Casi particolari di portare al centro un sistema spaziale arbitrario di forze. Casi di riduzione alla forma più semplice. Forme delle equazioni di equilibrio di un sistema piano di forze

Siano applicate contemporaneamente ad un corpo rigido più coppie di forze con momenti agenti su piani diversi. È possibile ridurre questo sistema di coppie ad una forma più semplice? Risulta che è possibile, e la risposta è suggerita dal seguente teorema sull'addizione di due coppie.

Teorema. Due coppie di forze agenti su piani diversi equivalgono a una coppia di forze con momento pari alla somma geometrica dei momenti delle coppie date.

Lasciamo che le coppie siano definite dai loro momenti e (Fig. 36, a). Costruiamo due piani perpendicolari a questi vettori (il piano d'azione delle coppie) e, scegliendo un certo segmento AB sulla linea di intersezione dei piani per la spalla comune ad entrambe le coppie, costruiremo le coppie corrispondenti: (Fig. 36, b).

In accordo con la definizione del momento di una coppia, possiamo scrivere

Nei punti A e B abbiamo forze convergenti. Applicando la regola del parallelogramma delle forze (assioma 3), avremo:

Le coppie date risultano equivalenti a due forze, che formano anch'esse una coppia. La prima parte del teorema è quindi dimostrata. La seconda parte del teorema è dimostrata dal calcolo diretto del momento della coppia risultante:

Se ci sono più coppie, sommandole a coppie secondo questo teorema, qualsiasi numero di coppie può essere ridotto a una coppia. Di conseguenza, arriviamo alla seguente conclusione: un insieme (sistema) di coppie di forze applicate a un corpo assolutamente rigido può essere ridotto a una coppia con un momento pari alla somma geometrica dei momenti di tutte le coppie date.

Matematicamente, questo può essere scritto come segue:

Nella fig. La Figura 37 fornisce un'illustrazione geometrica della conclusione risultante.

Per l'equilibrio delle coppie di forze, è necessario che il momento della coppia risultante sia uguale a zero, il che porta all'uguaglianza

Questa condizione può essere espressa in forma geometrica e analitica. Condizione geometrica per l'equilibrio di coppie di forze: affinché un sistema di coppie di forze sia in equilibrio è necessario e sufficiente che il poligono vettoriale costruito dai momenti di tutte le coppie sia chiuso.

Condizione analitica per l'equilibrio delle coppie di forze: affinché un sistema di coppie di forze sia in equilibrio, è necessario e sufficiente che le somme algebriche delle proiezioni dei vettori momento di tutte le coppie sugli assi coordinati Oxyz scelti arbitrariamente siano uguali a zero:

Se tutte le coppie giacciono sullo stesso piano, cioè formano un sistema piatto di coppie, si ottiene solo una condizione di equilibrio analitico: la somma dei momenti algebrici delle coppie è uguale a zero.

Domande di autotest

1. Qual è la regola del poligono forza? A cosa serve il poligono della forza?

2. Come trovare analiticamente la risultante delle forze convergenti?

3. Qual è la condizione geometrica per l'equilibrio delle forze convergenti? Come si formula analiticamente questa stessa condizione?

4. Enuncia il teorema delle tre forze.

5. Quali problemi statici sono detti staticamente definiti e quali sono detti staticamente indeterminati? Fornire un esempio di problema staticamente indeterminato.

6. Cos'è chiamata una coppia di forze?

7. Cos'è chiamato momento (momento-vettore) di una coppia di forze? Quali sono la direzione, la grandezza e il punto di applicazione del momento?

8. Qual è il cosiddetto momento algebrico di una coppia?

9. Formulare una regola per aggiungere coppie posizionate arbitrariamente nello spazio.

10. Quali sono le condizioni vettoriali, geometriche e analitiche per l'equilibrio di un sistema di coppie di forze?

Il principale teorema della statica sul portare un sistema arbitrario di forze in un dato centro: Qualsiasi sistema piano di forze è equivalente a una forza uguale al vettore principale del sistema applicato in un punto (centro di riduzione) e una coppia di forze, il cui momento è uguale al momento principale delle forze del sistema relativo al centro di riduzione.

La dimostrazione del teorema viene eseguita nella seguente sequenza: selezionare un certo punto (ad esempio un punto DI) come centro di riduzione e trasferire ciascuna forza a questo punto, sommando, secondo il teorema del trasferimento parallelo delle forze, le corrispondenti coppie di forze. Di conseguenza, si ottiene un sistema di forze convergenti applicate nel punto DI, dove , e un sistema di coppie di forze aggiunte i cui momenti sono . Quindi il sistema di forze convergenti viene sostituito da una risultante uguale al vettore principale del sistema e il sistema di coppie di forze viene sostituito da una coppia di forze con un momento pari al momento principale del sistema rispetto al centro di riduzione . Di conseguenza, otteniamo che ~. Pertanto il teorema è dimostrato.

Casi di riduzione del sistema spaziale di forze alla forma più semplice:

1, a – il sistema è ridotto a una coppia di forze con un momento pari al momento principale del sistema, e il valore del momento principale del sistema non dipende dalla scelta del centro di riduzione.

2, a – il sistema di forze si riduce ad una risultante pari al vettore principale del sistema, la cui linea d'azione passa per il centro O della riduzione.

3, e – tale sistema di forze è ridotto ad una risultante, uguale al vettore principale del sistema, la cui linea d'azione è spostata di una distanza dal precedente centro di riduzione.

4 Se il vettore principale e il momento principale sono , allora il sistema di forze sarà equilibrato, cioè ~0.

2.1.5 Condizioni di equilibrio per un sistema piano di forze

Le condizioni necessarie e sufficienti per l'equilibrio di qualsiasi sistema piano di forze sono determinate dalle equazioni:

L'entità del vettore principale di un sistema piano di forze è determinata dalle dipendenze: , e il momento principale dalla dipendenza .

Il vettore principale sarà uguale a zero solo quando simultaneamente . Di conseguenza, le condizioni di equilibrio sono soddisfatte quando sono soddisfatte le seguenti equazioni analitiche:

Queste equazioni sono le fondamentali ( Primo ) la forma delle condizioni analitiche per l'equilibrio di un sistema di forze piano arbitrario, che sono formulate come segue: per l'equilibrio di un sistema di forze piano arbitrario, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di tutte le forze su ciascuno dei due assi coordinati e la somma algebrica dei momenti di queste forze relativi a qualsiasi punto del piano di forze l'azione delle forze è pari a zero.

Si noti che il numero di equazioni di equilibrio per un sistema di forze piano arbitrario nel caso generale è tre. Possono essere presentati in diverse forme.

Esistono altre due forme di equazioni di equilibrio per un sistema di forze piano arbitrario, il cui adempimento esprime le condizioni di equilibrio ().

Secondo la forma delle condizioni di equilibrio analitico prevede: Per l'equilibrio di un sistema di forze piano arbitrario, è necessario e sufficiente che la somma dei momenti di tutte le forze relativi a due punti e la somma delle proiezioni di queste forze su un asse non perpendicolare alla retta passante per questi i punti sono uguali a zero:

(linea AB non perpendicolare all'asse OH)

Formuliamo terzo la forma delle condizioni analitiche per l'equilibrio del sistema di forze in esame: per l'equilibrio di un sistema di forze piano arbitrario, è necessario e sufficiente che la somma dei momenti delle forze del sistema relativi a tre punti qualsiasi non giacenti sulla stessa retta sia uguale a zero:

Nel caso di un sistema piano di forze parallele, è possibile dirigere l'asse UO parallelamente alle forze del sistema. Quindi le proiezioni di ciascuna delle forze del sistema sull'asse OH sarà uguale a zero. Di conseguenza, per un sistema piano di forze parallele rimarranno due forme di condizioni di equilibrio.

Per l'equilibrio di un sistema piano di forze parallele è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di tutte le forze sull'asse ad esse parallelo e la somma dei momenti di tutte le forze relative a qualsiasi punto siano pari a zero:

Questa prima forma di condizioni di equilibrio analitico per un sistema piano di forze parallele segue dalle equazioni ().

Otteniamo la seconda forma di condizioni di equilibrio per un sistema piano di forze parallele dalle equazioni ().

Per l'equilibrio di un sistema piano di forze parallele è necessario e sufficiente che la somma dei momenti di tutte le forze del sistema relativi a due punti che non giacciono su una retta parallela alle forze sia uguale a zero:

Come mostrato nel § 12, ciascuno si riduce nel caso generale a una forza pari al vettore principale R e applicata in un centro arbitrario O, e a una coppia con un momento pari al momento principale (vedi Fig. 40, b ). Cerchiamo a quale forma più semplice si può ridurre un sistema spaziale di forze che non è in equilibrio. Il risultato dipende dai valori che questo sistema ha per le quantità R e

1. Se per un dato sistema di forze , allora viene ridotto a una coppia di forze il cui momento è uguale e può essere calcolato utilizzando le formule (50). In questo caso, come mostrato nel § 12, il valore non dipende dalla scelta del centro O.

2. Se per un dato sistema di forze, viene ridotto a una risultante pari a R, la cui linea di azione passa attraverso il centro O. Il valore di R può essere trovato utilizzando le formule (49).

3. Se per un dato sistema di forze ma allora anche questo sistema si riduce ad una risultante pari a R, ma non passante per il centro O.

Infatti, quando la coppia, rappresentata dal vettore, e la forza R giacciono sullo stesso piano (Fig. 91).

Quindi, scegliendo le forze della coppia in modo che siano uguali in modulo R e disponendole come mostrato in Fig. 91, troviamo che le forze saranno reciprocamente equilibrate, e il sistema sarà sostituito da una linea d'azione risultante che passa per il punto O (vedi, § 15, paragrafo 2, b). La distanza ) è determinata dalla formula (28), dove

È facile verificare che il caso considerato si verificherà, in particolare, sempre per qualsiasi sistema di forze parallele o giacenti sullo stesso piano, se il vettore principale di tale sistema Se per un dato sistema di forze e il vettore è parallelo a R (Fig. 92, a) , ciò significa che il sistema di forze è ridotto a una combinazione di forza R e una coppia P, P che giace su un piano perpendicolare alla forza (Fig. 92, b). Tale combinazione di forza e coppia è chiamata vite dinamica e la linea retta lungo la quale è diretto il vettore R è l'asse della vite. Un’ulteriore semplificazione di questo sistema di forze è impossibile. Infatti, se prendiamo come centro di riduzione un qualsiasi altro punto C (Fig. 92, a), allora il vettore può essere trasferito al punto C come libero, e quando la forza R viene trasferita al punto C (vedi § 11) , un'altra coppia con momento perpendicolare al vettore R, e quindi . Di conseguenza, il momento della coppia risultante sarà numericamente maggiore, quindi il momento della coppia risultante ha il valore più piccolo in questo caso quando portato al centro O. Questo sistema di forze non può essere ridotto ad una forza (risultante) o ad una coppia.

Se una delle forze della coppia, ad esempio P, viene aggiunta alla forza R, allora il sistema di forze in esame può anche essere sostituito da due forze incrociate, cioè forze Q e non giacenti sullo stesso piano (Fig 93). Poiché il sistema di forze risultante è equivalente ad una vite dinamica, anch'esso non ha una risultante.

5. Se per un dato sistema di forze e allo stesso tempo i vettori e R non sono perpendicolari tra loro e non paralleli, allora anche tale sistema di forze viene ridotto a una vite dinamica, ma l'asse della vite non lo farà passare per il centro O.

Per dimostrarlo, scomponiamo il vettore in componenti: diretta lungo R e perpendicolare a R (Fig. 94). In questo caso, dove sono i vettori e R. La coppia rappresentata dal vettore e dalla forza R può essere, come nel caso mostrato in Fig. 91, essere sostituito da una forza R applicata al punto O. Quindi questo sistema di forze sarà sostituito da una forza e da una coppia di coppie parallele, e il vettore come libero potrà essere applicato anche al punto O. Il risultato sarà effettivamente essere una vite dinamica, ma con un asse passante per il punto

Se, dopo aver portato il sistema spaziale di forze al centro selezionato O, il vettore principale e il momento principale sono uguali a zero, cioè

Il sistema di forze è equilibrato. Sotto l'influenza di un tale sistema di forze, il corpo solido sarà in equilibrio. Ovviamente, nel caso generale, due equazioni vettoriali (4.1) corrispondono a sei equazioni scalari, riflettendo l'uguaglianza a zero delle proiezioni di questi vettori sugli assi del sistema di coordinate scelto (ad esempio cartesiano).

Se, dopo aver portato il sistema spaziale di forze al centro selezionato O, il vettore principale è uguale a zero e il momento principale non è uguale a zero, ad es.

Una coppia di forze che ne risulta agisce sul corpo tendendo a farlo ruotare. Si noti che in questo caso la scelta del centro di riduzione non influisce sul risultato.

Se, dopo aver portato il sistema spaziale di forze al centro selezionato O, il vettore principale non è uguale a zero e il momento principale è uguale a zero, ad es.

Sul corpo agisce il risultante sistema di forze che passano per il centro di riduzione e tendono a muovere il corpo lungo la linea della sua azione. È ovvio che le relazioni (4.3.) valgono per tutti i punti della retta d'azione della risultante.

Si noti che l’azione di un sistema di forze convergenti si riduce a questo caso se si prende come centro di riduzione il punto di intersezione delle linee di azione delle forze del sistema (poiché i momenti delle forze relativi a questo punto sono uguali a zero).

Se, dopo aver portato il sistema spaziale di forze al centro selezionato O, il vettore principale e il momento principale non sono uguali a zero e le loro direzioni formano un angolo retto, ad es.

allora un tale sistema di forze può anche essere ridotto a una risultante, ma passante per un altro centro di riduzione: il punto. Per eseguire questa operazione consideriamo innanzitutto i sistemi di forze equivalenti mostrati in Fig. 4.2.be fig. 4.1. Ovviamente, se cambiamo notazione (il punto B è chiamato centro O, il punto A è chiamato centro), il compito che ci attende richiede di eseguire l'operazione inversa a quella eseguita nel lemma sul trasferimento parallelo di forza. Tenendo conto di quanto sopra, il punto deve, in primo luogo, trovarsi su un piano perpendicolare al vettore del momento principale passante per il centro O, e, in secondo luogo, giacere su una linea parallela alla linea d'azione del vettore principale di forze e separato da esso ad una distanza h pari a

Delle due rette trovate, scegliere quella per i punti in cui il vettore del momento principale è uguale a zero (il momento del vettore principale delle forze relativo al nuovo centro dovrebbe essere uguale in modulo e opposto in direzione a il momento principale del sistema di forze relativo al punto O).

Nel caso generale, dopo aver portato il sistema spaziale di forze al centro selezionato O, il vettore principale e il momento principale, che sono diversi da zero, non formano tra loro un angolo retto (Fig. 4.5.a).

Se il momento principale viene scomposto in due componenti - lungo il vettore principale delle forze e perpendicolare ad esso, allora, secondo (4.5), si può trovare un centro di riduzione per il quale la componente perpendicolare del momento principale diventa uguale a zero, e le grandezze e le direzioni del vettore principale e delle prime componenti del momento principale rimangono le stesse (Fig. 4.5.b). La raccolta di vettori viene chiamata vite di alimentazione O dinamo.

Non è possibile un’ulteriore semplificazione.

Poiché con un tale cambiamento nel centro di riduzione, solo la proiezione del momento principale cambia nella direzione perpendicolare al vettore principale del sistema di forze, il valore del prodotto scalare di questi vettori rimane invariato, ad es.

Questa espressione si chiama secondo invariante

statica.

Esempio 4.1. I vertici di un parallelepipedo rettangolare con lati e sono soggetti alle forze e (vedi Fig. 4.6). Prendendo l'origine delle coordinate del sistema di coordinate cartesiane indicato in figura come centro di riduzione del sistema di forze, annotare le espressioni per le proiezioni del vettore principale e del momento principale.

Scriviamo le relazioni trigonometriche per determinare gli angoli:

Ora possiamo scrivere le espressioni per le proiezioni del vettore principale e del momento delle forze principali del sistema:

Nota: la conoscenza delle proiezioni vettoriali sugli assi coordinati consentirà, se necessario, di calcolarne la grandezza e la direzione dei coseni.

Come dimostrato sopra, un sistema arbitrario di forze, posizionato arbitrariamente nello spazio, può essere ridotto a un'unica forza uguale al vettore principale del sistema e applicata ad un centro di riduzione arbitrario DI, e una coppia con momento pari al momento principale del sistema rispetto allo stesso centro. Pertanto, in futuro, un sistema arbitrario di forze potrà essere sostituito da un insieme equivalente di due vettori: forza e momento applicati in un punto DI. Quando si cambia la posizione del centro di riduzione DI il vettore principale manterrà grandezza e direzione, ma il momento principale cambierà. Dimostriamo che se il vettore principale è diverso da zero e è perpendicolare al momento principale, quindi il sistema di forze si riduce a una forza, che in questo caso chiameremo risultante (Fig. 8). Il momento principale può essere rappresentato da una coppia di forze ( , ) con una spalla , quindi le forze e il vettore principale formano un sistema di due

forze equivalenti a zero, che possono essere scartate. Rimarrà una forza che agisce lungo una linea retta parallela alla principale

Figura 8 al vettore e passante a distanza

H= dal piano formato dai vettori e . Il caso considerato mostra che se fin dall'inizio scegliamo il centro di riduzione sulla retta L, allora il sistema di forze verrebbe immediatamente portato alla risultante, il momento principale sarebbe pari a zero. Ora dimostreremo che se il vettore principale è diverso da zero e non perpendicolare al momento principale, allora tale punto può essere scelto come centro di riduzione DI* che il momento principale relativo a questo punto e il vettore principale si troveranno sulla stessa retta. Per dimostrarlo, scomponiamo il momento in due componenti: una diretta lungo il vettore principale e l'altra perpendicolare al vettore principale. Pertanto, la coppia di forze viene scomposta in due coppie con momenti: e , e il piano della prima coppia è perpendicolare a , quindi il piano della seconda coppia, perpendicolare al vettore (Fig. 9) contiene il vettore . La combinazione di una coppia con un momento e una forza forma un sistema di forze, che può essere ridotto ad una forza (Fig. 8) passante per il punto O*. Pertanto (Fig. 9), la combinazione del vettore principale e del momento principale nel punto DI ridotto alla forza passante per un punto DI*, e una coppia con un momento parallelo a questa linea, che era ciò che doveva essere dimostrato. La combinazione di una forza e di una coppia, il cui piano è perpendicolare alla linea di azione della forza, si chiama dinamismo (Fig. 10). Una coppia di forze può essere rappresentata da due forze ( , ) di uguale grandezza, posizionate come mostrato in Fig. 10. Ma sommando le due forze e , otteniamo la loro somma e la forza rimanente , da cui segue (Fig. 10 ) che è la combinazione del vettore principale e del momento principale DI, può essere ridotto a due forze non intersecanti e .

Consideriamo alcuni casi di riduzione di un sistema di forze.

1. Sistema piatto di forze. Per chiarezza, lasciamo che tutte le forze siano nel piano OSSI. Quindi nel caso più generale

Il vettore principale non è zero, il momento principale non è zero, il loro prodotto scalare è zero, anzi

quindi il vettore principale è perpendicolare al momento principale: il sistema piano delle forze si riduce alla risultante.

2. Sistema di forze parallele. Per chiarezza, lasciamo che tutte le forze siano parallele all'asse OZ. Quindi nel caso più generale

Anche qui il vettore principale non è uguale a zero, il momento principale non è uguale a zero, e il loro prodotto scalare è uguale a zero, anzi

quindi, in questo caso, il vettore principale è perpendicolare al momento principale: il sistema di forze parallele si riduce alla risultante. Nel caso particolare, se uguale a zero, allora il vettore principale delle forze è uguale a zero e il sistema di forze è ridotto a una coppia di forze, il cui vettore momento è nel piano OSSI. Cerchiamo ora di sistematizzare i casi considerati. Ricordiamo: un sistema spaziale arbitrario di forze applicate a un corpo rigido è staticamente equivalente a una forza pari al vettore principale applicata in un punto arbitrario del corpo (centro di riduzione), e una coppia di forze con momento pari a il momento principale del sistema di forze rispetto al centro di riduzione specificato.