La procedura per valutare l'affidabilità del sistema con il metodo probabilistico logico. Metodo logico-probabilistico per il calcolo dell'affidabilità di sistemi a struttura monotona

L'essenza dei metodi logico-probabilistici risiede nell'uso di funzioni di algebra logica (FAL) per la registrazione analitica delle condizioni di prestazione del sistema e nel passaggio da FAL a funzioni probabilistiche (WF), che esprimono oggettivamente l'affidabilità del sistema. Quelli. utilizzando il metodo logico-probabilistico, è possibile descrivere circuiti IC per il calcolo dell'affidabilità utilizzando l'apparato della logica matematica, seguito dall'uso della teoria della probabilità nella determinazione degli indicatori di affidabilità.

Il sistema può trovarsi solo in due stati: in uno stato di piena operatività ( a= 1) e in stato di completo fallimento ( a= 0). Si presume che l'azione del sistema dipenda deterministicamente dall'azione dei suoi elementi, ad es. aè una funzione X 1 , X 2 , … , x io , … , x n. Gli elementi possono anche trovarsi in due soli stati incompatibili: piena salute ( x io= 1) e fallimento completo ( x io = 0).

Una funzione dell'algebra della logica che mette in relazione lo stato degli elementi con lo stato del sistema a (X 1 , X 2 ,…,xn) sono chiamati funzione sanitaria sistemi F(y)= 1.

Per valutare gli stati operativi del sistema vengono utilizzati due concetti:

1) il percorso più breve per un'operazione di successo (KPUF), che è una tale congiunzione dei suoi elementi, nessuno dei quali può essere rimosso senza violare il funzionamento del sistema. Tale congiunzione è scritta come la seguente FAL:

dove io– appartiene all'insieme dei numeri corrispondenti al dato
l-a modo mio.

In altre parole, il KPUF del sistema descrive uno dei suoi possibili stati operabili, che è determinato dall'insieme minimo di elementi operabili che sono assolutamente necessari per svolgere le funzioni specificate per il sistema.

2) la sezione trasversale minima di guasto del sistema (MSF), che è una tale congiunzione delle negazioni dei suoi elementi, nessuno dei componenti dei quali può essere rimosso senza violare le condizioni di inoperabilità del sistema. Tale congiunzione può essere scritta come la seguente FAL:

dove indica l'insieme di numeri corrispondenti alla sezione data.

In altre parole, l'MCO del sistema descrive uno dei possibili modi per interrompere l'operabilità del sistema utilizzando l'insieme minimo di elementi guasti.

Ogni sistema ridondante ha un numero finito di cammini minimi ( l= 1, 2,…, m) e sezioni minime ( j = 1, 2,…, m).

Utilizzando questi concetti, possiamo annotare le condizioni per il funzionamento del sistema.

1) sotto forma di disgiunzione di tutti i percorsi più brevi disponibili per un'operazione di successo.

;

2) sotto forma di una congiunzione di negazioni di tutti gli MCO

;

Pertanto, le condizioni di operabilità di un sistema reale possono essere rappresentate come le condizioni di operabilità di un sistema equivalente (in termini di affidabilità), la cui struttura è una connessione parallela dei percorsi più brevi di funzionamento riuscito, o un altro sistema equivalente, la struttura di cui è una combinazione delle negazioni delle sezioni minime.

Ad esempio, per la struttura del bridge dell'IC, la funzione di integrità del sistema che utilizza il KPUF verrà scritta come segue:

;

la funzione di operabilità del sistema stesso attraverso l'MCO può essere scritta nella forma seguente:

Con un numero ridotto di elementi (non superiore a 20), è possibile utilizzare un metodo tabulare per il calcolo dell'affidabilità, basato sull'uso del teorema di addizione per le probabilità di eventi congiunti.

La probabilità di funzionamento senza guasti del sistema può essere calcolata dalla formula (attraverso una funzione probabilistica della forma):

I metodi logico-probabilistici (metodi: taglio, tabulare, ortogonalizzazione) sono ampiamente utilizzati in procedure diagnostiche quando si costruiscono alberi dei guasti e si determinano gli eventi di base (iniziali) che causano il guasto del sistema.

Per l'affidabilità di un sistema informatico con una struttura di ridondanza complessa, può essere utilizzato un metodo di modellizzazione statistica.

L'idea del metodo è quella di generare variabili booleane x io con una data probabilità pi di occorrenza di un'unità, che vengono sostituite nella funzione strutturale logica del sistema simulato in forma arbitraria, e quindi si calcola il risultato.

Aggregato X 1 , X 2 ,…, x n eventi casuali indipendenti che formano un gruppo completo è caratterizzato dalle probabilità di accadimento di ciascuno degli eventi p(x io), e .

Per simulare questo insieme di eventi casuali, viene utilizzato un generatore di numeri casuali, distribuito uniformemente nell'intervallo

Significato piè scelto uguale alla probabilità di funzionamento senza guasti io esimo sottosistema. In questo caso, il processo di calcolo viene ripetuto N 0 volte con nuovi valori di argomenti casuali indipendenti x io(questo conta il numero N(t) singoli valori della funzione strutturale logica). Atteggiamento N(t)/N 0 è una stima statistica della probabilità di uptime

dove N(t) - il numero di lavori impeccabili fino a quel momento t oggetti, con il loro numero originale.

Generazione di variabili booleane casuali x io con una data probabilità di occorrenza di uno p io viene effettuato sulla base di variabili casuali distribuite uniformemente nell'intervallo, ottenute utilizzando programmi standard inclusi nei software di tutti i moderni computer.

1. Denominare il metodo per valutare l'affidabilità di IS, dove la probabilità di funzionamento senza guasti del sistema è definita come R n ≤R con ≤R in.

2. Per calcolare l'affidabilità di quali sistemi viene utilizzato il metodo dei percorsi e delle sezioni?

3. Quale metodo può essere utilizzato per valutare l'affidabilità dei dispositivi di tipo bridge?

4. Quali metodi sono noti per determinare gli indicatori di affidabilità dei sistemi recuperabili?

5. Rappresentare strutturalmente il circuito del ponte come un insieme di percorsi e sezioni minimi.

6. Definire il percorso minimo e la sezione minima.

7. Registrare la funzione di salute per il dispositivo ramificato?

8. Cos'è chiamata funzione sanitaria?

9. Qual è il percorso più breve per un'operazione riuscita (KPUF). Annotare le condizioni di lavoro sotto forma di KPUF.

10. Dove viene utilizzato il metodo logico-probabilistico di valutazione dell'affidabilità?

Letteratura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Argomento: Calcolo dell'affidabilità dei sistemi recuperabili (metodo delle equazioni differenziali)

1. Metodi generali per il calcolo dell'affidabilità dei sistemi recuperabili.

2. Costruzione di un grafico dei possibili stati del sistema per valutare l'affidabilità dei sistemi ripristinati.

3. Metodo dei sistemi di equazioni differenziali (SDE), regola di Kolmogorov per la compilazione di SDE

4. Normalizzazione e condizioni iniziali per la risoluzione della SDE.

Parole chiave

Sistema recuperabile, caratteristiche quantitative dell'affidabilità, grafico di stato, stato operabile, sistema di equazioni differenziali, regola di Kolmogorov, probabilità di funzionamento senza guasti, tasso di ripristino, tasso di guasto, condizioni di normalizzazione, condizioni iniziali, parametri di affidabilità, sistema non ridondante.

Il compito principale del calcolo dell'affidabilità dei SI progettati è la costruzione di modelli matematici adeguati ai processi probabilistici del loro funzionamento. Tali modelli consentono di valutare il grado di soddisfazione dei requisiti di affidabilità dei sistemi progettati o gestiti.

Il tipo di modello matematico determina la possibilità di ottenere formule di calcolo. Per calcolare l'affidabilità dei sistemi recuperabili ridondanti e non ridondanti, vengono utilizzati: il metodo delle equazioni integrali, il metodo delle equazioni differenziali, il metodo delle intensità transitorie, il metodo di valutazione dell'affidabilità mediante il grafico degli stati possibili, ecc. .

Metodo delle equazioni integrali. Il metodo delle equazioni integrali è il più generale; può essere utilizzato per calcolare l'affidabilità di qualsiasi sistema (recuperabile e non) per qualsiasi distribuzione di FBG e tempo di recupero.

In questo caso, per determinare gli indicatori di affidabilità del sistema, vengono compilate e risolte equazioni integrali e integro-differenziali che mettono in relazione le caratteristiche della distribuzione FBG e, per i sistemi ripristinati, il tempo di recupero degli elementi.

Nel corso della compilazione di equazioni integrali, di solito si distinguono uno o più intervalli di tempo infinitamente piccoli, per i quali si considerano eventi complessi che si manifestano sotto l'azione combinata di più fattori.

Nel caso generale, le soluzioni si trovano con metodi numerici utilizzando un computer. Il metodo delle equazioni integrali non è ampiamente utilizzato a causa della difficoltà di risoluzione.

Metodo delle equazioni differenziali. Il metodo viene utilizzato per valutare l'affidabilità degli oggetti recuperabili e si basa sull'assunzione di distribuzioni esponenziali del tempo tra guasti (tempo di funzionamento) e tempo di ripristino. In questo caso, il parametro del flusso di guasto w =λ = 1/t cp . e intensità di recupero µ = 1/ lattina, dove t cp.- tempo di attività medio, lattinaè il tempo medio di recupero.

Per applicare il metodo è necessario disporre di un modello matematico per l'insieme dei possibili stati del sistema S={S 1 , S 2 ,…, S n), in cui può essere posizionato durante gli errori di sistema e i ripristini. Di volta in volta il sistema S salta da uno stato all'altro sotto l'azione di guasti e restauri dei suoi singoli elementi.

Quando si analizza il comportamento di un sistema nel tempo durante l'usura, è conveniente utilizzare un grafico di stato. Un grafo di stato è un grafo orientato, in cui cerchi o rettangoli rappresentano i possibili stati del sistema. Contiene tanti vertici quanti sono i diversi stati possibili per un oggetto o un sistema. I bordi del grafico riflettono possibili transizioni da alcuni stati a tutti gli altri con parametri di guasto e tassi di ripristino (vicino alle frecce sono mostrati i tassi di transizione).

Ciascuna combinazione di stati guasti e operativi dei sottosistemi corrisponde a uno stato del sistema. Numero di stati del sistema n= 2K, dove K– numero di sottosistemi (elementi).

La connessione tra le probabilità di trovare il sistema in tutti i suoi possibili stati è espressa dal sistema di equazioni differenziali di Kolmogorov (equazioni del primo ordine).

La struttura delle equazioni di Kolmogorov è costruita secondo le seguenti regole: sul lato sinistro di ogni equazione è scritta la derivata della probabilità che l'oggetto si trovi nello stato in esame (vertice del grafico) e il lato destro contiene altrettanti membri in quanto vi sono bordi del grafo di stato associato a questo vertice. Se il bordo è diretto da un dato vertice, il termine corrispondente ha un segno meno, se a un dato vertice, un segno più. Ogni termine è uguale al prodotto del parametro di intensità di guasto (recupero) associato a un dato bordo e la probabilità di trovarsi al vertice del grafico da cui il bordo ha origine.

Il sistema di equazioni di Kolmogorov include tante equazioni quanti sono i vertici nel grafico di stato dell'oggetto.

Il sistema di equazioni differenziali è integrato dalla condizione di normalizzazione:

dove Pj(t j-esimo stato;

nè il numero di possibili stati del sistema.

La soluzione del sistema di equazioni in condizioni specifiche dà il valore delle probabilità desiderate Pj(t).

L'intero insieme dei possibili stati del sistema è diviso in due parti: un sottoinsieme di stati n 1, in cui il sistema è operativo, e un sottoinsieme di stati n 2 in cui il sistema è inoperativo.

Funzione di sistema pronto:

Per G ,

dove Pj(t) è la probabilità di trovare il sistema in j condizioni di lavoro;

n 1 è il numero di stati in cui il sistema è operativo.

Quando è necessario calcolare il fattore di disponibilità del sistema o il fattore di fermo macchina (sono consentite interruzioni del sistema), considerare il funzionamento in regime stazionario a t→∞. In questo caso, tutte le derivate e il sistema di equazioni differenziali si trasformano in un sistema di equazioni algebriche, facilmente risolvibili.

Un esempio di grafico di stato di un sistema recuperabile non ridondante con n- gli elementi sono mostrati in fig. uno.

Riso. 1. Grafico degli stati del sistema ripristinato (gli stati ombreggiati indicano stati non operativi)

Considera i possibili stati in cui può trovarsi il sistema. I seguenti stati sono possibili qui:

S 0 - tutti gli elementi sono operativi;

S 1 - il primo elemento è inutilizzabile, il resto è operativo;

S 2 - il secondo elemento è inutilizzabile, il resto è operativo;

S n – n Il esimo elemento è inutilizzabile, il resto è operativo.

La probabilità della comparsa simultanea di due elementi inoperabili è trascurabile. Simboli λ 1 , λ2 ,…, λ n sono indicati i tassi di guasto, µ 1 , µ 2 ,…, µ n intensità di recupero degli elementi corrispondenti;

Secondo il grafico degli stati (Fig. 1), compongono un sistema di equazioni differenziali (l'equazione per lo stato S 0 viene omesso per ingombro):

Con la condizione di normalizzazione: .

Condizioni iniziali:

In regime stazionario (quando t→∞) abbiamo:

Dopo aver risolto il risultante sistema di equazioni algebriche, tenendo conto della condizione di normalizzazione, troviamo gli indicatori di affidabilità.

Quando si risolve un sistema di equazioni, è possibile utilizzare la trasformata di Laplace per probabilità di stato o metodi numerici.

Controllare le domande e le attività

1. Quali metodi sono noti per determinare gli indicatori di affidabilità dei sistemi recuperabili?

2. Come vengono determinati gli stati degli elementi IS e dei dispositivi?

3. Come determinare le aree di stato di salute del sistema?

4. Perché il metodo delle equazioni differenziali è ampiamente utilizzato nella valutazione dell'affidabilità dei sistemi ripristinati?

5. Qual è una condizione necessaria per risolvere sistemi di equazioni differenziali?

6. Come vengono compilate le equazioni differenziali per determinare i parametri di affidabilità di IS?

7. Quale condizione dovrebbe essere aggiunta al sistema di equazioni differenziali (SDE) per una soluzione più efficiente.

8. Annotare le condizioni operative del sistema, composto da tre elementi.

9. Qual è il numero di stati di un dispositivo composto da quattro elementi?

10. Quale regola viene utilizzata nella compilazione dei CDS?

Letteratura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Argomento: Modelli di Markov per la valutazione dell'affidabilità dei sistemi informativi recuperabili ridondanti

1. Il concetto di proprietà di Markov, la definizione dello stato del sistema.

2. Metodologia e algoritmo per la costruzione del modello di Markov.

3. Formule di calcolo per il calcolo degli indicatori di affidabilità del veicolo

4. Matrice dell'intensità di transizione per la valutazione degli indicatori di affidabilità dei CI recuperabili ridondanti.

Parole chiave

Modello di Markov, stato del sistema, prestazioni, matrice dell'intensità di transizione, grafico di stato, sistema recuperabile, ridondanza, circuito sequenziale, riserva costante, sistema di equazioni differenziali, regola di Kolmogorov, schema di calcolo dell'affidabilità, metodo approssimativo, algoritmi di costruzione SDE, condizioni di normalizzazione, condizioni iniziali , probabilità di funzionamento senza guasti, tasso di guasto.

Il funzionamento dell'IS e delle sue componenti può essere rappresentato come un insieme di processi di transizione da uno stato all'altro sotto l'influenza di eventuali ragioni.

Dal punto di vista dell'affidabilità degli SI ripristinati, il loro stato in ogni momento è caratterizzato da quali degli elementi sono operativi e quali sono in corso di ripristino.

Se ogni possibile insieme di elementi utilizzabili (non utilizzabili) è associato a un insieme di stati dell'oggetto, i guasti e i ripristini degli elementi verranno visualizzati dalla transizione dell'oggetto da uno stato all'altro:

Lascia che, ad esempio, l'oggetto sia composto da due elementi. Quindi può essere in uno dei quattro stati: n = 2K = 2 2 = 4.

S 1 - entrambi gli elementi sono operativi;

S 2 - solo il primo elemento non è operativo;

S 3 - solo il secondo elemento è inutilizzabile;

S 4 - entrambi gli elementi non sono operativi.

L'insieme dei possibili oggetti afferma: S={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.

L'insieme completo degli stati del sistema in esame può essere discreto o continuo (riempire continuamente uno o più intervalli dell'asse numerico).

In quanto segue, considereremo i sistemi con uno spazio degli stati discreto. La sequenza di stati di un tale sistema e il processo di transizione da uno stato all'altro è chiamata catena.

A seconda del tempo che il sistema trascorre in ogni stato, si distinguono processi a tempo continuo e processi a tempo discreto. Nei processi a tempo continuo, il passaggio del sistema da uno stato all'altro avviene in qualsiasi momento. Nel secondo caso, il tempo trascorso dal sistema in ogni stato è fissato in modo che i momenti di transizione siano posti sull'asse del tempo a intervalli regolari.

Attualmente, le catene con la proprietà di Markov sono le più studiate. Le probabilità di transizione sono indicate dai simboli P ij(t), e il processo P ij transizioni è chiamata catena di Markov o catena di Markov.

La proprietà Markov è associata all'assenza di effetti collaterali. Ciò significa che il comportamento del sistema in futuro dipende solo dal suo stato in un dato momento e non dipende da come è arrivato a questo stato.

I processi di Markov consentono di descrivere sequenze di guasti-recuperi nei sistemi descritti utilizzando un grafico di stato.

Il metodo più comunemente usato per calcolare l'affidabilità sono le catene di Markov a tempo continuo basate su un sistema di equazioni differenziali, che possono essere scritte in forma matriciale come:

dove P(t)=P 0 – condizioni iniziali;

e Λ è la matrice dell'intensità di transizione (la matrice del coefficiente alle probabilità di stato):

dove λ ij– intensità della transizione del sistema dall'i-esimo stato al j-esimo;

Pjè la probabilità che il sistema sia nello stato j-esimo.

Quando si valuta l'affidabilità di sistemi complessi ridondanti e recuperabili, il metodo della catena di Markov porta a soluzioni complesse a causa dell'elevato numero di stati. Nel caso di sottosistemi dello stesso tipo operanti nelle stesse condizioni, il metodo di aggregazione viene utilizzato per ridurre il numero di stati. Gli stati con lo stesso numero di sottosistemi vengono uniti. Quindi la dimensione delle equazioni diminuisce.

La sequenza della metodologia per valutare l'affidabilità dei sistemi ridondanti recuperabili utilizzando il metodo della catena di Markov è la seguente:

1. Viene analizzata la composizione del dispositivo e viene redatto uno schema strutturale di affidabilità. Secondo lo schema, viene costruito un grafico in cui vengono presi in considerazione tutti i possibili stati;

2. Tutti i vertici del grafico come risultato dell'analisi del diagramma a blocchi sono divisi in due sottoinsiemi: i vertici corrispondenti allo stato operabile del sistema ei vertici corrispondenti allo stato non operativo del sistema.

3. Utilizzando il grafico di stato, viene compilato un sistema di equazioni differenziali (viene utilizzata la regola di Kolmogorov);

4. Si scelgono le condizioni iniziali per la soluzione del problema;

5. Si determinano le probabilità che il sistema sia in uno stato di lavoro in un momento arbitrario;

6. Viene determinata la probabilità di funzionamento senza problemi del sistema;

7. Se necessario, vengono determinati altri indicatori.

Controllare le domande e le attività

1. Cosa si intende per catena Markov?

2. Fornire un algoritmo per stimare l'affidabilità di IS utilizzando i modelli di Markov.

3. Come vengono compilate le equazioni differenziali per determinare i parametri di affidabilità di IS?

4. Il valore di quali indicatori di affidabilità possono essere ottenuti utilizzando il metodo Markov?

5. Elencare le fasi principali della costruzione di un modello di Markov per l'affidabilità di un sistema complesso.

6. Qual è una condizione necessaria per risolvere sistemi di equazioni differenziali?

7. Come vengono determinati gli stati degli elementi e dei dispositivi del CS?

8. Definire il concetto di sistemi recuperabili.

9. Cos'è una catena Markov?

10. Quali sistemi vengono valutati utilizzando i modelli di affidabilità di Markov?

Letteratura: 1, 2, 3, 10, 11.

Argomento: metodi approssimativi per calcolare l'affidabilità dell'hardware IS

1. Assunzioni di base e limiti nella valutazione dell'affidabilità di strutture serie-parallele.

2. Metodi approssimativi per il calcolo dell'affidabilità di circuiti integrati recuperabili, con inclusione seriale e parallela di sottosistemi di circuiti integrati.

3. Schemi strutturali per il calcolo dell'affidabilità dell'IS.

Parole chiave

Affidabilità, struttura serie-parallela, metodi approssimativi per il calcolo dell'affidabilità, diagramma a blocchi del calcolo dell'affidabilità, tasso di guasto, tasso di ripristino, fattore di disponibilità, tempo di ripristino, sistema informatico.

alimentazione tramite un albero dei guasti

Il metodo logico-probabilistico che utilizza un albero dei guasti è deduttivo (dal generale al particolare) e viene utilizzato nei casi in cui il numero di diversi guasti del sistema è relativamente piccolo. L'uso di un albero dei guasti per descrivere le cause di un guasto del sistema facilita il passaggio da una definizione generale di guasto a definizioni particolari di guasti e modalità di funzionamento dei suoi elementi, comprensibili agli sviluppatori specializzati sia del sistema stesso che degli elementi . Il passaggio da un albero dei guasti a una funzione di guasto logico apre possibilità di analisi delle cause del guasto del sistema su base formale. La funzione di guasto logico consente di ottenere formule per il calcolo analitico della frequenza e della probabilità di guasti del sistema in base alla frequenza nota e alle probabilità di guasti degli elementi. L'uso di espressioni analitiche nel calcolo degli indicatori di affidabilità dà motivo di applicare le formule della teoria dell'accuratezza per valutare l'errore quadratico medio dei risultati.

Il guasto dell'oggetto che funziona come un evento complesso è la somma dell'evento di guasto dell'operabilità e dell'evento , consistente nella comparsa di influenze esterne critiche. La condizione di guasto del sistema è formulata da specialisti nel campo dei sistemi specifici sulla base del progetto tecnico del sistema e dell'analisi del suo funzionamento in caso di vari eventi utilizzando dichiarazioni.

Le affermazioni possono essere finali, intermedie, primarie, semplici, complesse. Una proposizione semplice si riferisce a un evento o stato che non è considerato di per sé né la somma logica "OR" né il prodotto logico "AND" di altri eventi o stati. Una proposizione complessa, che è una disgiunzione di più proposizioni (semplici o complesse), è indicata dall'operatore "OR", che collega proposizioni di livello inferiore con proposizioni di livello superiore (Fig. 3.15, a). Una proposizione complessa, che è una congiunzione di più proposizioni (semplici o complesse), è indicata dall'operatore “AND”, che collega proposizioni di livello inferiore con proposizioni di livello superiore (Fig. 3.15, b).

Fig.3.15. Elementi di rappresentazione logica

È conveniente codificare le istruzioni in modo tale da poter essere giudicato dal codice se è semplice o complesso, a quale livello rispetto a quello finale si trova e di cosa si tratta (evento, stato, errore di operazione, tipo di elemento) .

Nella teoria dei grafi, un albero è un grafo connesso che non contiene contorni chiusi. Un albero dei guasti è un albero logico (Fig. 3.16), in cui gli archi rappresentano eventi di guasto a livello di sistema, sottosistemi o elementi, ei vertici sono operazioni logiche che collegano gli eventi di guasto originali e risultanti.

Riso. 3.16. Un esempio di costruzione di un albero delle faglie

La costruzione di un albero dei guasti inizia con la formulazione dell'affermazione finale sul guasto del sistema. Per caratterizzare l'affidabilità del sistema, l'affermazione finale è riferita ad un evento che, in determinate condizioni, determina un malfunzionamento nell'intervallo di tempo considerato. Lo stesso per le caratteristiche di prontezza.

Esempio 8. Costruiamo un albero dei guasti per il diagramma di rete mostrato nella Figura 3.17.

Fig.3.17. Diagramma di rete

Sottostazioni A e DA alimentato da una sottostazione MA. L'evento finale dell'albero dei guasti è il guasto dell'intero sistema. Questo fallimento è definito come l'evento che

1) o una sottostazione A o sottostazione DA perdere completamente il cibo;

2) potenza per alimentare il carico totale delle cabine A e DA deve essere trasmesso su un'unica linea.

Sulla base della definizione dell'evento finale e dello schema elettrico del sistema, costruiamo un albero dei guasti (a partire dall'evento finale) (Fig. 3.18). Lo scopo dell'analisi dell'albero dei guasti è determinare la probabilità di un evento finale. Poiché l'evento finale è un guasto del sistema, l'analisi fornisce la probabilità R(F).

Il metodo di analisi si basa sulla ricerca e il calcolo degli insiemi sezioni minime. sezione trasversale Viene chiamato un insieme di elementi, il cui fallimento totale porta al fallimento del sistema. La sezione minima è un tale insieme di elementi da cui non è possibile rimuovere un singolo elemento, altrimenti cessa di essere una sezione.

Scendendo di un livello dall'evento vertice (fine), passiamo attraverso il nodo "OR", che indica l'esistenza di tre sezioni: ( P}, {Q}, {R} (R,Q, R– eventi di guasto). Ognuna di queste sezioni può essere ulteriormente suddivisa in più sezioni, ma si può riscontrare che il guasto delle sezioni è causato da diversi eventi, a seconda del tipo di nodo logico che si incontra lungo il percorso.

Fig.3.18. L'albero dei guasti del sistema secondo lo schema di fig. 3.17:

– guasti di sottosistemi che possono essere ulteriormente analizzati;

Ad esempio, (Q) si trasforma prima in una sezione (3, T), poi T diviso in sezioni ( X, Y), di conseguenza, anziché una sezione (3, T) compaiono due: (3, X}, {3,In}.

In ciascuna delle fasi successive si individuano insiemi di sezioni:

Le sezioni minime sono le sezioni distinte (3,4,5), (2.3), (1.3), (1.2). La sezione (1,2,3) non è minima, poiché anche la (1,2) è una sezione. Nell'ultimo passaggio, gli insiemi di sezioni sono costituiti esclusivamente da elementi.

In alcuni casi, un oggetto o un sistema non può essere immaginato come costituito da connessioni seriali parallele. Ciò è particolarmente vero per i sistemi di informazione elettronica digitale, in cui vengono introdotti collegamenti di informazioni incrociate per migliorare l'affidabilità. Sulla fig. 9.17 mostra una parte della struttura del sistema con collegamenti incrociati (le frecce indicano le possibili direzioni di movimento delle informazioni nel sistema). Per valutare l'affidabilità di tali strutture, il metodo logico-probabilistico risulta efficace.

Riso. 9.17 Schema ponte per l'approvvigionamento di carburante;

1-2 - pompe, 3,4,5 - valvole

Riso. 9.18 Circuito a ponte del complesso di misura e calcolo;

1,2 - dispositivo di archiviazione; 3,4 - processori; 5 - un blocco che fornisce la trasmissione bidirezionale di dati digitali.

Nel metodo, si propone di descrivere lo stato operativo della struttura utilizzando l'apparato della logica matematica, seguito da un passaggio formale alla probabilità di funzionamento senza guasti del sistema o dispositivo valutato. In questo caso, tramite una variabile logica xj denota l'evento che il dato io-esimo elemento è operativo. Formalmente, lo stato di salute dell'intero sistema o oggetto è rappresentato da una funzione logica chiamata funzione di salute. Per trovare questa funzione, è necessario determinare, seguendo dall'input all'output della struttura del sistema, tutte le modalità di movimento delle informazioni e del corpo di lavoro corrispondenti allo stato operativo del sistema. Ad esempio, in fig. 9.17. ci sono quattro percorsi di questo tipo: percorso 1 - , percorso 2 - , percorso 3 - , percorso 4 - .

Conoscendo tutti i percorsi che corrispondono allo stato operabile della struttura, è possibile annotare la funzione di operabilità (X) nei simboli dell'algebra della logica in forma disgiuntiva-congiuntiva / Ad esempio, per fig. 9.17 è:

Utilizzando metodi noti di minimizzazione, la funzione logica della capacità lavorativa viene semplificata e da essa trasferita all'equazione della capacità lavorativa del sistema nei simboli dell'algebra ordinaria. Tale transizione viene eseguita formalmente utilizzando relazioni note (notazione logica a sinistra, notazione algebrica a destra):

La probabilità di operazione di non guasto di un oggetto (vedi Fig. 9.16, 9.17) è generalmente determinata dalla sostituzione formale nell'espressione algebrica della funzione di salute al posto di variabili, il valore delle probabilità di operazione di non guasto di ciascuna io-esimo elemento del sistema.

Esempio. È necessario trovare in termini generali la probabilità di un funzionamento senza guasti degli oggetti, la cui struttura è mostrata in Fig. 9.16 e 9.17. Nonostante le diverse basi degli elementi, gli elementi della struttura di questi oggetti sono identici dal punto di vista della logica formale. Per questo, per chiarezza, in Fig. 9.17 elementi U1, U2 - due pompe identiche ugualmente affidabili con probabilità di funzionamento senza guasti. Gli elementi U3, U4 sono due processori ugualmente affidabili con una probabilità di funzionamento senza guasti. L'elemento U5 è una valvola di commutazione che fornisce un'alimentazione a due vie del fluido di lavoro (ad esempio carburante) all'uscita dell'oggetto.

La struttura dell'oggetto in Fig. 9.17, dove gli elementi U1, U2 sono due dispositivi di memorizzazione (memoria) identici e ugualmente affidabili, con probabilità di funzionamento esente da guasti. Gli elementi U3, U4 sono due processori identici e ugualmente affidabili con una probabilità di funzionamento senza guasti. L'elemento U5 è un blocco che fornisce la trasmissione bidirezionale di dati digitali. La probabilità di funzionamento senza guasti di questa unità è .

Tenendo conto delle (9.36), (9.37), (9.38) possiamo effettuare un passaggio formale dalla notazione (9.35) alla notazione algebrica. Quindi, per trovare la funzione logica dell'operabilità dell'oggetto, le possibili modalità di passaggio dell'informazione (corpo di lavoro) dall'input all'output hanno la forma

METODI LOGICO-PROBABILITA' DI ANALISI DELL'AFFIDABILITA'

Qualsiasi metodo di analisi dell'affidabilità richiede una descrizione delle condizioni di prestazione del sistema. Tali condizioni possono essere formulate sulla base di:

Schema strutturale del funzionamento del sistema (schema di calcolo dell'affidabilità);

Descrizione verbale del funzionamento del sistema;

schemi grafici;

Funzioni dell'algebra della logica.

Il metodo logico-probabilistico dell'analisi dell'affidabilità consente di formalizzare la definizione e il significato di ipotesi favorevoli. L'essenza di questo metodo è la seguente.

Lo stato di ogni elemento è codificato da zero e uno:

Nelle funzioni dell'algebra della logica, gli stati degli elementi sono rappresentati nella forma seguente:

X io- buono stato dell'elemento, corrispondente al codice 1;

Lo stato di errore dell'elemento, corrispondente al codice 0.

La condizione di operabilità del sistema viene scritta con l'ausilio di funzioni di algebra logica attraverso l'operabilità (stato) dei suoi elementi. La funzione di integrità del sistema risultante è una funzione binaria di argomenti binari.

Il FAL risultante viene trasformato in modo tale da contenere termini corrispondenti ad ipotesi favorevoli al corretto funzionamento del sistema.

In FAL invece di variabili binarie x io e le probabilità sono sostituite, rispettivamente, per un funzionamento esente da guasti p io e probabilità di fallimento q io . I segni di congiunzione e disgiunzione sono sostituiti da moltiplicazioni e addizioni algebriche.

L'espressione risultante è la probabilità di funzionamento senza guasti del sistema Pc(t).

Considera il metodo logico-probabilistico con esempi.

ESEMPIO 5.10. Lo schema a blocchi del sistema è la connessione principale (seriale) degli elementi (Fig. 5.14).

Sul diagramma a blocchi x io, io = 1, 2,..., P- condizione io-esimo elemento del sistema, codificato 0 se l'elemento è in uno stato di errore e 1 se è riparabile. In questo caso, il sistema è operativo se tutti i suoi elementi sono operativi. Allora FAL è una congiunzione di variabili logiche, cioè y \u003d x 1, x 2, ... .., x p, che è una perfetta forma disgiuntiva normale del sistema.

Sostituendo al posto delle variabili logiche le probabilità di buoni stati degli elementi e, sostituendo la congiunzione con la moltiplicazione algebrica, otteniamo:

ESEMPIO 5.11. Lo schema a blocchi del sistema è un sistema duplicato con sottosistemi non equivalenti, accesi permanentemente (Fig. 5.15).

Sulla fig. 5.15 x 1 e x 2- stati degli elementi del sistema. Facciamo una tavola di verità di due variabili binarie (Tabella 5.2).

Nella tabella 0 è lo stato di guasto dell'elemento, 1 è lo stato buono dell'elemento. In questo caso, il sistema è operativo se entrambi gli elementi (1,1) o uno di essi ((0,1) o (1,0)) sono operativi. Quindi lo stato operativo del sistema è descritto dalla seguente funzione di algebra logica:

Questa funzione è una forma normale disgiuntiva perfetta. Sostituendo le operazioni di disgiunzione e congiunzione con le operazioni algebriche di moltiplicazione e addizione, e le variabili logiche con le corrispondenti probabilità dello stato degli elementi, si ottiene la probabilità dell'operazione fail-safe del sistema:

ESEMPIO 5.12. Lo schema a blocchi del sistema ha la forma mostrata in fig. 5.16.

Facciamo una tavola di verità (Tabella 53).

In questo esempio, il sistema è operativo se tutti i suoi elementi sono operativi o se l'elemento è operativo x io e uno degli elementi della coppia duplicata (x 2, x 3). Sulla base della tabella di verità, l'SDNF sarà simile a:

Sostituendo le corrispondenti probabilità invece di variabili binarie e moltiplicazioni e addizioni algebriche invece di congiunzioni e disgiunzioni, otteniamo la probabilità dell'operazione fail-safe del sistema:

La funzione dell'algebra della logica può essere rappresentata in forma minima utilizzando le seguenti trasformazioni:

Le operazioni di assorbimento e incollaggio non sono applicabili in algebra. A questo proposito, è impossibile minimizzare il FAL ottenuto, e quindi sostituire i valori delle probabilità al posto delle variabili logiche. Le probabilità degli stati degli elementi dovrebbero essere sostituite nell'SDNF e semplificate secondo le regole dell'algebra.

Lo svantaggio del metodo descritto è la necessità di compilare una tabella di verità, che richiede l'enumerazione di tutti gli stati operabili del sistema.

5.3.2. Metodo dei percorsi più brevi e dei tratti minimi

Questo metodo è stato discusso in precedenza. nella sezione 5.2.3. Dichiariamolo dal punto di vista dell'algebra della logica.

La funzione di operabilità può essere descritta con l'aiuto dei percorsi più brevi del funzionamento a piedi del sistema e delle sezioni minime del suo guasto.

Il percorso più breve è la congiunzione minima di lavorabile:stazioni di elementi che formano un sistema praticabile.

La sezione minima è la congiunzione minima degli stati inoperativi degli elementi che costituiscono lo stato inoperativo del sistema.

ESEMPIO 5.13.È necessario formare la funzione di operabilità del sistema, il cui schema a blocchi è mostrato in fig. 5.17 utilizzando il metodo dei percorsi minimi e dei tratti minimi.

Soluzione. In questo caso, i percorsi più brevi che formano un sistema praticabile saranno: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Quindi la funzione di salute può essere scritta come la seguente funzione di algebra logica:

In accordo con questo FAL, lo schema a blocchi del sistema di Fig. 5.17 può essere rappresentato dallo schema a blocchi di fig. 5.18.

Le sezioni minime che formano un sistema inoperabile saranno: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Quindi la funzione di inoperabilità può essere scritta come la seguente funzione di algebra logica:

In accordo con questo FAL, lo schema a blocchi del sistema sarà presentato nella forma mostrata in Fig. 5.19.

Si tenga presente che gli schemi a blocchi di Fig. 5.18 e fig. 5.19 non sono schemi di calcolo dell'affidabilità e le espressioni per il FAL degli stati operabile e inoperabile non sono espressioni per determinare la probabilità di funzionamento senza guasti e la probabilità di guasto:

I principali vantaggi della FAL sono che consentono di ottenere formalmente, senza compilare una tavola di verità, PDNF e CKNF (perfect conjunctive normal form), che consentono di ottenere la probabilità di funzionamento esente da guasti (probabilità di guasto) di il sistema sostituendo nella FAL al posto delle variabili logiche i corrispondenti valori delle probabilità di lavoro esente da guasti, sostituendo le operazioni di congiunzione e disgiunzione con le operazioni algebriche di moltiplicazione e addizione.

Per ottenere SDNF è necessario moltiplicare ogni termine disgiuntivo della FAL per, dove x io- l'argomento mancante ed espandere le parentesi. La risposta è SDNF. Consideriamo questo metodo con un esempio.

ESEMPIO 5.14.È necessario determinare la probabilità di un funzionamento senza guasti del sistema, il cui schema a blocchi è mostrato in Fig. 5.17. Le probabilità di funzionamento senza guasti degli elementi sono uguali a p 1, p 2, p 3, pag 4, r 5 .

Soluzione. Usiamo il metodo del percorso più breve. La funzione di algebra logica ottenuta con il metodo del cammino minimo ha la forma:

Otteniamo l'SDNF del sistema. Per fare ciò, moltiplichiamo i termini disgiuntivi per quelli mancanti:

Espandendo le parentesi ed eseguendo trasformazioni secondo le regole dell'algebra della logica, otteniamo SDNF:

Sostituendo in SDNF invece di x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5 probabilità di operatività p 1, p 2, p 3, pag 4, p 5 e usando i rapporti q io = 1–p io, otteniamo la seguente espressione per la probabilità di funzionamento senza guasti del sistema.

Dall'esempio sopra, si può vedere che il metodo dei cammini minimi ci ha liberato dalla definizione di ipotesi favorevoli. Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando il metodo delle sezioni minime.

5.3.3. Algoritmo di affettatura

L'algoritmo di taglio permette di ottenere un FAL, sostituendo in cui, al posto delle variabili logiche, la probabilità di funzionamento senza guasti (probabilità di guasto) degli elementi, si può trovare la probabilità di funzionamento senza guasti del sistema. Non è necessario ottenere un CDNF per questo scopo.

L'algoritmo di slicing si basa sul seguente teorema di algebra logica: la funzione di algebra logica y(x b x 2 ,...,x n) può essere presentato nella seguente forma:

Mostriamo l'applicabilità di questo teorema su tre esempi:

Applicando la seconda legge distributiva dell'algebra della logica, otteniamo:

ESEMPIO 5.15. Determinare la probabilità di un funzionamento senza guasti del sistema, il cui schema a blocchi è mostrato in fig. 5.16 utilizzando l'algoritmo di slicing.

Soluzione. Utilizzando il metodo del percorso più breve, otteniamo il seguente FAL:

Applichiamo l'algoritmo di taglio:

Sostituendo ora al posto delle variabili logiche le probabilità e sostituendo le operazioni di congiunzione e disgiunzione con moltiplicazione e addizione algebrica, otteniamo:

ESEMPIO 5.16. Determinare la probabilità di un funzionamento senza guasti del sistema, il cui schema a blocchi è mostrato in fig. 5.17. Usa l'algoritmo di taglio.

Soluzione. La funzione di algebra logica ottenuta con il metodo delle sezioni minime ha la forma:

Implementiamo l'algoritmo di taglio rispetto a X 5:

Semplifichiamo l'espressione risultante usando le regole dell'algebra della logica. Semplifichiamo l'espressione tra le prime parentesi usando la regola del bracketing:

Quindi FAL sarà simile a:

Questa espressione corrisponde allo schema a blocchi di Fig. 5.20.

Lo schema risultante è anche uno schema di calcolo dell'affidabilità, se le variabili logiche sono sostituite dalle probabilità di funzionamento senza guasti p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, e la variabile è la probabilità di fallimento q 5 . Dalla fig. 5.20 si può notare che lo schema a blocchi del sistema è ridotto ad un circuito serie-parallelo. La probabilità di un funzionamento senza guasti è calcolata dalla seguente formula:

La formula non ha bisogno di essere spiegata, è scritta direttamente secondo lo schema a blocchi.

5.3.4. Algoritmo di ortogonalizzazione

L'algoritmo di ortogonalizzazione, come l'algoritmo di taglio, consente alle procedure formali di formare una funzione dell'algebra della logica, sostituendo in quali probabilità invece di variabili logiche e addizioni e moltiplicazioni algebriche invece di disgiunzioni e congiunzioni, per ottenere la probabilità di funzionamento del sistema. L'algoritmo si basa sulla trasformazione di funzioni di algebra logica in forma normale disgiuntiva ortogonale (ODNF), che è molto più breve di SDNF. Prima di descrivere la metodologia, formuliamo una serie di definizioni e forniamo esempi.

Due congiunzioni chiamato ortogonale, se il loro prodotto è identicamente zero. Forma normale disgiuntiva chiamato ortogonale, se tutti i suoi termini sono ortogonali a coppie. SDNF è ortogonale, ma la più lunga di tutte le funzioni ortogonali.

Il DNF ortogonale può essere ottenuto utilizzando le seguenti formule:

Queste formule sono facili da dimostrare utilizzando la seconda legge distributiva dell'algebra della logica e il teorema di De Morgan. L'algoritmo per ottenere una forma normale disgiuntiva ortogonale è la seguente procedura di trasformazione di funzione y(x 1, x 2,..., x n) in ODNF:

Funzione y(x 1, x 2,..., x n) convertito in DNF utilizzando il metodo dei percorsi più brevi o delle sezioni minime;

La forma normale disgiuntiva ortogonale si trova usando le formule (5.10) e (5.11);

La funzione viene minimizzata eguagliando a zero i termini ortogonali dell'ODNF;

Le variabili booleane sono sostituite dalle probabilità di funzionamento senza guasti (probabilità di guasto) degli elementi del sistema;

La soluzione finale si ottiene semplificando l'espressione ottenuta nel passaggio precedente.

Consideriamo la tecnica con un esempio.

ESEMPIO 5.17. Determinare la probabilità di un funzionamento senza guasti del sistema, il cui schema a blocchi è mostrato in fig. 5.17. Applicare il metodo di ortogonalizzazione.

Soluzione. In questo caso, il funzionamento del sistema è descritto dalla seguente funzione di algebra logica (metodo delle sezioni minime):

Denota K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 \u003d x 3 x 5 x 2. Quindi ODNF sarà scritto nella seguente forma:

I valori , io= 1,2,3, in base alla formula (5.10) avrà la forma:

Sostituendo queste espressioni nella (5.12), otteniamo:

Sostituendo le variabili logiche in questa espressione con le corrispondenti probabilità ed eseguendo le operazioni algebriche di addizione e moltiplicazione, otteniamo la probabilità dell'operazione fail-safe del sistema:

La risposta è la stessa dell'Esempio 5.14.

L'esempio mostra che l'algoritmo di ortogonalizzazione è più produttivo dei metodi discussi in precedenza. Più in dettaglio, i metodi logico-probabilistici di analisi dell'affidabilità sono descritti in. Il metodo logico-probabilistico, come ogni altro, ha i suoi vantaggi e svantaggi. I suoi pregi sono stati menzionati prima. Segnaliamo i suoi difetti.

I dati iniziali nel metodo logico-probabilistico sono le probabilità di funzionamento esente da guasti degli elementi dello schema strutturale del sistema. Tuttavia, in molti casi questi dati non possono essere ottenuti. E non perché l'affidabilità degli elementi sia sconosciuta, ma perché il tempo di funzionamento dell'elemento è una variabile casuale. Ciò avviene in caso di ridondanza per sostituzione, presenza di postumi di guasto, non contemporaneità di funzionamento degli elementi, presenza di ripristino con diversa disciplina di servizio, ed in molti altri casi.

Facciamo esempi che illustrino queste carenze. Lo schema a blocchi del sistema ha la forma mostrata in fig. 5.21, ove sono accettate le seguenti designazioni: x io- variabili logiche con valori 0 e 1, corrispondenti al guasto e al corretto funzionamento dell'elemento, x io = 1, 2, 3.

In questo caso la variabile logica ds 3 è 0 fino al tempo τ di guasto dell'elemento principale e 1 durante il tempo (t-τ), dove t- il tempo durante il quale viene determinata la probabilità di funzionamento senza guasti del sistema. Volta τ è un valore casuale, quindi il valore р(τ) sconosciuto. In questo caso, è impossibile compilare un FAL, e ancor di più un SDNF. Nessuno dei metodi logico-probabilistici che abbiamo considerato ci permette di trovare la probabilità del funzionamento fail-safe del sistema.

Ecco un altro tipico esempio. Il sistema di alimentazione è costituito da un regolatore di tensione R n e due generatori paralleli G 1 e G 2 . Lo schema a blocchi del sistema è mostrato in fig. 5.22.

Se uno dei generatori si guasta, il generatore riparabile rimanente funziona con un carico comune. Il suo tasso di fallimento è in aumento. Se prima del momento τ di guasto di uno dei generatori, l'intensità del suo guasto era pari a λ , quindi dopo il rifiuto λ1 > λ2. Dal momento τ è casuale, quindi Р(τ) sconosciuto. Qui, come nel caso della ridondanza per sostituzione, i metodi logico-probabilistici sono impotenti. Pertanto, queste carenze dei metodi logico-probabilistici riducono la loro applicazione pratica nel calcolo dell'affidabilità di sistemi complessi.

5.4. Metodi topologici di analisi dell'affidabilità

Chiameremo metodi topologici che consentono di determinare gli indicatori di affidabilità sia dal grafico di stato che dal diagramma strutturale del sistema, senza compilare o risolvere equazioni. Numerosi lavori sono dedicati ai metodi topologici, che descrivono vari modi della loro attuazione pratica. Questa sezione delinea i metodi per determinare gli indicatori di affidabilità dal grafico di stato.

I metodi topologici consentono di calcolare i seguenti indicatori di affidabilità:

- P(t)- probabilità di mancato funzionamento durante, tempo t;

- T1, - tempo medio di non guasto dell'operazione;

- Kg (t)- funzione di prontezza (probabilità che il sistema sia operativo in qualsiasi momento arbitrario t);

- Kg= - fattore di prontezza;

T- tempo tra i guasti del sistema ripristinato.

I metodi topologici hanno le seguenti caratteristiche:

Semplicità degli algoritmi computazionali;

Elevata chiarezza delle procedure per la determinazione delle caratteristiche quantitative di affidabilità;

Possibilità di preventivi approssimativi;

Nessun vincolo sul tipo di schema a blocchi (impianti, recuperabili e irrecuperabili, non ridondanti e ridondanti con qualsiasi tipo di ridondanza e qualsiasi molteplicità).

Questo capitolo discuterà i limiti dei metodi topologici:

I tassi di guasto e ripristino degli elementi di un sistema complesso sono valori costanti”;

Gli indicatori temporali di affidabilità, come la probabilità di funzionamento senza guasti e la funzione di disponibilità, sono determinati nelle trasformate di Laplace;

Difficoltà, in alcuni casi insormontabili, nell'analisi dell'affidabilità di sistemi complessi descritti da un grafo di stati multiconnessi.

L'idea dei metodi topologici è la seguente.

Il grafico di stato è uno dei modi per descrivere il funzionamento del sistema. Determina il tipo di equazioni differenziali e il loro numero. Le intensità delle transizioni, che caratterizzano l'affidabilità degli elementi e la loro recuperabilità, determinano i coefficienti delle equazioni differenziali. Le condizioni iniziali vengono scelte codificando i nodi del grafo.

Il grafico di stato contiene tutte le informazioni sull'affidabilità del sistema. Ed è questa la ragione per ritenere che gli indicatori di affidabilità possano essere calcolati direttamente dal grafico di stato.

5.4.1. Determinazione delle probabilità degli stati del sistema

Probabilità di trovare il sistema recuperabile in uno stato io in un momento fisso t nella trasformata di Laplace può essere scritta nella forma seguente:

dove ∆(i)- il principale determinante del sistema di equazioni differenziali scritto nelle trasformazioni di Laplace; Δi(i)è un determinante privato del sistema.

Si può vedere dall'espressione (5.13) che Pi(i) sarà determinato se i gradi vengono trovati dal grafico di stato tipo di polinomi del numeratore e denominatore, nonché i coefficienti Bij (j = 0,1,2,..., m) e un io(io = 0,1, 2,..., n-1).

Consideriamo innanzitutto il metodo di determinazione Pi(i) il grafo di stato di soli tali sistemi, nel grafo di stato di cui non ci sono transizioni attraverso gli stati. Questi includono tutti i sistemi non ridondanti, sistemi ridondanti con ridondanza generale con molteplicità intera e frazionaria, sistemi ridondanti di qualsiasi struttura con manutenzione dei dispositivi guasti nell'ordine inverso rispetto alla loro ricezione per la riparazione. Questa classe di sistemi comprende anche alcuni sistemi ridondanti con dispositivi ugualmente affidabili con discipline diverse per la loro manutenzione.

Il funzionamento del sistema è descritto da equazioni differenziali, il cui numero è uguale al numero di nodi del grafico. Ciò significa che il principale determinante del sistema ∆(i) in generale sarà un polinomio n th grado, dove nè il numero di nodi del grafico di stato. È facile dimostrare che il polinomio denominatore non contiene un'intercetta. Infatti, poiché quindi il denominatore della funzione Pi(i) deve contenere S come fattore, altrimenti la probabilità finale Pi (∞) sarà uguale a zero. L'eccezione è quando il numero di riparazioni è limitato.

Grado del polinomio numeratore∆ io trovato dall'espressione:

m io \u003d n - 1 - l io,

dove n- numero di nodi del grafo di stato; io- il numero di transizioni dallo stato iniziale del sistema, determinato dalle condizioni iniziali del suo funzionamento, allo stato io lungo il percorso più breve.

Se lo stato iniziale del sistema è lo stato in cui tutti i dispositivi sono operativi, allora io- numero a livello statale io, cioè. ioè uguale al numero minimo di dispositivi di sistema guasti nello stato io. Quindi, il grado del polinomio numeratore di probabilità P io (s) permanenza del sistema in io-esimo stato dipende dal numero di stato io e dalle condizioni iniziali. Dal numero di transizioni io forse 0,1,2,..., n-1, quindi il grado del polinomioΔi(i) in base alla (5.14) possono anche assumere i valori io = 0,1,2,..., n-1.

Lezione 9

Argomento: Valutazione dell'affidabilità con il metodo dei percorsi e delle sezioni. Metodi logico-probabilistici per l'analisi di sistemi complessi

Piano

1. Il metodo dei percorsi minimi e delle sezioni per il calcolo degli indicatori di affidabilità di sistemi a struttura ramificata.

2. Definizioni di base e concetti di metodi logico-probabilistici di analisi e valutazione dell'affidabilità IS.

3. L'essenza del metodo del percorso più breve per un'operazione di successo e la sezione minima dei fallimenti.

4. Calcolo della funzione sanitaria e della funzione di guasto per la struttura del ponte.

5. Campi di applicazione di questi metodi. Modellazione statistica per valutare l'affidabilità di IS.

Parole chiave

Indicatori di affidabilità, struttura del circuito integrato ramificato, percorso minimo, sezione d'urto, metodo logico-probabilistico, circuito del ponte, funzione di salute, percorso più breve per un funzionamento corretto, sezione d'urto minima di guasto, probabilità di funzionamento senza guasti, funzione di algebra logica, diagramma strutturale dell'affidabilità calcolo.

Esistono strutture e metodi per organizzare l'IS quando avviene la ridondanza, ma non può essere rappresentata dallo schema di inclusione seriale e parallela di elementi o sottosistemi. Per analizzare l'affidabilità di tali strutture, viene utilizzato il metodo dei percorsi e delle sezioni minimi, che si riferisce a metodi approssimativi e consente di determinare le stime di confine dell'affidabilità dall'alto e dal basso.

Un percorso in una struttura complessa è una sequenza di elementi che garantiscono il funzionamento (operabilità) del sistema.

Una sezione è un insieme di elementi i cui errori portano a un errore del sistema.

La probabilità di funzionamento senza guasti di circuiti paralleli collegati in serie fornisce la stima superiore per l'FBG di un sistema di questa struttura. La probabilità di funzionamento senza guasti di circuiti seriali collegati in parallelo di elementi di percorso fornisce una stima inferiore per l'FBG di un sistema di questa struttura. Il valore effettivo dell'indicatore di affidabilità è compreso tra i limiti superiore e inferiore.

Si consideri un circuito a ponte per collegare gli elementi di un sistema composto da cinque elementi (Fig. 1).

Riso. 1. Circuito a ponte per elementi di collegamento (sottosistema)

Qui, un insieme di elementi forma un percorso minimo se l'esclusione di qualsiasi elemento dall'insieme provoca il fallimento del percorso. Ne consegue che entro i limiti di un percorso, gli elementi sono nella connessione principale e i percorsi stessi sono collegati in parallelo. Insieme di percorsi minimi per il bridging presentata in fig. 2. I percorsi formano l'elemento 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.

Riso. 2. Un insieme di percorsi minimi.

Per tutti gli elementi del circuito sono noti FBG R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 e le relative probabilità di fallimento di tipo "aperto".Q 1 ora Q 5 , è necessario determinare la probabilità della presenza di una catena tra punti un e in. Poiché lo stesso elemento è incluso in due percorsi paralleli, il risultato del calcolo è una stima di affidabilità superiore.

R in = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-R 1 R 3)(1-R 2 R 4)(1-R 1 R 5 R 4)(1-R 2 R 5 R 3)

Quando si determinano le sezioni minime, viene eseguita la selezione del numero minimo di elementi, il cui trasferimento da uno stato operativo a uno non funzionante provoca un guasto del sistema.

Con la corretta selezione degli elementi della sezione, il ritorno di uno qualsiasi degli elementi allo stato di funzionamento ripristina lo stato di funzionamento del sistema.

Poiché il guasto di ciascuna delle sezioni provoca un guasto del sistema, le prime sono collegate in serie. Nei limiti di ciascuna sezione, gli elementi sono collegati in parallelo, poiché per il funzionamento del sistema è sufficiente avere uno stato operativo di uno qualsiasi degli elementi della sezione.

Lo schema delle sezioni minime per il circuito del ponte è mostrato in fig. 3. Poiché lo stesso elemento è incluso in due sezioni, la stima risultante è una stima inferiore.

Pn = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )

Riso. 3. Insieme di sezioni minime

Probabilità di uptime del sistema Rs viene quindi stimato dalla doppia disuguaglianza

R n ≤R con ≤R in

Pertanto, questo metodo consente di rappresentare un sistema con una struttura arbitraria sotto forma di circuiti paralleli e in serie. (Quando si compilano percorsi e sezioni minimi, qualsiasi sistema viene trasformato in una struttura con una connessione di elementi parallelo-seriale o serie-parallelo). Il metodo è semplice, ma richiede la definizione precisa di tutti i percorsi e delle sezioni. È stato ampiamente utilizzato nel calcolo dell'affidabilità dei sottosistemi APCS, in particolare in relazione ai sistemi di protezione e controllo logico. Viene utilizzato nei sistemi di controllo della potenza del reattore, prevedendo la possibilità di passare da un circuito di controllo difettoso a un altro, che si trova in uno stato di attesa.

Metodi logici e probabilistici per l'analisi dell'affidabilità dei sistemi

Il sistema può trovarsi solo in due stati: in uno stato di piena operatività ( a= 1) e in stato di completo fallimento ( a= 0). Si presume che l'azione del sistema dipenda deterministicamente dall'azione dei suoi elementi, ad es. aè una funzione X 1 , X 2 , … , x io, … , x n. Gli articoli possono essere anche solo in due stati incompatibili: piena operatività (x io = 1) e fallimento completo (x io = 0).

Una funzione dell'algebra della logica che mette in relazione lo stato degli elementi con lo stato del sistema a (X 1 , X 2 ,…, x n) sono chiamati funzione sanitaria sistemiF(y) = 1.

Per valutare gli stati operativi del sistema vengono utilizzati due concetti:

dove io- appartiene a più numeri corrispondente a questo
l-a modo mio.

dove indica l'insieme di numeri corrispondenti alla sezione data.

In altre parole, l'MCO del sistema descrive uno dei possibili modi per interrompere l'operabilità del sistema utilizzando l'insieme minimo di elementi guasti.

Ogni sistema ridondante ha un numero finito di cammini minimi (l= 1, 2,…, m ) e sezioni minime (j= 1, 2,…, m).

Utilizzando questi concetti, possiamo annotare le condizioni per il funzionamento del sistema.

1) sotto forma di una disgiunzione di tutti i percorsi più brevi disponibili per il buon funzionamento.

;

2) sotto forma di una congiunzione di negazioni di tutti gli MCO

;

Ad esempio, per la struttura del bridge dell'IC, la funzione di integrità del sistema che utilizza il KPUF verrà scritta come segue:

;

la funzione di operabilità del sistema stesso attraverso l'MCO può essere scritta nella forma seguente:

La probabilità di funzionamento senza guasti del sistema può essere calcolata dalla formula (attraverso una funzione probabilistica della forma):

Per l'affidabilità di un sistema informatico con una struttura di ridondanza complessa, può essere utilizzato un metodo di modellizzazione statistica.

L'idea del metodo è quella di generare variabili booleanex io c data probabilità pi occorrenza di un'unità, che vengono sostituite nella funzione strutturale logica del sistema simulato in una forma arbitraria, e quindi viene calcolato il risultato.

Aggregato X 1 , X 2 ,…, X neventi casuali indipendenti che formano un gruppo completo è caratterizzato dalle probabilità di accadimento di ciascuno degli eventip(x io), e .

Per simulare questo insieme di eventi casuali, viene utilizzato un generatore di numeri casuali, distribuito uniformemente nell'intervallo

Significato pi è scelto uguale alla probabilità di funzionamento senza guastiioesimo sottosistema. In questo caso, il processo di calcolo viene ripetutoN 0 volte con nuovi valori di argomenti casuali indipendentix io(questo conta il numeroN(t) singoli valori della funzione strutturale logica). AtteggiamentoN(t)/ N 0 è una stima statistica della probabilità di uptime

dove N(t) - il numero di lavori impeccabili fino a quel momentotoggetti, con il loro numero originale.

Generazione di variabili booleane casualix iocon una data probabilità di occorrenza di uno R ioviene effettuato sulla base di variabili casuali distribuite uniformemente nell'intervallo, ottenute utilizzando programmi standard inclusi nei software di tutti i moderni computer.

Controllare le domande e le attività

1. Qual è il metodo per valutare l'affidabilità di IS, dove è definita la probabilità di funzionamento senza guasti del sistema R n ≤R con ≤R in.

2. Per calcolare l'affidabilità di quali sistemi viene utilizzato il metodo dei percorsi e delle sezioni?

3. Quale metodo può essere utilizzato per valutare l'affidabilità dei dispositivi di tipo bridge?

4. Quali metodi sono noti per determinare gli indicatori di affidabilità dei sistemi recuperabili?

5. Rappresentare strutturalmente un circuito a ponte come un insieme di percorsi e sezioni minimi.

6. Definire il percorso minimo e la sezione minima.

7. Scrivere una funzione di salute per un dispositivo ramificato?

8. Che cos'è una funzione di prestazione?

9. Qual è il percorso più breve per un'operazione riuscita (KPUF). Annotare le condizioni di lavoro sotto forma di KPUF.

10. Dove viene utilizzato il metodo logico-probabilistico di valutazione dell'affidabilità?

Letteratura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.