Derivata di una funzione complessa x x. Derivati complessi

Vengono forniti esempi di calcolo delle derivate utilizzando la formula per la derivata di una funzione complessa.

Contenuto

Guarda anche: Dimostrazione della formula per la derivata di una funzione complessa

Formule di base

Di seguito forniamo esempi di calcolo delle derivate delle seguenti funzioni:
; ; ; ; .

Se una funzione può essere rappresentata come una funzione complessa nella seguente forma:
,
quindi la sua derivata è determinata dalla formula:
.
Negli esempi seguenti, scriveremo questa formula come segue:
.
Dove .
Qui, i pedici o , posti sotto il segno della derivata, denotano le variabili in base alle quali viene eseguita la differenziazione.

Di solito, nelle tabelle delle derivate, vengono indicate le derivate delle funzioni dalla variabile x. Tuttavia, x è un parametro formale. La variabile x può essere sostituita da qualsiasi altra variabile. Pertanto, quando si differenzia una funzione da una variabile, cambiamo semplicemente, nella tabella delle derivate, la variabile x nella variabile u.

Esempi semplici

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione complessa
.

Scriviamo la funzione data in forma equivalente:
.
Nella tabella dei derivati troviamo:
;
.

Secondo la formula della derivata di una funzione complessa abbiamo:
.
Qui .

Esempio 2

Trova la derivata
.

Togliamo la costante 5 dal segno della derivata e dalla tabella delle derivate troviamo:
.

.
Qui .

Esempio 3

Trova la derivata
.

Tiriamo fuori una costante -1 per il segno della derivata e dalla tabella delle derivate troviamo:
;
Dalla tabella delle derivate troviamo:
.

Applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa:
.
Qui .

Esempi più complessi

Negli esempi più complessi, applichiamo più volte la regola per differenziare una funzione complessa. In questo caso calcoliamo la derivata dalla fine. Cioè, suddividiamo la funzione nelle sue parti componenti e troviamo le derivate delle parti più semplici utilizzando tabella dei derivati. Usiamo anche regole per differenziare le somme, prodotti e frazioni. Quindi effettuiamo sostituzioni e applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa.

Esempio 4

Trova la derivata
.

Selezioniamo la parte più semplice della formula e troviamo la sua derivata. .

.
Qui abbiamo usato la notazione
.

Troviamo la derivata della parte successiva della funzione originale utilizzando i risultati ottenuti. Applichiamo la regola per differenziare la somma:
.

Ancora una volta applichiamo la regola della differenziazione delle funzioni complesse.

.
Qui .

Esempio 5

Trova la derivata della funzione
.

Selezioniamo la parte più semplice della formula e troviamo la sua derivata dalla tabella delle derivate. .

Applichiamo la regola della differenziazione delle funzioni complesse.
.
Qui
.

Differenziamo la parte successiva utilizzando i risultati ottenuti.
.
Qui
.

Differenziamo la parte successiva.

.
Qui
.

Ora troviamo la derivata della funzione desiderata.

.
Qui
.

Guarda anche:

Le funzioni di tipo complesso non sempre soddisfano la definizione di funzione complessa. Se esiste una funzione della forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, allora non può essere considerata complessa, a differenza di y = sin 2 x.

In questo articolo verrà illustrato il concetto di funzione complessa e la sua identificazione. Lavoriamo con le formule per trovare la derivata con esempi di soluzioni nella conclusione. L'uso della tabella delle derivate e delle regole di differenziazione riduce significativamente il tempo per trovare la derivata.

Definizioni di base

Definizione 1

Una funzione complessa è quella il cui argomento è anche una funzione.

Si denota in questo modo: f (g (x)). Abbiamo che la funzione g (x) è considerata un argomento f (g (x)).

Definizione 2

Se esiste una funzione f ed è una funzione cotangente, allora g(x) = ln x è la funzione logaritmo naturale. Troviamo che la funzione complessa f (g (x)) verrà scritta come arctg(lnx). Oppure una funzione f, che è una funzione elevata alla 4a potenza, dove g (x) = x 2 + 2 x - 3 è considerata un'intera funzione razionale, otteniamo che f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Ovviamente g(x) può essere complesso. Dall'esempio y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 è chiaro che il valore di g ha radice cubica della frazione. Questa espressione può essere indicata come y = f (f 1 (f 2 (x))). Da dove abbiamo che f è una funzione seno e f 1 è una funzione situata sotto la radice quadrata, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 è una funzione razionale frazionaria.

Definizione 3

Il grado di nidificazione è determinato da qualsiasi numero naturale ed è scritto come y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definizione 4

Il concetto di composizione di funzioni si riferisce al numero di funzioni annidate in base alle condizioni del problema. Per risolvere, utilizzare la formula per trovare la derivata di una funzione complessa della forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Esempi

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione complessa della forma y = (2 x + 1) 2.

Soluzione

La condizione mostra che f è una funzione quadratica e g(x) = 2 x + 1 è considerata una funzione lineare.

Applichiamo la formula della derivata per una funzione complessa e scriviamo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

È necessario trovare la derivata con una forma originale semplificata della funzione. Noi abbiamo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Da qui abbiamo quello

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

I risultati erano gli stessi.

Quando si risolvono problemi di questo tipo, è importante capire dove verrà posizionata la funzione della forma f e g (x).

Esempio 2

Dovresti trovare le derivate delle funzioni complesse della forma y = sin 2 x e y = sin x 2.

Soluzione

La prima notazione della funzione dice che f è la funzione di quadratura e g(x) è la funzione seno. Allora lo capiamo

y " = (sen 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sen x) " = 2 sin x cos x

La seconda voce mostra che f è una funzione seno e g(x) = x 2 denota una funzione potenza. Ne consegue che scriviamo il prodotto di una funzione complessa come

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La formula per la derivata y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) verrà scritta come y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Esempio 3

Trova la derivata della funzione y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Soluzione

Questo esempio mostra la difficoltà di scrivere e determinare la posizione delle funzioni. Allora y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denota dove f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) è la funzione seno, la funzione di innalzamento a 3 gradi, funzione con logaritmo e base e, arcotangente e funzione lineare.

Dalla formula per definire una funzione complessa abbiamo questo

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Otteniamo ciò che dobbiamo trovare

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) come derivata del seno secondo la tabella delle derivate, quindi f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) come derivata di una funzione di potenza, allora f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) come derivata logaritmica, allora f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) come derivata dell'arcotangente, allora f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Quando trovi la derivata f 4 (x) = 2 x, rimuovi 2 dal segno della derivata usando la formula per la derivata di una funzione di potenza con esponente uguale a 1, quindi f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combiniamo i risultati intermedi e otteniamo quello

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

L'analisi di tali funzioni ricorda le bambole che nidificano. Le regole di differenziazione non possono sempre essere applicate esplicitamente utilizzando una tabella derivata. Spesso è necessario utilizzare una formula per trovare le derivate di funzioni complesse.

Esistono alcune differenze tra aspetto complesso e funzioni complesse. Con una chiara capacità di distinguerlo, trovare i derivati sarà particolarmente facile.

Esempio 4

È necessario considerare di fornire un simile esempio. Se esiste una funzione della forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, allora può essere considerata come una funzione complessa della forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Ovviamente è necessario utilizzare la formula per una derivata complessa:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Una funzione della forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 non è considerata complessa, poiché ha la somma di t g x 2, 3 t g x e 1. Tuttavia, t g x 2 è considerata una funzione complessa, quindi otteniamo una funzione potenza della forma g (x) = x 2 e f, che è una funzione tangente. Per fare ciò, differenziare per importo. Lo capiamo

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3cos 2x

Passiamo alla ricerca della derivata di una funzione complessa (t g x 2)":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Otteniamo che y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funzioni di tipo complesso possono essere incluse in funzioni complesse e le funzioni complesse stesse possono essere componenti di funzioni di tipo complesso.

Esempio 5

Ad esempio, considera una funzione complessa della forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Questa funzione può essere rappresentata come y = f (g (x)), dove il valore di f è una funzione del logaritmo in base 3 e g (x) è considerata la somma di due funzioni della forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 e k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Ovviamente, y = f (h (x) + k (x)).

Consideriamo la funzione h(x). Questo è il rapporto l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 rispetto a m (x) = e x 2 + 3 3

Abbiamo che l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) è la somma di due funzioni n (x) = x 2 + 7 e p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , dove p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) è una funzione complessa con coefficiente numerico 3 e p 1 è una funzione cubica, p 2 con una funzione coseno, p 3 (x) = 2 x + 1 con una funzione lineare.

Abbiamo scoperto che m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) è la somma di due funzioni q (x) = e x 2 e r (x) = 3 3, dove q (x) = q 1 (q 2 (x)) è una funzione complessa, q 1 è una funzione con esponenziale, q 2 (x) = x 2 è una funzione potenza.

Ciò dimostra che h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Passando ad un'espressione nella forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), è chiaro che la funzione si presenta sotto forma di un complesso s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) con un intero razionale t (x) = x 2 + 1, dove s 1 è una funzione di quadratura, e s 2 (x) = ln x è logaritmica con base e.

Ne consegue che l'espressione assumerà la forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Allora lo capiamo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Sulla base delle strutture della funzione, è diventato chiaro come e quali formule utilizzare per semplificare l'espressione quando si differenzia. Per acquisire familiarità con tali problemi e per il concetto della loro soluzione, è necessario arrivare al punto di differenziare una funzione, cioè trovare la sua derivata.

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Se G(X) E F(tu) – funzioni differenziabili dei loro argomenti, rispettivamente, nei punti X E tu= G(X), allora anche la funzione complessa è differenziabile in quel punto X e si trova con la formula

Un errore tipico quando si risolvono problemi di derivazione è trasferire meccanicamente le regole per differenziare funzioni semplici in funzioni complesse. Impariamo a evitare questo errore.

Esempio 2. Trova la derivata di una funzione

Soluzione sbagliata: calcola il logaritmo naturale di ogni termine tra parentesi e cerca la somma delle derivate:

Soluzione corretta: ancora una volta determiniamo dov'è la "mela" e dov'è la "carne macinata". Qui il logaritmo naturale dell'espressione tra parentesi è una “mela”, cioè una funzione sull'argomento intermedio tu, e l'espressione tra parentesi è “carne macinata”, cioè un argomento intermedio tu da variabile indipendente X.

Quindi (usando la formula 14 dalla tabella dei derivati)

In molti problemi della vita reale, l'espressione con un logaritmo può essere un po' più complicata, motivo per cui c'è una lezione

Esempio 3. Trova la derivata di una funzione

Soluzione sbagliata:

Soluzione corretta. Ancora una volta determiniamo dov'è la "mela" e dov'è la "carne tritata". Qui il coseno dell'espressione tra parentesi (formula 7 nella tabella delle derivate) è una “mela”, è preparato nel modo 1, che riguarda solo essa, e l'espressione tra parentesi (la derivata del grado è la numero 3 nella tabella dei derivati) è “carne macinata”, viene preparata con la modalità 2, che riguarda solo essa. E come sempre colleghiamo le due derivate al segno del prodotto. Risultato:

La derivata di una funzione logaritmica complessa è un compito frequente nei test, quindi ti consigliamo vivamente di frequentare la lezione "Derivata di una funzione logaritmica".

I primi esempi riguardavano funzioni complesse, in cui l'argomento intermedio sulla variabile indipendente era una funzione semplice. Ma nei compiti pratici è spesso necessario trovare la derivata di una funzione complessa, dove l'argomento intermedio è esso stesso una funzione complessa o contiene tale funzione. Cosa fare in questi casi? Trova le derivate di tali funzioni utilizzando tabelle e regole di differenziazione. Quando viene trovata la derivata dell'argomento intermedio, viene semplicemente sostituita al posto giusto nella formula. Di seguito sono riportati due esempi di come eseguire questa operazione.

Inoltre è utile sapere quanto segue. Se una funzione complessa può essere rappresentata come una catena di tre funzioni

allora la sua derivata dovrebbe essere trovata come il prodotto delle derivate di ciascuna di queste funzioni:

Molti dei tuoi compiti a casa potrebbero richiedere l'apertura delle guide in nuove finestre. Azioni con poteri e radici E Operazioni con le frazioni .

Esempio 4. Trova la derivata di una funzione

Applichiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa, senza dimenticare che nel prodotto delle derivate risultante c'è un argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente X non cambia:

Prepariamo il secondo fattore del prodotto e applichiamo la regola per differenziare la somma:

Il secondo termine è la radice, quindi

Abbiamo quindi scoperto che l'argomento intermedio, che è una somma, contiene una funzione complessa come uno dei termini: elevare a potenza è una funzione complessa, e ciò che viene elevato a potenza è un argomento intermedio rispetto all'argomento indipendente variabile X.

Pertanto, applichiamo nuovamente la regola per differenziare una funzione complessa:

Trasformiamo il grado del primo fattore in una radice e, quando differenziamo il secondo fattore, non dimentichiamo che la derivata della costante è uguale a zero:

Ora possiamo trovare la derivata dell'argomento intermedio necessario per calcolare la derivata di una funzione complessa richiesta nella formulazione del problema sì:

Esempio 5. Trova la derivata di una funzione

Per prima cosa usiamo la regola per differenziare la somma:

Abbiamo ottenuto la somma delle derivate di due funzioni complesse. Troviamo il primo:

In questo caso, elevare il seno a una potenza è una funzione complessa e il seno stesso è un argomento intermedio per la variabile indipendente X. Pertanto, utilizzeremo la regola di derivazione di una funzione complessa, lungo il percorso togliendo il fattore dalle parentesi :

Ora troviamo il secondo termine delle derivate della funzione sì:

Qui elevare il coseno a una potenza è una funzione complessa F e il coseno stesso è un argomento intermedio nella variabile indipendente X. Usiamo ancora la regola per differenziare una funzione complessa:

Il risultato è la derivata richiesta:

Tavola delle derivate di alcune funzioni complesse

Per le funzioni complesse, basate sulla regola di differenziazione di una funzione complessa, la formula per la derivata di una funzione semplice assume una forma diversa.

1. Derivato di una funzione di potenza complessa, dove tu X
2. Derivato della radice dell'espressione
3. Derivata di una funzione esponenziale
4. Caso particolare di funzione esponenziale
5. Derivata di una funzione logaritmica con base positiva arbitraria UN
6. Derivato di una funzione logaritmica complessa, dove tu– funzione differenziabile dell'argomento X
7. Derivato del seno
8. Derivato del coseno
9. Derivato della tangente
10. Derivato della cotangente
11. Derivato dell'arcoseno
12. Derivato dell'arcocoseno
13. Derivato dell'arcotangente
14. Derivato dell'arco cotangente

Molto facile da ricordare.

Ebbene, non andiamo lontano, consideriamo subito la funzione inversa. Quale funzione è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è il numero:

Un logaritmo di questo tipo (cioè un logaritmo con base) si chiama “naturale” e per questo usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

Trova la derivata della funzione.
Qual è la derivata della funzione?

Risposte: Il logaritmo esponenziale e naturale sono funzioni unicamente semplici dal punto di vista derivato. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo più avanti, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Regole di cosa? Ancora un nuovo mandato, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

È tutto. Cos'altro puoi chiamare questo processo in una parola? Non derivato... I matematici chiamano il differenziale lo stesso incremento di una funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia – differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola vale anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia che sia, o più semplice.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

ad un certo punto;
ad un certo punto;
ad un certo punto;
al punto.

Soluzioni:

(la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché è una funzione lineare, ricordate?);

Derivato del prodotto

Qui è tutto simile: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

Trova le derivate delle funzioni e;
Trova la derivata della funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di una funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo degli esponenti (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è qualche numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a ridurre la nostra funzione ad una nuova base:

Per fare ciò utilizzeremo una semplice regola: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Ecco, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata di un esponente: così com'era, rimane la stessa, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può essere scritto in una forma più semplice. Pertanto, lo lasciamo in questa forma nella risposta.

Nota che qui è il quoziente di due funzioni, quindi applichiamo la regola di differenziazione corrispondente:

In questo esempio, il prodotto di due funzioni:

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un logaritmo arbitrario con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo ridurre questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ricordi questa formula:

Solo adesso scriveremo invece:

Il denominatore è semplicemente una costante (un numero costante, senza variabile). La derivata si ottiene molto semplicemente:

I derivati delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'Esame di Stato Unificato, ma non sarà superfluo conoscerli.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e nemmeno un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se trovi difficile il logaritmo, leggi l'argomento “Logaritmi” e starai bene), ma da un punto di vista matematico la parola “complesso” non significa “difficile”.

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e eseguono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Il risultato è un oggetto composito: una tavoletta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi inversi in ordine inverso.

Creiamo una procedura matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi eleveremo il numero risultante al quadrato. Quindi, ci viene dato un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, eseguiamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi una seconda azione con ciò che risulta dalla prima.

In altre parole, una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il nostro esempio, .

Possiamo facilmente eseguire gli stessi passaggi in ordine inverso: prima lo eleva al quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante: . È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

Secondo esempio: (stessa cosa). .

Verrà richiamata l'azione eseguita per ultima funzione "esterna". e l'azione viene eseguita per prima, di conseguenza funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, in una funzione

Quale azione eseguiremo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo cubiamo. Ciò significa che è una funzione interna, ma esterna.
E la funzione originaria è la loro composizione: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Interno: ; esterno: .
Visita medica: .

Cambiamo le variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estraiamo la nostra tavoletta di cioccolato e cerchiamo il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. In relazione all'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Sembra semplice, vero?

Verifichiamo con degli esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(Per ora non provare a tagliarlo! Non esce niente da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che si tratta di una funzione complessa a tre livelli: in fondo questa è già di per sé una funzione complessa, e da essa estraiamo anche la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettere il cioccolato in un involucro e con un nastro nella valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: “spaccheremo” comunque questa funzione nello stesso ordine di sempre: dalla fine.

Cioè, prima differenziamo la radice, poi il coseno e solo dopo l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo il tutto.

In questi casi è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata ad un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più “esterna” risulterà la funzione corrispondente. La sequenza delle azioni è la stessa di prima:

Qui la nidificazione è generalmente su 4 livelli. Determiniamo la linea d'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Derivata di una funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene tolta dal segno della derivata:

Derivata della somma:

Derivata del prodotto:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Definiamo la funzione “interna” e troviamo la sua derivata.
Definiamo la funzione “esterna” e troviamo la sua derivata.
Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

Nei “vecchi” libri di testo è chiamata anche regola della “catena”. Quindi se y = f (u) e u = φ (x), questo è

y = f (φ (x))

complesso - funzione composta (composizione di funzioni) quindi

Dove , dopo che il calcolo è considerato a u = φ (x).

Si noti che qui abbiamo preso composizioni “diverse” dalle stesse funzioni, e il risultato della differenziazione si è naturalmente rivelato dipendere dall'ordine di “miscelazione”.

La regola della catena si estende naturalmente alle composizioni di tre o più funzioni. In questo caso ci saranno tre o più “anelli” nella “catena” che costituisce il derivato. Ecco un'analogia con la moltiplicazione: “abbiamo” una tabella di derivate; “lì” - tavola pitagorica; “con noi” è la regola della catena e “là” è la regola della moltiplicazione “colonna”. Nel calcolare tali derivate “complesse”, ovviamente, non vengono introdotti argomenti ausiliari (u¸v, ecc.), ma, avendo notato personalmente il numero e la sequenza delle funzioni coinvolte nella composizione, i collegamenti corrispondenti vengono “infilati” nell'ordine indicato.

. Qui, con la “x” per ottenere il valore della “y”, si eseguono cinque operazioni, cioè si ha una composizione di cinque funzioni: “esterna” (l'ultima) - esponenziale - e  ; poi, in ordine inverso, il potere. (♦) 2 ; peccato trigonometrico(); tranquillo. () 3 ed infine logaritmico ln.(). Ecco perché

Con i seguenti esempi “prenderemo un paio di piccioni con una fava”: ci eserciteremo a differenziare funzioni complesse e ad aggiungere alla tabella delle derivate di funzioni elementari. COSÌ:

4. Per una funzione di potenza - y = x α - riscrivendola utilizzando la nota “identità logaritmica di base” - b=e ln b - nella forma x α = x α ln x otteniamo

5. Per una funzione esponenziale arbitraria, utilizzando la stessa tecnica che avremo

6. Per una funzione logaritmica arbitraria, utilizzando la nota formula per la transizione a una nuova base, otteniamo costantemente

7. Per differenziare la tangente (cotangente), utilizziamo la regola per differenziare i quozienti:

Per ottenere le derivate delle funzioni trigonometriche inverse, utilizziamo la relazione che è soddisfatta dalle derivate di due funzioni mutuamente inverse, cioè le funzioni φ (x) e f (x) legate dalle relazioni:

Questo è il rapporto