Proiezioni cartografiche. Tipi di proiezioni cartografiche e loro essenza Per quali mappe viene utilizzata una proiezione cilindrica?

Proiezione della mappa è un metodo matematicamente definito per visualizzare la superficie dell'ellissoide terrestre su un piano. Stabilisce una relazione funzionale tra le coordinate geografiche dei punti sulla superficie dell'ellissoide terrestre e le coordinate rettangolari di questi punti sul piano, ad es.

X= ƒ 1 (B, l) E Y= ƒ 2 (IN,l).

Le proiezioni cartografiche sono classificate in base alla natura delle distorsioni, al tipo di superficie ausiliaria, al tipo di griglia normale (meridiani e paralleli), all'orientamento della superficie ausiliaria rispetto all'asse polare, ecc.

Per natura della distorsione Si distinguono le seguenti proiezioni:

1. equiangolo, che trasmettono la grandezza degli angoli senza distorsioni e, quindi, non distorcono le forme delle figure infinitesimali, e la scala delle lunghezze in qualsiasi punto rimane la stessa in tutte le direzioni. In tali proiezioni, le ellissi di distorsione sono rappresentate come cerchi di raggi diversi (Fig. 2 UN).

2. di dimensioni uguali, in cui non ci sono distorsioni dell'area, vale a dire I rapporti tra le aree sulla mappa e l'ellissoide sono preservati, ma le forme delle figure infinitesimali e le scale di lunghezza nelle diverse direzioni sono notevolmente distorte. I cerchi infinitesimi in diversi punti di tali proiezioni sono rappresentati come ellissi di uguale area aventi allungamenti diversi (Fig. 2 B).

3. arbitrario, in cui sono presenti distorsioni in proporzioni diverse sia degli angoli che delle aree. Tra questi spiccano quelli equidistanti, in cui la scala delle lunghezze lungo una delle direzioni principali (meridiani o paralleli) rimane costante, cioè la lunghezza di uno degli assi dell'ellisse è preservata (Fig. 2 V).

Per tipo di superficie ausiliaria per la progettazione Si distinguono le seguenti proiezioni:

1. Azimutale, in cui la superficie dell'ellissoide terrestre viene trasferita su un piano tangente o secante.

2. Cilindrico, in cui la superficie ausiliaria è la superficie laterale del cilindro, tangente all'ellissoide o tagliante lo stesso.

3. Conico, in cui la superficie dell'ellissoide viene trasferita sulla superficie laterale del cono, tangente all'ellissoide o tagliandolo.

In base all'orientamento della superficie ausiliaria rispetto all'asse polare, le proiezioni si dividono in:

UN) normale, in cui l'asse della figura ausiliaria coincide con l'asse dell'ellissoide terrestre; nelle proiezioni azimutali il piano è perpendicolare alla normale, coincidente con l'asse polare;

B) trasversale, in cui l'asse della superficie ausiliaria giace nel piano dell'equatore terrestre; nelle proiezioni azimutali la normale del piano ausiliario giace nel piano equatoriale;

V) obliquo, in cui l'asse della superficie ausiliaria della figura coincide con la normale posta tra l'asse terrestre e il piano equatoriale; nelle proiezioni azimutali il piano è perpendicolare a questa normale.

La Figura 3 mostra varie posizioni del piano tangente alla superficie dell'ellissoide terrestre.

Classificazione delle proiezioni per tipologia di griglia normale (meridiani e paralleli) è uno dei principali. In base a questa caratteristica si distinguono otto classi di proiezioni.

un B C

Riso. 3. Tipi di proiezioni per orientamento

superficie ausiliaria rispetto all'asse polare.

UN-normale; B-trasversale; V- obliquo.

1. Azimutale. Nelle normali proiezioni azimutali, i meridiani sono rappresentati come linee rette convergenti in un punto (polo) ad angoli pari alla differenza nelle loro longitudini, e i paralleli sono rappresentati come cerchi concentrici disegnati da un centro comune (polo). Nelle proiezioni azimutali oblique e nella maggior parte trasversali, i meridiani, escluso quello centrale, e i paralleli sono linee curve. L'equatore nelle proiezioni trasversali è una linea retta.

2. Conico. Nelle normali proiezioni coniche, i meridiani sono rappresentati come linee rette convergenti in un punto ad angoli proporzionali alle corrispondenti differenze di longitudine, e i paralleli sono rappresentati come archi di cerchi concentrici con il centro nel punto di convergenza dei meridiani. In quelli obliqui e trasversali ci sono paralleli e meridiani, escluso quello centrale, ci sono linee curve.

3. Cilindrico. Nelle normali proiezioni cilindriche, i meridiani sono rappresentati come linee parallele equidistanti, ed i paralleli come linee perpendicolari ad essi, che in generale non sono equidistanti. Nelle proiezioni oblique e trasversali, paralleli e meridiani, escluso quello centrale, hanno la forma di linee curve.

4. Policonico. Quando si costruiscono queste proiezioni, la rete di meridiani e paralleli viene trasferita su più coni, ognuno dei quali si sviluppa in un piano. I paralleli, escluso l'equatore, sono rappresentati da archi di cerchi eccentrici, i cui centri giacciono sulla continuazione del meridiano medio, che sembra una linea retta. I restanti meridiani sono curve, simmetriche al meridiano medio.

5. Pseudo-azimut, i cui paralleli sono cerchi concentrici, mentre i meridiani sono curve che convergono nel polo e sono simmetriche attorno a uno o due meridiani diritti.

6. Pseudoconico, in cui i paralleli sono archi di cerchi concentrici, e i meridiani sono linee curve simmetriche rispetto al meridiano rettilineo medio, che potrebbero non essere raffigurate.

7. Pseudocilindrico, in cui i paralleli sono raffigurati come rette parallele, e i meridiani come curve, simmetriche rispetto al meridiano rettilineo medio, che potrebbe non essere raffigurato.

8. Circolare, i cui meridiani, escluso quello centrale, e paralleli, escluso l'equatore, sono rappresentati da archi di cerchi eccentrici. Il meridiano medio e l'equatore sono linee rette.

Proiezione Gauss-Kruger cilindrica trasversale conforme. Zone di proiezione. Ordine di conteggio di zone e colonne. Griglia chilometrica. Determinazione della zona di un foglio di carta topografica mediante la digitalizzazione di una griglia chilometrica

Il territorio del nostro Paese è molto vasto. Ciò porta a distorsioni significative quando viene trasferito su un piano. Per questo motivo, quando si costruiscono carte topografiche in Russia, sull'aereo non viene trasferito l'intero territorio, ma le sue singole zone, la cui lunghezza in longitudine è 6°. Per trasferire le zone viene utilizzata la proiezione cilindrica trasversale Gauss-Kruger (utilizzata in Russia dal 1928). L'essenza della proiezione è che l'intera superficie terrestre è rappresentata da zone meridionali. Tale zona è ottenuta dividendo il globo in meridiani ogni 6°.

Nella fig. La Figura 2.23 mostra un cilindro tangente a un ellissoide, il cui asse è perpendicolare all'asse minore dell'ellissoide.

Quando si costruisce una zona su un cilindro tangente separato, l'ellissoide e il cilindro hanno una linea di tangenza comune, che corre lungo il meridiano medio della zona. Quando si sposta su un piano, non viene distorto e mantiene la sua lunghezza. Questo meridiano, che passa per il centro della zona, si chiama assiale meridiano.

Quando la zona viene proiettata sulla superficie del cilindro, viene tagliata lungo le sue generatrici e dispiegata in un piano. Quando è aperto, il meridiano assiale viene rappresentato senza distorsioni della linea retta RR′ ed è preso come asse X. Equatore SUO' rappresentato anche da una linea retta perpendicolare al meridiano assiale. È preso come asse Y. L'origine delle coordinate in ciascuna zona è l'intersezione del meridiano assiale e dell'equatore (Fig. 2.24).

Di conseguenza, ciascuna zona è un sistema di coordinate in cui la posizione di qualsiasi punto è determinata da coordinate rettangolari piatte X E Y.

La superficie dell'ellissoide terrestre è divisa in 60 zone di longitudine di sei gradi. Le zone vengono contate a partire dal meridiano di Greenwich. La prima zona di sei gradi avrà un valore di 0°–6°, la seconda zona 6°–12°, ecc.

La zona di larghezza 6° adottata in Russia coincide con la colonna di fogli della Carta dello Stato in scala 1:1.000.000, ma il numero della zona non coincide con il numero della colonna di fogli di questa carta.

Controllo zone è in corso da Greenwich meridiano, UN controllo colonne – da meridiano 180°.

Come abbiamo già detto, l'origine delle coordinate di ciascuna zona è il punto di intersezione dell'equatore con il meridiano medio (assiale) della zona, che nella proiezione è rappresentato da una linea retta ed è l'asse delle ascisse. Le ascisse sono considerate positive a nord dell'equatore e negative a sud. L'asse delle ordinate è l'equatore. Le ordinate sono considerate positive ad est e negative ad ovest del meridiano assiale (Fig. 2.25).

Poiché le ascisse si misurano dall'equatore ai poli, per il territorio della Russia, situato nell'emisfero settentrionale, saranno sempre positive. Le ordinate in ciascuna zona possono essere positive o negative, a seconda di dove si trova il punto rispetto al meridiano assiale (a ovest o ad est).

Per rendere convenienti i calcoli, è necessario eliminare i valori di ordinata negativi all'interno di ciascuna zona. Inoltre, la distanza dal meridiano assiale della zona al meridiano estremo nel punto più largo della zona è di circa 330 km (Fig. 2.25). Per fare i calcoli è più conveniente prendere una distanza pari ad un numero tondo di chilometri. A questo scopo, l'asse X assegnato condizionatamente a ovest 500 km. Pertanto, il punto con le coordinate viene preso come origine delle coordinate nella zona X = 0, sì = 500 km. Pertanto, le ordinate dei punti che si trovano ad ovest del meridiano assiale della zona avranno valori inferiori a 500 km, e quelle dei punti che si trovano ad est del meridiano assiale avranno valori superiori a 500 km.

Poiché le coordinate dei punti si ripetono in ciascuna delle 60 zone, le ordinate sono in avanti Y indicare il numero della zona.

Per tracciare punti in base alle coordinate e determinare le coordinate dei punti sulle mappe topografiche, esiste una griglia rettangolare. Parallelo agli assi X E Y tracciano linee di 1 o 2 km (prese su scala cartografica), e quindi vengono chiamate linee chilometriche, e la griglia di coordinate rettangolari è griglia chilometrica.

Proiezioni cartografiche

mappatura dell'intera superficie dell'ellissoide terrestre (vedi ellissoide terrestre) o di qualsiasi parte di esso su un piano, ottenuta principalmente allo scopo di costruire una mappa.

Scala. Le stazioni di controllo sono costruite su una certa scala. Ridurre mentalmente l'ellissoide terrestre in M volte, ad esempio 10.000.000 di volte, otteniamo il suo modello geometrico: il globo, la cui immagine a grandezza naturale su un piano fornisce una mappa della superficie di questo ellissoide. Valore 1: M(nell'esempio 1: 10.000.000) determina la scala principale, o generale, della mappa. Poiché le superfici di un ellissoide e di una palla non possono essere sviluppate su un piano senza rotture e pieghe (non appartengono alla classe delle superfici sviluppabili (vedi superficie sviluppabile)), qualsiasi superficie di composizione è inerente a distorsioni nella lunghezza delle linee, angoli, ecc., caratteristici di qualsiasi mappa. La caratteristica principale di un sistema spaziale in ogni punto è la scala parziale μ. Questo è il reciproco del rapporto del segmento infinitesimo ds sull'ellissoide terrestre alla sua immagine dσ sul piano: μ min ≤ μ ≤ μ max, e l'uguaglianza qui è possibile solo in singoli punti o lungo alcune linee sulla mappa. Pertanto, la scala principale della mappa la caratterizza solo in termini generali, in una forma media. Atteggiamento µ/M chiamata scala relativa, o aumento di lunghezza, la differenza M = 1.

Informazioni generali. Teoria di K. p. - Cartografia matematica - Il suo obiettivo è studiare tutti i tipi di distorsioni nella mappatura della superficie dell'ellissoide terrestre su un piano e sviluppare metodi per costruire proiezioni in cui le distorsioni avrebbero i valori più piccoli (in ogni senso) o una distribuzione predeterminata.

In base alle esigenze della cartografia (Vedi Cartografia), nella teoria della cartografia vengono considerate le mappature della superficie dell'ellissoide terrestre su un piano. Poiché l'ellissoide terrestre ha una bassa compressione e la sua superficie si discosta leggermente dalla sfera, e anche perché gli elementi ellittici sono necessari per elaborare mappe su scala media e piccola ( M> 1.000.000), spesso si limitano a considerare mappature sul piano di una sfera di un certo raggio R, le cui deviazioni dall'ellissoide possono essere trascurate o prese in considerazione in qualche modo. Pertanto di seguito si intendono le mappature sul piano xOy sfera, riferita alle coordinate geografiche φ (latitudine) e λ (longitudine).

Le equazioni di qualsiasi QP hanno la forma

x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ), (1)

Dove F 1 e F 2 - funzioni che soddisfano alcune condizioni generali. Immagini dei meridiani λ = cost e paralleli φ = cost in una data mappa formano una griglia cartografica. Kp può anche essere determinato da due equazioni in cui compaiono coordinate non rettangolari X,A aerei, ma qualsiasi altro. Alcune proiezioni [ad esempio, proiezioni prospettiche (in particolare, ortografiche, riso. 2 ) prospettico-cilindrico ( riso. 7 ) ecc.] possono essere determinati mediante costruzioni geometriche. Una mappa è determinata anche dalla regola di costruzione della corrispondente griglia cartografica o dalle sue proprietà caratteristiche, da cui si possono ricavare equazioni della forma (1) che determinano completamente la proiezione.

Brevi notizie storiche. Lo sviluppo della teoria della cartografia, così come di tutta la cartografia, è strettamente correlato allo sviluppo della geodesia, dell'astronomia, della geografia e della matematica. Le basi scientifiche della cartografia furono gettate nell'antica Grecia (VI-I secolo aC). La proiezione gnomonica, utilizzata da Talete di Mileto per costruire mappe del cielo stellato, è considerata la più antica CG. Dopo la sua fondazione nel III sec. AVANTI CRISTO e. forma sferica della Terra. C. cominciò ad essere inventato e utilizzato nella compilazione di carte geografiche (Ipparco, Tolomeo ecc.). Il significativo incremento della cartografia nel XVI secolo, causato dalle Grandi Scoperte Geografiche, portò alla creazione di una serie di nuove proiezioni; uno di essi, proposto da G. Mercatore, È ancora utilizzato oggi (vedi proiezione di Mercatore). Nei secoli XVII e XVIII, quando l'ampia organizzazione dei rilievi topografici cominciò a fornire materiale affidabile per la compilazione di mappe su un vasto territorio, furono sviluppate carte come base per carte topografiche (cartografo francese R. Bonn, J. D. Cassini), e sono stati condotti studi anche su singoli gruppi più importanti di campi quantistici (I. Lambert, L. Euler, J. Lagrange e così via.). Lo sviluppo della cartografia militare e l'ulteriore aumento del volume del lavoro topografico nel XIX secolo. richiese la fornitura di una base matematica per mappe su larga scala e l'introduzione di un sistema di coordinate rettangolari su una base più adatta ai calcoli geometrici, ciò portò K. Gauss allo sviluppo di una proiezione geodetica fondamentale (vedi Proiezioni geodetiche). Infine, a metà del XIX secolo. A. Tissot (Francia) ha fornito una teoria generale delle distorsioni della PC. Lo sviluppo della teoria della PC in Russia è stato strettamente correlato alle esigenze della pratica e ha dato molti risultati originali (L. Euler, F. I. Schubert, P. L. Chebyshev, D. A. Grave, ecc.). Nelle opere dei cartografi sovietici V. V. Kavraisky (vedi Kavraisky), N. A. Urmaev e altri, furono sviluppati nuovi gruppi di mappe, le loro varianti individuali (fino allo stadio dell'uso pratico) e importanti questioni della teoria generale delle mappe. , le loro classificazioni, ecc.

Teoria della distorsione. Le distorsioni in una regione infinitesimale attorno a qualsiasi punto di proiezione obbediscono a determinate leggi generali. In qualsiasi punto della mappa in una proiezione non conforme (vedi sotto), ci sono due direzioni reciprocamente perpendicolari, che corrispondono anche a direzioni reciprocamente perpendicolari sulla superficie visualizzata, queste sono le cosiddette direzioni di visualizzazione principali. Le scale in queste direzioni (scale principali) hanno valori estremi: μmax = a E μmin = b. Se in qualsiasi proiezione i meridiani e i paralleli sulla mappa si intersecano ad angolo retto, le loro direzioni sono le principali per questa proiezione. La distorsione della lunghezza in un dato punto di proiezione rappresenta visivamente un'ellisse di distorsione, simile e similmente posizionata all'immagine di un cerchio infinitesimale circoscritto attorno al punto corrispondente della superficie visualizzata. I semidiametri di questa ellisse sono numericamente uguali alle scale parziali in un dato punto nelle direzioni corrispondenti, i semiassi dell'ellisse sono uguali alle scale estreme, e le loro direzioni sono le principali.

La connessione tra gli elementi dell'ellisse di distorsione, le distorsioni della QP e le derivate parziali delle funzioni (1) è stabilita dalle formule base della teoria delle distorsioni.

Classificazione delle proiezioni cartografiche in base alla posizione del polo delle coordinate sferiche utilizzate. I poli della sfera sono punti speciali di coordinazione geografica, sebbene la sfera in questi punti non abbia alcuna caratteristica. Ciò significa che quando si mappano aree contenenti poli geografici, a volte è preferibile utilizzare non coordinate geografiche, ma altre in cui i poli risultano essere punti di coordinamento ordinari. Pertanto, sulla sfera vengono utilizzate le coordinate sferiche, le cui linee di coordinate, le cosiddette verticali (longitudine condizionale su di esse a = cost) e almucantarati (dove le distanze polari z = cost), simili ai meridiani e ai paralleli geografici, ma il loro polo Z0 non coincide con il polo geografico P0 (riso. 1 ). Transizione dalle coordinate geografiche φ , λ qualsiasi punto della sfera alle sue coordinate sferiche z, UN ad una data pole position Z 0 (φ 0 , λ 0) effettuata utilizzando le formule della trigonometria sferica. Qualsiasi QP dato dalle equazioni (1) è chiamato normale o diretto ( φ0 = π/2). Se la stessa proiezione di una sfera viene calcolata utilizzando le stesse formule (1), in cui invece di φ , λ apparire z, UN, allora questa proiezione è chiamata trasversale quando φ0 = 0, λ 0 e obliquo se 0 . L'uso di proiezioni oblique e trasversali porta ad una riduzione della distorsione. SU riso. 2 mostra le proiezioni ortografiche normale (a), trasversale (b) e obliqua (c) (vedi Proiezione ortografica) di una sfera (superficie di una palla).

Classificazione delle proiezioni cartografiche in base alla natura delle distorsioni. Nei punti equiangoli (conformi), la scala dipende solo dalla posizione del punto e non dipende dalla direzione. Le ellissi di distorsione degenerano in cerchi. Esempi - Proiezione di Mercatore, Proiezione stereografica.

Negli spazi di pari dimensione (equivalenti), le aree vengono preservate; più precisamente, le aree delle figure sulle mappe compilate in tali proiezioni sono proporzionali alle aree delle figure corrispondenti in natura, e il coefficiente di proporzionalità è il reciproco del quadrato della scala principale della mappa. Le ellissi di distorsione hanno sempre la stessa area, diversa per forma e orientamento.

I compositi arbitrari non sono né equiangoli né uguali in area. Di questi si distinguono quelli equidistanti, in cui una delle scale principali è uguale all'unità, e ortodromico, in cui i cerchi massimi della palla (ortodromi) sono raffigurati come rettilinei.

Quando si raffigura una sfera su un piano, le proprietà di equiangolarità, equilateralità, equidistanza e ortodromicità sono incompatibili. Per mostrare le distorsioni in diversi punti dell'area immagine, utilizzare: a) ellissi di distorsione costruite in diversi punti della griglia o dello schizzo della mappa ( riso. 3 ); b) isocole, cioè linee di uguale valore di distorsione (on riso. 8v vedere le isocol della massima distorsione degli angoli с e le isocol della scala dell'area R); c) immagini in alcuni punti della mappa di alcune linee sferiche, solitamente ortodromie (O) e lossodromie (L), vedi. riso. 3a ,3b e così via.

Classificazione delle proiezioni cartografiche normali in base al tipo di immagini di meridiani e paralleli, che è il risultato dello sviluppo storico della teoria della PC, abbraccia la maggior parte delle proiezioni conosciute. Conserva i nomi associati al metodo geometrico per ottenere le proiezioni, ma i gruppi in esame sono ora definiti analiticamente.

Proiezioni cilindriche ( riso. 3 ) - proiezioni in cui i meridiani sono rappresentati come linee parallele equidistanti, e i paralleli sono rappresentati come linee rette perpendicolari alle immagini dei meridiani. Utile per rappresentare territori che si estendono lungo l'equatore o eventuali paralleli. La navigazione utilizza la proiezione di Mercatore, una proiezione cilindrica conforme. La proiezione Gauss-Kruger è una proiezione cilindrica trasversale conforme, utilizzata nella compilazione di mappe topografiche e nell'elaborazione delle triangolazioni.

Proiezioni azimutali ( riso. 5 ) - proiezioni in cui i paralleli sono cerchi concentrici, i meridiani sono i loro raggi e gli angoli tra questi ultimi sono uguali alle corrispondenti differenze di longitudine. Un caso speciale di proiezioni azimutali sono le proiezioni prospettiche.

Proiezioni pseudoconiche ( riso. 6 ) - proiezioni in cui i paralleli sono rappresentati come cerchi concentrici, il meridiano centrale come una linea retta e i restanti meridiani come curve. Viene spesso utilizzata la proiezione pseudoconica di uguale area di Bonn; Dal 1847 compilò una mappa di tre verste (1: 126.000) della parte europea della Russia.

Proiezioni pseudocilindriche ( riso. 8 ) - proiezioni in cui i paralleli sono rappresentati come rette parallele, il meridiano medio come una retta perpendicolare a queste rette e che costituisce l'asse di simmetria delle proiezioni, i restanti meridiani come curve.

Proiezioni policoniche ( riso. 9 ) - proiezioni in cui i paralleli sono rappresentati come cerchi con centri situati sulla stessa linea retta che rappresenta il meridiano medio. Quando si costruiscono proiezioni policoniche specifiche, vengono imposte condizioni aggiuntive. Per la carta internazionale (1:1.000.000) è consigliata una delle proiezioni policoniche.

Esistono molte proiezioni che non appartengono a queste tipologie. Le proiezioni cilindriche, coniche e azimutali, chiamate le più semplici, sono spesso classificate come proiezioni circolari in senso lato, distinguendole dalle proiezioni circolari in senso stretto - proiezioni in cui tutti i meridiani e i paralleli sono rappresentati come cerchi, ad esempio le proiezioni conformi di Lagrange, Proiezione Grinten, ecc.

Utilizzo e selezione delle proiezioni cartografiche dipendono principalmente dallo scopo della mappa e dalla sua scala, che spesso determinano la natura delle distorsioni ammissibili nella metrica selezionata. Le mappe su larga e media scala destinate alla risoluzione di problemi metrici sono solitamente redatte in proiezioni conformi e su piccola scala mappe utilizzate per rilievi generali e determinazione del rapporto tra le aree di eventuali territori - in aree uguali. In questo caso, è possibile una violazione delle condizioni che definiscono queste proiezioni ( ω ≡ 0 O p ≡ 1), il che non porta ad errori evidenti, cioè permettiamo la scelta di proiezioni arbitrarie, tra le quali vengono più spesso utilizzate proiezioni equidistanti lungo i meridiani. Quest'ultimo viene utilizzato anche quando lo scopo della mappa non prevede affatto la conservazione di angoli o aree. Nella scelta delle proiezioni si inizia da quelle più semplici per poi passare a proiezioni più complesse, eventualmente modificandole. Se nessuno dei CP conosciuti soddisfa i requisiti per la creazione della mappa in termini di scopo, si cerca un nuovo CP più adatto, cercando (per quanto possibile) di ridurre le distorsioni in esso. Il problema della costruzione di CP più vantaggiosi, in cui le distorsioni siano in qualche modo ridotte al minimo, non è stato ancora del tutto risolto.

I punti C. vengono utilizzati anche nella navigazione, nell'astronomia, nella cristallografia, ecc.; sono ricercati ai fini della mappatura della Luna, dei pianeti e di altri corpi celesti.

Trasformazione delle proiezioni. Considerando due QP definiti dai corrispondenti sistemi di equazioni: x = f1 (φ, λ), y = f2 (φ, λ) E X = g1 (φ, λ), Y = g2(φ, λ), è possibile, escludendo φ e λ da queste equazioni, stabilire la transizione dall'una all'altra:

X = F1 (x, y), Y = F2(x, y).

Queste formule quando si specifica il tipo di funzioni F 1 ,F 2, in primo luogo, fornire un metodo generale per ottenere le cosiddette proiezioni derivate; in secondo luogo, costituiscono la base teorica per tutti i possibili metodi tecnici per disegnare mappe (vedi Carte geografiche). Ad esempio, le trasformazioni lineari affini e frazionarie vengono eseguite utilizzando trasformatori cartografici (Vedi Trasformatore cartografico). Tuttavia, trasformazioni più generali richiedono l’uso di nuove tecnologie, in particolare elettroniche. Il compito di creare trasformatori CP perfetti è un problema urgente della cartografia moderna.

Illuminato.: Vitkovsky V., Cartografia. (Teoria delle proiezioni cartografiche), San Pietroburgo. 1907; Kavraisky V.V., Cartografia matematica, M. - L., 1934; suo, Izbr. opere, vol.2, secolo. 1-3, [M.], 1958-60; Urmaev N. A., Cartografia matematica, M., 1941; lui, Metodi per la ricerca di nuove proiezioni cartografiche, M., 1947; Graur A.V., Cartografia matematica, 2a ed., Leningrado, 1956; Ginzburg G. A., Proiezioni cartografiche, M., 1951; Meshcheryakov G. A., Fondamenti teorici della cartografia matematica, M., 1968.

G. A. Meshcheryakov.

2. La palla e le sue proiezioni ortografiche.

3a. Proiezioni cilindriche. Mercatore equiangolo.

3b. Proiezioni cilindriche. Equidistante (rettangolare).

3c. Proiezioni cilindriche. Area uguale (isocilindrica).

4a. Proiezioni coniche. Equiangolo.

4b. Proiezioni coniche. Equidistante.

4c. Proiezioni coniche. Uguale dimensione.

Riso. 5a. Proiezioni azimutali. Conforme (stereografico) a sinistra - trasversale, a destra - obliquo.

Riso. 5B. Proiezioni azimutali. Ugualmente intermedio (a sinistra - trasversale, a destra - obliquo).

Riso. V secolo Proiezioni azimutali. Di uguali dimensioni (a sinistra - trasversale, a destra - obliquo).

Riso. 8a. Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione di Mollweide ad area uguale.

Riso. 8b. Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione sinusoidale ad area uguale di V. V. Kavraisky.

Riso. VIII secolo Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione arbitraria di TsNIIGAiK.

Riso. 8 g. Proiezioni pseudocilindriche. Proiezione BSAM.

Riso. 9a. Proiezioni policoniche. Semplice.

Riso. 9b. Proiezioni policoniche. Proiezione arbitraria di G. A. Ginzburg.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

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PROIEZIONE DELLA MAPPA E SUE TIPOLOGIE

Giustificazione della scelta dell'argomento del paragrafo

Per il nostro lavoro abbiamo scelto l'argomento “Proiezioni cartografiche”. Attualmente, questo argomento non è praticamente discusso nei libri di testo di geografia, le informazioni su varie proiezioni cartografiche possono essere viste solo nell'atlante di 6a elementare. Riteniamo che gli studenti saranno interessati a conoscere i principi in base ai quali vengono selezionate e costruite le varie proiezioni di carte geografiche. Domande sulle proiezioni cartografiche vengono spesso sollevate durante gli incarichi delle Olimpiadi. Compaiono anche nell'Esame di Stato Unificato. Inoltre, le mappe dell'atlante, di regola, sono costruite in diverse proiezioni, il che solleva domande tra gli studenti.La proiezione cartografica è la base per la costruzione delle mappe. Pertanto, la conoscenza dei principi di base della costruzione di proiezioni cartografiche sarà utile agli studenti nella scelta delle professioni di pilota, marinaio e geologo. A questo proposito riteniamo opportuno includere questo materiale in un libro di testo di geografia. Poiché a livello di 6a elementare la preparazione matematica degli studenti non è ancora così forte, a nostro avviso ha senso studiare questo argomento all'inizio della 7a elementare nella sezione "Caratteristiche generali della natura della Terra" quando si considera materiale sulle fonti di informazione geografica.

Proiezioni cartografiche

È impossibile immaginare una carta geografica senza il sistema di paralleli e meridiani che la compongono rete di laurea. Sono loro che ci permettono di determinare con precisione la posizione degli oggetti, è da loro che vengono determinati i lati dell'orizzonte sulla mappa. Anche le distanze su una mappa possono essere calcolate utilizzando una rete di gradi. Se guardi le mappe nell'atlante, noterai che la rete dei titoli appare diversa su mappe diverse. Su alcune mappe, paralleli e meridiani si intersecano ad angolo retto e formano una griglia di linee parallele e perpendicolari. Su altre mappe, i meridiani si aprono a ventaglio da una malinconia e i paralleli sono rappresentati come archi. Su una mappa dell'Antartide, i meridiani sembrano fiocchi di neve e i paralleli si estendono dal centro in cerchi concentrici.

CREARE MAPPE

La realizzazione delle opere cartografiche è effettuata dalla sezione cartografia della cartografia. La cartografia è una branca della scienza, della produzione e della tecnologia, che copre la storia della cartografia e lo studio, la creazione e l'uso delle opere cartografiche. Le mappe vengono create utilizzando le proiezioni cartografiche, un metodo di transizione dalla superficie terrestre reale e geometricamente complessa al piano della mappa. Per fare ciò, passano prima alla figura matematicamente corretta di un ellissoide o di un proiettile, quindi proiettano l'immagine su un piano utilizzando dipendenze matematiche.

Tipi di proiezioni

Cos'è una proiezione cartografica?

Proiezione cartografica: un modo matematicamente definito di visualizzare una superficie ellissoide in superficie. Viene chiamato il sistema di rappresentazione della rete di meridiani e paralleli adottato per questa proiezione cartografica griglia cartografica.

Secondo il metodo di costruzione di una cartografica maglia normale tutte le proiezioni sono divise in coniche, cilindriche, condizionali, azimutali, ecc.

Sulle proiezioni coniche quando si trasferiscono le linee coordinate della Terra su un piano, viene utilizzato un cono. Dopo aver ottenuto un'immagine sulla sua superficie, il cono viene tagliato e spiegato sul piano. Per ottenere una griglia conica, l'asse del cono deve coincidere esattamente con l'asse della Terra. Sulla mappa risultante, i paralleli sono rappresentati come archi circolari, i meridiani come linee rette che partono da un punto. In tale proiezione, puoi rappresentare l'emisfero settentrionale o meridionale del nostro pianeta, il Nord America o l'Eurasia. Nel processo di studio della geografia, le proiezioni coniche si troveranno molto spesso nei tuoi atlanti quando costruisci una mappa della Russia.

Proiezioni cartografiche

Su proiezioni cilindriche l'ottenimento di una maglia normale si effettua proiettandola sulle pareti di un cilindro, il cui asse coincide con l'asse terrestre. Quindi viene spiegato su un aereo. La griglia è ottenuta da rette di paralleli e meridiani tra loro perpendicolari.

Sulle proiezioni azimutali immediatamente sul piano di proiezione si ottiene una mesh normale. Per fare ciò, il centro dell'aereo è allineato con il polo terrestre. Di conseguenza, i paralleli sembrano cerchi concentrici, il cui raggio aumenta con la distanza dal centro, e i meridiani sembrano linee rette che si intersecano nel centro.

Proiezioni condizionali sono costruiti secondo alcune condizioni predeterminate. Questa categoria non è classificabile con altri tipi di proiezione. Il loro numero è illimitato.

Naturalmente è assolutamente impossibile trasferire un'immagine dalla superficie di una palla a un piano. Se proviamo in questo modo, ci ritroveremo inevitabilmente con uno strappo nell'immagine. Tuttavia, non vediamo queste lacune sulla mappa e anche quando trasferiamo l'immagine sulla superficie di un cilindro, cono o piano, l'immagine risulta essere uniforme. Qual è il problema?

Proiettando punti dalla superficie del globo sulla superficie di una futura mappa, otteniamo immagini distorte. Se immaginiamo di proiettare la superficie terrestre su un piano sotto forma di un'ombra, che si ottiene evidenziando un oggetto dal centro della Terra, tanto più lontano è l'oggetto dal punto di contatto diretto della superficie della mappa con la palla , più la sua immagine cambierà.

In base alla natura della distorsione, tutte le proiezioni sono divise in equiangolari, ad area uguale e arbitrarie.

Sulle proiezioni conformi Gli angoli sul terreno tra qualsiasi direzione sono uguali agli angoli sulla mappa tra le stesse direzioni, cioè essi (angoli) non presentano distorsioni. La scala dipende solo dalla posizione del punto e non dipende dalla direzione. Un angolo sul terreno è sempre uguale ad un angolo sulla mappa, una linea dritta sul terreno è una linea retta sulla mappa. Le figure infinitesimali sulla mappa, a causa della proprietà dell'equiangolarità, saranno simili alle stesse figure sulla Terra. Ma le dimensioni lineari sulle mappe di questa proiezione presenteranno delle distorsioni. Immagina un lago perfettamente rotondo. Non importa dove si trovi sulla mappa risultante, la sua forma rimarrà rotonda, ma le dimensioni potrebbero cambiare in modo significativo. Il letto del fiume si piegherà nello stesso modo in cui si piega sul terreno, ma la distanza tra le sue anse non corrisponderà a quella reale.

Proiezione di area uguale

Su proiezioni di uguale area Le aree non vengono distorte, la loro proporzionalità viene mantenuta. Ma gli angoli e le forme sono notevolmente distorti. Quando il suo contorno verrà trasferito sulla mappa nel punto di contatto tra la palla e la superficie della futura mappa, la sua immagine sarà altrettanto rotonda. Allo stesso tempo, più si troverà lontano dalla linea di contatto, più i suoi contorni si allungheranno, anche se l'area del lago rimarrà invariata.

Su proiezioni arbitrarie Sia gli angoli che le aree sono distorti, la somiglianza delle figure non viene preservata, ma hanno alcune proprietà speciali che non sono inerenti ad altre proiezioni, motivo per cui sono le più utilizzate.

Le mappe vengono create direttamente come risultato di rilievi topografici dell'area, oppure sulla base di altre mappe, cioè, in ultima analisi, sempre come risultato di rilievi. Attualmente la stragrande maggioranza delle carte topografiche viene realizzata utilizzando il metodo della fotografia aerea, che consente di ottenere rapidamente una carta topografica di un vasto territorio. Molte fotografie (fotografie aeree) della zona sono scattate da un aereo in volo utilizzando speciali dispositivi fotografici. Quindi queste fotografie aeree vengono elaborate utilizzando dispositivi speciali. Prima di diventare una mappa, una serie di fotografie aeree attraversa un lungo e complesso processo di produzione.

Ellissoide

Tutte le carte geografiche generali e speciali su piccola scala (comprese le carte GPS elettroniche) vengono create sulla base di altre carte, solo su scala più grande.

Termini

Rete di laurea- un sistema di meridiani e paralleli su mappe geografiche e globi, che serve a calcolare le coordinate geografiche dei punti sulla superficie terrestre - longitudini e latitudini.

Ellissoide- superficie chiusa. Un ellissoide può essere ottenuto dalla superficie di una palla se la palla viene compressa (allungata) in rapporti arbitrari in tre direzioni reciprocamente perpendicolari.

Maglia normale- una griglia cartografica per ciascuna classe di proiezioni, la cui immagine dei meridiani e dei paralleli ha la forma più semplice.

Cerchi concentrici- cerchi che hanno un centro comune e giacciono sullo stesso piano.

Domande

1. Cos'è una proiezione cartografica? 2. Che tipi di proiezioni cartografiche conosci? 3. Quale branca della cartografia si occupa della realizzazione di proiezioni? 4. Cosa determina la natura delle distorsioni sulla mappa?

Lavoro a casa

1. Compila una tabella sul tuo quaderno mostrando le caratteristiche delle varie proiezioni cartografiche.

2. Determinare in quali proiezioni vengono costruite le mappe dell'atlante. Quale tipo di proiezione è stata utilizzata più spesso? Perché?

Un compito per i curiosi

Utilizzando ulteriori fonti di informazione, trova in quale proiezione è costruita la mappa degli emisferi.

Risorse informative per uno studio approfondito di questo argomento

Letteratura sull'argomento

A.M. Berlyant "Mappa - la seconda lingua della geografia: (saggi sulla cartografia)". 192 p. MOSCA. FORMAZIONE SCOLASTICA. 1985

Quando si passa dalla superficie fisica della Terra alla sua visualizzazione su un piano (su una mappa), vengono eseguite due operazioni: proiettare la superficie terrestre con il suo complesso rilievo sulla superficie dell'ellissoide terrestre, le cui dimensioni sono stabilite attraverso la geodetica e misurazioni astronomiche e raffigurazione della superficie dell'ellissoide su un piano utilizzando una delle proiezioni cartografiche.
Una proiezione cartografica è un modo specifico di visualizzare la superficie di un ellissoide su un piano.
La visualizzazione della superficie terrestre su un piano viene eseguita in vari modi. Il più semplice è prospettiva . La sua essenza è proiettare un'immagine dalla superficie di un modello della Terra (globo, ellissoide) sulla superficie di un cilindro o cono, seguita da una svolta su un piano (cilindrico, conico) o proiezione diretta di un'immagine sferica su un piano (azimutale).
Un modo semplice per comprendere come le proiezioni cartografiche modificano le proprietà spaziali è visualizzare la proiezione della luce attraverso la Terra su una superficie chiamata superficie di proiezione.
Immagina che la superficie della Terra sia trasparente e su di essa sia applicata una griglia cartografica. Avvolgi un pezzo di carta attorno alla Terra. Una fonte di luce al centro della Terra proietterà ombre dalla griglia di coordinate su un pezzo di carta. Ora puoi aprire la carta e adagiarla. La forma della griglia di coordinate sulla superficie piana della carta è molto diversa dalla sua forma sulla superficie della Terra (Fig. 5.1).

Riso. 5.1. Griglia cartografica di un sistema di coordinate geografiche proiettata su una superficie cilindrica

La proiezione della mappa distorceva la griglia della mappa; gli oggetti situati vicino al polo sono allungati.
Costruire in maniera prospettica non richiede l’uso di leggi matematiche. Tieni presente che nella cartografia moderna vengono costruite griglie di mappe analitico (matematicamente) modo. La sua essenza sta nel calcolare la posizione dei punti nodali (punti di intersezione di meridiani e paralleli) della griglia cartografica. Il calcolo viene eseguito basandosi sulla risoluzione di un sistema di equazioni che mettono in relazione la latitudine geografica e la longitudine geografica dei punti nodali ( φ, λ ) con le loro coordinate rettangolari ( x, y) sulla superficie. Questa dipendenza può essere espressa da due equazioni della forma:

chiamate equazioni di proiezione cartografica. Permettono di calcolare le coordinate rettangolari x, y punto rappresentato dalle coordinate geografiche φ E λ . Il numero di possibili dipendenze funzionali e, quindi, di proiezioni è illimitato. È solo necessario che ogni punto φ , λ l'ellissoide era rappresentato sul piano da un punto univocamente corrispondente x, y e che l'immagine è continua.

5.2. DISTORSIONI

Non è più facile appiattire uno sferoide che appiattire un pezzo di buccia di anguria. Quando ci si sposta su un piano, di regola, gli angoli, le aree, le forme e le lunghezze delle linee vengono distorti, quindi per scopi specifici è possibile creare proiezioni che riducono significativamente qualsiasi tipo di distorsione, ad esempio le aree. La distorsione cartografica è una violazione delle proprietà geometriche delle aree della superficie terrestre e degli oggetti che si trovano su di esse quando sono raffigurati su un piano. .
Le distorsioni di tutti i tipi sono strettamente correlate tra loro. Sono in una relazione tale che la diminuzione di un tipo di distorsione comporta immediatamente un aumento dell'altro. Quando la distorsione dell'area diminuisce, la distorsione angolare aumenta, ecc. Riso. La Figura 5.2 mostra come gli oggetti tridimensionali vengono compressi in modo da poter essere posizionati su una superficie piana.

Riso. 5.2. Proiezione di una superficie sferica su una superficie di proiezione

Su mappe diverse, le distorsioni possono essere di dimensioni diverse: su quelle su larga scala sono quasi impercettibili, ma su quelle su piccola scala possono essere molto grandi.
A metà del XIX secolo, lo scienziato francese Nicolas Auguste Tissot fornì una teoria generale della distorsione. Nel suo lavoro, ha proposto l'uso di speciali ellissi di distorsione, che sono ellissi infinitesimali in qualsiasi punto della mappa, che sono un riflesso di cerchi infinitesimali nel punto corrispondente sulla superficie dell'ellissoide o del globo terrestre. L'ellisse diventa un cerchio nel punto di distorsione zero. La modifica della forma dell'ellisse riflette il grado di distorsione degli angoli e delle distanze e la dimensione - il grado di distorsione delle aree.

Riso. 5.3. Ellisse sulla mappa ( UN) e il cerchio corrispondente sul globo ( B)

L'ellisse di distorsione sulla mappa può occupare diverse posizioni rispetto al meridiano che passa per il suo centro. Di solito viene determinato l'orientamento dell'ellisse di distorsione sulla mappa azimut del suo semiasse maggiore . L'angolo tra la direzione nord del meridiano che passa per il centro dell'ellisse di distorsione e il suo semiasse maggiore più vicino è chiamato l'angolo di orientamento dell'ellisse di distorsione. Nella fig. 5.3, UN questo angolo è indicato dalla lettera UN 0 e l'angolo corrispondente sul globo α 0 (figura 5.3, B).
Gli azimut di qualsiasi direzione sulla mappa e sul globo sono sempre misurati dalla direzione nord del meridiano in senso orario e possono avere valori da 0 a 360°.
Qualsiasi direzione arbitraria ( OK) su una mappa o un globo ( DI 0 A 0 ) può essere determinato dall'azimut di una data direzione ( UN- sulla mappa, α - sul globo) o l'angolo tra il semiasse maggiore più vicino alla direzione nord del meridiano e questa direzione ( v- sulla mappa, tu- sul globo).

5.2.1. Distorsioni della lunghezza

La distorsione della lunghezza è una distorsione di base. Le restanti distorsioni derivano logicamente da ciò. Per distorsione della lunghezza si intende l'incostanza della scala di un'immagine piatta, che si manifesta in un cambiamento di scala da punto a punto, e anche nello stesso punto, a seconda della direzione.
Ciò significa che ci sono 2 tipi di scala sulla mappa:

• scala principale (M);
• scala privata .

Scala principale le mappe chiamano il grado di riduzione generale del globo a determinate dimensioni del globo, da cui la superficie terrestre viene trasferita su un piano. Ci permette di giudicare la diminuzione della lunghezza dei segmenti durante il trasferimento da un globo all'altro. La scala principale è scritta sotto la cornice meridionale della mappa, ma ciò non significa che il segmento misurato in un punto qualsiasi della mappa corrisponderà alla distanza sulla superficie terrestre.
Viene chiamata la scala in un dato punto della mappa in una data direzione privato . È definito come il rapporto di un segmento infinitesimo su una mappa dl A al segmento corrispondente sulla superficie dell'ellissoide dl Z . Il rapporto tra la scala privata e quella principale, indicato da μ , caratterizza la distorsione delle lunghezze

(5.3)

Per valutare la deviazione di una scala particolare da quella principale, viene utilizzato il concetto zoomando (CON), definito dal rapporto

(5.4)

Dalla formula (5.4) segue che:

• A CON= 1 scala privata è uguale alla scala principale ( µ = M), cioè non ci sono distorsioni di lunghezza in un dato punto della mappa in una data direzione;
• A CON> 1 scala privata più grande di quella principale ( µ > M);
• A CON < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

Ad esempio, se la scala della mappa principale è 1: 1.000.000, lo zoom CONè pari a 1,2, quindi µ = 1,2/1.000.000 = 1/833.333, cioè un centimetro sulla mappa corrisponde a circa 8,3 km per terra. La scala parziale è più grande di quella principale (la dimensione della frazione è maggiore).
Quando si raffigura la superficie di un globo su un piano, le scale parziali saranno numericamente più grandi o più piccole della scala principale. Se prendiamo la scala principale uguale all'unità ( M= 1), allora le scale parziali saranno numericamente maggiori o minori dell'unità. In questo caso con una scala particolare, numericamente uguale all'aumento di scala, si dovrebbe intendere il rapporto tra un segmento infinitesimo in un dato punto della mappa in una data direzione e il corrispondente segmento infinitesimo sul globo:

(5.5)

Deviazione della scala privata (µ )da uno si determina la distorsione della lunghezza in un dato punto della mappa in una data direzione ( V):

V = µ - 1 (5.6)

La distorsione della lunghezza è spesso espressa come percentuale dell'unità, cioè della scala principale, e viene chiamata distorsione della lunghezza relativa :

q = 100(μ - 1) = V×100(5.7)

Ad esempio, quando µ = distorsione di 1,2 lunghezza V= +0,2 o distorsione della lunghezza relativa V= +20%. Ciò significa che un segmento di lunghezza 1 cm, ripreso sul globo, verrà rappresentato sulla mappa come un segmento di lunghezza 1,2 cm.
È conveniente giudicare la presenza di distorsione della lunghezza su una mappa confrontando la dimensione dei segmenti di meridiano tra paralleli adiacenti. Se sono uguali ovunque, allora non c'è distorsione delle lunghezze lungo i meridiani, se non esiste tale uguaglianza (Fig. 5.5 segmenti AB E CD), si verifica quindi una distorsione della lunghezza delle linee.

Riso. 5.4. Parte di una mappa dell'emisfero orientale che mostra distorsioni cartografiche

Se una mappa mostra un'area così grande da mostrare sia l'equatore 0º che il parallelo di 60° di latitudine, allora non è difficile determinare da essa se c'è una distorsione delle lunghezze lungo i paralleli. Per fare ciò è sufficiente confrontare la lunghezza dei segmenti dell'equatore e del parallelo con una latitudine di 60° tra meridiani vicini. È noto che il parallelo di 60° di latitudine è lungo la metà dell'equatore. Se il rapporto dei segmenti indicati sulla mappa è lo stesso, non vi è alcuna distorsione delle lunghezze lungo i paralleli; altrimenti è disponibile.
Il massimo indicatore della distorsione della lunghezza in un dato punto (il semiasse maggiore dell'ellisse di distorsione) è indicato con una lettera latina UN, e il più piccolo (semiasse minore dell'ellisse di distorsione) - B. Direzioni reciprocamente perpendicolari lungo le quali si applicano i tassi di distorsione della lunghezza maggiore e minore, chiamate le direzioni principali .
Per valutare le varie distorsioni sulle carte, tra tutte le scale private, le più importanti sono le scale private in due direzioni: lungo i meridiani e lungo i paralleli. Scala privata lungo il meridiano solitamente indicato con una lettera M e la scala privata lungo il parallelo - lettera N.
All'interno di mappe a piccola scala di territori relativamente piccoli (ad esempio, Ucraina), le deviazioni delle scale di lunghezza dalla scala indicata sulla mappa sono piccole. Gli errori nella misurazione delle lunghezze in questo caso non superano il 2 - 2,5% della lunghezza misurata e possono essere trascurati quando si lavora con le mappe scolastiche. Alcune mappe includono una scala di misurazione e un testo esplicativo per misurazioni approssimative.
SU carte nautiche , costruito nella proiezione di Mercatore e su cui la lossodromia è rappresentata come una linea retta, non viene fornita alcuna scala lineare speciale. Il suo ruolo è svolto dai riquadri orientale e occidentale della mappa, che sono meridiani divisi in divisioni ogni 1′ di latitudine.
Nella navigazione marittima le distanze vengono solitamente misurate in miglia nautiche. Miglio nautico - è la lunghezza media di un arco di meridiano di 1′ di latitudine. Contiene 1852 M. Pertanto, i riquadri della carta nautica sono effettivamente divisi in segmenti pari a un miglio nautico. Determinando la distanza in linea retta tra due punti sulla mappa in minuti meridiani, otteniamo la distanza effettiva in miglia nautiche lungo la lossodromia.

Figura 5.5. Misurare le distanze utilizzando una mappa del mare.

5.2.2. Distorsione angolare

Le distorsioni degli angoli derivano logicamente dalle distorsioni delle lunghezze. La differenza degli angoli tra le direzioni sulla mappa e le direzioni corrispondenti sulla superficie dell'ellissoide è considerata una caratteristica della distorsione degli angoli sulla mappa.
Per l'indicatore di distorsione degli angoli tra le linee della griglia cartografica si prende il valore della loro deviazione da 90° e si indica con una lettera greca ε (epsilon).
ε = ̨ - 90°, (5.8)
dove dentro Ө (theta) - l'angolo misurato sulla mappa tra il meridiano e il parallelo.

La Figura 5.4 indica che l'angolo Ө è pari a 115°, quindi ε = 25°.
Nel punto in cui l'angolo di intersezione del meridiano e del parallelo rimane diritto sulla mappa, gli angoli tra le altre direzioni possono essere modificati sulla mappa, poiché in ogni dato punto la quantità di distorsione degli angoli può cambiare con un cambiamento in direzione.
L'indicatore generale della distorsione angolare ω (omega) è considerato la massima distorsione angolare in un dato punto, pari alla differenza tra il suo valore sulla mappa e sulla superficie dell'ellissoide terrestre (sfera). Quando conosciuto x indicatori UN E B misurare ω determinato dalla formula:

(5.9)

5.2.3. Distorsioni dell'area

Le distorsioni dell'area derivano logicamente dalle distorsioni della lunghezza. La deviazione dell'area dell'ellisse di distorsione dall'area originale sull'ellissoide è considerata una caratteristica della distorsione dell'area.
Un modo semplice per identificare distorsioni di questo tipo è confrontare le aree delle celle della griglia cartografica, limitate da paralleli omonimi: se le aree delle celle sono uguali, non si verifica alcuna distorsione. Ciò avviene, in particolare, sulla mappa dell'emisfero (Fig. 4.4), sulla quale le celle ombreggiate differiscono per forma, ma hanno la stessa area.
Indicatore di distorsione dell'area (R) viene calcolato come il prodotto degli indicatori di distorsione della lunghezza più grande e più piccolo in una determinata posizione sulla mappa
p = a×b (5.10)
Le direzioni principali in un dato punto della mappa possono coincidere con le linee della griglia cartografica, ma potrebbero non coincidere con esse. Poi gli indicatori UN E B secondo noto M E N calcolato utilizzando le formule:

(5.11)
(5.12)

Il fattore di distorsione incluso nelle equazioni R in questo caso riconosceranno dall'opera:

Dove ε (epsilon) - il valore di deviazione dell'angolo di intersezione della griglia cartografica da 9 0°.

5.2.4. Distorsioni delle forme

Distorsione delle forme consiste nel fatto che la forma di un sito o territorio occupato da un oggetto sulla mappa è diversa dalla sua forma sulla superficie piana della Terra. La presenza di questo tipo di distorsione sulla mappa può essere stabilita confrontando la forma delle celle della griglia cartografica poste alla stessa latitudine: se sono uguali allora non c'è distorsione. Nella Figura 5.4 due celle ombreggiate con una differenza di forma indicano la presenza di una distorsione di questo tipo. Puoi anche identificare la distorsione della forma di un determinato oggetto (continente, isola, mare) in base al rapporto tra larghezza e lunghezza sulla mappa analizzata e sul globo.
Indice di distorsione della forma (k) dipende dalla differenza del più grande ( UN) e il più piccolo ( B) indicatori di distorsione della lunghezza in una determinata posizione sulla mappa ed è espresso dalla formula:

(5.14)

Quando cerchi e scegli una proiezione cartografica, usa isocoli - linee di uguale distorsione. Possono essere tracciati sulla mappa come linee tratteggiate per mostrare l'entità della distorsione.

Riso. 5.6. Isocol delle maggiori distorsioni angolari

5.3. CLASSIFICAZIONE DELLE PROIEZIONI PER NATURA DELLA DISTORSIONE

Per scopi diversi vengono create proiezioni con diversi tipi di distorsione. La natura delle distorsioni della proiezione è determinata dall'assenza di alcune distorsioni in essa (angoli, lunghezze, aree). A seconda di ciò, tutte le proiezioni cartografiche sono divise in quattro gruppi in base alla natura delle distorsioni:
— equiangolo (conforme);
- equidistante (equidistante);
— di uguali dimensioni (equivalente);
- arbitrario.

5.3.1. Proiezioni conformi

Equiangolo Queste sono chiamate proiezioni in cui le direzioni e gli angoli sono rappresentati senza distorsioni. Gli angoli misurati su mappe di proiezione conforme sono uguali agli angoli corrispondenti sulla superficie terrestre. Un cerchio infinitesimo in queste proiezioni rimane sempre un cerchio.
Nelle proiezioni equiangolari, le scale di lunghezza in qualsiasi punto in tutte le direzioni sono le stesse, quindi non hanno distorsioni della forma di figure infinitesimali e nessuna distorsione degli angoli (Fig. 5.7, B). Questa proprietà generale delle proiezioni conformi è espressa dalla formula ω = 0°. Ma le forme degli oggetti geografici reali (finiti) che occupano intere aree sulla mappa sono distorte (Fig. 5.8, a). Le proiezioni conformi mostrano distorsioni di aree particolarmente ampie (come chiaramente dimostrato dalle ellissi di distorsione).

Riso. 5.7. Vista delle ellissi di distorsione nelle proiezioni ad area uguale —- UN, equiangolo - B, arbitrario - IN, compreso equidistante lungo il meridiano - G ed equidistante lungo il parallelo - D. I diagrammi mostrano una distorsione angolare di 45°.

Queste proiezioni vengono utilizzate per determinare le direzioni e tracciare percorsi lungo un determinato azimut, motivo per cui vengono sempre utilizzate sulle mappe topografiche e di navigazione. Lo svantaggio delle proiezioni conformi è che le loro aree sono notevolmente distorte (Fig. 5.7, a).

Riso. 5.8. Distorsioni nella proiezione cilindrica:
a - equiangolo; b - equidistante; c - di dimensioni uguali

5.6.2. Proiezioni equidistanti

Equidistante le proiezioni sono proiezioni in cui la scala della lunghezza di una delle direzioni principali viene preservata (rimane invariata) (Fig. 5.7, D. Fig. 5.7, E) e vengono utilizzate principalmente per creare mappe di riferimento e mappe stellari a piccola scala.

5.6.3. Proiezioni di aree uguali

Uguali dimensioni sono chiamate proiezioni in cui non sono presenti distorsioni d'area, ovvero l'area di una figura misurata su una mappa è uguale all'area della stessa figura sulla superficie della Terra. Nelle proiezioni cartografiche di uguale area, la scala dell'area ha le stesse dimensioni ovunque. Questa proprietà delle proiezioni di uguale area può essere espressa dalla formula:

Una conseguenza inevitabile della uguale dimensione di queste proiezioni è una forte distorsione dei loro angoli e forme, che è ben spiegata dalle ellissi di distorsione (Fig. 5.7, A).

5.6.4. Proiezioni arbitrarie

Ad arbitrario Questi includono proiezioni in cui sono presenti distorsioni di lunghezze, angoli e aree. La necessità di utilizzare proiezioni arbitrarie è spiegata dal fatto che quando si risolvono alcuni problemi è necessario misurare angoli, lunghezze e aree su una mappa. Ma nessuna proiezione può essere contemporaneamente equiangolare, equidistante e uguale in area. In precedenza si è detto che man mano che l'area dell'immagine della superficie terrestre sull'aereo diminuisce, diminuisce anche la distorsione dell'immagine. Quando si raffigurano piccole aree della superficie terrestre in una proiezione arbitraria, l'entità delle distorsioni di angoli, lunghezze e aree è insignificante e quando si risolvono molti problemi possono essere ignorate.

5.4. CLASSIFICAZIONE DELLE PROIEZIONI IN BASE AL TIPO DI GRIGLIA CARTOGRAFICA NORMALE

Nella pratica cartografica, una classificazione comune delle proiezioni si basa sul tipo di superficie geometrica ausiliaria che può essere utilizzata nella loro costruzione. Da questo punto di vista si distinguono le proiezioni: cilindrico quando la superficie laterale del cilindro funge da superficie ausiliaria; conico, quando il piano ausiliario è la superficie laterale del cono; azimutale, quando la superficie ausiliaria è un piano (piano dell'immagine).
Le superfici su cui è proiettato il globo possono essere ad esso tangenti o secanti. Possono essere orientati diversamente.
Le proiezioni, durante la cui costruzione gli assi del cilindro e del cono erano allineati con l'asse polare del globo, e il piano dell'immagine su cui veniva proiettata l'immagine era posizionato tangenzialmente al punto polare, sono chiamate normali.
La costruzione geometrica di queste proiezioni è molto chiara.

5.4.1. Proiezioni cilindriche

Per semplicità di ragionamento useremo una palla invece di un ellissoide. Racchiudiamo la palla in un cilindro tangente all'equatore (Fig. 5.9, a).

Riso. 5.9. Costruzione di una griglia cartografica in una proiezione cilindrica di uguale area

Continuiamo i piani dei meridiani PA, PB, PV, ... e prendiamo le intersezioni di questi piani con la superficie laterale del cilindro come l'immagine dei meridiani su di esso. Se tagliamo la superficie laterale del cilindro lungo la generatrice aAa 1 e dispiegarlo su un piano, i meridiani verranno rappresentati come linee rette parallele ed equidistanti aAa 1 , bBBb 1 , vVv 1 ..., perpendicolare all'equatore ABC.
L'immagine dei paralleli può essere ottenuta in vari modi. Uno di questi è la continuazione dei piani paralleli fino all'intersezione con la superficie del cilindro, che darà nello sviluppo una seconda famiglia di rette parallele perpendicolari ai meridiani.
La proiezione cilindrica risultante (Fig. 5.9, b) sarà di dimensioni uguali, poiché la superficie laterale della cintura sferica AGED, pari a 2πRh (dove h è la distanza tra i piani AG ed ED), corrisponde all'area dell'immagine di questa cintura nella scansione. La scala principale viene mantenuta lungo l'equatore; le scale parziali lungo il parallelo aumentano, mentre lungo i meridiani diminuiscono con la distanza dall'equatore.
Un altro modo per determinare la posizione dei paralleli si basa sul mantenimento delle lunghezze dei meridiani, cioè sulla preservazione della scala principale lungo tutti i meridiani. In questo caso, la proiezione cilindrica sarà equidistanti lungo i meridiani(Fig. 5.8, b).
Per equiangolo Una proiezione cilindrica richiede costanza di scala in tutte le direzioni in qualsiasi punto, il che richiede un aumento di scala lungo i meridiani man mano che ci si allontana dall'equatore in conformità con un aumento di scala lungo i paralleli alle latitudini corrispondenti (vedi Fig. 5.8, a ).
Spesso, al posto del cilindro tangente, viene utilizzato un cilindro che taglia la sfera lungo due parallele (Fig. 5.10), lungo le quali durante lo sviluppo viene preservata la scala principale. In questo caso, le scale parziali lungo tutti i paralleli tra i paralleli della sezione saranno più piccole, e sui rimanenti paralleli saranno più grandi della scala principale.

Riso. 5.10. Un cilindro che taglia una palla lungo due parallele

5.4.2. Proiezioni coniche

Per costruire una proiezione conica, racchiudiamo la palla in un cono tangente alla palla lungo la parallela ABCD (Fig. 5.11, a).

Riso. 5.11. Costruzione di un reticolo cartografico in proiezione conica equidistante

Similmente alla costruzione precedente, continueremo i piani dei meridiani PA, PB, PV, ... e prenderemo le loro intersezioni con la superficie laterale del cono come immagine dei meridiani su di esso. Dopo aver dispiegato la superficie laterale del cono su un piano (Fig. 5.11, b), i meridiani verranno rappresentati come rette radiali TA, TB, TV,..., che partono dal punto T. Si noti che gli angoli tra loro (convergenza dei meridiani) sarà proporzionale (ma non uguale) alle differenze di longitudine. Lungo il parallelo di tangenza ABC (arco circolare di raggio TA), viene mantenuta la scala principale.
La posizione degli altri paralleli, rappresentati da archi di cerchi concentrici, può essere determinata da alcune condizioni, una delle quali - mantenendo la scala principale lungo i meridiani (AE = Ae) - porta ad una proiezione conica equidistante.

5.4.3. Proiezioni azimutali

Per costruire una proiezione azimutale utilizzeremo un piano tangente alla palla nel punto polare P (Fig. 5.12). Le intersezioni dei piani meridiani con il piano tangente danno un'immagine dei meridiani Pa, Pe, Pv,... sotto forma di linee rette, i cui angoli sono uguali alle differenze di longitudine. I paralleli, che sono cerchi concentrici, possono essere definiti in vari modi, ad esempio tracciando raggi uguali agli archi raddrizzati dei meridiani dal polo al corrispondente parallelo PA = Pa. Questa proiezione sarà equidistante Di meridiani e conserva la scala principale lungo di essi.

Riso. 5.12. Costruzione di un reticolo cartografico in proiezione azimutale

Un caso speciale di proiezioni azimutali sono promettente proiezioni costruite secondo le leggi della prospettiva geometrica. In queste proiezioni, ogni punto della superficie del globo viene trasferito sul piano dell'immagine lungo i raggi provenienti da un punto CON, chiamato punto di vista. A seconda della posizione del punto di vista rispetto al centro del globo, le proiezioni si dividono in:

• centrale - il punto di vista coincide con il centro del globo;
• stereografico - il punto di vista si trova sulla superficie del globo in un punto diametralmente opposto al punto di contatto del piano pittorico con la superficie del globo;
• esterno - il punto di vista è portato fuori dal globo;
• ortografico - il punto di vista è portato all'infinito, cioè il disegno è effettuato per raggi paralleli.

Riso. 5.13. Tipi di proiezioni prospettiche: a - centrale;
b - stereografico; c - esterno; g - ortografico.

5.4.4. Proiezioni condizionali

Le proiezioni condizionali sono proiezioni per le quali non è possibile trovare semplici analoghi geometrici. Sono costruiti in base a determinate condizioni, ad esempio il tipo di griglia geografica desiderata, una particolare distribuzione delle distorsioni sulla mappa, un dato tipo di griglia, ecc. In particolare, pseudo-cilindrici, pseudo-conici, pseudo-azimutali e altre proiezioni ottenute trasformando una o più proiezioni iniziali.
U pseudocilindrico proiezioni, l'equatore e i paralleli sono rette parallele tra loro (il che le rende simili a proiezioni cilindriche), e i meridiani sono curve simmetriche rispetto al meridiano rettilineo medio (Fig. 5.14).

Riso. 5.14. Vista della griglia della mappa in proiezione pseudocilindrica.

U pseudoconico le proiezioni dei paralleli sono archi di cerchi concentrici, mentre i meridiani sono curve simmetriche rispetto al meridiano rettilineo medio (Fig. 5.15);

Riso. 5.15. Griglia della mappa in una delle proiezioni pseudoconiche

Costruire una mesh proiezione policonica può essere rappresentato proiettando sulla superficie sezioni della griglia dei gradi del globo parecchi coni tangenti e successivo sviluppo nel piano delle strisce formate sulla superficie dei coni. Il principio generale di tale progettazione è mostrato nella Figura 5.16.

Riso. 5.16. Il principio di costruzione di una proiezione policonica:
a - posizione dei coni; b - strisce; c - scansione

Lettere S I vertici dei coni sono indicati in figura. Per ciascun cono viene proiettata una sezione latitudinale della superficie del globo adiacente al parallelo di tangenza del cono corrispondente.
È tipico dell'aspetto esterno delle griglie cartografiche in una proiezione policonica che i meridiani abbiano la forma di linee curve (ad eccezione di quella centrale - diritta), e i paralleli siano archi di cerchi eccentrici.
Nelle proiezioni policoniche utilizzate per costruire le mappe del mondo, la sezione equatoriale viene proiettata su un cilindro tangente, quindi sulla griglia risultante l'equatore ha la forma di una linea retta perpendicolare al meridiano medio.
Dopo la scansione dei coni si ottiene un'immagine di queste aree sotto forma di strisce su un piano; le strisce si toccano lungo il meridiano centrale della mappa. L'aspetto finale della rete si ottiene dopo aver eliminato gli spazi tra le strisce mediante stiramento (Fig. 5.17).

Riso. 5.17. Griglia della mappa in una delle policoniche

Proiezioni poliedriche - proiezioni ottenute proiettando sulla superficie di un poliedro (Fig. 5.18), tangente o secante ad una palla (ellissoide). Molto spesso, ciascuna faccia è un trapezio equilatero, sebbene siano possibili altre opzioni (ad esempio esagoni, quadrati, rombi). Ce ne sono una varietà di poliedrici proiezioni multi-linea, Inoltre le strisce possono essere “tagliate” sia lungo i meridiani che lungo i paralleli. Tali proiezioni sono vantaggiose in quanto la distorsione all'interno di ciascuna faccia o striscia è molto piccola, quindi vengono sempre utilizzate per mappe a più fogli. Quelli topografici e di rilievo-topografici sono realizzati esclusivamente in una proiezione sfaccettata, e la cornice di ogni foglio è un trapezio composto da linee di meridiani e paralleli. Devi "pagare per questo": un blocco di fogli di mappa non può essere combinato in cornici comuni senza interruzioni.

Riso. 5.18. Schema di proiezione poliedrica e disposizione dei fogli di mappa

Va notato che oggigiorno le superfici ausiliarie non vengono utilizzate per ottenere proiezioni cartografiche. Nessuno mette una palla in un cilindro e ci mette sopra un cono. Queste sono solo analogie geometriche che ci permettono di comprendere l'essenza geometrica della proiezione. La ricerca delle proiezioni viene effettuata analiticamente. La modellazione computerizzata consente di calcolare rapidamente qualsiasi proiezione con determinati parametri e i plotter automatici disegnano facilmente la griglia appropriata di meridiani e paralleli e, se necessario, una mappa isocol.
Esistono atlanti di proiezione speciali che ti consentono di selezionare la proiezione giusta per qualsiasi territorio. Recentemente sono stati creati atlanti di proiezione elettronica, con l'aiuto dei quali è facile trovare una mesh adatta, valutarne immediatamente le proprietà e, se necessario, apportare alcune modifiche o trasformazioni in modo interattivo.

5.5. CLASSIFICAZIONE DELLE PROIEZIONI IN BASE ALL'ORIENTAMENTO DELLA SUPERFICIE CARTOGRAFICA AUSILIARIA

Proiezioni normali - il piano di proiezione tocca il globo nel punto polare oppure l'asse del cilindro (cono) coincide con l'asse di rotazione della Terra (Fig. 5.19).

Riso. 5.19. Proiezioni normali (dirette).

Proiezioni trasversali - il piano di disegno tocca l'equatore in qualsiasi punto oppure l'asse del cilindro (cono) coincide con il piano equatoriale (Fig. 5.20).

Riso. 5.20. Proiezioni trasversali

Proiezioni oblique - il piano di disegno tocca il globo in un dato punto (Fig. 5.21).

Riso. 5.21. Proiezioni oblique

Delle proiezioni oblique e trasversali, vengono spesso utilizzate le proiezioni cilindriche oblique e trasversali, azimutali (prospettiva) e pseudo-azimutali. Quelli azimutali trasversali sono usati per le mappe degli emisferi, quelli obliqui - per i territori che hanno una forma arrotondata. Le mappe dei continenti sono spesso disegnate in proiezioni azimutali trasversali e oblique. La proiezione cilindrica trasversale di Gauss-Kruger viene utilizzata per le mappe topografiche statali.

5.6. SELEZIONE DELLE PROIEZIONI

La scelta delle proiezioni è influenzata da molti fattori, che possono essere raggruppati come segue:

• caratteristiche geografiche del territorio mappato, sua posizione sul globo, dimensione e configurazione;
• scopo, scala e oggetto della mappa, gamma prevista di consumatori;
• condizioni e metodi di utilizzo della mappa, compiti che verranno risolti utilizzando la mappa, requisiti per l'accuratezza dei risultati della misurazione;
• caratteristiche della proiezione stessa: l'entità delle distorsioni di lunghezze, aree, angoli e la loro distribuzione sul territorio, la forma dei meridiani e dei paralleli, la loro simmetria, l'immagine dei poli, la curvatura delle linee della distanza più breve.

Inizialmente vengono stabiliti i primi tre gruppi di fattori, il quarto dipende da essi. Se si compila una mappa a scopo di navigazione, è necessario utilizzare la proiezione equiangolare cilindrica di Mercatore. Se l'Antartide viene mappata, quasi certamente verrà adottata la normale proiezione azimutale (polare), ecc.
Il significato di questi fattori può essere diverso: in un caso, la visibilità viene messa al primo posto (ad esempio, per una mappa scolastica murale), nell'altro - le caratteristiche dell'utilizzo della mappa (navigazione), nel terzo - la posizione di il territorio del globo (regione polare). Sono possibili tutte le combinazioni e quindi sono possibili diverse opzioni di proiezione. Inoltre la scelta è molto ampia. Ma è ancora possibile indicare alcune proiezioni preferite e più tradizionali.
Mappe del mondo solitamente redatti in proiezioni cilindriche, pseudocilindriche e policoniche. Per ridurre la distorsione, vengono spesso utilizzati cilindri secanti e talvolta vengono prodotte proiezioni pseudo-cilindriche con discontinuità sugli oceani.
Mappe dell'emisfero sempre costruito in proiezioni azimutali. Per gli emisferi occidentale e orientale è naturale prendere trasversale (equatoriale), per gli emisferi settentrionale e meridionale - normale (polare) e in altri casi (ad esempio, per gli emisferi continentale e oceanico) - proiezioni azimutali oblique.
Mappe del continente Europa, Asia, Nord America, Sud America, Australia e Oceania sono spesso costruite in proiezioni azimutali oblique di uguale area, per l'Africa prendono quelle trasversali e per l'Antartide - quelle azimutali normali.
Mappe dei singoli paesi , le regioni amministrative, le province, gli stati sono rappresentati in proiezioni oblique equiangolari e di uguale area coniche o azimutali, ma molto dipende dalla configurazione del territorio e dalla sua posizione sul globo. Per aree piccole il problema della scelta della proiezione perde di rilevanza; si possono utilizzare diverse proiezioni conformi, tenendo presente che le distorsioni d'area in aree piccole sono quasi impercettibili.
Mappe topografiche L'Ucraina viene creata nella proiezione cilindrica trasversale gaussiana, mentre gli Stati Uniti e molti altri paesi occidentali vengono creati nella proiezione cilindrica trasversale universale di Mercatore (UTM abbreviato). Entrambe le proiezioni hanno proprietà simili; Essenzialmente, entrambi sono multi-cavità.
Carte nautiche e aeronautiche sono sempre fornite esclusivamente nella proiezione cilindrica di Mercatore e le carte tematiche dei mari e degli oceani vengono create in un'ampia varietà di proiezioni, a volte piuttosto complesse. Ad esempio, per mostrare insieme gli oceani Atlantico e Artico, vengono utilizzate proiezioni speciali con isocole ovali e per rappresentare l'intero Oceano Mondiale vengono utilizzate proiezioni di uguale area con interruzioni sui continenti.
In ogni caso, quando si sceglie una proiezione, soprattutto per le mappe tematiche, è bene tenere presente che solitamente le distorsioni sulla mappa sono minime al centro e aumentano rapidamente verso i bordi. Inoltre, quanto più piccola è la scala della mappa e quanto più estesa è la copertura spaziale, tanto maggiore attenzione dovrà essere prestata ai fattori “matematici” nella scelta di una proiezione, e viceversa - per aree piccole e su larga scala, fattori “geografici” diventare più significativi.

5.7. RICONOSCIMENTO DELLA PROIEZIONE

Riconoscere la proiezione in cui è disegnata una mappa significa stabilirne il nome, determinare se appartiene ad un particolare tipo o classe. Ciò è necessario per avere un'idea delle proprietà della proiezione, della natura, della distribuzione e dell'entità delle distorsioni - in una parola, per sapere come utilizzare la mappa e cosa ci si può aspettare da essa.
Alcune proiezioni normali contemporaneamente riconosciuto dalla comparsa di meridiani e paralleli. Ad esempio, le proiezioni cilindriche normali, pseudocilindriche, coniche e azimutali sono facilmente riconoscibili. Ma anche un cartografo esperto non riconosce immediatamente molte proiezioni arbitrarie, saranno necessarie misurazioni speciali sulla mappa per identificare la loro equiangolarità, equilateralità o equidistanza in una delle direzioni. A questo scopo esistono tecniche speciali: innanzitutto si stabilisce la forma della cornice (rettangolo, cerchio, ellisse), si determina come sono raffigurati i poli, quindi si misurano le distanze tra paralleli adiacenti lungo il meridiano, le aree delle celle adiacenti della griglia, la angoli di intersezione dei meridiani e dei paralleli, natura della loro curvatura, ecc. .P.
Ci sono speciali tabelle di definizione delle proiezioni per mappe del mondo, emisferi, continenti e oceani. Dopo aver effettuato le misurazioni necessarie sulla griglia, in tale tabella è possibile trovare il nome della proiezione. Questo darà un'idea delle sue proprietà, ti permetterà di valutare le possibilità di determinazioni quantitative su questa mappa e selezionare la mappa appropriata con isocoli per apportare correzioni.

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Tipi di proiezioni in base alla natura delle distorsioni

Domande per l'autocontrollo:

1. Quali elementi costituiscono la base matematica di una mappa?
2. Qual è la scala di una carta geografica?
3. Qual è la scala principale della mappa?
4. Cos'è la scala di una mappa privata?
5. Cosa causa la deviazione di una scala particolare da quella principale su una mappa geografica?
6. Come misurare la distanza tra i punti su una mappa marittima?
7. Cos'è un'ellisse di distorsione e a cosa serve?
8. Come puoi determinare la scala più grande e quella più piccola dall'ellisse di distorsione?
9. Quali metodi esistono per trasferire la superficie dell'ellissoide terrestre su un piano, qual è la loro essenza?
10. Come si chiama una proiezione cartografica?
11. Come vengono classificate le proiezioni in base alla natura delle loro distorsioni?
12. Quali proiezioni sono chiamate conformi, come rappresentare un'ellisse di distorsione su queste proiezioni?
13. Quali proiezioni sono chiamate equidistanti, come rappresentare un'ellisse di distorsione su queste proiezioni?
14. Quali proiezioni sono chiamate area uguale, come rappresentare un'ellisse di distorsione su queste proiezioni?
15. Quali proiezioni sono chiamate arbitrarie?

Le persone utilizzano le mappe geografiche fin dai tempi antichi. I primi tentativi di raffigurarlo furono fatti nell'antica Grecia da scienziati come Eratostene e Ipparco. Naturalmente da allora la cartografia come scienza ha fatto molta strada. Le mappe moderne vengono create utilizzando immagini satellitari e tecnologia informatica, il che, ovviamente, aiuta ad aumentarne la precisione. Eppure, su ogni carta geografica sono presenti alcune distorsioni riguardanti le forme, gli angoli o le distanze naturali sulla superficie terrestre. La natura di queste distorsioni, e quindi la precisione della mappa, dipende dai tipi di proiezioni cartografiche utilizzate per creare una particolare mappa.

Concetto di proiezione cartografica

Esaminiamo più in dettaglio cos'è una proiezione cartografica e quali tipi di essa vengono utilizzati nella cartografia moderna.

Una proiezione cartografica è un'immagine su un piano. Una definizione più profonda da un punto di vista scientifico suona così: una proiezione cartografica è un metodo per visualizzare punti sulla superficie terrestre su un determinato piano, in cui viene stabilita una relazione analitica tra le coordinate dei punti corrispondenti dell'area visualizzata e superfici visualizzate.

Come viene costruita una proiezione cartografica?

La costruzione di qualsiasi tipo di proiezione cartografica avviene in due fasi.

1. Innanzitutto, la superficie geometricamente irregolare della Terra viene mappata su una superficie matematicamente regolare, chiamata superficie di rilevanza. Per l'approssimazione più accurata, il geoide viene spesso utilizzato in questa veste: un corpo geometrico limitato dalla superficie dell'acqua di tutti i mari e oceani che sono interconnessi (livello del mare) e hanno un'unica massa d'acqua. In ogni punto della superficie del geoide la forza di gravità viene applicata normalmente. Tuttavia, anche il geoide, come la superficie fisica del pianeta, non può essere espresso da un'unica legge matematica. Pertanto, al posto del geoide, come superficie di riferimento viene preso un ellissoide di rivoluzione, conferendogli la massima somiglianza con il geoide utilizzando il grado di compressione e orientamento nel corpo della Terra. Questo corpo è chiamato ellissoide terrestre o ellissoide di riferimento e diversi paesi assumono parametri diversi per esso.
2. In secondo luogo, la superficie di pertinenza accettata (ellissoide di riferimento) viene trasferita al piano utilizzando l'una o l'altra dipendenza analitica. Di conseguenza, otteniamo una proiezione cartografica piatta

Distorsione della proiezione

Ti sei mai chiesto perché i contorni dei continenti sono leggermente diversi su mappe diverse? Alcune proiezioni cartografiche fanno apparire alcune parti del mondo più grandi o più piccole rispetto ad alcuni punti di riferimento rispetto ad altri. Riguarda la distorsione con cui le proiezioni della Terra vengono trasferite su una superficie piana.

Ma perché le proiezioni cartografiche appaiono distorte? La risposta è abbastanza semplice. Non è possibile dispiegare una superficie sferica su un piano senza pieghe o strappi. Pertanto, l'immagine da esso non può essere visualizzata senza distorsioni.

Metodi per ottenere proiezioni

Quando si studiano le proiezioni cartografiche, i loro tipi e proprietà, è necessario menzionare i metodi della loro costruzione. Pertanto, le proiezioni cartografiche si ottengono utilizzando due metodi principali:

• geometrico;
• analitico.

Al centro metodo geometrico sono le leggi della prospettiva lineare. Si presume convenzionalmente che il nostro pianeta sia una sfera di un certo raggio e proiettata su una superficie cilindrica o conica, che può toccarla o tagliarla.

Le proiezioni ottenute in questo modo si chiamano prospettiva. A seconda della posizione del punto di osservazione rispetto alla superficie terrestre, le proiezioni prospettiche si dividono in tipologie:

• gnomonico o centrale (quando il punto di vista è combinato con il centro della sfera terrestre);
• stereografico (in questo caso il punto di osservazione è situato sulla superficie di riferimento);
• ortografica (quando la superficie viene osservata da un punto qualsiasi al di fuori della sfera terrestre; la proiezione viene costruita trasferendo i punti della sfera utilizzando linee parallele perpendicolari alla superficie mappata).

Metodo analitico la costruzione delle proiezioni cartografiche si basa su espressioni matematiche che collegano i punti sulla sfera di pertinenza e il piano di visualizzazione. Questo metodo è più universale e flessibile e consente di creare proiezioni arbitrarie secondo una natura predeterminata della distorsione.

Tipi di proiezioni cartografiche in geografia

Molti tipi di proiezioni della Terra vengono utilizzati per creare mappe geografiche. Sono classificati secondo vari criteri. In Russia viene utilizzata la classificazione Kavraisky, che utilizza quattro criteri che determinano i principali tipi di proiezioni cartografiche. Come parametri caratteristici di classificazione vengono utilizzati:

• natura della distorsione;
• forma di visualizzazione delle linee di coordinate di una griglia normale;
• posizione del punto polare nel normale sistema di coordinate;
• modalità di applicazione.

Quindi, quali tipi di proiezioni cartografiche esistono secondo questa classificazione?

Classificazione delle proiezioni

Per natura della distorsione

Come accennato in precedenza, la distorsione è essenzialmente una proprietà intrinseca di qualsiasi proiezione terrestre. Qualsiasi caratteristica della superficie può essere distorta: lunghezza, area o angolo. Per tipo di distorsione ci sono:

• Proiezioni conformi o conformi, in cui azimut e angoli vengono trasferiti senza distorsioni. La griglia di coordinate nelle proiezioni conformi è ortogonale. Si consiglia di utilizzare le mappe ottenute in questo modo per determinare le distanze in qualsiasi direzione.
• Area uguale o proiezioni equivalenti, dove viene preservata la scala delle aree, che viene assunta pari a uno, ovvero le aree vengono visualizzate senza distorsioni. Tali mappe vengono utilizzate per confrontare le aree.
• Proiezioni equidistanti o equidistanti, durante la costruzione della quale si conserva la scala lungo una delle direzioni principali, che si assume essere unitaria.
• Proiezioni arbitrarie, che può contenere tutti i tipi di distorsioni.

Secondo la forma di visualizzazione delle linee di coordinate della griglia normale

Questa classificazione è la più chiara possibile e, quindi, la più semplice da comprendere. Si noti, tuttavia, che questo criterio si applica solo alle proiezioni orientate normalmente al punto di osservazione. Quindi, in base a questa caratteristica, si distinguono i seguenti tipi di proiezioni cartografiche:

Circolare, dove paralleli e meridiani sono rappresentati da cerchi, e l'equatore e il meridiano medio della griglia sono rappresentati da linee rette. Proiezioni simili vengono utilizzate per rappresentare la superficie della Terra nel suo insieme. Esempi di proiezioni circolari sono la proiezione conforme di Lagrange e la proiezione arbitraria di Grinten.

Azimutale. In questo caso i paralleli sono rappresentati sotto forma di cerchi concentrici, mentre i meridiani sotto forma di un fascio di rette divergenti radialmente dal centro dei paralleli. Questo tipo di proiezione viene utilizzato in posizione diretta per visualizzare i poli della Terra con i territori adiacenti, e in posizione trasversale come una mappa degli emisferi occidentale e orientale, familiare a tutti dalle lezioni di geografia.

Cilindrico, dove meridiani e paralleli sono rappresentati da linee rette che si intersecano normalmente. Con una distorsione minima, qui vengono visualizzati i territori adiacenti all'equatore o che si estendono lungo una certa latitudine standard.

Conico, che rappresenta uno sviluppo della superficie laterale del cono, dove le linee dei paralleli sono archi di cerchio con centro al vertice del cono, e i meridiani sono guide divergenti dal vertice del cono. Tali proiezioni rappresentano in modo più accurato i territori situati alle medie latitudini.

Proiezioni pseudoconiche sono simili a quelli conici, solo che i meridiani in questo caso sono rappresentati da linee curve, simmetriche rispetto al meridiano assiale rettilineo della griglia.

Proiezioni pseudocilindriche somigliano a quelli cilindrici, solo che, proprio come in quelli pseudoconici, i meridiani sono rappresentati da linee curve simmetriche al meridiano rettilineo assiale. Utilizzato per rappresentare l'intera Terra (ad esempio, la proiezione ellittica di Mollweide, la sinusoidale ad area uguale di Sanson, ecc.).

Policonico, dove i paralleli sono raffigurati sotto forma di cerchi, i cui centri si trovano sul meridiano medio della griglia o sulla sua estensione, i meridiani sotto forma di curve situate simmetricamente a una linea rettilinea

Dalla posizione del polo nel normale sistema di coordinate

• Polare O normale- il polo del sistema di coordinate coincide con il polo geografico.
• Trasversale O trasversione- il polo del sistema normale è allineato con l'equatore.
• Obliquo O inclinato- il polo di una normale griglia di coordinate può essere localizzato in qualsiasi punto compreso tra l'equatore e il polo geografico.

Per metodo di applicazione

In base al metodo di utilizzo, si distinguono i seguenti tipi di proiezioni cartografiche:

• Solido- la proiezione dell'intero territorio su un piano viene effettuata secondo un'unica legge.
• Multibanda- l'area mappata è condizionatamente suddivisa in più zone latitudinali, che vengono proiettate sul piano di visualizzazione secondo un'unica legge, ma con parametri variabili per ciascuna zona. Un esempio di tale proiezione è la proiezione trapezoidale di Müfling, utilizzata in URSS per mappe su larga scala fino al 1928.
• Multiforme- il territorio è suddiviso condizionatamente in un certo numero di zone secondo la longitudine, la proiezione su un piano viene effettuata secondo un'unica legge, ma con parametri diversi per ciascuna zona (ad esempio la proiezione di Gauss-Kruger).
• Composito, quando una parte del territorio viene visualizzata su un piano utilizzando un modello e il resto del territorio utilizzando un altro.

Il vantaggio delle proiezioni sia a corsie multiple che a sfaccettature è l'elevata precisione della visualizzazione all'interno di ciascuna zona. Tuttavia, uno svantaggio significativo è l'impossibilità di ottenere un'immagine continua.

Naturalmente, ciascuna proiezione cartografica può essere classificata utilizzando ciascuno dei criteri sopra indicati. Pertanto, la famosa proiezione di Mercatore della Terra è conforme (equiangolo) e trasversale (trasversione); Proiezione di Gauss-Kruger - cilindrica trasversale conforme, ecc.