Quella che viene chiamata progressione aritmetica. Come trovare una progressione aritmetica? Esempi di progressione aritmetica con soluzione

Molte persone hanno sentito parlare di progressione aritmetica, ma non tutti hanno una buona idea di cosa sia. In questo articolo daremo la definizione corrispondente, considereremo anche la questione di come trovare la differenza di una progressione aritmetica e forniremo una serie di esempi.

Definizione matematica

Quindi, se stiamo parlando di una progressione aritmetica o algebrica (questi concetti definiscono la stessa cosa), significa che esiste una certa serie numerica che soddisfa la seguente legge: ogni due numeri adiacenti nella serie differiscono dello stesso valore. Matematicamente è scritto così:

Qui n significa il numero dell'elemento a n nella sequenza e il numero d è la differenza della progressione (il suo nome deriva dalla formula presentata).

Cosa significa conoscere la differenza d? Informazioni su quanto sono "distanti" i numeri vicini l'uno dall'altro. Tuttavia la conoscenza di d è condizione necessaria ma non sufficiente per determinare (ripristinare) l'intera progressione. Devi conoscere un altro numero, che può essere assolutamente qualsiasi elemento della serie in esame, ad esempio 4, a10, ma, di regola, usano il primo numero, cioè 1.

Formule per la determinazione degli elementi di progressione

In generale, le informazioni di cui sopra sono già sufficienti per passare alla risoluzione di problemi specifici. Tuttavia, prima che venga fornita la progressione aritmetica, e sarà necessario trovarne la differenza, presenteremo un paio di formule utili, facilitando così il successivo processo di risoluzione dei problemi.

È facile dimostrare che qualsiasi elemento della sequenza con numero n può essere trovato come segue:

un n = un 1 + (n - 1) * d

In effetti, chiunque può controllare questa formula con una semplice ricerca: se sostituisci n = 1, ottieni il primo elemento, se sostituisci n = 2, allora l'espressione dà la somma del primo numero e la differenza, e così via.

Le condizioni di molti problemi sono composte in modo tale che, data una coppia di numeri nota, i cui numeri sono anche dati nella sequenza, è necessario ricostruire l'intera serie di numeri (trovare la differenza e il primo elemento). Ora risolveremo questo problema in forma generale.

Quindi, siano dati due elementi con numeri n e m. Utilizzando la formula ottenuta sopra, puoi creare un sistema di due equazioni:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

un m = un 1 + (m - 1) * d

Per trovare quantità sconosciute, utilizzeremo una tecnica semplice e ben nota per risolvere un tale sistema: sottrai i lati sinistro e destro a coppie, l'uguaglianza rimarrà valida. Abbiamo:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Pertanto, abbiamo escluso uno sconosciuto (a 1). Ora possiamo scrivere l'espressione finale per determinare d:

d = (a n - a m) / (n - m), dove n > m

Abbiamo ricevuto una formula molto semplice: per calcolare la differenza d secondo le condizioni del problema, è sufficiente prendere il rapporto tra le differenze tra gli elementi stessi e i loro numeri di serie. Occorre prestare attenzione ad un punto importante: le differenze vengono prese tra i membri “senior” e “junior”, cioè n > m (“senior” significa stare più lontano dall'inizio della sequenza, il suo valore assoluto può essere elemento più o meno “junior”).

L'espressione per la differenza d progressione dovrebbe essere sostituita in una qualsiasi delle equazioni all'inizio della risoluzione del problema per ottenere il valore del primo termine.

Nella nostra epoca di sviluppo della tecnologia informatica, molti scolari cercano di trovare soluzioni per i loro compiti su Internet, quindi spesso sorgono domande di questo tipo: trova la differenza di una progressione aritmetica online. Per tale richiesta, il motore di ricerca restituirà un numero di pagine web, accedendo alle quali sarà necessario inserire i dati conosciuti dalla condizione (possono essere due termini della progressione o la somma di un certo numero di essi ) e riceverai immediatamente una risposta. Tuttavia, questo approccio alla risoluzione del problema è improduttivo in termini di sviluppo e comprensione da parte dello studente dell'essenza del compito che gli è stato assegnato.

Soluzione senza l'utilizzo di formule

Risolviamo il primo problema senza utilizzare nessuna delle formule fornite. Siano dati gli elementi della serie: a6 = 3, a9 = 18. Trova la differenza della progressione aritmetica.

Gli elementi noti stanno uno accanto all'altro in fila. Quante volte bisogna aggiungere la differenza d al più piccolo per ottenere il più grande? Tre volte (la prima volta aggiungendo d, otteniamo il 7o elemento, la seconda volta - l'ottavo, infine, la terza volta - il nono). Quale numero deve essere sommato a tre tre volte per ottenere 18? Questo è il numero cinque. Veramente:

Pertanto, la differenza sconosciuta d = 5.

Naturalmente la soluzione avrebbe potuto essere effettuata utilizzando la formula appropriata, ma ciò non è stato fatto intenzionalmente. Una spiegazione dettagliata della soluzione al problema dovrebbe diventare un esempio chiaro e chiaro di cosa sia una progressione aritmetica.

Un compito simile al precedente

Ora risolviamo un problema simile, ma modifichiamo i dati di input. Quindi dovresti trovare se a3 = 2, a9 = 19.

Naturalmente è possibile ricorrere nuovamente al metodo di soluzione “frontale”. Ma poiché vengono forniti gli elementi della serie relativamente distanti tra loro, questo metodo non sarà del tutto conveniente. Ma l’utilizzo della formula risultante ci porterà rapidamente alla risposta:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Qui abbiamo arrotondato il numero finale. La misura in cui questo arrotondamento ha portato ad un errore può essere giudicata controllando il risultato:

un 9 = un 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Questo risultato differisce solo dello 0,1% dal valore indicato nella condizione. Pertanto l'arrotondamento utilizzato ai centesimi più vicini può essere considerato una scelta vincente.

Problemi che riguardano l'applicazione della formula per il termine an

Consideriamo un classico esempio di problema per determinare l'incognita d: trovare la differenza di una progressione aritmetica se a1 = 12, a5 = 40.

Quando vengono forniti due numeri di una sequenza algebrica sconosciuta e uno di essi è l'elemento a 1, non è necessario pensarci a lungo, ma è necessario applicare immediatamente la formula per il termine a n. In questo caso abbiamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Abbiamo ricevuto il numero esatto durante la divisione, quindi non ha senso verificare l'accuratezza del risultato calcolato, come è stato fatto nel paragrafo precedente.

Risolviamo un altro problema simile: dobbiamo trovare la differenza di una progressione aritmetica se a1 = 16, a8 = 37.

Utilizziamo un approccio simile al precedente e otteniamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Cos'altro dovresti sapere sulla progressione aritmetica?

Oltre ai problemi relativi alla ricerca di una differenza sconosciuta o di singoli elementi, spesso è necessario risolvere problemi relativi alla somma dei primi termini di una sequenza. La considerazione di questi problemi va oltre lo scopo dell'articolo, tuttavia, per completezza di informazione, presentiamo una formula generale per la somma di n numeri in una serie:

∑ n io = 1 (a io) = n * (a 1 + a n) / 2

Qual è l'essenza principale della formula?

Questa formula ti consente di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .

Naturalmente è necessario conoscere anche il primo termine un 1 e differenza di progressione D beh, senza questi parametri non è possibile scrivere una progressione specifica.

Memorizzare (o cribizzare) questa formula non è sufficiente. È necessario comprenderne l'essenza e applicare la formula a vari problemi. E anche per non dimenticare al momento giusto, sì...) Come non dimenticare- Non lo so. E qui come ricordare Se necessario, ti consiglierò sicuramente. Per coloro che completano la lezione fino alla fine.)

Quindi, diamo un'occhiata alla formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Cos'è una formula in generale? A proposito, dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire di cosa si tratta ennesimo termine.

La progressione in generale può essere scritta come una serie di numeri:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro, un 4- il quarto e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - s un 120.

Come possiamo definirlo in termini generali? Qualunque termine di una progressione aritmetica, con Qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

UN

Questo è quello che è ennesimo termine di una progressione aritmetica. La lettera n nasconde tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci regala un record del genere? Pensa che invece di un numero hanno scritto una lettera...

Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con la progressione aritmetica. Utilizzando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E risolvi un sacco di altri problemi di progressione. Lo vedrai tu stesso ulteriormente.

Nella formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica:

un 1- il primo termine di una progressione aritmetica;

N- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: UN ; un 1; D E N. Tutti i problemi di progressione ruotano attorno a questi parametri.

La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, il problema potrebbe dire che la progressione è specificata dalla condizione:

un n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può essere un vicolo cieco... Non esiste né una serie né una differenza... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 = 5 e d = 2.

E può essere anche peggio!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, Sì, apri le parentesi e portane di simili? Otteniamo una nuova formula:

un n = 3 + 2 n.

Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che si nasconde la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo termine è cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nei problemi di progressione c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, come hai intuito, il termine “n più primo” della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo UN quinto mandato quindi un n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione un n+1 si trova nelle formule di ricorrenza. Non aver paura di questa parola spaventosa!) Questo è solo un modo per esprimere un membro di una progressione aritmetica attraverso quello precedente. Diciamo che ci viene data una progressione aritmetica in questa forma, utilizzando una formula ricorrente:

un n+1 = un n +3

un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. Come possiamo contare immediatamente, ad esempio, il ventesimo termine? un 20? Ma non c’è modo!) Finché non troviamo il 19esimo termine, non possiamo contare il 20esimo. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorrente e la formula dell'ennesimo termine. Le opere ricorrenti sono solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine è passante Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza calcolare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica è facile trasformare una formula ricorrente in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella sua forma abituale e lavora con essa. Tali compiti si incontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.

Applicazione della formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Innanzitutto, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:

Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, basandosi semplicemente sul significato di una progressione aritmetica. Aggiungi e aggiungi... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a1 =3, d=1/6. Resta da capire cosa è uguale N. Nessun problema! Dobbiamo trovare un 121. Quindi scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) A noi interessa il membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà nostro N. Questo è il significato N= 121 lo sostituiremo più avanti nella formula, tra parentesi. Sostituiamo tutti i numeri nella formula e calcoliamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto. Altrettanto velocemente si potrebbe trovare il termine cinquecentodecimo, e il milletreesimo, uno qualunque. Mettiamo invece N il numero desiderato nell'indice della lettera " UN" e tra parentesi, e contiamo.

Lascia che ti ricordi il punto: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .

Risolviamo il problema in un modo più astuto. Ci imbattiamo nel seguente problema:

Trovare il primo termine della progressione aritmetica (a n), se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, ti dirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi con le mani, direttamente sul tuo quaderno:

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... è così? Se pensi che sia tutto, allora non risolverai il problema, sì...

Abbiamo ancora un numero N! In condizione un 17 =-2 nascosto due parametri. Questo è sia il valore del diciassettesimo termine (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa “sciocchezza” spesso sfugge alla testa, e senza di essa (senza la “sciocchezza”, non la testa!) il problema non si risolve. Anche se... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

un 17 = un 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, sostituiamo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Questo è praticamente tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolarlo. La risposta sarà: un 1 = 6.

Questa tecnica, ovvero scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti, è di grande aiuto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica potrebbe non essere studiata affatto...

Un altro puzzle popolare:

Trovare la differenza della progressione aritmetica (a n), se a 1 =2; un 15 = 12.

Che cosa stiamo facendo? Rimarrai sorpreso, stiamo scrivendo la formula!)

Consideriamo ciò che sappiamo: a1 =2; un 15 =12; e (lo sottolineerò in particolare!) n=15. Sentiti libero di sostituirlo nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo i conti.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, i compiti per un n, un 1 E D deciso. Non resta che imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità a noi note nella formula dell'ennesimo termine:

un n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e una n. Ma UN- questo è un membro della progressione con un numero N...E conosciamo questo membro della progressione! È 99. Non ne conosciamo il numero. N, Quindi questo numero è quello che devi trovare. Sostituiamo il termine della progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 è un membro della progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Scriviamo di nuovo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché ci vengono dati gli occhi?) Vediamo il primo termine della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a1 = -3,6. Differenza D Puoi dirlo dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Quindi, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare il numero sconosciuto N e l'incomprensibile numero 117. Nel problema precedente almeno si sapeva che era il termine della progressione ad essere dato. Ma qui non sappiamo nemmeno... Cosa fare!? Bene, come essere, come essere... Accendi le tue capacità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì, sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è venuto fuori frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari in progressioni non può essere. Quale conclusione possiamo trarre? SÌ! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il centouno e il centoduesimo termine. Se il numero risultasse naturale, ad es. è un numero intero positivo, il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.

Un compito basato su una versione reale del GIA:

Una progressione aritmetica è data dalla condizione:

a n = -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema viene modificata. Il primo termine della progressione aritmetica in esso contenuta nascosto. Va bene, lo troveremo ora.)

Proprio come nei problemi precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:

a1 = -4 + 6,81 = 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Cerchiamo il decimo termine allo stesso modo:

un 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Questo è tutto.

Ed ora, per chi ha letto queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento dell'Esame di Stato o dell'Esame di Stato Unificato, tu abbia dimenticato la formula utile per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ricordo qualcosa, ma in modo incerto... Oppure N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non è molto severo, ma è sicuramente sufficiente per avere fiducia e prendere la decisione giusta!) Per concludere, è sufficiente ricordare il significato elementare di una progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di fare un disegno. Per chiarezza.

Disegna una linea numerica e segna la prima su di essa. secondo, terzo, ecc. membri. E notiamo la differenza D tra i membri. Come questo:

Guardiamo l'immagine e pensiamo: a cosa equivale il secondo termine? Secondo uno D:

UN 2 =a1+ 1 D

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.

UN 3 =a1+ 2 D

Lo capisci? Non per niente evidenzio alcune parole in grassetto. Ok, ancora un passo).

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre D.

UN 4 =a1+ 3 D

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, al numero n, numero di spazi Volere n-1. Pertanto la formula sarà (senza variazioni!):

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile tracciare un'immagine, allora... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non è possibile inserire un'immagine nell'equazione...

Compiti per una soluzione indipendente.

Riscaldarsi:

1. Nella progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 =5,1. Trovane 3.

Suggerimento: secondo l'immagine il problema si risolve in 20 secondi... Secondo la formula risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema viene risolto utilizzando sia l'immagine che la formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. Nella progressione aritmetica (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Trova a 3 .

Cosa, non vuoi fare un disegno?) Certo! Meglio secondo la formula, sì...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questa attività, la progressione è specificata in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti sono capaci di un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del più piccolo termine positivo della progressione.

5. Secondo le condizioni del compito 4, trova la somma dei termini positivi più piccoli e dei termini negativi più grandi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è pari a -2,5, e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è pari a zero. Trova un 14.

Non è il compito più semplice, sì...) Il metodo “fingertip” non funzionerà qui. Dovrai scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Accade. A proposito, c'è un punto sottile nell'ultimo compito. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento di fantasia per il quarto, e il punto sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema che coinvolga la formula dell'ennesimo termine: tutto è descritto. Raccomando.

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Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Somma di una progressione aritmetica.

La somma di una progressione aritmetica è una cosa semplice. Sia nel significato che nella formula. Ma ci sono tutti i tipi di compiti su questo argomento. Da semplice a abbastanza solido.

Innanzitutto, comprendiamo il significato e la formula dell'importo. E poi decideremo. Per il tuo piacere.) Il significato dell'importo è semplice come un muggito. Per trovare la somma di una progressione aritmetica basta sommare con attenzione tutti i suoi termini. Se questi termini sono pochi, puoi aggiungerli senza alcuna formula. Ma se c'è molto, o molto... l'addizione è fastidiosa.) In questo caso la formula viene in soccorso.

La formula per l'importo è semplice:

Scopriamo che tipo di lettere sono incluse nella formula. Questo chiarirà molto le cose.

S n - la somma di una progressione aritmetica. Risultato dell'addizione tutti membri, con Primo Di scorso.È importante. Si sommano esattamente Tutto membri di fila, senza saltare o saltare. E, appunto, a partire da Primo. In problemi come trovare la somma del terzo e dell'ottavo termine, o la somma del quinto e del ventesimo termine, l'applicazione diretta della formula sarà deludente.)

un 1 - Primo membro della progressione. Qui è tutto chiaro, è semplice Primo numero di riga.

UN- scorso membro della progressione. L'ultimo numero della serie. Non è un nome molto familiare, ma se applicato all’importo è molto adatto. Allora lo vedrai tu stesso.

N - numero dell'ultimo membro. È importante capire che nella formula questo numero coincide con il numero di termini aggiunti.

Definiamo il concetto scorso membro UN. Domanda complicata: quale membro sarà l'ultimo se dato infinito progressione aritmetica?)

Per rispondere con sicurezza è necessario comprendere il significato elementare della progressione aritmetica e... leggere attentamente il compito!)

Nel compito di trovare la somma di una progressione aritmetica, l'ultimo termine compare sempre (direttamente o indirettamente), che dovrebbe essere limitato. Altrimenti, un importo finale e specifico semplicemente non esiste. Per la soluzione non importa se la progressione è data: finita o infinita. Non importa come viene dato: una serie di numeri o una formula per l'ennesimo termine.

La cosa più importante è capire che la formula funziona dal primo termine della progressione fino al termine con numero N. In realtà, il nome completo della formula è simile al seguente: la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Il numero di questi primissimi membri, cioè N, è determinato esclusivamente dal compito. In un'attività, tutte queste preziose informazioni sono spesso crittografate, sì... Ma non importa, negli esempi seguenti sveliamo questi segreti.)

Esempi di compiti sulla somma di una progressione aritmetica.

Innanzitutto informazioni utili:

La principale difficoltà nei compiti che comportano la somma di una progressione aritmetica risiede nella corretta determinazione degli elementi della formula.

Gli autori dei compiti crittografano proprio questi elementi con un'immaginazione illimitata.) La cosa principale qui è non avere paura. Comprendendo l'essenza degli elementi, è sufficiente decifrarli semplicemente. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio. Cominciamo con un compito basato su un vero GIA.

1. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a n = 2n-3.5. Trova la somma dei suoi primi 10 termini.

Buon lavoro. Facile.) Per determinare l'importo utilizzando la formula, cosa dobbiamo sapere? Primo membro un 1, ultimo termine UN, sì, il numero dell'ultimo membro N.

Dove posso trovare il numero dell'ultimo membro? N? Sì, proprio lì, a condizione! Dice: trova la somma primi 10 membri. Bene, con che numero sarà? scorso, decimo membro?) Non ci crederai, il suo numero è decimo!) Pertanto, invece di UN Sostituiremo nella formula un 10, e invece N- dieci. Ripeto, il numero dell'ultimo membro coincide con il numero dei soci.

Resta da determinare un 1 E un 10. Questo può essere facilmente calcolato utilizzando la formula per l'ennesimo termine, fornita nella dichiarazione del problema. Non sai come farlo? Frequenta la lezione precedente, senza questa non c'è modo.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S10.

Abbiamo scoperto il significato di tutti gli elementi della formula per la somma di una progressione aritmetica. Non resta che sostituirli e contare:

Questo è tutto. Risposta: 75.

Un altro compito basato sul GIA. Un po' più complicato:

2. Data una progressione aritmetica (a n), la cui differenza è 3,7; a1 =2,3. Trova la somma dei suoi primi 15 termini.

Scriviamo subito la formula della somma:

Questa formula ci consente di trovare il valore di qualsiasi termine in base al suo numero. Cerchiamo una semplice sostituzione:

un 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Resta da sostituire tutti gli elementi della formula con la somma di una progressione aritmetica e calcolare la risposta:

Risposta: 423.

A proposito, se nella formula della somma invece di UN Sostituiamo semplicemente la formula all'ennesimo termine e otteniamo:

Presentiamone di simili e otteniamo una nuova formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica:

Come puoi vedere, l'ennesimo termine non è richiesto qui UN. In alcuni problemi questa formula aiuta molto, sì... Puoi ricordare questa formula. Oppure puoi semplicemente visualizzarlo al momento giusto, come qui. Dopotutto, devi sempre ricordare la formula per la somma e la formula per l'ennesimo termine.)

Ora il compito sotto forma di una breve crittografia):

3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a due cifre che sono multipli di tre.

Oh! Né il tuo primo membro, né l'ultimo, né alcuna progressione... Come vivere!?

Dovrai pensare con la tua testa ed estrarre dalla condizione tutti gli elementi della somma della progressione aritmetica. Sappiamo cosa sono i numeri a due cifre. Sono costituiti da due numeri.) Quale sarà il numero a due cifre Primo? 10, presumibilmente.) A ultima cosa numero a doppia cifra? 99, ovviamente! Quelli a tre cifre lo seguiranno...

Multipli di tre... Hm... Questi sono i numeri divisibili per tre, ecco! Dieci non è divisibile per tre, 11 non è divisibile... 12... è divisibile! Dunque, qualcosa sta emergendo. Puoi già scrivere una serie in base alle condizioni del problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Questa serie sarà una progressione aritmetica? Certamente! Ogni termine differisce dal precedente rigorosamente tre. Se aggiungi 2 o 4 a un termine, ad esempio, il risultato, ad es. il nuovo numero non è più divisibile per 3. Puoi determinare immediatamente la differenza della progressione aritmetica: d = 3. Tornerà utile!)

Quindi, possiamo tranquillamente annotare alcuni parametri di progressione:

Quale sarà il numero? N ultimo membro? Chi pensa che 99 si sbaglia di grosso... I numeri vanno sempre in fila, ma i nostri membri saltano sopra il tre. Non corrispondono.

Ci sono due soluzioni qui. Un modo è per i super laboriosi. Puoi scrivere la progressione, l'intera serie di numeri e contare il numero dei membri con il dito.) Il secondo modo è per i riflessivi. Devi ricordare la formula per l'ennesimo termine. Se applichiamo la formula al nostro problema, troviamo che 99 è il trentesimo termine della progressione. Quelli. n = 30.

Diamo un'occhiata alla formula per la somma di una progressione aritmetica:

Guardiamo e ci rallegriamo.) Abbiamo estratto dalla dichiarazione del problema tutto il necessario per calcolare l'importo:

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S30.

Tutto ciò che resta è l'aritmetica elementare. Sostituiamo i numeri nella formula e calcoliamo:

Risposta: 1665

Un altro tipo di puzzle popolare:

4. Data una progressione aritmetica:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Trova la somma dei termini dal ventesimo al trentaquattro.

Guardiamo la formula per l'importo e... ci arrabbiamo.) La formula, lasciatemelo ricordare, calcola l'importo dal primo membro. E nel problema devi calcolare la somma dal ventesimo... La formula non funzionerà.

Ovviamente puoi scrivere l'intera progressione in una serie e aggiungere termini da 20 a 34. Ma... è in qualche modo stupido e richiede molto tempo, giusto?)

Esiste una soluzione più elegante. Dividiamo la nostra serie in due parti. La prima parte sarà dal primo mandato al diciannovesimo. Seconda parte - dai venti ai trentaquattro.È chiaro che se calcoliamo la somma dei termini della prima parte S 1-19, aggiungiamolo con la somma dei termini della seconda parte S 20-34, si ottiene la somma della progressione dal primo termine al trentaquattresimo S 1-34. Come questo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Da questo possiamo vedere che trovi la somma S 20-34 può essere fatto mediante una semplice sottrazione

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Vengono considerati entrambi gli importi sul lato destro dal primo membro, cioè la formula della somma standard è del tutto applicabile a loro. Iniziamo?

Estraiamo i parametri di progressione dalla dichiarazione del problema:

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Per calcolare la somma dei primi 19 e dei primi 34 termini, avremo bisogno del 19° e del 34° termine. Li calcoliamo utilizzando la formula per l'ennesimo termine, come nel problema 2:

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Non è rimasto niente. Dalla somma di 34 termini sottrai la somma di 19 termini:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Risposta: 262,5

Una nota importante! C'è un trucco molto utile per risolvere questo problema. Invece del calcolo diretto di cosa hai bisogno (S 20-34), abbiamo contato qualcosa che sembrerebbe non necessario - S 1-19. E poi hanno deciso S 20-34, scartando il superfluo dal risultato completo. Questo tipo di “finta con le orecchie” spesso ti salva da problemi malvagi.)

In questa lezione abbiamo affrontato problemi per i quali è sufficiente comprendere il significato della somma di una progressione aritmetica. Bene, devi conoscere un paio di formule.)

Consiglio pratico:

Quando risolvi qualsiasi problema che coinvolga la somma di una progressione aritmetica, consiglio di scrivere immediatamente le due formule principali di questo argomento.

Formula per l'ennesimo termine:

Queste formule ti diranno immediatamente cosa cercare e in quale direzione pensare per risolvere il problema. Aiuta.

E ora i compiti per una soluzione indipendente.

5. Trova la somma di tutti i numeri a due cifre che non sono divisibili per tre.

Bello?) Il suggerimento è nascosto nella nota al problema 4. Bene, il problema 3 aiuterà.

6. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a 1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova la somma dei suoi primi 24 termini.

Insolito?) Questa è una formula ricorrente. Puoi leggerlo nella lezione precedente. Non ignorare il collegamento, tali problemi si riscontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.

7. Vasya ha risparmiato soldi per le vacanze. Fino a 4550 rubli! E ho deciso di regalare alla mia persona preferita (me stesso) qualche giorno di felicità). Vivi magnificamente senza negarti nulla. Spendi 500 rubli il primo giorno e ogni giorno successivo spendi 50 rubli in più rispetto al precedente! Fino a quando i soldi non finiscono. Quanti giorni di felicità ha avuto Vasya?

È difficile?) La formula aggiuntiva dell'attività 2 aiuterà.

Risposte (allo sbando): 7, 3240, 6.

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Se per ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che è dato sequenza numerica :

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .

Quindi, la sequenza numerica è una funzione dell'argomento naturale.

Numero UN 1 chiamato primo termine della sequenza , numero UN 2 — secondo termine della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato ennesimo membro della sequenza e un numero naturale N — il suo numero .

Da due membri adiacenti UN E UN +1 membro della sequenza UN +1 chiamato successivo (in direzione UN ), UN UN — precedente (in direzione UN +1 ).

Per definire una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.

Spesso la sequenza viene specificata utilizzando formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro di una sequenza in base al suo numero.

Per esempio,

una sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula

UN= 2N- 1,

e la sequenza dell'alternanza 1 E -1 - formula

B N = (-1)N +1 . ◄

La sequenza può essere determinata formula ricorrente, cioè una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, fino ai membri precedenti (uno o più).

Per esempio,

Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5

UN 1 = 1,

UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette termini della sequenza numerica si stabiliscono come segue:

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,

UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Le sequenze possono essere finale E infinito .

La sequenza viene chiamata ultimo , se ha un numero finito di membri. La sequenza viene chiamata infinito , se ha infiniti membri.

Per esempio,

sequenza di numeri naturali a due cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finale.

Sequenza di numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

infinito. ◄

La sequenza viene chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.

La sequenza viene chiamata decrescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.

Per esempio,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — sequenza crescente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — sequenza decrescente. ◄

Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono all'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .

Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.

Progressione aritmetica

Progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, al quale viene aggiunto lo stesso numero.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .

è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:

UN +1 = UN + D,

Dove D - un certo numero.

Pertanto, la differenza tra i termini successivi e precedenti di una data progressione aritmetica è sempre costante:

un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.

Numero D chiamato differenza di progressione aritmetica.

Per definire una progressione aritmetica è sufficiente indicarne il primo termine e la differenza.

Per esempio,

Se UN 1 = 3, D = 4 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:

un 1 =3,

un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,

UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e la differenza D suo N

UN = un 1 + (N- 1)D.

Per esempio,

trovare il trentesimo termine della progressione aritmetica

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, D = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (N- 2)D,

UN= un 1 + (N- 1)D,

UN +1 = UN 1 + nd,

poi ovviamente

Ciascun membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedente e successivo.

i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.

Per esempio,

UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.

Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:

UN = 2N- 7,

un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Quindi,

◄

Notare che N L'esimo termine di una progressione aritmetica non si trova solo attraverso UN 1 , ma anche eventuali precedenti un k

UN = un k + (N- K)D.

Per esempio,

Per UN 5 può essere scritto

un 5 = un 1 + 4D,

un 5 = un 2 + 3D,

un 5 = un 3 + 2D,

un 5 = un 4 + D. ◄

UN = un nk + kd,

UN = un n+k - kd,

poi ovviamente

ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è pari alla metà della somma dei membri equidistanti di tale progressione aritmetica.

Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica vale la seguente uguaglianza:

un m + un n = un k + un l,

m + n = k + l.

Per esempio,

nella progressione aritmetica

1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,

Primo N termini di una progressione aritmetica è pari al prodotto della metà della somma dei termini estremi e del numero di termini:

Da qui, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini

un k, un k +1 , . . . , UN,

quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:

Per esempio,

nella progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità UN 1 , UN, D, N ES N collegati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:

• Se D > 0 , allora è in aumento;
• Se D < 0 , allora è in diminuzione;
• Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.

Progressione geometrica

Progressione geometrica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:

b n +1 = b n · Q,

Dove Q ≠ 0 - un certo numero.

Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di una data progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numero Q chiamato denominatore della progressione geometrica.

Per definire una progressione geometrica è sufficiente indicarne il primo termine e il denominatore.

Per esempio,

Se B 1 = 1, Q = -3 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:

b1 = 1,

b2 = b1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 e denominatore Q suo N L'esimo termine può essere trovato utilizzando la formula:

b n = B 1 · qn -1 .

Per esempio,

trovare il settimo termine della progressione geometrica 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b1 · qn -2 ,

b n = b1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

poi ovviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ciascun membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è pari alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedente e successivo.

Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:

i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.

Per esempio,

Dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -32 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:

b n= -32 N,

b n -1 = -32 N -1 ,

b n +1 = -32 N +1 .

Quindi,

b n 2 = (-32 N)2 = (-32 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

che dimostra l'affermazione desiderata. ◄

Notare che N L'esimo termine di una progressione geometrica non può essere trovato solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi membro precedente bk , per il quale è sufficiente utilizzare la formula

b n = bk · qn - K.

Per esempio,

Per B 5 può essere scritto

b5 = b1 · Q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · Q. ◄

b n = bk · qn - K,

b n = b n - K · qk,

poi ovviamente

b n 2 = b n - K· b n + K

il quadrato di qualsiasi termine di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei termini di tale progressione equidistanti da esso.

Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica vale l’uguaglianza:

b m· b n= bk· b l,

M+ N= K+ l.

Per esempio,

in progressione geometrica

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Primo N membri di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato con la formula:

E quando Q = 1 - secondo la formula

S n= n.b 1

Tieni presente che se devi sommare i termini

bk, bk +1 , . . . , b n,

allora si usa la formula:

Per esempio,

in progressione geometrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità B 1 , b n, Q, N E S n collegati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avviene quanto segue proprietà di monotonia :

• la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E Q> 1;

B 1 < 0 E 0 < Q< 1;

• La progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E 0 < Q< 1;

B 1 < 0 E Q> 1.

Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata: i suoi termini con numeri dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini con numeri pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.

Prodotto del primo N i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati utilizzando la formula:

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · b n = (b1 · b n) N / 2 .

Per esempio,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressione geometrica infinitamente decrescente

Progressione geometrica infinitamente decrescente chiamata progressione geometrica infinita il cui modulo del denominatore è inferiore 1 , questo è

|Q| < 1 .

Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Si adatta all'occasione

1 < Q< 0 .

Con un tale denominatore, la sequenza è alternata. Per esempio,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui si avvicina senza limite la somma dei primi N membri di una progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula

Per esempio,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relazione tra progressioni aritmetiche e geometriche

Le progressioni aritmetiche e geometriche sono strettamente correlate. Consideriamo solo due esempi.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . D , Quello

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Per esempio,

1, 3, 5, . . . - progressione aritmetica con differenza 2 E

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progressione geometrica con denominatore 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - progressione geometrica con denominatore Q , Quello

log a b 1, log a b 2, registrare un b 3, . . . - progressione aritmetica con differenza registrare unQ .

Per esempio,

2, 12, 72, . . . - progressione geometrica con denominatore 6 E

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressione aritmetica con differenza lg 6 . ◄

La matematica ha una sua bellezza, proprio come la pittura e la poesia.

Scienziato russo, meccanico N.E. Zhukovsky

Problemi molto comuni negli esami di ammissione in matematica sono problemi legati al concetto di progressione aritmetica. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario avere una buona conoscenza delle proprietà della progressione aritmetica e possedere determinate competenze nella loro applicazione.

Ricordiamo innanzitutto le proprietà fondamentali di una progressione aritmetica e presentiamo le formule più importanti, associato a questo concetto.

Definizione. Sequenza numerica, in cui ogni termine successivo differisce dal precedente per lo stesso numero, chiamata progressione aritmetica. In questo caso il numerochiamata differenza di progressione.

Per una progressione aritmetica valgono le seguenti formule:

, (1)

Dove . La formula (1) è detta formula del termine generale di una progressione aritmetica, e la formula (2) rappresenta la proprietà principale di una progressione aritmetica: ciascun termine della progressione coincide con la media aritmetica dei termini vicini e .

Si noti che è proprio per questa proprietà che la progressione in esame viene chiamata “aritmetica”.

Le formule di cui sopra (1) e (2) sono generalizzate come segue:

(3)

Per calcolare l'importo Primo termini di una progressione aritmeticadi solito viene utilizzata la formula

(5) dove e .

Se prendiamo in considerazione la formula (1), quindi dalla formula (5) segue

Se denotiamo , allora

Dove . Poiché , le formule (7) e (8) sono una generalizzazione delle corrispondenti formule (5) e (6).

In particolare , dalla formula (5) segue, Che cosa

Poco nota alla maggior parte degli studenti è la proprietà della progressione aritmetica, formulata attraverso il seguente teorema.

Teorema. Se poi

Prova. Se poi

Il teorema è stato dimostrato.

Per esempio , utilizzando il teorema, lo si può dimostrare

Passiamo a considerare esempi tipici di risoluzione di problemi sull'argomento "Progressione aritmetica".

Esempio 1. Lascia fare. Trovare .

Soluzione. Applicando la formula (6), otteniamo . Da e , allora o .

Esempio 2. Lascia che sia tre volte maggiore e, diviso per il quoziente, il risultato è 2 e il resto è 8. Determina e .

Soluzione. Dalle condizioni dell'esempio segue il sistema di equazioni

Poiché , , e , quindi dal sistema di equazioni (10) otteniamo

La soluzione di questo sistema di equazioni è e .

Esempio 3. Trova se e .

Soluzione. Secondo la formula (5) abbiamo o . Tuttavia, utilizzando la proprietà (9), otteniamo .

Da e , quindi dall'uguaglianza segue l'equazione O .

Esempio 4. Trova se.

Soluzione.Secondo la formula (5) abbiamo

Tuttavia, utilizzando il teorema, possiamo scrivere

Da qui e dalla formula (11) otteniamo .

Esempio 5. Dato: . Trovare .

Soluzione. Da allora. Tuttavia, quindi.

Esempio 6. Lasciamo , e . Trovare .

Soluzione. Usando la formula (9), otteniamo . Pertanto, se , allora o .

Dal e allora qui abbiamo un sistema di equazioni

Risolvendolo, otteniamo e .

Radice naturale dell'equazioneÈ .

Esempio 7. Trova se e .

Soluzione. Poiché secondo la formula (3) abbiamo quello , il sistema di equazioni segue dalle condizioni del problema

Se sostituiamo l'espressionenella seconda equazione del sistema, quindi otteniamo o .

Le radici di un'equazione quadratica sono E .

Consideriamo due casi.

1. Sia , allora . Da allora e poi.

In questo caso, secondo la formula (6), abbiamo

2. Se , allora , e

Risposta: e.

Esempio 8.È noto che e. Trovare .

Soluzione. Tenendo conto della formula (5) e della condizione dell'esempio, scriviamo e .

Ciò implica il sistema di equazioni

Se moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 2 e poi la aggiungiamo alla seconda equazione, otteniamo

Secondo la formula (9) abbiamo. A questo proposito, risulta dalla (12) O .

Da allora e poi.

Risposta: .

Esempio 9. Trova se e .

Soluzione. Poiché , e per condizione , allora o .

Dalla formula (5) è noto, Che cosa . Da allora.

Quindi , qui abbiamo un sistema di equazioni lineari

Da qui otteniamo e . Tenendo conto della formula (8), scriviamo .

Esempio 10. Risolvi l'equazione.

Soluzione. Dall'equazione data segue che . Supponiamo che , , e . In questo caso .

Secondo la formula (1), possiamo scrivere o .

Poiché , allora l'equazione (13) ha l'unica radice adatta .

Esempio 11. Trovare il valore massimo a condizione che e .

Soluzione. Da , allora la progressione aritmetica considerata è decrescente. A questo proposito l'espressione assume il suo valore massimo quando è il numero del minimo termine positivo della progressione.

Usiamo la formula (1) e il fatto, quello e . Quindi otteniamo quello o .

Dal , allora o . Tuttavia, in questa disuguaglianzanumero naturale più grande, Ecco perché .

Se i valori di , e vengono sostituiti nella formula (6), otteniamo .

Risposta: .

Esempio 12. Determina la somma di tutti i numeri naturali a due cifre che, divisi per il numero 6, lasciano come resto 5.

Soluzione. Indichiamo con l'insieme di tutti i numeri naturali a due cifre, cioè . Successivamente, costruiremo un sottoinsieme costituito da quegli elementi (numeri) dell'insieme che, divisi per il numero 6, danno come resto 5.

Facile da installare, Che cosa . Ovviamente , che gli elementi dell'insiemeformano una progressione aritmetica, in cui e .

Per stabilire la cardinalità (numero di elementi) dell'insieme, assumiamo che . Poiché e , segue dalla formula (1) o . Tenendo conto della formula (5), otteniamo .

Gli esempi di risoluzione dei problemi sopra riportati non possono in alcun modo pretendere di essere esaustivi. Questo articolo è scritto sulla base di un'analisi dei metodi moderni per risolvere problemi tipici su un determinato argomento. Per uno studio più approfondito dei metodi di risoluzione dei problemi legati alla progressione aritmetica si consiglia di fare riferimento all'elenco della letteratura consigliata.

1. Raccolta di problemi di matematica per i candidati alle università / Ed. MI. Scanavi. – M.: Pace ed educazione, 2013. – 608 pag.

2. Superare il V.P. Matematica per gli studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive del curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. – 216 pag.

3. Medynsky M.M. Un corso completo di matematica elementare in problemi ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Editus, 2015. – 208 pag.

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