Trovare il valore più grande di una funzione di più variabili. Funzioni

Nel luglio 2020, la NASA lancia una spedizione su Marte. La navicella spaziale consegnerà su Marte un supporto elettronico con i nomi di tutti i partecipanti registrati alla spedizione.

La registrazione dei partecipanti è aperta. Ottieni il tuo biglietto per Marte utilizzando questo link.

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Un altro Capodanno... tempo gelido e fiocchi di neve sul vetro della finestra... Tutto questo mi ha spinto a scrivere di nuovo sui... frattali e su ciò che Wolfram Alpha ne sa. C'è un articolo interessante su questo argomento, che contiene esempi di strutture frattali bidimensionali. Qui esamineremo esempi più complessi di frattali tridimensionali.

Un frattale può essere rappresentato visivamente (descritto) come una figura o un corpo geometrico (nel senso che entrambi sono un insieme, in questo caso un insieme di punti), i cui dettagli hanno la stessa forma della figura originale stessa. Cioè, questa è una struttura auto-simile, esaminando i cui dettagli quando ingranditi, vedremo la stessa forma che senza ingrandimento. Nel caso invece di una figura geometrica ordinaria (non un frattale), ingrandendola vedremo dettagli che hanno una forma più semplice rispetto alla figura originale stessa. Ad esempio, con un ingrandimento sufficientemente elevato, parte di un'ellisse appare come un segmento di linea retta. Questo non accade con i frattali: ad ogni aumento vedremo di nuovo la stessa forma complessa, che si ripeterà ancora e ancora ad ogni aumento.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, ha scritto nel suo articolo Frattali e arte in nome della scienza: "I frattali sono forme geometriche che sono tanto complesse nei loro dettagli quanto nella loro forma complessiva. Cioè, se fanno parte del frattale verrà ingrandito fino alla dimensione dell'insieme, apparirà come un insieme, esattamente o forse con una leggera deformazione."

Teorema 1.5 Ammettiamo una regione chiusa D funzione specificata z=z(x,y), aventi derivate parziali continue del primo ordine. Confine G regione Dè liscio a tratti (cioè è costituito da pezzi di curve o linee rette “lisce al tatto”). Poi in zona D funzione z(x,y) raggiunge il suo massimo M e il meno M valori.

Nessuna prova.

Puoi proporre il seguente piano per la ricerca M E M.
1. Costruiamo un disegno, selezioniamo tutte le parti del confine dell'area D e trova tutti i punti “d'angolo” del confine.
2. Trova punti stazionari all'interno D.
3. Trova punti stazionari su ciascuno dei confini.
4. Calcoliamo tutti i punti stazionari e d'angolo, quindi selezioniamo il più grande M e almeno M significati.

Esempio 1.14 Trova il maggiore M e almeno M valori della funzione z= 4x2-2xy+y2-8x in un'area chiusa D, limitato: X= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Costruiamo un'area D(Fig. 1.5) su un aereo Ohoh.

Punti d'angolo: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

Confine G regione Dè composto da tre parti:

2. Trova punti stazionari all'interno della regione D:

3. Punti stazionari sui confini l1, l2, l3:

4. Calcoliamo sei valori:

Esempi

Esempio 1.

Questa funzione è definita per tutti i valori delle variabili X E sì, tranne che nell'origine, dove il denominatore va a zero.

Polinomio x2+y2è continua ovunque, e quindi la radice quadrata di una funzione continua è continua.

La frazione sarà continua ovunque tranne nei punti in cui il denominatore è zero. Cioè, la funzione in esame è continua su tutto il piano delle coordinate Ohoh, esclusa l'origine.

Esempio 2.

Esaminare la continuità di una funzione z=tg(x,y). La tangente è definita e continua per tutti i valori finiti dell'argomento, ad eccezione dei valori pari a un numero dispari della quantità π /2 , cioè. esclusi i punti dove

Per ogni fisso "K" l'equazione (1.11) definisce un'iperbole. Pertanto la funzione in esame è una funzione continua Xe sì, esclusi i punti che giacciono sulle curve (1.11).

Esempio 3.

Trovare le derivate parziali di una funzione u=z-xy, z > 0.

Esempio 4.

Mostra quella funzione

soddisfa l'identità:

– questa uguaglianza vale per tutti i punti M(x;y;z), tranne il punto M 0 (a;b;c).

Consideriamo la funzione z=f(x,y) di due variabili indipendenti e stabiliamo il significato geometrico delle variabili parziali z"x =f"x(x,y) E z"y =f"y(x,y).

In questo caso, l'equazione z=f(x,y) esiste un'equazione di una certa superficie (Fig. 1.3). Disegniamo un aereo sì= cost. In una sezione di questo piano di superficie z=f(x,y) ottieni qualche riga l1 intersezione lungo la quale cambiano solo le quantità X E z.

Derivata parziale z"x(il suo significato geometrico deriva direttamente dal significato geometrico noto della derivata di una funzione di una variabile) è numericamente uguale alla tangente dell'angolo α inclinazione, rispetto all'asse OH, tangente L1 alla curva l1, risultando in una sezione della superficie z=f(x,y) aereo sì= cost al punto M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

Nella sezione della superficie z=f(x,y) aereo X= cost ottieni una linea di intersezione l2, lungo il quale cambiano solo le quantità A E z. Quindi la derivata parziale z"y numericamente uguale alla tangente dell'angolo β inclinazione rispetto all'asse UO, tangente L2 alla riga specificata l2 intersezioni in un punto M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

Esempio 5.

Che angolo forma con l'asse? OH tangente alla retta:

al punto M(2,4,5)?

Usiamo il significato geometrico della derivata parziale rispetto ad una variabile X(a costante A):

Esempio 6.

Secondo la (1.31):

Esempio 7.

Supponendo che l'equazione

definisce implicitamente una funzione

Trovare z"x, z" y.

quindi, secondo la (1.37), otteniamo la risposta.

Esempio 8.

Esplora fino all'estremo:

1. Trova i punti stazionari risolvendo il sistema (1.41):

cioè si trovano quattro punti stazionari.
2.

per il Teorema 1.4 nel punto esiste un minimo.

Inoltre

4. Calcoliamo sei valori:

Dai sei valori ottenuti, seleziona il più grande e il più piccolo.

Bibliografia:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. Matematica superiore per economisti. I semestre: corso Express. – M.: Nuove conoscenze, 2002. – 140 p.

ü Gusak A. A.. Analisi matematica ed equazioni differenziali – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 p.

ü Gusak A. A.. Matematica superiore. Un libro di testo per studenti universitari in 2 volumi. – Mn., 1998. – 544 pag. (1 volume), 448 pp. (2 volumi).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematica superiore per economisti: libro di testo per università / Ed. prof. N. Sh. Kremer. – M.: UNITI, 2002. – 471 p.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. e altri Matematica superiore. Corso generale: Libro di testo / Sotto generale. ed. S. A. Samal. – Mn.: Vysh. scuola, 2000. – 351 pag.

Sia definita e continua la funzione $z=f(x,y)$ in un dominio chiuso e limitato $D$. Sia la funzione data in questa regione ad avere derivate parziali finite del primo ordine (tranne, forse, per un numero finito di punti). Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in una data regione chiusa, sono necessari tre passaggi di un semplice algoritmo.

Quali sono i punti critici? mostra nascondi

Sotto punti critici implicano punti in cui entrambe le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero (cioè $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ e $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o almeno una derivata parziale non esiste.

Spesso vengono chiamati i punti in cui le derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero punti stazionari. Pertanto, i punti stazionari sono un sottoinsieme dei punti critici.

Esempio n. 1

Trova i valori più grande e più piccolo della funzione $z=x^2+2xy-y^2-4x$ in una regione chiusa delimitata dalle linee $x=3$, $y=0$ e $y=x +1$.

Seguiremo quanto sopra, ma prima ci occuperemo del disegno di una determinata area, che indicheremo con la lettera $D$. Ci vengono date le equazioni di tre rette che limitano quest'area. Per il punto $(3;0)$ passa la retta $x=3$ parallela all'asse delle ordinate (asse Oy). La retta $y=0$ è l'equazione dell'asse delle ascisse (asse Ox). Bene, per costruire la linea $y=x+1$, troveremo due punti attraverso i quali tracceremo questa linea. Ovviamente puoi sostituire un paio di valori arbitrari invece di $x$. Ad esempio, sostituendo $x=10$, otteniamo: $y=x+1=10+1=11$. Abbiamo trovato il punto $(10;11)$ che giace sulla retta $y=x+1$. Tuttavia è meglio trovare i punti in cui la retta $y=x+1$ interseca le linee $x=3$ e $y=0$. Perché è meglio? Perché prenderemo un paio di piccioni con una fava: otterremo due punti per costruire la retta $y=x+1$ e contemporaneamente scopriremo in quali punti questa retta interseca altre rette che delimitano l'area data. La linea $y=x+1$ interseca la linea $x=3$ nel punto $(3;4)$ e la linea $y=0$ interseca nel punto $(-1;0)$. Per non ingombrare il progresso della soluzione con spiegazioni ausiliarie, porrò in una nota la questione di come ottenere questi due punti.

Come sono stati ottenuti i punti $(3;4)$ e $(-1;0)$? mostra nascondi

Partiamo dal punto di intersezione delle linee $y=x+1$ e $x=3$. Le coordinate del punto desiderato appartengono sia alla prima che alla seconda retta, quindi per trovare le coordinate incognite è necessario risolvere il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

La soluzione a un tale sistema è banale: sostituendo $x=3$ nella prima equazione avremo: $y=3+1=4$. Il punto $(3;4)$ è il punto di intersezione desiderato delle linee $y=x+1$ e $x=3$.

Ora troviamo il punto di intersezione delle linee $y=x+1$ e $y=0$. Componiamo e risolviamo nuovamente il sistema di equazioni:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Sostituendo $y=0$ nella prima equazione, otteniamo: $0=x+1$, $x=-1$. Il punto $(-1;0)$ è il punto di intersezione desiderato delle linee $y=x+1$ e $y=0$ (asse x).

Tutto è pronto per costruire un disegno che sarà simile a questo:

La questione della nota sembra ovvia, perché nella foto è tutto visibile. Tuttavia, vale la pena ricordare che un disegno non può fungere da prova. Il disegno è solo a scopo illustrativo.

La nostra area è stata definita utilizzando equazioni lineari che la delimitavano. Ovviamente, queste linee definiscono un triangolo, giusto? Oppure non è del tutto evidente? O forse ci viene assegnata un'area diversa, delimitata dalle stesse linee:

Naturalmente la condizione indica che l'area è chiusa, quindi l'immagine mostrata non è corretta. Ma per evitare tali ambiguità, è meglio definire le regioni in base alle disuguaglianze. A noi interessa la parte del piano situata sotto la retta $y=x+1$? Ok, quindi $y ≤ x+1$. La nostra area dovrebbe trovarsi sopra la linea $y=0$? Ottimo, ciò significa $y ≥ 0$. A proposito, le ultime due disuguaglianze possono essere facilmente combinate in una sola: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Queste disuguaglianze definiscono la regione $D$ e la definiscono in modo inequivocabile, senza consentire alcuna ambiguità. Ma come ci aiuta questo rispetto alla domanda posta all’inizio della nota? Aiuterà anche :) Dobbiamo verificare se il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$. Sostituiamo $x=1$ e $y=1$ nel sistema di disuguaglianze che definiscono questa regione. Se entrambe le disuguaglianze sono soddisfatte, il punto si trova all’interno della regione. Se almeno una delle disuguaglianze non è soddisfatta, il punto non appartiene alla regione. COSÌ:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(allineato) \right.$$

Entrambe le disuguaglianze sono valide. Il punto $M_1(1;1)$ appartiene alla regione $D$.

Ora è il momento di studiare il comportamento della funzione al confine della regione, cioè andiamo a . Cominciamo con la retta $y=0$.

La retta $y=0$ (asse delle ascisse) delimita la regione $D$ nella condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituiamo $y=0$ nella funzione data $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Indichiamo la funzione di una variabile $x$ ottenuta come risultato della sostituzione come $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ora per la funzione $f_1(x)$ dobbiamo trovare il valore più grande e quello più piccolo nell'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Troviamo la derivata di questa funzione e uguagliamola a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Il valore $x=2$ appartiene al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, quindi aggiungeremo anche $M_2(2;0)$ alla lista dei punti. Inoltre, calcoliamo i valori della funzione $z$ agli estremi del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè nei punti $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A proposito, se il punto $M_2$ non appartenesse al segmento in esame, ovviamente non ci sarebbe bisogno di calcolare il valore della funzione $z$ al suo interno.

Calcoliamo quindi i valori della funzione $z$ nei punti $M_2$, $M_3$, $M_4$. Ovviamente puoi sostituire le coordinate di questi punti nell'espressione originale $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Ad esempio, per il punto $M_2$ otteniamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tuttavia i calcoli possono essere un po’ semplificati. Per fare ciò è bene ricordare che sul segmento $M_3M_4$ abbiamo $z(x,y)=f_1(x)$. Lo scrivo in dettaglio:

\begin(allineato) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cpunto 3=-3. \end(allineato)

Naturalmente, di solito non sono necessarie registrazioni così dettagliate e in futuro annoteremo brevemente tutti i calcoli:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Passiamo ora alla retta $x=3$. Questa retta delimita la regione $D$ sotto la condizione $0 ≤ y ≤ 4$. Sostituiamo $x=3$ nella funzione data $z$. Come risultato di questa sostituzione otteniamo la funzione $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Per la funzione $f_2(y)$ dobbiamo trovare il valore più grande e quello più piccolo nell'intervallo $0 ≤ y ≤ 4$. Troviamo la derivata di questa funzione e uguagliamola a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Il valore $y=3$ appartiene al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, quindi aggiungeremo anche $M_5(3;3)$ ai punti precedentemente trovati. Inoltre è necessario calcolare il valore della funzione $z$ nei punti agli estremi del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, cioè nei punti $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. Nel punto $M_4(3;0)$ abbiamo già calcolato il valore di $z$. Calcoliamo il valore della funzione $z$ nei punti $M_5$ e $M_6$. Ti ricordo che sul segmento $M_4M_6$ abbiamo $z(x,y)=f_2(y)$, quindi:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(allineato)

E infine, consideriamo l'ultimo confine della regione $D$, cioè retta $y=x+1$. Questa retta delimita la regione $D$ sotto la condizione $-1 ≤ x ≤ 3$. Sostituendo $y=x+1$ nella funzione $z$, avremo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ancora una volta abbiamo una funzione di una variabile $x$. E ancora dobbiamo trovare i valori più grande e più piccolo di questa funzione sull'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Troviamo la derivata della funzione $f_(3)(x)$ e uguagliamola a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Il valore $x=1$ appartiene all'intervallo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, allora $y=x+1=2$. Aggiungiamo $M_7(1;2)$ all'elenco dei punti e scopriamo qual è il valore della funzione $z$ a questo punto. Punti alle estremità del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, cioè punti $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ sono stati considerati in precedenza, in essi abbiamo già trovato il valore della funzione.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Il secondo passaggio della soluzione è completato. Abbiamo ricevuto sette valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Passiamo a. Scegliendo il valore più grande e quello più piccolo tra i numeri ottenuti nel terzo paragrafo, avremo:

$$z_(min)=-4; \; z_(massimo)=6.$$

Il problema è risolto, non resta che scrivere la risposta.

Risposta: $z_(min)=-4; \; z_(massimo)=6$.

Esempio n.2

Trova i valori più grande e più piccolo della funzione $z=x^2+y^2-12x+16y$ nella regione $x^2+y^2 ≤ 25$.

Per prima cosa, costruiamo un disegno. L'equazione $x^2+y^2=25$ (questa è la linea di confine di una data area) definisce una circonferenza con centro nell'origine (cioè nel punto $(0;0)$) e raggio pari a 5. La disuguaglianza $x^2 +y^2 ≤ $25 soddisfa tutti i punti all'interno e sul cerchio menzionato.

Agiremo secondo. Troviamo le derivate parziali e scopriamo i punti critici.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Non ci sono punti in cui le derivate parziali trovate non esistano. Scopriamo in quali punti entrambe le derivate parziali sono contemporaneamente uguali a zero, cioè troviamo i punti stazionari.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(allineato)\right.$$

Abbiamo ottenuto un punto stazionario $(6;-8)$. Tuttavia, il punto trovato non appartiene alla regione $D$. Questo è facile da mostrare senza nemmeno ricorrere al disegno. Verifichiamo se vale la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$, che definisce la nostra regione $D$. Se $x=6$, $y=-8$, allora $x^2+y^2=36+64=100$, cioè la disuguaglianza $x^2+y^2 ≤ 25$ non vale. Conclusione: il punto $(6;-8)$ non appartiene all'area $D$.

Quindi non ci sono punti critici all'interno della regione $D$. Passiamo a... Dobbiamo studiare il comportamento di una funzione sul confine di una data regione, cioè sul cerchio $x^2+y^2=25$. Possiamo, ovviamente, esprimere $y$ in termini di $x$, e poi sostituire l'espressione risultante nella nostra funzione $z$. Dall'equazione della circonferenza otteniamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ oppure $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sostituendo, ad esempio, $y=\sqrt(25-x^2)$ nella funzione data, avremo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5 ≤ x ≤ 5. $$

L'ulteriore soluzione sarà del tutto identica allo studio del comportamento della funzione al confine della regione nel precedente esempio n. 1. Tuttavia, in questa situazione mi sembra più ragionevole applicare il metodo di Lagrange. Saremo interessati solo alla prima parte di questo metodo. Dopo aver applicato la prima parte del metodo di Lagrange, otterremo dei punti in cui esamineremo la funzione $z$ per i valori minimo e massimo.

Componiamo la funzione Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Troviamo le derivate parziali della funzione Lagrange e componiamo il corrispondente sistema di equazioni:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (allineato) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(allineato) \ destra. \;\; \sinistra \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( allineato)\right.$$

Per risolvere questo sistema facciamo subito notare che $\lambda\neq -1$. Perché $\lambda\neq -1$? Proviamo a sostituire $\lambda=-1$ nella prima equazione:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

La contraddizione risultante $0=6$ indica che il valore $\lambda=-1$ non è accettabile. Uscita: $\lambda\neq -1$. Esprimiamo $x$ e $y$ in termini di $\lambda$:

\begin(allineato) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(allineato)

Credo che qui diventi evidente il motivo per cui abbiamo stabilito espressamente la condizione $\lambda\neq -1$. Ciò è stato fatto per adattare l'espressione $1+\lambda$ ai denominatori senza interferenze. Cioè per essere sicuri che il denominatore $1+\lambda\neq 0$.

Sostituiamo le espressioni risultanti per $x$ e $y$ nella terza equazione del sistema, cioè tra $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dall'uguaglianza risultante segue che $1+\lambda=2$ oppure $1+\lambda=-2$. Abbiamo quindi due valori del parametro $\lambda$ e cioè: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Di conseguenza, otteniamo due coppie di valori $x$ e $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(allineato)

Abbiamo così ottenuto due punti di possibile estremo condizionale, cioè $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Troviamo i valori della funzione $z$ nei punti $M_1$ e $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(allineato)

Dovremmo selezionare i valori più grande e più piccolo tra quelli ottenuti nel primo e nel secondo passaggio. Ma in questo caso la scelta è piccola :) Abbiamo:

$$ z_(min)=-75; \; z_(massimo)=125. $$

Risposta: $z_(min)=-75; \; z_(massimo)=$125.

Da un punto di vista pratico, l'interesse maggiore è utilizzare la derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione. A cosa è collegato questo? Massimizzare i profitti, minimizzare i costi, determinare il carico ottimale delle attrezzature... In altre parole, in molti ambiti della vita dobbiamo risolvere problemi di ottimizzazione di alcuni parametri. E questi sono i compiti di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Va notato che i valori più grandi e più piccoli di una funzione vengono solitamente ricercati su un certo intervallo X, che è l'intero dominio della funzione o parte del dominio di definizione. L'intervallo X stesso può essere un segmento, un intervallo aperto , un intervallo infinito.

In questo articolo parleremo di come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione definita esplicitamente di una variabile y=f(x) .

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Vediamo brevemente le principali definizioni.

Il valore più grande della funzione quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Il valore più piccolo della funzione y=f(x) sull'intervallo X è un valore di questo tipo quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Queste definizioni sono intuitive: il valore più grande (più piccolo) di una funzione è il valore più grande (più piccolo) accettato sull'intervallo considerato nell'ascissa.

I punti stazionari sono i valori dell'argomento in corrispondenza dei quali la derivata della funzione diventa zero.

Perché abbiamo bisogno di punti stazionari quando troviamo i valori più grandi e più piccoli? La risposta a questa domanda è data dal teorema di Fermat. Da questo teorema segue che se una funzione differenziabile ha un estremo (minimo locale o massimo locale) in un punto, allora questo punto è stazionario. Pertanto, la funzione spesso assume il suo valore più grande (più piccolo) sull'intervallo X in uno dei punti stazionari di questo intervallo.

Inoltre, una funzione può spesso assumere i suoi valori più grandi e più piccoli nei punti in cui la derivata prima di questa funzione non esiste e la funzione stessa è definita.

Rispondiamo subito a una delle domande più comuni su questo argomento: “È sempre possibile determinare il valore più grande (più piccolo) di una funzione”? No, non sempre. A volte i confini dell'intervallo X coincidono con i confini del dominio di definizione della funzione, oppure l'intervallo X è infinito. E alcune funzioni all'infinito e ai confini del dominio di definizione possono assumere valori sia infinitamente grandi che infinitamente piccoli. In questi casi non si può dire nulla sul valore più grande e su quello più piccolo della funzione.

Per chiarezza forniremo un'illustrazione grafica. Guarda le immagini e tutto ti sarà più chiaro.

Sul segmento

Nella prima figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno del segmento [-6;6].

Consideriamo il caso rappresentato nella seconda figura. Cambiamo il segmento in . In questo esempio, il valore più piccolo della funzione si ottiene in un punto stazionario e il più grande nel punto in cui l'ascissa corrisponde al limite destro dell'intervallo.

Nella Figura 3, i punti di confine del segmento [-3;2] sono le ascisse dei punti corrispondenti al valore più grande e più piccolo della funzione.

Su un intervallo aperto

Nella quarta figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno dell'intervallo aperto (-6;6).

Nell'intervallo non è possibile trarre conclusioni sul valore più grande.

All'infinito

Nell'esempio presentato nella settima figura, la funzione assume il valore più grande (max y) in un punto stazionario con ascissa x=1, e il valore più piccolo (min y) viene raggiunto sul limite destro dell'intervallo. A meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3.

Nell'intervallo la funzione non raggiunge né il valore più piccolo né quello più grande. Quando x=2 si avvicina da destra, i valori della funzione tendono a meno infinito (la linea x=2 è un asintoto verticale), e quando l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3. Un'illustrazione grafica di questo esempio è mostrata nella Figura 8.

Scriviamo un algoritmo che ci permetta di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

Analizziamo l'algoritmo per risolvere un esempio per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

Esempio.

Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

• sul segmento;
• sul segmento [-4;-1] .

Soluzione.

Il dominio di definizione di una funzione è l'intero insieme dei numeri reali, ad eccezione dello zero. Entrambi i segmenti rientrano nel dominio di definizione.

Trovare la derivata della funzione rispetto a:

Ovviamente la derivata della funzione esiste in tutti i punti dei segmenti e [-4;-1].

Determiniamo i punti stazionari dall'equazione. L'unica radice reale è x=2. Questo punto stazionario rientra nel primo segmento.

Per il primo caso calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento e nel punto stazionario, cioè per x=1, x=2 e x=4:

Pertanto, il valore massimo della funzione si ottiene con x=1 e il valore più piccolo – in x=2.

Per il secondo caso calcoliamo i valori della funzione solo agli estremi del segmento [-4;-1] (poiché non contiene un solo punto stazionario):

Soluzione.

Cominciamo con il dominio della funzione. Il trinomio quadrato al denominatore della frazione non deve svanire:

È facile verificare che tutti gli intervalli dell'enunciazione del problema appartengono al dominio di definizione della funzione.

Differenziamo la funzione:

Ovviamente la derivata esiste in tutto il dominio di definizione della funzione.

Troviamo i punti stazionari. La derivata va a zero in . Questo punto stazionario rientra negli intervalli (-3;1] e (-3;2).

Ora puoi confrontare i risultati ottenuti in ogni punto con il grafico della funzione. Le linee tratteggiate blu indicano gli asintoti.

A questo punto possiamo concludere trovando i valori più grandi e più piccoli della funzione. Gli algoritmi discussi in questo articolo ti consentono di ottenere risultati con un minimo di azioni. Tuttavia, può essere utile determinare prima gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione e solo dopo trarre conclusioni sui valori più grandi e più piccoli della funzione su qualsiasi intervallo. Ciò fornisce un quadro più chiaro e una giustificazione rigorosa dei risultati.

§ Estremi, Valori massimi e minimi di funzioni di più variabili - pagina n. 1/1

Punto
chiamato punto massimo funzioni
, se per qualche motivo

vale la disuguaglianza

.

Allo stesso modo punto
chiamato punto minimo funzioni
, se per qualche motivo
da qualche intorno di un punto
vale la disuguaglianza

.

Appunti. 1) Secondo le definizioni, la funzione
deve essere definito in qualche intorno del punto
. Quelli. Punti di massimo e minimo della funzione
possono esserci solo punti interni alla regione
.

2) Se esiste un intorno di un punto
, in cui per qualsiasi punto
diverso da
vale la disuguaglianza

(

), allora il punto
chiamato punto massimo rigoroso(rispettivamente punto minimo rigoroso) funzioni
. A questo proposito, i punti massimo e minimo definiti sopra sono talvolta chiamati punti massimo e minimo non rigidi.

I concetti di estremi sono di natura locale: il valore di una funzione in un punto
viene confrontato con i valori della funzione in punti abbastanza vicini. In una data area, una funzione può non avere estremi, oppure può avere diversi minimi, diversi massimi e persino un numero infinito di entrambi. Inoltre, alcuni minimi potrebbero essere maggiori di alcuni dei suoi massimi. Non confondere i valori massimo e minimo di una funzione con i suoi valori massimo e minimo.

Troviamo la condizione necessaria per un estremo. Lasciamo, ad esempio,
– punto massimo della funzione
. Quindi, per definizione, c'è un gif" align=absmiddle width="17px" Height="18px">-quartiere del punto
tale che
per qualsiasi punto
da queste vicinanze. In particolare,

(1)

Dove
,
, E

(2)

Dove
,
. Ma (1) significa che una funzione di una variabile
ha al punto massimo o è nell'intervallo
costante. Quindi,

O
- non esiste,

⇒
O
- non esiste.

Allo stesso modo dalla (2) lo otteniamo

O
- non esiste.

Vale quindi il seguente teorema.

TEOREMA 8.1. (condizioni necessarie per un estremo). Se la funzione
al punto
ha un estremo, allora a questo punto o entrambe le sue derivate parziali del primo ordine sono uguali a zero, oppure almeno una di queste derivate parziali non esiste.

Dal punto di vista geometrico, il Teorema 8.1 significa che se
– punto estremo della funzione
, allora il piano tangente al grafico di questa funzione nel punto è parallelo al piano
oppure non esiste affatto. Per verificarlo è sufficiente ricordare come trovare l'equazione di un piano tangente ad una superficie (vedi formula (4.6)).

Vengono chiamati i punti che soddisfano le condizioni del Teorema 8.1 punti critici funzioni
. Proprio come per una funzione di una variabile, le condizioni necessarie per un estremo non sono sufficienti. Quelli. non tutti i punti critici di una funzione saranno il suo punto estremo.

ESEMPIO. Considera la funzione
. Punto
è fondamentale per questa funzione, poiché a questo punto entrambe le sue derivate parziali del primo ordine
E
sono uguali a zero. Non si tratterà però di un punto estremo. Veramente,
, ma in qualsiasi intorno del punto
ci sono punti in cui la funzione assume valori positivi e punti in cui la funzione assume valori negativi. Questo è facile da verificare se costruisci un grafico della funzione: un paraboloide iperbolico.

Per una funzione di due variabili, le condizioni sufficienti più convenienti sono date dal seguente teorema.

TEOREMA 8.2. (condizioni sufficienti per l'estremo di una funzione di due variabili). Permettere
– punto critico della funzione
e in qualche zona del punto
la funzione ha derivate parziali continue fino al secondo ordine compreso. Denotiamo

,
,
.

Quindi 1) se
, quindi puntare
non è un punto estremo;


Se usiamo il Teorema 8.2 per indagare il punto critico
fallito (cioè se
oppure la funzione non ha alcun senso nel quartiere
derivate parziali continue dell'ordine richiesto), la risposta alla domanda sulla presenza in un punto
estremo darà il segno dell'incremento della funzione a questo punto.

Dalla definizione infatti segue che se la funzione
ha al punto
massimo rigoroso quindi

per tutti i punti
da qualche intorno di un punto
, o altrimenti

per tutti sufficientemente piccolo
E
. Allo stesso modo, se
è un punto di minimo stretto, quindi per tutti sufficientemente piccolo
E
la disuguaglianza sarà soddisfatta
.

Quindi, per scoprire se il punto critico è
punto estremo, è necessario esaminare l'incremento della funzione in questo punto. Se tutto sommato abbastanza piccolo
E
ne conserverà il segno, quindi al punto
la funzione ha un estremo rigoroso (minimo se
, e il massimo se
).

Commento. La regola rimane valida per un extremum non rigoroso, ma con la modifica che vale per alcuni valori
E
l'incremento della funzione sarà zero
ESEMPIO. Trova gli estremi delle funzioni:

1)
; 2)
.

Per studiare i punti critici applichiamo il Teorema 8.2. Abbiamo:

,
,
.

Esploriamo il punto
:

,
,
,

;
.

Pertanto, al punto
questa funzione ha un minimo, vale a dire
.

Esplorare il punto critico
:

,
,
,


.

Pertanto il secondo punto critico non è il punto estremo della funzione.

Per studiare il punto critico applichiamo il Teorema 8.2. Abbiamo:

,
,
,

,
,
,

.

Determina la presenza o l'assenza di un estremo in un punto
l'uso del Teorema 8.2 non è riuscito.

Esaminiamo il segno dell'incremento della funzione nel punto
:

Se
, Quello
;

Se
, Quello
.

Perché il
non conserva il segno in un intorno di un punto
, allora a questo punto la funzione non ha estremi.

.

Allo stesso modo, il valore della funzione nel punto
chiamato il più piccolo, se per qualche motivo
dalla regione
vale la disuguaglianza

.

Abbiamo già detto in precedenza che se una funzione è continua e l'area
– è chiuso e limitato, allora la funzione assume i suoi valori massimo e minimo in quest’area. Allo stesso tempo, punti
E
possono trovarsi entrambi all'interno dell'area
, e al suo confine. Se il punto
(O
) si trova all'interno della regione
, allora questo sarà il punto massimo (minimo) della funzione
, cioè. punto critico di una funzione all'interno di una regione
. Pertanto, per trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione
nella zona
bisogno di:
.