Midperpendicular dalam segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran yang dilingkari tentang sebuah segitiga Sebuah segitiga yang ditorehkan dalam sebuah lingkaran

Bukti teorema tentang sifat-sifat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga

Midperpendicular ke segmen

Definisi 1 . Midperpendicular ke segmen disebut, garis lurus tegak lurus segmen ini dan melewati tengahnya (Gbr. 1).

Teorema 1. Setiap titik dari garis bagi tegak lurus ke segmen adalah pada jarak yang sama dari ujung segmen ini.

Bukti . Pertimbangkan sembarang titik D yang terletak pada garis bagi tegak lurus ke segmen AB (Gbr. 2), dan buktikan bahwa segitiga ADC dan BDC sama.

Memang, segitiga ini adalah segitiga siku-siku yang kakinya AC dan BC sama, sedangkan kakinya DC biasa. Dari persamaan segitiga ADC dan BDC, berikut persamaan segmen AD dan DB. Teorema 1 terbukti.

Teorema 2 (Membalik Teorema 1). Jika suatu titik berada pada jarak yang sama dari ujung suatu ruas, maka titik tersebut terletak pada garis bagi tegak lurus ruas tersebut.

Bukti . Mari kita buktikan Teorema 2 dengan metode “dengan kontradiksi”. Untuk tujuan ini, misalkan beberapa titik E berada pada jarak yang sama dari ujung segmen, tetapi tidak terletak pada garis bagi tegak lurus segmen ini. Mari kita membawa asumsi ini ke kontradiksi. Pertama-tama mari kita pertimbangkan kasus ketika titik E dan A terletak pada sisi yang berlawanan dari garis bagi tegak lurus (Gbr. 3). Dalam hal ini, segmen EA berpotongan dengan garis tengah tegak lurus di beberapa titik, yang akan kita tunjukkan dengan huruf D.

Mari kita buktikan bahwa segmen AE lebih panjang dari segmen EB. Benar-benar,

Jadi, jika titik E dan A terletak pada sisi yang berlawanan dari garis bagi tegak lurus, kita memperoleh kontradiksi.

Sekarang perhatikan kasus ketika titik E dan A terletak pada sisi yang sama dari garis bagi tegak lurus (Gbr. 4). Mari kita buktikan bahwa segmen EB lebih panjang dari segmen AE. Benar-benar,

Kontradiksi yang dihasilkan melengkapi pembuktian Teorema 2

Lingkaran yang membatasi sebuah segitiga

Definisi 2 . Sebuah lingkaran yang membatasi sebuah segitiga, sebut lingkaran yang melewati ketiga simpul segitiga (Gbr. 5). Dalam hal ini segitiga disebut segitiga tertulis dalam lingkaran atau segitiga tertulis.

Sifat-sifat lingkaran yang dibatasi tentang segitiga. Teorema sinus

Angka	Menggambar	Properti
Midperpendiculars ke sisi segitiga		berpotongan pada satu titik .

Tengah dibatasi tentang segitiga lancip dari sebuah lingkaran		Pusat dijelaskan tentang bersudut tajam di dalam segi tiga.
Tengah lingkaran dibatasi tentang segitiga siku-siku		Pusat yang dijelaskan tentang persegi panjang titik tengah sisi miring .
Tengah dibatasi sekitar segitiga tumpul dari sebuah lingkaran		Pusat dijelaskan tentang tumpul lingkaran segitiga terletak di luar segi tiga.
		,
Persegi segi tiga		S= 2R 2 dosa A dosa B dosa C ,
Jari-jari lingkaran yang dibatasi		Untuk segitiga apa pun, persamaannya benar:

Midperpendiculars ke sisi segitiga

Semua garis bagi tegak lurus ditarik ke sisi segitiga sembarang, berpotongan pada satu titik .

Lingkaran yang membatasi sebuah segitiga

Segitiga apa pun dapat dibatasi oleh lingkaran. . Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga adalah titik di mana semua garis bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi-sisi segitiga berpotongan.

Pusat lingkaran dibatasi sekitar segitiga lancip

Pusat dijelaskan tentang bersudut tajam lingkaran segitiga terletak di dalam segi tiga.

Pusat lingkaran dibatasi tentang segitiga siku-siku

Pusat yang dijelaskan tentang persegi panjang segitiga lingkaran adalah titik tengah sisi miring .

Pusat lingkaran dibatasi sekitar segitiga tumpul

Pusat dijelaskan tentang tumpul lingkaran segitiga terletak di luar segi tiga.

Untuk segitiga apa pun, persamaan berlaku (teorema sinus):

di mana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, A, B, C adalah sudut segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Luas segitiga

Untuk segitiga apa pun, persamaannya benar:

S= 2R 2 dosa A dosa B dosa C ,

dimana A, B, C adalah sudut segitiga, S adalah luas segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Jari-jari lingkaran yang dibatasi

Untuk segitiga apa pun, persamaannya benar:

dimana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, S adalah luas segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Bukti teorema tentang sifat-sifat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga

Teorema 3. Semua midperpendiculars ditarik ke sisi segitiga sembarang berpotongan pada satu titik.

Bukti . Pertimbangkan dua garis bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi AC dan AB dari segitiga ABC , dan tunjukkan titik perpotongannya dengan huruf O (Gbr. 6).

Karena titik O terletak pada garis bagi tegak lurus ke segmen AC , maka berdasarkan Teorema 1 persamaan berlaku.

Tengah tegak lurus (median tegak lurus atau perantara wanita) adalah garis lurus yang tegak lurus dengan ruas tertentu dan melalui titik tengahnya.

Properti

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

di mana subskrip menunjukkan sisi yang tegak lurus ditarik,

S

adalah luas segitiga, dan juga diasumsikan bahwa sisi-sisinya berhubungan dengan ketidaksetaraan

a\geqslant b \geqslant c.

p_a\geq p_b

Dan

p_c\geq p_b.

Dengan kata lain, untuk segitiga, garis bagi tegak lurus terkecil mengacu pada segmen tengah.

Tulis ulasan tentang artikel "Tegak Lurus Tengah"

Catatan

Kutipan yang mencirikan garis bagi tegak lurus

Kutuzov, berhenti untuk mengunyah, menatap Wolzogen dengan heran, seolah tidak mengerti apa yang diperintahkan kepadanya. Wolzogen, memperhatikan kegembiraan des alten Herrn, [pria tua (Jerman)], berkata sambil tersenyum:
- Saya tidak menganggap diri saya berhak untuk menyembunyikan dari Yang Mulia apa yang saya lihat ... Pasukan benar-benar kacau ...
- Sudahkah kau melihat? Apakah kamu melihat? .. - Kutuzov berteriak dengan cemberut, dengan cepat bangkit dan maju ke Wolzogen. “Beraninya kau… beraninya kau…!” teriaknya, membuat gerakan mengancam dengan tangan gemetar dan tersedak. - Beraninya kamu, Tuanku, mengatakan ini padaku. Anda tidak tahu apa-apa. Beri tahu Jenderal Barclay dari saya bahwa informasinya salah dan bahwa jalannya pertempuran yang sebenarnya diketahui oleh saya, panglima tertinggi, lebih baik daripada dia.
Wolzogen ingin menolak sesuatu, tetapi Kutuzov memotongnya.
- Musuh dipukul mundur di sebelah kiri dan dikalahkan di sayap kanan. Jika Anda belum melihat dengan baik, Tuan, maka jangan biarkan diri Anda mengatakan apa yang tidak Anda ketahui. Silakan pergi ke Jenderal Barclay dan sampaikan kepadanya niat saya yang sangat diperlukan untuk menyerang musuh besok, ”kata Kutuzov dengan tegas. Semua orang diam, dan orang bisa mendengar satu napas berat dari jenderal tua yang terengah-engah. - Ditolak kemana-mana, untuk itu saya berterima kasih kepada Tuhan dan pasukan pemberani kita. Musuh dikalahkan, dan besok kami akan mengusirnya dari tanah suci Rusia, - kata Kutuzov, membuat tanda salib; dan tiba-tiba menangis. Wolzogen, mengangkat bahu dan memutar bibirnya, diam-diam melangkah ke samping, bertanya-tanya pada uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [tentang tirani pria tua ini. (Jerman)]
“Ya, ini dia, pahlawanku,” kata Kutuzov kepada jenderal tampan berambut hitam yang saat itu sedang memasuki gundukan. Itu adalah Raevsky, yang menghabiskan sepanjang hari di titik utama lapangan Borodino.
Raevsky melaporkan bahwa pasukan sudah berada di tempatnya dan Prancis tidak berani menyerang lagi. Setelah mendengarkannya, Kutuzov berkata dalam bahasa Prancis:
– Apakah Anda tidak berpikir tentang apa yang harus dilakukan oleh seorang pensiunan? [Jadi menurutmu, seperti yang lain, kita tidak harus mundur?]

Untuk memberikan gambaran tentang kelas masalah baru - konstruksi figur geometris menggunakan kompas dan penggaris tanpa pembagian skala.

Perkenalkan konsep GMT.

Berikan definisi garis bagi tegak lurus, ajarkan cara membangunnya dan buktikan istilah tentang garis bagi tegak lurus, serta inversnya.

Menggunakan sistem gambar komputer Kompas-3D, lakukan konstruksi geometris, yang direkomendasikan untuk dilakukan dalam kursus geometri menggunakan kompas dan penggaris.

Selebaran (Lampiran No. 1)

Masalah bangunan dengan kompas dan penggaris tanpa pembagian paling sering diselesaikan menurut skema tertentu:

SAYA. Analisis: Gambarkan gambar yang diinginkan secara skematis dan buat tautan antara data masalah dan elemen yang diinginkan.

II. Bangunan: Menurut rencana, mereka membangun dengan kompas dan penggaris.

AKU AKU AKU. Bukti: Buktikan bahwa bangun yang dibangun memenuhi syarat-syarat soal.

IV. Belajar: Lakukan penelitian, untuk data apa saja, apakah masalah tersebut memiliki solusi dan jika ada, berapa solusinya (tidak dilakukan di semua masalah).

Berikut adalah beberapa contoh tugas konstruksi dasar yang akan kami pertimbangkan:

1. Sisihkan segmen yang sama dengan yang ini (dipelajari sebelumnya).

2. Konstruksi garis bagi tegak lurus segmen:

membangun titik tengah dari segmen yang diberikan;
buat garis yang melewati titik tertentu dan tegak lurus terhadap garis tertentu (suatu titik mungkin atau mungkin tidak terletak pada garis tertentu).

3. Konstruksi garis bagi sudut.

4. Konstruksi sudut yang sama dengan sudut tertentu.

Median tegak lurus terhadap segmen.

Definisi: Garis bagi tegak lurus suatu ruas adalah garis yang melalui titik tengah ruas tersebut dan tegak lurus terhadapnya.

Tugas: "Bangunkan garis bagi tegak lurus ke segmen." Presentasi

O - tengah AB

Deskripsi konstruksi ( slide nomor 4):

Balok a; A - awal balok

Keliling (A; r =m)

Lingkari a = B; AB = m

Lingkaran 1 (A; r 1 > m/2)

Lingkaran 2 (B; r 1)

Lingkaran 1 Lingkaran 2 =

M N ; MN AB =0, (MN = L)

di mana MN AB, O adalah titik tengah AB

AKU AKU AKU. Bukti(slide nomor 5, 6)

1. Pertimbangkan AMN dan BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2 , maka AM = BN , AN = BM MN adalah sisi persekutuan

(Gambar 3)

Oleh karena itu, AMN = BNM (pada 3 sisi),

Karena itu

1= 2 (menurut definisi sama)

3= 4 (menurut definisi sama)

2. MAN dan NBM adalah sama kaki (menurut definisi) ->

1 \u003d 4 dan 3 \u003d 2 (dengan sifat sama kaki)

3. Dari titik 1 dan 2 -> 1 = 3 maka MO adalah garis bagi AMB yang sama kaki

4. Dengan demikian kita telah membuktikan bahwa MN adalah garis bagi yang tegak lurus dengan segmen AB

IV. Belajar

Masalah ini memiliki solusi unik, karena Segmen garis apa pun hanya memiliki satu titik tengah, dan melalui titik tertentu seseorang dapat menggambar satu garis tegak lurus dengan garis yang diberikan.

Definisi: Himpunan titik geometris (GMT) adalah himpunan titik yang memiliki beberapa properti. (Lampiran No.2)

Diketahui oleh Anda GMT:

Garis bagi tegak lurus suatu ruas adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut.
Bisector of an angle - sekumpulan titik yang berjarak sama dari sisi sudut

Jadi mari kita buktikan teorema:

Teorema: "Setiap titik dari garis bagi tegak lurus suatu segmen berjarak sama dari ujung-ujung segmen ini."

(Gambar 4)

Diberikan: AB; MO - garis bagi tegak lurus

Buktikan: AM = VM

Bukti:

1. MO - garis bagi tegak lurus (berdasarkan kondisi) -> O - titik tengah segmen AB, MOAB

2. Pertimbangkan AMO dan WMO - persegi panjang

MO - kaki biasa

AO \u003d VO (O - tengah AB) -\u003e AMO \u003d BMO (dengan 2 kaki) -\u003e AM \u003d VM (menurut definisi segitiga yang sama, sebagai sisi yang sesuai)

Q.E.D

Pekerjaan rumah: "Buktikan teorema terbalik dengan yang diberikan"

Teorema: "Setiap titik yang berjarak sama dari ujung segmen terletak pada garis bagi tegak lurus segmen ini."

(Gambar 5)

Diberikan: AB; MA=MV

Membuktikan: Titik M terletak pada garis bagi tegak lurus

Bukti:

Itu. MO - garis bagi tegak lurus yang berisi semua titik yang berjarak sama dari ujung segmen.

Sifat garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga

Mereka berpotongan di satu titik dan titik ini adalah pusat lingkaran luar di sekitar segitiga, kita akan belajar di kelas delapan.

Bengkel

Bahan dan peralatan teknis:

Distribusi: 29.574 KB

OS: Windows 9x/2000/XP

Situs web: http://www.ascon.ru

Sekarang kami akan mentransfer konstruksi ke lingkungan grafis komputer (nomor slide 7)

Pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh sebelumnya harus diterapkan pada tugas tertentu. Anda akan melihat bahwa konstruksi tidak memakan waktu lebih lama daripada konstruksi di buku catatan. Antara lain, menarik untuk melihat bagaimana lingkungan komputer menjalankan perintah manusia untuk membangun figur planar. Sebelum Anda adalah lampiran No. 3, di mana langkah-langkah konstruksi Anda dijelaskan secara rinci. Muat program dan buka gambar baru ( slide nomor 8, 9).

Gambarlah objek geometris yang ditentukan dalam kondisi soal: sinar A mulai dari titik A dan segmennya sama M- panjang sewenang-wenang ( slide nomor 10).

Masukkan penunjukan balok, ruas, awal balok pada gambar menggunakan tab "Peralatan" teks.

Bangun lingkaran dengan jari-jari sama dengan segmen M berpusat di simpul oleh titik tertentu A (slide nomor 11).

M berpusat di titik yang diberikan titik A ( geser №12, 13).

Bangun lingkaran dengan jari-jari sama dengan segmen yang lebih besar dari 1/2 M Untuk melakukan ini, pilih item “ Antara 2 poin” (geser №14, 15, 16).

Melalui titik-titik persimpangan lingkaran M dan N menarik garis ( geser №17,18).

Buku Bekas:

Ugrinovich N.D. “Informatika. Kursus Dasar” Kelas 7. - M.: BINOM - 2008 - 175 hal.
Ugrinovich N.D. "Lokakarya tentang informatika dan teknologi informasi". Tutorial. - M.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. “Mengajar kursus “Informatika dan TIK” di sekolah dasar dan menengah kelas 8-11 M.: Laboratorium Pengetahuan BINOM, 2008. - 180 hal.
Bengkel Komputer Ugrinovich ND pada CD-ROM. - M.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Kompas - Lokakarya 3D v 5.11-8.0 untuk pemula” - M .: SOLON - PRESS, 2006 - 272 hal.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., dkk “Geometri 7-9. Buku teks untuk sekolah menengah "- M: Pendidikan 2006 - 384 hal.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., dkk “Studi geometri kelas 7-9. Pedoman Buku Teks "- M: Pendidikan 1997 - 255 hal.
Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. “Rencana pelajaran untuk buku teks kelas 8 Atanasyan L.S.” - Volgograd "Guru" 2010, 166 hal.

Aplikasi No.1

Rencanakan untuk memecahkan masalah pada konstruksi kompas dan penggaris.

Analisis.
Konstruksi.
Bukti.
Belajar.

Penjelasan

Saat melakukan analisis, gambar yang diperlukan digambar secara skematis dan koneksi dibuat antara data tugas dan elemen yang diperlukan.
Rencananya, pembangunan dilakukan dengan kompas dan penggaris.
Mereka membuktikan bahwa sosok yang dibangun memenuhi kondisi masalah.
Lakukan studi: untuk data apa pun, apakah masalahnya memiliki solusi, dan jika ya, berapa banyak solusinya?

Contoh tugas konstruksi dasar

Sisihkan segmen yang sama dengan yang diberikan.
Bangun garis bagi tegak lurus ke segmen.
Bangun titik tengah segmen.
Buatlah garis yang melewati titik tertentu, tegak lurus dengan garis yang diberikan (Titik tersebut mungkin terletak atau tidak terletak pada garis yang diberikan).
Bangun garis bagi sudut.
Bangun sudut yang sama dengan yang diberikan.

Aplikasi №2

Tempat kedudukan poin (GMT) adalah sekumpulan titik yang memiliki beberapa properti.

Contoh GMT:

Garis bagi tegak lurus suatu ruas adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut.
Lingkaran adalah sekumpulan titik yang berjarak sama dari titik tertentu - pusat lingkaran.
Garis bagi suatu sudut adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari sisi sudut.

Setiap titik garis-berat ke segmen berjarak sama dari ujung segmen ini.

Pada pelajaran sebelumnya, kita mempertimbangkan sifat-sifat garis bagi suatu sudut, baik yang tertutup dalam segitiga maupun bebas. Segitiga mencakup tiga sudut, dan untuk masing-masing sudut tersebut, sifat-sifat garis bagi yang dipertimbangkan dipertahankan.

Dalil:

Garis bagi AA 1, BB 1, CC 1 dari segitiga berpotongan di satu titik O (Gbr. 1).

Beras. 1. Ilustrasi teorema

Bukti:

Pertimbangkan dua garis bagi pertama BB 1 dan СС 1 . Mereka berpotongan, titik persimpangan O ada. Untuk membuktikannya, misalkan sebaliknya: biarkan garis bagi yang diberikan tidak berpotongan, dalam hal ini garis tersebut sejajar. Maka garis BC adalah garis potong dan jumlah sudutnya , ini bertentangan dengan fakta bahwa di seluruh segitiga jumlah sudut adalah .

Jadi, titik O perpotongan dua garis bagi ada. Pertimbangkan propertinya:

Titik O terletak pada garis bagi sudut , yang berarti berjarak sama dari sisinya BA dan BC. Jika OK tegak lurus BC, OL tegak lurus BA, maka panjang garis tegak lurus ini sama dengan -. Juga, titik O terletak pada garis bagi sudut dan berjarak sama dari sisinya CB dan CA, tegak lurus OM dan OK adalah sama.

Kami mendapat persamaan berikut:

, yaitu, ketiga garis tegak lurus yang diturunkan dari titik O ke sisi segitiga sama satu sama lain.

Kami tertarik pada persamaan tegak lurus OL dan OM. Kesetaraan ini menyatakan bahwa titik O berjarak sama dari sisi sudut, oleh karena itu terletak pada garis bagi AA 1.

Jadi, kami telah membuktikan bahwa ketiga garis bagi segitiga berpotongan pada satu titik.

Selain itu, segitiga terdiri dari tiga segmen, artinya kita harus mempertimbangkan sifat-sifat dari satu segmen.

Segmen AB diberikan. Setiap segmen memiliki tengah, dan garis tegak lurus dapat ditarik melaluinya - kami menunjukkannya dengan p. Jadi p adalah garis bagi tegak lurus.

Beras. 2. Ilustrasi teorema

Setiap titik yang terletak pada garis bagi tegak lurus berjarak sama dari ujung segmen.

Buktikan bahwa (Gbr. 2).

Bukti:

Pertimbangkan segitiga dan . Mereka persegi panjang dan sama, karena mereka memiliki kaki yang sama OM, dan kaki AO dan OB sama dengan syarat, jadi kita memiliki dua segitiga siku-siku yang sama di dua kaki. Oleh karena itu, sisi miring dari segitiga juga sama, yaitu yang akan dibuktikan.

Teorema kebalikannya benar.

Setiap titik yang berjarak sama dari ujung segmen terletak pada garis bagi tegak lurus segmen ini.

Segmen AB diberikan, garis bagi tegak lurus terhadapnya adalah p, titik M berjarak sama dari ujung segmen. Buktikan bahwa titik M terletak pada garis bagi tegak lurus ke segmen (Gbr. 3).

Beras. 3. Ilustrasi teorema

Bukti:

Mari kita pertimbangkan sebuah segitiga. Itu sama kaki, sesuai kondisi. Pertimbangkan median segitiga: titik O adalah titik tengah alas AB, OM adalah median. Menurut sifat segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah tinggi dan garis bagi. Oleh karena itu berikut bahwa . Tetapi garis p juga tegak lurus AB. Kita tahu bahwa satu tegak lurus segmen AB dapat ditarik ke titik O, yang berarti garis OM dan p bertepatan, oleh karena itu titik M termasuk garis p, yang harus dibuktikan.

Teorema langsung dan invers dapat digeneralisasikan.

Suatu titik terletak pada garis bagi suatu segmen jika dan hanya jika jaraknya sama dari ujung-ujung segmen tersebut.

Jadi, kami ulangi bahwa ada tiga segmen dalam segitiga dan sifat garis bagi tegak lurus berlaku untuk masing-masing segmen.

Dalil:

Garis bagi tegak lurus segitiga berpotongan di satu titik.

Sebuah segitiga diberikan. Tegak lurus sisi-sisinya: P 1 ke sisi BC, P 2 ke sisi AC, P 3 ke sisi AB.

Buktikan bahwa garis tegak lurus Р 1 , Р 2 dan Р 3 berpotongan di titik O (Gbr. 4).

Beras. 4. Ilustrasi teorema

Bukti:

Pertimbangkan dua midperpendiculars P 2 dan P 3 , mereka berpotongan, titik persimpangan O ada. Mari kita buktikan fakta ini dengan kontradiksi - misalkan garis tegak lurus P 2 dan P 3 sejajar. Maka sudutnya lurus, yang bertentangan dengan fakta bahwa jumlah ketiga sudut segitiga adalah . Jadi, ada titik O perpotongan dua dari tiga garis bagi tegak lurus. Sifat-sifat titik O: terletak pada garis bagi tegak lurus sisi AB, yang berarti berjarak sama dari ujung segmen AB :. Itu juga terletak pada garis bagi tegak lurus ke sisi AC, sehingga . Kami telah memperoleh persamaan berikut.