Trova eventi affidabili e impossibili tra gli eventi ai. Argomento della lezione: “Eventi affidabili, impossibili e casuali”

Solo non in un traduttore online.

La Porta d'Oro è un simbolo di Kiev, uno dei più antichi esempi di architettura sopravvissuti fino ai giorni nostri. La Porta d'Oro di Kiev fu costruita sotto il famoso principe di Kiev Yaroslav il Saggio nel 1164. Inizialmente si chiamavano Meridionali e facevano parte del sistema di fortificazioni difensive della città, praticamente non diverse dalle altre porte di guardia della città. Era la Porta Sud che il primo metropolita russo Hilarion chiamò “Grande” nel suo “Sermone sulla legge e sulla grazia”. Dopo la costruzione della maestosa Chiesa di Santa Sofia, la Porta “Grande” divenne l’ingresso principale a Kiev dal lato sud-occidentale. Comprendendo il loro significato, Yaroslav il Saggio ordinò la costruzione di una piccola chiesa dell'Annunciazione sopra le porte per rendere omaggio alla religione cristiana dominante nella città e nella Rus'. Da quel momento in poi, tutte le fonti della cronaca russa iniziarono a chiamare la Porta Meridionale di Kiev la Porta d'Oro. La larghezza del cancello era di 7,5 m, l'altezza del passaggio era di 12 me la lunghezza era di circa 25 m.

le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. lo sport ha sviluppato ton corps e anche ton cerveau. Quando prendi l'escalier e non pas l'ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, perché tu es en retard a l'ecole, tu fais du sport.

Un evento è il risultato di un test. Cos'è un evento? Si estrae a caso una pallina dall'urna. Recuperare una pallina da un'urna è una prova. L'apparizione di una palla di un certo colore è un evento. Nella teoria della probabilità, per evento si intende qualcosa di cui, dopo un certo momento, si può dire una ed una sola di due cose. Sì, è successo. No, non è successo. Un possibile risultato di un esperimento è chiamato evento elementare, mentre l’insieme di tali risultati è chiamato semplicemente evento.

Gli eventi imprevedibili sono detti casuali. Un evento si dice casuale se, nelle stesse condizioni, può verificarsi o meno. Quando si lanciano i dadi, il risultato sarà un sei. Ho un biglietto della lotteria. Dopo la pubblicazione dei risultati della lotteria, l'evento che mi interessa - vincere mille rubli - accade o non accade. Esempio.

Due eventi che, in determinate condizioni, possono verificarsi contemporaneamente sono detti congiunti, mentre quelli che non possono verificarsi contemporaneamente sono detti incompatibili. Si lancia una moneta. L'aspetto dello “stemma” esclude l'aspetto dell'iscrizione. Gli eventi “apparve uno stemma” e “apparve un’iscrizione” sono incompatibili. Esempio.

Un evento che si verifica sempre è detto affidabile. Un evento che non può verificarsi si dice impossibile. Ad esempio, supponiamo che venga estratta una pallina da un'urna contenente solo palline nere. Allora l'apparizione della palla nera è un evento attendibile; l'apparizione di una palla bianca è un evento impossibile. Esempi. L’anno prossimo non nevicherà. Quando si lanciano i dadi, il risultato sarà un sette. Questi sono eventi impossibili. Ci sarà la neve l'anno prossimo. Quando lanci il dado, otterrai un numero inferiore a sette. Alba quotidiana. Questi sono eventi attendibili.

Risoluzione dei problemi Per ciascuno degli eventi descritti, determinare di cosa si tratta: impossibile, affidabile o casuale. 1. Dei 25 studenti della classe, due festeggiano il loro compleanno a) 30 gennaio; b) 30 febbraio. 2. Il libro di testo di letteratura si apre in modo casuale e la seconda parola si trova nella pagina di sinistra. Questa parola inizia: a) con la lettera “K”; b) che iniziano con la lettera “Ъ”.

3. Oggi a Sochi il barometro mostra una pressione atmosferica normale. In questo caso: a) l'acqua nella pentola bolle ad una temperatura di 80º C; b) quando la temperatura scese a -5º C, l'acqua nella pozza si congelò. 4. Si lanciano due dadi: a) il primo dado mostra 3 punti e il secondo 5 punti; b) la somma dei punti lanciati sui due dadi è 1; c) la somma dei punti lanciati sui due dadi è 13; d) entrambi i dadi hanno ottenuto 3 punti; e) la somma dei punti di due dadi è inferiore a 15. Risoluzione del problema

5. Hai aperto il libro a qualsiasi pagina e hai letto il primo sostantivo che hai incontrato. Si è scoperto che: a) l'ortografia della parola selezionata contiene una vocale; b) l'ortografia della parola selezionata contiene la lettera “O”; c) non ci sono vocali nell'ortografia della parola selezionata; d) c'è un segno morbido nell'ortografia della parola selezionata. Risoluzione dei problemi

5 ° grado. Introduzione alla probabilità (4 ore)

(sviluppo di 4 lezioni su questo argomento)

Obiettivi di apprendimento : - introdurre la definizione di evento casuale, affidabile e impossibile;

Fornire le prime idee sulla risoluzione di problemi combinatori: utilizzando un albero di opzioni e utilizzando la regola della moltiplicazione.

Obiettivo educativo: sviluppo della visione del mondo degli studenti.

Obiettivo evolutivo : sviluppo dell'immaginazione spaziale, miglioramento dell'abilità di lavorare con un righello.

Eventi affidabili, impossibili e casuali (2 ore)

Problemi combinatori (2 ore)

Eventi attendibili, impossibili e casuali.

Prima lezione

Attrezzatura per le lezioni: dadi, monete, backgammon.

La nostra vita consiste in gran parte di incidenti. Esiste una scienza come la "teoria della probabilità". Usando il suo linguaggio, puoi descrivere molti fenomeni e situazioni.

Anche il leader primitivo capì che una dozzina di cacciatori avevano una “probabilità” maggiore di colpire un bisonte con una lancia rispetto a uno. Ecco perché allora cacciavano collettivamente.

Tali antichi comandanti come Alessandro Magno o Dmitry Donskoy, preparandosi per la battaglia, facevano affidamento non solo sul valore e sull'arte dei guerrieri, ma anche sul caso.

Molte persone amano la matematica per le verità eterne: due volte due fa sempre quattro, la somma dei numeri pari è pari, l'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati adiacenti, ecc. In qualsiasi problema che risolvi, tutti ottiene la stessa risposta: devi solo non commettere errori nella decisione.

La vita reale non è così semplice e diretta. L’esito di molti eventi non può essere previsto in anticipo. È impossibile, ad esempio, dire con certezza da che parte cadrà una moneta lanciata, quando cadrà la prima neve l’anno prossimo o quante persone in città vorranno fare una telefonata entro la prossima ora. Vengono chiamati tali eventi imprevedibili casuale .

Tuttavia, anche il caso ha le sue leggi, che iniziano a manifestarsi quando i fenomeni casuali si ripetono più volte. Se lanci una moneta 1000 volte, uscirà testa circa la metà delle volte, il che non è il caso con due o anche dieci lanci. "Circa" non significa la metà. In genere questo può essere o meno il caso. La legge non afferma nulla di certo, ma fornisce un certo grado di fiducia che si verifichi qualche evento casuale. Tali modelli sono studiati da un ramo speciale della matematica: Teoria della probabilità . Con il suo aiuto è possibile prevedere con maggiore sicurezza (ma non ancora con certezza) sia la data della prima nevicata che il numero di telefonate.

La teoria della probabilità è indissolubilmente legata alla nostra vita quotidiana. Questo ci offre una meravigliosa opportunità di stabilire sperimentalmente molte leggi probabilistiche, ripetendo esperimenti casuali molte volte. I materiali per questi esperimenti saranno molto spesso una normale moneta, un dado, un set di domino, backgammon, roulette o anche un mazzo di carte. Ciascuno di questi elementi è correlato ai giochi in un modo o nell'altro. Il fatto è che il caso si presenta qui nella sua forma più frequente. E i primi compiti probabilistici riguardavano la valutazione delle possibilità di vincita dei giocatori.

La moderna teoria della probabilità si è allontanata dal gioco d’azzardo, ma i suoi sostegni rimangono ancora la fonte di probabilità più semplice e affidabile. Dopo aver fatto pratica con la roulette e i dadi, imparerai a calcolare la probabilità di eventi casuali in situazioni di vita reale, cosa che ti permetterà di valutare le tue possibilità di successo, testare ipotesi e prendere decisioni ottimali non solo nei giochi e nelle lotterie.

Quando risolvi problemi probabilistici, stai molto attento, cerca di giustificare ogni passo che fai, perché nessun'altra area della matematica contiene così tanti paradossi. Come la teoria della probabilità. E forse la spiegazione principale di ciò è la sua connessione con il mondo reale in cui viviamo.

Molti giochi utilizzano un dado con su ogni lato un numero diverso di punti, da 1 a 6. Il giocatore lancia il dado, guarda quanti punti compaiono (sul lato superiore) ed effettua il numero corrispondente di mosse : 1,2,3 ,4,5, o 6. Lanciare un dado può essere considerato un'esperienza, un esperimento, una prova, e il risultato ottenuto può essere considerato un evento. Le persone di solito sono molto interessate a indovinare il verificarsi di questo o quell'evento e a prevederne l'esito. Quali previsioni possono fare quando lanciano i dadi? Prima previsione: apparirà uno dei numeri 1,2,3,4,5 o 6. Pensi che l'evento previsto si verificherà oppure no? Certo, arriverà sicuramente. Viene chiamato un evento che sicuramente si verificherà in una data esperienza un evento affidabile.

Seconda previsione : apparirà il numero 7. Pensi che l'evento previsto si verificherà oppure no? Ovviamente non accadrà, è semplicemente impossibile. Viene chiamato un evento che non può verificarsi in una determinata esperienza evento impossibile.

Terza previsione : apparirà il numero 1. Pensi che l'evento previsto sia accaduto oppure no? Non siamo in grado di rispondere con assoluta certezza a questa domanda, poiché l'evento previsto potrebbe verificarsi o meno. Viene chiamato un evento che può verificarsi o meno in una determinata esperienza un evento casuale.

Esercizio : Descrivi gli eventi discussi nelle attività seguenti. Come certo, impossibile o casuale.

Lanciamo una moneta. Apparve uno stemma. (casuale)

Il cacciatore sparò al lupo e lo colpì. (casuale)

Lo scolaro va a fare una passeggiata ogni sera. Lunedì, mentre camminava, ha incontrato tre conoscenti. (casuale)

Eseguiamo mentalmente il seguente esperimento: capovolgiamo un bicchiere d'acqua. Se questo esperimento non viene eseguito nello spazio, ma a casa o in classe, l'acqua fuoriuscirà. (affidabile)

Sul bersaglio sono stati sparati tre colpi”. Ci sono stati cinque successi" (impossibile)

Lancia la pietra. La pietra resta sospesa nell'aria. (impossibile)

Riorganizziamo a caso le lettere della parola “antagonismo”. Il risultato è la parola “anacroismo”. (impossibile)

№959. Petya pensò a un numero naturale. L'evento è il seguente:

a) si intende un numero pari; (casuale) b) si intende un numero dispari; (casuale)

c) si concepisce un numero che non è né pari né dispari; (impossibile)

d) si concepisce un numero pari o dispari. (affidabile)

№ 961. Petya e Tolya confrontano i loro compleanni. L'evento è il seguente:

a) i loro compleanni non coincidono; (casuale) b) i loro compleanni sono gli stessi; (casuale)

d) entrambi i loro compleanni cadono in giorni festivi: Capodanno (1 gennaio) e Giorno dell'Indipendenza russa (12 giugno). (casuale)

№ 962. Quando si gioca a backgammon si usano due dadi. Il numero di mosse effettuate dal partecipante al gioco viene determinato sommando i numeri che cadono sui due lati del cubo e se viene lanciato un "doppio" (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), quindi il numero di mosse raddoppia. Lancia i dadi e scopri quante mosse devi fare. L'evento è il seguente:

a) devi fare una mossa; b) devi fare 7 mosse;

c) devi fare 24 mosse; d) devi fare 13 mosse.

a) – impossibile (è possibile effettuare 1 mossa se si lancia la combinazione 1 + 0, ma sul dado non c'è il numero 0).

b) – casuale (se esce 1 + 6 o 2 + 5).

c) – casuale (se appare la combinazione 6+6).

d) – impossibile (non esistono combinazioni di numeri da 1 a 6, la cui somma sia 13; questo numero non può essere ottenuto nemmeno lanciando un “doppio”, poiché è dispari).

Controllati. (dettato matematico)

1) Indicare quali dei seguenti eventi sono impossibili, quali sono attendibili, quali sono casuali:

La partita di calcio "Spartak" - "Dynamo" finirà con un pareggio. (casuale)

Vincerai partecipando a una lotteria vantaggiosa per tutti (affidabile)

La neve cadrà a mezzanotte e il sole splenderà 24 ore dopo. (impossibile)

Domani ci sarà la prova di matematica. (casuale)

Sarai eletto Presidente degli Stati Uniti. (impossibile)

Sarai eletto presidente della Russia. (casuale)

2) Hai acquistato una TV in un negozio, per la quale il produttore fornisce una garanzia di due anni. Quali dei seguenti eventi sono impossibili, quali sono casuali, quali sono affidabili:

La TV non si romperà per un anno. (casuale)

La TV non si romperà per due anni. (casuale)

Non dovrai pagare per la riparazione della TV per due anni. (affidabile)

La TV si romperà nel terzo anno. (casuale)

3) Un autobus che trasporta 15 passeggeri deve effettuare 10 fermate. Quali dei seguenti eventi sono impossibili, quali sono casuali, quali sono affidabili:

Tutti i passeggeri scenderanno dall'autobus a fermate diverse. (impossibile)

Tutti i passeggeri scenderanno alla stessa fermata. (casuale)

Ad ogni fermata scenderà almeno qualcuno. (casuale)

Ci sarà una fermata dove non scenderà nessuno. (casuale)

A tutte le fermate scenderà un numero pari di passeggeri. (impossibile)

A tutte le fermate scenderà un numero dispari di passeggeri. (impossibile)

Compiti a casa : P. 53 N. 960, 963, 965 (inventa tu stesso due eventi affidabili, casuali e impossibili).

Seconda lezione.

Controllo dei compiti. (per via orale)

a) Spiegare cosa sono gli eventi certi, casuali e impossibili.

b) Indicare quale dei seguenti eventi è attendibile, quale impossibile, quale casuale:

Non ci saranno vacanze estive. (impossibile)

Il panino cadrà con il burro rivolto verso il basso. (casuale)

L’anno scolastico finirà un giorno. (affidabile)

Me lo chiederanno domani in classe. (casuale)

Oggi incontrerò un gatto nero. (casuale)

№ 960. Hai aperto questo libro di testo su qualsiasi pagina e hai scelto il primo sostantivo che è venuto fuori. L'evento è il seguente:

a) c'è una vocale nell'ortografia della parola selezionata. ((affidabile)

b) l'ortografia della parola scelta contiene la lettera “o”. (casuale)

c) non ci sono vocali nell'ortografia della parola scelta. (impossibile)

d) c'è un segno morbido nell'ortografia della parola selezionata. (casuale)

№ 963. Stai giocando di nuovo a backgammon. Descrivi il seguente evento:

a) il giocatore non può effettuare più di due mosse. (impossibile - con una combinazione dei numeri più piccoli 1 + 1 il giocatore fa 4 mosse; una combinazione di 1 + 2 dà 3 mosse; tutte le altre combinazioni danno più di 3 mosse)

b) il giocatore deve effettuare più di due mosse. (affidabile: qualsiasi combinazione dà 3 o più mosse)

c) il giocatore non deve effettuare più di 24 mosse. (affidabile: la combinazione dei numeri più grandi 6 + 6 dà 24 mosse e tutti gli altri danno meno di 24 mosse)

d) il giocatore deve effettuare un numero di mosse a doppia cifra. (casuale – ad esempio, la combinazione 2 + 3 dà un numero di mosse a una cifra: 5, e lanciando due quattro dà un numero di mosse a due cifre)

2. Risoluzione dei problemi.

№ 964. In un sacchetto ci sono 10 palline: 3 blu, 3 bianche e 4 rosse. Descrivi il seguente evento:

a) Dal sacchetto sono state prese 4 palline, tutte blu; (impossibile)

b) dal sacchetto sono state prese 4 palline, tutte rosse; (casuale)

c) Sono state tolte 4 palline dal sacchetto e si sono rivelate tutte di colori diversi; (impossibile)

d) Dal sacchetto sono state estratte 4 palline e tra queste non c'era nessuna pallina nera. (affidabile)

Compito 1. La scatola contiene 10 penne rosse, 1 verde e 2 blu. Si estraggono a caso due oggetti dalla scatola. Quali dei seguenti eventi sono impossibili, quali sono casuali, quali sono certi:

a) vengono estratte due penne rosse (casuale)

b) vengono estratte due maniglie verdi; (impossibile)

c) si estraggono due penne blu; (casuale)

d) vengono tolte le maniglie di due colori diversi; (casuale)

e) vengono rimosse due maniglie; (affidabile)

f) si estraggono due matite. (impossibile)

Compito 2. Winnie the Pooh, Pimpi e tutti - tutti - tutti si siedono alla tavola rotonda per festeggiare il suo compleanno. A quale numero di tutti - tutti - tutti è affidabile l'evento "Winnie the Pooh e Pimpi seduti uno accanto all'altro" e a quale numero è casuale?

(se ce ne sono solo 1 di tutti - tutti - tutti, allora l'evento è affidabile, se ce n'è più di 1, allora è casuale).

Compito 3. Su 100 biglietti della lotteria di beneficenza, 20 sono vincenti. Quanti biglietti è necessario acquistare per rendere impossibile l'evento "non vincerai niente"?

Compito 4. Nella classe ci sono 10 ragazzi e 20 ragazze. Quali dei seguenti eventi sono impossibili per questa classe, quali sono casuali, quali sono affidabili

Nella classe ci sono due persone nate in mesi diversi. (casuale)

Nella classe ci sono due persone nate nello stesso mese. (affidabile)

Ci sono due ragazzi nella classe che sono nati nello stesso mese. (casuale)

Ci sono due ragazze nella classe che sono nate nello stesso mese. (affidabile)

Tutti i ragazzi sono nati in mesi diversi. (affidabile)

Tutte le ragazze sono nate in mesi diversi. (casuale)

C'è un maschio e una femmina nati nello stesso mese. (casuale)

C'è un maschio e una femmina nati in mesi diversi. (casuale)

Compito 5. Nella scatola ci sono 3 palline rosse, 3 gialle e 3 verdi. Tiriamo fuori 4 palline a caso. Considera l'evento "Tra le palline estratte ci saranno palline esattamente di M colori". Per ogni M da 1 a 4, determina di che tipo di evento si tratta: impossibile, affidabile o casuale, e compila la tabella:

Lavoro indipendente.

IOopzione

a) il numero di compleanno del tuo amico è inferiore a 32;

c) domani ci sarà la prova di matematica;

d) L'anno prossimo la prima neve a Mosca cadrà domenica.

Lanciare un dado. Descrivi l'evento:

a) il cubo, caduto, rimarrà sul bordo;

b) apparirà uno dei numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) apparirà il numero 6;

d) verrà lanciato un numero multiplo di 7.

Una scatola contiene 3 palline rosse, 3 gialle e 3 verdi. Descrivi l'evento:

a) tutte le palline estratte siano dello stesso colore;

b) tutte le palline estratte sono di colore diverso;

c) tra le palline estratte ci sono palline di colore diverso;

c) tra le palline estratte c'è una pallina rossa, una gialla e una verde.

IIopzione

Descrivi l'evento in questione come affidabile, impossibile o accidentale:

a) un panino che cade dal tavolo cadrà a faccia in giù sul pavimento;

b) a mezzanotte cadrà la neve a Mosca e dopo 24 ore splenderà il sole;

c) vincerai partecipando a una lotteria vantaggiosa per tutti;

d) l'anno prossimo a maggio si sentirà il primo tuono della primavera.

Tutti i numeri a due cifre sono scritti sulle carte. Una carta viene scelta a caso. Descrivi l'evento:

a) sulla carta c'era uno zero;

b) sulla carta c'era un numero multiplo di 5;

c) sulla carta c'era un numero multiplo di 100;

d) sulla carta era presente un numero maggiore di 9 e minore di 100.

La scatola contiene 10 penne rosse, 1 verde e 2 blu. Si estraggono a caso due oggetti dalla scatola. Descrivi l'evento:

a) si estraggono due penne blu;

b) si estraggono due penne rosse;

c) vengono estratte due maniglie verdi;

d) le maniglie verde e nera vengono rimosse.

Compiti a casa: 1). Trova due eventi affidabili, casuali e impossibili.

2). Compito . Nella scatola ci sono 3 palline rosse, 3 gialle e 3 verdi. Estraiamo N palline a caso. Considera l'evento "tra le palline estratte ci saranno palline di esattamente tre colori". Per ogni N da 1 a 9, determina di che tipo di evento si tratta: impossibile, affidabile o casuale, e compila la tabella:

Problemi combinatori.

Prima lezione

Controllo dei compiti. (per via orale)

a) controlliamo i problemi sollevati dagli studenti.

b) un compito aggiuntivo.

Sto leggendo un estratto dal libro di V. Levshin "Tre giorni in Karlikania".

“All'inizio, al suono di un valzer tranquillo, i numeri formavano un gruppo: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Poi i giovani pattinatori iniziarono a cambiare posto, formando sempre più nuovi gruppi: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10, ecc.

Ciò è continuato fino a quando i pattinatori non sono tornati alla loro posizione di partenza.

Quante volte hanno cambiato posto?

Oggi in classe impareremo come risolvere questi problemi. Si chiamano combinatorio.

3. Studio di nuovo materiale.

Compito 1. Quanti numeri a due cifre si possono ricavare dai numeri 1, 2, 3?

Soluzione: 11, 12, 13

31, 32, 33. 9 numeri in totale.

Nel risolvere questo problema, abbiamo cercato tra tutte le opzioni possibili o, come si dice di solito in questi casi. Tutte le combinazioni possibili. Pertanto, tali problemi vengono chiamati combinatorio. Devi calcolare le opzioni possibili (o impossibili) abbastanza spesso nella vita, quindi è utile familiarizzare con i problemi combinatori.

№ 967. Diversi paesi hanno deciso di utilizzare simboli per la loro bandiera nazionale sotto forma di tre strisce orizzontali della stessa larghezza in diversi colori: bianco, blu, rosso. Quanti paesi possono utilizzare tali simboli, a condizione che ogni paese abbia la propria bandiera?

Soluzione. Supponiamo che la prima striscia sia bianca. Quindi la seconda striscia può essere blu o rossa e la terza striscia, rispettivamente, rossa o blu. Abbiamo due opzioni: bianco, blu, rosso o bianco, rosso, blu.

Lasciamo ora che la prima striscia sia blu, poi di nuovo otteniamo due opzioni: bianco, rosso, blu o blu, rosso, bianco.

Lascia che la prima striscia sia rossa, quindi ci sono altre due opzioni: rossa, bianca, blu o rossa, blu, bianca.

C'erano 6 opzioni possibili in totale. Questa bandiera può essere utilizzata da 6 paesi.

Quindi, nel risolvere questo problema, stavamo cercando un modo per enumerare le possibili opzioni. In molti casi risulta utile costruire un'immagine: un diagramma di enumerazione delle opzioni. Questo, in primo luogo, è chiaro e, in secondo luogo, ci consente di tenere conto di tutto e di non perdere nulla.

Questo diagramma è anche chiamato albero delle possibili opzioni.

Prima pagina

Seconda striscia

Terza corsia

La combinazione risultante

№ 968. Quanti numeri a due cifre si possono ricavare dai numeri 1, 2, 4, 6, 8?

Soluzione. Per i numeri a due cifre che ci interessano, il primo posto può essere una qualsiasi delle cifre indicate, tranne lo 0. Se mettiamo il numero 2 al primo posto, allora qualsiasi cifra data può essere al secondo posto. Otterrai cinque numeri a due cifre: 2.,22, 24, 26, 28. Allo stesso modo, ci saranno cinque numeri a due cifre con la prima cifra 4, cinque numeri a due cifre con la prima cifra 6 e cinque numeri a due cifre numeri di cifre con la prima cifra 8.

Risposta: Ci saranno 20 numeri in totale.

Costruiamo un albero di possibili opzioni per risolvere questo problema.

Doppia cifra

Prima cifra

Seconda cifra

Numeri ricevuti

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Risolvi i seguenti problemi costruendo un albero di possibili opzioni.

№ 971. La leadership di un certo paese ha deciso di rendere la sua bandiera nazionale così: su uno sfondo rettangolare monocolore, in uno degli angoli è posizionato un cerchio di colore diverso. Si è deciso di scegliere i colori tra tre possibili: rosso, giallo, verde. Quante varianti di questa bandiera?

esiste? La figura mostra alcune delle possibili opzioni.

Risposta: 24 opzioni.

№ 973. a) Quanti numeri di tre cifre si possono comporre dai numeri 1,3, 5,? (27 numeri)

b) Quanti numeri di tre cifre si possono comporre dai numeri 1,3, 5, a condizione che i numeri non si ripetano? (6 numeri)

№ 979. I pentatleti moderni partecipano a gare in cinque sport nell'arco di due giorni: salto ostacoli, scherma, nuoto, tiro a segno e corsa.

a) Quante opzioni ci sono per l'ordine di completamento delle tipologie di concorso? (120 opzioni)

b) Quante opzioni ci sono per l'ordine degli eventi della competizione, se si sa che l'ultimo evento dovrebbe essere disputato? (24 opzioni)

c) Quante opzioni ci sono per l'ordine degli eventi della competizione se si sa che l'ultimo evento dovrebbe essere disputato e il primo dovrebbe essere il salto ostacoli? (6 opzioni)

№ 981. Due urne contengono cinque palline ciascuna di cinque colori diversi: bianco, blu, rosso, giallo, verde. Da ogni urna si estrae una pallina alla volta.

a) quante diverse combinazioni di palline estratte esistono (le combinazioni “bianco-rosso” e “rosso-bianco” sono considerate uguali)?

(15 combinazioni)

b) Quante combinazioni ci sono in cui le palline estratte sono dello stesso colore?

(5 combinazioni)

c) quante combinazioni ci sono in cui le palline estratte sono di colori diversi?

(15 – 5 = 10 combinazioni)

Compiti a casa: P. 54, No. 969, 972, inventa tu stesso un problema combinatorio.

№ 969. Diversi paesi hanno deciso di utilizzare simboli per la propria bandiera nazionale sotto forma di tre strisce verticali della stessa larghezza in diversi colori: verde, nero, giallo. Quanti paesi possono utilizzare tali simboli, a condizione che ogni paese abbia la propria bandiera?

№ 972. a) Quanti numeri di due cifre si possono comporre dai numeri 1, 3, 5, 7, 9?

b) Quanti numeri di due cifre si possono comporre dai numeri 1, 3, 5, 7, 9, a condizione che i numeri non si ripetano?

Seconda lezione

Controllo dei compiti. a) N. 969 e N. 972a) e N. 972b) - costruisci un albero delle possibili opzioni sulla lavagna.

b) controlliamo oralmente i compiti completati.

Risoluzione dei problemi.

Quindi, prima di questo, abbiamo imparato a risolvere problemi combinatori utilizzando un albero di opzioni. È un buon modo? Probabilmente sì, ma molto ingombrante. Proviamo a risolvere il problema dei compiti n. 972 in modo diverso. Chi indovina come si può fare?

Risposta: Per ognuno dei cinque colori delle magliette ci sono 4 colori delle mutandine. Totale: 4 * 5 = 20 opzioni.

№ 980. Le urne contengono cinque palline ciascuna di cinque colori diversi: bianco, blu, rosso, giallo, verde. Da ogni urna si estrae una pallina alla volta. Descrivi il seguente evento come certo, casuale o impossibile:

a) palline estratte di diversi colori; (casuale)

b) palline estratte dello stesso colore; (casuale)

c) vengono estratte palline bianche e nere; (impossibile)

d) si estraggono due palline, entrambe colorate di uno dei seguenti colori: bianco, blu, rosso, giallo, verde. (affidabile)

№ 982. Un gruppo di turisti ha intenzione di fare un'escursione lungo il percorso Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Da Antonovo a Borisovo potete fare rafting sul fiume o camminare. Da Borisovo a Vlasovo puoi camminare o andare in bicicletta. Da Vlasovo a Gribovo potete nuotare lungo il fiume, andare in bicicletta o camminare. Quante opzioni di trekking possono scegliere i turisti? Quante possibilità escursionistiche possono scegliere i turisti, a patto di utilizzare la bicicletta in almeno un tratto del percorso?

(12 opzioni di percorso, di cui 8 in bicicletta)

Lavoro indipendente.

1 opzione

a) Quanti numeri di tre cifre si possono comporre dalle cifre: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Quanti numeri di tre cifre si possono formare dalle cifre: 0, 1, 3, 5, 7, a condizione che i numeri non si ripetano?

Athos, Porthos e Aramis hanno solo una spada, un pugnale e una pistola.

a) In quanti modi si possono armare i moschettieri?

b) Quante opzioni di armi ci sono se Aramis deve impugnare una spada?

c) Quante opzioni di armi ci sono se Aramis deve impugnare la spada e Porthos deve impugnare la pistola?

Da qualche parte Dio ha mandato a Raven un pezzo di formaggio, oltre a formaggio feta, salsiccia, pane bianco e nero. Appollaiato su un abete rosso, il corvo era quasi pronto per fare colazione, ma iniziò a pensare: in quanti modi si possono preparare dei panini con questi prodotti?

opzione 2

a) Quanti numeri di tre cifre si possono comporre dalle cifre: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Quanti numeri di tre cifre si possono formare dalle cifre: 0, 2, 4, 6, 8, a condizione che le cifre non si ripetano?

Il conte Montecristo ha deciso di regalare alla principessa Hayde degli orecchini, una collana e un braccialetto. Ogni gioiello deve contenere una delle seguenti tipologie di pietre preziose: diamanti, rubini o granati.

a) Quante opzioni ci sono per abbinare gioielli con pietre preziose?

b) Quante opzioni di gioielleria ci sono se gli orecchini dovessero essere con diamanti?

c) Quante opzioni di gioiello ci sono se gli orecchini dovrebbero essere di diamanti e il braccialetto dovrebbe essere di granato?

Per colazione puoi scegliere un panino, un panino o un pan di zenzero con caffè o kefir. Quante opzioni per la colazione puoi creare?

Compiti a casa : N. 974, 975. (compilando un albero di opzioni e utilizzando la regola della moltiplicazione)

№ 974 . a) Quanti numeri di tre cifre si possono comporre dai numeri 0, 2, 4?

b) Quanti numeri di tre cifre si possono comporre dai numeri 0, 2, 4, a condizione che i numeri non si ripetano?

№ 975 . a) Quanti numeri di tre cifre si possono ricavare dai numeri 1,3, 5,7?

b) Quanti numeri di tre cifre possono essere composti dai numeri 1,3, 5,7 sotto la condizione. Quali numeri non dovrebbero essere ripetuti?

Numeri dei problemi presi dal libro di testo

"Matematica-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

1.1. Alcune informazioni dalla combinatoria

1.1.1. Posizionamenti

Consideriamo i concetti più semplici associati alla selezione e alla disposizione di un determinato insieme di oggetti.
Il conteggio del numero di modi in cui queste azioni possono essere eseguite viene spesso effettuato quando si risolvono problemi probabilistici.
Definizione. Alloggio da N elementi di K (K ≤N) è qualsiasi sottoinsieme ordinato di K elementi di un insieme composto da N vari elementi.
Esempio. Le seguenti sequenze di numeri sono posizionamenti di 2 elementi da 3 elementi dell'insieme (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Tieni presente che i posizionamenti differiscono nell'ordine degli elementi inclusi in essi e nella loro composizione. Le posizioni 12 e 21 contengono gli stessi numeri, ma il loro ordine è diverso. Pertanto, questi posizionamenti sono considerati diversi.
Numero di posizionamenti diversi da N elementi di Kè designato e calcolato dalla formula:
,
Dove N! = 1∙2∙...∙(N - 1)∙N(si legge" N- fattoriale").
Il numero di numeri di due cifre che possono essere composti dalle cifre 1, 2, 3, purché nessuna cifra sia ripetuta uguale a: .

1.1.2. Riarrangiamenti

Definizione. Permutazioni da N gli elementi sono chiamati tali posizionamenti di N elementi che differiscono solo nella posizione degli elementi.
Numero di permutazioni da N elementi Pn calcolato con la formula: Pn=N!
Esempio. In quanti modi possono mettersi in fila 5 persone? Il numero di modi è uguale al numero di permutazioni di 5 elementi, cioè
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definizione. Se tra N elementi K identici, quindi riorganizzazione di questi N elementi è chiamata permutazione con ripetizioni.
Esempio. Sia 2 dei 6 libri identici. Qualsiasi disposizione di tutti i libri su uno scaffale è una riorganizzazione con ripetizione.
Numero di permutazioni diverse con ripetizioni (da N elementi, inclusi K identico) viene calcolato utilizzando la formula: .
Nel nostro esempio, il numero di modi in cui i libri possono essere disposti su uno scaffale è: .

1.1.3. Combinazioni

Definizione. Combinazioni di N elementi di K vengono chiamati tali posizionamenti N elementi di K, che differiscono tra loro almeno per un elemento.
Numero di diverse combinazioni di N elementi di Kè designato e calcolato con la formula: .
Per definizione, 0!=1.
Le seguenti proprietà si applicano alle combinazioni:
1.
2.
3.
4.
Esempio. Ci sono 5 fiori di diversi colori. Per il bouquet vengono selezionati 3 fiori. Il numero di mazzi diversi di 3 fiori su 5 è pari a: .

1.2. Eventi casuali

1.2.1. Eventi

La conoscenza della realtà nelle scienze naturali avviene a seguito di prove (esperimento, osservazioni, esperienza).
Test o l'esperienza è l'implementazione di un insieme specifico di condizioni che possono essere riprodotte un numero arbitrariamente elevato di volte.
Casuale è un evento che può o meno verificarsi come risultato di qualche test (esperienza).
Pertanto, l'evento è considerato come il risultato del test.
Esempio. Lanciare una moneta è una sfida. L'apparizione di un'aquila durante un lancio è un evento.
Gli eventi che osserviamo differiscono nel grado di possibilità del loro verificarsi e nella natura della loro interrelazione.
L'evento è chiamato affidabile , se è certo che si verificherà come risultato di questo test.
Esempio. Il conseguimento di un voto positivo o negativo all'esame da parte dello studente è un evento attendibile se l'esame si svolge secondo le consuete regole.
L'evento è chiamato impossibile , se non può verificarsi a seguito di questo test.
Esempio. Rimuovere una pallina bianca da un'urna che contiene solo palline colorate (non bianche) è un evento impossibile. Si noti che in altre condizioni sperimentali non è esclusa la comparsa di una pallina bianca; quindi, questo evento è impossibile solo nelle condizioni della nostra esperienza.
Di seguito, indicheremo gli eventi casuali con le lettere latine maiuscole A, B, C... Indicheremo un evento affidabile con la lettera Ω e un evento impossibile con Ø.
Vengono chiamati due o più eventi ugualmente possibile in una data prova se c'è motivo di ritenere che nessuno di questi eventi sia più o meno possibile degli altri.
Esempio. Con un lancio di dado, la comparsa di 1, 2, 3, 4, 5 e 6 punti sono tutti eventi ugualmente possibili. Si presuppone, ovviamente, che i dadi siano costituiti da un materiale omogeneo e abbiano la forma corretta.
I due eventi vengono chiamati incompatibile in una data prova, se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi dell'altro, e giunto Altrimenti.
Esempio. La scatola contiene parti standard e non standard. Prendiamo un dettaglio per fortuna. L'aspetto di una parte standard elimina l'aspetto di una parte non standard. Questi eventi sono incompatibili.
Si formano diversi eventi gruppo completo di eventi in un dato test, se è sicuro che almeno uno di essi si verifichi come risultato di questo test.
Esempio. Gli eventi dell'esempio formano un gruppo completo di eventi ugualmente possibili e incompatibili a coppie.
Vengono chiamati due eventi incompatibili che formano un gruppo completo di eventi in una data prova eventi opposti.
Se uno di essi è designato da UN, quindi l'altro è solitamente denotato da (leggi “non UN»).
Esempio. Un colpo andato a segno e un colpo mancato con un colpo al bersaglio sono eventi opposti.

1.2.2. Definizione classica di probabilità

Probabilità dell'evento – una misura numerica della possibilità del suo verificarsi.
Evento UN chiamato favorevole evento IN se ogni volta che si verifica un evento UN, l'evento arriva IN.
Eventi UN 1 , UN 2 , ..., UNN modulo diagramma del caso , se essi:
1) ugualmente possibile;
2) incompatibili a coppie;
3) formare un gruppo completo.
Nello schema dei casi (e solo in questo schema) rientra la definizione classica di probabilità P(UN) eventi UN. Qui, un caso è ciascuno degli eventi appartenenti a un gruppo completo selezionato di eventi ugualmente possibili e a coppie incompatibili.
Se Nè il numero di tutti i casi nello schema, e M– numero di casi favorevoli all’evento UN, Quello probabilità di un evento UNè determinato dall'uguaglianza:

Dalla definizione di probabilità conseguono le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.
Infatti, se un evento è certo, allora ogni caso nello schema dei casi è a favore dell’evento. In questo caso M = N e quindi

2. La probabilità di un evento impossibile è zero.
Infatti, se un evento è impossibile, allora nessun caso nella serie dei casi è a favore dell’evento. Ecco perché M=0 e quindi

La probabilità di un evento casuale è un numero positivo compreso tra zero e uno.
In effetti, solo una frazione del numero totale di casi nel modello dei casi è favorita da un evento casuale. Pertanto 0<M<N, che significa 0<M/N<1 и, следовательно, 0 < PAPÀ) < 1.
Quindi, la probabilità di qualsiasi evento soddisfa le disuguaglianze
0 ≤ P(UN) ≤ 1.
Attualmente, le proprietà della probabilità sono definite sotto forma di assiomi formulati da A.N. Kolmogorov.
Uno dei principali vantaggi della definizione classica di probabilità è la capacità di calcolare direttamente la probabilità di un evento, cioè senza ricorrere agli esperimenti, che vengono sostituiti dal ragionamento logico.

Problemi di calcolo diretto delle probabilità

Problema 1.1. Qual è la probabilità che si ottengano un numero pari di punti (evento A) lanciando un dado?
Soluzione. Considera gli eventi UNio- abbandonato io occhiali, io= 1, 2, …,6. È ovvio che questi eventi formano uno schema di casi. Quindi il numero di tutti i casi N= 6. I casi favoriscono il lancio di un numero pari di punti UN 2 , UN 4 , UN 6, cioè M= 3. Quindi .
Problema 1.2. In un'urna ci sono 5 palline bianche e 10 nere. Le palline vengono mescolate accuratamente e poi viene estratta 1 pallina a caso. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia bianca?
Soluzione. Ci sono un totale di 15 casi che formano un modello di casi. Inoltre, l'evento atteso UN– l'apparizione di una pallina bianca è quindi favorita da 5 di essi .
Problema 1.3. Un bambino gioca con sei lettere dell'alfabeto: A, A, E, K, R, T. Calcola la probabilità che riesca a formare casualmente la parola CARROZZA (evento A).
Soluzione. La soluzione è complicata dal fatto che tra le lettere ce ne sono di identiche: due lettere “A”. Pertanto, il numero di tutti i casi possibili in un dato test è uguale al numero di permutazioni con ripetizioni di 6 lettere:
.
Questi casi sono ugualmente possibili, incoerenti a coppie e formano un gruppo completo di eventi, ad es. formare un diagramma dei casi. Una sola possibilità favorisce l'evento UN. Ecco perché
.
Problema 1.4. Tanya e Vanya hanno deciso di festeggiare il nuovo anno in una compagnia di 10 persone. Entrambi avrebbero davvero voluto sedersi uno accanto all'altro. Qual è la probabilità che il loro desiderio venga soddisfatto se è consuetudine distribuire a sorte i posti tra i loro amici?
Soluzione. Indichiamo con UN evento "soddisfazione dei desideri di Tanya e Vanya". Ad un tavolo da 10 possono sedersi 10 persone! diversi modi. Quanti di questi N= 10! modi altrettanto possibili sono favorevoli a Tanya e Vanya? Tanya e Vanya, sedute una accanto all'altra, possono assumere 20 posizioni diverse. Allo stesso tempo, otto dei loro amici possono sedersi ad un tavolo da 8! in modi diversi, quindi M= 20∙8!. Quindi,
.
Problema 1.5. Un gruppo di 5 donne e 20 uomini seleziona tre delegati. Supponendo che ogni persona presente possa essere scelta con uguale probabilità, determinare la probabilità che vengano scelte due donne e un uomo.
Soluzione. Il numero totale di risultati del test ugualmente possibili è pari al numero di modi in cui possono essere selezionati tre delegati tra 25 persone, vale a dire . Contiamo ora il numero dei casi favorevoli, cioè il numero di casi in cui si verifica l’evento di interesse. Un delegato maschio può essere selezionato in venti modi. Allo stesso tempo, i restanti due delegati devono essere donne e si possono scegliere due donne su cinque. Quindi, . Ecco perché
.
Problema 1.6. Quattro palline vengono sparse casualmente su quattro buche, ciascuna pallina cade nell'una o nell'altra buca con la stessa probabilità e indipendentemente dalle altre (non ci sono ostacoli alla caduta di più palline nella stessa buca). Trova la probabilità che ci siano tre palline in una delle buche, una nell'altra e nessuna pallina nelle altre due buche.
Soluzione. Numero totale di casi N=444. Il numero di modi in cui si può scegliere una buca in cui ci saranno tre palline, . Il numero di modi in cui puoi scegliere una buca in cui ci sarà una pallina, . Il numero di modi in cui tre delle quattro palline possono essere selezionate per essere piazzate nella prima buca è . Numero totale di casi favorevoli. Probabilità dell'evento:
Problema 1.7. Nella scatola ci sono 10 palline identiche, contrassegnate con i numeri 1, 2, ..., 10. Per fortuna vengono estratte sei palline. Determinare la probabilità che tra le palline estratte ci sia: a) pallina n. 1; b) palline n. 1 e n. 2.
Soluzione. a) Il numero totale dei possibili esiti elementari della prova è pari al numero di modi in cui si possono estrarre sei palline da dieci, cioè
Troviamo il numero di esiti favorevoli all'evento che ci interessa: tra le sei palline selezionate c'è la pallina n. 1 e, quindi, le restanti cinque palline hanno numeri diversi. Il numero di tali risultati è ovviamente uguale al numero di modi in cui si possono selezionare cinque palline dalle restanti nove, cioè
La probabilità richiesta è pari al rapporto tra il numero di esiti favorevoli all'evento in questione e il numero totale di possibili esiti elementari:
b) Il numero di esiti favorevoli all'evento che ci interessa (tra le palline selezionate ci sono le palline n. 1 e n. 2, quindi quattro palline hanno numeri diversi) è pari al numero di modi in cui quattro palline possono essere estratto dai restanti otto, cioè Probabilità richiesta

1.2.3. Probabilità statistica

La definizione statistica di probabilità viene utilizzata quando i risultati di un esperimento non sono ugualmente possibili.
Frequenza relativa degli eventi UNè determinato dall'uguaglianza:
,
Dove M– numero di prove in cui si è verificato l'evento UNè arrivato N– numero totale di test eseguiti.
J. Bernoulli ha dimostrato che con un aumento illimitato del numero di esperimenti, la frequenza relativa del verificarsi di un evento differirà da un numero costante quasi quanto desiderato. Si è scoperto che questo numero costante è la probabilità che si verifichi l'evento. Pertanto, è naturale chiamare probabilità statistica la frequenza relativa del verificarsi di un evento con un numero sufficientemente elevato di prove, in contrasto con la probabilità precedentemente introdotta.
Esempio 1.8. Come determinare approssimativamente il numero di pesci nel lago?
Lascia entrare il lago X pescare Gettiamo una rete e, diciamo, ci troviamo dentro N pescare Contrassegniamo ciascuno di essi e li rilasciamo indietro. Pochi giorni dopo, con lo stesso tempo e nello stesso posto, gettiamo la stessa rete. Supponiamo di trovarvi m pesci, tra i quali K taggato. Lasciamo che l'evento UN- “il pesce pescato è marchiato”. Quindi per definizione di frequenza relativa.
Ma se nel lago X pesce e lo abbiamo rilasciato dentro N etichettato, quindi .
Perché R * (UN) » R(UN), Quello .

1.2.4. Operazioni sugli eventi. Teorema dell'addizione di probabilità

Quantità, ovvero l'unione di più eventi, è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di tali eventi (nello stesso processo).
Somma UN 1 + UN 2 + … + UNN indicato come segue:
O .
Esempio. Si lanciano due dadi. Lasciamo che l'evento UN consiste nel lanciare 4 punti su 1 dado e nell'evento IN– quando vengono lanciati 5 punti su un altro dado. Eventi UN E IN giunto. Dunque l'evento UN +IN consiste nel lanciare 4 punti sul primo dado, oppure 5 punti sul secondo dado, oppure 4 punti sul primo dado e 5 punti sul secondo contemporaneamente.
Esempio. Evento UN– vincita per 1 prestito, evento IN– vincita sul 2° prestito. Poi l'evento A+B– vincere almeno un prestito (possibilmente due contemporaneamente).
Il lavoro ovvero l'intersezione di più eventi è un evento costituito dal verificarsi congiunto di tutti questi eventi (nella stessa prova).
Lavoro IN eventi UN 1 , UN 2 , …, UNN indicato come segue:
.
Esempio. Eventi UN E IN consistono nel superare con successo rispettivamente il primo e il secondo turno al momento dell'ammissione all'istituto. Poi l'evento UN×B consiste nel completare con successo entrambi i round.
I concetti di somma e prodotto di eventi hanno una chiara interpretazione geometrica. Lasciamo che l'evento UN c'è un punto che entra nell'area UN e l'evento IN– punto di ingresso nell'area IN. Poi l'evento A+B c'è un punto che entra nell'unione di queste aree (Fig. 2.1), e l'evento UNIN c'è un punto che colpisce l'intersezione di queste aree (Fig. 2.2).

Riso. 2.1fig. 2.2
Teorema. Se gli eventi Un io(io = 1, 2, …, N) sono incoerenti a coppie, allora la probabilità della somma degli eventi è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:
.
Permettere UN E Ā – eventi opposti, cioè A + À= Ω, dove Ω è un evento attendibile. Dal teorema di addizione segue questo
Р(Ω) = R(UN) + R(Ā ) = 1, quindi
R(Ā ) = 1 – R(UN).
Se gli eventi UN 1 e UN 2 sono compatibili, allora la probabilità della somma di due eventi simultanei è pari a:
R(UN 1 + UN 2) = R(UN 1) + R(UN 2) – P( UN 1× UN 2).
I teoremi dell'addizione delle probabilità ci consentono di passare dal calcolo diretto delle probabilità alla determinazione delle probabilità del verificarsi di eventi complessi.
Problema 1.8. Il tiratore spara un colpo al bersaglio. Probabilità di segnare 10 punti (evento UN), 9 punti (evento IN) e 8 punti (evento CON) sono pari rispettivamente a 0,11; 0,23; 0,17. Trovare la probabilità che con un tiro il tiratore segnerà meno di 8 punti (evento D).
Soluzione. Passiamo all'evento opposto: con un tiro il tiratore segnerà almeno 8 punti. Un evento si verifica se accade UN O IN, O CON, cioè. . Dagli eventi A, B, CON sono incoerenti a due a due, quindi, per il teorema di addizione,
, Dove .
Problema 1.9. Dalla squadra della brigata, composta da 6 uomini e 4 donne, vengono selezionate due persone per la conferenza sindacale. Qual è la probabilità che tra quelli selezionati almeno una donna (evento UN).
Soluzione. Se si verifica un evento UN, allora si verificherà sicuramente uno dei seguenti eventi incompatibili: IN– “vengono scelti un uomo e una donna”; CON- “sono state scelte due donne”. Pertanto possiamo scrivere: A=B+C. Troviamo la probabilità degli eventi IN E CON. Due persone su 10 possono essere scelte in modi diversi. Due donne su 4 potranno essere selezionate in modi diversi. Un uomo e una donna possono essere selezionati in 6 × 4 modi. Poi . Dagli eventi IN E CON sono incoerenti, quindi, per il teorema di addizione,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problema 1.10. Ci sono 15 libri di testo disposti in modo casuale sullo scaffale della biblioteca, cinque dei quali rilegati. Il bibliotecario prende tre libri di testo a caso. Trovare la probabilità che almeno uno dei libri di testo presi venga rilegato (evento UN).
Soluzione. Primo modo. Il requisito - almeno uno dei tre libri di testo rilegati presi - sarà soddisfatto se si verifica uno dei seguenti tre eventi incompatibili: IN– un libro di testo rilegato, CON– due libri di testo rilegati, D– tre libri di testo rilegati.
Evento di nostro interesse UN può essere rappresentato come una somma di eventi: A=B+C+D. Secondo il teorema dell’addizione,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Troviamo la probabilità degli eventi AVANTI CRISTO E D(vedi schemi combinatori):

Rappresentando queste probabilità nell'uguaglianza (2.1), otteniamo infine
PAPÀ)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Secondo modo. Evento UN(almeno uno dei tre libri di testo presi è rilegato) e Ā (nessuno dei libri di testo presi è rilegato) - opposto, quindi P(A) + P(À) = 1 (la somma delle probabilità di due eventi opposti è pari a 1). Da qui PAPÀ) = 1 – PAPÀ). Probabilità del verificarsi dell'evento Ā (nessuno dei libri di testo presi è rilegato)
Probabilità richiesta
PAPÀ) = 1 - PAPÀ) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Probabilità condizionale. Teorema della moltiplicazione delle probabilità

Probabilità condizionale P(B/UN) è la probabilità dell'evento B, calcolata presupponendo che l'evento A si sia già verificato.
Teorema. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi è pari al prodotto delle probabilità di uno di essi e della probabilità condizionata dell'altro, calcolata assumendo che il primo evento si sia già verificato:
PAPÀ∙B) = P(A)∙P( IN/UN). (2.2)
Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di uno di essi non cambia la probabilità del verificarsi dell'altro, cioè
P(A) = P(A/B) O P(B) = P(B/UN). (2.3)
Se gli eventi UN E IN sono indipendenti, allora dalle formule (2.2) e (2.3) segue
PAPÀ∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
È vera anche l’affermazione opposta, cioè se l'uguaglianza (2.4) vale per due eventi, allora questi eventi sono indipendenti. Infatti dalle formule (2.4) e (2.2) segue
PAPÀ∙B) = P(A)∙P(B) = PAPÀ) × P(B/UN), Dove PAPÀ) = P(B/UN).
La formula (2.2) può essere generalizzata al caso di un numero finito di eventi UN 1 , UN 2 ,…,UN:
PAPÀ 1 ∙UN 2 ∙…∙UN)=PAPÀ 1)∙PAPÀ 2 /UN 1)∙PAPÀ 3 /UN 1 UN 2)∙…∙Padella/UN 1 UN 2 …UN -1).
Problema 1.11. Da un'urna contenente 5 palline bianche e 10 nere si estraggono due palline in fila. Trovare la probabilità che entrambe le palline siano bianche (evento UN).
Soluzione. Consideriamo gli eventi: IN– la prima pallina estratta è bianca; CON– la seconda pallina estratta è bianca. Poi A = aC.
L’esperimento può essere condotto in due modi:
1) con restituzione: la pallina rimossa, dopo aver fissato il colore, viene rimessa nell'urna. In questo caso gli eventi IN E CON indipendente:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 ×5/15 = 1/9;
2) senza ritornare: la pallina rimossa viene messa da parte. In questo caso gli eventi IN E CON dipendente:
P(A) = P(B)∙R(S/IN).
Per un evento IN le condizioni sono le stesse, e per CON la situazione è cambiata. Accaduto IN, quindi nell'urna rimangono 14 palline, di cui 4 bianche.
COSÌ, .
Problema 1.12. Delle 50 lampadine, 3 sono fuori standard. Trova la probabilità che due lampadine prese contemporaneamente non siano standard.
Soluzione. Consideriamo gli eventi: UN– la prima lampadina non è standard, IN– la seconda lampadina non è di serie, CON– entrambe le lampadine non sono standard. E' chiaro C = A∙IN. Evento UN 3 casi su 50 possibili sono favorevoli, cioè PAPÀ) = 3/50. Se l'evento UNè già arrivato, quindi l'evento IN due casi su 49 possibili sono favorevoli, cioè P(B/UN) = 2/49. Quindi,
.
Problema 1.13. Due atleti tirano allo stesso bersaglio indipendentemente l'uno dall'altro. La probabilità che il primo atleta raggiunga il bersaglio è 0,7 e quella del secondo è 0,8. Qual è la probabilità che il bersaglio venga colpito?
Soluzione. Il bersaglio verrà colpito se il primo tiratore, o il secondo, o entrambi, lo colpiscono, cioè. accadrà un evento A+B, dov'è l'evento UN consiste nel primo atleta che colpisce il bersaglio e nell'evento IN– secondo. Poi
PAPÀ+IN)=PAPÀ)+P(B)–PAPÀ∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problema 1.14. La sala di lettura dispone di sei libri di testo sulla teoria della probabilità, tre dei quali rilegati. Il bibliotecario prese due libri di testo a caso. Trova la probabilità che due libri di testo siano rilegati.
Soluzione. Introduciamo le designazioni degli eventi : UN– il primo libro di testo preso è rilegato, IN– il secondo libro di testo è rilegato. La probabilità che il primo libro di testo sia rilegato è
PAPÀ) = 3/6 = 1/2.
La probabilità che il secondo libro di testo sia rilegato, a condizione che il primo libro di testo preso sia stato rilegato, cioè probabilità condizionata di un evento IN, è come questo: P(B/UN) = 2/5.
La probabilità desiderata che entrambi i libri di testo siano rilegati, secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità degli eventi, è pari a
P(AB) = PAPÀ) ∙ P(B/UN)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problema 1.15. Nel laboratorio lavorano 7 uomini e 3 donne. Tre persone sono state selezionate a caso utilizzando i loro numeri di personale. Trova la probabilità che tutte le persone selezionate siano uomini.
Soluzione. Introduciamo le designazioni degli eventi: UN– viene selezionato per primo l’uomo, IN– il secondo selezionato è un uomo, CON - Il terzo selezionato era un uomo. La probabilità che un uomo venga selezionato per primo è PAPÀ) = 7/10.
La probabilità che un uomo venga selezionato per secondo, a condizione che un uomo sia già stato selezionato per primo, ad es. probabilità condizionata di un evento IN Prossimo : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
La probabilità che un uomo venga selezionato per terzo, dato che due uomini sono già stati selezionati, cioè probabilità condizionata di un evento CONè questo: P(C/AB) = 5/8.
La probabilità desiderata che tutte e tre le persone selezionate siano uomini è P(ABC) = P(A) P(B/UN) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Formula della probabilità totale e formula di Bayes

Permettere B 1 , B 2 ,…, Bn– eventi incompatibili a coppie (ipotesi) e UN– un evento che può accadere solo insieme ad uno di loro.
Fatecelo sapere anche P(B i) E PAPÀ/B i) (io = 1, 2, …, N).
In queste condizioni valgono le formule:
(2.5)
(2.6)
Viene chiamata la formula (2.5). formula di probabilità totale . Calcola la probabilità di un evento UN(probabilità totale).
Viene chiamata la formula (2.6). Formula di Bayes . Permette di ricalcolare le probabilità delle ipotesi se l'evento UN accaduto.
Quando si compilano gli esempi, è conveniente presumere che le ipotesi formino un gruppo completo.
Problema 1.16. Il cestino contiene mele di quattro alberi della stessa varietà. Dalla prima - 15% di tutte le mele, dalla seconda - 35%, dalla terza - 20%, dalla quarta - 30%. Le mele mature sono rispettivamente il 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Qual è la probabilità che una mela presa a caso sia matura (evento UN).
b) Dato che una mela presa a caso risulta essere matura, calcolare la probabilità che provenga dal primo albero.
Soluzione. a) Abbiamo 4 ipotesi:
B 1 – dal 1° albero si prende una mela a caso;
B 2 – dal 2° albero si prende una mela a caso;
B 3 – dal 3° albero si prende una mela a caso;
B 4 – dal 4° albero si prende una mela a caso.
Le loro probabilità in base alla condizione: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilità condizionate di un evento UN:
PAPÀ/B 1) = 0,99; PAPÀ/B 2) = 0,97; PAPÀ/B 3) = 0,98; PAPÀ/B 4) = 0,95.
La probabilità che una mela presa a caso sia matura si calcola utilizzando la formula della probabilità totale:
PAPÀ)=P(B 1)∙PAPÀ/B 1)+P(B 2)∙PAPÀ/B 2)+P(B 3)∙PAPÀ/B 3)+P(B 4)∙PAPÀ/B 4)=0,969.
b) La formula di Bayes per il nostro caso è simile a:
.
Problema 1.17. Una pallina bianca viene lanciata in un'urna contenente due palline, dopodiché viene estratta una pallina a caso. Trovare la probabilità che la pallina estratta sia bianca se tutte le ipotesi possibili sulla composizione iniziale delle palline (basate sul colore) sono ugualmente possibili.
Soluzione. Indichiamo con UN evento: viene estratta una pallina bianca. Sono possibili le seguenti ipotesi (ipotesi) sulla composizione iniziale delle palline: B1– non ci sono palline bianche, ALLE 2– una pallina bianca, ALLE 3- due palline bianche.
Poiché ci sono tre ipotesi in totale e la somma delle probabilità delle ipotesi è 1 (poiché formano un gruppo completo di eventi), la probabilità di ciascuna ipotesi è 1/3, cioè
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
La probabilità condizionata che venga estratta una pallina bianca, dato che inizialmente non c'erano palline bianche nell'urna, PAPÀ/B 1)=1/3. La probabilità condizionata che venga estratta una pallina bianca, dato che inizialmente c'era una pallina bianca nell'urna, PAPÀ/B 2)=2/3. Probabilità condizionata che venga estratta una pallina bianca dato che inizialmente nell'urna c'erano due palline bianche PAPÀ/B 3)=3/ 3=1.
Troviamo la probabilità richiesta che venga estratta una pallina bianca utilizzando la formula della probabilità totale:
R(UN)=P(B 1)∙PAPÀ/B 1)+P(B 2)∙PAPÀ/B 2)+P(B 3)∙PAPÀ/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problema 1.18. Due macchine producono parti identiche che vanno su un trasportatore comune. La produttività della prima macchina è doppia rispetto a quella della seconda. La prima macchina produce in media il 60% di pezzi di ottima qualità, mentre la seconda l'84%. Il pezzo prelevato a caso dalla catena di montaggio si è rivelato di ottima qualità. Trova la probabilità che questa parte sia stata prodotta dalla prima macchina.
Soluzione. Indichiamo con UN evento - un dettaglio di ottima qualità. Si possono fare due ipotesi: B1– il pezzo è stato prodotto dalla prima macchina e (poiché la prima macchina produce il doppio dei pezzi della seconda) PAPÀ/B 1) = 2/3; B 2 – il pezzo è stato prodotto dalla seconda macchina, e P(B 2) = 1/3.
La probabilità condizionata che il pezzo sia di ottima qualità se prodotto dalla prima macchina, PAPÀ/B 1)=0,6.
La probabilità condizionata che il pezzo sia di ottima qualità se prodotto dalla seconda macchina è PAPÀ/B 1)=0,84.
La probabilità che una parte presa a caso sia di ottima qualità, secondo la formula della probabilità totale, è pari a
PAPÀ)=P(B 1) ∙PAPÀ/B 1)+P(B 2) ∙PAPÀ/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
La probabilità richiesta che il pezzo eccellente selezionato sia stato prodotto dalla prima macchina, secondo la formula di Bayes, è pari a

Problema 1.19. Esistono tre lotti di parti, ciascuno contenente 20 parti. Il numero di parti standard nel primo, secondo e terzo lotto è rispettivamente 20, 15, 10. Una parte risultata standard è stata estratta casualmente dal lotto selezionato. Le parti vengono restituite al lotto e una parte viene rimossa casualmente dallo stesso lotto, che risulta essere anch'esso standard. Trova la probabilità che le parti siano state rimosse dal terzo lotto.
Soluzione. Indichiamo con UN evento - in ciascuna delle due prove (con restituzione), è stata recuperata una parte standard. Si possono fare tre ipotesi (ipotesi): B 1 – le parti vengono rimosse dal primo lotto, IN 2 – le parti vengono rimosse dal secondo lotto, IN 3 – le parti vengono rimosse dal terzo lotto.
Le parti sono state estratte in modo casuale da un dato lotto, quindi le probabilità delle ipotesi sono le stesse: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Troviamo la probabilità condizionata PAPÀ/B 1), cioè la probabilità che due parti standard vengano rimosse in sequenza dal primo lotto. Questo evento è affidabile, perché nel primo lotto tutte le parti sono standard, quindi PAPÀ/B 1) = 1.
Troviamo la probabilità condizionata PAPÀ/B 2), cioè la probabilità che due parti standard vengano rimosse (e restituite) in sequenza dal secondo lotto: PAPÀ/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Troviamo la probabilità condizionata PAPÀ/B 3), cioè la probabilità che due parti standard vengano rimosse (e restituite) in sequenza dal terzo lotto: PAPÀ/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
La probabilità desiderata che entrambe le parti standard estratte vengano prelevate dal terzo lotto, secondo la formula di Bayes, è pari a

1.2.7. Test ripetuti

Se vengono eseguiti più test e la probabilità dell'evento UN in ogni test non dipende dai risultati di altri test, quindi vengono chiamati tali test indipendente rispetto all’evento A. In diverse prove indipendenti l'evento UN possono avere probabilità diverse o la stessa probabilità. Considereremo inoltre solo i test indipendenti in cui si è verificato l'evento UN ha la stessa probabilità.
Lascia che sia prodotto P prove indipendenti, in ciascuna delle quali l'evento UN può apparire o meno. Accettiamo di assumere che la probabilità di un evento UN in ogni prova è lo stesso, cioè uguale R. Quindi la probabilità che l’evento non si verifichi UN in ogni prova è anch'esso costante e pari a 1– R. Questo schema probabilistico si chiama Schema Bernoulliano. Mettiamoci il compito di calcolare la probabilità che quando P Evento di prova Bernoulli UN si avvererà K una volta ( K– numero di successi) e, pertanto, non si avvererà P- una volta. È importante sottolineare che non è obbligatorio che l'evento UN ripetuto esattamente K volte in una determinata sequenza. Indichiamo la probabilità desiderata R p (k). Ad esempio, il simbolo R 5(3) indica la probabilità che in cinque prove l'evento appaia esattamente 3 volte e quindi non si verifichi 2 volte.
Il problema posto può essere risolto utilizzando il cosiddetto Formule di Bernoulli, che assomiglia a:
.
Problema 1.20. La probabilità che il consumo di elettricità durante un giorno non superi la norma stabilita è uguale a R=0,75. Trova la probabilità che nei prossimi 6 giorni il consumo di elettricità per 4 giorni non superi la norma.
Soluzione. La probabilità di un consumo energetico normale durante ciascuno dei 6 giorni è costante e uguale a R=0,75. Di conseguenza, anche la probabilità di un consumo eccessivo di energia ogni giorno è costante e uguale a q= 1–R=1–0,75=0,25.
La probabilità richiesta secondo la formula di Bernoulli è uguale a
.
Problema 1.21. Due giocatori di scacchi uguali giocano a scacchi. Cos'è più probabile: vincere due partite su quattro o tre partite su sei (i pareggi non vengono presi in considerazione)?
Soluzione. Giocano giocatori di scacchi uguali, quindi la probabilità di vincere R= 1/2, quindi, la probabilità di perdere Qè anche uguale a 1/2. Perché in tutti i giochi la probabilità di vincita è costante e non importa in quale sequenza si vincono le partite, allora è applicabile la formula di Bernoulli.
Troviamo la probabilità che vengano vinte due partite su quattro:

Troviamo la probabilità che vengano vinte tre partite su sei:

Perché P 4 (2) > P 6 (3), allora è più probabile vincere due partite su quattro che tre su sei.
Tuttavia, si può vedere che utilizzando la formula di Bernoulli per valori grandi N abbastanza difficile, poiché la formula richiede operazioni su numeri enormi e quindi gli errori si accumulano durante il processo di calcolo; Di conseguenza, il risultato finale potrebbe differire in modo significativo da quello reale.
Per risolvere questo problema esistono diversi teoremi limite che vengono utilizzati nel caso di un gran numero di test.
1. Teorema di Poisson
Quando si eseguono un gran numero di test utilizzando lo schema Bernoulli (con N=> ∞) e con un numero esiguo di esiti favorevoli K(si presuppone che la probabilità di successo P piccolo), la formula di Bernoulli si avvicina alla formula di Poisson
.
Esempio 1.22. La probabilità di difetti quando un'impresa produce un'unità di prodotto è pari a P=0,001. Qual è la probabilità che producendo 5000 unità di prodotto, meno di 4 di esse siano difettose (evento UN Soluzione. Perché Nè grande, usiamo il teorema locale di Laplace:

Calcoliamo X:
Funzione – pari, quindi φ(–1,67) = φ(1,67).
Utilizzando la tabella nell'Appendice A.1, troviamo φ(1,67) = 0,0989.
Probabilità richiesta P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integrale di Laplace
Se la probabilità R verificarsi di un evento UN in ogni prova secondo lo schema Bernoulliano è costante e diversa da zero e uno, quindi con un gran numero di prove N, probabilità R p (k 1 , K 2) verificarsi dell'evento UN in questi test da K 1 a K 2 volte approssimativamente uguali
R pag(K 1 , K 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Dove
– Funzione di Laplace,

L'integrale definito nella funzione di Laplace non può essere calcolato sulla classe delle funzioni analitiche, quindi per calcolarlo viene utilizzata la tabella. Clausola 2, riportata in appendice.
Esempio 1.24. La probabilità che un evento si verifichi in ciascuna delle cento prove indipendenti è costante e uguale a P= 0,8. Trovare la probabilità che l'evento si ripeta: a) almeno 75 volte e non più di 90 volte; b) almeno 75 volte; c) non più di 74 volte.
Soluzione. Usiamo il teorema integrale di Laplace:
R pag(K 1 , K 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), dove Ô( X) – Funzione di Laplace,

a) A seconda della condizione, N = 100, P = 0,8, Q = 0,2, K 1 = 75, K 2 = 90. Calcoliamo X"" E X" :


Considerando che la funzione di Laplace è dispari, cioè F(- X) = – Ô( X), noi abbiamo
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Secondo la tabella P.2. troveremo applicazioni:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Probabilità richiesta
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Il requisito che un evento appaia almeno 75 volte significa che il numero di occorrenze dell'evento può essere 75, o 76, ..., o 100. Pertanto, nel caso in esame, dovrebbe essere accettato K 1 = 75, K 2 = 100. Quindi

.
Secondo la tabella P.2. applicazione troviamo Ф(1.25) = 0.3944; Ô(5) = 0,5.
Probabilità richiesta
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Evento – “ UNè apparso almeno 75 volte" e " UN apparso non più di 74 volte" sono opposti, quindi la somma delle probabilità di questi eventi è pari a 1. Pertanto, la probabilità desiderata
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

La teoria della probabilità, come ogni branca della matematica, opera con una certa gamma di concetti. Alla maggior parte dei concetti della teoria della probabilità viene data una definizione, ma alcuni vengono presi come primari, non definiti, come un punto, una linea retta, un piano in geometria. Il concetto principale della teoria della probabilità è un evento. Per evento si intende qualcosa di cui, dopo un certo momento, si può dire una ed una sola di due cose:

• · Sì, è successo.
• · No, non è successo.

Ad esempio, ho un biglietto della lotteria. Dopo la pubblicazione dei risultati della lotteria, l'evento che mi interessa - vincere mille rubli - accade o non accade. Qualsiasi evento si verifica come risultato di una prova (o esperienza). Un test (o esperienza) si riferisce a quelle condizioni a seguito delle quali si verifica un evento. Ad esempio, lanciare una moneta è un test e l'apparizione di uno "stemma" su di essa è un evento. Un evento è solitamente indicato con lettere latine maiuscole: A,B,C,…. Gli eventi nel mondo materiale possono essere suddivisi in tre categorie: affidabili, impossibili e casuali.

Un certo evento è un evento che si sa in anticipo che si verificherà. È indicato con la lettera W. Pertanto, è affidabile che non appaiano più di sei punti quando si lancia un dado normale, l'aspetto di una pallina bianca quando viene rimossa da un'urna contenente solo palline bianche, ecc.

Un evento impossibile è un evento noto in anticipo che non accadrà. È indicato dalla lettera E. Esempi di eventi impossibili sono pescare più di quattro assi da un normale mazzo di carte, pescare una pallina rossa da un'urna contenente solo palline bianche e nere, ecc.

Un evento casuale è un evento che può verificarsi o meno a seguito di un test. Gli eventi A e B si dicono incompatibili se il verificarsi dell'uno esclude la possibilità del verificarsi dell'altro. Pertanto, la comparsa di un numero qualsiasi di punti quando si lancia un dado (evento A) è incompatibile con la comparsa di un altro numero (evento B). Ottenere un numero pari di punti non è coerente con ottenere un numero dispari. Al contrario, ottenere un numero pari di punti (evento A) e un numero di punti multiplo di tre (evento B) non sarà incompatibile, perché ottenere sei punti significa il verificarsi sia dell'evento A che dell'evento B, quindi il verificarsi di uno di essi non esclude il verificarsi dell'altro. È possibile eseguire operazioni sugli eventi. L'unione di due eventi C=AUB è un evento C che si verifica se e solo se si verifica almeno uno di questi eventi A e B. L'intersezione di due eventi D=A?? B è un evento che si verifica se e solo se si verificano entrambi gli eventi A e B.