L'insieme tecnologico generale di un elemento di produzione può essere. Descrizione della produzione utilizzando un set tecnologico

2. Insiemi di produzione e funzioni di produzione

2.1. Insiemi di produzione e loro proprietà

Consideriamo il partecipante più importante nei processi economici: un singolo produttore. Il produttore realizza i suoi obiettivi solo attraverso il consumatore e quindi deve indovinare, capire cosa vuole e soddisfare i suoi bisogni. Assumeremo che ci siano n beni diversi, la quantità dell'ennesimo prodotto sia indicata con x n, quindi un certo insieme di beni sia indicato con X = (x 1, ..., x n). Considereremo solo quantità non negative di beni, in modo che x i  0 per ogni i = 1, ..., n o X > 0. L'insieme di tutti gli insiemi di beni è chiamato spazio dei beni C. Un insieme di i beni possono essere trattati come un paniere in cui questi beni giacciono in quantità adeguate.

Supponiamo che l’economia operi nello spazio dei beni C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0). Lo spazio del prodotto è costituito da vettori n-dimensionali non negativi. Consideriamo ora un vettore T di dimensione n, le cui prime m componenti non sono positive: x 1, …, x m  0, e le ultime (n-m) componenti sono non negative: x m +1, …, x n  0. Vettore X = (x 1,…, x m ) chiamiamo vettore dei costi, e il vettore Y = (x m+1 , …, x n) – vettore di rilascio. Chiamiamo il vettore T = (X,Y) vettore input-output o tecnologia.

Nel suo significato, la tecnologia (X,Y) è un modo di trasformare le risorse in prodotti finiti: “mescolando” risorse nella quantità di X, otteniamo prodotti nella quantità di Y. Ogni produttore specifico è caratterizzato da un certo insieme τ delle tecnologie, che si chiama insieme di produzione. Un tipico insieme ombreggiato è mostrato in Fig. 2.1. Questo produttore utilizza un prodotto per produrne un altro.

Riso. 2.1. Insieme di produzione

Il set di produzione riflette l'ampiezza delle capacità del produttore: più è grande, più ampie sono le sue capacità. Il set di produzione deve soddisfare le seguenti condizioni:

è chiuso - ciò significa che se il vettore ingresso-uscita T è approssimato con la precisione desiderata dai vettori di τ, allora anche T appartiene a τ (se tutti i punti del vettore T giacciono in τ, allora Tτ vedi Fig. 2.1 punti C e B) ;

in τ(-τ) = (0), cioè se Tτ, T ≠ 0, allora -Tτ – costi e produzione non possono essere scambiati, cioè la produzione è un processo irreversibile (set – τ è nel quarto quadrante , dove y è 0);

l'insieme è convesso, questa ipotesi porta ad una diminuzione del rendimento delle risorse trasformate con un aumento dei volumi di produzione (ad un aumento del tasso di spesa per i prodotti finiti). Quindi, dalla Fig. 2.1 è chiaro che y/x  diminuisce per x  -. In particolare, l’ipotesi di convessità porta ad una diminuzione della produttività del lavoro all’aumentare della produzione.

Spesso la convessità semplicemente non è sufficiente e quindi è necessaria una rigorosa convessità dell'insieme di produzione (o di parte di esso).

2.2. Curva delle possibilità produttive

e costi opportunità

Il concetto di produzione in esame è caratterizzato da un elevato grado di astrazione e, a causa della sua estrema generalità, è di scarsa utilità per la teoria economica.

Consideriamo, ad esempio, la Fig. 2.1. Cominciamo dai punti B e C. I costi per queste tecnologie sono gli stessi, ma il risultato è diverso. Il produttore, se non è privo di buon senso, non sceglierà mai la tecnologia B, poiché esiste una tecnologia C migliore. In questo caso (vedi Fig. 2.1), troviamo per ogni x  0 il punto più alto (x, y ) nel set di produzione . Ovviamente, al costo x, la tecnologia (x, y) è la migliore. Nessuna tecnologia (x, b) con funzione di produzione b. La definizione esatta della funzione di produzione:

Y = f(x)(x, y) τ, e se (x, b)  τ e b  y, allora b = x .

Dalla fig. 2.1 è chiaro che per ogni x  0 tale punto y = f(x) è unico, il che, di fatto, ci permette di parlare di una funzione di produzione. Ma la situazione è così semplice se viene prodotto un solo prodotto. Nel caso generale, per il vettore di costo X indichiamo l'insieme M x = (Y:(X,Y)τ). Imposta M x – è l’insieme di tutti i possibili output ai costi X. In questo insieme, consideriamo la “curva” delle possibilità produttive K x = (YM x: se ZM x e Z  Y, allora Z = X), cioè K x – queste sono molte delle migliori versioni, non ce n'è di migliori. Se vengono prodotti due beni, allora questa è una curva, ma se vengono prodotti più di due beni, allora questa è una superficie, un corpo o un insieme di dimensioni ancora maggiori.

Quindi, per qualsiasi vettore di costo X, tutti i risultati migliori si trovano sulla curva delle possibilità produttive (superficie). Pertanto, per ragioni economiche, il produttore deve scegliere la tecnologia da lì. Per il caso del rilascio di due beni y 1, y 2, l'immagine è mostrata in Fig. 2.2.

Se operiamo solo con indicatori fisici (tonnellate, metri, ecc.), allora per un dato vettore di costo X dobbiamo solo scegliere il vettore di output Y sulla curva delle possibilità produttive, ma non è ancora possibile decidere quale output specifico dovrebbe essere scelto. Se l'insieme di produzione τ stesso è convesso, allora anche M x lo è per qualsiasi vettore di costo X. In quanto segue, avremo bisogno di una convessità rigorosa dell'insieme M x. Nel caso della produzione di due beni, ciò significa che la tangente alla curva delle possibilità produttive K x ha solo un punto in comune con questa curva.

Riso. 2.2. Curva delle possibilità produttive

Consideriamo ora la questione del cosiddetto costi opportunità. Supponiamo che l'output sia fissato nel punto A(y 1 , y 2), vedere Fig. 2.2. Ora è necessario aumentare la produzione del 2° prodotto di y 2, utilizzando, ovviamente, lo stesso insieme di costi. Ciò può essere fatto, come si può vedere dalla Fig. 2.2, trasferendo la tecnologia al punto B, per cui, con un aumento dell’output del secondo prodotto di y 2, sarà necessario ridurre l’output del primo prodotto di y 1.

Imputatocostiil primo prodotto in relazione al secondo in quel punto UN chiamato
. Se la curva delle possibilità produttive è data dall’equazione implicita F(y 1 ,y 2) = 0, allora δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), dove la le derivate parziali vengono prese nel punto A. Se osservate attentamente la figura in questione, troverete uno schema interessante: quando si scende lungo la curva delle possibilità produttive da sinistra, i costi opportunità diminuiscono da valori molto grandi a valori molto piccoli .

2.3. Funzioni di produzione e loro proprietà

Una funzione di produzione è una relazione analitica che collega valori variabili di costi (fattori, risorse) con la quantità di output. Storicamente, uno dei primi lavori sulla costruzione e sull'uso delle funzioni produttive è stato il lavoro sull'analisi della produzione agricola negli Stati Uniti. Nel 1909 Mitscherlich propose una funzione di produzione non lineare: fertilizzanti - resa. Indipendentemente, Spillman ha proposto un'equazione di rendimento esponenziale. Sulla base furono costruite numerose altre funzioni di produzione agrotecniche.

Le funzioni di produzione sono progettate per modellare il processo di produzione di una determinata unità economica: un'azienda separata, un'industria o l'intera economia dello stato nel suo complesso. Con l'aiuto delle funzioni di produzione vengono risolti i seguenti problemi:

valutare il ritorno delle risorse nel processo produttivo;

prevedere la crescita economica;

sviluppare opzioni per un piano di sviluppo della produzione;

ottimizzare il funzionamento di un'unità aziendale soggetta a determinati criteri e limitazioni di risorse.

Forma generale della funzione di produzione: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), dove Y è un indicatore che caratterizza i risultati della produzione; X – fattore indicatore della i-esima risorsa produttiva; n – numero di indicatori di fattore.

Le funzioni di produzione sono determinate da due gruppi di ipotesi: matematiche ed economiche. Matematicamente, ci si aspetta che la funzione di produzione sia continua e doppiamente differenziabile. Le ipotesi economiche sono le seguenti: in assenza di almeno una risorsa produttiva, la produzione è impossibile, ovvero Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.

Tuttavia, non è possibile determinare in modo soddisfacente l'unico output Y per dati costi X utilizzando indicatori naturali: la nostra scelta si è ristretta solo alla “curva” delle possibilità produttive K x . Per questi motivi è stata sviluppata solo la teoria delle funzioni di produzione dei produttori, la cui produzione può essere caratterizzata da un valore: il volume della produzione, se viene prodotto un prodotto, o il valore totale dell'intera produzione.

Lo spazio dei costi è m-dimensionale. Ogni punto nello spazio dei costi X = (x 1, ..., x m) corrisponde a un singolo output massimo (vedi Fig. 2.1) prodotto utilizzando questi costi. Questa relazione è chiamata funzione di produzione. Tuttavia, la funzione di produzione è solitamente intesa in modo meno restrittivo e qualsiasi relazione funzionale tra input e output è considerata una funzione di produzione. Nel seguito assumeremo che la funzione di produzione abbia le derivate necessarie. Si assume che la funzione di produzione f(X) soddisfi due assiomi. Il primo di questi afferma che esiste un sottoinsieme di spazio dei costi chiamato zona economica E, in cui un aumento di qualsiasi tipo di input non porta ad una diminuzione della produzione. Quindi, se X 1, X 2 sono due punti di questa regione, allora X 1  X 2 implica f(X 1)  f(X 2). In forma differenziale, ciò si esprime nel fatto che in questa regione tutte le derivate parziali prime della funzione sono non negative: f/x 1 ≥ 0 (per ogni funzione crescente la derivata è maggiore di zero). Questi derivati ​​sono chiamati prodotti marginali, e il vettore f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vettore dei prodotti marginali (mostra quante volte la produzione cambierà quando cambiano i costi).

Il secondo assioma afferma che esiste un sottoinsieme convesso S del dominio economico per il quale i sottoinsiemi (XS:f(X)  a) sono convessi per ogni a  0. In questo sottoinsieme S, la matrice Hessiana composta dal derivata seconda della funzione f(X) , è definita negativa, quindi,  2 f/x 2 i

Soffermiamoci sul contenuto economico di questi assiomi. Il primo assioma afferma che la funzione di produzione non è una funzione completamente astratta inventata da un teorico matematico. Esso, anche se non in tutto il suo ambito di definizione, ma solo in parte di esso, riflette un'affermazione economicamente importante, indiscutibile e allo stesso tempo banale: VIn un’economia ragionevole, un aumento dei costi non può portare ad una diminuzione della produzione. Dal secondo assioma spiegheremo solo il significato economico del requisito che la derivata  2 f/x 2 i sia minore di zero per ogni tipo di costo. Questa proprietà si chiama in economia dietroLa legge dei rendimenti decrescenti o rendimenti decrescenti: man mano che i costi aumentano, a partire da un certo momento (quando si entra nella regione S!), diil prodotto marginale comincia a diminuire. L'esempio classico di questa legge è l'aggiunta di sempre più lavoro alla produzione di grano su un pezzo di terra fisso. Nel seguito si assume che la funzione di produzione sia considerata su una regione S in cui valgono entrambi gli assiomi.

È possibile creare una funzione di produzione per una determinata impresa senza nemmeno saperne nulla. Devi solo posizionare un contatore (una persona o qualche tipo di dispositivo automatico) al cancello dell'impresa, che registrerà X - risorse importate e Y - la quantità di prodotti che l'impresa ha prodotto. Se si accumula una quantità sufficiente di tali informazioni statiche e si tiene conto del funzionamento dell'impresa in varie modalità, è possibile prevedere la produzione conoscendo solo il volume delle risorse importate, e questa è la conoscenza della funzione di produzione.

2.4. Funzione di produzione di Cobb-Douglas

Consideriamo una delle funzioni di produzione più comuni: la funzione Cobb-Douglas: Y = AK  L , dove A, ,  > 0 sono costanti,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

La negatività delle derivate parziali seconde, cioè dei prodotti marginali decrescenti: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Passiamo alle principali caratteristiche economiche e matematiche della funzione di produzione di Cobb-Douglas. Produttività media del lavoroè definito come y = Y/L – il rapporto tra il volume del prodotto prodotto e la quantità di lavoro speso; produttività media del capitale k = Y/K – rapporto tra il volume del prodotto prodotto e il valore dei fondi.

Per la funzione Cobb-Douglas, la produttività media del lavoro y = AK  L  e, a causa della condizione , con l’aumento del costo del lavoro, la produttività media del lavoro diminuisce. Questa conclusione consente una spiegazione naturale: poiché il valore del secondo fattore K rimane invariato, significa che alla forza lavoro appena attratta non vengono forniti mezzi di produzione aggiuntivi, il che porta ad una diminuzione della produttività del lavoro (questo vale anche in il caso più generale - a livello degli insiemi di produzione).

Produttività marginale del lavoro Y/L = AβK α L β -1 > 0, che mostra che per la funzione Cobb-Douglas, la produttività marginale del lavoro è proporzionale alla produttività media ed è inferiore ad essa. La produttività media e marginale del capitale sono determinate in modo simile. Per loro vale anche il rapporto indicato: la produttività marginale del capitale è proporzionale alla produttività media del capitale ed è inferiore ad essa.

Una caratteristica importante è come rapporto capitale-lavoro f = K/L, che mostra il volume dei fondi per dipendente (per unità di lavoro).

Cerchiamo ora l’elasticità della produzione del lavoro:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Quindi il significato è chiaro parametro - Questo elasticità (rapporto tra produttività marginale del lavoro e produttività media del lavoro) della produzione da parte del lavoro. L’elasticità della produzione del lavoro significa che per aumentare la produzione dell’1%, è necessario aumentare il volume delle risorse lavorative del %. Ha un significato simile parametro – è l’elasticità della produzione tra i fondi.

E un altro significato sembra interessante. Sia  +  = 1. È facile verificare che Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (sostituendo Y/K, Y/L precedentemente calcolati in questa formula). Supponiamo che la società sia composta solo da lavoratori e imprenditori. Quindi il reddito Y viene diviso in due parti: il reddito dei lavoratori e il reddito degli imprenditori. Poiché nella dimensione ottimale dell’impresa il valore Y/L – il prodotto marginale del lavoro – coincide con i salari (questo può essere dimostrato), allora (Y/L)L rappresenta il reddito dei lavoratori. Allo stesso modo, il valore Y/K è il rendimento marginale del capitale, il cui significato economico è il tasso di profitto, quindi (Y/K)K rappresenta il reddito degli imprenditori.

La funzione Cobb-Douglas è la più famosa tra tutte le funzioni di produzione. In pratica, nel costruirlo, a volte si rinuncia ad alcuni requisiti (ad esempio, la somma  +  può essere maggiore di 1, ecc.).

Esempio 1. Sia la funzione di produzione la funzione di Cobb-Douglas. Per aumentare la produzione di a = 3%, è necessario aumentare le immobilizzazioni di b = 6% o il numero di dipendenti di c = 9%. Attualmente, un lavoratore produce prodotti per un valore di M = 10 4 rubli al mese . , e il numero totale dei dipendenti è L = 1000. Le immobilizzazioni sono valutate a K = 10 8 rubli. Trova la funzione di produzione.

Soluzione. Troviamo i coefficienti , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, quindi Y = AK 1/2 L 1/3. Per trovare A sostituiamo in questa formula i valori K, L, M, tenendo presente che Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = LA(10 8) 1/2 1000 1/3. Quindi A = 100. Pertanto, la funzione di produzione ha la forma: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Teoria dell'impresa

Nella sezione precedente, analizzando e modellando il comportamento del produttore, abbiamo utilizzato solo indicatori naturali e abbiamo fatto a meno dei prezzi, ma non siamo riusciti a risolvere definitivamente il problema del produttore, cioè indicargli l'unica linea d'azione nel momento attuale condizioni. Consideriamo ora i prezzi. Sia P un vettore dei prezzi. Se T = (X,Y) è una tecnologia, cioè un vettore input-output, X sono i costi, Y è l’output, allora il prodotto scalare PT = PX + PY è il profitto derivante dall’uso della tecnologia T (i costi sono quantità negative) . Formuliamo ora una formalizzazione matematica dell'assioma che descrive il comportamento del produttore.

Problema del produttore: il produttore seleziona una tecnologia dal suo set di produzione, con l'obiettivo di massimizzare i profitti . Quindi, il produttore risolve il seguente problema: PT→max, Tτ. Questo assioma semplifica notevolmente la situazione della scelta. Quindi, se i prezzi sono positivi, il che è naturale, allora la componente “produzione” della soluzione a questo problema si troverà automaticamente sulla curva delle possibilità produttive. Infatti, sia T = (X,Y) una soluzione al problema del produttore. Allora esiste ZK x , Z  Y, quindi P(X, Z)  P(X, Y), il che significa che anche il punto (X, Z) è una soluzione al problema del produttore.

Nel caso di due tipologie di prodotti il ​​problema può essere risolto graficamente (Fig. 2.3). Per fare ciò è necessario “spostare” una retta perpendicolare al vettore P nella direzione in cui punta; allora l'ultimo punto, quando questa retta interseca ancora l'insieme di produzione, sarà la soluzione (in Fig. 2.3 questo è il punto T). Come è facile osservare, la rigorosa convessità della parte richiesta della produzione impostata nel secondo quadrante garantisce l'unicità della soluzione. Lo stesso ragionamento vale nel caso generale, per un numero maggiore di tipologie di input e output. Tuttavia, non seguiremo questa strada, ma utilizzeremo l'apparato delle funzioni di produzione e chiameremo azienda il produttore. Pertanto, la produzione dell'impresa può essere caratterizzata da un valore: il volume della produzione, se viene prodotto un prodotto, o il valore totale dell'intera produzione. Lo spazio dei costi è m-dimensionale, il vettore dei costi X = (x 1, ..., x m). I costi determinano in modo univoco la produzione Y e questa relazione è la funzione di produzione Y = f(X).

Riso. 2.3. Risolvere il problema del produttore

In questa situazione, indichiamo con P il vettore dei prezzi per i costi dei beni e sia v il prezzo di un'unità di beni manufatti. Pertanto, il profitto W, che in definitiva è una funzione di X (e dei prezzi, ma sono considerati costanti), è W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Uguagliando le derivate parziali della funzione W a zero, otteniamo:

v(f/x j) = p j per j = 1, …, m oppure v(f/X) = P (2.1)

Assumeremo che tutti i costi siano strettamente positivi (zero uno può essere semplicemente escluso dalla considerazione). Allora il punto dato dalla relazione (2.1) risulta essere interno, cioè un punto estremo. E poiché si assume che anche la matrice Hessiana della funzione di produzione f(X) sia definita negativamente (in base ai requisiti per le funzioni di produzione), questo è il punto massimo.

Quindi, sotto ipotesi naturali sulle funzioni di produzione (queste ipotesi sono soddisfatte per un produttore dotato di buon senso e in un'economia ragionevole), la relazione (2.1) fornisce una soluzione al problema dell'impresa, ovvero determina il volume X * delle risorse trasformate, risultante nell'output Y * = f(X *) Il punto X *, o (X *,f(X *)) sarà chiamata la soluzione ottima dell'azienda. Soffermiamoci sul significato economico della relazione (2.1). Come detto, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) è detto vettore del prodotto marginale, o vettore dei prodotti marginali, e f/x i è chiamato i-esimo prodotto marginale, o rilasciare la risposta al cambiamento io -esimo articolo costa. Pertanto vf/x i dx i è prezzo io -esimo prodotto marginale inoltre ottenuto da dx i unità io esima risorsa. Tuttavia, il costo delle unità dx i della risorsa i-esima è pari a р i dx i , ovvero è stato raggiunto un equilibrio: è possibile coinvolgere nella produzione unità dx i aggiuntive della risorsa i-esima, spendendo р i dx i al suo acquisto, ma non ci sarà alcun guadagno, t Perché dopo aver elaborato i prodotti, riceveremo esattamente lo stesso importo che abbiamo speso. Di conseguenza, il punto ottimale dato dalla relazione (2.1) è un punto di equilibrio: non è più possibile spremere dai beni-risorse più di quanto è stato speso per il loro acquisto.

Ovviamente, l'aumento della produzione dell'impresa è avvenuto gradualmente: inizialmente, il costo dei prodotti marginali era inferiore al prezzo di acquisto dei beni e delle risorse necessarie per la loro produzione. I volumi di produzione aumentano finché la relazione (2.1) inizia a essere soddisfatta: uguaglianza del valore dei prodotti marginali e del prezzo di acquisto dei beni e delle risorse necessarie per la loro produzione.

Supponiamo che nel problema dell'impresa W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, la soluzione X * sia unica per v > 0 e P > 0. Otteniamo così la funzione vettoriale X * = X * ( v, P), o funzioni x * I = x * i (v, p 1 , p m) per i = 1, …, m. Queste funzioni m vengono chiamate funzioni di domanda di risorse a determinati prezzi per prodotti e risorse. In sostanza, queste funzioni significano che se sono stati stabiliti i prezzi P per le risorse e il prezzo v per i beni prodotti, un dato produttore (caratterizzato da una data funzione di produzione) determina il volume delle risorse trasformate utilizzando le funzioni x * I = x * i (v, p 1, p m) e chiede questi volumi sul mercato. Conoscendo i volumi delle risorse trasformate e sostituendole nella funzione di produzione, otteniamo la produzione in funzione dei prezzi; denotiamo questa funzione con q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . È chiamato funzione di fornitura del prodotto a seconda del prezzo v per i prodotti e dei prezzi P per le risorse.

A priori, Risorsa di tipo i-esimo chiamato di scarso valore, se e solo se,x * i /v cioè, quando il prezzo di un prodotto aumenta, la domanda di una risorsa di basso valore diminuisce. È possibile dimostrare un’importante relazione: q * /P = -X * /v oppure q * /p i = -x * i /v, per i = 1, …, m. Di conseguenza, un aumento del prezzo di un prodotto porta ad un aumento (diminuzione) della domanda per un certo tipo di risorsa se e solo se un aumento del pagamento per questa risorsa porta ad una riduzione (aumento) della produzione ottimale. Questo mostra la proprietà principale delle risorse di basso valore: un aumento del loro pagamento porta ad un aumento della produzione! Tuttavia, è possibile dimostrare rigorosamente l'esistenza di tali risorse, un aumento del pagamento per il quale porta ad una diminuzione della produzione (vale a dire, tutte le risorse non possono essere di basso valore).

È anche possibile dimostrare che x * i /p i sono complementari se x * i /p j sono intercambiabili se x * i /p j > 0. Cioè, per risorse complementari, un aumento del prezzo di uno di essi porta ad una diminuzione della domanda per un altro e, per le risorse intercambiabili, un aumento del prezzo di uno di essi porta ad un aumento della domanda per l'altro. Esempi di risorse complementari: un computer e i suoi componenti, mobili e legno, shampoo e balsamo. Esempi di risorse fungibili: zucchero e sostituti dello zucchero (ad esempio sorbitolo), angurie e meloni, maionese e panna acida, burro e margarina, ecc.

Esempio 2. Per un'azienda con una funzione di produzione Y = 100K 1/2 L 1/3 (dall'esempio 1), trova la dimensione ottimale se il periodo di ammortamento delle immobilizzazioni è N = 12 mesi, lo stipendio mensile del dipendente è a = 1000 rubli .

Soluzione. La dimensione ottimale dell'output o del volume di produzione si trova dalla relazione (2.1). In questo caso, la produzione è misurata in termini monetari, quindi v = 1. Il costo di mantenimento mensile di un rublo di fondi è 1/N, cioè otteniamo un sistema di equazioni

, risolvendo il quale troviamo la risposta:
, L = 8 . 10 3, K = 144. 106.

2.6. Compiti

1. Sia la funzione di produzione la funzione di Cobb-Douglas. Per aumentare la produzione dell'1%, è necessario aumentare le immobilizzazioni di b = 4% o il numero dei dipendenti di c = 3%. Attualmente un lavoratore produce prodotti per un valore di M = 10,5 rubli al mese . , e il numero totale di lavoratori è L = 10 4 . Le immobilizzazioni sono valutate a K = 10 6 rubli. Trovare la funzione di produzione, la produttività media del capitale, la produttività media del lavoro, il rapporto capitale-lavoro.

2. Un gruppo di "navette" per un importo di E ha deciso di unirsi con N venditori. Il profitto di una giornata di lavoro (entrate meno spese, ma non salario) è espresso dalla formula Y = 600(EN) 1/3. Lo stipendio del lavoratore della navetta è di 120 rubli. al giorno, venditore - 80 rubli. in un giorno. Trova la composizione ottimale del gruppo di “navette” e venditori, ovvero quante “navette” dovrebbero esserci e quanti venditori.

3. Un uomo d'affari ha deciso di fondare una piccola azienda di autotrasporti. Dopo aver familiarizzato con le statistiche, vide che la dipendenza approssimativa delle entrate giornaliere dal numero di auto A e dal numero N è espressa dalla formula Y = 900A 1/2 N 1/4. L'ammortamento e le altre spese giornaliere per una macchina sono di 400 rubli, lo stipendio giornaliero di un lavoratore è di 100 rubli. Trova il numero ottimale di lavoratori e veicoli.

4. L'uomo d'affari ha deciso di aprire una birreria. Supponiamo che la dipendenza delle entrate Y (meno il costo della birra e degli snack) dal numero di tavoli M e dal numero di camerieri F sia espressa dalla formula Y = 200M 2/3 F 1/4. Il costo per un tavolo è di 50 rubli, lo stipendio del cameriere è di 100 rubli. Trova la dimensione ottimale del bar, ovvero il numero di camerieri e tavoli.

Concettoè familiare a ogni persona, poiché nasce e vive in mezzo a un insieme di cose caratteristiche della cultura materiale della sua società. Anche l'intera teoria economica inizia con una descrizione dell'insieme di argomenti, che è stata data nell'opera, confrontando il numero e la quantità di oggetti e il numero di professioni (tecnologie), che determinavano la ricchezza di un particolare stato. Un'altra cosa è che tutte le teorie precedenti accettavano questa posizione in modo assiomatico, ma insieme alla perdita di interesse per il concetto che comprendevano il significato dell'insieme soggetto-tecnologico solo in connessione con il separato .

Pertanto, questa è ancora una scoperta PTM associato, che solo talvolta può coincidere con l'economia dello Stato. Il fenomeno dell'insieme soggetto-tecnologico si è rivelato non così semplice come pensavano gli economisti. In questo articolo sull'insieme tematico-tecnologico il lettore troverà non solo descrizione dell'insieme tematico-tecnologico piacere, ma anche la storia del riconoscimento PTM come misura per confrontare lo sviluppo dei paesi.

insieme soggetto-tecnologico

Le persone stesse sono il prodotto di uno standard di vita sufficientemente elevato, che gli ominidi della steppa hanno raggiunto grazie alla comparsa di alcuni stabili nei loro greggi. Se per i primati la raccolta, come modo per ottenere risorse dal territorio di un complesso naturale, non richiedeva gli sforzi congiunti di più individui, allora la caccia ai grandi ungulati, che divenne il modo principale per garantire l'esistenza degli ominidi durante lo sviluppo di le steppe, era un'attività organizzata in modo complesso con una divisione dei ruoli tra diversi partecipanti.

Allo stesso tempo, le piccole dimensioni degli ominidi della steppa non consentivano loro di uccidere un animale di grandi dimensioni senza attrezzi da caccia, anche come parte di un gruppo. Tuttavia, nelle steppe, pietre di forma adatta non sono sparse ovunque ed è difficile trovare un bastone affilato, quindi gli ominidi dovevano portare con sé strumenti da caccia. Insieme ai vestiti, che apparivano insieme alla camminata eretta, la cui conseguenza era la perdita di capelli, e semplicemente a causa del clima fresco delle steppe, gli Stormi-TRIBES acquisiscono un certo insieme, in altre parole - molti- oggetti la cui presenza fornisce ai membri un livello di esistenza senza fame.

Le persone compaiono insieme al lusso, cioè oggetti per i quali gli ominidi prima non avevano tempo - né per appropriarsi semplicemente degli oggetti della Natura che li interessavano, sia per produrli con lavoro, poiché non c'era né la necessità né l'opportunità di portarli costantemente con sé loro. Gli oggetti di lusso includono tutti gli strumenti migliorati Dopotutto, per le persone, come una delle specie di mammiferi, è sufficiente per la vita un insieme di beni vitali, la cui produzione era pienamente assicurata dalla varietà di oggetti che gli ominidi avevano in branco. Come essere biologico, l’uomo, già milioni di anni fa, poteva e viveva al di sopra del livello degli ominidi con la stessa varietà di oggetti, ma negli esseri umani è così forte che le persone non si sono fermate al livello degli ominidi, come avrebbe dovuto essere per una specie animale che aveva raggiunto un livello di prosperità. Le persone non hanno avuto l'opportunità di migliorare le condizioni di vita nell'ambiente naturale, quindi iniziano a creare il proprio ambiente artificiale da oggetti di lavoro.

Nelle tribù umane continuava ad operare l'influenza ereditata dagli ominidi, nei cui greggi il primo consumatore di qualsiasi lusso (belle piume come esempio di “fascino”) non poteva che essere il leader. Quando il leader ebbe molte piume, le diede ai suoi associati, membri con uno status elevato. Come pratica di fare regali tra i restanti membri della tribù, ha dato origine alla convinzione che possedere un oggetto di uso del leader aumenti lo status del proprietario nella gerarchia. Il consumo conforme allo status costringeva i membri di alto rango della società a richiedere le cose più lussuose.

Allo stesso tempo, molti membri di basso rango sono pronti a sacrificare molto per ottenere cose di uso dei gerarchi, poiché il possesso di queste cose consente loro di sentire un aumento del loro status di fronte agli altri. Così, le cose che apparivano per la prima volta nella vita quotidiana dei gerarchi, in copie, divennero oggetto di consumo per i membri di alto rango, e la lussuria da parte di altri membri con un forte istinto gerarchico portò alla produzione di massa, che abbassò il prezzo, rendendolo la cosa accessibile a qualsiasi membro della comunità. Questa corsa alle cose prestigiose continua da migliaia di anni, aumentando la varietà degli oggetti, tanto che ora viviamo circondati da milioni di oggetti che rendono la vita delle persone SOLO MOLTO PIÙ CONFORTEVOLE rispetto allo stile di vita dell'antenato ominide.

Ma biologicamente l'uomo è sempre lo stesso ominide con un istinto gerarchico, che realizza in un campo chiamato -. Insieme soggetto-tecnologico C'è un'altra differenza tra uomo e animale: si tratta di un nuovo habitat artificiale che l'uomo crea grazie al progresso scientifico e tecnologico, la cui forza trainante è. Come vediamo, non c'è nulla di sacro nello SVILUPPO ECONOMICO, solo la soddisfazione è uno degli istinti.

Possiamo dire che è familiare a ogni persona, poiché nasce e vive circondata da una moltitudine di oggetti, ma l'idea di un insieme oggetto-tecnologico è apparsa quando hanno deciso confrontare ricchezza dei diversi Stati. E qui insieme soggetto-tecnologico si è rivelato un chiaro indicatore di ricchezza o grado di sviluppo. In un caso è possibile un confronto per assortimento, ad es. dal numero di oggetti diversi, che consente di caratterizzare lo sviluppo della stessa società in un certo periodo di tempo (che è descritto nel tema del progresso scientifico e tecnologico). In un altro caso, possiamo dirlo una società è più ricca di un’altra, ma poi bisogna aggiungere al parametro dell'assortimento una caratteristica della qualità e dell'eccellenza tecnologica degli articoli a confronto (questo è studiato nell'argomento -). Ma, di regola, nell'insieme di oggetti di una società più ricca compaiono oggetti fondamentalmente nuovi, nella fabbricazione dei quali sono state utilizzate nuove tecnologie. La connessione tra prodotti più avanzati e fondamentalmente nuovi e nuove tecnologie è quindi abbastanza ovvia, che una certa società ha, presuppone non solo un elenco di articoli, ma anche insieme di tecnologie, consentendo la produzione di questi prodotti nella sfera di produzione di questa società.

Per le vecchie teorie economiche, l’unità economica è l’economia di uno Stato sovrano. È la popolazione dello stato ad essere considerata la comunità il cui insieme soggetto-tecnologico è determinato dalla capacità dell'economia di un dato stato di produrre tutti questi articoli. E si presume che la connessione con la tecnologia sia meccanica: letteralmente, se lo stato dispone di tecnologie, nulla impedisce la produzione di prodotti ad esse corrispondenti.

Tuttavia, con l’avvento del sistema di divisione globale del lavoro, l’inesattezza nell’identificare l’economia di un paese con quella comunità di persone che ha un attributo come insieme soggetto-tecnologico. Il fatto è che nei paesi che partecipano alla divisione internazionale del lavoro, la maggior parte dei componenti, delle parti e dei pezzi di ricambio da cui vengono assemblati i prodotti finiti possono anche essere non essere prodotto nel territorio di questo Stato e, viceversa, vengono prodotte solo le parti, ma non i prodotti finali.

Ecco va detto così incoerenza LA DISPONIBILITÀ della tecnologia e la POSSIBILITÀ di produrre alcuni prodotti basati su di essa esistevano PRIMA della divisione internazionale del lavoro, ma la vecchia scienza economica incoerenza Non mi ero accorto, tanto più - nella comprensione delle teorie precedenti - che le economie di tutti gli stati erano equivalenti (la differenza era accettata solo in termini di dimensioni - uno poteva essere più grande o più piccolo dell'altro) e non appena fu data la tecnologia, è apparsa immediatamente la POSSIBILITÀ di produrre qualsiasi cosa.

Il fatto che la pratica confutasse questi presupposti teorici non ha impedito alla vecchia scienza economica di fornire ai paesi in via di sviluppo ricette per costruire impianti di produzione di qualsiasi complessità tecnologica. Un esempio molto comune è quello della Romania, che secondo gli economisti non ha ostacoli per raggiungere il livello degli Stati Uniti d’America, almeno sul piano produttivo, anche se è chiaro che per la varietà disciplinare-tecnologica della Romania per diventare grande quanto gli Stati Uniti, è necessario avere almeno altrettanti addetti alla produzione. Tuttavia, se l'assortimento della varietà tematica e tecnologica degli Stati Uniti supera il numero dei residenti in Romania, non è chiaro chi sarà in grado di produrre così tanti articoli sul territorio della Romania.

Esistono limiti oggettivi allo sviluppo - e molto probabilmente non si riducono solo all'entità del sistema di divisione del lavoro che può essere creato nel paese (ad esempio, l'India, dove la popolazione teoricamente consente di creare il sistema più grande del mondo) , ma dalla possibilità teorica - l'India non è diventata più ricca) , e in . Ad esempio, la Finlandia è riuscita per un breve periodo a prendere il posto del paese più avanzato nella produzione di telefoni cellulari. Ma i telefoni Nokia prodotti non rimasero tutti nell'ambito tecnologico della Finlandia; essi riempirono l'ambito tematico di molti paesi. Pertanto dobbiamo concludere: potere dell’insieme soggetto-tecnologico Un prodotto specifico è determinato non tanto dal numero di persone impiegate nella produzione, ma in misura maggiore dalla dimensione del mercato (il numero di prodotti dipende da questo) e, soprattutto, dalla presenza di una DOMANDA effettiva di massa per il prodotto.

Come ora puoi vedere - concetto di insieme soggetto-tecnologico non è così semplice come sembra. Innanzitutto, ora lo capiamo insieme soggetto-tecnologico piuttosto connesso con qualche sistema di divisione del lavoro, e non con lo Stato (nel senso, anche se storicamente insieme soggetto-tecnologico deriviamo dall'obiettivo prefissato, che era il primo). Questo sistema può essere parte interna O esterno supersistema in rapporto alla popolazione. In secondo luogo, immagina insieme soggetto-tecnologico possiamo, se ha un assortimento numerabile, altrimenti il ​​numero di oggetti diversi in esso contenuti è finito, il che implica che in un particolare momento nel tempo siano numerabili numero limitato di persone nella comunità. Se intendiamo per comunità avere PMT, un sistema di divisione del lavoro, allora dobbiamo parlare della sua CHIUSURA, poiché in questo sistema gli oggetti dell'insieme vengono sia prodotti che consumati.

Il tuo scientifico che significa insieme soggetto-tecnologico riceve con apertura nuovo oggetto nell’economia, che ha chiamato , che rappresenta Chiuso, in cui vengono consumati anche gli articoli prodotti. C'è un esempio di complesso riproduttivo, ma i seguenti - come e soprattutto - potrebbero avere una combinazione di diversi.

Il termine insieme soggetto-tecnologico utilizzato già nei suoi primi lavori, quando si interessò all'interazione tra paesi sviluppati e in via di sviluppo. È stato allora che ho iniziato a usarlo termine insieme soggetto-tecnologico, come una certa caratteristica della divisione dei sistemi di lavoro che si sono sviluppati in diversi paesi. Quindi non era molto chiaro a quale entità fosse collegato PMT, Ecco perché termine insieme soggetto-tecnologicoè stato utilizzato per caratterizzare gli stati quando li si confronta. Qui ho seguito il fondatore dell'economia politica, che nel suo lavoro ha paragonato il benessere dei paesi rispetto al numero e al volume dei prodotti realizzati dal lavoro dei cittadini.

Idoneità all'uso Concetti della PMT allo Stato - resta, ma il lettore deve ricordare - insieme soggetto-tecnologico caratterizza Chiuso un sistema di divisione del lavoro, che in alcuni modelli può significare economia di uno Stato indipendente.

Un'altra domanda direttamente correlata alle previsioni del presente: Può diminuire la varietà disciplinare-tecnologica? La risposta è, ovviamente, possibile, anche se molte persone pensano che sia il progresso scientifico e tecnologico non può che aumentare potere dell’insieme soggetto-tecnologico, se lo consideri come un attributo dello stato. È chiaro che alcuni oggetti scompaiono naturalmente dalla vita quotidiana delle persone, altri sono così migliorati da non assomigliare più al loro prototipo storico. Questo processo naturale è associato all'emergere di nuove tecnologie, ma, come ha dimostrato la storia dell'Impero Romano: insieme soggetto-tecnologico può ridursi insieme all’oblio di tutte le conquiste tecnologiche, se il sistema di divisione del lavoro che lo sostituisce non è in grado di garantire la riproduzione PTM nella sua interezza.

All'inizio della nostra era, in Europa inizia una crisi demografica, per cui le tribù non possono nascere insieme, e il desiderio di eliminare la popolazione in eccesso porta all'accaparramento di terre. Gli stati iniziano a svilupparsi alla periferia dell'Impero Romano e si scopre che l'antica Roma (come l'antica Grecia) era un ramo dell'impero orientale nel continente europeo. L'Europa indigena sta entrando nello stato naturale del periodo di formazione dello stato, che in Europa, a causa del piccolo numero iniziale di popolazione che lo ha sviluppato, si è spostato secoli dopo rispetto all'EST. L'Impero Romano non ebbe alcuna possibilità di resistere al desiderio di espansione delle tribù e la perdita di territori distrusse il sistema stabilito di divisione del lavoro, il cui crollo portò alla scomparsa della domanda per gli ex prodotti quotidiani dei romani. Il crollo della disciplina fu così grande che molti tecnologi romani furono completamente dimenticati e furono riscoperti solo dopo un millennio, e il tenore di vita che esisteva nelle città dell'antica Roma fu nuovamente raggiunto in Europa solo nel XIX secolo, per esempio. , acqua corrente nei piani superiori degli edifici a più piani.

Ho delineato le principali sfumature del concetto insieme soggetto-tecnologico, ma deve guidare definizione di insieme tematico-tecnologico dal Glossario ufficiale della Neoeconomia:

IL CONCETTO DI MULTIPLO SOGGETTO-TECNOLOGICO (PTM)

Questo MOLTEPLICE SOGGETTO-TECNOLOGICOè costituito da oggetti (prodotti, parti, tipi di materie prime) che esistono effettivamente in un determinato sistema di divisione del lavoro, cioè sono prodotti da qualcuno e, di conseguenza, consumati - venduti sul mercato o distribuiti. Per quanto riguarda le parti, esse potrebbero non essere beni, ma far parte dei beni.

Un'altra parte di questo insieme è un insieme di tecnologie, ovvero metodi di produzione di beni venduti sul mercato, da e/o con, utilizzando gli articoli inclusi in questo insieme. Cioè, conoscenza delle corrette sequenze di azioni con gli elementi materiali dell'insieme.

In ogni periodo di tempo che abbiamo insieme soggetto-tecnologico(PTM) diversi in potenza. Mentre la divisione del lavoro si approfondisce PTM si sta espandendo.

L'importanza di questo concetto è determinata dal fatto che PTM determina la possibilità del progresso scientifico e tecnologico. Quando povero PTM le nuove invenzioni, anche se possono essere implementate sotto forma di prototipi, di norma non hanno la possibilità di andare in serie se richiedono determinati prodotti o tecnologie che non sono disponibili in PTM. Si rivelano semplicemente troppo costosi.

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Di fronte a te c'è solo estratto dal capitolo n. 8 del libro L'età della crescita, in cui dà descrizione dell'insieme tematico-tecnologico:

Presentiamoci concetto di insieme soggetto-tecnologico. Questo insieme è costituito da oggetti (prodotti, parti, tipologie di materie prime) che esistono realmente, cioè prodotti da qualcuno e, di conseguenza, venduti sul mercato. Per quanto riguarda le parti, esse potrebbero non essere beni, ma far parte dei beni. La seconda parte di questo insieme è costituita dalle tecnologie, ovvero dai metodi di produzione dei beni venduti sul mercato a partire da e con l'aiuto degli articoli inclusi in questo insieme. Questo è conoscenza delle corrette sequenze di azioni con gli elementi materiali dell'insieme.

In ogni periodo di tempo abbiamo un potere diverso insieme soggetto-tecnologico (PTM). A proposito, non solo può espandersi. Alcuni articoli non vengono più prodotti, alcune tecnologie vanno perdute. Forse restano i disegni e le descrizioni, ma in realtà, se improvvisamente necessario, il ripristino degli elementi PTM può essere un progetto complesso, essenzialmente una nuova invenzione. Dicono che quando ai nostri tempi hanno cercato di riprodurre la macchina a vapore di Newcomen, hanno dovuto compiere enormi sforzi per farla funzionare in qualche modo. Ma nel XVIII secolo centinaia di queste macchine funzionavano con successo.

Ma, in generale, PTM Per ora è in espansione. Evidenziamo due casi estremi di come può avvenire questa espansione. Il primo è l'innovazione pura, ovvero un oggetto completamente nuovo creato utilizzando una tecnologia precedentemente sconosciuta da materie prime completamente nuove. Non lo so, sospetto che questo caso non sia mai accaduto nella realtà, ma supponiamo che possa essere così.

Il secondo caso estremo è quando nuovi elementi dell'insieme si formano come combinazioni di elementi già esistenti PTM. Tali casi non sono rari. Schumpeter vedeva già l’innovazione come nuove combinazioni di ciò che già esiste. Prendiamo gli stessi personal computer. In un certo senso non si può dire che siano stati “inventati”. Tutti i loro componenti esistevano già e venivano semplicemente combinati in un certo modo.

Se possiamo parlare di una scoperta qui, è che l’ipotesi iniziale: “compreranno questa cosa” era completamente giustificata. Anche se, se ci pensi, allora non era affatto ovvio, e proprio in questo sta la grandezza della scoperta.

A quanto abbiamo capito, la maggior parte dei nuovi articoli PTM rappresentano un caso misto: più vicino al primo o al secondo. Quindi, la tendenza storica, mi sembra, è che la quota di invenzioni vicine al primo tipo sta diminuendo, e quelle vicine al secondo stanno aumentando.

In generale, alla luce della mia storia sui dispositivi della serie UN e dispositivo BÈ chiaro il motivo per cui ciò accade. Per maggiori dettagli consultare il capitolo 8 del libro cliccando sul pulsante:

Un insieme formalizzato di tutti i vettori tecnologicamente fattibili di output netti.

Definizione

Lasciamo che l'economia abbia $N$ Bene Nel processo di produzione di loro $N$ i benefici vengono spesi. Indichiamo il vettore di questi benefici (costi) $X$(dimensione del vettore $N$). Altro $m=N-n$ le merci vengono rilasciate nel processo produttivo (la dimensione del vettore è $M$). Indichiamo il vettore di questi benefici $sì$. Poi il vettore $z=(-x,y)$(dimensione - $N$) è chiamato vettore problemi netti. La totalità di tutti i vettori tecnologicamente fattibili di output netti lo è insieme tecnologico. In realtà, questo è un sottoinsieme dello spazio $R^N$.

Per i lettori che hanno difficoltà con i concetti di vettore, ce ne sono molti:

vettore: un elenco di beni, ogni bene è descritto dalla sua quantità, un insieme di numeri;

tutti i beni consumati nella produzione sono registrati all'inizio del vettore di produzione netta z con un segno meno (-x), quelli prodotti con un segno più (y);

tutte le combinazioni possibili per la produzione formano un insieme tecnologico (combinazioni di produzione).

Proprietà

• Non vuoto: il set tecnologico non è vuoto. La non vacuità significa la possibilità fondamentale della produzione.
• Accettabilità dell'inattività: il vettore zero appartiene all'insieme tecnologico. Questa proprietà formale significa che l'output zero con l'input zero è accettabile.
• Chiusura: l'insieme tecnologico contiene il proprio confine e appartiene all'insieme tecnologico anche il limite di qualsiasi sequenza di vettori tecnologicamente fattibili di output netti.
• Libertà di spendere: se il vettore dato $z$ appartiene all'insieme tecnologico, quindi qualsiasi vettore gli appartiene $z"\backslash leqslant\; z$. Ciò significa che formalmente lo stesso volume di output può essere prodotto a costi più elevati.
• Assenza di una "cornucopia": dei vettori non negativi della produzione netta, solo il vettore zero appartiene all'insieme tecnologico. Ciò significa che sono necessari costi diversi da zero per produrre una quantità positiva di output.
• Irreversibilità: per qualsiasi vettore valido $z$, vettore opposto $-z$ non appartiene al set tecnologico. Cioè, è impossibile produrre risorse dai prodotti manifatturieri nelle stesse quantità utilizzate per produrre questi prodotti.
• Additività: Anche la somma di due vettori validi è un vettore valido. Cioè, è consentita una combinazione di tecnologie.
• Proprietà relative ai rendimenti di scala di produzione:
  • Rendimenti di scala non crescenti: per chiunque $\backslash lambda\backslash in\; (0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Rendimenti di scala non decrescenti: per chiunque $\backslash lambda\; >1$ se z appartiene all'insieme tecnologico, allora $\backslash lambda\; z$ appartiene anche al set tecnologico.
  • Rendimenti di scala costanti: realizzazione simultanea delle due proprietà precedenti, cioè per qualsiasi positivo $\backslash lambda$ Se $z$ appartiene quindi all'insieme tecnologico $\backslash lambda\; z$ appartiene anche al set tecnologico. La proprietà del rendimento costante significa che l'insieme tecnologico è un cono.

8. Convesso: per due vettori validi qualsiasi $z\_1,\; z\_2$ Sono validi anche eventuali vettori $\backslash alpha\; z\_1\; +(1-\backslash alpha)z\_2$, Dove . La proprietà della convessità indica la capacità di “mescolare” le tecnologie. In particolare, è soddisfatta se l'insieme tecnologico ha proprietà di additività e rendimenti di scala non crescenti. Inoltre, in questo caso l'insieme tecnologico è un cono convesso.

La tecnologia efficiente stabilisce i confini

Tecnologia accettabile $z$ chiamato efficace, se non esiste altra tecnologia accettabile diversa da essa $z"\backslash geqslant\; z$. Si formano molte tecnologie efficaci frontiera efficiente insieme tecnologico.

Se la condizione di libertà di spesa e di chiusura dell’insieme tecnologico è soddisfatta, allora è impossibile aumentare all’infinito la produzione di un bene senza ridurre la produzione degli altri. In questo caso, per qualsiasi tecnologia accettabile $z$ esiste una tecnologia efficace $z"\; \backslash geqslant\; z$. In questo caso, invece dell'intero set tecnologico, è possibile utilizzare solo il suo confine effettivo. Tipicamente, la frontiera efficiente può essere data da qualche funzione di produzione.

Funzione di produzione

Consideriamo le tecnologie a prodotto singolo $(-x,y)$, Dove $sì$- vettore dimensione $m=1$, UN $X$- vettore costo dimensione $N$. Considera l'insieme $X$, che include tutti i possibili vettori di costo $X$, tale che per tutti $X$ esiste $sì$, tale che i vettori di output netti $(-x,y)$ appartengono all'insieme tecnologico.

Funzione numerica $f(x)$ SU $X$ chiamato funzione di produzione, se per ogni dato vettore di costo $X$ Senso $f(x)$ definisce il valore massimo dell'output consentito $sì$(in modo tale che il vettore di output netto (-x,y) appartenga all'insieme tecnologico).

Qualsiasi punto del confine effettivo dell'insieme tecnologico può essere rappresentato nella forma $(-x,f(x))$, e è vero il contrario se $f(x)$è una funzione crescente (in questo caso $y=f(x)$- equazione del confine efficace). Se un insieme tecnologico ha la proprietà della libertà di spesa e può essere descritto da una funzione di produzione, allora l’insieme tecnologico è determinato sulla base della disuguaglianza $y\backslash leqinclinazione\; f(x)$.

Affinché un insieme tecnologico possa essere specificato utilizzando una funzione di produzione, è sufficiente che per any $X$ un mucchio di $F(x)$ risultati consentiti a determinati costi $X$, era limitato e chiuso. In particolare, questa condizione è soddisfatta se l'insieme tecnologico ha le proprietà di chiusura, rendimenti di scala non crescenti e assenza di cornucopia.

Se l’insieme tecnologico è convesso, allora la funzione di produzione è concava e continua all’interno dell’insieme $X$. Se la condizione della libertà di spesa è soddisfatta, allora $f(x)$è una funzione non decrescente (in questo caso la concavità della funzione implica anche la convessità dell'insieme tecnologico). Infine, se sono contemporaneamente soddisfatte sia la condizione dell'assenza di cornucopia che quella dell'ammissibilità dell'inerzia, allora $f(0)=0$.

Se la funzione di produzione è differenziabile allora è possibile definirla locale elasticità della scala nei seguenti modi equivalenti:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x\; )x)(f(x))$

Dove $f"(x)$è il vettore gradiente della funzione di produzione.

Avendo così determinato l'elasticità di scala, si può dimostrare che se un insieme tecnologico ha la proprietà dei rendimenti di scala costanti, allora $e(x)=1$, se ci sono rendimenti di scala decrescenti, allora $e(x)\backslash leqinclinazione\; 1$, se i rendimenti aumentano, allora $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

La sfida del produttore

Se viene fornito il vettore dei prezzi $P$, quindi il prodotto $pz$ rappresenta il profitto del produttore. Il compito del produttore si riduce a trovare un tale vettore $z$, in modo che per un dato vettore dei prezzi il profitto sia massimo. Indichiamo l'insieme dei prezzi dei beni ai quali questo problema ha una soluzione $P$. Si può dimostrare che per un insieme tecnologico chiuso e non vuoto con rendimenti di scala non crescenti, il problema del produttore ha una soluzione sull’insieme dei prezzi $P$, dando un profitto negativo sul cosiddetto recessivo direzioni (questi sono vettori $z$ insieme tecnologico, per il quale, per qualsiasi non negativo $\backslash lambda$ vettori $\backslash lambda\; z$ appartengono anche al set tecnologico). In particolare, se l'insieme delle direzioni recessive coincide con $R^N\_-$, allora esiste una soluzione per qualsiasi prezzo positivo.

Funzione di profitto $\backslash pi(p)$ definito come $pz(p)$, Dove $z(p)$- risolvere il problema del produttore a determinati prezzi (questa è la cosiddetta funzione di offerta, possibilmente multivalore). La funzione di profitto è cioè positivamente omogenea (di primo grado). $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ e continuo all'interno $P$. Se l’insieme tecnologico è strettamente convesso, allora anche la funzione di profitto è continuamente differenziabile. Se l’insieme tecnologico è chiuso, allora la funzione di profitto è convessa su qualsiasi sottoinsieme convesso di prezzi accettabili $P$.

Funzione frase (visualizzazione) $z(p)$è positivamente omogeneo di grado zero. Se l'insieme tecnologico è strettamente convesso, allora la funzione di offerta è a valore singolo su P e continua all'interno $P$. Se una funzione di offerta è due volte differenziabile, allora la matrice Jacobiana di questa funzione è simmetrica e definita non negativa.

Se l'insieme tecnologico è rappresentato da una funzione di produzione, allora il profitto è definito come $pf(x)-wx$, Dove $w$- vettore dei prezzi dei fattori produttivi, $P$ in questo caso, il prezzo dei prodotti fabbricati. Quindi per qualsiasi soluzione interna (cioè appartenente all'interior $X$) il problema del produttore è giusto: l'uguaglianza del prodotto marginale di ciascun fattore al suo prezzo relativo, cioè in forma vettoriale $f"(x)=w/p$.

Se è data la funzione di profitto $\backslash pi(p)$, che è una funzione due volte continuamente differenziabile, convessa e positivamente omogenea (di primo grado), allora è possibile ripristinare l'insieme tecnologico come un insieme contenente per ogni vettore dei prezzi non negativo $P$ vettori di rilascio pulito $z$, soddisfacendo la disuguaglianza $pz\backslash leqinclinazione\backslash pi(p)$. Si può anche dimostrare che se la funzione di offerta è positivamente omogenea di grado zero e la matrice delle sue derivate prime è continua, simmetrica e definita non negativa, allora la corrispondente funzione di profitto soddisfa i requisiti di cui sopra (è vero anche il viceversa).

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Letteratura

Estratto che caratterizza l'insieme tecnologico

All'improvviso il principe Ippolita si alzò e, fermando tutti con gesti e invitandoli a sedersi, parlò:
- Ah! aujourd"hui on m"a racconta une aneddote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous mi scuso, visconte, il faut que je je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l'histoire. [Oggi mi è stata raccontata un'affascinante barzelletta moscovita; devi insegnarglielo. Scusate, visconte, lo dirò in russo, altrimenti si perde il senso dello scherzo.]
E il principe Ippolita cominciò a parlare russo con l'accento che parlano i francesi quando sono in Russia da un anno. Tutti fecero una pausa: il principe Ippolita richiedeva così animatamente e urgentemente l'attenzione sulla sua storia.
– C'è una signora a Mosca, une dame. Ed è molto avara. Aveva bisogno di due valletti de pied per la carrozza. E molto alto. Era di suo gradimento. E aveva una femme de chambre [cameriera], ancora molto alta. Lei disse…
Qui il principe Ippolita cominciò a pensare, apparentemente avendo difficoltà a pensare lucidamente.
“Ha detto... sì, ha detto: “ragazza (a la femme de chambre), mettiti la livree [livrea] e vieni con me, dietro la carrozza, faire des visites”. [fare visite.]
Qui il principe Ippolita sbuffò e rise molto prima dei suoi ascoltatori, il che fece un'impressione sfavorevole al narratore. Tuttavia molti, tra cui l'anziana signora e Anna Pavlovna, hanno sorriso.
- È andata. All'improvviso ci fu un forte vento. La ragazza ha perso il cappello e i suoi lunghi capelli erano pettinati...
Qui non poté più resistere e cominciò a ridere di colpo e attraverso questa risata disse:
- E il mondo intero sapeva...
Questa è la fine dello scherzo. Sebbene non fosse chiaro il motivo per cui lo raccontasse e perché dovesse essere raccontato in russo, Anna Pavlovna e altri apprezzarono la cortesia sociale del principe Ippolita, che pose fine così piacevolmente allo sgradevole e scortese scherzo di monsieur Pierre. La conversazione dopo l'aneddoto si disintegrò in chiacchiere piccole e insignificanti sul futuro e sul ballo passato, sullo spettacolo, su quando e dove si sarebbero visti.

Consideriamo un'economia con l beni. Per una particolare impresa, è naturale considerare alcuni di questi beni come fattori di produzione e altri come prodotti di output. Va notato che questa divisione è piuttosto arbitraria, poiché l'azienda ha sufficiente libertà nella scelta della gamma di prodotti fabbricati e della struttura dei costi. Nel descrivere la tecnologia distingueremo tra produzione e costi, rappresentando questi ultimi come produzione con un segno meno. Per comodità di presentazione della tecnologia, i prodotti che non vengono né consumati né prodotti dall'azienda saranno classificati come output e il volume di produzione di questi prodotti sarà considerato pari a 0. In linea di principio, una situazione in cui un prodotto fabbricato da non si può escludere che un'azienda ne venga consumata anche nel processo produttivo. In questo caso considereremo solo la produzione netta di questo prodotto, ovvero la sua produzione meno i costi.

Sia il numero dei fattori di produzione pari a n e il numero dei tipi di output pari a m, in modo che l = m + n. Indichiamo il vettore dei costi (in valore assoluto) con r Rn + e il volume della produzione con y Rm + . Chiameremo il vettore (−r, yo ) vettore delle emissioni nette. L'insieme di tutti i vettori tecnologicamente realizzabili delle uscite nette y = (−r, yo ) è insieme tecnologico Y. Pertanto, nel caso in esame, qualsiasi insieme tecnologico è un sottoinsieme di Rn − × Rm +.

Questa descrizione della produzione è di natura generale. Allo stesso tempo, è possibile non aderire a una rigida divisione dei beni in prodotti e fattori di produzione: lo stesso bene può essere speso con una tecnologia e prodotto con un'altra. In questo caso, Y Rl.

Descriviamo le proprietà degli insiemi tecnologici, in base ai quali vengono solitamente descritte classi specifiche di tecnologie.

1. Non vuoto

L’insieme tecnologico Y non è vuoto.

Questa proprietà significa la possibilità fondamentale di svolgere attività produttiva.

2. Chiusura

L’insieme tecnologico Y è chiuso.

Questa proprietà è piuttosto tecnica; significa che l'insieme tecnologico contiene il suo confine, e il limite di qualsiasi sequenza di vettori di output netto tecnologicamente fattibile è anche un vettore di output netto tecnologicamente fattibile.

3. Libertà di spesa:

se y Y e y0 6 y, allora y0 Y.

Questa proprietà può essere interpretata come la capacità di produrre la stessa quantità di output, ma a costi più elevati, o una minore produzione agli stessi costi.

4. Niente “cornucopia” (“niente pranzo gratis”)

se y Y e y > 0, allora y = 0.

Questa proprietà significa che per produrre un prodotto in quantità positiva, i costi sono richiesti in un volume diverso da zero.

Riso. 4.1. Varietà tecnologica con rendimenti di scala crescenti.

5. Rendimenti di scala non crescenti:

se y Y e y0 = λy, dove 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Questa proprietà è talvolta chiamata (non del tutto accuratamente) rendimenti di scala decrescenti. Nel caso di due beni, di cui uno viene speso e l’altro viene prodotto, i rendimenti decrescenti significano che la produttività media (massima possibile) dell’input non aumenta. Se in un'ora riesci a risolvere, nella migliore delle ipotesi, 5 problemi simili in microeconomia, in due ore, in condizioni di rendimenti decrescenti, non potresti risolvere più di 10 problemi simili.

50 . Rendimenti di scala non decrescenti:

se y Y e y0 = λy, dove λ > 1, allora y0 Y.

Nel caso di due beni, di cui uno viene speso e l’altro viene prodotto, i rendimenti crescenti significano che la produttività media (massima possibile) dell’input non diminuisce.

500. Rendimenti di scala costanti sono una situazione in cui l’insieme tecnologico soddisfa simultaneamente le condizioni 5 e 50, cioè

se y Y e y0 = λy0 , allora y0 Y λ > 0.

Dal punto di vista geometrico, i rendimenti di scala costanti significano che Y è un cono (possibilmente non contenente 0).

Nel caso di due beni, di cui uno è input e l’altro viene prodotto, l’output costante significa che la produttività media dell’input non cambia al variare dell’output.

Riso. 4.2. Set tecnologico convesso con rendimenti di scala decrescenti

La proprietà di convessità indica la capacità di “mescolare” le tecnologie in qualsiasi proporzione.

7. Irreversibilità

se y Y e y 6= 0, allora (−y) / Y.

Diciamo che puoi produrre 5 cuscinetti da un chilogrammo di acciaio. L'irreversibilità significa che è impossibile produrre un chilogrammo di acciaio da 5 cuscinetti.

8. Additività.

se y Y e y0 Y , allora y + y0 Y.

La proprietà di additività significa la capacità di combinare tecnologie.

9. Accettabilità dell'inattività:

Teorema 44:

1) Dai rendimenti di scala non crescenti e dall'additività dell'insieme tecnologico segue la sua convessità.

2) I rendimenti di scala non crescenti derivano dalla convessità dell’insieme tecnologico e dall’ammissibilità dell’inattività. (Non è sempre vero il contrario: con rendimenti non crescenti, la tecnologia può essere non convessa, vedere Fig. 4.3 .)

3) L'insieme tecnologico ha le proprietà di additività e non crescente

ritorna in scala se e solo se è un cono convesso.

Riso. 4.3. Un insieme tecnologico non convesso con rendimenti di scala non crescenti.

Non tutte le tecnologie ammissibili sono ugualmente importanti dal punto di vista economico. Tra quelli consentiti spiccano quelli speciali tecnologie efficienti. Una tecnologia ammissibile y è solitamente detta efficace se non esiste altra tecnologia ammissibile y0 (diversa da essa) tale che y0 > y. Ovviamente, questa definizione di efficienza implica implicitamente che tutti i beni siano in un certo senso desiderabili. Le tecnologie efficaci costituiscono frontiera efficiente insieme tecnologico. In determinate condizioni diventa possibile utilizzare nell'analisi la frontiera effettiva anziché l'intero set tecnologico. In questo caso è importante che per ogni tecnologia ammissibile y esista una tecnologia effettiva y0 tale che y0 > y. Affinché questa condizione sia soddisfatta, è necessario che l’insieme tecnologico sia chiuso e che all’interno dell’insieme tecnologico sia impossibile aumentare indefinitamente la produzione di un bene senza ridurre la produzione di altri beni. Si può dimostrare che se tecnologico

Riso. 4.4. La tecnologia efficiente stabilisce i confini

ha la proprietà della libertà di spesa, allora il confine effettivo definisce univocamente il corrispondente insieme tecnologico.

I corsi introduttivi e intermedi, nel descrivere il comportamento di un produttore, si basano sulla rappresentazione del suo insieme produttivo attraverso una funzione di produzione. Una questione rilevante è in quali condizioni sul set di produzione una tale rappresentazione è possibile. Sebbene sia possibile dare una definizione più ampia di funzione di produzione, nel seguito parleremo solo di tecnologie “monoprodotto”, ovvero m = 1.

Sia R la proiezione dell'insieme tecnologico Y sullo spazio dei vettori di costo, cioè

R = ( r Rn | yo R: (−r, yo ) Y ) .

Definizione 37:

Viene chiamata la funzione f(·) : R 7→R funzione di produzione, che rappresenta la tecnologia Y, se per ogni r R il valore f(r) è il valore del seguente problema:

io → massimo

(−r, yo) Y.

Si noti che qualsiasi punto sul confine effettivo dell'insieme tecnologico ha la forma (−r, f(r)). È vero il contrario se f(r) è una funzione crescente. In questo caso, yo = f(r) è l'equazione di frontiera effettiva.

Il seguente teorema fornisce le condizioni alle quali un insieme tecnologico può essere rappresentato??? funzione di produzione.

Teorema 45:

Sia per un insieme tecnologico Y R × (−R) per ogni r R l'insieme

F (r) = ( io | (−r, io ) Y )

chiuso e delimitato dall'alto. Allora Y può essere rappresentato da una funzione di produzione.

Nota: L'adempimento delle condizioni di questa affermazione può essere garantito, ad esempio, se l'insieme Y è chiuso e ha le proprietà dei rendimenti di scala non crescenti e dell'assenza di una cornucopia.

Teorema 46:

Sia l'insieme Y chiuso e abbia le proprietà dei rendimenti di scala non crescenti e dell'assenza di cornucopia. Allora per ogni r R l'insieme

F (r) = ( io | (−r, io ) Y )

chiuso e delimitato dall'alto.

Dimostrazione: La chiusura degli insiemi F (r) segue direttamente dalla chiusura di Y. Mostriamo che F (r) sono limitati dall'alto. Lasciamo che questo non sia il caso e per qualche r R esista

esiste una successione infinitamente crescente (yn) tale che yn F (r). Quindi, a causa dei rendimenti di scala non crescenti (−r/yn , 1) Y. Pertanto (a causa della chiusura), (0, 1) Y , che contraddice l'assenza di una cornucopia.

Si noti inoltre che se l’insieme tecnologico Y soddisfa l’ipotesi della libera spesa, ed esiste una funzione di produzione f(·) che lo rappresenta, allora l’insieme Y è descritto dalla seguente relazione:

Y = ( (−r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Stabiliamo ora alcune relazioni tra le proprietà dell'insieme tecnologico e la funzione di produzione che lo rappresenta.

Teorema 47:

Sia l'insieme tecnologico Y tale che per ogni r R sia definita la funzione di produzione f(·). Allora è vero quanto segue.

1) Se l'insieme Y è convesso, allora la funzione f(·) è concava.

2) Se l'insieme Y soddisfa l'ipotesi della libera spesa, allora è vero anche il viceversa, cioè se la funzione f(·) è concava, allora l'insieme Y è convesso.

3) Se Y è convesso, allora f(·) è continua all'interno dell'insieme R.

4) Se l'insieme Y gode della proprietà della libertà di spesa, allora la funzione f(·) non diminuisce.

5) Se Y ha la proprietà di non avere una cornucopia, allora f(0) 6 0.

6) Se l'insieme Y ha la proprietà di inattività ammissibile, allora f(0) > 0.

Dimostrazione: (1) Sia r0 , r00 R. Allora (−r0 , f(r0 )) Y e (−r00 , f(r00 )) Y , e

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

poiché l'insieme Y è convesso. Quindi, per definizione della funzione di produzione

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00 ),

il che significa che f(·) è concavo.

(2) Poiché l'insieme Y ha la proprietà della spesa libera, l'insieme Y (fino al segno del vettore dei costi) coincide con il suo sottografo. E il sottografo di una funzione concava è un insieme convesso.

(3) Il fatto da dimostrare consegue dal fatto che una funzione concava è internamente continua.

la dimensione del suo dominio di definizione.

(4) Sia r 00 > r0 (r0 , r00 R). Poiché (−r0 , f(r0 )) Y , allora per la proprietà della libertà di spesa (−r00 , f(r0 )) Y . Quindi, per la definizione della funzione di produzione, f(r00) > f(r0), cioè f(·) non diminuisce.

(5) La disuguaglianza f(0) > 0 contraddice l'ipotesi dell'assenza di una cornucopia. Quindi f(0) 6 0.

(6) Assumendo l'ammissibilità dell'inattività (0, 0) Y . Quindi, per definizione

Supponendo l'esistenza di una funzione di produzione, le proprietà di una tecnologia possono essere descritte direttamente in termini di questa funzione. Dimostriamolo usando l'esempio della cosiddetta elasticità di scala.

Sia la funzione di produzione differenziabile. Nel punto r, dove f(r) > 0, definiamo

elasticità locale della scala e(r) come:

Se ad un certo punto e(r) è uguale a 1, allora a questo punto si considera tale rendimenti di scala costanti, se più di 1 allora rendimenti crescenti, meno - rendimenti di scala decrescenti. La definizione precedente può essere riscritta come segue:

P ∂f(r) e(r) = io ∂r io r io .

Teorema 48:

Sia descritto l'insieme tecnologico Y dalla funzione di produzione f(·) e

V nel punto r abbiamo e(r) > 0. Allora vale quanto segue:

1) Se l’insieme tecnologico Y ha la proprietà dei rendimenti di scala decrescenti, allora e(r) 6 1.

2) Se l’insieme tecnologico Y ha la proprietà dei rendimenti di scala crescenti, allora e(r) > 1.

3) Se Y ha la proprietà dei rendimenti di scala costanti, allora e(r) = 1.

Dimostrazione: (1) Consideriamo la successione (λn ) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λnf(r). Riscriviamo questa disuguaglianza come:

I set tecnologici Y possono essere specificati nel modulo funzioni di produzione implicite G(·). Per definizione, una funzione g(·) è detta funzione di produzione implicita se la tecnologia y appartiene all'insieme tecnologico Y se e solo se g(y) >

Tieni presente che tale funzione può sempre essere trovata. Ad esempio, una funzione adatta è tale che g(y) = 1 per y Y e g(y) = −1 per y / Y . Si noti, tuttavia, che questa funzione non è differenziabile. In generale, non tutti gli insiemi tecnologici possono essere descritti da una funzione di produzione implicita differenziabile, e tali insiemi tecnologici non sono qualcosa di eccezionale. In particolare, gli insiemi tecnologici considerati nei corsi iniziali di microeconomia sono spesso tali che la loro descrizione richiede due (o più) disuguaglianze con funzioni differenziabili, poiché è necessario tenere conto di ulteriori vincoli sulla non negatività dei fattori di produzione. Per tenere conto di tali restrizioni, è possibile utilizzare il vettore implicito