Coordinate generalizzate e forze generalizzate. Coordinate generalizzate e forze generalizzate Come appare il lavoro delle forze nelle coordinate generalizzate

Meccanica analitica. Classificazione delle connessioni. Esempi. Possibili movimenti.

Connessione– questo è il rapporto tra le coordinate e le velocità dei punti del sistema, presentato sotto forma di uguaglianze o disuguaglianze.

Classificazione:

Geometrico– impone restrizioni solo sulle coordinate dei punti del sistema (le velocità non sono incluse)

Cinematico– le velocità entrano nelle equazioni. Se riesci a eliminare le velocità, la connessione è integrata.

Connessioni olonome– collegamenti differenziali geometrici ed integrabili.

La connessione viene chiamata presa(imposte o restrizioni rimangono in qualsiasi posizione del sistema) e sfrenato, che non possiedono questa proprietà (da tali connessioni, come si suol dire, il sistema può essere “liberato”

Possibile trasferimento

Qualsiasi mentale

Infinitesimale

È consentito spostare i punti del sistema

In questo momento

Connessioni imposte al sistema.

Movimento reale– dipende dalle forze, dal tempo, dalle connessioni, dalle condizioni iniziali.

Il possibile movimento dipende solo dai collegamenti.

Per i collegamenti stazionari, il movimento effettivo è uno dei possibili.

Connessioni ideali. Il principio dei movimenti possibili.

Ideale sono dette connessioni per le quali la somma dei lavori elementari di tutte le loro reazioni ad ogni possibile spostamento è pari a 0.

Il principio dei movimenti possibili.

Per l’equilibrio di un sistema meccanico con collegamenti stazionari ideali, è necessario e sufficiente che la somma del lavoro elementare di tutte le forze attive su ogni possibile spostamento sia uguale a 0. In questo caso, per sufficienza, la velocità iniziale deve essere uguale a zero. Saldo necessario => Sufficiente => saldo.

Coordinate generalizzate. Il numero di gradi di libertà del sistema. Forze generalizzate, metodi per calcolarle. Condizioni di equilibrio per un sistema con vincoli olonomi, espresse in termini di forze generalizzate.

Coordinate generalizzate– un parametro indipendente che determina completamente la posizione del sistema e attraverso il quale possono essere espresse tutte le coordinate cartesiane dei punti del sistema.

Il numero di gradi di libertà è determinato dal numero di coordinate generalizzate

Il numero di quantità scalari reciprocamente indipendenti che determinano in modo univoco la posizione di un sistema meccanico nello spazio è chiamato numero di gradi di libertà.

Le coordinate generalizzate di un sistema meccanico sono qualsiasi quantità geometrica indipendente l'una dall'altra che determina in modo univoco la posizione del sistema nello spazio.

Q io = δA j /δq j o δA j = Q io ⋅ δq j .

Forza generalizzata- si tratta di una forza che su un eventuale spostamento lungo la sua coordinata generalizzata compie lo stesso lavoro di tutte le forze applicate al sistema sul corrispondente spostamento dei punti di loro applicazione.

Per trovare la forza generalizzata, diamo il possibile spostamento lungo la sua coordinata generalizzata, lasciando invariate le altre coordinate. Quindi troviamo il lavoro compiuto da tutte le forze applicate al sistema e lo dividiamo per il possibile spostamento.

Il principio degli spostamenti possibili in termini di forze generalizzate.

Poiché in equilibrio la somma del lavoro elementare su ogni possibile spostamento ( bA=BQ J , che non dipendono l'uno dall'altro, allora per questo deve valere quanto segue: Q 1 =0; Q2=0; Q K = 0

Definizione di forze generalizzate

Per un sistema con un grado di libertà, una forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata Q, è chiamata la quantità determinata dalla formula

dove d Q– piccolo incremento della coordinata generalizzata; – la somma dei lavori elementari delle forze del sistema sul suo possibile movimento.

Ricordiamo che il possibile movimento del sistema è definito come il movimento del sistema verso una posizione infinitamente vicina consentita dalle connessioni in un dato momento nel tempo (per maggiori dettagli, vedere l'Appendice 1).

È noto che la somma del lavoro compiuto dalle forze di reazione dei legami ideali su ogni possibile spostamento del sistema è pari a zero. Pertanto, per un sistema con connessioni ideali, nell'espressione dovrebbe essere preso in considerazione solo il lavoro delle forze attive del sistema. Se le connessioni non sono ideali, allora le loro forze di reazione, ad esempio le forze di attrito, sono convenzionalmente considerate forze attive (vedi sotto per le istruzioni sul diagramma in Fig. 1.5). Ciò include il lavoro elementare delle forze attive e il lavoro elementare dei momenti delle coppie attive di forze. Scriviamo le formule per determinare questi lavori. Diciamo che la forza ( F kx, F ky, F kz) applicato al punto A, il cui raggio vettore è ( xk,yk,zk), ed eventuale spostamento – (d xk, D sì, ok, D zk). Il lavoro elementare di una forza su un eventuale spostamento è pari al prodotto scalare, che in forma analitica corrisponde all'espressione

D UN( ) = F a D r a cos(), (1.3a)

e in forma coordinata – l'espressione

D UN( ) = Fkx D xk+Fky D yk + F kz D zk. (1.3b)

Se un paio di forze con un momento M applicata ad un corpo rotante, la cui coordinata angolare è j, e il possibile spostamento è dj, allora il lavoro elementare del momento M sul possibile spostamento dj è determinato dalla formula

D SONO) = ± M D J. (1,3 V)

Qui il segno (+) corrisponde al caso in cui è il momento M ed eventuali movimenti dj coincidono nella direzione; segno (–) quando hanno direzione opposta.

Per poter determinare la forza generalizzata utilizzando la formula (1.3), è necessario esprimere i possibili movimenti dei corpi e dei punti attraverso un piccolo incremento della coordinata generalizzata d Q, usando le dipendenze (1)…(7) agg. 1.

Definizione di forza generalizzata Q, corrispondente alla coordinata generalizzata selezionata Q, si consiglia di farlo nel seguente ordine.

· Disegnare sul diagramma di progetto tutte le forze attive del sistema.

· Dare un piccolo incremento alla coordinata generalizzata d q> 0; mostrare sul diagramma di calcolo i corrispondenti possibili spostamenti di tutti i punti in cui vengono applicate le forze, e i possibili spostamenti angolari di tutti i corpi a cui vengono applicati i momenti delle coppie di forze.

· Comporre un'espressione per il lavoro elementare di tutte le forze attive del sistema su questi movimenti, esprimere i possibili movimenti attraverso d Q.

· Determinare la forza generalizzata utilizzando la formula (1.3).

Esempio 1.4 (vedi condizione di Fig. 1.1).

Definiamo la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata S(Fig. 1.4).

Sul sistema agiscono forze attive: P- peso del carico; G– peso e coppia del tamburo M.

Il piano inclinato grezzo è per il carico UN collegamento imperfetto. Forza di attrito radente F tr, agendo sul carico UN da questo collegamento, è uguale a Ftr = fN.

Per determinare la forza N pressione normale di un carico su un piano durante il movimento, utilizziamo il principio di D'Alembert: se a ciascun punto del sistema viene applicata una forza inerziale condizionale, oltre alle forze attive attive e alle forze di reazione delle connessioni, l'insieme risultante di le forze saranno bilanciate e le equazioni dinamiche potranno assumere la forma di equazioni di equilibrio statico. Seguendo il noto metodo di applicazione di questo principio, rappresenteremo tutte le forze che agiscono sul carico UN(Fig. 1.5), – e , dove è la forza di tensione del cavo.

Riso. 1.4fig. 1.5

Aggiungiamo la forza di inerzia, dove è l'accelerazione del carico. Equazione del principio di d'Alembert in proiezione sull'asse sì sembra N–Pcos UN = 0.

Da qui N = Pcos UN. La forza di attrito radente può ora essere determinata dalla formula Ftr = fPcos UN.

Diamo la coordinata generalizzata S piccolo incremento d s> 0. In questo caso, il carico (Fig. 1.4) si sposterà lungo il piano inclinato fino a una distanza d S, e il tamburo girerà in senso antiorario dell'angolo dj.

Utilizzando formule come (1.3a) e (1.3c), componiamo un'espressione per la somma dei lavori di coppia elementari M, forza P E F tr:

Esprimiamo dj in questa equazione tramite d S: , Poi

definiamo la forza generalizzata utilizzando la formula (1.3)

Prendiamo in considerazione la formula scritta in precedenza per F tr e finalmente lo otterremo

Se nello stesso esempio prendiamo l'angolo j come coordinata generalizzata, allora la forza generalizzata Q j espresso dalla formula

1.4.2. Determinazione delle forze del sistema generalizzato
con due gradi di libertà

Se il sistema ha N gradi di libertà, la sua posizione è determinata N coordinate generalizzate. Ogni coordinata qi(io = 1,2,…,N) corrisponde alla sua forza generalizzata Qi, che è determinato dalla formula

dove è la somma dei lavori elementari delle forze attive su io-esimo possibile movimento del sistema quando d qi > 0 e le restanti coordinate generalizzate rimangono invariate.

Nel determinare, è necessario tenere conto delle istruzioni per determinare le forze generalizzate secondo la formula (1.3).

Si consiglia di determinare le forze generalizzate di un sistema con due gradi di libertà nel seguente ordine.

· Mostrare sul diagramma di progetto tutte le forze attive del sistema.

· Determinare la prima forza generalizzata Domanda 1. Per fare ciò, dare al sistema il primo movimento possibile quando d q1> 0 e d q2=q1 possibili movimenti di tutti i corpi e punti del sistema; comporre - un'espressione del lavoro elementare delle forze del sistema sul primo spostamento possibile; eventuali spostamenti espressi tramite d q1; Trovare Domanda 1 secondo la formula (1.4), prendendo io = 1.

· Determinare la seconda forza generalizzata Domanda 2. Per fare ciò, dare al sistema un secondo movimento possibile quando d q2> 0 e d q1 = 0; mostrare la d corrispondente sul diagramma di progettazione q2 possibili movimenti di tutti i corpi e punti del sistema; comporre - un'espressione del lavoro elementare delle forze del sistema sul secondo spostamento possibile; eventuali spostamenti espressi tramite d q2; Trovare Domanda 2 secondo la formula (1.4), prendendo io = 2.

Esempio 1.5 (vedi condizione Fig. 1.2)

Definiamo Domanda 1 E Domanda 2, corrispondente alle coordinate generalizzate xD E xA(figura 1.6, UN).

Sul sistema agiscono tre forze attive: PA = 2P, P B = P D = P.

Definizione Domanda 1. Diamo al sistema il primo movimento possibile quando d xD> 0, d xA = 0 (figura 1.6, UN). Allo stesso tempo, il carico D xD, blocco B ruoterà in senso antiorario di un angolo dj B, asse del cilindro UN resterà immobile, cilindro UN ruoterà attorno ad un asse UN all'angolo dj UN senso orario. Compiliamo la somma del lavoro sui movimenti indicati:

definiamo

Definiamo Domanda 2. Diamo al sistema un secondo movimento possibile quando d xD = 0, d xA> 0 (figura 1.6, B). In questo caso, l'asse del cilindro UN si sposterà verticalmente lungo una distanza d xA, cilindro UN ruoterà attorno ad un asse UN in senso orario per inclinare dj UN, blocco B e carico D resterà immobile. Compiliamo la somma del lavoro sui movimenti indicati:

definiamo

Esempio 1.6 (vedi condizione Fig. 1.3)

Definiamo Domanda 1 E Domanda 2, corrispondente alle coordinate generalizzate j, S(Fig. 1.7, UN). Le forze attive che agiscono sul sistema sono quattro: il peso dell'asta P, peso della palla, forza elastica della molla e .

Teniamone conto. Il modulo delle forze elastiche è determinato dalla formula (a).

Si noti che il punto di applicazione della forza F2è immobile, quindi il lavoro di questa forza su ogni possibile spostamento del sistema è nullo, nell'espressione di forze generalizzate la forza F2 non entrerò.

Definizione Domanda 1. Diamo al sistema il primo movimento possibile quando dj > 0, d s = 0 (figura 1.7, UN). In questo caso, l'asta AB ruoterà attorno ad un asse z in senso antiorario per angolo dj, possibili movimenti della palla D e centro E le aste sono dirette perpendicolarmente al segmento ANNO DOMINI, la lunghezza della molla non cambierà. Mettiamolo in forma coordinata [vedi. formula (1.3b)]:

(Si tenga presente che, quindi, il lavoro compiuto da questa forza sul primo spostamento possibile è nullo).

Esprimiamo gli spostamenti d xE e d xD tramite DJ. Per fare questo, prima scriviamo

Quindi, secondo la formula (7) agg. 1 troveremo

Sostituendo i valori trovati in , otteniamo

Usando la formula (1.4), tenendo conto di ciò, determiniamo

Definizione Domanda 2. Diamo al sistema un secondo possibile movimento quando dj = 0, d s> 0 (figura 1.7, B). In questo caso, l'asta AB rimarrà immobile e la palla M si muoverà lungo l'asta di una distanza d S. Compiliamo la somma del lavoro sui movimenti indicati:

definiamo

sostituendo il valore della forza F1 dalla formula (a), otteniamo

1.5. Esprimere l'energia cinetica di un sistema
in coordinate generalizzate

L'energia cinetica di un sistema è uguale alla somma delle energie cinetiche dei suoi corpi e dei suoi punti (Appendice 2). Per ottenere T L'espressione (1.2) dovrebbe esprimere le velocità di tutti i corpi e punti del sistema attraverso velocità generalizzate utilizzando metodi cinematici. In questo caso, il sistema è considerato in una posizione arbitraria, tutte le sue velocità generalizzate sono considerate positive, cioè dirette verso coordinate generalizzate crescenti.

Esempio 1. 7 (vedi condizione Fig. 1.1)

Determiniamo l'energia cinetica del sistema (Fig. 1.8), prendendo la distanza come coordinata generalizzata S,

T = T A + T B.

Secondo le formule (2) e (3) agg. 2 abbiamo: .

Sostituendo questi dati in T e tenendo conto di ciò, otteniamo

Esempio 1.8(vedi condizione Fig. 1.2)

Determiniamo l'energia cinetica del sistema in Fig. 1.9, prendendo come coordinate generalizzate le quantità xD E xA,

T = T A + T B + T D.

Secondo le formule (2), (3), (4) agg. 2 lo scriveremo

Esprimiamoci V A , V D , w B e W UN Attraverso :

Nel determinare w UN si tiene conto del punto O(Fig. 1.9) – velocità istantanea del centro del cilindro UN E Vk = VD(vedi le spiegazioni corrispondenti per esempio 2 appendice 2).

Sostituendo i risultati ottenuti in T e dato questo

definiamo

Esempio 1.9(vedi condizione Fig. 1.3)

Determiniamo l'energia cinetica del sistema in Fig. 1.10, prendendo j e come coordinate generalizzate S,

T = T AB + T D.

Secondo le formule (1) e (3) agg. 2 che abbiamo

Esprimiamo w AB E V D tramite e:

dove è la velocità di trasferimento della palla D, il suo modulo è determinato dalla formula

Diretto perpendicolarmente al segmento ANNO DOMINI nella direzione dell'aumento dell'angolo j; – velocità relativa della palla, il suo modulo è determinato dalla formula, diretta verso coordinate crescenti S. Si noti che è perpendicolare, quindi

Sostituendo questi risultati in T e dato questo

1.6. Elaborazione di equazioni differenziali
movimento dei sistemi meccanici

Per ottenere le equazioni richieste è necessario sostituire nelle equazioni di Lagrange (1.1) l'espressione precedentemente trovata per l'energia cinetica del sistema in coordinate generalizzate e forze generalizzate Q 1 , Q 2 , … , Domanda n.

Quando si trovano le derivate parziali T utilizzando coordinate generalizzate e velocità generalizzate, si dovrebbe tenere conto del fatto che le variabili Q 1 , Q 2 , … , qn; sono considerati indipendenti l'uno dall'altro. Ciò significa che quando si definisce la derivata parziale T per una di queste variabili, tutte le altre variabili nell'espressione for T dovrebbero essere considerate come costanti.

Quando si esegue un'operazione, tutte le variabili incluse nella variabile devono essere differenziate nel tempo.

Sottolineiamo che le equazioni di Lagrange sono scritte per ciascuna coordinata generalizzata qi (io = 1, 2,…N) sistemi.

Nella meccanica analitica, insieme al concetto di forza come grandezza vettoriale che caratterizza l'impatto su un dato corpo di altri corpi materiali, si utilizza il concetto di forza generalizzata. Per determinare potere generalizzato Consideriamo il lavoro virtuale delle forze applicate a punti del sistema.

Se su di esso viene imposto un sistema meccanico con forze di contenimento olonome H ha connessioni s =3n-h gradi di libertà , quindi viene determinata la posizione di questo sistema ( io = s)

coordinate generalizzate e (2.11) : Secondo (2.13), (2.14) spostamento virtuale K - punti

(2.13)

(2.14)

Sostituendo la (2.14): nella formula del lavoro virtuale delle forze

(2.24), otteniamo

Quantità scalare = (2.26)

chiamato forza generalizzata, corrispondente io esima coordinata generalizzata.

Forza generalizzatacorrispondente a i-La coordinata generalizzata è una quantità pari al moltiplicatore per la variazione di una data coordinata generalizzata nell'espressione del lavoro virtuale delle forze agenti su un sistema meccanico.

Lavoro virtuale determinato da

¾ forze attive specificate indipendenti da restrizioni e

¾ reazioni di accoppiamento (se gli accoppiamenti non sono ideali, per risolvere il problema è necessario impostare ulteriormente la dipendenza fisica T j da N J , ( T j ¾ si tratta normalmente di forze di attrito o momenti di resistenza all'attrito volvente, che possiamo determinare).

Generalmente forza generalizzataè una funzione delle coordinate generalizzate, delle velocità dei punti del sistema e del tempo. Dalla definizione ne consegue che forza generalizzata¾ è una quantità scalare che dipende dalle coordinate generalizzate scelte per un dato sistema meccanico. Ciò significa che quando cambia l'insieme di coordinate generalizzate che determinano la posizione di un dato sistema, il forze generalizzate.

Esempio 2.10. Per un disco con raggio R e massa M, che rotola senza strisciare su un piano inclinato (Fig. 2.9), può essere preso come coordinata generalizzata:

¾ o q = s¾ movimento del centro di massa del disco,

¾entrambi Q= j ¾ angolo di rotazione del disco. Se trascuriamo la resistenza al rotolamento, allora:

¾nel primo caso forza generalizzata Volere

Riso. 2.9 Qs = mgsina, a

¾ nel secondo caso ¾ Q j = mg r cosa.

La coordinata generalizzata determina anche l'unità di misura del corrispondente potere generalizzato. Dall'espressione (2.25)

(2.27)

ne consegue che l'unità di misura potere generalizzato uguale all'unità di lavoro divisa per l'unità di coordinata generalizzata.

Se, come coordinata generalizzata Q accettare q = s¾ movimento di un punto qualsiasi, quindi l'unità di misura potere generalizzato Q s ¾ sarà [newtone] ,

Se, come a Q= j ¾ verrà preso l'angolo di rotazione (in radianti) del corpo, poi l'unità di misura potere generalizzato Q j 2 sarà [ newton´ metro].

Scriviamo la somma dei lavori elementari delle forze agenti sui punti del sistema sul possibile spostamento del sistema:

Lasciamo che il sistema olonomico abbia gradi di libertà e, quindi, la sua posizione nello spazio è determinata coordinate generalizzate
.

Sostituendo la (225) nella (226) e cambiando l'ordine di somma degli indici E , noi abbiamo

. (226")

dove è la quantità scalare

chiamato forza generalizzata relativa alla coordinata generalizzata . Utilizzando la nota espressione del prodotto scalare di due vettori, la forza impartita può anche essere rappresentata come

– proiezioni di forza sugli assi coordinati;
– coordinate del punto di applicazione della forza.

La dimensione della forza generalizzata secondo (226") dipende dalla dimensione come segue , coincidente con la dimensione :

, (228)

cioè, la dimensione della forza generalizzata è uguale alla dimensione del lavoro della forza (energia) o del momento della forza, diviso per la dimensione della coordinata generalizzata a cui è assegnata la forza generalizzata. Ne consegue che una forza generalizzata può avere la dimensione della forza o del momento della forza.

Calcolo della forza generalizzata

1. La forza generalizzata può essere calcolata utilizzando la formula (227), che la definisce, ovvero

2. Le forze generalizzate possono essere calcolate come coefficienti per le corrispondenti variazioni delle coordinate generalizzate nell'espressione per il lavoro elementare (226"), cioè

3. Il metodo più appropriato per calcolare le forze generalizzate, che si ottiene da (226 ""), è se al sistema viene dato un possibile movimento tale che cambia solo una coordinata generalizzata, mentre le altre non cambiano. Quindi se
, e il resto
, allora da (179") abbiamo

.

Indice indica che la somma dei lavori elementari è calcolata su un possibile spostamento, durante il quale cambia (varia) solo la coordinata . Se la coordinata variabile è , Quello

. (227")

Condizioni di equilibrio per un sistema di forze in termini di forze generalizzate

Condizioni di equilibrio del sistema derivano dal principio dei movimenti possibili. Si applicano ai sistemi per i quali vale questo principio: per l'equilibrio di un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi, stazionari, ideali e non rilascianti, nel momento in cui le velocità di tutti i punti del sistema sono uguali a zero, è necessario e sufficiente che tutte le forze generalizzate siano uguali a zero

. (228")

3.6.7. Equazione generale della dinamica

Equazione generale della dinamica per un sistema con qualsiasi connessione (principio combinato di d'Alembert-Lagrange O equazione generale della meccanica):

, (229)

Dove – forza attiva applicata -esimo punto del sistema; – forza di reazione dei legami;
– forza d'inerzia puntuale; – possibile movimento.

Nel caso di equilibrio del sistema, quando tutte le forze inerziali dei punti del sistema si annullano, si trasforma nel principio dei possibili spostamenti. Di solito viene utilizzato per sistemi con connessioni ideali, per i quali la condizione è soddisfatta

In questo caso (229) assume una delle forme:

,

,

. (230)

Così, secondo l'equazione generale della dinamica, in ogni momento del movimento di un sistema con connessioni ideali, la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive e delle forze di inerzia dei punti del sistema è uguale a zero in ogni possibile movimento del sistema consentito dalle connessioni.

L'equazione generale della dinamica può avere altre forme equivalenti. Espandendo il prodotto scalare dei vettori, può essere espresso come

Dove
- coordinate -esimo punto del sistema. Considerando che le proiezioni delle forze d'inerzia sugli assi coordinati attraverso le proiezioni delle accelerazioni su tali assi sono espresse dalle relazioni

,

all'equazione generale della dinamica può essere data la forma

In questa forma si chiama equazione generale della dinamica in forma analitica.

Quando si utilizza l'equazione generale della dinamica è necessario poter calcolare il lavoro elementare delle forze d'inerzia del sistema sugli eventuali spostamenti. Per fare ciò, applicare le formule corrispondenti al lavoro elementare ottenute per le forze ordinarie. Consideriamo la loro applicazione alle forze inerziali di un corpo rigido in casi particolari del suo movimento.

Durante il movimento in avanti. In questo caso il corpo ha tre gradi di libertà e, a causa dei vincoli imposti, può compiere solo movimenti traslatori. Anche i possibili movimenti del corpo che consentono le connessioni sono traslazionali.

Le forze d'inerzia durante il movimento traslatorio sono ridotte alla risultante
. Per la somma dei lavori elementari delle forze d'inerzia sul possibile movimento traslatorio di un corpo, si ottiene

Dove
– possibile movimento del baricentro e di qualsiasi punto del corpo, poiché il possibile movimento traslatorio di tutti i punti del corpo è lo stesso: anche le accelerazioni sono le stesse, cioè
.

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso. Il corpo in questo caso ha un grado di libertà. Può ruotare attorno ad un asse fisso
. Il movimento possibile, consentito dai collegamenti sovrapposti, è anch'esso una rotazione del corpo di un angolo elementare
attorno ad un asse fisso.

Forze di inerzia ridotte a un punto sull'asse di rotazione, sono ridotti al vettore principale e il punto principale
. Il vettore principale delle forze d'inerzia è applicato ad un punto fisso e il suo lavoro elementare sul possibile spostamento è zero. Per il momento principale delle forze d'inerzia, il lavoro elementare diverso da zero verrà eseguito solo mediante la sua proiezione sull'asse di rotazione
. Quindi, per la somma del lavoro delle forze d'inerzia sul possibile spostamento in esame abbiamo

,

se l'angolo
riportare nella direzione della freccia dell'arco di accelerazione angolare .

In movimento piatto. In questo caso i vincoli imposti al corpo rigido consentono solo possibili movimenti planari. Nel caso generale consiste in un possibile movimento traslatorio insieme al polo, per il quale si sceglie il baricentro, e in una rotazione di un angolo elementare
attorno all'asse
, passante per il centro di massa e perpendicolare al piano parallelo al quale il corpo può compiere moto piano.

Poiché le forze d'inerzia nel movimento piano di un corpo rigido possono essere ridotte al vettore principale e il punto principale
(se scegliamo il centro di massa come centro di riduzione), allora la somma del lavoro elementare delle forze d'inerzia su un piano il possibile spostamento sarà ridotto al lavoro elementare del vettore forza d'inerzia
sul possibile movimento del centro di massa e sul lavoro elementare delle principali forze del momento d'inerzia su un movimento rotatorio elementare attorno ad un asse
, passante per il centro di massa. In questo caso, il lavoro elementare diverso da zero può essere eseguito solo proiettando sull'asse le forze del momento d'inerzia principale
, cioè.
. Quindi, nel caso in esame abbiamo

se la rotazione avviene di un angolo elementare
dirigere in una freccia ad arco verso .

Naturalmente, quando si calcola questa forza generalizzata, l'energia potenziale dovrebbe essere determinata in funzione delle coordinate generalizzate

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,qs).

Appunti.

Primo. Nel calcolo delle forze di reazione generalizzate non vengono prese in considerazione le connessioni ideali.

Secondo. La dimensione della forza generalizzata dipende dalla dimensione della coordinata generalizzata. Quindi se la dimensione [ Q] – metro, quindi la dimensione

[Q]= Nm/m = Newton, se [ Q] – radiante, quindi [Q] = Nm; Se [ Q] = m 2, quindi [Q] = H/m, ecc.

Esempio 4. Un anello scorre lungo un'asta oscillante su un piano verticale. M peso R(Fig. 10). Consideriamo l'asta senza peso. Definiamo le forze generalizzate.

Fig.10

Soluzione. Il sistema ha due gradi di libertà. Assegniamo due coordinate generalizzate S E .

Troviamo la forza generalizzata corrispondente alla coordinata S. Diamo un incremento a questa coordinata, lasciandola invariata, e calcolando il lavoro dell'unica forza attiva R, otteniamo la forza generalizzata

Quindi incrementiamo la coordinata, assumendo S= cost. Quando l'asta viene ruotata di un angolo, il punto di applicazione della forza R, squillo M, si sposterà in . La forza generalizzata sarà

Poiché il sistema è conservativo, le forze generalizzate possono essere trovate anche utilizzando l'energia potenziale. Noi abbiamo E . Risulta molto più semplice.

Equazioni di equilibrio di Lagrange

Per definizione (7) forze generalizzate , K = 1,2,3,…,S, Dove S– numero di gradi di libertà.

Se il sistema è in equilibrio, allora secondo il principio degli spostamenti possibili (1) . Ecco i movimenti consentiti dai collegamenti, gli spostamenti possibili. Pertanto, quando un sistema materiale è in equilibrio, tutte le sue forze generalizzate sono pari a zero:

Qk= 0, (K=1,2,3,…, S). (10)

Queste equazioni equazioni di equilibrio in coordinate generalizzate O Equazioni di equilibrio di Lagrange , consentire un ulteriore metodo per risolvere problemi di statica.

Se il sistema è conservativo, allora . Ciò significa che è in una posizione di equilibrio. Cioè, nella posizione di equilibrio di un tale sistema materiale, la sua energia potenziale è massima o minima, cioè la funzione П(q) ha un estremo.

Ciò è evidente dall'analisi dell'esempio più semplice (Fig. 11). Energia potenziale della palla in posizione M 1 ha un minimo, in posizione M 2 – massimo. Si può notare che in posizione M 1 l'equilibrio sarà stabile; incinta M 2 – instabile.

Fig.11

L'equilibrio è considerato stabile se al corpo in questa posizione viene data una bassa velocità o spostato per una piccola distanza e queste deviazioni non aumentano in futuro.

Si può dimostrare (teorema di Lagrange-Dirichlet) che se nella posizione di equilibrio di un sistema conservativo la sua energia potenziale è minima, allora questa posizione di equilibrio è stabile.

Per un sistema conservativo ad un grado di libertà, la condizione per l'energia potenziale minima, e quindi la stabilità della posizione di equilibrio, è determinata dalla derivata seconda, il suo valore nella posizione di equilibrio,

Esempio 5. Nocciolo OA peso R può ruotare su un piano verticale attorno ad un asse DI(Fig. 12). Cerchiamo e studiamo la stabilità delle posizioni di equilibrio.

Fig.12

Soluzione. L'asta ha un grado di libertà. Coordinata generalizzata – angolo.

Rispetto alla posizione zero inferiore, energia potenziale P = Ph O

Nella posizione di equilibrio dovrebbe esserci . Quindi abbiamo due posizioni di equilibrio corrispondenti agli angoli e (posizioni OA 1 e OA 2). Esploriamo la loro stabilità. Trovare la derivata seconda. Naturalmente, con , . La posizione di equilibrio è stabile. A , . La seconda posizione di equilibrio è instabile. I risultati sono evidenti.

Forze d'inerzia generalizzate.

Utilizzando lo stesso metodo (8) con cui sono state calcolate le forze generalizzate Qk, corrispondenti alle forze attive, specificate, vengono determinate anche le forze generalizzate S k, corrispondenti alle forze di inerzia dei punti del sistema:

E da allora Quello

Alcune trasformazioni matematiche.

Ovviamente,

Poiché a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), allora

Ciò significa che la derivata parziale della velocità rispetto a

Inoltre, nell'ultimo termine (14) è possibile modificare l'ordine di differenziazione:

Sostituendo la (15) e la (16) nella (14), e poi la (14) nella (13), otteniamo

Dividendo l'ultima somma per due e tenendo presente che la somma delle derivate è uguale alla derivata della somma, otteniamo

dove è l'energia cinetica del sistema e è la velocità generalizzata.

Equazioni di Lagrange.

Per definizione (7) e (12) forze generalizzate

Ma in base all'equazione della dinamica generale (3), il lato destro dell'uguaglianza è uguale a zero. E poiché tutto ( K = 1,2,3,…,S) sono diversi da zero, allora . Sostituendo il valore della forza d'inerzia generalizzata (17), otteniamo l'equazione

Queste equazioni sono chiamate equazioni differenziali del moto in coordinate generalizzate, equazioni di Lagrange del secondo tipo o semplicemente – Equazioni di Lagrange.

Il numero di queste equazioni è uguale al numero di gradi di libertà del sistema materiale.

Se il sistema è conservativo e si muove sotto l'influenza di potenziali forze di campo, quando le forze generalizzate sono , le equazioni di Lagrange possono essere composte nella forma

Dove l = T– Si chiama P Funzione lagrangiana (si assume che l'energia potenziale P non dipenda dalle velocità generalizzate).

Spesso, quando si studia il movimento dei sistemi materiali, si scopre che alcune coordinate sono generalizzate qj non sono inclusi esplicitamente nella funzione Lagrange (o in T e P). Tali coordinate sono chiamate ciclico. Le equazioni di Lagrange corrispondenti a queste coordinate si ottengono più semplicemente.

Il primo integrale di tali equazioni può essere trovato immediatamente. Si chiama integrale ciclico:

Ulteriori studi e trasformazioni delle equazioni di Lagrange costituiscono oggetto di una sezione speciale di meccanica teorica - "Meccanica analitica".

Le equazioni di Lagrange presentano numerosi vantaggi rispetto ad altri metodi di studio del movimento dei sistemi. Principali vantaggi: il metodo di composizione delle equazioni è lo stesso in tutti i problemi, le reazioni delle connessioni ideali non vengono prese in considerazione durante la risoluzione dei problemi.

E ancora una cosa: queste equazioni possono essere utilizzate per studiare non solo i sistemi meccanici, ma anche altri sistemi fisici (elettrico, elettromagnetico, ottico, ecc.).

Esempio 6. Continuiamo il nostro studio del movimento dell'anello M su un'asta oscillante (esempio 4).

Vengono assegnate le coordinate generalizzate – e s (Fig. 13). Le forze generalizzate sono definite: e .

Fig.13

Soluzione. Energia cinetica dell'anello Dove a e .

Componiamo due equazioni di Lagrange

quindi le equazioni appaiono così:

Abbiamo ottenuto due equazioni differenziali non lineari del secondo ordine, la cui soluzione richiede metodi speciali.

Esempio 7. Creiamo un'equazione differenziale del moto della trave AB, che rotola senza strisciare lungo una superficie cilindrica (Fig. 14). Lunghezza del raggio AB = l, peso - R.

Nella posizione di equilibrio, la trave era orizzontale e baricentrica CON si trovava nel punto più alto del cilindro. La trave ha un grado di libertà. La sua posizione è determinata da una coordinata generalizzata: un angolo (Fig. 76).

Fig.14

Soluzione. Il sistema è conservativo. Pertanto, comporremo l'equazione di Lagrange utilizzando l'energia potenziale P=mgh, calcolata rispetto alla posizione orizzontale. Nel punto di contatto c'è un centro istantaneo di velocità e (pari alla lunghezza dell'arco circolare con angolo).

Pertanto (vedi Fig. 76) e .

Energia cinetica (il raggio subisce un movimento piano parallelo)

Troviamo le derivate necessarie per l'equazione e

Facciamo un'equazione

o, infine,

Domande di autotest

Come si chiama il movimento possibile di un sistema meccanico vincolato?

Come sono correlati i movimenti possibili ed effettivi del sistema?

Quali connessioni sono chiamate: a) stazionarie; b) ideale?

Formulare il principio dei movimenti possibili. Annota la sua espressione stereotipata.

È possibile applicare il principio dei movimenti virtuali a sistemi con connessioni non ideali?

Quali sono le coordinate generalizzate di un sistema meccanico?

Qual è il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico?

In che caso le coordinate cartesiane dei punti del sistema dipendono non solo dalle coordinate generalizzate, ma anche dal tempo?

Come si chiamano i possibili movimenti di un sistema meccanico?

I possibili movimenti dipendono dalle forze che agiscono sul sistema?

Quali connessioni di un sistema meccanico sono chiamate ideali?

Perché un legame creato con attrito non è un legame ideale?

Come è formulato il principio dei movimenti possibili?

Che tipologie può avere l’equazione del lavoro?

Perché il principio degli spostamenti possibili semplifica la derivazione delle condizioni di equilibrio per le forze applicate a sistemi vincolati costituiti da un gran numero di corpi?

Come si costruiscono le equazioni di lavoro per le forze che agiscono su un sistema meccanico con diversi gradi di libertà?

Qual è la relazione tra la forza motrice e la forza resistente nelle macchine semplici?

Come è formulata la regola d'oro della meccanica?

Come vengono determinate le reazioni delle connessioni utilizzando il principio dei movimenti possibili?

Quali connessioni sono chiamate olonome?

Qual è il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico?

Quali sono le coordinate generalizzate del sistema?

Quante coordinate generalizzate ha un sistema meccanico non libero?

Quanti gradi di libertà ha il volante di un'auto?

Cos'è la forza generalizzata?

Scrivi una formula che esprima il lavoro elementare totale di tutte le forze applicate al sistema in coordinate generalizzate.

Come viene determinata la dimensione della forza generalizzata?

Come vengono calcolate le forze generalizzate nei sistemi conservativi?

Scrivi una delle formule che esprimono l'equazione generale della dinamica di un sistema con connessioni ideali. Qual è il significato fisico di questa equazione?

Qual è la forza generalizzata delle forze attive applicate ad un sistema?

Qual è la forza d'inerzia generalizzata?

Formulare il principio di d'Alembert in forze generalizzate.

Qual è l'equazione generale della dinamica?

Qual è la cosiddetta forza generalizzata corrispondente a qualche coordinata generalizzata del sistema, e che dimensione ha?

Quali sono le reazioni generalizzate dei legami ideali?

Derivare l'equazione generale della dinamica nelle forze generalizzate.

Come sono le condizioni di equilibrio delle forze applicate ad un sistema meccanico ottenute dall'equazione generale della dinamica delle forze generalizzate?

Quali formule esprimono forze generalizzate attraverso proiezioni di forze sugli assi fissi delle coordinate cartesiane?

Come vengono determinate le forze generalizzate nel caso delle forze conservatrici e nel caso delle forze non conservatrici?

Quali connessioni sono chiamate geometriche?

Fornire una rappresentazione vettoriale del principio dei possibili spostamenti.

Nominare la condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un sistema meccanico con connessioni geometriche stazionarie ideali.

Quali proprietà ha la funzione forza di un sistema conservativo in uno stato di equilibrio?

Scrivere un sistema di equazioni differenziali di Lagrange del secondo tipo.

Quante equazioni di Lagrange del secondo tipo si possono costruire per un sistema meccanico vincolato?

Il numero di equazioni di Lagrange di un sistema meccanico dipende dal numero di corpi inclusi nel sistema?

Qual è il potenziale cinetico di un sistema?

Per quali sistemi meccanici esiste la funzione di Lagrange?

Con quali argomenti vale la funzione del vettore velocità di un punto appartenente ad un sistema meccanico S gradi di libertà?

Qual è la derivata parziale del vettore velocità di un punto nel sistema rispetto ad una velocità generalizzata?

La funzione di quali argomenti è l'energia cinetica di un sistema soggetto a vincoli olonomi non stazionari?

Che forma hanno le equazioni di Lagrange del secondo tipo? Qual è il numero di queste equazioni per ciascun sistema meccanico?

Che forma assumono le equazioni di Lagrange del secondo tipo nel caso in cui sul sistema agiscono contemporaneamente forze conservatrici e non conservatrici?

Cos'è la funzione di Lagrange o potenziale cinetico?

Che forma hanno le equazioni di Lagrange del secondo tipo per un sistema conservativo?

A seconda di quali variabili dovrebbe essere espressa l'energia cinetica di un sistema meccanico quando si compongono le equazioni di Lagrange?

Come viene determinata l'energia potenziale di un sistema meccanico sotto l'influenza di forze elastiche?

Problemi da risolvere in autonomia

Compito 1. Utilizzando il principio dei possibili spostamenti, determinare le reazioni delle connessioni delle strutture composite. Gli schemi strutturali sono mostrati in Fig. 15, ed i dati necessari per la soluzione sono riportati in tabella. 1. Nelle immagini tutte le dimensioni sono espresse in metri.

Tabella 1

Opzione 1 Opzione 2

Opzione 3 Opzione 4

Opzione 5 Opzione 6

Opzione 7 Opzione 8

Fig.16 Fig.17

Soluzione.È facile verificare che in questo problema sono soddisfatte tutte le condizioni per l'applicazione del principio di Lagrange (il sistema è in equilibrio, le connessioni sono stazionarie, olonome, confinanti e ideali).

Liberiamoci dalla connessione corrispondente alla reazione X A (figura 17). Per fare ciò, nel punto A, la cerniera fissa dovrebbe essere sostituita, ad esempio, con un supporto ad asta, nel qual caso il sistema riceve un grado di libertà. Come già notato, il possibile movimento del sistema è determinato dai vincoli ad esso imposti e non dipende dalle forze applicate. Pertanto, determinare i possibili spostamenti è un problema cinematico. Poiché in questo esempio la cornice può muoversi solo nel piano dell'immagine, anche i suoi possibili movimenti sono planari. Nel moto piano, il movimento del corpo può essere considerato come una rotazione attorno al centro istantaneo delle velocità. Se il centro istantaneo delle velocità si trova all'infinito, ciò corrisponde al caso del moto traslatorio istantaneo, quando gli spostamenti di tutti i punti del corpo sono gli stessi.

Per trovare il centro istantaneo delle velocità è necessario conoscere le direzioni delle velocità di due punti qualsiasi del corpo. Pertanto, la determinazione dei possibili spostamenti di una struttura composita dovrebbe iniziare con la ricerca dei possibili spostamenti dell'elemento per il quale tali velocità sono note. In questo caso, dovresti iniziare con la cornice CDB, fin dal suo punto INè immobile e, quindi, il movimento possibile di questo telaio è la sua rotazione di un angolo attorno ad un asse passante per la cerniera B. Ora, conoscendo il possibile movimento del punto CON(appartiene contemporaneamente ad entrambi i fotogrammi del sistema) e l'eventuale movimento del punto UN(un possibile spostamento del punto A è il suo spostamento lungo l'asse X), trovare il centro della velocità istantanea C 1 del sistema di riferimento AES. Quindi, possibile movimento del telaio AESè la sua rotazione attorno al punto C 1 di un angolo . Il collegamento tra gli angoli e viene determinato attraverso lo spostamento del punto C (vedi Fig. 17)

Dalla somiglianza dei triangoli EC 1 C e BCD abbiamo

Di conseguenza, otteniamo le dipendenze:

Secondo il principio dei movimenti possibili

Calcoliamo in sequenza i possibili lavori qui inclusi:

Q=2q – risultante del carico distribuito, il cui punto di applicazione è mostrato in Fig. 79; il lavoro possibile compiuto da esso è uguale.