Perhitungan limit suatu fungsi dengan solusi detail. Batas urutan dan fungsi

Menyelesaikan soal mencari limit Saat menyelesaikan soal mencari limit, Anda harus mengingat beberapa limit agar tidak menghitungnya lagi setiap saat. Menggabungkan batas-batas yang diketahui ini, kita akan menemukan batas-batas baru menggunakan sifat-sifat yang ditunjukkan dalam § 4. Untuk memudahkan, kami menyajikan limit yang paling sering ditemui: Limit 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), jika f (x) kontinu x a Jika diketahui fungsi tersebut kontinu, maka alih-alih mencari limitnya, kita menghitung nilai fungsinya. Contoh 1. Carilah lim (x*-6l:+ 8). Karena fungsi suku multisuku X->2 kontinu, maka lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Contoh 2. Carilah batas -G. . Pertama, kita cari limit penyebutnya: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; tidak sama dengan X-Y1 nol, artinya kita dapat menerapkan sifat 4 § 4, maka x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Limit dari penyebut X X sama dengan nol, oleh karena itu sifat 4 dari 4 tidak dapat diterapkan.Karena pembilangnya adalah bilangan konstan, dan penyebut [x2x) -> -0 untuk x - - 1, maka seluruh pecahan bertambah tak terhingga dalam nilai mutlak, yaitu lim " 1 X - * - - 1 x* + x Contoh 4. Carilah lim\-ll*"!"" "Batas penyebutnya adalah nol: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, jadi properti X 4 § 4 tidak berlaku. Tetapi limit pembilangnya juga sama dengan nol: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Jadi, limit pembilang dan penyebutnya sekaligus sama dengan nol. Namun bilangan 2 merupakan akar dari pembilang dan penyebutnya, sehingga pecahan dapat dikurangi dengan selisih x-2 (menurut teorema Bezout). Faktanya, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" oleh karena itu, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Contoh 5. Carilah lim xn (n bilangan bulat, positif). X dengan Kami memiliki xn = X* X . . X, n kali Karena setiap faktor bertambah tanpa batas, maka hasil kali juga bertambah tanpa batas, yaitu lim xn = oo. x oo Contoh 6. Carilah lim xn(n bilangan bulat, positif). X -> - CO Kita punya xn = x x... x. Karena setiap faktor tumbuh dalam nilai absolut namun tetap negatif, maka dalam kasus derajat genap, hasil kali akan tumbuh tanpa batas namun tetap positif, yaitu lim *n = + oo (untuk n genap). *-* -о Dalam hal derajat ganjil, nilai mutlak hasil kali bertambah, tetapi tetap negatif, yaitu lim xn = - oo (untuk n ganjil). p -- 00 Contoh 7. Temukan lim . x x-*- co * Jika m>pu maka kita dapat menulis: m = n + kt dimana k>0. Oleh karena itu xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Kita sampai pada contoh 6. Jika ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Di sini pembilangnya tetap, dan penyebutnya bertambah nilai absolutnya, jadi lim -ь = 0. X - *oo X* Disarankan untuk mengingat hasil contoh ini di bentuk berikut: Fungsi pangkat bertambah semakin cepat, semakin besar eksponennya. $хв_Зхг + 7 Contoh 8. Cari lim g L -г-=. Dalam contoh ini x-*® «J* "Г bХ -ох-о dan pembilang serta penyebutnya bertambah tanpa batas. Mari kita bagi pembilang dan pembilangnya penyebut dengan pangkat x tertinggi, yaitu pada xb, maka 3 7_ Contoh 9. Carilah lira... Dengan melakukan transformasi, kita peroleh lira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Karena lim -5 = 0, lim - , = 0 , maka limit penyebut rad-*® X X-+-CD X adalah nol, sedangkan limit pembilangnya adalah 1. Akibatnya, seluruh pecahan bertambah tanpa batas, yaitu t.7x hm X-+ yu Contoh 10. Cari lim Mari kita hitung limit S penyebutnya, mengingat fungsi cos* kontinu: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Maka x->- S lim (l-fsin*) Contoh 15. Temukan lim *<*-e>2 dan lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO tekan (l: - a)2 = z; karena (Λ;-a)2 selalu tumbuh non-negatif dan tanpa batas dengan x, maka untuk x - ±oo variabel baru z-*oc. Oleh karena itu kita memperoleh qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (lihat catatan pada §5). g -*■ co Demikian pula lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, karena x ± oo g m - (x- a)z berkurang tanpa batas sebagai x ->±oo (lihat catatan pada §

Batasan memberikan banyak masalah bagi semua siswa matematika. Untuk menyelesaikan suatu batasan, terkadang Anda harus menggunakan banyak trik dan memilih dari berbagai metode penyelesaian yang tepat untuk contoh tertentu.

Pada artikel ini kami tidak akan membantu Anda memahami batasan kemampuan Anda atau memahami batasan kendali, tetapi kami akan mencoba menjawab pertanyaan: bagaimana memahami batasan dalam matematika tingkat tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada saat yang sama kami akan memberikan beberapa contoh detail penyelesaian limit beserta penjelasannya.

Konsep limit dalam matematika

Pertanyaan pertama adalah: apa batasannya dan batasannya apa? Kita dapat berbicara tentang limit barisan dan fungsi numerik. Kami tertarik dengan konsep limit suatu fungsi, karena konsep inilah yang paling sering ditemui siswa. Tapi pertama-tama, definisi limit yang paling umum:

Katakanlah ada beberapa nilai variabel. Jika nilai ini dalam proses perubahan mendekati angka tertentu tanpa batas A , Itu A – batas nilai ini.

Untuk suatu fungsi yang didefinisikan dalam interval tertentu f(x)=kamu bilangan seperti itu disebut limit A , yang mana fungsinya cenderung kapan X , cenderung ke titik tertentu A . Dot A termasuk dalam interval di mana fungsi tersebut didefinisikan.

Kedengarannya rumit, tetapi penulisannya sangat sederhana:

Lim- dari bahasa Inggris membatasi- membatasi.

Ada juga penjelasan geometris untuk menentukan limit, namun di sini kita tidak akan mendalami teorinya, karena kita lebih tertarik pada sisi praktisnya daripada sisi teoritisnya. Saat kita mengatakan itu X cenderung suatu nilai, artinya variabel tersebut tidak mengambil nilai suatu bilangan, tetapi mendekatinya dengan jarak yang sangat dekat.

Mari kita beri contoh spesifik. Tugasnya adalah menemukan batasnya.

Untuk menyelesaikan contoh ini, kami mengganti nilainya x=3 menjadi suatu fungsi. Kita mendapatkan:

Omong-omong, jika Anda tertarik, baca artikel terpisah tentang topik ini.

Dalam contoh X dapat cenderung ke nilai apa pun. Itu bisa berupa angka berapa pun atau tak terhingga. Berikut ini contoh kapan X cenderung tak terhingga:

Secara intuitif, semakin besar angka penyebutnya, semakin kecil nilai fungsi tersebut. Jadi, dengan pertumbuhan tanpa batas X arti 1/x akan berkurang dan mendekati nol.

Seperti yang Anda lihat, untuk menyelesaikan limit, Anda hanya perlu mensubstitusikan nilai yang ingin diperjuangkan ke dalam fungsi X . Namun, ini adalah kasus yang paling sederhana. Seringkali menemukan batasannya tidak begitu jelas. Dalam batasan tersebut terdapat ketidakpastian jenisnya 0/0 atau tak terhingga/tak terhingga . Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Gunakan trik!

Ketidakpastian di dalam

Ketidakpastian bentuk tak terhingga/tak terhingga

Biarlah ada batasannya:

Jika kita mencoba mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi tersebut, kita akan mendapatkan tak terhingga pada pembilang dan penyebutnya. Secara umum, patut dikatakan bahwa ada elemen seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian tersebut: Anda perlu memperhatikan bagaimana Anda dapat mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastian tersebut hilang. Dalam kasus kami, kami membagi pembilang dan penyebutnya dengan X di tingkat senior. Apa yang akan terjadi?

Dari contoh yang telah dibahas di atas, kita mengetahui bahwa suku-suku yang mengandung x pada penyebutnya akan cenderung nol. Maka penyelesaian limitnya adalah:

Untuk mengatasi ketidakpastian tipe tak terhingga/tak terhingga bagilah pembilang dan penyebutnya dengan X ke tingkat tertinggi.

Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10%.

Jenis ketidakpastian lainnya: 0/0

Seperti biasa, mengganti nilai ke dalam fungsi x=-1 memberi 0 pada pembilang dan penyebutnya. Perhatikan lebih dekat dan Anda akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat pada pembilangnya. Mari kita cari akarnya dan tulis:

Mari kita kurangi dan dapatkan:

Jadi, jika Anda dihadapkan pada ketidakpastian tipe 0/0 – faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk memudahkan Anda menyelesaikan contoh, kami menyajikan tabel dengan limit beberapa fungsi:

Aturan L'Hopital di dalam

Cara ampuh lainnya untuk menghilangkan kedua jenis ketidakpastian tersebut. Apa inti dari metode ini?

Jika terdapat ketidakpastian pada limit, ambil turunan pembilang dan penyebutnya hingga ketidakpastian tersebut hilang.

Aturan L'Hopital terlihat seperti ini:

Poin penting : limit dimana harus ada turunan dari pembilang dan penyebutnya, bukan pembilang dan penyebutnya.

Dan sekarang - contoh nyata:

Ada ketidakpastian yang khas 0/0 . Mari kita ambil turunan dari pembilang dan penyebutnya:

Voila, ketidakpastian terselesaikan dengan cepat dan elegan.

Kami berharap Anda dapat menerapkan informasi ini dengan berguna dalam praktik dan menemukan jawaban atas pertanyaan “bagaimana menyelesaikan limit dalam matematika tingkat tinggi.” Jika Anda perlu menghitung limit suatu barisan atau limit suatu fungsi pada suatu titik, dan sama sekali tidak ada waktu untuk pekerjaan ini, hubungi layanan pelajar profesional untuk mendapatkan solusi yang cepat dan terperinci.

Dalam topik ini kita akan membahas ketiga kelompok batasan dengan irasionalitas yang tercantum di atas. Mari kita mulai dengan limit yang mengandung ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$.

Pengungkapan ketidakpastian $\frac(0)(0)$.

Solusi terhadap contoh standar jenis ini biasanya terdiri dari dua langkah:

• Kita menghilangkan irasionalitas yang menyebabkan ketidakpastian dengan mengalikannya dengan apa yang disebut ekspresi “konjugasi”;
• Jika perlu, faktorkan ekspresi tersebut pada pembilang atau penyebutnya (atau keduanya);
• Kami mengurangi faktor-faktor yang menyebabkan ketidakpastian dan menghitung nilai batas yang diinginkan.

Istilah "ekspresi konjugasi" yang digunakan di atas akan dijelaskan secara rinci dalam contoh. Untuk saat ini tidak ada alasan untuk membahasnya secara detail. Secara umum, Anda dapat melakukan sebaliknya, tanpa menggunakan ekspresi konjugasi. Terkadang pengganti yang dipilih dengan baik dapat menghilangkan irasionalitas. Contoh seperti itu jarang terjadi dalam pengujian standar, jadi kami hanya akan mempertimbangkan satu contoh No. 6 untuk penggunaan pengganti (lihat bagian kedua dari topik ini).

Kita memerlukan beberapa rumus, yang akan saya tuliskan di bawah ini:

\begin(persamaan) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(persamaan) \begin(persamaan) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(persamaan) \begin(persamaan) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(persamaan) \begin (persamaan) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(persamaan)

Selain itu, kami berasumsi bahwa pembaca mengetahui rumus-rumus penyelesaian persamaan kuadrat. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar trinomial kuadrat $ax^2+bx+c$, maka dapat difaktorkan menggunakan rumus berikut:

\begin(persamaan) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(persamaan)

Rumus (1)-(5) cukup memadai untuk menyelesaikan soal standar, yang sekarang akan kita lanjutkan.

Contoh No.1

Cari $\lim_(x\ke 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Sejak $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ dan $\lim_(x\ ke 3) (x-3)=3-3=0$, maka pada batas yang diberikan kita mempunyai ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Perbedaan $\sqrt(7-x)-2$ menghalangi kita mengungkapkan ketidakpastian ini. Untuk menghilangkan irasionalitas tersebut, perkalian dengan apa yang disebut “ekspresi konjugasi” digunakan. Sekarang kita akan melihat cara kerja perkalian tersebut. Kalikan $\sqrt(7-x)-2$ dengan $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Untuk membuka tanda kurung, terapkan , gantikan $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ ke sisi kanan rumus yang disebutkan:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Seperti yang Anda lihat, jika Anda mengalikan pembilangnya dengan $\sqrt(7-x)+2$, maka akar (yaitu, irasionalitas) pada pembilangnya akan hilang. Ekspresi $\sqrt(7-x)+2$ ini akan menjadi mengkonjugasikan ke ekspresi $\sqrt(7-x)-2$. Namun, kita tidak bisa mengalikan pembilangnya dengan $\sqrt(7-x)+2$, karena ini akan mengubah pecahan $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, yaitu di bawah batas. Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya secara bersamaan:

$$ \lim_(x\ke 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \kiri|\frac(0)(0)\kanan|=\lim_(x\ke 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Sekarang ingat bahwa $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ dan buka tanda kurung. Dan setelah membuka tanda kurung dan transformasi kecil $3-x=-(x-3)$, kita mengurangi pecahan sebesar $x-3$:

$$ \lim_(x\ke 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\ke 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\ke 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\ke 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Ketidakpastian $\frac(0)(0)$ telah hilang. Sekarang Anda dapat dengan mudah mendapatkan jawaban dari contoh ini:

$$ \lim_(x\ke 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Saya perhatikan bahwa ekspresi konjugasi dapat mengubah strukturnya, tergantung pada jenis irasionalitas yang harus dihilangkan. Dalam contoh No. 4 dan No. 5 (lihat bagian kedua dari topik ini) jenis ekspresi konjugasi yang berbeda akan digunakan.

Menjawab: $\lim_(x\ke 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Contoh No.2

Carilah $\lim_(x\ke 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Karena $\lim_(x\ke 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ dan $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, maka kita kita sedang menghadapi ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Mari kita hilangkan irasionalitas penyebut pecahan ini. Untuk melakukan ini, kita menambahkan pembilang dan penyebut pecahan $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ ke ekspresi $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugasi ke penyebut:

$$ \lim_(x\ke 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\kiri|\frac(0 )(0)\kanan|= \lim_(x\ke 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Sekali lagi, seperti pada contoh No. 1, Anda perlu menggunakan tanda kurung untuk memperluas. Mengganti $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ ke sisi kanan rumus yang disebutkan, kita memperoleh ekspresi berikut untuk penyebutnya:

$$ \kiri(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\kanan)\kiri(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ kanan)=\\ =\kiri(\sqrt(x^2+5)\kanan)^2-\kiri(\sqrt(7x^2-19)\kanan)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Mari kita kembali ke batas kita:

$$ \lim_(x\ke 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\ke 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ke 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Dalam contoh No. 1, segera setelah perkalian dengan ekspresi konjugasi, pecahannya dikurangi. Di sini, sebelum pengurangan, Anda harus memfaktorkan ekspresi $3x^2-5x-2$ dan $x^2-4$, dan baru kemudian melanjutkan ke pengurangan. Untuk memfaktorkan ekspresi $3x^2-5x-2$ Anda perlu menggunakan . Pertama, selesaikan persamaan kuadrat $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(sejajar) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(sejajar) $$

Mengganti $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ menjadi , kita akan mendapatkan:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\kiri(x-\kiri(-\frac(1)(3)\kanan)\kanan)(x-2)=3\cdot\kiri(x+\ frac(1)(3)\kanan)(x-2)=\kiri(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\kanan)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Sekarang saatnya memfaktorkan ekspresi $x^2-4$. Mari kita gunakan , dengan mengganti $a=x$, $b=2$ ke dalamnya:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Mari kita gunakan hasil yang diperoleh. Karena $x^2-4=(x-2)(x+2)$ dan $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, maka:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ke 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ke 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Mengurangi dengan tanda kurung $x-2$ kita mendapatkan:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ke 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ke 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\akar(7x^2-19)))(x+2). $$

Semua! Ketidakpastian telah hilang. Satu langkah lagi dan kita sampai pada jawabannya:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\ke 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Menjawab: $\lim_(x\ke 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Dalam contoh berikut, pertimbangkan kasus di mana terdapat irasionalitas pada pembilang dan penyebut pecahan.

Contoh No.3

Cari $\lim_(x\ke 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Karena $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ dan $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, maka kita mempunyai ketidakpastian dalam bentuk $ \frac (0)(0)$. Karena dalam hal ini akar-akarnya ada pada penyebut dan pembilangnya, untuk menghilangkan ketidakpastian, Anda harus mengalikan dengan dua tanda kurung sekaligus. Pertama, konjugasi ekspresi $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ ke pembilangnya. Dan kedua, konjugasi ekspresi $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ ke penyebutnya.

$$ \lim_(x\ke 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\kiri|\frac(0)(0)\kanan|=\\ =\lim_(x\ke 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(sejajar) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(sejajar) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Untuk ekspresi $x^2-8x+15$ kita mendapatkan:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(sejajar) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(sejajar)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Mengganti ekspansi yang dihasilkan $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ dan $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ ke dalam limit sedang dipertimbangkan, akan memiliki:

$$ \lim_(x\ke 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\ke 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ persegi(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\hingga 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Menjawab: $\lim_(x\ke 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Pada bagian (kedua) berikutnya, kita akan membahas beberapa contoh lagi di mana ekspresi konjugasi akan memiliki bentuk yang berbeda dari pada soal sebelumnya. Hal utama yang perlu diingat adalah tujuan penggunaan ekspresi konjugasi adalah untuk menghilangkan irasionalitas yang menyebabkan ketidakpastian.

Fungsi dasar dan grafiknya.

Fungsi dasar utama adalah: fungsi pangkat, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi trigonometri invers, serta fungsi polinomial dan rasional, yaitu perbandingan dua polinomial.

Fungsi dasar juga mencakup fungsi-fungsi yang diperoleh dari fungsi dasar dengan menerapkan empat operasi aritmatika dasar dan membentuk fungsi kompleks.

Grafik fungsi dasar

	Garis lurus- grafik fungsi linier y = kapak + b. Fungsi y meningkat secara monoton untuk a > 0 dan menurun untuk a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- grafik fungsi trinomial kuadrat y = kapak 2 + bx + c. Ia memiliki sumbu simetri vertikal. Jika a > 0, memiliki minimum jika a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения kapak 2 + bx +c =0
	Hiperbola- grafik fungsi. Bila a > O terletak pada kuarter I dan III, bila a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) atau y - - x(a< 0).
	Fungsi eksponensial. Eksponen(fungsi eksponensial ke basis e) kamu = ex. (Ejaan lain kamu = pengalaman(x)). Asimtotnya adalah sumbu absis.
	Fungsi logaritma y = log ax(sebuah > 0)
	y = sinx. Gelombang sinus- fungsi periodik dengan periode T = 2π

Batas fungsi.

Fungsi y=f(x) mempunyai bilangan A sebagai limit karena x cenderung ke a, jika untuk sembarang bilangan ε › 0 terdapat bilangan δ › 0 sehingga | kamu – SEBUAH | ‹ ε jika |x - a| ‹ δ,

atau lim y = A

Kontinuitas fungsi.

Fungsi y=f(x) kontinu di titik x = a jika lim f(x) = f(a), mis.

limit suatu fungsi di suatu titik x = a sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.

Menemukan batas-batas fungsi.

Teorema dasar tentang limit fungsi.

1. Batas suatu nilai konstanta sama dengan nilai konstanta ini:

2. Limit suatu jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar dari limit fungsi-fungsi berikut:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali limit fungsi-fungsi tersebut:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi tersebut jika limit penyebutnya tidak sama dengan 0:

lim------- = ----------

Batas luar biasa pertama: lim --------- = 1

Batas luar biasa kedua: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Contoh mencari limit fungsi.

5.1. Contoh:

Batas apa pun terdiri dari tiga bagian:

1) Ikon batas yang terkenal.

2) Entri di bawah ikon batas. Entrinya berbunyi “X cenderung satu.” Paling sering itu adalah x, meskipun selain "x" bisa ada variabel lain. Di tempat satu bisa ada bilangan apa pun, serta tak terhingga 0 atau .

3) Fungsi di bawah tanda limit, dalam hal ini .

Rekaman itu sendiri berbunyi seperti ini: “limit suatu fungsi karena x cenderung kesatuan.”

Sebuah pertanyaan yang sangat penting - apa arti ungkapan "x"? berusaha untuk satu"? Ekspresi "x" berusaha to one” harus dipahami sebagai berikut: “x” secara konsisten mengambil nilai-nilai yang mendekati kesatuan yang sangat dekat dan secara praktis bertepatan dengannya.

Bagaimana cara mengatasi contoh di atas? Berdasarkan penjelasan di atas, Anda hanya perlu mensubstitusikan satu ke dalam fungsi di bawah tanda limit:

Jadi aturan pertama : Jika diberi batasan, pertama-tama Anda cukup memasukkan angka tersebut ke dalam fungsi.

5.2. Contoh dengan tak terhingga:

Mari kita cari tahu apa itu? Ini adalah kasus ketika jumlahnya meningkat tanpa batas.

Jadi jika , lalu fungsinya cenderung minus tak terhingga:

Menurut aturan pertama kita, alih-alih “X” kita mengganti fungsinya tak terbatas dan kami mendapatkan jawabannya.

5.3. Contoh lain dengan ketidakterbatasan:

Sekali lagi kita mulai meningkat hingga tak terhingga, dan melihat perilaku fungsinya.
Kesimpulan: fungsinya meningkat tanpa batas

5.4. Serangkaian contoh:

Cobalah untuk menganalisis sendiri secara mental contoh-contoh berikut dan selesaikan jenis batasan yang paling sederhana:

, , , , , , , , ,

Apa yang perlu Anda ingat dan pahami dari penjelasan di atas?

Jika diberi batasan apa pun, pertama-tama masukkan angka tersebut ke dalam fungsi. Pada saat yang sama, Anda harus memahami dan segera menyelesaikan batasan yang paling sederhana, seperti , , dll.

6. Batasan dengan ketidakpastian jenis dan metode untuk menyelesaikannya.

Sekarang kita akan membahas kelompok limit ketika , dan fungsinya adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial.

6.1. Contoh:

Hitung batas

Menurut aturan kami, kami mencoba mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi tersebut. Apa yang kita dapatkan di puncak? Ketakterbatasan. Dan apa yang terjadi di bawah? Juga tak terhingga. Jadi, kita menghadapi apa yang disebut ketidakpastian spesies. Orang mungkin berpikir bahwa = 1, dan jawabannya sudah siap, tetapi dalam kasus umum hal ini tidak terjadi sama sekali, dan Anda perlu menerapkan beberapa teknik solusi, yang sekarang akan kita pertimbangkan.

Bagaimana cara mengatasi limit jenis ini?

Pertama kita lihat pembilangnya dan cari pangkat tertinggi:

Pangkat terdepan pada pembilangnya adalah dua.

Sekarang kita melihat penyebutnya dan juga mencari pangkat tertinggi:

Derajat tertinggi penyebutnya adalah dua.

Kemudian kita pilih pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya: dalam contoh ini, keduanya sama dan sama dengan dua.

Jadi, cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut: untuk mengungkapkan ketidakpastian Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan di tingkat senior.

Jadi, jawabannya bukan 1.

Contoh

Temukan batasnya

Sekali lagi pada pembilang dan penyebut kita temukan pada derajat tertinggi:

Gelar maksimum dalam pembilang: 3

Derajat maksimum dalam penyebut: 4

Memilih terbesar nilai, dalam hal ini empat.
Menurut algoritme kami, untuk mengungkap ketidakpastian, kami membagi pembilang dan penyebutnya dengan .

Contoh

Temukan batasnya

Derajat maksimal “X” pada pembilangnya: 2

Derajat maksimal “X” pada penyebut: 1 (dapat ditulis sebagai)
Untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan . Solusi akhirnya mungkin terlihat seperti ini:

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Larutan batas fungsi online. Temukan nilai batas suatu fungsi atau barisan fungsional pada suatu titik, hitung terakhir nilai fungsi di tak terhingga. menentukan konvergensi suatu deret bilangan dan masih banyak lagi yang dapat dilakukan berkat layanan online kami -. Kami memungkinkan Anda menemukan batasan fungsi secara online dengan cepat dan akurat. Anda sendiri yang memasukkan variabel fungsi dan batas kecenderungannya, dan layanan kami melakukan semua perhitungan untuk Anda, memberikan jawaban yang akurat dan sederhana. Dan untuk menemukan batasnya secara online Anda dapat memasukkan deret numerik dan fungsi analitik yang berisi konstanta dalam ekspresi literal. Dalam hal ini, limit fungsi yang ditemukan akan berisi konstanta-konstanta ini sebagai argumen konstanta dalam ekspresi. Layanan kami memecahkan masalah pencarian yang rumit batas daring, cukup dengan menunjukkan fungsi dan titik yang perlu dihitung membatasi nilai fungsi. Menghitung batas daring, Anda dapat menggunakan berbagai metode dan aturan untuk menyelesaikannya, sambil memeriksa hasil yang diperoleh dengan memecahkan batas secara online di www.site, yang akan mengarah pada penyelesaian tugas yang berhasil - Anda akan menghindari kesalahan dan kesalahan administrasi Anda sendiri. Atau Anda dapat sepenuhnya mempercayai kami dan menggunakan hasil kami dalam pekerjaan Anda, tanpa menghabiskan tenaga dan waktu ekstra untuk menghitung batas fungsi secara mandiri. Kami mengizinkan input nilai batas seperti tak terhingga. Penting untuk memasukkan anggota umum dari barisan bilangan dan www.situs akan menghitung nilainya batasi secara daring hingga plus atau minus tak terhingga.

Salah satu konsep dasar analisis matematis adalah batas fungsi Dan batas urutan pada suatu titik dan tak terhingga, penting untuk dapat menyelesaikannya dengan benar batas. Dengan layanan kami ini tidak akan sulit. Sebuah keputusan dibuat batas daring dalam beberapa detik, jawabannya akurat dan lengkap. Kajian analisis matematis dimulai dengan transisi ke batas, batas digunakan di hampir semua bidang matematika tingkat tinggi, jadi akan berguna jika memiliki server solusi batas online, yang merupakan situsnya.