Numeri per trovare nok. Come trovare il minimo comune multiplo, nok per due o più numeri

Trovare il NOC

Per trovare Comune denominatore Quando addizioni e sottrai frazioni con denominatori diversi, devi conoscere ed essere in grado di calcolare minimo comune multiplo (LCM).

Un multiplo di a è un numero a sua volta divisibile per a senza resto.
Numeri multipli di 8 (cioè questi numeri sono divisibili per 8 senza resto): questi sono i numeri 16, 24, 32...
Multipli di 9: 18, 27, 36, 45...

Esistono infiniti multipli di un dato numero a, a differenza dei divisori dello stesso numero. Esiste un numero finito di divisori.

Un multiplo comune di due numeri naturali è un numero divisibile per entrambi questi numeri.

Il minimo comune multiplo (MCM) di due o più numeri naturali è il più piccolo numero naturale a sua volta divisibile per ciascuno di questi numeri.

Come trovare NOC
LCM può essere trovato e scritto in due modi.

Il primo modo per trovare il LOC
Questo metodo viene solitamente utilizzato per numeri piccoli.
1. Annota i multipli di ciascun numero su una riga finché non trovi un multiplo uguale per entrambi i numeri.
2. Un multiplo di a è indicato con la lettera maiuscola “K”.

K(a) = (...,...)
Esempio. Trova LOC 6 e 8.
K (6) = (12, 18, 24, 30, ...)

K(8) = (8, 16, 24, 32, ...)

MCM(6, 8) = 24

Il secondo modo per trovare il LOC
Questo metodo è comodo da utilizzare per trovare l'LCM per tre o più numeri.
1. Dividi i numeri indicati in semplice moltiplicatori Puoi leggere ulteriori informazioni sulle regole per la fattorizzazione dei fattori primi nell'argomento Come trovare il massimo comun divisore (MCD).

2. Annota su una riga i fattori inclusi nello sviluppo il più grande di numeri, e sotto c'è la scomposizione dei numeri rimanenti.

Il numero di fattori identici nelle scomposizioni dei numeri può essere diverso.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. Enfatizzare nella scomposizione meno numeri (numeri più piccoli) fattori che non sono stati inclusi nell'espansione del numero più grande (nel nostro esempio è 2) e aggiungi questi fattori all'espansione del numero più grande.
MCM(24, 60) = 2. 2. 3. 5 . 2
4. Annota il prodotto risultante come risposta.
Risposta: MCM (24, 60) = 120

Puoi anche formalizzare la ricerca del minimo comune multiplo (LCM) come segue. Troviamo la LOC (12, 16, 24).

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

Come vediamo dalla scomposizione dei numeri, tutti i fattori di 12 sono inclusi nella scomposizione di 24 (il più grande dei numeri), quindi aggiungiamo solo un 2 dalla scomposizione del numero 16 al MCM.
MCM(12, 16, 24) = 2. 2. 2. 3. 2 = 48
Risposta: MCM (12, 16, 24) = 48

Casi particolari di ritrovamento di un NPL
1. Se uno dei numeri è divisibile per gli altri, il minimo comune multiplo di questi numeri è uguale a questo numero.
Ad esempio, MCM (60, 15) = 60
2. Poiché i numeri relativamente primi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri.
Esempio.
MCM(8, 9) = 72

Consideriamo di risolvere il seguente problema. Il passo del ragazzo è di 75 cm e quello della ragazza è di 60 cm È necessario trovare la distanza più piccola alla quale entrambi fanno un numero intero di passi.

Soluzione. L'intero percorso che i bambini percorreranno dovrà essere divisibile per 60 e 70, poiché ciascuno di essi dovrà compiere un numero intero di passi. In altre parole, la risposta deve essere un multiplo sia di 75 che di 60.

Per prima cosa annoteremo tutti i multipli del numero 75. Otteniamo:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ora scriviamo i numeri che saranno multipli di 60. Otteniamo:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ora troviamo i numeri che sono in entrambe le righe.

I multipli comuni dei numeri sarebbero 300, 600, ecc.

Il più piccolo è il numero 300. In questo caso verrà chiamato minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.

Tornando alla condizione del problema, la distanza minima alla quale i ragazzi faranno un numero intero di passi sarà di 300 cm, il ragazzo percorrerà questo percorso in 4 passi e la ragazza dovrà fare 5 passi.

Determinazione del minimo comune multiplo

Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b è il più piccolo numero naturale che sia multiplo sia di a che di b.

Per trovare il minimo comune multiplo di due numeri non è necessario scrivere tutti i multipli di questi numeri in una riga.

È possibile utilizzare il seguente metodo.

Come trovare il minimo comune multiplo

Per prima cosa devi scomporre questi numeri in fattori primi.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Ora annotiamo tutti i fattori presenti nell'espansione del primo numero (2,2,3,5) e aggiungiamo ad essi tutti i fattori mancanti nell'espansione del secondo numero (5).

Di conseguenza, otteniamo una serie di numeri primi: 2,2,3,5,5. Il prodotto di questi numeri sarà il minimo comune divisore per questi numeri. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generale per trovare il minimo comune multiplo

1. Dividi i numeri in fattori primi.
2. Annota i fattori primi che fanno parte di uno di essi.
3. Aggiungere a questi fattori tutti quelli che sono nell'espansione degli altri, ma non in quello selezionato.
4. Trova il prodotto di tutti i fattori scritti.

Questo metodo è universale. Può essere utilizzato per trovare il minimo comune multiplo di qualsiasi numero di numeri naturali.

Il minimo comune multiplo di due numeri è direttamente correlato al massimo comun divisore di tali numeri. Questo connessione tra GCD e NOCè determinata dal seguente teorema.

Teorema.

Il minimo comune multiplo di due interi positivi a e b è uguale al prodotto di a e b diviso per il massimo comun divisore di a e b, cioè LCM(a, b)=a b:MCD(a, b).

Prova.

Permettere M è un multiplo dei numeri a e b. Cioè, M è divisibile per a, e per la definizione di divisibilità, esiste un intero k tale che l'uguaglianza M=a·k è vera. Ma M è divisibile anche per b, allora a·k è divisibile per b.

Indichiamo mcd(a, b) come d. Allora possiamo scrivere le uguaglianze a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:d e b 1 =b:d saranno numeri primi relativi. Di conseguenza, la condizione ottenuta nel paragrafo precedente che a · k è divisibile per b può essere riformulata come segue: a 1 · d · k è diviso per b 1 · d , e questo, per le proprietà di divisibilità, equivale alla condizione che a 1 · k è divisibile per b 1 .

Occorre inoltre annotare due importanti corollari del teorema considerato.

I multipli comuni di due numeri sono uguali ai multipli del loro minimo comune multiplo.

In effetti è così, poiché qualsiasi multiplo comune di M dei numeri aeb è determinato dall'uguaglianza M=LMK(a, b)·t per un valore intero t.

Il minimo comune multiplo di numeri positivi primi tra loro a e b è uguale al loro prodotto.

La ragione di questo fatto è abbastanza ovvia. Poiché a e b sono primi tra loro, allora mcd(a, b)=1, quindi, MCD(a, b)=a b: MCD(a, b)=a b:1=a b.

Minimo comune multiplo di tre o più numeri

Trovare il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere ridotto alla ricerca sequenziale del MCM di due numeri. Come ciò avvenga è indicato nel seguente teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidono con i multipli comuni dei numeri m k-1 e a k, quindi, coincidono con i multipli comuni del numero m k . E poiché il più piccolo multiplo positivo del numero m k è il numero m k stesso, allora il più piccolo multiplo comune dei numeri a 1, a 2, ..., a k è m k.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya. e altri.Matematica. 6a elementare: libro di testo per istituti di istruzione generale.
Vinogradov I.M. Fondamenti di teoria dei numeri.
Mikhelovich Sh.H. Teoria dei numeri.
Kulikov L.Ya. e altri Raccolta di problemi di algebra e teoria dei numeri: libro di testo per studenti di fisica e matematica. specialità degli istituti pedagogici.

Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. Il minimo comune multiplo (LCM) di un gruppo di numeri è il numero più piccolo divisibile per ciascun numero del gruppo senza lasciare resto. Per trovare il minimo comune multiplo è necessario trovare i fattori primi di determinati numeri. L'LCM può anche essere calcolato utilizzando una serie di altri metodi che si applicano a gruppi di due o più numeri.

Passi

Serie di multipli

Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è inferiore a 10. Se vengono forniti numeri più grandi, utilizzare un metodo diverso.

Ad esempio, trova il minimo comune multiplo di 5 e 8. Questi sono numeri piccoli, quindi puoi utilizzare questo metodo.

Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. I multipli si trovano nella tavola pitagorica.
- Ad esempio, i numeri multipli di 5 sono: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Scrivi una serie di numeri multipli del primo numero. Fallo sotto i multipli del primo numero per confrontare due serie di numeri.
- Ad esempio, i numeri multipli di 8 sono: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.
Trova il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli. Potrebbe essere necessario scrivere lunghe serie di multipli per trovare il numero totale. Il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli è il minimo comune multiplo.
- Ad esempio, il numero più piccolo che appare nella serie dei multipli di 5 e 8 è il numero 40. Pertanto, 40 è il minimo comune multiplo di 5 e 8.
fattorizzazione in numeri primi
1. Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è maggiore di 10. Se vengono forniti numeri più piccoli, utilizzare un metodo diverso.
  - Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 20 e 84. Ciascun numero è maggiore di 10, quindi puoi utilizzare questo metodo.
2. Fattorizzare in fattori primi primo numero. Cioè, devi trovare numeri primi che, una volta moltiplicati, daranno come risultato un determinato numero. Una volta trovati i fattori primi, scrivili come uguaglianze.
  
  Fattorizza il secondo numero in fattori primi. Fallo nello stesso modo in cui hai scomposto il primo numero, cioè trova i numeri primi che, una volta moltiplicati, produrranno il numero dato.
  
  Scrivi i fattori comuni a entrambi i numeri. Scrivi tali fattori come un'operazione di moltiplicazione. Mentre scrivi ciascun fattore, cancellalo in entrambe le espressioni (espressioni che descrivono la fattorizzazione dei numeri in fattori primi).
  
  Aggiungi i restanti fattori all'operazione di moltiplicazione. Si tratta di fattori che non vengono cancellati in entrambe le espressioni, cioè di fattori che non sono comuni a entrambi i numeri.
  
  Calcola il minimo comune multiplo. Per fare ciò, moltiplica i numeri nell'operazione di moltiplicazione scritta.
Trovare fattori comuni
1. Trova il divisore comune ad entrambi i numeri. Scrivilo nella prima riga e nella prima colonna. È meglio cercare i fattori primi, ma questo non è un requisito.
  - Ad esempio, 18 e 30 sono numeri pari, quindi il loro divisore comune è 2. Quindi scrivi 2 nella prima riga e nella prima colonna.
2. Dividi ogni numero per il primo divisore. Scrivi ciascun quoziente sotto il numero appropriato. Un quoziente è il risultato della divisione di due numeri.
  
  Trova il divisore comune ad entrambi i quozienti. Se non esiste un tale divisore, salta i due passaggi successivi. Altrimenti scrivi il divisore nella seconda riga e nella prima colonna.
  - Ad esempio, 9 e 15 sono divisibili per 3, quindi scrivi 3 nella seconda riga e nella prima colonna.
3. Dividi ciascun quoziente per il suo secondo divisore. Scrivi il risultato di ogni divisione sotto il quoziente corrispondente.
  
  Se necessario, aggiungi ulteriori celle alla griglia. Ripeti i passaggi descritti finché i quozienti non hanno un divisore comune.
  
  Cerchia i numeri nella prima colonna e nell'ultima riga della griglia. Quindi scrivi i numeri selezionati come operazione di moltiplicazione.
Algoritmo di Euclide

Continuiamo la conversazione sul minimo comune multiplo, che abbiamo iniziato nella sezione "LCM - minimo comune multiplo, definizione, esempi". In questo argomento esamineremo i modi per trovare l'LCM di tre o più numeri e esamineremo la questione su come trovare l'LCM di un numero negativo.

Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite GCD

Abbiamo già stabilito la relazione tra il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore. Ora impariamo come determinare l'LCM tramite GCD. Per prima cosa, vediamo come farlo per i numeri positivi.

Definizione 1

Puoi trovare il minimo comune multiplo attraverso il massimo comune divisore utilizzando la formula MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).

Esempio 1

Devi trovare l'LCM dei numeri 126 e 70.

Soluzione

Prendiamo a = 126, b = 70. Sostituiamo i valori nella formula per calcolare il minimo comune multiplo attraverso il massimo comun divisore MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Trova il mcd dei numeri 70 e 126. Per questo abbiamo bisogno dell'algoritmo euclideo: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, quindi MCD (126 , 70) = 14 .

Calcoliamo il LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Risposta: MCM(126, 70) = 630.

Esempio 2

Trova il numero 68 e 34.

Soluzione

Il MCD in questo caso non è difficile da trovare, poiché 68 è divisibile per 34. Calcoliamo il minimo comune multiplo utilizzando la formula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Risposta: MCM(68, 34) = 68.

In questo esempio, abbiamo utilizzato la regola per trovare il minimo comune multiplo degli interi positivi a e b: se il primo numero è divisibile per il secondo, il MCM di quei numeri sarà uguale al primo numero.

Trovare il LCM fattorizzando i numeri in fattori primi

Ora diamo un'occhiata al metodo per trovare l'LCM, che si basa sulla fattorizzazione dei numeri in fattori primi.

Definizione 2

Per trovare il minimo comune multiplo dobbiamo eseguire alcuni semplici passaggi:

componiamo il prodotto di tutti i fattori primi dei numeri per i quali dobbiamo trovare il MCM;
escludiamo tutti i fattori primi dai loro prodotti risultanti;
il prodotto ottenuto dopo aver eliminato i fattori primi comuni sarà uguale al MCM dei numeri dati.

Questo metodo per trovare il minimo comune multiplo si basa sull'uguaglianza MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b). Se guardi la formula, diventerà chiaro: il prodotto dei numeri aeb è uguale al prodotto di tutti i fattori che partecipano alla scomposizione di questi due numeri. In questo caso, il MCD di due numeri è uguale al prodotto di tutti i fattori primi presenti contemporaneamente nella fattorizzazione di questi due numeri.

Esempio 3

Abbiamo due numeri 75 e 210. Possiamo fattorizzarli come segue: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Se componi il prodotto di tutti i fattori dei due numeri originali, ottieni: 2 3 3 5 5 5 7.

Se escludiamo i fattori comuni ai numeri 3 e 5, otteniamo un prodotto della forma seguente: 2 3 5 5 7 = 1050. Questo prodotto sarà il nostro LCM per i numeri 75 e 210.

Esempio 4

Trova il LCM dei numeri 441 E 700 , fattorizzando entrambi i numeri in fattori primi.

Soluzione

Troviamo tutti i fattori primi dei numeri indicati nella condizione:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otteniamo due catene di numeri: 441 = 3 3 7 7 e 700 = 2 2 5 5 7.

Il prodotto di tutti i fattori che hanno partecipato alla scomposizione di questi numeri avrà la forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Troviamo i fattori comuni. Questo è il numero 7. Escludiamolo dal prodotto totale: 2 2 3 3 5 5 7 7. Si scopre che NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Risposta: LOC(441, 700) = 44.100.

Diamo un'altra formulazione del metodo per trovare il MCM scomponendo i numeri in fattori primi.

Definizione 3

In precedenza, abbiamo escluso dal numero totale i fattori comuni a entrambi i numeri. Ora lo faremo diversamente:

Scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi:
aggiungi al prodotto dei fattori primi del primo numero i fattori mancanti del secondo numero;
otteniamo il prodotto, che sarà il MCM desiderato di due numeri.

Esempio 5

Torniamo ai numeri 75 e 210, per i quali abbiamo già cercato l'LCM in uno degli esempi precedenti. Suddividiamoli in semplici fattori: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Al prodotto dei fattori 3, 5 e 5 i numeri 75 aggiungono i fattori mancanti 2 E 7 numeri 210. Noi abbiamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Questo è il LCM dei numeri 75 e 210.

Esempio 6

È necessario calcolare il LCM dei numeri 84 e 648.

Soluzione

Scomponiamo i numeri della condizione in fattori semplici: 84 = 2 2 3 7 E 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Aggiungiamo al prodotto i fattori 2, 2, 3 e 7 numeri 84 fattori mancanti 2, 3, 3 e
3 numeri 648. Otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Questo è il minimo comune multiplo tra 84 e 648.

Risposta: VLCM(84, 648) = 4.536.

Trovare il MCM di tre o più numeri

Indipendentemente dal numero di numeri con cui abbiamo a che fare, l'algoritmo delle nostre azioni sarà sempre lo stesso: troveremo in sequenza il MCM di due numeri. C'è un teorema per questo caso.

Teorema 1

Supponiamo di avere numeri interi un 1 , un 2 , ... , un k. NOC m k questi numeri si trovano calcolando in sequenza m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Vediamo ora come applicare il teorema per risolvere problemi specifici.

Esempio 7

Devi calcolare il minimo comune multiplo di quattro numeri 140, 9, 54 e 250 .

Soluzione

Introduciamo la notazione: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Cominciamo calcolando m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Applichiamo l'algoritmo euclideo per calcolare il MCD dei numeri 140 e 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Otteniamo: MCD (140, 9) = 1, MCD (140, 9) = 140 9: MCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Pertanto, m2 = 1.260.

Ora calcoliamo utilizzando lo stesso algoritmo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Durante i calcoli otteniamo m 3 = 3 780.

Non ci resta che calcolare m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Seguiamo lo stesso algoritmo. Otteniamo m 4 = 94 500.

L'LCM dei quattro numeri della condizione di esempio è 94500.

Risposta: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Come puoi vedere, i calcoli sono semplici, ma piuttosto laboriosi. Per risparmiare tempo, puoi andare in un altro modo.

Definizione 4

Ti offriamo il seguente algoritmo di azioni:

scomponiamo tutti i numeri in fattori primi;
al prodotto dei fattori del primo numero aggiungiamo i fattori mancanti dal prodotto del secondo numero;
al prodotto ottenuto nella fase precedente aggiungiamo i fattori mancanti del terzo numero, ecc.;
il prodotto risultante sarà il minimo comune multiplo di tutti i numeri della condizione.

Esempio 8

Devi trovare l'LCM di cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.

Soluzione

Scomponiamo tutti e cinque i numeri in fattori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. I numeri primi, ovvero il numero 7, non possono essere scomposti in fattori primi. Tali numeri coincidono con la loro scomposizione in fattori primi.

Ora prendiamo il prodotto dei fattori primi 2, 2, 3 e 7 del numero 84 e aggiungiamo ad essi i fattori mancanti del secondo numero. Abbiamo scomposto il numero 6 in 2 e 3. Questi fattori sono già nel prodotto del primo numero. Pertanto li omettiamo.

Continuiamo ad aggiungere i moltiplicatori mancanti. Passiamo al numero 48, dal prodotto dei cui fattori primi prendiamo 2 e 2. Poi aggiungiamo il fattore primo di 7 del quarto numero e i divisori di 11 e 13 del quinto. Otteniamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Questo è il minimo comune multiplo dei cinque numeri originali.

Risposta: VLCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Trovare il minimo comune multiplo dei numeri negativi

Per trovare il minimo comune multiplo dei numeri negativi, questi numeri devono prima essere sostituiti da numeri con il segno opposto, quindi i calcoli devono essere eseguiti utilizzando gli algoritmi sopra indicati.

Esempio 9

VMC (54, − 34) = VMC (54, 34) e VMC (− 622, − 46, − 54, − 888) = VMC (622, 46, 54, 888).

Tali azioni sono consentite perché se lo accettiamo UN E − a– numeri opposti,
quindi l'insieme dei multipli di un numero UN corrisponde all'insieme dei multipli di un numero − a.

Esempio 10

È necessario calcolare il LCM dei numeri negativi − 145 E − 45 .

Soluzione

Sostituiamo i numeri − 145 E − 45 ai loro numeri opposti 145 E 45 . Ora, utilizzando l'algoritmo, calcoliamo il MCM (145, 45) = 145 · 45: MCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, avendo precedentemente determinato il MCD utilizzando l'algoritmo euclideo.

Otteniamo che il LCM dei numeri è − 145 e − 45 equivale 1 305 .

Risposta: LCM (-145, -45) = 1.305.

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