Come trovare la tangente di 45 gradi.

Le tabelle dei valori di seno (sin), coseno (cos), tangenti (tg), cotangenti (ctg) sono uno strumento potente e utile che aiuta a risolvere molti problemi, sia teorici che applicati. In questo articolo forniremo una tabella delle funzioni trigonometriche di base (seno, coseno, tangenti e cotangenti) per angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradi (0, π 6, π 3, π 2,... . , 2 π radianti). Verranno inoltre mostrate tabelle Bradis separate per seno e coseno, tangenti e cotangenti, con una spiegazione di come utilizzarle per trovare i valori delle funzioni trigonometriche di base.

Tabella delle funzioni trigonometriche di base per gli angoli 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradi

In base alle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente, puoi trovare i valori di queste funzioni per angoli di 0 e 90 gradi

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, la cotangente zero non è definita,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, la tangente di novanta gradi non è definita.

I valori di seno, coseno, tangente e cotangente nel corso di geometria sono definiti come il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo, i cui angoli sono 30, 60 e 90 gradi, e anche 45, 45 e 90 gradi.

Definizione delle funzioni trigonometriche per un angolo acuto in un triangolo rettangolo

Seno- il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa.

Coseno- il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

Tangente- il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.

Cotangente- il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto.

In accordo con le definizioni, i valori delle funzioni si trovano:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.

Mettiamo questi valori in una tabella e chiamiamola tabella dei valori di base di seno, coseno, tangente e cotangente.

Tabella dei valori fondamentali di seno, coseno, tangenti e cotangenti

Una delle proprietà importanti delle funzioni trigonometriche è la periodicità. In base a questa proprietà, questa tabella può essere ampliata utilizzando formule di riduzione. Di seguito presentiamo una tabella estesa dei valori delle principali funzioni trigonometriche per gli angoli 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 gradi (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radianti).

Tavola di seni, coseni, tangenti e cotangenti

La periodicità di seno, coseno, tangente e cotangente consente di espandere questa tabella a valori angolari arbitrariamente grandi. I valori raccolti nella tabella vengono utilizzati più spesso durante la risoluzione dei problemi, quindi si consiglia di memorizzarli.

Come utilizzare la tabella dei valori di base delle funzioni trigonometriche

Il principio dell'utilizzo di una tabella dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente è chiaro a livello intuitivo. L'intersezione di una riga e di una colonna fornisce il valore della funzione per un particolare angolo.

Esempio. Come utilizzare la tabella dei seni, coseni, tangenti e cotangenti

Dobbiamo scoprire a cosa è uguale sin 7 π 6

Troviamo una colonna nella tabella il cui valore dell'ultima cella è 7 π 6 radianti, ovvero 210 gradi. Quindi selezioniamo il termine della tabella in cui sono presentati i valori dei seni. All'intersezione tra riga e colonna troviamo il valore desiderato:

peccato 7 π 6 = - 1 2

Tavoli Bradis

La tabella Bradis permette di calcolare il valore di seno, coseno, tangente o cotangente con una precisione di 4 cifre decimali senza l'ausilio della tecnologia informatica. Questa è una sorta di sostituto di una calcolatrice ingegneristica.

Riferimento

Vladimir Modestovich Bradis (1890-1975) - insegnante di matematico sovietico, dal 1954 membro corrispondente dell'Accademia delle scienze pedagogiche dell'URSS. Le tabelle dei logaritmi a quattro cifre e delle quantità trigonometriche naturali sviluppate da Bradis furono pubblicate per la prima volta nel 1921.

Per prima cosa presentiamo la tabella Bradis per seno e coseno. Ti consente di calcolare in modo abbastanza accurato i valori approssimativi di queste funzioni per angoli contenenti un numero intero di gradi e minuti. La colonna più a sinistra della tabella rappresenta i gradi e la riga superiore rappresenta i minuti. Si noti che tutti i valori degli angoli della tabella Bradis sono multipli di sei minuti.

Tabella Bradis per seni e coseni

Per trovare i valori di seno e coseno degli angoli non presentati nella tabella, è necessario utilizzare delle correzioni.

Presentiamo ora la tabella Bradis per tangenti e cotangenti. Contiene valori di tangenti di angoli da 0 a 76 gradi e cotangenti di angoli da 14 a 90 gradi.

Tabella Bradis per tangente e cotangente

Come utilizzare i tavoli Bradis

Considera la tabella Bradis per seni e coseni. Tutto ciò che riguarda i seni è in alto e a sinistra. Se abbiamo bisogno dei coseni, guarda il lato destro in fondo alla tabella.

Per trovare i valori del seno di un angolo, è necessario trovare l'intersezione della riga contenente il numero di gradi richiesto nella cella più a sinistra e la colonna contenente il numero di minuti richiesto nella cella in alto.

Se il valore esatto dell'angolo non è presente nella tabella Bradis, si ricorre alle correzioni. Le correzioni per uno, due e tre minuti sono riportate nelle colonne più a destra della tabella. Per trovare il valore del seno di un angolo che non è presente nella tabella, troviamo il valore più vicino ad esso. Successivamente, aggiungiamo o sottraiamo la correzione corrispondente alla differenza tra gli angoli.

Se cerchiamo il seno di un angolo maggiore di 90 gradi, dobbiamo prima utilizzare le formule di riduzione e solo dopo la tabella di Bradis.

Esempio. Come utilizzare il tavolo Bradis

Diciamo che dobbiamo trovare il seno dell'angolo 17 ° 44 ". Utilizzando la tabella, troviamo a cosa equivale il seno di 17 ° 42 " e aggiungiamo una correzione di due minuti al suo valore:

17°44" - 17°42" = 2" (correzione necessaria) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046

Il principio di lavorare con coseni, tangenti e cotangenti è simile. Tuttavia, è importante ricordare il segno degli emendamenti.

Importante!

Quando si calcolano i valori dei seni, la correzione ha un segno positivo e quando si calcolano i coseni, la correzione deve essere presa con un segno negativo.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Le funzioni trigonometriche di base includono: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Sulla base di ciò, la tangente di un angolo in trigonometria è definita come una funzione trigonometrica che esprime il rapporto tra il seno di questo angolo e il coseno dello stesso angolo. Se è necessario determinare la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo, allora può essere calcolato geometricamente, poiché la tangente in questo caso sarà uguale al rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente del triangolo rettangolo. Il termine stesso “tangente” è preso in prestito dalla lingua latina; la sua traduzione letterale significa “toccante”. La tangente è indicata in lettere latine. La tangente di un angolo x sarà indicata come “tg x”, sebbene i matematici occidentali tradizionalmente denotino la tangente con un'abbreviazione della parola inglese: la tangente di un angolo x è lì indicata come “tan x”.

Qual è la tangente di 30 gradi?

Basandosi sul fatto che la tangente di un angolo è uguale al rapporto tra il seno di un angolo e il coseno dello stesso angolo, la tangente di un angolo di 30 gradi può essere ottenuta dividendo il valore del seno di un angolo di 30 gradi per il valore del coseno dello stesso angolo. La tangente sarà pari a 0,5774.

Qual è la tangente di 60 gradi?

La tangente di un angolo di 60 gradi si calcola in modo simile: dividendo il seno di un angolo di 60 gradi per il valore del coseno dello stesso angolo si ottiene il numero 1,7321, che è la tangente di 60 gradi.

Qual è la tangente di 45 gradi?

Poiché il valore del seno di un angolo di 45 gradi è uguale al valore del coseno dello stesso angolo, il valore della tangente di un angolo di 45 gradi, ottenuto dividendo il seno per il coseno, dà uno (tangente è uguale a 1).

Qual è la tangente di 90 gradi?

È impossibile calcolare la tangente di un angolo di 90 gradi, poiché il coseno di un angolo di 90 gradi è uguale a zero, e una delle regole fondamentali della divisione è la regola che “non si può dividere per zero”, mentre la la tangente in questo caso deve essere ottenuta dividendo il seno per coseno, cioè a zero. Il valore della tangente di 90 gradi non è determinato.

Qual è la tangente di 120 gradi?

Allo stesso modo, calcolando la tangente di un angolo di 120 gradi, si può ottenere il numero -1,7321 (negativo), che sarà la tangente di un angolo di 120 gradi.

Cos'è la tangente 0 gradi?

Poiché il seno di un angolo di 0 gradi è uguale a zero e il coseno dello stesso angolo è uguale a 1, la tangente si ottiene dividendo zero per uno, che dà 0. La tangente di 0 gradi è quindi pari a 0.

Qual è la tangente di 135 gradi?

La tangente di 135 gradi è uguale a -1 (meno uno) utilizzando un calcolo simile.

Nota: Guarda anche tabella dei valori delle funzioni trigonometriche altri angoli.

Seno, coseno, tangente dell'angolo di 45 gradi (sen 45, cos 45, tg 45)

Valori in tabella di seno 45, coseno 45 e tangente 45 gradi indicato. Quella che segue è una spiegazione del metodo e della correttezza del calcolo di questi valori per un triangolo rettangolo arbitrario.

45 gradi sono π/4 radianti. Di seguito sono riportate le formule per i valori di coseno, seno e tangente pi/4 radianti (sebbene siano identiche).
Cioè, ad esempio, abbronzatura π/4 = abbronzatura 45 gradi

VALORI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE A α=45°

Come calcolare in modo indipendente i valori di sin cos tg 45 gradi?

Costruiamo e consideriamo un triangolo rettangolo ABC il cui angolo ∠ B = 45°. In base al rapporto tra i suoi lati, calcoliamo i valori delle funzioni trigonometriche in un triangolo rettangolo con un angolo di 45 gradi. Poiché il triangolo è rettangolo, i valori delle funzioni seno, coseno e tangente saranno uguali al rapporto tra i lati corrispondenti.

Poiché i valori delle funzioni seno, coseno e tangente dipendono esclusivamente dalla misura in gradi dell'angolo (o dal valore espresso in radianti), i rapporti che abbiamo trovato saranno i valori della funzione seno 45, coseno 45 e tangente 45 gradi.

Secondo le proprietà di un triangolo rettangolo, l'angolo C è retto e uguale a 90 gradi. Inizialmente abbiamo costruito l'angolo B con una misura di gradi di 45 gradi. Troviamo il valore dell'angolo A. Poiché la somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi, allora

∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°
L'angolo C è retto e uguale a 90 gradi, l'angolo B lo abbiamo inizialmente definito pari a 45 gradi, quindi:
∠ A = 180° - ∠ CON - ∠ B = 180° - 90° - 45° = 45°

Poiché questo triangolo ha due angoli uguali tra loro, il triangolo ABC lo è rettangolare e, allo stesso tempo, isoscele, in cui entrambe le gambe sono uguali tra loro: AC = BC.

Supponiamo che la lunghezza dei lati sia uguale ad un certo numero AC = BC = a. Conoscendo la lunghezza dei cateti calcoliamo la lunghezza dell'ipotenusa.

Secondo il teorema di Pitagora: AB 2 = AC 2 + BC 2
Sostituiamo le lunghezze AC e BC con la variabile a, quindi otteniamo:

AB2 = a2 + a2 = 2a2,

allora AB=a √ 2.

Di conseguenza abbiamo espresso le lunghezze di tutti i lati un triangolo rettangolo con un angolo di 45 gradi passante per la variabile a.

Secondo le proprietà delle funzioni trigonometriche in un triangolo rettangolo il rapporto tra i lati corrispondenti del triangolo sarà uguale al valore delle funzioni corrispondenti. Pertanto, per un angolo α = 45 gradi:

peccato α = BC / AB(secondo la definizione di seno per un triangolo rettangolo, questo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa, BC - gamba, AB - ipotenusa)

cosα = AC/AB(secondo la definizione di coseno, questo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa, AC è il cateto, AB è l'ipotenusa)

tgα = BC/AC(analogamente, la tangente dell'angolo α sarà uguale al rapporto tra il lato opposto e quello adiacente)

Invece di designare i lati sostituiamo i valori delle loro lunghezze tramite la variabile a.

In base a ciò (vedi tabella valori peccato 45, cos 45, tg 45) noi abbiamo:

Valori della tabella peccato 45, cos 45, tg 45(cioè il valore seno 45, coseno 45 e tangente 45 gradi possono essere calcolati come il rapporto tra i lati corrispondenti di un dato triangolo), sostituiamo i valori delle lunghezze dei lati calcolati sopra nelle formule e otteniamo il risultato nell'immagine qui sotto.

Valori tabella: seno 45, coseno 45 e tangente 45 gradi

Così:

• la tangente di 45 gradi è uguale a uno
• il seno di 45 gradi è uguale al coseno di 45 gradi ed è uguale alla radice di due a metà (uguale a uno diviso per la radice di due)

Come si vede dai calcoli sopra riportati, per calcolare i valori della corrispondente funzione trigonometrica non sono importanti le lunghezze dei lati del triangolo, ma il loro rapporto, che è sempre lo stesso per gli stessi angoli , indipendentemente dalla dimensione di un particolare triangolo.

Seno, coseno e tangente π/4 radianti

Nei problemi proposti per la soluzione nelle scuole superiori e nella Prova di Formazione Esterna/Esame Unificato di Stato, al posto della misura in gradi di un angolo, si incontra spesso l'indicazione della sua grandezza, misurata in radianti. La misura dell'angolo, espressa in radianti, si basa sul numero pi greco, che esprime la dipendenza della circonferenza di un cerchio dal suo diametro.

Per facilità di comprensione, consiglio di ricordare semplice principio per convertire i gradi in radianti. Il diametro di un cerchio copre un arco di 180 gradi. Pertanto, il radiante pi greco sarà uguale a 180 gradi. Da dove è facile convertire qualsiasi misura di grado di un angolo in radianti e viceversa.

Teniamone conto Angolo di 45 gradi espresso in radianti, è uguale a (180 / 45 = 4) π/4 (pi greco per quattro). Pertanto, i valori da noi rilevati sono corretti per la stessa misura di angolo, espressa in radianti:

• tangente π/4(pi greco su quattro) equivale a uno
• seno π/4(pi greco volte quattro) gradi è uguale a coseno π/4 gradi ed è uguale alla radice di due a metà

Tabella tangente è una delle quattro tavole trigonometriche più utilizzate nel Bradis Table Book. Anche se tangente e cotangente sono essenzialmente derivati ​​di seno e coseno, spesso è utile disporre di valori calcolati già pronti per le tangenti.

Funzioni trigonometriche e loro importanza nello studio della geometria

In geometria, le funzioni trigonometriche svolgono un ruolo speciale, con l'aiuto del quale determinano il modo in cui i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo sono correlati tra loro. Naturalmente la trigonometria non si ferma e dai tempi di Euclide ha fatto molti passi avanti e ora queste funzioni possono essere espresse attraverso la soluzione di equazioni differenziali.

Attualmente in uso sei notazioni per le funzioni trigonometriche di base , e quattro delle sei funzioni, che sono le ultime della fila, possono essere determinate non solo utilizzando la geometria.

Seno (peccato)

Coseno (così)

Tangente (tg/abbronzatura)

Cotangente (ctg/culla)

Secante (secondo)

Cosecante (cosec/csc) .

Consideriamo il triangolo rettangolo stesso; le designazioni dei suoi lati e dei suoi angoli in tutti i libri di consultazione sono, come al solito, standard, indipendentemente da quale lato si trova sul piano.

In questo triangolo ci sono tre angoli, indicati con α, β, γ, dove γ è sempre 90°. Il lato opposto all'angolo retto γ è chiamato ipotenusa, è indicato con la lettera C. L'angolo α, da cui iniziano tutti i calcoli, si trova sul lato opposto a / BC /, chiamato opposto a questo angolo, e sul lato b / AC /, che è vicino, soggetto a questo angolo e si chiama adiacente.

Secondo la teoria euclidea, che è ancora vera (e sarà sempre vera), la somma degli angoli di un tale triangolo, che si trova sullo stesso piano, sarà uguale a 180 o al numero π. E il valore di qualsiasi angolo sarà compreso tra 0 e π /2.

Quindi le funzioni trigonometriche possono essere espresse in termini di dimensioni dei lati di questo triangolo. Poiché l'angolo α è il primo sia nell'alfabeto greco che nel nostro triangolo, iniziamo la nostra conoscenza delle funzioni attraverso questo angolo.

• Seno α si esprime attraverso il rapporto tra il cateto opposto a questo angolo e l'ipotenusa del nostro triangolo, cioè sin α = a: c.
• coseno α si esprime attraverso il rapporto tra il cateto, adiacente all'angolo α, e l'ipotenusa c, cos α = b: c. A proposito, sin β = α: с, il che ci permette di accettare che sin α sia uguale a cos β e quindi sin β sia uguale a cos α.
• Tangente α uguale al quoziente del rapporto tra il lato opposto a e il lato adiacente b : tgα = a: b.
• Cotangente dell'angolo α di conseguenza è uguale a ctg α = b: a.
• Secante dell'angolo α è il rapporto tra l'ipotenusa del triangolo e il cateto adiacente a questo angolo sec α = c: b.
• Cosecante dell'angolo α è il rapporto tra l'ipotenusa di un triangolo e il cateto opposto all'angolo, cosecα = c: a.

Queste funzioni possono anche essere espresse attraverso un cerchio specificando un sistema di coordinate. Impostiamo un sistema di coordinate con il centro nel punto O. L'angolo di cui viene ruotato il segmento OA mostrato nel disegno sarà considerato arbitrario, chiamiamolo θ.

Quindi la tangente di questo angolo θ è considerata il rapporto tra l'ordinata del punto A sul cerchio e la sua ascissa. Pertanto, se ctg α = b: a, e AC = sin θ, OS = cos θ, allora tanθ = sin θ: cos θ. Allo stesso modo, otteniamo cos θ = cos θ: sin θ oppure 1: tanθ.

Calcolatrice online per calcolare la tangente di un angolo