Coseno 90 gradi. Qual è il coseno di un angolo e come utilizzarlo per risolvere i problemi

Nell'articolo capiremo appieno come appare tabella dei valori trigonometrici, seno, coseno, tangente e cotangente. Consideriamo il significato di base delle funzioni trigonometriche, da un angolo di 0,30,45,60,90,...,360 gradi. E vediamo come utilizzare queste tabelle nel calcolo dei valori delle funzioni trigonometriche.
Per prima cosa diamo un'occhiata tabella di coseno, seno, tangente e cotangente da un angolo di 0, 30, 45, 60, 90,... gradi. La definizione di queste quantità ci permette di determinare il valore delle funzioni degli angoli di 0 e 90 gradi:

sin 0 0 = 0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, la cotangente da 0 0 sarà indefinita
sin 90 0 = 1, cos 90 0 = 0, ctg90 0 = 0, la tangente da 90 0 sarà incerta

Se prendi triangoli rettangoli i cui angoli sono compresi tra 30 e 90 gradi. Noi abbiamo:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3

Rappresentiamo tutti i valori ottenuti nel modulo tavola trigonometrica:

Tabella di seni, coseni, tangenti e cotangenti!

Se utilizziamo la formula di riduzione, la nostra tabella aumenterà, aggiungendo valori per angoli fino a 360 gradi. Sembrerà:

Inoltre, in base alle proprietà della periodicità, la tabella può essere aumentata se sostituiamo gli angoli con 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, in cui z è un numero intero. In questa tabella è possibile calcolare il valore di tutti gli angoli corrispondenti ai punti di un singolo cerchio.

Diamo un'occhiata a come utilizzare la tabella in una soluzione.
Tutto è molto semplice. Poiché il valore di cui abbiamo bisogno si trova nel punto di intersezione delle celle di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, prendi il cos di un angolo di 60 gradi, nella tabella apparirà come:

Nella tabella finale dei principali valori delle funzioni trigonometriche si procede allo stesso modo. Ma in questa tabella è possibile scoprire quanto vale la tangente di un angolo di 1020 gradi, essa = -√3 Controlliamo 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Troviamolo utilizzando la tabella.

Per ulteriori ricerche, vengono utilizzati valori dell'angolo trigonometrico precisi al minuto. Istruzioni dettagliate su come utilizzarli sono nella pagina.

Tavolo Bradis. Per seno, coseno, tangente e cotangente.

Le tabelle Bradis sono divise in più parti, costituite da tabelle di coseno e seno, tangente e cotangente - che è divisa in due parti (tg degli angoli fino a 90 gradi e ctg dei piccoli angoli).

Seno e coseno

tg dell'angolo che inizia da 0 0 e termina con 76 0, ctg dell'angolo che inizia da 14 0 e termina con 90 0.

tg fino a 90 0 e ctg di piccoli angoli.

Scopriamo come utilizzare le tabelle Bradis per risolvere i problemi.

Troviamo la designazione sin (designazione nella colonna sul bordo sinistro) 42 minuti (designazione sulla riga superiore). Per intersezione cerchiamo la designazione, it = 0,3040.

I valori minuti sono indicati con un intervallo di sei minuti, cosa fare se il valore di cui abbiamo bisogno rientra esattamente in questo intervallo. Prendiamo 44 minuti, ma nella tabella ce ne sono solo 42. Prendiamo 42 come base e utilizziamo le colonne aggiuntive sul lato destro, prendiamo il 2° emendamento e aggiungiamo a 0,3040 + 0,0006 otteniamo 0,3046.

Con sin 47 minuti, prendiamo come base 48 minuti e sottraiamo da esso 1 correzione, ovvero 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

Quando calcoliamo il cos, lavoriamo in modo simile al peccato, solo che prendiamo come base la riga inferiore della tabella. Ad esempio cos 20 0 = 0,9397

I valori dell'angolo tg fino a 90 0 e cot di un angolo piccolo sono corretti e non vi sono correzioni. Ad esempio, trova tg 78 0 37min = 4.967


e ctg 20 0 13min = 25,83

Bene, abbiamo esaminato le tabelle trigonometriche di base. Ci auguriamo che queste informazioni ti siano state estremamente utili. Se avete domande sulle tabelle, assicuratevi di scriverle nei commenti!

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Le tabelle dei valori di seno (sin), coseno (cos), tangenti (tg), cotangenti (ctg) sono uno strumento potente e utile che aiuta a risolvere molti problemi, sia teorici che applicati. In questo articolo forniremo una tabella delle funzioni trigonometriche di base (seno, coseno, tangenti e cotangenti) per angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradi (0, π 6, π 3, π 2,... . , 2 π radianti). Verranno inoltre mostrate tabelle Bradis separate per seno e coseno, tangenti e cotangenti, con una spiegazione di come utilizzarle per trovare i valori delle funzioni trigonometriche di base.

Tabella delle funzioni trigonometriche di base per gli angoli 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradi

In base alle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente, puoi trovare i valori di queste funzioni per angoli di 0 e 90 gradi

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, la cotangente zero non è definita,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, la tangente di novanta gradi non è definita.

I valori di seno, coseno, tangente e cotangente nel corso di geometria sono definiti come il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo, i cui angoli sono 30, 60 e 90 gradi, e anche 45, 45 e 90 gradi.

Definizione delle funzioni trigonometriche per un angolo acuto in un triangolo rettangolo

Seno- il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa.

Coseno- il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

Tangente- il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.

Cotangente- il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.

In accordo con le definizioni, i valori delle funzioni si trovano:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.

Mettiamo questi valori in una tabella e chiamiamola tabella dei valori di base di seno, coseno, tangente e cotangente.

Tabella dei valori fondamentali di seno, coseno, tangenti e cotangenti

Una delle proprietà importanti delle funzioni trigonometriche è la periodicità. In base a questa proprietà, questa tabella può essere ampliata utilizzando formule di riduzione. Di seguito presentiamo una tabella estesa dei valori delle principali funzioni trigonometriche per gli angoli 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 gradi (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radianti).

Tavola di seni, coseni, tangenti e cotangenti

La periodicità di seno, coseno, tangente e cotangente consente di espandere questa tabella a valori angolari arbitrariamente grandi. I valori raccolti nella tabella vengono utilizzati più spesso durante la risoluzione dei problemi, quindi si consiglia di memorizzarli.

Come utilizzare la tabella dei valori di base delle funzioni trigonometriche

Il principio dell'utilizzo di una tabella dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente è chiaro a livello intuitivo. L'intersezione di una riga e di una colonna fornisce il valore della funzione per un particolare angolo.

Esempio. Come utilizzare la tabella dei seni, coseni, tangenti e cotangenti

Dobbiamo scoprire a cosa è uguale sin 7 π 6

Troviamo una colonna nella tabella il cui valore dell'ultima cella è 7 π 6 radianti, ovvero 210 gradi. Quindi selezioniamo il termine della tabella in cui sono presentati i valori dei seni. All'intersezione tra riga e colonna troviamo il valore desiderato:

peccato 7 π 6 = - 1 2

Tavoli Bradis

La tabella Bradis permette di calcolare il valore di seno, coseno, tangente o cotangente con una precisione di 4 cifre decimali senza l'ausilio della tecnologia informatica. Questa è una sorta di sostituto di una calcolatrice ingegneristica.

Riferimento

Vladimir Modestovich Bradis (1890-1975) - insegnante di matematico sovietico, dal 1954 membro corrispondente dell'Accademia delle scienze pedagogiche dell'URSS. Le tabelle dei logaritmi a quattro cifre e delle quantità trigonometriche naturali sviluppate da Bradis furono pubblicate per la prima volta nel 1921.

Per prima cosa presentiamo la tabella Bradis per seno e coseno. Ti consente di calcolare in modo abbastanza accurato i valori approssimativi di queste funzioni per angoli contenenti un numero intero di gradi e minuti. La colonna più a sinistra della tabella rappresenta i gradi e la riga superiore rappresenta i minuti. Si noti che tutti i valori degli angoli della tabella Bradis sono multipli di sei minuti.

Tabella Bradis per seni e coseni

Per trovare i valori di seno e coseno degli angoli non presentati nella tabella, è necessario utilizzare delle correzioni.

Presentiamo ora la tabella Bradis per tangenti e cotangenti. Contiene valori di tangenti di angoli da 0 a 76 gradi e cotangenti di angoli da 14 a 90 gradi.

Tabella Bradis per tangente e cotangente

Come utilizzare i tavoli Bradis

Considera la tabella Bradis per seni e coseni. Tutto ciò che riguarda i seni è in alto e a sinistra. Se abbiamo bisogno dei coseni, guarda il lato destro in fondo alla tabella.

Per trovare i valori del seno di un angolo, è necessario trovare l'intersezione della riga contenente il numero di gradi richiesto nella cella più a sinistra e la colonna contenente il numero di minuti richiesto nella cella in alto.

Se il valore esatto dell'angolo non è presente nella tabella Bradis, si ricorre alle correzioni. Le correzioni per uno, due e tre minuti sono riportate nelle colonne più a destra della tabella. Per trovare il valore del seno di un angolo che non è presente nella tabella, troviamo il valore più vicino ad esso. Successivamente, aggiungiamo o sottraiamo la correzione corrispondente alla differenza tra gli angoli.

Se cerchiamo il seno di un angolo maggiore di 90 gradi, dobbiamo prima utilizzare le formule di riduzione e solo dopo la tabella di Bradis.

Esempio. Come utilizzare il tavolo Bradis

Diciamo che dobbiamo trovare il seno dell'angolo 17 ° 44 ". Utilizzando la tabella, troviamo a cosa equivale il seno di 17 ° 42 " e aggiungiamo una correzione di due minuti al suo valore:

17°44" - 17°42" = 2" (correzione necessaria) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046

Il principio di lavorare con coseni, tangenti e cotangenti è simile. Tuttavia, è importante ricordare il segno degli emendamenti.

Importante!

Quando si calcolano i valori dei seni, la correzione ha un segno positivo e quando si calcolano i coseni, la correzione deve essere presa con un segno negativo.

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Tabella coseno è una soluzione comoda per effettuare calcoli rapidi quando è necessario ottenere il valore numerico del coseno di un particolare angolo. Nell'articolo impareremo cos'è un coseno, come le tabelle dei seni e dei coseni sono simili e come sono correlate, come utilizzare la tabella dei seni di Bradis per ottenere valori numerici specifici del coseno di un particolare angolo.

Qual è il coseno di un angolo e come utilizzarlo per risolvere i problemi

Cominciamo dal fatto che tutti sanno cos'è un triangolo rettangolo. Si chiama triangolo in cui uno degli angoli (C) è dritto (pari a 90°), gli altri due angoli (? e?) sono acuti. Ha una designazione standard per angoli e lati. Quindi qual è il coseno di un angolo può essere considerato ulteriormente.

Triangolo rettangolo: lati a (BC) e b (AC) - cateti, lato c (AB) - ipotenusa

Un angolo retto è sempre uguale a 90°, un angolo acuto è sempre minore e un angolo ottuso è sempre maggiore di 90°.

Coseno — Questo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa:

• cos α = b diviso c;
• cos β = а(BC)/с(AB).

Cioè, se hai bisogno di sapere, ad esempio, quale altezza realizzare il tetto sopra la casa, se conosci la larghezza della casa e l'angolo di inclinazione del tetto in modo che la neve non indugi, allora non lo farà essere difficile calcolare l'altezza della cresta utilizzando il teorema del coseno. Va ricordato che funzioni come coseni e seni nelle formule dipendono dall'angolo. Il seno funziona sul lato opposto, il coseno funziona sul lato adiacente.

Queste sono formule trigonometriche per il calcolo degli angoli in un triangolo utilizzando le funzioni trigonometriche, coseno, tangente, cotangente

coseno: il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa

Se il triangolo non è rettangolo, i suoi parametri possono essere calcolati anche utilizzando il teorema di Euclide. La sua essenza è che un triangolo giacente su un piano e avente i lati a, b, c, nonché un angolo α, che è il lato opposto a, può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

а²= b²+с²-2²· b· cos α oppure:

Da qui possiamo trovare cos α, cos α = (b²+2²- a²) : 2bс.

Piccola precisazione: se l'angolo α è inferiore a 90°, allora b²+2²- a² > 0, se α =90°, allora b²+2²- a²=0, se α >90°, cioè l'angolo è ottuso, quindi b²+2² - a²< 0.

Facciamo gli stessi calcoli per gli altri angoli del triangolo:

• c² = a² + b² - 2ab cosγ,
• b² = a² + c² - 2ac cosβ.

Come calcolare il coseno di un angolo senza formule

Ci sono alcuni angoli il cui coseno può essere calcolato senza formule, utilizzando tabella dei seni e coseni π . In esso il calcolo viene effettuato tramite il numero π, che viene diviso per un numero intero, a seconda della dimensione dell'angolo, cioè sin 30° = π: 6 o 0,5, cos 30° = √3: 2. Questa tabella contiene dati coseno 30 gradi, coseno 45 gradi, coseno 60 gradi, coseno 90 gradi, coseno 120 gradi, coseno 180 gradi, coseno 270 gradi, coseno 360 gradi, coseno 0, nonché valori simili di seno .

Di seguito è riportata una tabella dei coseni, inoltre i seni sono indicati nella loro espressione numerica.

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