con l'aiuto di quattro sfere concentriche rotanti, ciascuna delle quali aveva uno speciale asse di rotazione con le estremità fissate sulla sfera che la racchiude, alla quale, a loro volta, erano collegate le stelle. “inchiodato”. In questo modo sono state spiegate le intricate traiettorie dei pianeti (tradotto dal greco, “pianeta” significa errante). Fu grazie a questo modello che gli antichi scienziati greci furono in grado di descrivere e prevedere in modo abbastanza accurato i movimenti dei pianeti. Ciò era necessario, ad esempio, nella navigazione, così come in molti altri compiti “terreni”, dove era necessario tenere conto del fatto che la Terra non è una frittella piatta poggiante su tre pilastri. Contributi significativi alla geometria sferica furono apportati da Menelao di Alessandria (100 d.C. circa). Il suo lavoro Sferiche divenne l'apice delle conquiste greche in questo settore. IN Sferica vengono considerati i triangoli sferici, argomento che non si trova in Euclide. Menelao trasferì la teoria euclidea dei triangoli piatti alla sfera e, tra le altre cose, ottenne una condizione in cui tre punti sui lati di un triangolo sferico o sui loro prolungamenti giacciono sulla stessa retta. Il corrispondente teorema del piano era già ampiamente conosciuto a quel tempo, ma entrò nella storia della geometria proprio come il teorema di Menelao e, a differenza di Tolomeo (150 circa), che aveva molti calcoli nelle sue opere, il trattato di Menelao è geometrico rigorosamente nello spirito della tradizione euclidea.

Principi fondamentali della geometria sferica.

Qualsiasi piano che interseca una sfera produce un cerchio in sezione trasversale. Se il piano passa per il centro della sfera, la sezione trasversale risulta in un cosiddetto cerchio massimo. Per due punti qualsiasi di una sfera, eccetto quelli diametralmente opposti, si può tracciare un unico grande cerchio. (Sul globo, un esempio di cerchio massimo è l'equatore e tutti i meridiani.) Un numero infinito di cerchi massimi passa per punti diametralmente opposti. Arco minore AmB(Fig. 1) del cerchio massimo è la più breve di tutte le linee sulla sfera che collegano determinati punti. Questa linea si chiama geodetico. Le linee geodetiche svolgono su una sfera lo stesso ruolo delle linee rette in planimetria. Molte disposizioni della geometria sul piano valgono anche sulla sfera, ma, a differenza del piano, due linee sferiche si intersecano in due punti diametralmente opposti. Pertanto, il concetto di parallelismo semplicemente non esiste nella geometria sferica. Un'altra differenza è che la linea sferica è chiusa, cioè percorrendolo nella stessa direzione torneremo al punto di partenza; il punto non divide la linea in due parti. E un altro fatto sorprendente dal punto di vista planimetrico è che un triangolo su una sfera può avere tutti e tre gli angoli retti.

Rette, segmenti, distanze e angoli su una sfera.

I cerchi massimi su una sfera sono considerati linee rette. Se due punti appartengono ad un cerchio massimo, la lunghezza del più piccolo degli archi che collegano questi punti è definita come distanza sferica tra questi punti e l'arco stesso è come un segmento sferico. I punti diametralmente opposti sono collegati da un numero infinito di segmenti sferici: grandi semicerchi. La lunghezza di un segmento sferico è determinata attraverso la misura in radianti dell'angolo al centro a e il raggio della sfera R(Fig. 2), secondo la formula della lunghezza dell'arco è uguale a R UN. Qualsiasi punto CON segmento sferico AB lo divide in due, e la somma delle loro lunghezze sferiche, come in planimetria, è uguale alla lunghezza dell'intero segmento, cioè R AOC+R GUFO= p AOB. Per qualsiasi punto D fuori dal segmento AB esiste una “disuguaglianza del triangolo sferico”: la somma delle distanze sferiche da D Prima UN e da D Prima IN Di più AB, cioè. R AOD+ R DOB> R AOB, – completa corrispondenza tra geometrie sferiche e piatte. La disuguaglianza triangolare è una delle fondamentali nella geometria sferica; ne consegue che, come nella planimetria, un segmento sferico è più corto di qualunque spezzata sferica, e quindi di qualunque curva della sfera che ne connetta gli estremi.

Allo stesso modo si possono trasferire alla sfera molti altri concetti della planimetria, in particolare quelli che possono essere espressi attraverso le distanze. Per esempio, cerchio sferico– un insieme di punti sulla sfera equidistanti da un punto dato R. È facile dimostrare che il cerchio giace su un piano perpendicolare al diametro della sfera RR` (Fig. 3), cioè questo è un normale cerchio piatto con un centro sul diametro RR`. Ma ha due centri sferici: R E R`. Questi centri sono solitamente chiamati poli. Se ci rivolgiamo al globo, possiamo vedere che stiamo parlando di cerchi come paralleli, e i centri sferici di tutti i paralleli sono i Poli Nord e Sud. Se il diametro r di un cerchio sferico è uguale a p/2, allora il cerchio sferico si trasforma in una retta sferica. (Sul globo c'è l'equatore). In questo caso, viene chiamato un tale cerchio polare ciascuno dei punti R E P`.

Uno dei concetti più importanti in geometria è l'uguaglianza delle figure. Le figure sono considerate uguali se possono essere sovrapposte l'una all'altra in modo tale (tramite rotazione e traslazione) da preservare le distanze. Ciò vale anche per la geometria sferica.

Gli angoli su una sfera sono definiti come segue. Quando due linee sferiche si intersecano UN E B Sulla sfera si formano quattro bigoni sferici, così come due linee che si intersecano su un piano lo dividono in quattro angoli piani (fig. 4). Ciascuno dei diagoni corrisponde ad un angolo diedro formato dai piani diametrali contenenti UN E B. E l'angolo formato dalle rette sferiche è uguale al minore degli angoli dei diagoni che esse formano.

Notiamo inoltre che l'angolo P ABC, formato su una sfera da due archi di cerchio massimo, è misurato dall'angolo P UN`AVANTI CRISTO.` tra le tangenti agli archi corrispondenti in un punto IN(Fig. 5) oppure un angolo diedro formato da piani diametrali contenenti segmenti sferici AB E Sole.

Allo stesso modo della stereometria, ogni punto della sfera è associato a un raggio tracciato dal centro della sfera fino a questo punto, e qualsiasi figura sulla sfera è associata all'unione di tutti i raggi che la intersecano. Pertanto, una retta sferica corrisponde al piano diametrale che la contiene, un segmento sferico corrisponde a un angolo piano, un digono corrisponde a un angolo diedro, e un cerchio sferico corrisponde a una superficie conica il cui asse passa per i poli del cerchio.

Un angolo poliedrico con vertice al centro della sfera interseca la sfera lungo un poligono sferico (Fig. 6). Questa è un'area su una sfera delimitata da una linea spezzata di segmenti sferici. Gli anelli della linea spezzata sono i lati di un poligono sferico. Le loro lunghezze sono uguali ai valori degli angoli piani corrispondenti dell'angolo poliedrico e al valore dell'angolo in qualsiasi vertice UN uguale all'angolo diedro al bordo OA.

Triangolo sferico.

Tra tutti i poligoni sferici, il triangolo sferico è quello di maggiore interesse. Tre grandi cerchi, che si intersecano a coppie in due punti, formano otto triangoli sferici sulla sfera. Conoscendo gli elementi (lati e angoli) di uno di essi, è possibile determinare gli elementi di tutti gli altri, consideriamo quindi i rapporti tra gli elementi di uno di essi, quello i cui tutti i lati sono minori della metà del grande cerchio. I lati di un triangolo si misurano dagli angoli piani dell'angolo tripledrico OABC, gli angoli del triangolo sono angoli diedri dello stesso angolo tripledro (Fig. 7).

Molte proprietà di un triangolo sferico (e sono anche proprietà degli angoli threedrali) ripetono quasi completamente le proprietà di un triangolo ordinario. Tra questi c'è la disuguaglianza triangolare, che, nel linguaggio degli angoli tripledrici, afferma che qualsiasi angolo piano di un angolo tripledrico è minore della somma degli altri due. O, ad esempio, tre segni di uguaglianza dei triangoli. Tutte le conseguenze planimetriche dei teoremi citati, insieme alle loro dimostrazioni, restano valide sulla sfera. Pertanto, l'insieme dei punti equidistanti dagli estremi del segmento si troverà anche sulla sfera ad esso perpendicolare, per il cui centro passa una retta, da cui segue che le bisettrici sono perpendicolari ai lati di un triangolo sferico ABC hanno un punto comune, o meglio, due punti comuni diametralmente opposti R E R`, che sono i poli del suo unico cerchio circoscritto (Fig. 8). In stereometria, ciò significa che un cono può essere descritto attorno a qualsiasi angolo tripledrico. È facile trasferire alla sfera il teorema secondo cui le bisettrici di un triangolo si intersecano al centro della sua circonferenza.

Restano veri anche i teoremi sull'intersezione delle altezze e delle mediane, ma le loro consuete dimostrazioni in planimetria utilizzano direttamente o indirettamente il parallelismo, che su una sfera non esiste, e quindi è più facile dimostrarli nuovamente, nel linguaggio della stereometria. Riso. La Figura 9 illustra la dimostrazione del teorema della mediana sferica: piani contenenti le mediane di un triangolo sferico ABC, intersecano un triangolo piano con gli stessi vertici lungo le sue solite mediane, contengono quindi tutti il ​​raggio della sfera passante per il punto di intersezione delle mediane piane. L'estremità del raggio sarà il punto comune delle tre mediane “sferiche”.

Le proprietà dei triangoli sferici differiscono in molti modi dalle proprietà dei triangoli su un piano. Così, ai tre casi conosciuti di uguaglianza di triangoli rettilinei, se ne aggiunge un quarto: due triangoli ABC E А`В`С` sono uguali se tre angoli P sono rispettivamente uguali UN= p UN`, R IN= p IN`, R CON= p CON`. Quindi non ci sono triangoli simili sulla sfera; inoltre, nella geometria sferica non esiste un vero e proprio concetto di somiglianza, perché Non esistono trasformazioni che modifichino tutte le distanze dello stesso numero di volte (non uguale a 1). Queste caratteristiche sono associate a una violazione dell’assioma euclideo delle rette parallele e sono inerenti anche alla geometria di Lobachevskij. I triangoli che hanno elementi uguali e orientamenti diversi sono detti simmetrici, come i triangoli AC`CON E VSS`(Fig. 10).

La somma degli angoli di qualsiasi triangolo sferico è sempre maggiore di 180°. Differenza P UN+P IN+P CON - P = d (misurato in radianti) è una quantità positiva e si chiama eccesso sferico di un dato triangolo sferico. Area di un triangolo sferico: S = R 2 d dove Rè il raggio della sfera e d è l'eccesso sferico. Questa formula fu pubblicata per la prima volta dall'olandese A. Girard nel 1629 e da lui prese il nome.

Se consideriamo un diagonale con angolo a, allora a 226 = 2p/ N (N - intero) la sfera può essere tagliata esattamente P copie di tale diagonale e l'area della sfera è 4 nR2= 4 p.m R= 1, quindi l'area del diagonale è 4p/ N= 2a. Questa formula vale anche per a = 2p t/n e quindi vero per tutti a. Se continuiamo i lati di un triangolo sferico ABC ed esprimere l'area della sfera attraverso le aree dei bigoni risultanti con angoli UN,IN,CON e la propria area, allora possiamo arrivare alla formula di Girard di cui sopra.

Coordinate sulla sfera.

Ogni punto sulla sfera è completamente determinato specificando due numeri; questi numeri ( coordinate) sono determinati come segue (Fig. 11). Un grande cerchio è fisso QQ` (equatore), uno dei due punti di intersezione del diametro della sfera PP`, perpendicolare al piano equatoriale, con la superficie di una sfera, ad esempio R (palo) e uno dei grandi semicerchi PAP` uscendo dal palo ( primo meridiano). Ne escono grandi semicerchi P, chiamati meridiani, piccoli cerchi paralleli all'equatore, come LL`, – paralleli. Come una delle coordinate del punto M sulla sfera si prende l'angolo q = POM (altezza del punto), poiché il secondo – angolo j = AON tra il primo meridiano e il meridiano passante per il punto M (longitudine punti, contati in senso antiorario).

In geografia (sul globo), è consuetudine utilizzare come primo meridiano il meridiano di Greenwich, che passa per la sala principale dell'Osservatorio di Greenwich (Greenwich è un quartiere di Londra), divide la Terra rispettivamente negli emisferi orientale e occidentale , e la longitudine è orientale o occidentale e misurata da 0 a 180° in entrambe le direzioni da Greenwich. E invece dell'altezza di un punto geografico, è consuetudine usare la latitudine A, cioè. angolo NOM = 90° – q, misurato dall'equatore. Perché Poiché l'equatore divide la Terra negli emisferi settentrionale e meridionale, la latitudine è settentrionale o meridionale e varia da 0 a 90°.

Marina Fedosova

Lavoro finale in MATEMATICA
Grado 10
28 aprile 2017
Opzione MA00602
(un livello base di)
Completato da: Nome completo_______________________________________ classe ______
Istruzioni per eseguire il lavoro
Ti vengono concessi 90 minuti per completare il lavoro di matematica finale. Lavoro
comprende 15 attività e si compone di due parti.
La risposta nei compiti della prima parte (1-10) è un numero intero,
frazione decimale o sequenza di numeri. Scrivi la tua risposta nel campo
risposta nel testo dell'opera.
Nell'attività 11 della seconda parte devi scrivere la risposta in uno speciale
il campo assegnato per questo.
Nei compiti 12-14 della seconda parte devi scrivere la soluzione e rispondere
nel campo previsto a tale scopo. La risposta all'attività 15 è
grafico della funzione.
Ciascuno dei compiti 5 e 11 è presentato in due versioni, di cui
Devi solo selezionarne ed eseguirne uno.
Quando si esegue il lavoro, non è possibile utilizzare libri di testo, lavoro
quaderni, libri di consultazione, calcolatrice.
Se necessario, puoi utilizzare una bozza. Le candidature in bozza non verranno riviste o valutate.
Puoi completare le attività in qualsiasi ordine, l'importante è farlo correttamente
risolvere quanti più compiti possibili. Ti consigliamo di risparmiare tempo
salta un'attività che non può essere completata immediatamente e vai avanti
al prossimo. Se dopo aver completato tutto il lavoro sei ancora in tempo,
Potrai tornare alle attività perse.
Ti auguriamo successo!

Parte 1
Nelle attività 1-10, fornisci la tua risposta come numero intero, frazione decimale o
sequenze di numeri. Scrivi la tua risposta nel campo risposta nel testo
lavoro.
1

Il prezzo per un bollitore elettrico è stato aumentato del 10% e ammontava a
1980 rubli. Quanti rubli costava il bollitore prima dell'aumento del prezzo?

Oleg e Tolya lasciarono la scuola nello stesso momento e tornarono a casa nella stessa direzione.
Costoso. I ragazzi vivono nella stessa casa. La figura mostra un grafico
i movimenti di ciascuno: Oleg - con una linea continua, Tolya - con una linea tratteggiata. Di
l'asse verticale mostra la distanza (in metri), l'asse orizzontale mostra la distanza
tempo di percorrenza per ciascuno in minuti.

Utilizzando il grafico, scegli le affermazioni corrette.
1)
2)
3)

Oleg è tornato a casa prima di Tolya.
Tre minuti dopo aver lasciato la scuola, Oleg raggiunse Tolya.
Durante tutto il viaggio la distanza tra i ragazzi è stata minore
100 metri.
4) Nei primi sei minuti i ragazzi hanno percorso la stessa distanza.


Risposta: ___________________________

Trova il significato dell'espressione

π
π
- 2 peccato 2.
8
8

Risposta: ___________________________
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Matematica. Grado 10. Opzione 00602 (livello base)

Ce ne sono due segnati sul cerchio unitario
punti diametralmente opposti Pα e
Pβ corrispondente alle rotazioni degli angoli α e
β (vedi figura).
È possibile dire che:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) peccato α  peccato β  0

Nella risposta, indica i numeri delle affermazioni corrette senza spazi, virgole e
altri caratteri aggiuntivi.
Risposta: ___________________________
Seleziona e completa solo UNA delle attività 5.1 o 5.2.
5.1

La figura mostra un grafico
funzione y  f (x) definita sull'intervallo   3;11 .
Trova il valore più piccolo
funzioni sul segmento  ​​1; 5.

Risposta: ___________________________
5.2

Risolvi l'equazione log 2 4 x5  6.

Risposta: ___________________________

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Matematica. Grado 10. Opzione 00602 (livello base)

Un piano passante per i punti A, B e C (vedi.
figura), divide il cubo in due poliedri. Uno di
ha quattro lati. Quanti volti ha il secondo?

Risposta: ___________________________
7

Scegli i numeri delle affermazioni corrette.
1)
2)
3)
4)

Nello spazio, attraverso un punto che non giace su una determinata linea, puoi
disegna un piano che non interseca una determinata linea e, inoltre, solo
uno.
Una linea inclinata tracciata su un piano forma lo stesso angolo con
tutte le rette che giacciono su questo piano.
Un piano può essere disegnato attraverso due linee qualsiasi che si intersecano.
Attraverso un punto dello spazio che non giace su una linea data, si può
Disegna due linee rette che non intersecano una linea data.

Nella risposta, indica i numeri delle affermazioni corrette senza spazi, virgole e
altri caratteri aggiuntivi.
Risposta: ___________________________
8

Nell'allevamento di pollame ci sono solo polli e anatre e il numero di polli è 7 volte superiore
anatre Trova la probabilità che una fattoria selezionata casualmente
l'uccello risulta essere un'anatra.
Risposta: ___________________________

Il tetto della tettoia si trova ad un angolo di 14
all'orizzontale. Distanza tra due supporti
è 400 centimetri. Utilizzando la tabella,
determinare quanti centimetri è un supporto
più lungo dell'altro.
α
13
14
15
16
17
18
19

Peccato α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cosα
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tgα
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Risposta: ___________________________
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Matematica. Grado 10. Opzione 00602 (livello base)

Trova il più piccolo numero naturale di sette cifre che sia divisibile per 3,
ma non divisibile per 6 e ciascuna cifra del quale, a partire dalla seconda, è minore
precedente.
Risposta: ___________________________
Parte 2
Nell'attività 11, scrivi la tua risposta nello spazio fornito. Nei compiti
12-14 è necessario trascrivere la soluzione e rispondere nell'apposito spazio
per questo campo. La risposta al compito 15 è il grafico della funzione.
Seleziona e completa solo UNA delle attività: 11.1 o 11.2.

2
. Annotare tre diversi valori possibili
2
tali angoli. Dai la tua risposta in radianti.

Trova il numero naturale più piccolo che sia maggiore di log 7 80.

Il coseno dell'angolo è 

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Matematica. Grado 10. Opzione 00602 (livello base)

Nel triangolo ABC si segnano i lati AB e BC
punti M e K, rispettivamente, in modo che BM: AB = 1: 2, e
BK:BC = 2:3. Quante volte l'area del triangolo ABC?
maggiore dell'area del triangolo MVK?

Scegli una coppia di numeri a e b tale che la disuguaglianza ax  b  0
soddisfatto esattamente tre dei cinque punti segnati in figura.
-1

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Matematica. Grado 10. Opzione 00602 (livello base)

Il prezzo del ferro venne aumentato due volte della stessa percentuale. SU
di quanta percentuale è aumentato il prezzo del ferro ogni volta?
il costo iniziale è di 2000 rubli e il costo finale è di 3380 rubli?

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Matematica. Grado 10. Opzione 00602 (livello base)

La funzione y  f (x) ha le seguenti proprietà:
1) f (x)  3 x  4 in 2  x  1;
2) f (x)  x  2 in 1  x  0;
3) f (x)  2  2 x a 0  x  2;
4) la funzione y  f (x) è periodica con periodo 4.
Disegna un grafico di questa funzione sul segmento  ​​6;4.
sì

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