Интервалы прогноза по уравнению регрессии.

Прогнозирование по уравнению регрессии представляет собой подстановку в уравнение регрессии соответственного значения х . Такой прогноз называетсяточечным. Он не является точным, поэтому дополняется расчетом стандартной ошибки ; получаетсяинтервальная оценка прогнозного значения :

Преобразуем уравнение регрессии:

ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b , т.е. .

Из теории выборки известно, что .

Используем в качестве оценки s 2 остаточную дисперсию на одну степень свободы S 2 , получаем: .

Ошибка коэффициента регрессии из формулы (15):

Таким образом, при х=х k получаем:

(31)

Как видно из формулы, величина достигает минимума при и возрастает по мере удаления от в любом направлении.

Для нашего примера эта величина составит:

При , При х k = 4

Для прогнозируемого значения 95% - ные доверительные интервалы при заданном х k определены выражением:

т.е. при х k =4 ±2,57-3,34 или ±8,58. При х к =4 прогнозное значение составит

у p =-5,79+36,84·4=141,57 - это точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии лежит в интервале: 132,99 ≤ ≤ 150,15.

Мы рассмотрели доверительные интервалы длясреднего значения у при заданном х. Однако фактические значения у варьируются около среднего значения , они могут отклоняться на величину случайной ошибки e , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S 2 . Поэтому ошибка прогноза отдельного значения у должна включать не только стандартную ошибку но и случайную ошибку S . Таким образом, средняя ошибка прогноза индивидуального значения y составит:

(33)

Для примера:

Доверительный интервал прогноза индивидуальных значений у при х к =4 с верностью 0,95 составит:. 141,57 ±2,57·8,01, или 120,98 ≤ у р ≤ 162,16.

Пусть в примере с функцией издержек выдвигается предположение, что в предстоящем году в связи со стабилизацией экономики затраты на производство 8 тыс. ед. продукции не превысят 250 млн. руб. Означает ли это изменение найденной закономерности или затраты соответствуют регрессионной модели?

Точечный прогноз: = -5,79 + 36,84 8 = 288,93. Предполагаемое значение - 250. Средняя ошибка прогнозного индивидуального значения:

Сравним ее с предполагаемым снижением издержек производства, т.е. 250-288,93= -38,93:

Поскольку оценивается только значимость уменьшения затрат, то используется односторонний t~ критерий Стьюдента. При ошибке в 5 % с n-2=5 t табл =2,015, поэтому предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого значения при 95 % - ном уровне доверия. Однако, если увеличить вероятность до 99%, при ошибке 1 % фактическое значение t -критерия оказывается ниже табличного 3,365, и различие в затратах статистически не значимо, т.е. затраты соответствуют предложенной регрессионной модели.

Нелинейная регрессия

До сих пор мы рассматривали лишьлинейную модель регрессионной зависимости у от х (3). В то же время многие важные связи в экономике являютсянелинейными. Примерами такого рода регрессионных моделей являются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства - трудом, капиталом и т.п.) и функции спроса (зависимости между спросом на какой-либо вид товаров или услуг, с одной стороны, и доходом и ценами на этот и другие товары - с другой).

При анализе нелинейных регрессионных зависимостей наиболее важным вопросом применения классического МНК является способ их линеаризации. В случае линеаризации нелинейной зависимости получаем линейное регрессионное уравнение типа (3), параметры которого оцениваются обычным МНК, после чего можно записать исходное нелинейное соотношение.

Несколько особняком в этом смысле стоит полиномиальная модель произвольной степени:

к которой обычный МНК можно применять без всякой предварительной линеаризации.

Рассмотрим указанную процедуру применительно к параболе второй степени:

(35)

Такая зависимость целесообразна в случае, если для некоторого интервала значений фактора возрастающая зависимость меняется на убывающую или наоборот. В этом случае можно определить значение фактора, при котором достигается максимальное или минимальное значение результативного признака. Если исходные данные не обнаруживают изменение направленности связи, параметры параболы становятся трудно интерпретируемыми, и форму связи лучше заменить другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени сводится к дифференцированию суммы квадратов остатков регрессии по каждому из оцениваемых параметров и приравниванию полученных выражений нулю. Получается система нормальных уравнений, число которых равно числу оцениваемых параметров, т.е. трем:

(36)

Решать эту систему можно любым способом, в частности, методом определителей.

Экстремальное значение функции наблюдается при значении фактора, равном:

Если b>0, с<0, имеет место максимум, т.е. зависимость сначала растет, а затем падает. Такого рода зависимости наблюдаются в экономике труда при изучении заработной платы работников физического труда, когда в роли фактора выступает возраст. При b<0, с>0 парабола имеет минимум, что обычно проявляется в удельных затратах на производство в зависимости от объема выпускаемой продукции.

В нелинейных зависимостях, не являющихся классическими полиномами, обязательно проводится предварительная линеаризация, которая заключается в преобразовании или переменных, или параметров модели, или в комбинации этих преобразований. Рассмотрим некоторые классы таких зависимостей.

Зависимости гиперболического типа имеют вид:

(37)

Примером такой зависимости является кривая Филлипса, констатирующая обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы. В этом случае значение параметра b будет больше нуля. Другим примером зависимости (37) являются кривые Энгеля, формулирующие следующую закономерность: с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. В этом случае b <0 , а результативный признак в (37) показывает долю расходов на непродовольственные товары.

Линеаризация уравнения (37) сводится к замене фактора z=1/х , и уравнение регрессии имеет вид (3), в котором вместо фактора х используем фактор z :

К такому же линейному уравнению сводится полулогарифмическая кривая:

(39)

которая может быть использована для описания кривых Энгеля. Здесь 1п(х) заменяется на z , и получается уравнение (38).

Достаточно широкий класс экономических показателей характеризуется приблизительно постоянным темпом относительного прироста во времени. Этому соответствуют зависимости показательного (экспоненциального) типа, которые записываются в виде:

или в виде

Возможна такая зависимость:

В регрессиях типа (40) - (42) применяется один и тот же способ линеаризации - логарифмирование. Уравнение (40) приводится к виду:

(43)

Замена переменной Y = ln у сводит его к линейному виду:

(44)

где . Если Е удовлетворяет условиям Гаусса-Маркова, параметры уравнения (40) оцениваются по МНК из уравнения (44). Уравнение (41) приводится к виду:

который отличается от (43) только видом свободного члена, и линейное уравнение выглядит так:

Y=A+bx+E (46)

где A= lna . Параметры А и b получаются обычным МНК, затем параметр а в зависимости (41) получается как антилогарифм А. При логарифмировании (42) получаем линейную зависимость:

Y=A+Bx+E (47)

где B =lnb , а остальные обозначения те же, что и выше. Здесь также применяется МНК к преобразованным данным, а параметр b для (42) получается как антилогарифм коэффициента В.

Широко распространены в практике социально-экономических исследований степенные зависимости. Они используются для построения и анализа производственных функций. В функциях вида:

особенно ценным является то обстоятельство, что параметр b равен коэффициенту эластичности результативного признака по фактору х . Преобразуя (48) путем логарифмирования, получаем линейную регрессию:

Y=A+bX+E (49)

где Y= lny , A= lna, X= lnx, E= lnε .

Еще одним видом нелинейности, приводимым к линейному виду, является обратная зависимость:

(50)

Проводя замену и =1/у , получим:

(51)

Наконец, следует отметить зависимость логистического типа:

(52)

Графиком функции (52) является так называемая «кривая насыщения», которая имеет две горизонтальные асимптоты у=0 и у=1/а и точку перегиба x= ln(b/a), у=1/(2а) , а также точку пересечения с осью ординат у=1/(а+b) :

Уравнение (52) приводится к линейному виду заменами переменных и=1/у, z=e - x .

Любое уравнение нелинейной регрессии, как и линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, который в данном случае называется индексом корреляции:

(53)

Здесь - общая дисперсия результативного признака у , остаточная дисперсия, определяемая по уравнению нелинейной регрессии . Следует обратить внимание на то, что разности в соответствующих суммах и берутся не в преобразованных, а в исходных значениях результативного признака. Иначе говоря, при вычислении этих сумм следует использовать не преобразованные (линеаризованные) зависимости, а именно исходные нелинейные уравнения регрессии. По-другому (53) можно записать так:

(54)

Величина R находится в границах 0 ≤ R ≤ 1, и чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии. При этом индекс корреляции совпадает с линейным коэффициентом корреляции в случае, когда преобразование переменных с целью линеаризации уравнения регрессии не проводится с величинами результативного признака. Так обстоит дело с полулогарифмической и полиномиальной регрессией, а также с равносторонней гиперболой (37). Определив линейный коэффициент корреляции для линеаризованных уравнений, например, н пакете Excel с помощью функции ЛИНЕЙН, можно использовать его и для нелинейной зависимости.

Иначе обстоит дело в случае, когда преобразование проводится также с величиной у , например, взятие обратной величины или логарифмирование. Тогда значение R, вычисленное той же функцией ЛИНЕЙН, будет относиться к линеаризованному уравнению регрессии, а не к исходному нелинейному уравнению, и величины разностей под суммами в (54) будут относиться к преобразованным величинам, а не к исходным, что не одно и то же. При этом, как было сказано выше, для расчета R следует воспользоваться выражением (54), вычисленным по исходному нелинейному уравнению.

Поскольку в расчете индекса корреляции используется соотношение факторной и общей СКО, то R 2 имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину R 2 для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится так же, как и оценка надежности коэффициента корреляции.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F- критерию Фишера:

(55)

где n -число наблюдений, m -число параметров при переменных х . Во всех рассмотренных нами случаях, кроме полиномиальной регрессии, m =1, для полиномов (34) m=k , т.е. степени полинома. Величина т характеризует число степеней свободы для факторной СКО, а (п-т-1) - число степеней свободы для остаточной СКО.

Индекс детерминации R 2 можно сравнивать с коэффициентом детерминации r 2 для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем больше разница между R 2 и r 2 . Близость этих показателей означает, что усложнять форму уравнения регрессии не следует и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина (R 2 -r 2) не превышает 0,1, то линейная зависимость считается оправданной. В противном случае проводится оценка существенности различия показателей детерминации, вычисленных по одним и тем же данным, через t -критерий Стьюдента:

Здесь в знаменателе находится ошибка разности (R 2 -r 2), определяемая по формуле:

Если t >t табл (α;n-m-1), то различия между показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии линейной нецелесообразна.

В заключение приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных уравнений регрессии.

Прогнозирование по модели множественной линейной регрессии предполагает оценку ожидаемых значений зависимой переменной при заданных значениях независимых переменных, входящих в уравнение регрессии. Различают точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз – это расчетное значение зависимой переменной, полученное подстановкой в уравнение множественной линейной регрессии прогнозных (заданных исследователем) значений независимых переменных. Если заданы значения , то прогнозное значение зависимой переменной (точечный прогноз) будет равно

Интервальный прогноз – это минимальное и максимальное значения зависимой переменной, в промежуток между

которыми она попадает с заданной долей вероятности и при заданных значениях независимых переменных.

Интервальный прогноз для линейной функции вычисляется по формуле

где t T – теоретическое значение критерия Стьюдента при df=n- – т – 1 степенях свободы; s y – стандартная ошибка прогноза, вычисляемая по формуле

(2.57)

где Х – матрица исходных значений независимых переменных; Х пр – матрица-столбец прогнозных значений независимых переменных вида

Найдем прогнозные значения поступления налогов (пример 2.1), при условии, что связь между показателями описывается уравнением

Зададим прогнозные значения независимых переменных:

– количество занятых Xj: 500 тыс. человек;
– объем отгрузки в обрабатывающих производствах х 2: 65 000 млн руб.;
– производство энергии х3:15 000 млн руб.

Найдем точечный и интервальный прогноз поступления налогов.

При заданных значения независимых переменных поступление налогов в среднем составит

Вектор прогнозных значений независимых переменных будет иметь вид

Ошибка прогноза, рассчитанная по формуле (2.57), составила 5556,7. Табличное значение t-критерия при числе степеней свободы df = 44 и уровне значимости а = 0,05 равно 2,0154. Следовательно, прогнозные значения поступления налогов будут с вероятностью 0,95 находиться в границах:

от 18 013,69 – 2,0154-5556,7=6814,1 млн руб.;

до 18 013,69 + 2,0154-5556,7=29 212 млн руб.

Прогнозирование по нелинейным моделям множественной регрессии также можно осуществлять по формулам (2.55)–(2.57), предварительно линеаризовав указанные модели.

Мультиколлинеарность данных

При построении эконометрической модели предполагается, что независимые переменные воздействуют на зависимую изолированно, т. е. влияние отдельной переменной на результативный признак не связано с влиянием других переменных. В реальной экономической действительности все явления в той или иной мере связаны, поэтому добиться выполнения этого предположения практически невозможно. Наличие связи между независимыми переменными приводит к необходимости оценки ее влияния на результаты корреляционно-регрессионного анализа.

Различают функциональные и стохастические связи между объясняющими переменными. В первом случае говорят об ошибках спецификации модели, которые должны быть исправлены.

Функциональная связь возникает, если в уравнение регрессии в качестве объясняющих переменных включают, в частности, все переменные, входящие в тождество. Например, можно сказать, что доход У складывается из потребления С и инвестиций I, т. е. имеет место тождество. Мы предполагаем, что уровень процентных ставок г зависит от дохода, т.е. модель в общем виде может быть представлена в виде

Неопытный исследователь, желая улучшить модель, может включить в уравнение также переменные "потребление" и "инвестиции", что приведет к функциональной связи между объясняющими переменными:

Функциональная взаимосвязь столбцов матрицы X приведет к невозможности найти единственное решение уравнения

регрессии, так как, а нахождение обратной

матрицыпредполагает деление алгебраических дополнений матрицына ее определитель, который в дан

ном случае будет равен нулю.

Более часто между объясняющими переменными наблюдается стохастическая связь, что приводит к уменьшению

величины определителя матрицы: чем сильнее связь,

тем меньше будет определитель. Это приводит к росту не только оценок параметров, полученных с использованием МНК, но и их стандартных ошибок, которые вычисляются по формуле (2.24):

в которой, как мы видим, также используется матрица Корреляционная связь может существовать как между двумя объясняющими переменными (интеркорреляция ), так и между несколькими (мультиколлинеарность).

Существует несколько признаков, указывающих на наличие мультиколлинеарности. В частности, такими признаками являются:

– не соответствующие экономической теории знаки коэффициентов регрессии. Например, нам известно, что объясняющая переменная х оказывает прямое воздействие на объясняемую переменную у, в то же время коэффициент регрессии при этой переменной меньше нуля;
– значительные изменения параметров модели при небольшом сокращении (увеличении) объема исследуемой совокупности;
– незначимость параметров регрессии, обусловленная высокими значениями стандартных ошибок параметров.

Существование корреляционной связи между независимыми переменными может быть выявлено с помощью показателей корреляции между ними, в частности с помощью парных коэффициентов корреляции r XiX, которые можно записать в виде матрицы

(2.58)

Коэффициент корреляции переменной с самой собой равен единице (г хх = 1), а коэффициент корреляции переменной*, с переменной *,■ равен коэффициенту корреляции переменной XjC переменной X, (г х х =г х х ). Следовательно, данная матрица является симметрической, поэтому в ней указывают только главную диагональ и элементы под ней:

Высокие значения парных линейных коэффициентов корреляции указывают на наличие интеркорреляции, т.е. линейной связи между двумя объясняющими переменными. Чем выше величина , тем выше интеркорреляция. Так как при построении моделей избежать отсутствия связей между объясняющими переменными практически невозможно, существует следующая рекомендация относительно включения двух переменных в модель в качестве объясняющих. Обе переменные можно включить в модель, если выполняются соотношения

т.е. теснота связи результирующей и объясняющей переменных больше, чем теснота связи между объясняющими переменными.

Наличие мультиколлинеарности можно подтвердить, найдя определитель матрицы (2.58). Если связь между независимыми переменными полностью отсутствует, то недиагональные элементы будут равны нулю, а определитель матрицы – единице. Если связь между независимыми переменными близка к функциональной (т.е. является очень тесной), то определитель матрицы гхг будет близок к нулю.

Еще один метод измерения мультиколлинеарности является следствием анализа формулы стандартной ошибки коэффициента регрессии (2.28):

Как следует из данной формулы, стандартная ошибка будет тем больше, чем меньше будет величина, которую называют фактор инфляции дисперсии (или фактор вздутия дисперсии ) VIF:

где – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной Xj от других переменных , входящих в рассматриваемую модель множественной регрессии.

Так как величина отражает тесноту связи между переменной Xj и прочими объясняющими переменными, то она, по сути, характеризует мультиколлинеарность применительно К данной переменной Xj. При отсутствии связи показатель VIF X будет равен (или близок) единице, усиление связи ведет к стремлению этого показателя к бесконечности. Считают, что если VIF X >3 для каждой переменной *, то имеет место мультиколлинеарность.

Измерителем мультиколлинеарности является также так называемый показатель (число) обусловленности матрицы . Он равен отношению максимального и минимального собственных чисел этой матрицы:

Считается, что если порядок этого соотношения превышает 10s–106, то имеет место сильная мультиколлинеарность .

Проверим наличие мультиколлинеарности в рассматриваемом нами примере 2.1. Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид

Можно отметить, что связи между объясняющими переменными достаточно тесные, особенно между переменными.Xj и х2; X] и х3, что указывает на интеркорреляцию этих переменных. Более слабая связь наблюдается между переменными х2 и х3. Найдем определитель матрицы г^..

Полученное значение ближе к нулю, чем к единице, что указывает на наличие мультиколлинеарности объясняющих переменных.

Проверим обоснованность включения всех трех независимых переменных в модель регрессии, используя правило (2.59). Парные линейные коэффициенты корреляции зависимой и независимых переменных равны

Они больше, чем показатели тесноты связи между независимыми переменными, следовательно, правило (2.59) выполняется, все три переменные можно включить в модель регрессии.

Измерим степень мультиколлинеарности переменных с помощью фактора инфляции дисперсии (VIF ). Для этого необходимо рассчитать коэффициенты детерминации для регрессий:

Для этого к каждой регрессии необходимо применить МНК, оценить ее параметры и рассчитать коэффициент детерминации. Для нашего примера результаты расчетов следующие:

Следовательно, фактор инфляции дисперсии для каждой независимой переменной будет равен

Все рассчитанные величины не превысили критического значения, равного трем, следовательно, при построении модели можно пренебречь существованием связей между независимыми переменными.

Для нахождения собственных чисел матрицы (с целью расчета показателя обусловленности η (2.60)) необходи мо найти решение характеристического уравнения

Матрица для нашего примера имеет вид

а матрица, модуль определителя которой нужно приравнять нулю, получится следующей:

Характеристический многочлен в данном случае будет иметь четвертую степень, что затрудняет решение задачи вручную. В данном случае рекомендуется воспользоваться возможностями вычислительной техники. Например, в ППП EViews получены следующие собственные числа матрицы :

Следовательно, показатель обусловленности η будет равен

что свидетельствует о наличии в модели сильной мультиколлинеарности.

Методами устранения мультиколлинеарности являются следующие.

1. Анализ связей между переменными, включаемыми в модель регрессии в качестве объясняющих (независимых), с целью отбора только тех переменных, которые слабо связаны друг с другом.
2. Функциональные преобразования тесно связанных между собой переменных. Например, мы предполагаем, что поступление налогов в городах зависит от количества жителей и площади города. Очевидно, что эти переменные будут тесно связаны. Их можно заменить одной относительной переменной "плотность населения".
3. Если по каким-то причинам перечень независимых переменных не подлежит изменению, то можно воспользоваться специальными методами корректировки моделей с целью исключения мультиколинеарности: ридж-регрессией (гребневой регрессией), методом главных компонент.

Применение ридж-регрессии предполагает корректировку элементов главной диагонали матрицы на некую произвольно задаваемую положительную величину τ. Значение рекомендуется брать от 0,1 до 0,4. Н. Дрейпер, Г. Смит в своей работе приводят один из способов "автоматического" выбора величины τ, предложенный Хоэрлом, Кеннардом и Белдвином :

(2.61)

где т – количество параметров (без учета свободного члена) в исходной модели регрессии; SS e – остаточная сумма квадратов, полученная по исходной модели регрессии без корректировки на мультиколлинеарность; а – вектор-столбец коэффициентов регрессии, преобразованных по формуле

(2.62)

где cij – параметр при переменной у, в исходной модели регрессии.

После выбора величины τ формула для оценки параметров регрессии будет иметь вид

(2.63)

где I – единичная матрица; X, – матрица значений независимых переменных: исходных или преобразованных по формуле (2.64); Υ τ – вектор значений зависимой переменной: исходных или преобразованных по формуле (2.65).

(2.64)

и результативную переменную

В этом случае после оценки параметров по формуле (2.63) необходимо перейти к регрессии по исходным переменным, используя соотношения

Оценки параметров регрессии, полученные с помощью формулы (2.63), будут смещенными. Однако, так как определитель матрицы больше определителя матрицы , дисперсия оценок параметров регрессии уменьшится, что положительно повлияет на прогнозные свойства модели.

Рассмотрим применение ридж-регрессии для примера 2.1. Найдем величину τ с помощью формулы (2.61). Для этого сначала рассчитаем вектор преобразованных коэффициентов регрессии по формуле (2.62):

Произведение равно 1,737-109. Следовательно, рекомендуемое τ составит

После применения формулы (2.63) и преобразований по фор муле (2.66) получим уравнение регрессии

Применение метода главных компонент предполагает переход от взаимозависимых переменных х к независимым друг от друга переменным ζ, которые называют главными

компонентами . Каждая главная компонента z, может быть представлена как линейная комбинация центрированных (или стандартизованных) объясняющих переменных t:. Напомним, что центрирование переменной предполагает вычитание из каждого і-го значения данной j-й переменной ее среднего значения:

а стандартизация (масштабирование) –деление выражения (2.67) на среднее квадратическое отклонение, рассчитанное для исходных значений переменной Xj

Так как независимые переменные часто имеют разный масштаб измерения, формула (2.68) считается более предпочтительной.

Количество компонент может быть меньше или равно количеству исходных независимых переменных р. Компоненту с номером к можно записать следующим образом:

(2.69)

Можно показать, что оценки в формуле (2.69) соответствуют элементам к- го собственного вектора матрицы , где Т – матрица размером , содержащая стандартизованные переменные. Нумерация главных компонент не является произвольной. Первая главная компонента имеет максимальную дисперсию, ей соответствует максимальное собственное число матрицы ; последняя – минимальную дисперсию и наименьшее собственное число.

Доля дисперсии к- й компоненты в общей дисперсии независимых переменных рассчитывается по формуле

где Х к – собственное число, соответствующее данной компоненте; в знаменателе формулы (2.70) приведена сумма всех собственных чисел матрицы .

После расчета значений компонент z, строят регрессию, используя МНК. Зависимую переменную в регрессии по главным компонентам (2.71) целесообразно центрировать (стандартизовать) по формулам (2.67) или (2.68).

где t y – стандартизованная (центрированная) зависимая переменная; – коэффициенты регрессии по главным компонентам; – главные компоненты, упорядоченные по убыванию собственных чисел Х к; δ – случайный остаток.

После оценки параметров регрессии (2.71) можно перейти к уравнению регрессии в исходных переменных, используя выражения (2.67)–(2.69).

Рассмотрим применение метода главных компонент на данных примера 2.1. Отметим, что матрица для стандартизованных переменных является в то же время матрицей парных линейных коэффициентов корреляции между независимыми переменными. Она уже была рассчитана и равна

Найдем собственные числа и собственные векторы этой матрицы, используя ППП Eviews. Получим следующие результаты.

Собственные числа матрицы :

Доля дисперсии независимых переменных, отражаемой компонентами, составила

Объединим собственные векторы матрицы , записав их как столбцы приведенной ниже матрицы F. Они упорядочены по убыванию собственных чисел, т.е. первый столбец является собственным вектором максимального собственного числа и т.д.:

Следовательно, три компоненты (соответствующие трем собственным векторам) можно записать в виде

После стандартизации исходных переменных по формуле (2.68) и расчета значений компонент (по n значений каждой компоненты) с помощью МНК найдем параметры уравнения (2.71):

В полученном уравнении регрессии значим только параметр при первой компоненте. Это закономерный результат с учетом того, что данная компонента описывает 70,8% вариации независимых переменных. Так как компоненты независимы, при исключении из модели одних компонент параметры уравнения при других компонентах не меняются. Таким образом, имеем уравнение регрессии с одной компонентой:

Преобразуем полученное выражение в регрессию с исходными переменными

Таким образом, используя метод главных компонент, мы получили уравнение регрессии

Устранение мультиколлинеарности с помощью ридж-регрессии и метода главных компонент привело к определенному изменению параметров исходной регрессии, которая имела вид

Отметим, что эти изменения были относительно невелики, что указывает на невысокую степень мультиколлинеарности.

См., например, Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной регрессионный анализ: пер. с болг. M.: Финансы и статистика, 1987. С. 110.
Дрейпер Н., Смит Г. Указ. соч. С. 514.

Прогнозирование по уравнению регрессии представляет собой подстановку в уравнение регрессии соответственного значения х . Такой прогноз называется точечным. Он не является точным, поэтому дополняется расчетом стандартной ошибки ; получается интервальная оценка прогнозного значения :

Преобразуем уравнение регрессии:

ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии т.е.

Из теории выборки известно, что

Используем в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы получаем:

Ошибка коэффициента регрессии из формулы (15):

Таким образом, при получаем:

(23)

Как видно из формулы (23), величина достигает минимума при и возрастает по мере удаления от в любом направлении.

Для нашего примера эта величина составит:

При . При

Для прогнозируемого значения 95% - ные доверительные интервалы при заданном определены выражением:

(24)

т.е. при или При прогнозное значение составит - это точечный прогноз.

Прогноз линии регрессии лежит в интервале:

Мы рассмотрели доверительные интервалы для среднего значения при заданном Однако фактические значения варьируются около среднего значения они могут отклоняться на величину случайной ошибки ε, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы Поэтому ошибка прогноза отдельного значения должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S . Таким образом, средняя ошибка прогноза индивидуального значения составит:

(25)

Для примера:

Доверительный интервал прогноза индивидуальных значений при с вероятностью 0,95 составит: или

Точечный прогноз:

Предполагаемое значение - 250. Средняя ошибка прогнозного индивидуального значения:

Сравним ее с предполагаемым снижением издержек производства, т.е. 250-288,93=-38,93:

Поскольку оценивается только значимость уменьшения затрат, то используется односторонний t - критерий Стьюдента. При ошибке в 5 % с , поэтому предполагаемое уменьшение затрат значимо отличается от прогнозируемого значения при 95 % - ном уровне доверия. Однако, если увеличить вероятность до 99%, при ошибке 1 % фактическое значение t – критерия оказывается ниже табличного 3,365, и различие в затратах статистически не значимо, т.е. затраты соответствуют предложенной регрессионной модели.

Нелинейная регрессия

До сих пор мы рассматривали лишь линейную модель регрессионной зависимости y от x (3). В то же время многие важные связи в экономике являются нелинейными . Примерами такого рода регрессионных моделей являются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т.п.) и функции спроса (зависимости между спросом на какой-либо вид товаров или услуг, с одной стороны, и доходом и ценами на этот и другие товары – с другой).

Несколько особняком в этом смысле стоит полиномиальная модель произвольной степени:

к которой обычный МНК можно применять без всякой предварительной линеаризации.

Рассмотрим указанную процедуру применительно к параболе второй степени:

(27)

(28)

Решать эту систему можно любым способом, в частности, методом определителей.

Экстремальное значение функции наблюдается при значении фактора, равном:

Если b>0, c<0 , имеет место максимум, т.е. зависимость сначала растет, а затем падает. Такого рода зависимости наблюдаются в экономике труда при изучении заработной платы работников физического труда, когда в роли фактора выступает возраст. При b<0, c>0 парабола имеет минимум, что обычно проявляется в удельных затратах на производство в зависимости от объема выпускаемой продукции.

Зависимости гиперболического типа имеют вид:

(29)

Примером такой зависимости является кривая Филлипса, констатирующая обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы. В этом случае значение параметра b будет больше нуля. Другим примером зависимости (29) являются кривые Энгеля, формулирующие следующую закономерность: с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. В этом случае b<0 , а результативный признак в (29) показывает долю расходов на непродовольственные товары.

Линеаризация уравнения (29) сводится к замене фактора z=1/x , и уравнение регрессии имеет вид (3), в котором вместо фактора х используем фактор z :

(30)

К такому же линейному уравнению сводится полулогарифмическая кривая:

(31)

которая может быть использована для описания кривых Энгеля. Здесь ln(x) заменяется на z , и получается уравнение (30).

(32)

или в виде

(33)

Возможна и такая зависимость:

(34)

В регрессиях типа (32) – (34) применяется один и тот же способ линеаризации – логарифмирование. Уравнение (32) приводится к виду:

(35)

Замена переменной сводит его к линейному виду:

, (36)

где . Если Е удовлетворяет условиям Гаусса-Маркова, параметры уравнения (32) оцениваются по МНК из уравнения (36). Уравнение (33) приводится к виду:

, (37)

который отличается от (35) только видом свободного члена, и линейное уравнение выглядит так:

, (38)

где . Параметры А и b получаются обычным МНК, затем параметр a в зависимости (33) получается как антилогарифм А . При логарифмировании (34) получаем линейную зависимость:

где , а остальные обозначения те же, что и выше. Здесь также применяется МНК к преобразованным данным, а параметр b для (34) получается как антилогарифм коэффициента В .

Широко распространены в практике социально-экономических исследований степенные зависимости. Они используются для построения и анализа производственных функций. В функциях вида:

(40)

особенно ценным является то обстоятельство, что параметр b равен коэффициенту эластичности результативного признака по фактору х . Преобразуя (40) путем логарифмирования, получаем линейную регрессию:

(41)

Еще одним видом нелинейности, приводимым к линейному виду, является обратная зависимость:

(42)

Проводя замену u=1/y , получим:

(43)

Наконец, следует отметить зависимость логистического типа:

(44)

Графиком функции (44) является так называемая «кривая насыщения», которая имеет две горизонтальные асимптоты y=0 и y=1/a и точку перегиба , а также точку пересечения с осью ординат y=1/(a+b) :

Уравнение (44) приводится к линейному виду заменами переменных .

(45)

Здесь - общая дисперсия результативного признака y , - остаточная дисперсия, определяемая по уравнению нелинейной регрессии . Следует обратить внимание на то, что разности в соответствующих суммах и берутся не в преобразованных, а в исходных значениях результативного признака. Иначе говоря, при вычислении этих сумм следует использовать не преобразованные (линеаризованные) зависимости, а именно исходные нелинейные уравнения регрессии. По-другому (45) можно записать так:

(46)

Величина R находится в границах , и чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии. При этом индекс корреляции совпадает с линейным коэффициентом корреляции в случае, когда преобразование переменных с целью линеаризации уравнения регрессии не проводится с величинами результативного признака. Так обстоит дело с полулогарифмической и полиномиальной регрессий, а также с равносторонней гиперболой (29). Определив линейный коэффициент корреляции для линеаризованных уравнений, например, в пакете Excel с помощью функции ЛИНЕЙН, можно использовать его и для нелинейной зависимости.

Иначе обстоит дело в случае, когда преобразование проводится также с величиной y , например, взятие обратной величины или логарифмирование. Тогда значение R , вычисленное той же функцией ЛИНЕЙН, будет относиться к линеаризованному уравнению регрессии, а не к исходному нелинейному уравнению, и величины разностей под суммами в (46) будут относиться к преобразованным величинам, а не к исходным, что не одно и то же. При этом, как было сказано выше, для расчета R следует воспользоваться выражением (46), вычисленным по исходному нелинейному уравнению.

, (47)

где n -число наблюдений, m -число параметров при переменных х . Во всех рассмотренных нами случаях, кроме полиномиальной регрессии, m =1, для полиномов (26) m=k , т.е. степени полинома. Величина m характеризует число степеней свободы для факторной СКО, а (n-m-1) – число степеней свободы для остаточной СКО.

Индекс детерминации R 2 можно сравнивать с коэффициентом детерминации r 2 для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем больше разница между R 2 и r 2 . Близость этих показателей означает, что усложнять форму уравнения регрессии не следует и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина (R 2 -r 2) не превышает 0,1, то линейная зависимость считается оправданной. В противном случае проводится оценка существенности различия показателей детерминации, вычисленных по одним и тем же данным, через t -критерий Стьюдента:

(48)

Здесь в знаменателе находится ошибка разности (R 2 -r 2) , определяемая по формуле:

(49)

Если , то различия между показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии линейной нецелесообразна.

В заключение приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных уравнений регрессии:

Вид уравнения регрессии	Коэффициент эластичности

Список учебной литературы

1. Эконометрика: Учебник /Под ред. И.И. Елисеевой/ - М.: Финансы и статистика, 2001. – 344с.

2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / И.И. Елисеева и др./ - М.: Финансы и статистика, 2001. – 192с.

3. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: Новое знание. 2001. – 408с.

4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: Дело, 1998. – 248с.

5. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402с.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогнозпри
то есть путем подстановки в линейное уравнение регрессии
соответствующего значенияx. Однако точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибкито есть
, и соответственно мы получаем интервальную оценку прогнозного значения:

(2.29)

Для того чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки
тогда уравнение регрессии примет вид:

Отсюда следует, что стандартная ошибка
зависит от ошибкии ошибки коэффициента регрессииb, то есть:

(2.31)

Из теории выборки известно, что

Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы, получим формулу расчета ошибки среднего значения переменнойy:

(2.32)

Ошибки коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

(2.33)

Считая, что прогнозное значение фактора
, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, то есть

. (2.34)

Соответственно
имеет выражение:

(2.35)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения yпри заданном значениихарактеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки
достигает минимума при
и возрастает по мере того, как «удаляется» отв любом направлении. Иными словами, чем больше разность междуи, тем больше ошибки
, с которой предсказывается среднее значениеyдля заданного значения. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х, и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удаленииот. Если же значениеоказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколькоотклоняется от области наблюдаемых значений фактора х. [И. И. Елисеева с. 72]

2.6 Нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы
параболы второй степени
и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам;

Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

Нелинейная регрессия по включенным переменным не имеет никаких сложностей для оценки ее параметров. Они определяются, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов, ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени
заменив переменные
получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

Для оценки параметров которого используется МНК.

Полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее способами оценивания характеристик и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, между нелинейной полиномиальной регрессии наиболее часто употребляется парабола второй степени; в отдельных вариантах – полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов наиболее высоких степеней связаны с требованием односторонности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и в соответствии с этим меньше односторонность совокупности по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к использованию, если для конкретного промежутка значений фактора изменяется характер взаимосвязи рассматриваемых показателей: прямая взаимосвязь меняется на обратную или обратная на прямую. В такой ситуации определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:
b+2cx=0

Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

(2.36)

Решить ее относительно параметров a,b,cможно методом определителей:

где - определитель системы;

a,b,c– частные определители для каждого из параметров.

При b>0 иc>0 кривая симметрична относительно высшей точки, то есть точки перелома кривой, изменяющей направление взаимосвязи, а конкретно подъем на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при исследовании зависимости заработной платы работников физического труда от возраста – с повышением возраста увеличивается заработная плата ввиду одновременного роста опыта и повышения квалификации работника. Приb<0 иc>0 парабола второго порядка симметрична относительно своего минимума, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, то есть снижение на рост.

Ввиду симметричности кривой параболу второй степени не всегда возможно применить в конкретных случаях. Параметры параболической взаимосвязи не всегда могут быть логически объяснены. Таким образом, график зависимости не показывает четко выраженной параболы второго порядка, то она может быть заменена другой нелинейной функцией.

В группе нелинейных функций, параметры которых будут оценены МНК, в эконометрике хорошо известна равносторонняя гипербола
Она может быть использована для объяснения взаимосвязи удельных расходов. Стандартным примером является кривая Филлипса, объясняющая нелинейное соотношение между нормой безработицыxи процентом прироста заработной платыy.

Британский экономист А. В. Филлипс установил обратную взаимозависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

Если в уравнении равносторонней гиперболы
заменитьнаz, получим линейное уравнение регрессииy=a+bz+e, параметры будут оценены с помощью МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

(2.37)

При b>0 имеем обратную зависимость, которая при х стремящемуся к бесконечности объясняется нижней асимптотой, то есть минимальным предельным значениемy, оценкой которого служит параметрa.

При b<0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при х стремящемуся к бесконечности, то есть с максимальным предельным уровнемy, оценку которого в уравнении дает параметр а.

Среди нелинейных функций в эконометрических исследованиях глубоко используется степенная функция
Это связано с тем, что параметрbв функции имеет четкое экономическое объяснение, то есть являетсякоэффициентом эластичности . Это говорит о том, что величина коэффициентаbпоказывает, на сколько процентов изменится в средним итог, если фактор изменится на 1%.Формула расчета коэффициента эластичности:

(2.38)

где f’(x) – первая производная, характеризующая соотношение приростов результата для соответствующей формы связи.

В связи с тем, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле:

(2.39)

Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению и решается система нормальных уравнений. Параметр bопределяется из системы, а параметр а – после потенцирования величиныlna.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. Поскольку в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров появляются из критерия
то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а их преобразованным величинам. Это поясняется тем, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах.

При использовании связей среди функций, применяющих lny, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это и кривые спроса и предложения, и кривые Энгеля, и производственные функции, и критерии освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и размерами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

При применении линеаризуемых функций, затрагивающих преобразования зависимой переменной y, следует проверить присутствие предпосылок МНК, что бы они не нарушались при преобразовании. При нелинейных отношениях рассматриваемых признаков, приводимых к линейному виду, возможно интервальное оценивание параметров нелинейной функции.

Для внутренне нелинейных моделей, которые путем несложных преобразований не приводятся к линейному виду, оценка параметров не может быть дана привычным МНК. Здесь используются иные подходы. [И. И. Елисеева с. 77]

В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?

Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Виды регрессионных моделей

где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.

На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).

Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).

Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона

В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).

Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)

Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.

Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции

Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.

Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1

где b 1 – наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, , а тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.

Рис. 18. Результаты применения t

Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.

Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.

Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы

Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).

По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.

При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.

Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии

Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.

Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel

F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.

Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы

Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1

Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.

Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:

где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:

При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.

При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.

Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений

В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .

Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :

где , = b 0 + b 1 X i – предсказанное значение переменное Y при X = X i , S YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X i - заданное значение переменной X , µ Y | X = X i – математическое ожидание переменной Y при Х = Х i , SSX =

Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.

Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:

Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.

Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:

Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:

Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.

Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии

Трудности, связанные с регрессионным анализом:

Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.

Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?

Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).

Рис. 23. Четыре набора искусственных данных

Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)

Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.

Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных

Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.

Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных

Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:

Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.

Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.

Рис. 27. Структурная схема заметки

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872

Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.