Integrali multipli (problemi ed esercizi). Integrali multipli Coordinate del centro di massa di una figura piana

sicuramente . Permettere ,
,

.

Un insieme è chiamato intervallo chiuso o battuta chiusa .

L'insieme è chiamato intervallo aperto

o un raggio aperto dentro .

sicuramente . Misura degli intervalli E la quantità si chiama:

(Più precisamente
).

sicuramente . Se
tale che
poi l'intervallo si chiama degenerato e
.

Proprietà della misura del gap:

UN). Positività:
, E
allora e solo quando – degenerato.

B). Omogeneità positiva: .

V). Additività:

* Per
tale che
;

* Per
E

.

G). Monotonia della misura: .

sicuramente . Il diametro del raggio (gap) è il valore:

Notare che
E
– non è la stessa cosa. Ad esempio, se – degenerato, quindi
,UN
(parlando in generale).

In cui: * ;

* ;*
.

sicuramente . Totalità
sottocampi dell'intervallo chiamata partizione a intervalli , Se: *;

*
; *
; *
; *
.

Grandezza
chiamato parametro di partizione P(in cui
).

sicuramente . Divisione chiamato perfezionamento della partizione , se tutti gli elementi della partizione ottenuto partizionando gli elementi di partizione .

Indicato da:
. Si legge: più piccola O più grandi .

Per il rapporto “maggiore – minore” vale quanto segue:

*. transitività – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Definizione di integrale multiplo

Permettere
– legname (spazio) dentro ,
– ripartizione del divario IO. Ad ogni intervallo della partizione segnare il punto
.

Noi abbiamo
partizione con punti contrassegnati per
.

Grandezza
è detta somma integrale di Riemann della funzione F (X) sull'intervallo IO per partizione con punti contrassegnati
.

sicuramente :
=
=
.

Designazione – numerose funzioni integrate sulla trave IO scriviamo:

sicuramente : ε > 0 δ>0<.

Se per la funzione F(X) SU IO e partizioni
- denotare con
– il valore più grande e quello più piccolo della funzione F(X) SU IO K poi i valori
=
E
=
sono chiamate somme Darboux inferiori e superiori.

§. Criterio di Darboux per l'esistenza di un integrale multiplo.

T 0 . Funzionare
è stato integrato sulla trave (quelli.
) è necessario e sufficiente affinché

. Δ▲.

Viene definita l'integrazione di una funzione su una trave nello spazio euclideo. Come si può integrare una funzione su un insieme limitato arbitrario dallo spazio euclideo?

Definiamo l'integrale della funzione F da molti
.

sicuramente : Permettere
E
– limitato, cioè
. Funzione
chiamiamo funzione caratteristica dell'insieme M.

Poi:
≡
.

La definizione dell'integrale dell'insieme non dipende da quale trave contiene M selezionato, cioè

.

Ciò significa che la definizione di integrale su un insieme è corretta.

Una condizione necessaria per l'integrabilità. Funzionare F(X) SU M essere integrabile è necessario che F(X) era limitato a M. Δ▲.

§. Proprietà degli integrali multipli.

1  . Linearità: Molti R M funzioni integrabili su un insieme M - lineare

spazio e
– funzionale lineare.

2  . Condizione di normalizzazione:
. Un'altra forma di ingresso
determina essenzialmente la misura di un insieme arbitrario dallo spazio euclideo.

3  . Se esiste un integrale su un insieme di misure di Lebesgue pari a zero, allora esiste

uguale a zero.

Nota: Un mucchio di Mè chiamato insieme di misura zero di Lebesgue,

Se

tale che
E
.

4  . UN.;B.;

V. Se
E – separato da zero da M, Quello

5  .
E F=G p.v. (quasi ovunque) acceso M, Quello
.

6  . Additività: Se
E
Quello

,

Generalmente:
.

Δ. Dall'uguaglianza segue: ▲

7  . Monotono:
E
Quello
.

8  . Integrare le disuguaglianze: se
questo

.

9  . Permettere


. In modo da
, è necessario e sufficiente che vi sia un punto interno all'insieme M, in cui F (X) > 0 e continua.

10  . Integrabilità del modulo funzione integrabile:
.

11  . Teorema del valore medio:
,
SU M conserva il segno e
, Quello

.

Se l'insieme M– coerente e F(X) – acceso continuo
Quello
tale che
.

12  . Affinché l'integrale di una funzione non negativa sia uguale a 0

necessario e sufficiente a F(X) = 0 quasi ovunque M.

13  . Il teorema di Fubini. Per il doppio integrale:

Lasciamo la zona
- rettangolo:. Quindi, ammesso che esistano integrali singoli interni, per trovare l'integrale doppio si può procedere all'integrazione ripetuta (vedi Fig. a):

, O

E

Nota: I limiti esterni di integrazione devono essere costanti; i limiti interni di integrazione possono dipendere dalla variabile su cui l’integrazione deve ancora essere eseguita.

La formula (*) può essere ottenuta utilizzando la funzione Imposta caratteristica D.

Per integrali multipli:

Siano e alcuni sottoinsiemi di spazi euclidei E . Definiamo il prodotto cartesiano di questi insiemi, che è un sottoinsieme dello spazio euclideo
:.

Quindi il teorema di Fubini per
ha la forma:
.

Il teorema vale anche per le travi X E Y e per configurazioni più complesse.

Esempi:

1 0 . Calcolare
, se il confine dell'area
dato dalle equazioni:

UN).
;

2

–

.

Ricetta: Quando si impostano i limiti di integrazione in un integrale doppio, si consiglia di iniziare con i limiti di integrazione esterni.

3

Passando agli integrali iterati si ottiene:
.

Allo stesso tempo, in un triplo integrale, la collocazione dei limiti deve iniziare con i limiti interni di integrazione. Quindi proiettare l'area V all'aereo xOy

porre dei limiti sul territorio D– sdraiato su un aereo xOy.

4 0 . Cambiare l'ordine di integrazione nell'integrale iterato:
.

Integrale multiplo

integrale di una funzione specificata in qualche area del piano, in tre dimensioni o N spazio bidimensionale. Tra K. e. distinguere tra integrali doppi, integrali tripli, ecc. N-integrali multipli.

Lasciamo la funzione F(x, y) è fornito in alcune aree D aereo xOy. Dividiamo l'area D SU N aree parziali d io, le cui aree sono uguali io, scegliere in ogni area d io punto ( ξi, η i) (cm. riso. ) e comporre la somma intera

Se, con una riduzione illimitata del diametro massimo delle aree parziali d io importi S hanno un limite indipendentemente dalla scelta dei punti ( ξi, η i), allora questo limite è chiamato integrale doppio della funzione F(x, y) per regione D e denotare

L'integrale triplo è definito in modo simile e, in generale, N-integrale multiplo.

Per l'esistenza di un integrale doppio è sufficiente, ad esempio, che la regione D era una regione squadrabile chiusa (vedere Regione squadrabile) e la funzione F(x, y) era continuo D. K. e. hanno un numero di proprietà simili alle proprietà degli integrali semplici . Per calcolare K. e. di solito lo portano a un integrale iterato (Vedi Integrale iterato). In casi particolari per informazione di K. e. La formula di Green e la formula di Ostrogradsky possono servire come integrali di dimensione inferiore. K. e. hanno vaste applicazioni: servono per esprimere i volumi dei corpi, le loro masse, i momenti statici, i momenti di inerzia, ecc.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

Scopri cos'è "integrale multiplo" in altri dizionari:

Integrale di una funzione di più variabili. Viene determinato utilizzando somme integrali, simili all'integrale definito di una funzione di una variabile (vedi Calcolo integrale). A seconda del numero di variabili, ci sono doppie, triple, n... ... Grande dizionario enciclopedico

Integrale definito di una funzione di più variabili. Esistono vari concetti di K. e. (integrale di Riemann, integrale di Lebesgue, integrale di Lebesgue Stieltjes, ecc.). L’integrale multiplo di Riemann viene introdotto sulla base della misura di Jordan. Sia E sia Jordan misurabile... ... Enciclopedia matematica

Nell'analisi matematica, un integrale multiplo o multiplo è un insieme di integrali presi da variabili. Ad esempio: Nota: un integrale multiplo è un integrale definito; il suo calcolo dà sempre come risultato un numero. Indice 1... ...Wikipedia

Integrale di una funzione di più variabili. Viene determinato utilizzando somme integrali, simili all'integrale definito di una funzione di una variabile (vedi Calcolo integrale). A seconda del numero di variabili, ci sono doppie, triple, n... ... Dizionario enciclopedico

Integrale di una funzione di più variabili. Determinato utilizzando somme intere, definite in modo simile. integrale di una funzione di una variabile (vedi Calcolo integrale). A seconda del numero di variabili, ci sono doppie, triple, i... ... Scienze naturali. Dizionario enciclopedico

Nota: ovunque in questo articolo viene utilizzato il segno, si intende l'integrale (multiplo) di Riemann, salvo diversa indicazione; Ovunque in questo articolo in cui si parla di misurabilità di un insieme, si intende la misurabilità giordana, se non... ... Wikipedia

Un integrale multiplo della forma dove, che è il valore medio del grado 2k del modulo di una somma trigonometrica. Il teorema di Vinogradov sul valore di questo integrale, il teorema del valore medio, è alla base delle stime delle somme di Weyl. Letteratura Vinogradova inte... Wikipedia

Integrale definito come area di una figura Questo termine ha altri significati, vedi Integrale (significati). Integrale di una funzione ... Wikipedia

Un integrale in cui viene eseguita sequenzialmente l'integrazione su diverse variabili, cioè un integrale della forma (1) La funzione f(x, y) è definita sull'insieme A che giace nel prodotto diretto XX Y degli spazi X e Y, in cui s sono date le misure finite mx e my,… … Enciclopedia matematica

Integrale preso lungo qualsiasi curva su un piano o nello spazio. Ci sono K. e. 1° e 2° tipo. K. e. Il tipo 1 si presenta, ad esempio, quando si considera il problema del calcolo della massa di una curva a densità variabile; è designato... ... Grande Enciclopedia Sovietica

Attenzione: quando si calcolano integrali impropri con punti singolari all'interno dell'intervallo di integrazione, non è possibile applicare meccanicamente la formula di Newton–Leibniz, poiché ciò può portare a errori.

Regola generale: La formula di Newton-Leibniz è corretta se l'antiderivativa di f(x) nel punto singolare di quest'ultima è continua.

Esempio 2.11.

Consideriamo un integrale improprio con punto singolare x = 0. La formula di Newton–Leibniz, applicata formalmente, dà

Tuttavia la regola generale non si applica in questo caso; per f(x) = 1/x l'antiderivativa ln |x| non è definito in x = 0 ed è infinitamente grande in questo punto, cioè non è continuo a questo punto. È facile verificare mediante verifica diretta che l’integrale diverge. Veramente,

L'incertezza risultante può essere rivelata in diversi modi poiché e e d tendono a zero indipendentemente. In particolare, ponendo e = d, otteniamo il valore principale dell'integrale improprio pari a 0. Se e = 1/n, e d =1/n 2, cioè d tende a 0 più velocemente di e, quindi otteniamo

quando e viceversa,

quelli. l'integrale diverge.n

Esempio 2.12.

Consideriamo un integrale improprio con punto singolare x = 0. L'antiderivativa della funzione ha la forma ed è continua nel punto x = 0. Possiamo quindi applicare la formula di Newton–Leibniz:

Una generalizzazione naturale del concetto di integrale di Riemann definito al caso di una funzione di più variabili è il concetto di integrale multiplo. Nel caso di due variabili, vengono chiamati tali integrali Doppio.

Consideriamo lo spazio euclideo bidimensionale R´R, cioè. su un piano con sistema di coordinate cartesiane, un insieme E zona finale S.

Indichiamo con ( io = 1, …, K) impostare la partizione E, cioè. un tale sistema dei suoi sottoinsiemi E io, io = 1,. . ., K, quello Ø per i ¹ j e (Fig. 2.5). Qui indichiamo il sottoinsieme E i senza il suo confine, cioè punti interni del sottoinsieme E i , che, insieme al suo confine Gr E formo un sottoinsieme chiuso E io, . È chiaro che la zona S(E i) sottoinsiemi E i coincide con l'area del suo interno, essendo l'area del confine GrE i è uguale a zero.

Sia d(E i) denotato impostare il diametro E io, cioè la distanza massima tra due dei suoi punti. Verrà chiamata la quantità l(t) = d(E i). finezza della partizione T. Se la funzione f(x),x = (x, y), è definita su E come funzione di due argomenti, allora qualsiasi somma della forma

X io О E io , i = 1, . . . , k, x io = (x io , y io),

dipendente sia dalla funzione fe dalla partizione t, sia dalla scelta dei punti x i О E i М t, è detto somma intera della funzione f .

Se per una funzione f esiste un valore che non dipende né dalle partizioni t né dalla scelta dei punti (i = 1, ..., k), allora questo limite si chiama doppio integrale di Riemann da f(x,y) ed è denotato

In questo caso viene chiamata la funzione f stessa Integrabile di Riemann.

Ricordiamolo nel caso di una funzione con un argomento come insieme E su cui viene eseguita l'integrazione, viene solitamente preso il segmento e la sua partizione t è considerata una partizione composta da segmenti. Per il resto, come è facile vedere, la definizione dell'integrale di Riemann doppio ripete la definizione dell'integrale di Riemann definito per una funzione di un argomento.

Il doppio integrale di Riemann di funzioni limitate di due variabili ha le solite proprietà di un integrale definito per funzioni di un argomento: linearità, additività rispetto agli insiemi su cui viene eseguita l'integrazione, preservazione durante l'integrazione disuguaglianze non strette, integrabilità del prodotto funzioni integrate, ecc.

Il calcolo di più integrali di Riemann si riduce al calcolo integrali iterati. Consideriamo il caso del doppio integrale di Riemann. Lasciamo la funzione f(x,y)è definita sull'insieme E giacente nel prodotto cartesiano degli insiemi X ´ Y, E Ì X ´ Y.

Per integrale ripetuto della funzione f(x, y) è chiamato integrale in cui l'integrazione viene eseguita sequenzialmente su diverse variabili, cioè integrale della forma

Imposta E(y) = (x: О E) Ì X viene chiamato sezione trasversale imposta E corrispondente ad un dato y, y О E y ; l’insieme E y si chiama – proiezione impostare E sull'asse Y.

Per l'integrale iterato viene utilizzata anche la seguente notazione:

che, come il precedente, significa che prima, per un fisso y, y О E y , la funzione è integrata f(x, y) Di X lungo il segmento E(sì), che è una sezione del set E corrispondente a questo sì. Di conseguenza, l'integrale interno definisce una funzione di una variabile: sì. Questa funzione viene quindi integrata in funzione di una variabile, come indicato dal simbolo integrale esterno.

Cambiando l'ordine di integrazione, otteniamo un integrale ripetuto della forma

dove viene effettuata l'integrazione interna sì, ed esterno - di X. Come si relaziona questo integrale iterato con l'integrale iterato definito sopra?

Se esiste un integrale doppio della funzione F, cioè.

allora esistono entrambi gli integrali ripetuti, e sono identici in grandezza e uguali al doppio, cioè

Sottolineiamo che la condizione formulata in questa affermazione per la possibilità di cambiare l'ordine di integrazione negli integrali iterati è unica sufficiente, ma non necessario.

Altre condizioni sufficienti le possibilità di cambiare l'ordine di integrazione negli integrali iterati sono formulate come segue:

se esiste almeno uno degli integrali

poi la funzione f(x, y) Riemann integrabile sul set E, esistono entrambi i suoi integrali ripetuti e sono uguali all'integrale doppio. N

Specifichiamo la notazione delle proiezioni e delle sezioni nella notazione degli integrali iterati.

Se l'insieme E è un rettangolo

Quello E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); in cui E(y) = E x per qualsiasi y, y О E y . , UN E(x) = Ey per qualsiasi x , x О E x ..

Voce formale: " sì sì О E sìÞ E(y) = ExÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

Se l'insieme E ha bordo curvo e consente rappresentazioni

In questo caso gli integrali ripetuti si scrivono come segue:

Esempio 2.13.

Calcolare l'integrale doppio su un'area rettangolare, riducendolo a iterativo.

Poiché la condizione sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, verificando quindi la soddisfacibilità di condizioni sufficienti per l'esistenza dell'integrale doppio I sotto forma di esistenza di uno qualsiasi degli integrali ripetuti

non è necessario farlo specificatamente e si può procedere subito al calcolo dell'integrale ripetuto

Se esiste, allora esiste anche l'integrale doppio e I = I 1 . Perché il

Quindi io = .n

Esempio 2.14.

Calcolare l'integrale doppio sulla regione triangolare (vedi Fig. 2.6), riducendolo a ripetuto

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Innanzitutto verifichiamo l'esistenza dell'integrale doppio I. Per fare ciò è sufficiente verificare l'esistenza dell'integrale ripetuto

quelli. gli integrandi sono continui sugli intervalli di integrazione, poiché sono tutte funzioni di potenza. Pertanto esiste l'integrale I 1. In questo caso esiste anche l’integrale doppio ed è uguale a uno qualsiasi ripetuto, cioè

Esempio 2.15.

Per comprendere meglio la connessione tra i concetti di integrale doppio e iterato, si consideri il seguente esempio, che potrebbe essere omesso in prima lettura. È data una funzione di due variabili f(x, y).

Si noti che per x fisso questa funzione è dispari in y, e per y fisso è dispari in x. Come insieme E su cui è integrata questa funzione, prendiamo il quadrato E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 ).

Consideriamo innanzitutto l’integrale iterato

Integrale interno

è preso per fissato y, -1 £ y £ 1. Poiché l'integrando per fissato y è dispari in x, e l'integrazione su questa variabile viene effettuata sul segmento [-1, 1], simmetrico rispetto al punto 0, allora l'integrale interno è uguale a 0. Ovviamente, anche l'integrale esterno sulla variabile y della funzione zero è uguale a 0, cioè

Un ragionamento simile per il secondo integrale iterato porta allo stesso risultato:

Quindi, per la funzione f(x, y) in esame, esistono integrali ripetuti e sono uguali tra loro. Tuttavia, non esiste un integrale doppio della funzione f(x, y). Per capirlo, passiamo al significato geometrico del calcolo degli integrali ripetuti.

Calcolare l'integrale iterato

viene utilizzato un tipo speciale di partizione del quadrato E, nonché uno speciale calcolo delle somme integrali. Vale a dire, il quadrato E è diviso in strisce orizzontali (vedi Fig. 2.7) e ciascuna striscia è divisa in piccoli rettangoli. Ogni striscia corrisponde ad un certo valore della variabile y; ad esempio potrebbe essere l'ordinata dell'asse orizzontale della striscia.

Il calcolo delle somme integrali si effettua come segue: innanzitutto si calcolano le somme per ciascuna fascia separatamente, cioè a y fisso per x diversi, quindi queste somme intermedie vengono sommate per bande diverse, cioè per diversi y. Se la finezza della partizione tende a zero, allora nel limite si ottiene il suddetto integrale ripetuto.

È chiaro che per il secondo integrale iterato

l'insieme E è diviso in strisce verticali corrispondenti a diversi x. Le somme intermedie sono calcolate all'interno di ciascuna fascia in piccoli rettangoli, vale a dire lungo y, e poi vengono sommati per bande diverse, cioè di x. Al limite, quando la finezza della partizione tende a zero, si ottiene il corrispondente integrale iterato.

Per dimostrare che non esiste un integrale doppio è sufficiente fornire un esempio di partizione, il calcolo delle somme integrali per le quali, nel limite in cui la finezza della partizione tende a zero, dà un risultato diverso dal valore degli integrali ripetuti. Diamo un esempio di tale partizione corrispondente al sistema di coordinate polari (r, j) (vedi Fig. 2.8).

Nel sistema di coordinate polari, la posizione di qualsiasi punto sul piano M 0 (x 0 , y 0), dove x 0 , y 0 sono le coordinate cartesiane del punto M 0, è determinata dalla lunghezza r 0 del raggio collegandolo all'origine e all'angolo j 0 formato da questo raggio con la direzione positiva dell'asse x (l'angolo viene contato in senso antiorario). La connessione tra coordinate cartesiane e polari è ovvia:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

La partizione è costruita come segue. Innanzitutto, il quadrato E è diviso in settori con raggi che partono dal centro delle coordinate, quindi ogni settore è diviso in piccoli trapezi da linee perpendicolari all'asse del settore. Il calcolo delle somme integrali viene eseguito come segue: prima lungo piccoli trapezi all'interno di ciascun settore lungo il suo asse (lungo r), e poi attraverso tutti i settori (lungo j). La posizione di ciascun settore è caratterizzata dall'angolo del suo asse j, e la lunghezza del suo asse r(j) dipende da questo angolo:

se o, allora;

se poi ;

se poi

se poi .

Passando al limite delle somme integrali di una partizione polare quando la finezza della partizione tende a zero, si ottiene una rappresentazione dell'integrale doppio in coordinate polari. Tale notazione può essere ottenuta in modo puramente formale, sostituendo le coordinate cartesiane (x, y) con quelle polari (r, j).

Secondo le regole di transizione negli integrali dalle coordinate cartesiane a quelle polari si dovrebbe scrivere, per definizione:

In coordinate polari, la funzione f(x, y) verrà scritta come segue:

Finalmente abbiamo

Integrale interno (improprio) nell'ultima formula

dove la funzione r(j) indicata sopra, 0 £ j £ 2p , è pari a +¥ per ogni j, perché

Pertanto, l'integrando nell'integrale esterno valutato su j non è definito per nessun j. Ma allora l'integrale esterno stesso non è definito, cioè il doppio integrale originale non è definito.

Si noti che la funzione f(x, y) non soddisfa la condizione sufficiente per l'esistenza di un integrale doppio sull'insieme E. Mostriamo che l'integrale

non esiste. Veramente,

Allo stesso modo, lo stesso risultato si stabilisce per l’integrale

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Lezioni 5-6

Argomento2. Integrali multipli.

Doppio integrale.

Domande di controllo.

1. Integrale doppio, suo significato geometrico e fisico

2. Proprietà dell'integrale doppio.

3. Calcolo dell'integrale doppio in coordinate cartesiane.

4. Cambiamento di variabili nell'integrale doppio. Calcolo dell'integrale doppio in coordinate polari.

Lasciamo la funzione z = F (X , sì) definita in una regione chiusa limitata D aereo. Dividiamo l'area D in modo casuale N aree chiuse elementari  1 , … , N, avente aree   1 , …,   N e diametri D 1 , …, D N rispettivamente. Denotiamo D il più grande dei diametri dell'area  1 , … ,  N. In ogni ambito  K scegli un punto arbitrario P K (X K , sì K) e comporre somma integrale funzioni F(x,y)

S =
(1)

Definizione. Doppio integrale funzioni F(x,y) per regione D chiamato limite della somma integrale

, (2)

se esiste.

Commento. Somma cumulativa S dipende da come è divisa la zona D e selezionando i punti P K (K=1, …, N). Tuttavia, il limite
, se esiste, non dipende da come è partizionata l'area D e selezionando i punti P K .

Una condizione sufficiente per l'esistenza di un integrale doppio. Il doppio integrale (1) esiste se la funzione F(x,y) continuo dentro D ad eccezione di un numero finito di curve lisce a tratti ed è limitato D. Nel seguito assumeremo che esistano tutti gli integrali doppi considerati.

Significato geometrico dell'integrale doppio.

Se F(x,y) ≥0 nell'area D, allora l’integrale doppio (1) è uguale al volume del corpo “cilindrico” mostrato in figura:

V =
(3)

Il corpo cilindrico è limitato inferiormente dalla regione D, dall'alto - parte della superficie z = F (X , sì), dai lati - da segmenti diritti verticali che collegano i confini di questa superficie e regione D.

Significato fisico dell'integrale doppio. Massa di una lastra piana.

Si dia un piatto piano D con una funzione di densità nota γ( X,A), quindi spezzando la piastra D nelle parti D io e scegliendo punti arbitrari
, si ottiene per la massa del piatto
, oppure, confrontando con la formula (2):

(4)

4. Alcune proprietà dell'integrale doppio.

Linearità. Se CONè una costante numerica, quindi

Additività. Se la zona D “suddiviso” in aree D 1 E D 2, quindi

3) Area dell'area limitata D uguale a

(5)

Calcolo dell'integrale doppio in coordinate cartesiane.

Lasciamo che l'area sia data

Immagine 1

D= { (X , sì ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (X ) ≤ y≤ φ 2 (X ) } (6)

Regione D racchiuso in una striscia tra linee rette X = UN , sì = B, delimitati rispettivamente dal basso e dall'alto da curve sì = φ 1 (X ) E sì = φ 2 (X ) .

Integrale doppio (1) su una regione D(4) si calcola passando all’integrale iterato:

(7)

Questo integrale iterato viene calcolato come segue. Innanzitutto viene calcolato l’integrale interno

per variabile sì, in cui X considerata costante. Il risultato sarà una funzione della variabile X, quindi viene calcolato l'integrale “esterno” di questa funzione sulla variabile X .

Commento. Il processo di transizione all'integrale ripetuto secondo la formula (7) è spesso chiamato posizionamento dei limiti di integrazione nell'integrale doppio. Quando si impostano i limiti di integrazione è necessario ricordare due punti. In primo luogo, il limite inferiore di integrazione non dovrebbe superare quello superiore e, in secondo luogo, i limiti dell'integrale esterno dovrebbero essere costanti e quello interno dovrebbe, nel caso generale, dipendere dalla variabile di integrazione dell'integrale esterno.

Passiamo ora alla zona D sembra

D= { (X , sì ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (sì ) ≤ x ≤ ψ 2 (sì ) } . (8)

Poi

. (9)

Supponiamo che l'area D possono essere rappresentati come (6) e (8) contemporaneamente. Allora vale l'uguaglianza

(10)

Viene chiamata la transizione da un integrale iterato a un altro in uguaglianza (10). modificando l'ordine di integrazione nel doppio integrale.

Esempi.

1) Cambiare l'ordine di integrazione nell'integrale

Soluzione. Utilizzando la forma dell'integrale iterato, troviamo la regione

D= { (X , sì ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y ≤ 2 } .

Rappresentiamo l'area D. Dalla figura vediamo che quest'area si trova in una striscia orizzontale tra le linee rette sì =0, sì=2 e tra le righe X =0 E X=D

A volte, per semplificare i calcoli, viene effettuato un cambio di variabili:

,
(11)

Se le funzioni (11) sono continuamente differenziabili e il determinante (Jacobiano) è diverso da zero nel dominio in esame:

(12)

Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa

Lavoro del corso

Disciplina: Matematica superiore

(Fondamenti di programmazione lineare)

Sul tema: INTEGRALI MULTIPLI

Completato da: ______________

Insegnante:___________

Data ___________________

Grado _________________

Firma ________________

VORONEZH 2008

1 Integrali multipli

1.1 Integrale doppio

1.2 Integrale triplo

1.3 Integrali multipli in coordinate curvilinee

1.4 Applicazioni geometriche e fisiche degli integrali multipli

2 Integrali curvilinei e di superficie

2.1 Integrali curvilinei

2.2 Integrali di superficie

2.3 Applicazioni geometriche e fisiche

Bibliografia

1 Integrali multipli

1.1 Doppio integrale

Consideriamo una regione chiusa D nel piano Oxy, delimitata dalla linea L. Dividiamo questa regione in n parti mediante alcune linee

Sia data una funzione z = f(x, y) nel dominio D. Indichiamo con f(P 1), f(P 2),…, f(P n) i valori di questa funzione nei punti selezionati e componiamo una somma di prodotti della forma f(P i)ΔS i:

detta somma integrale della funzione f(x, y) nel dominio D.

Se esiste lo stesso limite di somme integrali (1) per

Calcolo dell'integrale doppio sulla regione D delimitata da rette

1.2 Triplo integrale

Il concetto di integrale triplo viene introdotto per analogia con l'integrale doppio.

Sia data una certa regione V nello spazio, delimitata da una superficie chiusa S. Definiamo una funzione continua f(x, y, z) in questa regione chiusa. Quindi dividiamo la regione V in parti arbitrarie Δv i, considerando il volume di ciascuna parte pari a Δv i, e componiamo una somma integrale della forma

Limite a

Il triplo integrale della funzione f(x,y,z) sulla regione V è uguale al triplo integrale sulla stessa regione:

1.3 Integrali multipli in coordinate curvilinee

Introduciamo sul piano delle coordinate curvilinee, dette polari. Selezioniamo il punto O (polo) e il raggio da esso emanante (asse polare).

Riso. 2fig. 3

Le coordinate del punto M (Fig. 2) saranno la lunghezza del segmento MO - il raggio polare ρ e l'angolo φ tra MO e l'asse polare: M(ρ,φ). Si noti che per tutti i punti del piano, eccetto il polo, ρ > 0, e l'angolo polare φ sarà considerato positivo se misurato in senso antiorario e negativo se misurato nella direzione opposta.

La relazione tra le coordinate polari e cartesiane del punto M può essere impostata allineando l'origine del sistema di coordinate cartesiane con il polo e il semiasse positivo Ox con l'asse polare (Fig. 3). Allora x=ρcosφ, y=ρsinφ. Da qui

Definiamo nella regione D delimitata dalle curve ρ=Φ 1 (φ) e ρ=Φ 2 (φ), dove φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

Nello spazio tridimensionale vengono introdotte le coordinate cilindriche e sferiche.

Le coordinate cilindriche del punto P(ρ,φ,z) sono le coordinate polari ρ, φ della proiezione di questo punto sul piano Oxy e dell'applicata di questo punto z (Fig. 5).

Fig.5 Fig.6

Le formule per la transizione dalle coordinate cilindriche a quelle cartesiane possono essere specificate come segue:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Nelle coordinate sferiche, la posizione di un punto nello spazio è determinata dalla coordinata lineare r - la distanza dal punto all'origine del sistema di coordinate cartesiane (o dal polo del sistema sferico), φ - l'angolo polare tra il positivo semiasse Ox e la proiezione del punto sul piano Ox, e θ - l'angolo tra il semiasse positivo dell'asse Oz e il segmento OP (Fig. 6). In cui

Impostiamo le formule per il passaggio dalle coordinate sferiche a quelle cartesiane:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Quindi le formule per la transizione alle coordinate cilindriche o sferiche nell'integrale triplo appariranno così:

dove F 1 e F 2 sono funzioni ottenute sostituendo le loro espressioni tramite coordinate cilindriche (8) o sferiche (9) nella funzione f anziché x, y, z.

1.4 Applicazioni geometriche e fisiche degli integrali multipli

1) Area della regione pianeggiante S:

Esempio 1.

Trova l'area della figura D delimitata dalle linee

È conveniente calcolare quest'area contando y come variabile esterna. Quindi i confini della regione sono dati dalle equazioni