Menyederhanakan ekspresi trigonometri online. Transformasi identitas ekspresi trigonometri

PADA transformasi identik ekspresi trigonometri trik aljabar berikut dapat digunakan: menambah dan mengurangi suku yang identik; mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung; perkalian dan pembagian dengan nilai yang sama; penerapan rumus perkalian singkat; pemilihan kotak penuh; faktorisasi trinomial persegi; pengenalan variabel baru untuk menyederhanakan transformasi.

Saat mengonversi ekspresi trigonometri yang mengandung pecahan, Anda dapat menggunakan sifat proporsi, pengurangan pecahan, atau pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama. Selain itu, Anda dapat menggunakan pemilihan bagian bilangan bulat dari pecahan, mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan nilai yang sama, dan juga, jika memungkinkan, memperhitungkan keseragaman pembilang atau penyebut. Jika perlu, Anda dapat menyatakan pecahan sebagai jumlah atau selisih dari beberapa pecahan sederhana.

Selain itu, ketika menerapkan semua metode yang diperlukan untuk mengonversi ekspresi trigonometri, perlu untuk selalu memperhitungkan kisaran nilai yang diizinkan dari ekspresi yang dikonversi.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1

Hitung A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Keputusan.

Ini mengikuti dari rumus pengurangan:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Dari mana, berdasarkan rumus untuk penambahan argumen dan identitas trigonometri dasar, kami memperoleh

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Jawaban 1.

Contoh 2

Ubah pernyataan M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ menjadi suatu hasil kali.

Keputusan.

Dari rumus penambahan argumen dan rumus untuk mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi produk, setelah pengelompokan yang sesuai, kami memiliki

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Jawab: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Contoh 3.

Tunjukkan bahwa ekspresi A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) mengambil semua x dari R satu dan nilai yang sama. Temukan nilai ini.

Keputusan.

Kami menyajikan dua metode untuk memecahkan masalah ini. Menerapkan metode pertama, dengan mengisolasi kuadrat penuh dan menggunakan rumus trigonometri dasar yang sesuai, kami memperolehnya

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Menyelesaikan soal dengan cara kedua, pertimbangkan A sebagai fungsi dari x dari R dan hitung turunannya. Setelah transformasi, kita dapatkan

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Oleh karena itu, berdasarkan kriteria keteguhan suatu fungsi yang dapat dibedakan pada suatu interval, kami menyimpulkan bahwa

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Jawab: A = 3/4 untuk x € R.

Metode utama untuk membuktikan identitas trigonometri adalah:

sebuah) pengurangan sisi kiri identitas ke sisi kanan dengan transformasi yang sesuai;
b) pengurangan sisi kanan identitas ke kiri;
di dalam) pengurangan bagian kanan dan kiri identitas menjadi bentuk yang sama;
G) pengurangan menjadi nol perbedaan antara bagian kiri dan kanan dari identitas yang dibuktikan.

Contoh 4

Periksa bahwa cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Keputusan.

Mengubah sisi kanan identitas ini sesuai dengan rumus trigonometri yang sesuai, kita punya

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Sisi kanan identitas direduksi menjadi sisi kiri.

Contoh 5

Buktikan bahwa sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 jika α, β, γ adalah sudut dalam suatu segitiga.

Keputusan.

Mempertimbangkan bahwa α, β, γ adalah sudut dalam suatu segitiga, kita memperolehnya

α + β + γ = π dan karenanya γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Kesetaraan asli terbukti.

Contoh 6

Buktikan bahwa agar salah satu sudut α, β, γ segitiga sama dengan 60°, perlu dan cukup bahwa sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Keputusan.

Kondisi masalah ini mengandaikan bukti kebutuhan dan kecukupan.

Pertama kita buktikan kebutuhan.

Dapat ditunjukkan bahwa

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan bahwa cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, kita memperoleh bahwa jika salah satu sudut α, β atau γ sama dengan 60°, maka

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 sehingga sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ayo buktikan sekarang kecukupan kondisi yang ditentukan.

Jika sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, maka cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, dan karenanya

baik cos (3α/2) = 0, atau cos (3β/2) = 0, atau cos (3γ/2) = 0.

Akibatnya,

atau 3α/2 = π/2 + πk, yaitu α = π/3 + 2πk/3,

atau 3β/2 = π/2 + πk, yaitu β = π/3 + 2πk/3,

atau 3γ/2 = π/2 + πk,

itu. γ = π/3 + 2πk/3, dengan k ϵ Z.

Dari fakta bahwa α, β, γ adalah sudut segitiga, kita dapatkan

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Oleh karena itu, untuk α = π/3 + 2πk/3 atau β = π/3 + 2πk/3 atau

γ = π/3 + 2πk/3 dari semua kϵZ hanya k = 0 yang cocok.

Oleh karena itu, α = π/3 = 60°, atau β = π/3 = 60°, atau γ = π/3 = 60°.

Ketegasan itu terbukti.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyederhanakan ekspresi trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Bagian: Matematika

Kelas: 11

Pelajaran 1

Tema: Kelas 11 (persiapan ujian)

Penyederhanaan ekspresi trigonometri.

Solusi persamaan trigonometri paling sederhana. (2 jam)

Sasaran:

Mensistematisasi, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan rumus trigonometri dan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Perlengkapan untuk pelajaran:

Struktur pelajaran:

Momen org
Pengujian pada laptop. Pembahasan hasil.
Menyederhanakan ekspresi trigonometri
Solusi persamaan trigonometri paling sederhana
Pekerjaan mandiri.
Ringkasan pelajaran. Penjelasan pekerjaan rumah.

1. Momen pengorganisasian. (2 menit.)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran, mengingatkan bahwa tugas sebelumnya diberikan untuk mengulang rumus trigonometri dan menyiapkan siswa untuk ujian.

2. Pengujian. (15 menit + 3 menit diskusi)

Tujuannya untuk menguji pengetahuan tentang rumus trigonometri dan kemampuan mengaplikasikannya. Setiap siswa memiliki laptop di mejanya yang berisi pilihan tes.

Ada sejumlah opsi, saya akan memberikan contoh salah satunya:

saya pilihan.

Sederhanakan ekspresi:

a) identitas trigonometri dasar

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) rumus penjumlahan

3. sin5x - sin3x;

c) mengubah produk menjadi jumlah

6.2sin8y cos3y;

d) rumus sudut rangkap

7.2sin5x cos5x;

e) rumus setengah sudut

f) rumus sudut rangkap tiga

g) substitusi universal

h) menurunkan derajat

16. cos 2 (3x/7);

Siswa di laptop di depan setiap rumus melihat jawaban mereka.

Pekerjaan langsung diperiksa oleh komputer. Hasilnya ditampilkan di layar besar untuk dilihat semua orang.

Selain itu, setelah pekerjaan selesai, jawaban yang benar ditampilkan di laptop siswa. Setiap siswa melihat di mana kesalahan itu dibuat dan rumus apa yang perlu dia ulangi.

3. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. (25 mnt.)

Tujuannya adalah untuk mengulang, mengerjakan dan memantapkan penerapan rumus dasar trigonometri. Memecahkan masalah B7 dari ujian.

Pada tahap ini, disarankan untuk membagi kelas menjadi kelompok siswa yang kuat (bekerja secara mandiri dengan verifikasi selanjutnya) dan siswa yang lemah yang bekerja dengan guru.

Tugas untuk siswa yang kuat (dipersiapkan sebelumnya berdasarkan cetakan). Penekanan utamanya adalah pada rumus reduksi dan sudut ganda, menurut USE 2011.

Menyederhanakan ekspresi (untuk pembelajar yang kuat):

Secara paralel, guru bekerja dengan siswa yang lemah, mendiskusikan dan menyelesaikan tugas di layar di bawah perintah siswa.

Menghitung:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

Menyederhanakan:

Tibalah giliran untuk membahas hasil kerja kelompok yang kuat.

Jawaban muncul di layar, dan juga, dengan bantuan kamera video, karya 5 siswa yang berbeda ditampilkan (masing-masing satu tugas).

Kelompok lemah melihat kondisi dan cara penyelesaiannya. Ada pembahasan dan analisis. Dengan penggunaan sarana teknis, ini terjadi dengan cepat.

4. Solusi persamaan trigonometri paling sederhana. (30 menit.)

Tujuannya adalah mengulang, mensistematisasikan, dan menggeneralisasi solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana, mencatat akarnya. Solusi dari masalah B3.

Persamaan trigonometri apa pun, tidak peduli bagaimana kita menyelesaikannya, mengarah ke yang paling sederhana.

Saat menyelesaikan tugas, siswa harus memperhatikan penulisan akar persamaan kasus tertentu dan bentuk umum serta pemilihan akar pada persamaan terakhir.

Selesaikan Persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil dari jawabannya.

5. Pekerjaan mandiri (10 mnt.)

Tujuannya adalah untuk menguji keterampilan yang diperoleh, mengidentifikasi masalah, kesalahan, dan cara untuk menghilangkannya.

Berbagai pekerjaan ditawarkan pada pilihan siswa.

Opsi untuk "3"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Sederhanakan pernyataan 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Selesaikan persamaan

Opsi untuk "4"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Selesaikan persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

Opsi untuk "5"

1) Temukan tgα jika

2) Temukan akar persamaan Tuliskan akar positif terkecil dari jawaban Anda.

6. Ringkasan pelajaran (5 menit)

Guru merangkum fakta bahwa pelajaran mengulang dan mengkonsolidasikan rumus trigonometri, solusi dari persamaan trigonometri paling sederhana.

Pekerjaan rumah ditugaskan (dipersiapkan secara cetak sebelumnya) dengan pemeriksaan mendadak di pelajaran berikutnya.

Selesaikan Persamaan:

10) Berikan jawaban Anda sebagai akar positif terkecil.

Pelajaran 2

Tema: Kelas 11 (persiapan ujian)

Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri. Pemilihan akar. (2 jam)

Sasaran:

Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang penyelesaian persamaan trigonometri dari berbagai jenis.
Untuk mempromosikan pengembangan pemikiran matematis siswa, kemampuan untuk mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, mengklasifikasikan.
Mendorong siswa untuk mengatasi kesulitan dalam proses aktivitas mental, pengendalian diri, introspeksi aktivitasnya.

Perlengkapan untuk pelajaran: KRMu, laptop untuk setiap siswa.

Struktur pelajaran:

Momen org
Pembahasan d/s dan samot. pekerjaan pelajaran terakhir
Pengulangan metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.
Memecahkan persamaan trigonometri
Pemilihan akar dalam persamaan trigonometri.
Pekerjaan mandiri.
Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah.

1. Momen pengorganisasian (2 menit)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran dan rencana kerja.

2. a) Analisis pekerjaan rumah (5 mnt.)

Tujuannya adalah untuk memeriksa kinerja. Satu karya dengan bantuan kamera video ditampilkan di layar, sisanya dikumpulkan secara selektif untuk diperiksa oleh guru.

b) Analisis pekerjaan mandiri (3 mnt.)

Tujuannya adalah untuk memilah kesalahan, menunjukkan cara untuk mengatasinya.

Di layar adalah jawaban dan solusi, siswa telah menerbitkan pekerjaan mereka sebelumnya. Analisis berjalan cepat.

3. Pengulangan metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri (5 menit)

Tujuannya adalah untuk mengingat metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

Tanyakan kepada siswa metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang mereka ketahui. Tekankan bahwa ada yang disebut metode dasar (sering digunakan):

substitusi variabel,
faktorisasi,
persamaan homogen,

dan ada metode yang diterapkan:

menurut rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah,
dengan rumus reduksi,
substitusi trigonometri universal
pengenalan sudut bantu,
perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri.

Juga harus diingat bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Memecahkan persamaan trigonometri (30 mnt.)

Tujuannya adalah untuk menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan tentang topik ini, untuk mempersiapkan penyelesaian C1 dari USE.

Saya menganggap perlu untuk memecahkan persamaan untuk setiap metode bersama dengan siswa.

Siswa mendiktekan solusinya, guru menuliskannya di tablet, seluruh proses ditampilkan di layar. Ini akan memungkinkan Anda dengan cepat dan efisien memulihkan materi yang sebelumnya tercakup dalam memori Anda.

Selesaikan Persamaan:

1) perubahan variabel 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisasi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) persamaan homogen sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) mengubah hasil penjumlahan menjadi cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) ubah hasilnya menjadi jumlah 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) menurunkan derajat sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substitusi trigonometri universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Saat menyelesaikan persamaan ini, perlu dicatat bahwa penggunaan metode ini mengarah pada penyempitan domain definisi, karena sinus dan cosinus diganti dengan tg(x/2). Oleh karena itu, sebelum menuliskan jawabannya, perlu diperiksa apakah bilangan dari himpunan π + 2πn, n Z adalah kuda dari persamaan ini.

8) pengenalan sudut bantu √3sinx + cosx - √2 = 0

9) perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pemilihan akar persamaan trigonometri (20 mnt.)

Karena dalam kondisi persaingan yang ketat saat masuk perguruan tinggi, solusi ujian bagian pertama saja tidak cukup, sebagian besar siswa harus memperhatikan tugas bagian kedua (C1, C2, C3).

Oleh karena itu, tujuan dari tahapan pembelajaran ini adalah untuk mengingat kembali materi yang telah dipelajari sebelumnya, untuk mempersiapkan penyelesaian soal C1 dari USE tahun 2011.

Ada persamaan trigonometri di mana Anda harus memilih akar saat menuliskan jawabannya. Hal ini disebabkan oleh beberapa batasan, misalnya: penyebut pecahan tidak sama dengan nol, ekspresi di bawah akar derajat genap adalah non-negatif, ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif, dll.

Persamaan semacam itu dianggap sebagai persamaan dengan kompleksitas yang meningkat dan dalam versi USE ada di bagian kedua, yaitu C1.

Selesaikan persamaan:

Pecahan adalah nol jika maka menggunakan unit circle, kita akan memilih akar (lihat Gambar 1)

Gambar 1.

kita mendapatkan x = π + 2πn, n Z

Jawab: π + 2πn, n Z

Di layar, pemilihan akar ditampilkan pada lingkaran dalam gambar berwarna.

Produk sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan busur, pada saat yang sama, tidak kehilangan artinya. Kemudian

Menggunakan lingkaran unit, pilih akar (lihat Gambar 2)

Pelajaran video "Penyederhanaan ekspresi trigonometri" dirancang untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam memecahkan masalah trigonometri menggunakan identitas trigonometri dasar. Selama pelajaran video, jenis identitas trigonometri dipertimbangkan, contoh penyelesaian masalah dengan penggunaannya. Dengan menggunakan alat bantu visual, lebih mudah bagi guru untuk mencapai tujuan pelajaran. Presentasi materi yang jelas berkontribusi pada menghafal poin-poin penting. Penggunaan efek animasi dan akting suara memungkinkan Anda untuk sepenuhnya menggantikan guru pada tahap penjelasan materi. Dengan demikian, dengan menggunakan alat bantu visual ini dalam pembelajaran matematika, guru dapat meningkatkan keefektifan pengajaran.

Di awal pelajaran video, topiknya diumumkan. Kemudian identitas trigonometri yang dipelajari sebelumnya diingat. Layar menampilkan persamaan sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, di mana t≠π/2+πk untuk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, true untuk t≠πk, di mana kϵZ, tan t · ctg t=1, di t≠πk/2, di mana kϵZ, disebut identitas trigonometri dasar. Perlu dicatat bahwa identitas ini sering digunakan dalam memecahkan masalah yang diperlukan untuk membuktikan kesetaraan atau menyederhanakan ekspresi.

Selanjutnya, contoh penerapan identitas ini dalam memecahkan masalah dipertimbangkan. Pertama, diusulkan untuk mempertimbangkan pemecahan masalah penyederhanaan ekspresi. Dalam contoh 1, pernyataan cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t perlu disederhanakan. Untuk menyelesaikan contoh, faktor persekutuan cos 2 t dikurung terlebih dahulu. Sebagai hasil dari transformasi dalam tanda kurung, ekspresi 1-cos 2 t diperoleh, yang nilainya dari identitas dasar trigonometri sama dengan sin 2 t. Setelah mengubah ekspresi, jelas bahwa satu faktor umum lagi sin 2 t dapat dikeluarkan dari tanda kurung, setelah itu ekspresi mengambil bentuk sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Dari identitas dasar yang sama, kita menyimpulkan nilai ekspresi dalam tanda kurung sama dengan 1. Sebagai hasil penyederhanaan, kita memperoleh cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Dalam contoh 2, ekspresi cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) juga perlu disederhanakan. Karena biaya ekspresi ada di pembilang kedua pecahan, biaya tersebut dapat dikurung sebagai faktor persekutuan. Kemudian pecahan dalam tanda kurung direduksi menjadi penyebut yang sama dengan mengalikan (1- sint)(1+ sint). Setelah dikurangi suku-suku yang serupa, 2 tetap menjadi pembilangnya, dan 1 - sin 2 t menjadi penyebutnya. Di sisi kanan layar, identitas trigonometri dasar sin 2 t+cos 2 t=1 dipanggil kembali. Dengan menggunakannya, kami menemukan penyebut pecahan cos 2 t. Setelah mengurangi pecahan, kami mendapatkan bentuk ekspresi biaya / (1- sint) + biaya / (1 + sint) \u003d 2 / biaya yang disederhanakan.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan contoh pembuktian identitas di mana pengetahuan yang diperoleh tentang identitas dasar trigonometri diterapkan. Dalam Contoh 3, perlu dibuktikan identitasnya (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Sisi kanan layar menampilkan tiga identitas yang akan diperlukan untuk pembuktian - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t dan tg t=sin t/cos t dengan batasan. Untuk membuktikan identitasnya, tanda kurung dibuka terlebih dahulu, setelah itu hasil perkalian yang mencerminkan ekspresi identitas trigonometri utama tg t·ctg t=1. Kemudian, sesuai dengan identitas dari definisi kotangen, ctg 2 t ditransformasikan. Sebagai hasil transformasi, ekspresi 1-cos 2 t diperoleh. Menggunakan identitas dasar, kami menemukan nilai ekspresi. Jadi, terbukti bahwa (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dalam contoh 4, Anda perlu menemukan nilai ekspresi tg 2 t+ctg 2 t jika tg t+ctg t=6. Untuk mengevaluasi ekspresi, ruas kanan dan kiri persamaan (tg t+ctg t) 2 =6 2 dikuadratkan terlebih dahulu. Rumus perkalian singkat ditampilkan di sisi kanan layar. Setelah membuka tanda kurung di sisi kiri ekspresi, jumlah tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t terbentuk, untuk transformasi yang salah satu identitas trigonometri tg t ctg t=1 dapat diterapkan, bentuk yang diingat di sisi kanan layar. Setelah transformasi, persamaan tg 2 t+ctg 2 t=34 diperoleh. Ruas kiri persamaan bertepatan dengan kondisi soal, jadi jawabannya adalah 34. Soal selesai.

Pelajaran video "Menyederhanakan ekspresi trigonometri" direkomendasikan untuk digunakan dalam pelajaran matematika sekolah tradisional. Selain itu, materi tersebut akan bermanfaat bagi seorang guru yang memberikan pembelajaran jarak jauh. Untuk membentuk keterampilan dalam memecahkan masalah trigonometri.

INTERPRETASI TEKS:

"Penyederhanaan ekspresi trigonometri".

Persamaan

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kuadrat te ditambah cosinus kuadrat te sama dengan satu)

2) tgt =, pada t ≠ + πk, kϵZ (garis singgung te sama dengan rasio sinus te terhadap kosinus te ketika te tidak sama dengan pi dengan dua ditambah pi ka, ka milik zet)

3) ctgt = , pada t ≠ πk, kϵZ (kotangen te sama dengan rasio kosinus te terhadap sinus te ketika te tidak sama dengan puncak ka, yang dimiliki oleh z).

4) tgt ∙ ctgt = 1 untuk t ≠ , kϵZ

disebut identitas trigonometri dasar.

Seringkali mereka digunakan dalam menyederhanakan dan membuktikan ekspresi trigonometri.

Pertimbangkan contoh penggunaan rumus ini saat menyederhanakan ekspresi trigonometri.

CONTOH 1. Sederhanakan ungkapan: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ekspresi cosinus kuadrat te dikurangi cosinus derajat keempat te ditambah sinus derajat keempat te).

Keputusan. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kami mengeluarkan faktor persekutuan cosinus te, dalam tanda kurung kami mendapatkan perbedaan antara kesatuan dan kuadrat cosinus te, yang sama dengan kuadrat sinus te dengan identitas pertama. Kami mendapatkan jumlah sinus keempat derajat te produk cosinus persegi te dan sinus persegi te Kita keluarkan faktor persekutuan sinus kuadrat te di luar tanda kurung, dalam tanda kurung kita mendapatkan jumlah kuadrat dari cosinus dan sinus, yang menurut trigonometri dasar identitas, sama dengan 1. Hasilnya, kita mendapatkan kuadrat dari sinus te).

CONTOH 2. Sederhanakan ekspresi: + .

(ekspresi menjadi jumlah dari dua pecahan dalam pembilang cosinus te pertama dalam penyebut satu dikurangi sinus te, dalam pembilang cosinus te kedua dalam penyebut yang kedua ditambah sinus te).

(Kami mengeluarkan faktor persekutuan cosinus te dari tanda kurung, dan dalam tanda kurung kami membawanya ke penyebut yang sama, yang merupakan hasil kali satu dikurangi sinus te dengan satu ditambah sinus te.

Di pembilang kita mendapatkan: satu ditambah sinus te ditambah satu dikurangi sinus te, kita berikan yang serupa, pembilangnya sama dengan dua setelah membawa yang serupa.

Dalam penyebut, Anda dapat menerapkan rumus perkalian singkat (selisih kuadrat) dan mendapatkan selisih antara satuan dan kuadrat dari sinus te, yang menurut identitas trigonometri dasar

sama dengan kuadrat dari kosinus te. Setelah direduksi dengan cosinus te, kita mendapatkan jawaban akhir: dua dibagi dengan cosinus te).

Perhatikan contoh penggunaan rumus ini dalam pembuktian ekspresi trigonometri.

CONTOH 3. Buktikan identitasnya (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (hasil kali selisih antara kuadrat garis singgung te dan sinus te dan kuadrat kotangen dari te sama dengan kuadrat sinus te).

Bukti.

Mari ubah sisi kiri persamaan:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Mari kita buka tanda kurung, dari relasi yang diperoleh sebelumnya diketahui bahwa perkalian kuadrat garis singgung te dengan kotangen te sama dengan satu. Ingatlah bahwa kotangen te sama dengan rasio cosinus dari te dengan sinus te, artinya kuadrat kotangen adalah perbandingan kuadrat cosinus te dengan kuadrat sinus te.

Setelah direduksi dengan sinus kuadrat te, kita memperoleh selisih antara satu dan kosinus kuadrat te, yang sama dengan sinus kuadrat te). Q.E.D.

CONTOH 4. Temukan nilai ekspresi tg 2 t + ctg 2 t jika tgt + ctgt = 6.

(jumlah kuadrat garis singgung te dan kotangen te, jika jumlah garis singgung dan kotangen adalah enam).

Keputusan. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mari kuadratkan kedua bagian persamaan awal:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kuadrat dari jumlah garis singgung te dan kotangen te adalah enam kuadrat). Ingat rumus perkalian yang disingkat: Kuadrat dari jumlah dua kuantitas sama dengan kuadrat dari yang pertama ditambah dua kali hasil kali dari yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Kita mendapatkan tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Karena hasil kali garis singgung te dan kotangen te sama dengan satu, maka tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (jumlah kuadrat garis singgung te dan kotangen te dan dua adalah tiga puluh enam),